最小二乘法估计量的性质(高斯—马尔可夫定理的初步证明)
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最小二乘法估计量的性质（高斯—马尔可夫定理的初
步证明）
高斯马尔可夫定理: 若一元线性模型满足计量经济基本假设，
则参数的最小二乘估计(OLS) 是最小方差的线性无偏估计。
（BLUE) 最小二乘法估计量 OLS 的性质（高斯马尔可夫定理的
初步证明） 1．线性性：
0 和1 都是iy的线性函数证明：
；
令=j=njiixxxxk12)()( 则有 iniiyk==11 ，且有0=ik，
1=iixk，=i=niixxk122)(1 从而1 是iy的线性函数；同理， 0 ＝
令iikxnw=1，则有：
iiyw=0，即0 也是iy的线性函数。
另有：
1=i w，0=iixw 2. 无偏性：
0 和1 都是0 、1 的无偏估计量；即有：
( )=,00=E ( )11=E 证明：
先证 ( )11E ，又，
1=iixk ()=i=++==iiiiinikuxkyk01011+1 +iiiiukxk ==+iiuk1 ( )(因为: ( )u1101=++=i0iiiiiEkxkkE =ik，1ixk) 同理，利用
1=i w和0=iixw可证得 ( ),00=E 3. 最优性或最小方差性：在所有的线性无偏估计中，0 和1 分别是0 、1 的方差最小的
1 / 2
有效估计量证明：
若1~ 是原值1 的一个线性无偏估计（方差条件不限），且记=iiyc1~（∵线性估计），再根据无偏估计的特性，有：再记P==111==1, 0iiixcc。
()iiiykc~，则有11~+= P ( )Cov(+)),(2)()(),(2),(),(),(~,~~1111111111PCovDPDPCovCovP PPPCovCovD++=+=++== 如果能证明0),(1=PCov，则利用方差不小于 0 的性质，判定)()()()~(111DDPDD+=，1 即为所有无偏的线性估计中方差最小的。
∵2u2i2u1)())((),)((),(iiiiiiiiiikkckkcykykcCovPCov=== 又∵=j=njiixxxxk12)()( 且有：
0=ik，1=iixk，=i=niixxk122)(1 所以0)(1)(1212112i===j=j=i=injnjnniiiiixxxxxcxckkc，0),~((1 =PCov, 有：
)()()()111DDPDD+=，命题得证。
（此处利用了==1, 0iiixcc）。