理科数学参考答案

理科数学参考答案

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，

10【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示， 其中 ， ， ， 的最值一定在顶点处取到，所以

，

解得：

43

11．【解析】作出f （x ）的函数图像如图所示： 由[f （x ）]2

=a 可得f （x ）= ，∴ ＞1，即a ＞1． 不妨设x 1＜x 2，则2x 12

=2x e = ，

令 =t （t ＞1），则x 1=，x 2=lnt ， ∴x 1+x 2=lnt g （t ）=lnt ，则g′（t ）== - ， ∴当1＜t ＜8时，g′（t ）＞0，当t ＞8时，g′（t ）＜0， ∴当t=8时，g （t ）取得最大值g （8）=ln8﹣2=3ln2﹣2． 12．【解析】由题意知

， ,则

，k ，其中k = ，

，故 与 同为奇数或同为偶数.

在

上有且只有一个最大值，且要求 最大，则区间

包含的周期应该最多，所以

，得 ＜ ，即

，所以

当 时，

，

为偶数，

，此时

，当

或 或

时， 都成立，舍去； 当 时，

， 为奇数，

，此时

，

当且仅当

时，

成立。

二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.

13．

5

14.

15．6

16

15．6 过点P 作1l 的垂线为y 轴，以1l 为x 轴，建立平面直角坐标系，1l :y=0,

2:1l y =,P(0,-1),设()(),0,,1M a N b ，

所以()()(),1,,2,,3,PM a PN b PM PN a b ==+=+ 由

5PM PN +=，可知

()

2

925

a b ++=，4a b ∴+=或4a b +=-，2PM PN ab ⋅=+2

()264

a b +?

=

16

首先PM 的最小值就是P 到EF 的距离．

连接B 1D 1交EF 于G ，连接PG ，则EF ⊥平面B 1D 1DB ，故EF ⊥PG ，从而PM 的最小值PG ，可知G 为EF 的中点，D 1G 为D 1B 1的四分之一．其次，连接BD ，在线段BD 上取点H ，使BH=BN ，连接PH ，，则△D 1DB ≌△D 1C 1B ，从而PN=PH ．最后，连接GH 交BD 1于K ，则当P 为K 时，PM +PN 取得最小值，所求最小值为GH ．

∵正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，∴．

三、解答题:本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．解析：(1)由 得： 即

∵A 、B 、C 是△ABC 的内角，∴ 因此，

，又 ，故

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分

由

得：

∴

┄┄┄┄6分

(2)由 得：

由正弦定理得：

， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分

∴

在△BCD 中，

∴CD = 13． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分

18．解析：（1）如图，过点 作 于 ，连接， . 平面 平面 ， 平面 ， 平面 平面 于 ， 平面 又 平面 ， , 四边形 为平行四边形. , 平面 ， 平面 平面

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分

（2）连接 由（1）得 为 中点，又 ， 为等边三角形， 分别以 为 轴建立 如图所示的空间直角坐标系 .

则

， ，EF ，

设平面 的法向量为 . 由

，得 令 ，得 .

,

直线 与平面 所成角的正弦值为

.

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 12分

19．解析：(1)由题意知，从乙生产线生产的产品中随机抽取一次抽中三等品的概率为

1

10

， 所以2

2331917

(

)()101010250

P C =创+=

. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 5分

(2) 甲生产线生产的产品的利润分布列为

所以(E y 甲) ，

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分

乙生产线生产的产品的利润分布列为

所以(E y 乙） ，

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分

因为

，所以(E y 乙 ）-(E y 甲）

所以从长期来看，甲生产线生产的产品平均利润率较大． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分 20.解析：(1) 由题意，e ＝

2

c a =

，e 2＝＝，所以a ＝b ，c ＝b .

又＝，a >b ≥1，所以b ＝1，a 2

＝2，故椭圆C 的方程为2

212

y x +=┄┄┄4分 (2) 当AB ⊥x 轴时，以AB 为直径的圆的方程为22116

()39

x y -+=

当AB ⊥y 轴时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1. 可得两圆交点为Q (-1，0)．

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分

由此可知，若以AB 为直径的圆恒过定点，则该定点必为Q (-1，0)． 下证Q (-1，0)符合题意．

设直线l 的斜率存在，且不为0，则方程为y ＝1

()3

k x -，代入2212y x += 并整理得222221

(2)2039

k x k x k +-

+-=，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2

223(2)

k k +，x 1x 2＝22189(2)k k -+，

所以QA QB ·＝1212(1)(1)x x y y +++＝x 1x 2＋12x x ++1+21211

()()33

k x x -- ＝2

(1)k +x 1x 2＋21(1)3k - (x 1＋x 2)＋21

19

k + ＝(1＋k 2)22189(2)k k -++21(1)3k -2223(2)

k k ++2

119k +=0

故QA QB ^，即Q (-1，0)在以AB 为直径的圆上． 综上，以AB 为直径的圆恒过定点(-1，0)．

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分

21.解析：（1）

，

， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分