气体分子运动分布规律优秀课件
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说明：
某次测量值与统计平均值之间总有偏 离----涨落(起伏)现象
构成整体偶然事件数量越大，涨落现 象就越不明显
二、概率
概率:在一定条件下，某偶然事件出现的可 能性的大小
设N为实验总次数，Ni为事件i出现的次数， 则
简写为
Pi
lim
N
Ni N
Pi
Ni N
对n件事件：
Pi
Ni N
任一事件的几率满足
Ni N
1
----归一化条件
0 Pi 1
三、概率的运算性质
1.加法法则 N个相互排斥事件发生的总概率是每个 事件发生概率之和。
2.乘法法则 相互独立事件同时或依次发生的概率是 各独立事件发生概率之积。
四、统计平均值 随机变量u的值为ui的概率为Pi，则u的平 均值为
u Piui i
f(u) 为随机变量u的函数，则
f1v x fv x,v y,v z d v yd v z
三、麦克斯韦速率分布定律
1859年麦克斯韦从理论上导出平衡状态下气
体分子速率分布函数
f (v)
f
(v)
4
m
2 kT
3/2
mv2
e 2kT
v2
----麦克斯韦速率分布函数
O vp
v 麦克斯韦速率分布曲线
说明： 1. 麦克斯韦速率分布适用于平衡态气体；
v
黄：氢
v p1 v p2
[例]比较下列各气体在大气中(290K)的逃逸能 力：H2 , He, H2O, N2, O2, Ar, CO2.
解：
GMm 1 mv 2
R2
所以， 脱离地球的逃逸速度11.2km/s.
分别计算各气体 的均方根速度：
v 2 3kBaidu Nhomakorabea 3RT 1.73 RT
m
得 : H2 , He, H2O, N2, O2, Ar, CO2. km/s: 1.90 1.34 0.63 0.51 0.48 0.42 0.41
f x dN 1
dx N
归一化条件 f xdx1
平均值 MM xfxdx
多个变量？
§2.2 麦克斯韦速率分布
一、气体分子速率及速度分布函数
速率分布函数：速率在v附近单位速率区间内 的分子数占总分子数的百分比
即 归一化条件
f (v) dN Ndv
0 f (v)dv 1
速度分布函数：速度在（vx,vy,vz）附近单位 速度区间内的分子数占总分子数的百分比
将各气体的均方根速度与逃逸速度11.2km/s比较，大 者容易逃逸。
[例]有N个粒子，其速率分布函数为:
气体分子运动分布 规律
目录
§2.1 概率论基础知识 §2.2 麦克斯韦速率分布 §2.3 玻尔兹曼分布律 §2.4 能量均分定理
§2.1 概率论基础知识
一、统计规律 伽尔顿板实验
小钉
等宽 狭槽
小球落在哪个槽 是偶然事件
大量小球一个一个投入 或一次投入，分布情况 大致相同
在一定的条件下，大量的偶然事件存 在着一种必然规律性----统计规律
得到：
f1 vx C1evx2
f vfv x,v y,v z C e v x 2 v 2 y v z 2
C为积分常数。
C的确定：利用归一化条件求
C e v x 2 v 2 y v z 2d v xd v yd v z 1
得到
C
3/2
f vx,vy,vz 3/2ev2
O vpv v2 v
[例]图为同一种气体，处于不同温度状态下的 速率分布曲线，试问（1）哪一条曲线对应的 温度高？（2)如果这两条曲线分别对应的是同 一温度下氧气和氢气的分布曲线，问哪条曲线 对应的是氧气，哪条对应的是氢气？
解：
f(v)
vp
2RT M mol
T1
(1) T1 < T2
T2
(2) 绿：氧
f u Pi f ui i
f(u)和g(v)分别为互相独立的随机变量u和v 的函数，u取ui的概率为Pi，v取vj的概率为
Pj，则
f u g v Pij f ui g vj ji
Pi f ui Pj g vj
i
j
f u g v
五、概率分布函数
随机变量在值x附近单位区间的概率。
2.平均速率 v
v vf (v)dv
8kT
0
m
8RT 1.60 RT
M mol
M mol
3.方均根速率 v2
v2 v2 f (v)dv 3kT
0
m
vrms
v2
3kT m
3RT M mol
1.73 RT M mol
vp
2kT m
v 8kT
m
vrms
3kT m
f (v)
两边对vx求导：
左 f2v2 vx
d fd 2vv 22
v vx 22 vxd fd 2vv 22
右df1vx dvx
f1
vy
f1vz
df2 v2 dv2
dfd 1vvx2xf1 vy
f1vz
两边同时除以f2(v2)：
1 f2 v2
df2 v2 dv2
1 df1vx f1vx dvx2
2. f(v)只受温度T和分子质量m的影响；
3. f(v)取极大值时对应单位速率称为最概然 速率；
4. 麦克斯韦分布律是统计规律，存在涨落。
四、气体分子的三种速率
1.最概然速率vp： 与f(v) 的极大值对应的速率
令 df (v) 0 dv
vp
2kT m
2RT 1.41 RT
M mol
M mol
的确定：利用理想气体平均动能
理想气体分子平均动能： 3 k T 2
根据速度分布求得： 3 m
4
m 2kT
麦克斯韦速度分布函数：
f vx,vy,vz 2m kT 3/2e1 2m vx 2v2 yvz2/kT
速度分量的分布函数：
f1 vx 2mkT1/2e12mvx2/kT
即
f
(vx , vy , vz )
dN Ndvx dv y dvz
归一化条件
f (vx , vy , vz )dvxdvydvz 1
速度分量分布函数：方向速度分量在v附近
单位区间内的分子数占总分子数的百分比
即 归一化条件
f
(v
)
dN Ndv
f (v )dv 1
二、麦克斯韦速度分布定律
假设1：平衡态下，气体分子速度三个方向 分量彼此独立
fv x ,v y ,v z f1 v x f1v yf1 v z
假设2：速度分布各向同性，与速度方向无 关
fv x ,v y ,v z f 2v x 2 v y 2 v z 2 f 2v 2
f2v 2 f1 v xf1v y f1 v z
某次测量值与统计平均值之间总有偏 离----涨落(起伏)现象
构成整体偶然事件数量越大，涨落现 象就越不明显
二、概率
概率:在一定条件下，某偶然事件出现的可 能性的大小
设N为实验总次数，Ni为事件i出现的次数， 则
简写为
Pi
lim
N
Ni N
Pi
Ni N
对n件事件：
Pi
Ni N
任一事件的几率满足
Ni N
1
----归一化条件
0 Pi 1
三、概率的运算性质
1.加法法则 N个相互排斥事件发生的总概率是每个 事件发生概率之和。
2.乘法法则 相互独立事件同时或依次发生的概率是 各独立事件发生概率之积。
四、统计平均值 随机变量u的值为ui的概率为Pi，则u的平 均值为
u Piui i
f(u) 为随机变量u的函数，则
f1v x fv x,v y,v z d v yd v z
三、麦克斯韦速率分布定律
1859年麦克斯韦从理论上导出平衡状态下气
体分子速率分布函数
f (v)
f
(v)
4
m
2 kT
3/2
mv2
e 2kT
v2
----麦克斯韦速率分布函数
O vp
v 麦克斯韦速率分布曲线
说明： 1. 麦克斯韦速率分布适用于平衡态气体；
v
黄：氢
v p1 v p2
[例]比较下列各气体在大气中(290K)的逃逸能 力：H2 , He, H2O, N2, O2, Ar, CO2.
解：
GMm 1 mv 2
R2
所以， 脱离地球的逃逸速度11.2km/s.
分别计算各气体 的均方根速度：
v 2 3kBaidu Nhomakorabea 3RT 1.73 RT
m
得 : H2 , He, H2O, N2, O2, Ar, CO2. km/s: 1.90 1.34 0.63 0.51 0.48 0.42 0.41
f x dN 1
dx N
归一化条件 f xdx1
平均值 MM xfxdx
多个变量？
§2.2 麦克斯韦速率分布
一、气体分子速率及速度分布函数
速率分布函数：速率在v附近单位速率区间内 的分子数占总分子数的百分比
即 归一化条件
f (v) dN Ndv
0 f (v)dv 1
速度分布函数：速度在（vx,vy,vz）附近单位 速度区间内的分子数占总分子数的百分比
将各气体的均方根速度与逃逸速度11.2km/s比较，大 者容易逃逸。
[例]有N个粒子，其速率分布函数为:
气体分子运动分布 规律
目录
§2.1 概率论基础知识 §2.2 麦克斯韦速率分布 §2.3 玻尔兹曼分布律 §2.4 能量均分定理
§2.1 概率论基础知识
一、统计规律 伽尔顿板实验
小钉
等宽 狭槽
小球落在哪个槽 是偶然事件
大量小球一个一个投入 或一次投入，分布情况 大致相同
在一定的条件下，大量的偶然事件存 在着一种必然规律性----统计规律
得到：
f1 vx C1evx2
f vfv x,v y,v z C e v x 2 v 2 y v z 2
C为积分常数。
C的确定：利用归一化条件求
C e v x 2 v 2 y v z 2d v xd v yd v z 1
得到
C
3/2
f vx,vy,vz 3/2ev2
O vpv v2 v
[例]图为同一种气体，处于不同温度状态下的 速率分布曲线，试问（1）哪一条曲线对应的 温度高？（2)如果这两条曲线分别对应的是同 一温度下氧气和氢气的分布曲线，问哪条曲线 对应的是氧气，哪条对应的是氢气？
解：
f(v)
vp
2RT M mol
T1
(1) T1 < T2
T2
(2) 绿：氧
f u Pi f ui i
f(u)和g(v)分别为互相独立的随机变量u和v 的函数，u取ui的概率为Pi，v取vj的概率为
Pj，则
f u g v Pij f ui g vj ji
Pi f ui Pj g vj
i
j
f u g v
五、概率分布函数
随机变量在值x附近单位区间的概率。
2.平均速率 v
v vf (v)dv
8kT
0
m
8RT 1.60 RT
M mol
M mol
3.方均根速率 v2
v2 v2 f (v)dv 3kT
0
m
vrms
v2
3kT m
3RT M mol
1.73 RT M mol
vp
2kT m
v 8kT
m
vrms
3kT m
f (v)
两边对vx求导：
左 f2v2 vx
d fd 2vv 22
v vx 22 vxd fd 2vv 22
右df1vx dvx
f1
vy
f1vz
df2 v2 dv2
dfd 1vvx2xf1 vy
f1vz
两边同时除以f2(v2)：
1 f2 v2
df2 v2 dv2
1 df1vx f1vx dvx2
2. f(v)只受温度T和分子质量m的影响；
3. f(v)取极大值时对应单位速率称为最概然 速率；
4. 麦克斯韦分布律是统计规律，存在涨落。
四、气体分子的三种速率
1.最概然速率vp： 与f(v) 的极大值对应的速率
令 df (v) 0 dv
vp
2kT m
2RT 1.41 RT
M mol
M mol
的确定：利用理想气体平均动能
理想气体分子平均动能： 3 k T 2
根据速度分布求得： 3 m
4
m 2kT
麦克斯韦速度分布函数：
f vx,vy,vz 2m kT 3/2e1 2m vx 2v2 yvz2/kT
速度分量的分布函数：
f1 vx 2mkT1/2e12mvx2/kT
即
f
(vx , vy , vz )
dN Ndvx dv y dvz
归一化条件
f (vx , vy , vz )dvxdvydvz 1
速度分量分布函数：方向速度分量在v附近
单位区间内的分子数占总分子数的百分比
即 归一化条件
f
(v
)
dN Ndv
f (v )dv 1
二、麦克斯韦速度分布定律
假设1：平衡态下，气体分子速度三个方向 分量彼此独立
fv x ,v y ,v z f1 v x f1v yf1 v z
假设2：速度分布各向同性，与速度方向无 关
fv x ,v y ,v z f 2v x 2 v y 2 v z 2 f 2v 2
f2v 2 f1 v xf1v y f1 v z