工程数学 积分变换(第四版)第1讲
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工程数学之积分变换
工程数学之积分变换
目录
• 积分变换简介 • 傅里叶变换 • 拉普拉斯变换 • Z变换 • 积分变换的数学基础
01
积分变换简介Leabharlann 定义与性质定义积分变换是通过将一个函数的积分作 为参数，将该函数从时域转换到频域 的过程。常见的积分变换包括傅里叶 变换、拉普拉斯变换和Z变换等。
性质
积分变换具有线性性、时移性、频移 性、共轭性和尺度变换等性质，这些 性质使得积分变换在解决复杂的数学 问题时具有很大的灵活性和便利性。
性质
拉普拉斯变换具有线性性、时移性、频移性、微分性、积分性等重要性质，这 些性质为简化计算提供了便利。
拉普拉斯变换的应用
系统分析
信号处理
在控制工程和电路分析中，通过拉普拉斯 变换可以求解线性常微分方程，从而分析 系统的动态响应特性。
在信号处理领域，拉普拉斯变换用于分析 信号的频谱特性和进行傅里叶变换，从而 实现信号的滤波、调制和解调等处理。
时域函数转换为复平面上的函数，可以更容易地分析电路的性能和稳定
性。
02
傅里叶变换
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换的定义
将一个函数转换为一系列不同频率的正弦和余弦函数 的加权和。
傅里叶变换的性质
线性性质、位移性质、尺度性质、微分性质、积分性 质和周期性质等。
傅里叶变换的逆变换
将一系列正弦和余弦函数的加权和还原为原始函数。
傅里叶变换的应用
信号处理
傅里叶变换用于信号的频谱分析和处理，如 滤波、去噪等。
图像处理
傅里叶变换用于图像的频域分析和处理，如 图像增强、压缩等。
控制系统
傅里叶变换用于控制系统的分析和设计，如 稳定性分析、系统优化等。
数值分析
目录
• 积分变换简介 • 傅里叶变换 • 拉普拉斯变换 • Z变换 • 积分变换的数学基础
01
积分变换简介Leabharlann 定义与性质定义积分变换是通过将一个函数的积分作 为参数，将该函数从时域转换到频域 的过程。常见的积分变换包括傅里叶 变换、拉普拉斯变换和Z变换等。
性质
积分变换具有线性性、时移性、频移 性、共轭性和尺度变换等性质，这些 性质使得积分变换在解决复杂的数学 问题时具有很大的灵活性和便利性。
性质
拉普拉斯变换具有线性性、时移性、频移性、微分性、积分性等重要性质，这 些性质为简化计算提供了便利。
拉普拉斯变换的应用
系统分析
信号处理
在控制工程和电路分析中，通过拉普拉斯 变换可以求解线性常微分方程，从而分析 系统的动态响应特性。
在信号处理领域，拉普拉斯变换用于分析 信号的频谱特性和进行傅里叶变换，从而 实现信号的滤波、调制和解调等处理。
时域函数转换为复平面上的函数，可以更容易地分析电路的性能和稳定
性。
02
傅里叶变换
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换的定义
将一个函数转换为一系列不同频率的正弦和余弦函数 的加权和。
傅里叶变换的性质
线性性质、位移性质、尺度性质、微分性质、积分性 质和周期性质等。
傅里叶变换的逆变换
将一系列正弦和余弦函数的加权和还原为原始函数。
傅里叶变换的应用
信号处理
傅里叶变换用于信号的频谱分析和处理，如 滤波、去噪等。
图像处理
傅里叶变换用于图像的频域分析和处理，如 图像增强、压缩等。
控制系统
傅里叶变换用于控制系统的分析和设计，如 稳定性分析、系统优化等。
数值分析
工程数学复变函数(第四版)第1讲
2
复变函数论的全面发展是十九世纪，就像微积分的 直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新 的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变 函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学 享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达 朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分 ，他们都是创建这门学科的先驱。 后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是 柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初， 复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生， 瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作 了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领 域，为这门学科的发展做出了贡献。
29
设z为己知, 方程wn=z的根w称为z的n次根,
记作 z = z , n为整数
n 1/ n
如n为正整数, 则一个复数的n次根不止有一个, 而是有n个, 这是很麻烦的事情. 例如
3
1有三个值,1, e
3 2p i 3 3
2p i 3
,e
2p -i 3
这是因为1 = 1 i 2p -i 2p =1 e = e =1 及 e =e 在几何上, z1/n的n个值就是以原点为中心, r1/n 为半径的圆的内接正n边形的n个顶点
27
如果用指数形式表示复数:
z1 = r1 e , z2 = r2 e ,
定理二可简明地表示为
iq1
iq 2
z2 r2 i (q 2 -q1 ) = e z1 r1
28
2. 幂与根 n个相同复数z的乘积称为z的n次幂, 记作zn n
z = z z z .
第一章Fourier变换
Fc () 0 f (t) costdt
叫做 f (t) 的傅立叶余弦变换，而
f (t) 2
0
Fc () costd
叫做 F () 的傅立叶余弦逆变换。
注：若 f (t) 仅在 (0,)上有定义，且满足
Fourier积分存在定理的条件，也可采用奇延 拓或偶延拓的方法，得到 f (t) 相应的Fourier 正弦积分展开式或余弦积分展开式。
十八世纪，微积分学中，人们通过微分、积 分运算求解物体的运动方程。到了十九世纪， 英国著名的无线电工程师海维赛德 （Heaviside）为了求解电工学、物理学领域 中的线性微分方程，逐步形成了一种所谓的 符号法，后来就演变成了今天的积分变换法。 即通过积分运算把一个函数变成另一个函数。 同时，将函数的微积分运算转化为代数运算， 把复杂、耗时的运算简单、快速完成。
积分变换的理论和方法不仅在数学的学多分 支中，而且在其它自然科学和各种工程技术 邻域中都有着广泛的应用。
第一章 Fourier变换
1.1 Fourier积分
1.1.1 傅立叶级数的复指数形式
设 f (t) 是以 T 为周期的周期函数，如果它在
区间
[
T 2
,
T 2
]
上满足狄利克雷条件：
0 0
它们分别称为傅立叶正弦积分公式和傅立叶
余弦积分公式。
例1 求函数 式。
f
(t)
1, 0,
| t | 1 其它
的傅立叶积分表达
解：根据Fourier积分公式的复数形式，有
f (t) 1
[
f ( )e j d ]e jt d
2
1
1.1 Fourier积分【VIP专享】
正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在 上的积分等于 0 . 证:
同理可证 :
但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 上的积分不等于 0 . 且有
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期 内的情况即可, 通常研究在闭区间[T/2,T/2]内函数变 化的情况. 并非理论上的所有周期函数都可以用傅里 叶级数逼近, 而是要满足狄利克雷(Dirichlet)条件, 即 在区间[T/2,T/2]上：
则可以合写为一个式子，
1
cn T
T
2 T
fT (t )e jntdt
(n 0, 1, 2,L )
2
若令
则上式可以写为
这就是Fourier级数的复指数形式，或者写为
接下来讨论非周期函数的展开问题。
任何一个非周期函数 f (t) 都可以看成是由某个 周期函数 fT(t) 当T时转化而来的。
作周期为T 的函数 fT (t), 使其在[T/2,T/2]之内 等于 f (t), 在[T/2,T/2]之外按周期T 延拓到整个数轴 上, 则T 越大, fT (t)与 f (t) 相等的范围也越大, 这就说 明当T时, 周期函数 fT(t) 便可转化为 f (t), 即有
n
n
n1
2
T
, 或T
n
,
如图
(n
nபைடு நூலகம்
n1
2
T
, 或T
n
)
{
{ { {
O 1 2 3
所以 f (t)又可写为
n-1n
当 t 固定时，
记为
，即
则有
当
是参数 n 的函数，
又
(n )
1
2
f
同理可证 :
但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 上的积分不等于 0 . 且有
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期 内的情况即可, 通常研究在闭区间[T/2,T/2]内函数变 化的情况. 并非理论上的所有周期函数都可以用傅里 叶级数逼近, 而是要满足狄利克雷(Dirichlet)条件, 即 在区间[T/2,T/2]上：
则可以合写为一个式子，
1
cn T
T
2 T
fT (t )e jntdt
(n 0, 1, 2,L )
2
若令
则上式可以写为
这就是Fourier级数的复指数形式，或者写为
接下来讨论非周期函数的展开问题。
任何一个非周期函数 f (t) 都可以看成是由某个 周期函数 fT(t) 当T时转化而来的。
作周期为T 的函数 fT (t), 使其在[T/2,T/2]之内 等于 f (t), 在[T/2,T/2]之外按周期T 延拓到整个数轴 上, 则T 越大, fT (t)与 f (t) 相等的范围也越大, 这就说 明当T时, 周期函数 fT(t) 便可转化为 f (t), 即有
n
n
n1
2
T
, 或T
n
,
如图
(n
nபைடு நூலகம்
n1
2
T
, 或T
n
)
{
{ { {
O 1 2 3
所以 f (t)又可写为
n-1n
当 t 固定时，
记为
，即
则有
当
是参数 n 的函数，
又
(n )
1
2
f
积分变换第1讲
2
§1 Fourier积分公式
1.1 Recall:周期函数的 Fourier 级数
定理 (Dirichlet 定理)设 fT (t)是以 T 为周期的实值函数，且在 区间 [T/2 , T/2] 上满足如下条件(称为 Dirichlet 条件)：
(1) 连续或只有有限个第一类间断点；
(2) 只有有限个极值点(不能震荡太厉害) .
t t
( ) c e 1 f ( )e d e fT t
in t
n
T n
n
T2 T 2 T
int
分析
由
c0
a0 2
,
cn
an
2
ibn
,
cn
an
ibn 2
,
得 c0 A0 ,
|cn
| | cn
|
1 2
an2
bn2
An ， 2
An
n an
in t 2c n
bn
argcn argcn θn , (n 0) .
F ()
2
k sin 0
2 3
25
例2
求指数衰减函数f
(t)
0, et ,
积分表达式,其中 0.
t 0的傅氏变换及其 t0
2
0
1 2sin costd 2 sin cost d
0
0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
24
0
sin cost
d
24 0
| t | 1 | t | 1 | t | 1
因此可知当t 0时,有
sin x d x sinc(x) d x
0x
20
2
§1 Fourier积分公式
1.1 Recall:周期函数的 Fourier 级数
定理 (Dirichlet 定理)设 fT (t)是以 T 为周期的实值函数，且在 区间 [T/2 , T/2] 上满足如下条件(称为 Dirichlet 条件)：
(1) 连续或只有有限个第一类间断点；
(2) 只有有限个极值点(不能震荡太厉害) .
t t
( ) c e 1 f ( )e d e fT t
in t
n
T n
n
T2 T 2 T
int
分析
由
c0
a0 2
,
cn
an
2
ibn
,
cn
an
ibn 2
,
得 c0 A0 ,
|cn
| | cn
|
1 2
an2
bn2
An ， 2
An
n an
in t 2c n
bn
argcn argcn θn , (n 0) .
F ()
2
k sin 0
2 3
25
例2
求指数衰减函数f
(t)
0, et ,
积分表达式,其中 0.
t 0的傅氏变换及其 t0
2
0
1 2sin costd 2 sin cost d
0
0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
24
0
sin cost
d
24 0
| t | 1 | t | 1 | t | 1
因此可知当t 0时,有
sin x d x sinc(x) d x
0x
20
2
工程数学-积分变换(第四版)-高等教育出版社-课后答案(1)
再由 Fourier 变换公式得
f (t ) =
1 +∞ 1 +∞ 1 +∞ ω 2 + 2 jω t F ω e d ω = F ω cos ω t d ω = cos ω t dω ( ) ( ) 2 π ∫ −∞ π∫0 π ∫ 0 ω4 + 4 +∞ ω 2 + 2 π −t ∫ 0 ω 4 + 4 cos ω tdω = 2 e cos t
f (t) =
2 +∞ ⎡ +∞ f (τ ) sin ωτ dτ ⎤ sin ω tdω ⎢ ∫0 ⎥ ⎦ π ∫0 ⎣
=
2 +∞ ⎡ +∞ − β t sin ω tdω e sin ωτ dτ ⎤ ∫ ∫ ⎢ ⎥ 0 0 ⎣ ⎦ π
− βτ 2 +∞ ⎡ e ( β sin ωτ − ω cos ω t ) +∞ ⎤ = ∫ ⎢ ⎥ sin ω tdω π 0 ⎣ β 2 + ω2 0 ⎦
=
=
由于 a ( ω ) = a ( −ω ) , b ( ω ) = − b ( −ω ) , 所以
f (t) =
1 +∞ 1 +∞ a ( ω ) cos ω t dω + ∫ b ( ω ) sin ω tdω ∫ 2 −∞ 2 −∞
+∞ +∞ 0 0
= ∫ a ( ω ) cos ω t dω + ∫ b ( ω ) sin ω t dω 2．求下列函数的 Fourier 积分：
2 2 ⎧ ⎪1 − t , t ≤ 1 1）函数 f ( t ) = ⎨ 解： 解：1 为连续的偶函数，其 Fourier 变换为 2 0, 1 t > ⎪ ⎩
工程数学-积分变换-第四版-课后习题答案精选全文
可编辑修改精选全文完整版工程数学 积分变换（第四版 张元林 编）课后习题答案编辑者：余小龙第一章：Fourier 变换习题一解答1、证：利用Fourier 积分变换的复数形式，有⎰⎰+∞∞--+∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ωττπωωτd e d e f t f t j j )(21)( ⎰⎰∞+∞-∞+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ωτωτωττπωd e d j f t j )sin )(cos (121[]⎰+∞∞-+-=ωωωωωd t j t jb a )sin (cos )()(21 由于)()(ωω-=a a ， )()(ωω--=b b ， 所以⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=ωωωωωωtd b td a t f sin )(21cos )(21)(⎰⎰+∞+∞+=ωωωωωωtd b td a sin )(cos )(0。
注：本题也可以由Fourier 积分公式的三角形式得到证明。
2、解：（1）此题亦可写成⎩⎨⎧-=.0,1)(2t t f .1;1>≤t t 它是一个连续的偶函数，利用Euler 公式和分部积分法，由Fourier 积分公式的复数形式，有 ⎰⎰+∞∞-+∞∞--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ωττπωωτd e d e f t f t j j )(21)(⎰⎰+∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ωτωττπωd e d t j 102cos )1(1ωωωττωωτωωττωωτπωd e tj 1232sin sin 2cos 2sin 1⎰∞+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--==ωωωωωπωd e t j ⎰+∞∞--3)cos (sin 21=⎰+∞∞-+-ωωωωωωωπd t j t )sin (cos cos sin 23ωωωωωωπtd cos cos sin 403⎰+∞-= （2）函数)(t f 为一连续函数，用类似于（1）的方法，有⎰⎰+∞∞-+∞∞--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ωττπωωτd e d e f t f t j j )(21)(⎰⎰+∞∞-+∞--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ωττπωωττd e d e e t j j 02sin 21 ⎰⎰+∞∞-+∞+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ωττπωτωd e d e t j j 0)1(2sin 21 {}()()⎰∞+∞-+∞+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++--+-=ωωττωπωτωd e j j e tj j 02)1(412cos 22sin )1(21 ⎰+∞∞-+-=ωωωπωd e j tj 252212[][]⎰∞+∞-+--+---=ωωωωωωωωωπd t j t j j j )sin (cos 2)5(2)5(2)5(1222⎰∞+∞-+---++-=ωωωωωωωωωωωπd tj t j t t 222224)5(cos 2sin )5(sin 2cos )5(1⎰∞+∞-+-+-=ωωωωωωωπd tt 432625sin 2cos )5(2(3)可以看出)(t f 为奇函数，且-1,0,1为其间断点。
积分变换第一讲 Fourier积分
令 T ,
T
lim f T (t ) f (t )
8
Fourier 积分公式
下面考虑 Fourier 级数的复指数形式
f T (t )
a0 2
a0 2
( an cos n t bn sin n t )
n 1
( an
n 1
e in t e in t 2
反例2 无穷多 个极值点
4
函数的 Fourier 级数展开
函数 fT (t) 在连续点处，级数的三角形式为：
f T (t ) a0 2 ( an cos n t bn sin n t )
n 1
(1.1)
其中
2 , T
an bn T T 2 2
T 2 T 2
1
f (t )
2
1
f ( ) cos (t ) d d
0
1
f ( ) cos (t ) d d f ( ) cos (t ) d d
0
1
Fourier积分公式的 三角形式
1 T
T
fT (t )e int dt ( n 0, 1, 2, )
fT (t ) c0 (cn e in t c n e int )
n 1
n
cn e in t ,
其中
n n ( n 0, 1, 2, )
10
16
Fourier 积分定理及应用
积分变换第一章
变换域分析
从本章开始由时域转入变换域分析
频域分析：－－－傅里叶变换，自变量为j 复频域分析：－－－拉氏变换, 自变量为 S = +j Z域分析：－－－Z 变换，自变量为z
傅里叶变换
首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶 级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面 的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进 行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组 合。
单位时间振动的次数,单位是赫兹(Hz).
最常用的一种周期函数是三角函数
fT(t)=Asin(wt+j) 其中w=2p/T
t
而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数 sinwt和coswt的线性组合 Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt
实际上,所有的工程中使用的周期函数都可以用 一系列的三角函数的线性组合来逼近.
2
w 为 求 出 a n ,计 算 [ f T ,c o s n t ] ,即
T
2 T
f T ( t ) cos
2
nwtd t
T 2
a0
cos
2 T 2
nwtd t
T
am
2 cos
T
m w t cos
nwtd t
m 1
2
n
T
bm
2 sin
T
m w t cos
nwtd t
m 1
2
an
2 T
T
2 T
fT (t) cos nwt d t(n
1, 2,
2
)
bn
2 T
T
2 T
fT (t) sin nwt d t(n
积分变换 东南大学 第四版第一章4-6节
3.函数的连续性
定义 若 lim f ( z ) = f ( z 0 )，则称 f ( z )在 z 0处连续 ; z→ z
0
若在区域 D 内处处连续，则称 f ( z )在 D 内连续 ; 若 z 、 z 0 ∈ C , 且 lim f ( z ) = f ( z 0 )，则称 f ( z )
z → z0
z − z0 < r 表示以 z0 为圆点,以 r 为半径的圆内所有的点 .
Re z = α , Im z = β表示分别平行于 y轴和 x轴的直线 .
Re z > 0表示右半复平面 , Im z < 0表示下半复平面 .
r1 < z − z0 < r2
表示一个圆环 , 而且是有界的 .
它的边界由两个圆周 z − z0 = r2 , z − z0 = r1组成 , 如果在其中去掉一个或 几个点, 它仍然是区域 , 只是边界增加了一个或 几个点.
z → z0
lim
u( x, y ) = u0 v ( x , y ) = v0
lim
定理2
若 lim f ( z ) = A
z → z0 z → z0
lim g ( z ) = B , 则
z → z0 z → z0 z → z0
lim [ f ( z ) ± g ( z ) ] = lim f ( z ) ± lim g ( z ) = A ± B lim f ( z ) g ( z ) = lim f ( z ) lim g ( z ) = AB
w=f(z) w o u
•复变函数的几何意义是一个映射（变换） 复变函数反映了两对变量 u，v 与 x，y 之间的对应关系，因而无法用同一平面内 的几何图形表示出来，必须看成两个复平 面上点集之间的的对应关系，以便在研究 和理解复变函数问题时，可借助于几何直 观. 以下不再区分函数与映射（变换）。
积分变换 东南大学 第四版积分变换第一章4-5节
−∞
+∞ −∞
−∞
=∫
f1 (τ )e
− jωτ
⎡ +∞ f ( t − τ )e − jω ( t −τ )d t ⎤ dτ ⎢ ∫−∞ 2 ⎥ ⎣ ⎦
= F1 (ω ) ⋅ F2 (ω )
14
3 卷积定理的应用 例4 求f ( t ) = e jω0t tu( t )的Fourier变换.
1 jω 0 t [e tu( t )] = ℱ [ f ( t )] = ℱ ℱ [e ] ∗ℱ [tu( t )] 2π 1 ⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ = ⎢ 2πδ ( ω − ω 0 ) ∗ ⎜ − ω 2 + jπδ ′ ( ω ) ⎟ ⎥ 2π ⎣ ⎝ ⎠⎦
t
−t
−t
1 O
1−e−t
t
11
例3 求下列函数的卷积：
⎧ 0 f1 ( t ) = ⎨ − α t ⎩e t<0 ⎧ 0 , f2 (t ) = ⎨ − β t t≥0 ⎩e
+∞ −∞
t<0 ; α , β > 0,α ≠ β . t≥0
0 t +∞ t
解：由卷积的定义有
f1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) = ∫ f1 (τ ) f 2 ( t − τ )dτ = ∫ + ∫ + ∫
§1.4
卷积
1 卷积的概念 2 卷积定理 3 卷积定理的应用
1
1.卷积的概念
若已知函数f1(t), f2(t), 则积分
+∞
∫
−∞
f1 (τ ) f 2 ( t − τ ) d τ
称为函数f1(t)与f2(t)的卷积, 记为f1(t)*f2(t),即
+∞ −∞
−∞
=∫
f1 (τ )e
− jωτ
⎡ +∞ f ( t − τ )e − jω ( t −τ )d t ⎤ dτ ⎢ ∫−∞ 2 ⎥ ⎣ ⎦
= F1 (ω ) ⋅ F2 (ω )
14
3 卷积定理的应用 例4 求f ( t ) = e jω0t tu( t )的Fourier变换.
1 jω 0 t [e tu( t )] = ℱ [ f ( t )] = ℱ ℱ [e ] ∗ℱ [tu( t )] 2π 1 ⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ = ⎢ 2πδ ( ω − ω 0 ) ∗ ⎜ − ω 2 + jπδ ′ ( ω ) ⎟ ⎥ 2π ⎣ ⎝ ⎠⎦
t
−t
−t
1 O
1−e−t
t
11
例3 求下列函数的卷积：
⎧ 0 f1 ( t ) = ⎨ − α t ⎩e t<0 ⎧ 0 , f2 (t ) = ⎨ − β t t≥0 ⎩e
+∞ −∞
t<0 ; α , β > 0,α ≠ β . t≥0
0 t +∞ t
解：由卷积的定义有
f1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) = ∫ f1 (τ ) f 2 ( t − τ )dτ = ∫ + ∫ + ∫
§1.4
卷积
1 卷积的概念 2 卷积定理 3 卷积定理的应用
1
1.卷积的概念
若已知函数f1(t), f2(t), 则积分
+∞
∫
−∞
f1 (τ ) f 2 ( t − τ ) d τ
称为函数f1(t)与f2(t)的卷积, 记为f1(t)*f2(t),即
积分变换第1讲
的频谱图. 解： F ( )
f ( t )e i t dt
a 2e i t dt
E e i t i
a sin . 2 2E
24
频谱为 | F ( ) | 2 E | sin a | .
i
i
.
a0 fT ( t ) 2 e i n t e i n t e i n t e i n t a n ibn 2 2 n 1 a0 a n ibn i n t a n ibn i n t e e . 2 2 2 n 1
则在连续点处，有
6
a0 fT (t ) ( a n cos n t bn sin n t ). (1 ) 2 n 1
其中
2 a0 T 2 an T 2 bn T
T 2 T 2
fT ( t ) d t ,
2 , T
T 2
T 2 T 2
f T ( t ) cos nt dt ( n 1,2, ), f T ( t ) sin nt dt ( n 1,2, ).
所以 | F ( ) | f ( t ) cos tdt f ( t ) sin tdt , 显然有 | F ( ) || F ( ) | .
2 2
F ( )的 辐 角 arg F ( ) 称 为 f ( t ) 相 角 频 谱 .
记为
这里f (t )是要变换的函数， 原像函数； F ( )是变换后的函数， 像函数； K (t , )是一个二元函数， 积分变换核 .
2
工程数学2012-CH06-积分变换
第六章
积分变换
6.1 傅里叶级数 6.2 傅里叶积分 6.3 傅里叶变换 6.4 拉普拉斯变换 6.5 黎曼－梅林公式 6.6 拉普拉斯变换的应用 6.7 小结
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§6.1 傅里叶级数
周期为2π函数的傅里叶级数展开
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偶函数和寄函数的傅里叶积分
对偶函数 f ( x) = f (− x), f ( x) = ∫ C (k ) cos kx dk
0 ∞
1 2 其中 C (k ) = ∫ f (ξ ) cos kξ dξ = ∫ f (ξ ) cos kξ dξ . π −∞ π0 对奇函数 f ( x) = − f (− x), f ( x) = ∫ D(k )sin kx dk
f 0.75 0.5 0.25 -3 -2 -1 -0.25 -0.5 -0.75 1 2 3
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f 0.75
S2 0.75
0.5 0.25 -3 -2 -1 -0.25 -0.5 -0.75 1 2 3 -3 -2 -1
∞ ∞
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证明: 在周期为2l 函数的傅里叶级数展开式中,令
nπ = kn , l
π ∆k = kn − kn−1 = . 当l → ∞,由于函数f ( x)在(−∞, ∞)上 l 绝对可积,则有 M 1 l 1 ∞ C0 = lim ∫ f (ξ )dξ ≤ lim ∫ f (ξ ) dξ = lim = 0 l →∞ 2l − l l →∞ 2l −∞ l →∞ 2l ∞ ∞ nπ nπ nπ 1 l Cn cos x =∑ ∫ f (ξ ) cos ξ dξ cos x ∑ l − l l l n =1 n =1 l 1 = ∑ ∆k n =1 π
积分变换
6.1 傅里叶级数 6.2 傅里叶积分 6.3 傅里叶变换 6.4 拉普拉斯变换 6.5 黎曼－梅林公式 6.6 拉普拉斯变换的应用 6.7 小结
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§6.1 傅里叶级数
周期为2π函数的傅里叶级数展开
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偶函数和寄函数的傅里叶积分
对偶函数 f ( x) = f (− x), f ( x) = ∫ C (k ) cos kx dk
0 ∞
1 2 其中 C (k ) = ∫ f (ξ ) cos kξ dξ = ∫ f (ξ ) cos kξ dξ . π −∞ π0 对奇函数 f ( x) = − f (− x), f ( x) = ∫ D(k )sin kx dk
f 0.75 0.5 0.25 -3 -2 -1 -0.25 -0.5 -0.75 1 2 3
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f 0.75
S2 0.75
0.5 0.25 -3 -2 -1 -0.25 -0.5 -0.75 1 2 3 -3 -2 -1
∞ ∞
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证明: 在周期为2l 函数的傅里叶级数展开式中,令
nπ = kn , l
π ∆k = kn − kn−1 = . 当l → ∞,由于函数f ( x)在(−∞, ∞)上 l 绝对可积,则有 M 1 l 1 ∞ C0 = lim ∫ f (ξ )dξ ≤ lim ∫ f (ξ ) dξ = lim = 0 l →∞ 2l − l l →∞ 2l −∞ l →∞ 2l ∞ ∞ nπ nπ nπ 1 l Cn cos x =∑ ∫ f (ξ ) cos ξ dξ cos x ∑ l − l l l n =1 n =1 l 1 = ∑ ∆k n =1 π
积分变换第1讲-课件
11
这是因为
p e j(n-m) d =
1
p
e j(n-m)
-p
j(n - m)
-p
=
1
[e j(n-m)p - e- j(n-m)p ]
j(n - m)
=
1
e- j(n-m)p [e j2(n-m)p - 1] = 0
j(n - m)
p p e 2 ip k = c2 o k s is2 i kn = 1
函数f和g的内积定义为:
T
[f,g]= 2 f(t)g(t)dt -T 2
9
一个函数f(t)的长度为
|| f || = [ f , f ] = 而许瓦兹不等式成立 [f,g] f g
T
2 f 2 (t) d t -T 2
:
T
即 2 f (t ) g (t ) d t -T 2
这样可令
T
T
2 - T 2
nwt d t
T
am
2 cos
-T
m w t sin
nwt d t
m =1
2
n
T
bm
2 sin
-T
m w t sin
nwt d t =
m =1
2
=
bn
T
2 sin
-T 2
(n, m = 1,2,3,, n m),
T
2 cos nwt cos mwt d t = 0 (n, m = 1,2,3,, n m), -T 2
13
而1, coswt, sinwt, ..., cos nwt, sin nwt, ...
的函数的长度计算如下:
T
1 = 2 12 dt = T -T 2
积分变换(Fourier)课件与习题
的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的
线性组合来逼近.---- Fourier级数
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
4
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周 期内的情况即可, 通常研究在闭区间[T/2,T/2]内 函数变化的情况.
T T fT (t )为T 周期函数，在 , 上满足 2 2 Dirichlet条件： fT (t )连续或仅有有限个第一类间断点； fT (t )仅有有限个极值点 则fT (t )可展开为Fourier级数，且在连续点t处成立： a0 fT (t ) an cos nt bn sin nt 2 n1
18
一般地, 对于周期T
1 T2 j n t cn T fT (t )e dt T 2 1 1 j n t e dt T 1 1 1 1 j n t j n j n e e e Tj n Tj n 1 2 sin n 2 sinc( n ) (n 0,1,2, ) T n T
cos nt
e
int
e 2
int
, sin nt
e
int
e 2i
int
6
级数化为： a0 e int e int e int e int an bn 2 n 1 2 2i a0 a n ibn int a n ibn int e e 2 n 1 2 2
1 从 而f (t ) f ( )cos (t )d d 2 1 可得 f (t ) f ( )cos (t )d d ， 0 这就是f (t )的Fourier积分公式的三角形式。
积分变换第1讲(2)
2p 2p p np w , w n nw T 8 4 4
f8(t)
-1
1
T=8
7
t
则
1 - jw n t cn T fT (t )e dt T -2 1 4 1 1 - jw n t - jw n t f 8 (t )e dt e dt 8 -4 8 -1 1 1 1 - jw n t jw n - jw n e e -e - 8 jw n 8 jw n -1 1 sin w n 1 sinc( w n ) (n 0,1,2,) 4 wn 4
而 an j bn 1 j nwt c- n cn T fT (t )e dt 2 T -2 因此可以合写成一个式子
T 2
1 cn T
T 2
T 2
fT (t )e
n
- jw n t
dt (n 0,1,2, )
fT (t )
n -
c e
jw n t
1 jw nt - jw n T fT ( )e d e T n - - 2
T 2
例 定义方波函数为
1 | t | 1 f (t ) 0 | t | 1
如图所示:
f(t)
1
-1
o
1
t
现以f(t)为基础构造一周期为T的周期函数fT(t), 令T=4, 则
T 2 T 2
T 2
cos nwt cos mwt d t 0 (n, m 1,2,3,, n m),
而1, coswt, sinwt, ..., cos nwt, sin nwt, ...的函数 的长度计算如下:
积分变换 东南大学 第四版积分变换第一章2-3节
§1.2 Fourier变换
2. 单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函 数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学 中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后 产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力 作用后的运动情况等. 研究此类问题就会产生我们 要介绍的单位脉冲函数.
e jω0 t ↔ 2πδ (ω − ω0 )
3.微分性质 如果f (t)在(−∞, +∞)上连续或只有 有限个可去间断点, 且当|t|→+∞时, f(t)→0, 则 ℱ[f '(t)]=j ω ℱ[f (t)]. (4) 证 由傅氏变换的定义, 并利用分部积分可得
ℱ [ f ′( t )] =
∫
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能 够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电流强度, 引进一称为 (Dirac)的函数, 简单记成δ-函数. 有 了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技 术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的 量那样, 以统一的方式加以解决.
f(t)
E
单个矩形脉冲的频谱 函数为:
F (ω ) = ∫
∞ −∞
f ( t )e
− jω t
d t = ∫−τ E e
2 2
τ
− jω t
−τ/2
τ/2
t
dt
τ
E − jω t e = − jω
2 −
τ
2
=
2E
ω
sin
ωτ
2 sin
则振幅频谱 | F (ω ) |=
2E
ωτ
2
ω
2. 单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函 数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学 中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后 产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力 作用后的运动情况等. 研究此类问题就会产生我们 要介绍的单位脉冲函数.
e jω0 t ↔ 2πδ (ω − ω0 )
3.微分性质 如果f (t)在(−∞, +∞)上连续或只有 有限个可去间断点, 且当|t|→+∞时, f(t)→0, 则 ℱ[f '(t)]=j ω ℱ[f (t)]. (4) 证 由傅氏变换的定义, 并利用分部积分可得
ℱ [ f ′( t )] =
∫
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能 够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电流强度, 引进一称为 (Dirac)的函数, 简单记成δ-函数. 有 了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技 术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的 量那样, 以统一的方式加以解决.
f(t)
E
单个矩形脉冲的频谱 函数为:
F (ω ) = ∫
∞ −∞
f ( t )e
− jω t
d t = ∫−τ E e
2 2
τ
− jω t
−τ/2
τ/2
t
dt
τ
E − jω t e = − jω
2 −
τ
2
=
2E
ω
sin
ωτ
2 sin
则振幅频谱 | F (ω ) |=
2E
ωτ
2
ω
工程数学复变函数(第四版)第1讲
29
设z为己知, 方程wn=z的根w称为z的n次根, 如n为正整数, 则一个复数的n次根不止有一个, 而是有n个, 这是很麻烦的事情. 例如
3
记作 z = z , n为整数
n 1/ n
i 2π 3 −i 2π 3
1有 个 ,1, e 三 值
3 2π i 3 3
,e
这 因 1 =1 是 为 i 2π −i 2π e = e =1 及 e = e =1 在几何上, z1/n的n个值就是以原点为中心, r1/n 为半径的圆的内接正n边形的n个顶点
θ +2kπ
n
= r (cos
1 n
θ + 2kπ
n
+ i sin
θ + 2kπ
n
)
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
2 2
9
§2 复数的几何表示 1. 复平面 由于一个复数z=x+iy由一对有序实 数(x,y)碓一确定, 所以对于平面上的直角坐标 系, 复数的全体与该平面上的点的全体成一一 对应关系, 从而复数z=x+iy可以用该平面上的 坐标为(x,y)的点来表示, 这是复数的一个常用 表示方法. 此时, x轴称为实轴, y轴称为虚轴, 两轴所在的平面称为复平面或z平面. 这样, 复 数与复平面上的点成一一对应, 并且把"点z" 作为"数z"的同义词, 从而使我们能借助于几 何语言和方法研究复变函数问题.
4
第一章 复数与复变函数 §1 复数及代数运算
5
1. 复数的概念 在实数范围, 方程 x2=−1 是无解的. 因此引进一个新数i, 称为虚数单位, 并规定 i2 =−1 从而i是方程x2=−1的一个根. 对于任意二实数x,y, 称z=x+iy或z=x+yi为复数, x,y分别称为z的实部和虚部, 记作 x=Re(z), y=Im(z)
设z为己知, 方程wn=z的根w称为z的n次根, 如n为正整数, 则一个复数的n次根不止有一个, 而是有n个, 这是很麻烦的事情. 例如
3
记作 z = z , n为整数
n 1/ n
i 2π 3 −i 2π 3
1有 个 ,1, e 三 值
3 2π i 3 3
,e
这 因 1 =1 是 为 i 2π −i 2π e = e =1 及 e = e =1 在几何上, z1/n的n个值就是以原点为中心, r1/n 为半径的圆的内接正n边形的n个顶点
θ +2kπ
n
= r (cos
1 n
θ + 2kπ
n
+ i sin
θ + 2kπ
n
)
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
2 2
9
§2 复数的几何表示 1. 复平面 由于一个复数z=x+iy由一对有序实 数(x,y)碓一确定, 所以对于平面上的直角坐标 系, 复数的全体与该平面上的点的全体成一一 对应关系, 从而复数z=x+iy可以用该平面上的 坐标为(x,y)的点来表示, 这是复数的一个常用 表示方法. 此时, x轴称为实轴, y轴称为虚轴, 两轴所在的平面称为复平面或z平面. 这样, 复 数与复平面上的点成一一对应, 并且把"点z" 作为"数z"的同义词, 从而使我们能借助于几 何语言和方法研究复变函数问题.
4
第一章 复数与复变函数 §1 复数及代数运算
5
1. 复数的概念 在实数范围, 方程 x2=−1 是无解的. 因此引进一个新数i, 称为虚数单位, 并规定 i2 =−1 从而i是方程x2=−1的一个根. 对于任意二实数x,y, 称z=x+iy或z=x+yi为复数, x,y分别称为z的实部和虚部, 记作 x=Re(z), y=Im(z)
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2. Fourier级数的三角形式.
说明: 1. 研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期 内的情况即可, 通常研究在闭区间[T/2,T/2]内 函数变化的情况.
2. 并非理论上的所有周期函数都可以用Fourier 级数逼近, 而是要满足狄利克雷(Dirichlet)条件.
任何满足Dirichlet条件的周期函数fT(t), 在连续点处 可表示为三角级数的形式如下:
2
为求an, 计算[fT(t), cosnt], 即
T
2 T
fT (t)cos nt dt
2
T 2
a0
cos nt dt
2 T 2
T
am
2 cos mt cos nt dt
T
m1
2
n
T
bm
2 sin mt cos nt dt
T
m1
2
an
T 2 T 2
cos2
nt
dt
an
T 2
即
an
工程数学
积分变换
(第四版)
引言:
所谓积分变换,就是通过积分运算,把一个函数 变成另一个函数的变换.
b
F( ) a f (t)K (t, )dt.
其中,K (t, )是一个确定的二元函数,称为积分变换的核.
A中的函数f (t)
B中的函数F ( )
当K (t, ) e jt时
Fourier变换
当K(t,) est时
2、1822 年在代表作《热的分析理论》中解决了热 在非均匀加热的 固体中分布传播问题，成为分析学 在物理中应用的最早例证之一，对19 世纪数学和理 论物理学的发展产生深远影响。傅立叶级数（即三 角级数）、傅立叶分析等理论 均由此创始。
二、Fourier 级数或变换的应用领域
信号分析，包括滤波、数据压缩、电力系统的监 控等；
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
预备知识:
T
T
2 cos nt d t 2 sinnt d t 0 (n 1, 2, 3, ),
T
T
2
2
T
2 sin2 nt d t
T 2
cos2Biblioteka ntdtT
(n 1, 2, 3,
),
T 2
T 2
2
T
2 sinnt cos mt dt 0 (n, m 1, 2, 3, ), T 2
fT (t)
a0 2
(an cos nt
n1
bn sin nt)
(1.1)
其中 2p , T
2 a0 T
T
2 T
fT (t)d t
2
an
2 T
T
2 T
fT (t)cos nt dt
(n
1,2,
2
)
2
bn T
T
2 T
fT (t)sin nt dt
2
(n 1,2,
)
fT (t)
研究偏微分方程，比如求解热力学方程的解时， 把f(t)展开为三角级数最为关键。 概率与统计，量子力学等学科。
引言: 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和 随时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表单 位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复多 少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
Laplace变换
f (t)称为象原函数, F( )称为f (t)的象函数,
在一定条件下,它们是一一对应且变换可逆.
象原函数 Fourier逆变换 (方程的解)
象函数
解代数方程
微分,积分 Fourier变换 象函数的
方程
代数方程
第一节 Fourier积分
一.Fourier级数 二.非周期函数的Fourier展开 三.Fourier积分定理
则称函数满足Dirichlet条件. 注: 这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数.
第一类间断点和第二类间断点的区别: 第二类间断点
第一类间断点
不满足Dirichlet条件的例子:
f (t) tg t
存在第二类间断点； f (t) sin(1) t 在靠近 0 处存在无限多个极值点；
而在工程上所应用的函数, 尤其是物理量的变化 函数, 全部满足Dirichlet条件. 实际上不连续函数都是 严格上讲不存在的, 但经常用不连续函数来近似一些 函数, 使得思维简单一些.
a0 2
(an cos nt bn sin nt)
n1
(1.1)
为求出a0 ,计算[ fT ,1],即
T 2 T 2
fT (t) d t
T 2
a0
dt
2 T 2
(an
n1
T
2 T
cos
nt
d
t
bn
2
T
2 sin
T 2
nt d t)
a0 2
T
即
a0
2 T
T
2 T
fT (t) d t
一、Fourier,Jean Baptiste Joseph (傅立叶) 简介
法国数学家及物理学家。 1768年3月21 日生于欧塞尔， 1830年5月16日卒于巴黎。
最早使用定积分符号，改进符号法则及根数判别方 法。傅立叶级数（三角级数）创始人。
主要贡献 1、在研究热的传播时创立了一套数学理论。1807年 向巴黎科学院呈交《热的传播》论文， 推导出着名 的热传导方程 ，并在求解该方程时发现解函数可以 由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函 数都可以展成三角函数的无穷级数。
2 T
T
2 T
fT (t)cos nt dt
2
同理, 为求bn, 计算[fT(t), sin nt], 即
T
2 T
fT (t)sin nt d t
2
T 2
a0
sin nt d t
2 T 2
T
am
2 cos mt sin nt d t
T
m1
2
n
T
bm
2 sin mt sin nt d t
最常用的一种周期函数是三角函数
fT(t)=Asin(t+j) 其中 A 称为振幅，=2p/T 称为角频率，j 称为初相角
t
而Asin(t+j)又可以看作是两个周期函数sint和cost
的线性组合
Asin(t+j)=asint+bcost
人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可以用一 系列的三角函数的线性组合来逼近.
T
m1
2
bn
T 2 T 2
sin 2
nt dt
T
2 sinnt sinmt d t 0 (n, m 1, 2, 3, , n m), T 2
T
2 cos nt cos mt dt 0 (n,m 1, 2, 3, , n m), T 2
一. Fourier级数 1.Dirichlet条件
若函数在区间[-T/2,T/2]上满足: 1, 连续或只有有限个第一类间断点; 2, 只有有限个极值点