工程数学 积分变换(第四版)第1讲
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研究偏微分方程，比如求解热力学方程的解时， 把f(t)展开为三角级数最为关键。 概率与统计，量子力学等学科。
引言: 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和 随时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表单 位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复多 少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
fT (t)
a0 2
(an cos nt
n1
bn sin nt)
(1.1)
其中 2p , T
2 a0 T
T
2 T
fT (t)d t
2
an
2 T
T
2 T
fT (t)cos nt dt
(n
1,2,
2
)
2
bn T
T
2 T
fT (t)sin nt dt
2
(n 1,2,
)
fT (t)
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
预备知识:
T
T
2 cos nt d t 2 sinnt d t 0 (n 1, 2, 3, ),
T
T
2
2
T
2 sin2 nt d t
T 2
cos2
nt
d
t
T
(n 1, 2, 3,
),
T 2
T 2
2
T
2 sinnt cos mt dt 0 (n, m 1, 2, 3, ), T 2
2、1822 年在代表作《热的分析理论》中解决了热 在非均匀加热的 固体中分布传播问题，成为分析学 在物理中应用的最早例证之一，对19 世纪数学和理 论物理学的发展产生深远影响。傅立叶级数（即三 角级数）、傅立叶分析等理论 均由此创始。
二、Fourier 级数或变换的应用领域
信号分析，包括滤波、数据压缩、电力系统的监 控等；
2
为求an, 计算[fT(t), cosnt], 即
T
2 T
fT (t)cos nt dt
2
T 2
a0
cos nt dt
2 T 2
T
am
2 cos mt cos nt dt
T
m1
2
n
T
bm
2 sin mt cos nt dt
T
m1
2
an
T 2 T 2
cos2
nt
dt
an
T 2
即
an
Laplace变换
f (t)称为象原函数, F( )称为f (t)的象函数,
在一定条件下,它们是一一对应且变换可逆.
象原函数 Fourier逆变换 (方程的解)
象函数
解代数方程
微分,积分 Fourier变换 象函数的
方程
代数方程
第一节 Fourier积分
一.Fourier级数 二.非周期函数的Fourier展开 三.Fourier积分定理
一、Fourier,Jean Baptiste Joseph (傅立叶) 简介
法国数学家及物理学家。 1768年3月21 日生于欧塞尔， 1830年5月16日卒于巴黎。
最早使用定积分符号，改进符号法则及根数判别方 法。傅立叶级数（三角级数）创始人。
主要贡献 1、在研究热的传播时创立了一套数学理论。1807年 向巴黎科学院呈交《热的传播》论文， 推导出着名 的热传导方程 ，并在求解该方程时发现解函数可以 由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函 数都可以展成三角函数的无穷级数。
2. Fourier级数的三角形式.
说明: 1. 研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期 内的情况即可, 通常研究在闭区间[T/2,T/2]内 函数变化的情况.
2. 并非理论上的所有周期函数都可以用Fourier 级数逼近, 而是要满足狄利克雷(Dirichlet)条件.
任何满足Dirichlet条件的周期函数fT(t), 在连续点处 可表示为三角级数的形式如下:
T
2 sinnt sinmt d t 0 (n, m 1, 2, 3, , n m), T 2
T
2 cos nt cos mt dt 0 (n,m 1, 2, 3, , n m), T 2
一. Fourier级数 1.Dirichlet条件
若函数在区间[-T/2,T/2]上满足: 1, 连续或只有有限个第一类间断点; 2, 只有有限个极值点
2 T
T
2 T
fT (t)cos nt dt
2
同理, 为求bn, 计算[fT(t), sin nt], 即
T
2 T
fT (t)sin nt d t
2
T 2
a0
sin nt d t
2 T 2
T
am
2 cos mt sin nt d t
T
m1
2
n
T
bm
2 sin mt sin nt d t
最常用的一种周期函数是三角函数
fT(t)=Asin(t+j) 其中 A 称为振幅，=2p/T 称为角频率，j 称为初相角
t
而Asin(t+j)又可以看作是两个周期函数sint和cost
的线性组合
Asin(t+j)=asint+bcost
人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可以用一 系列的三角函数的线性组合来逼近.
a0 2
(an cos nt bn sin nt)
n1
(1.1)
为求出a0 ,计算[ fT ,1],即
T 2 T 2
fT (t) d t
T 2
a0
dt
2 T 2
(an
n1
T
2 T
cos
nt
d
t
bn
2
T
2 sin
T 2
nt d t)
பைடு நூலகம்
a0 2
T
即
a0
2 T
T
2 T
fT (t) d t
T
m1
2
bn
T 2 T 2
sin 2
nt dt
则称函数满足Dirichlet条件. 注: 这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数.
第一类间断点和第二类间断点的区别: 第二类间断点
第一类间断点
不满足Dirichlet条件的例子:
f (t) tg t
存在第二类间断点； f (t) sin(1) t 在靠近 0 处存在无限多个极值点；
而在工程上所应用的函数, 尤其是物理量的变化 函数, 全部满足Dirichlet条件. 实际上不连续函数都是 严格上讲不存在的, 但经常用不连续函数来近似一些 函数, 使得思维简单一些.
工程数学
积分变换
(第四版)
引言:
所谓积分变换,就是通过积分运算,把一个函数 变成另一个函数的变换.
b
F( ) a f (t)K (t, )dt.
其中,K (t, )是一个确定的二元函数,称为积分变换的核.
A中的函数f (t)
B中的函数F ( )
当K (t, ) e jt时
Fourier变换
当K(t,) est时
引言: 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和 随时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表单 位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复多 少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
fT (t)
a0 2
(an cos nt
n1
bn sin nt)
(1.1)
其中 2p , T
2 a0 T
T
2 T
fT (t)d t
2
an
2 T
T
2 T
fT (t)cos nt dt
(n
1,2,
2
)
2
bn T
T
2 T
fT (t)sin nt dt
2
(n 1,2,
)
fT (t)
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
预备知识:
T
T
2 cos nt d t 2 sinnt d t 0 (n 1, 2, 3, ),
T
T
2
2
T
2 sin2 nt d t
T 2
cos2
nt
d
t
T
(n 1, 2, 3,
),
T 2
T 2
2
T
2 sinnt cos mt dt 0 (n, m 1, 2, 3, ), T 2
2、1822 年在代表作《热的分析理论》中解决了热 在非均匀加热的 固体中分布传播问题，成为分析学 在物理中应用的最早例证之一，对19 世纪数学和理 论物理学的发展产生深远影响。傅立叶级数（即三 角级数）、傅立叶分析等理论 均由此创始。
二、Fourier 级数或变换的应用领域
信号分析，包括滤波、数据压缩、电力系统的监 控等；
2
为求an, 计算[fT(t), cosnt], 即
T
2 T
fT (t)cos nt dt
2
T 2
a0
cos nt dt
2 T 2
T
am
2 cos mt cos nt dt
T
m1
2
n
T
bm
2 sin mt cos nt dt
T
m1
2
an
T 2 T 2
cos2
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an
T 2
即
an
Laplace变换
f (t)称为象原函数, F( )称为f (t)的象函数,
在一定条件下,它们是一一对应且变换可逆.
象原函数 Fourier逆变换 (方程的解)
象函数
解代数方程
微分,积分 Fourier变换 象函数的
方程
代数方程
第一节 Fourier积分
一.Fourier级数 二.非周期函数的Fourier展开 三.Fourier积分定理
一、Fourier,Jean Baptiste Joseph (傅立叶) 简介
法国数学家及物理学家。 1768年3月21 日生于欧塞尔， 1830年5月16日卒于巴黎。
最早使用定积分符号，改进符号法则及根数判别方 法。傅立叶级数（三角级数）创始人。
主要贡献 1、在研究热的传播时创立了一套数学理论。1807年 向巴黎科学院呈交《热的传播》论文， 推导出着名 的热传导方程 ，并在求解该方程时发现解函数可以 由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函 数都可以展成三角函数的无穷级数。
2. Fourier级数的三角形式.
说明: 1. 研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期 内的情况即可, 通常研究在闭区间[T/2,T/2]内 函数变化的情况.
2. 并非理论上的所有周期函数都可以用Fourier 级数逼近, 而是要满足狄利克雷(Dirichlet)条件.
任何满足Dirichlet条件的周期函数fT(t), 在连续点处 可表示为三角级数的形式如下:
T
2 sinnt sinmt d t 0 (n, m 1, 2, 3, , n m), T 2
T
2 cos nt cos mt dt 0 (n,m 1, 2, 3, , n m), T 2
一. Fourier级数 1.Dirichlet条件
若函数在区间[-T/2,T/2]上满足: 1, 连续或只有有限个第一类间断点; 2, 只有有限个极值点
2 T
T
2 T
fT (t)cos nt dt
2
同理, 为求bn, 计算[fT(t), sin nt], 即
T
2 T
fT (t)sin nt d t
2
T 2
a0
sin nt d t
2 T 2
T
am
2 cos mt sin nt d t
T
m1
2
n
T
bm
2 sin mt sin nt d t
最常用的一种周期函数是三角函数
fT(t)=Asin(t+j) 其中 A 称为振幅，=2p/T 称为角频率，j 称为初相角
t
而Asin(t+j)又可以看作是两个周期函数sint和cost
的线性组合
Asin(t+j)=asint+bcost
人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可以用一 系列的三角函数的线性组合来逼近.
a0 2
(an cos nt bn sin nt)
n1
(1.1)
为求出a0 ,计算[ fT ,1],即
T 2 T 2
fT (t) d t
T 2
a0
dt
2 T 2
(an
n1
T
2 T
cos
nt
d
t
bn
2
T
2 sin
T 2
nt d t)
பைடு நூலகம்
a0 2
T
即
a0
2 T
T
2 T
fT (t) d t
T
m1
2
bn
T 2 T 2
sin 2
nt dt
则称函数满足Dirichlet条件. 注: 这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数.
第一类间断点和第二类间断点的区别: 第二类间断点
第一类间断点
不满足Dirichlet条件的例子:
f (t) tg t
存在第二类间断点； f (t) sin(1) t 在靠近 0 处存在无限多个极值点；
而在工程上所应用的函数, 尤其是物理量的变化 函数, 全部满足Dirichlet条件. 实际上不连续函数都是 严格上讲不存在的, 但经常用不连续函数来近似一些 函数, 使得思维简单一些.
工程数学
积分变换
(第四版)
引言:
所谓积分变换,就是通过积分运算,把一个函数 变成另一个函数的变换.
b
F( ) a f (t)K (t, )dt.
其中,K (t, )是一个确定的二元函数,称为积分变换的核.
A中的函数f (t)
B中的函数F ( )
当K (t, ) e jt时
Fourier变换
当K(t,) est时