第12讲 均值不等式 拔高难度 讲义

均值不等式引入22.ab?b?2a?R,b?R,a、利用作差法证明：1 ＝(a－b)2≥0证明：∵a2＋b2－2ab ．＝”a2∴＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，取“ab. a＋＝b≥2(a)2，b＝，(b)2.据此证明：a>0b>0时，，2、当a>0b>0时，ab≥2ab. ∴aa＋＋－(b)2－b2)2≥0.a·b＝证明：∵a＋b－ab2＝((a)2解读1、等号成立条件对于任意实数，b，a，当且仅当时，等号成立．22ab?b2?aba?证明：，当时，；当时，．，当且仅当时，等号成立．2220)ba?=(ab?a??b2ba?2、基本2220)??2ab((baab?b?a?)?ba?b?a不等式a?b，是正数，那么如果ba，，当且仅当时，有等号成立．此结论又ba?ab≥2称均值不等式或基本不等式．a?b证明：，所以即，2220b?(b)(ab??ab2?a?()?a)?aa?≥2bbab≥23、均值不等式的理解a?b叫做，的算术平均值，叫做的几何（1）对于任意两个实数b，ba，b，aaab 2平均值．此定理可以叙述为：两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数．a?b的充要条件．也就是如果的理解应为是，则（2）对于ba?ba?”=“=ab2ba?．ab?2a?b）注意（3，后者是和成立的条件不同．前者是4、极值定理22abb2a??a?R，bab?2+Ra，b?（1）若（和为定值），则当时，取得最大值是；xyy?xsy??x42s?xyx?y证明：都2s是正数，yx，，有，当且仅当，2xy)??(y?xsy?x?xy?242时，取得最大值是；xy2s4（2）若（积为定值），则当时，取得最小值是；yx?pxy=p2y?x x?y都是正数，证明：yx，当且仅当时，等号成立．又，，??yxpx?yxy=xy?2．p2【注意】利用极值定理求最大值或最小值是应注意：①注意均值不等式的前提条件：函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行转化，再运用均值不等式；②求积最大值时，应看和是否是定值；求和最小值时，看是否为xyxyy?xyx?定值．③通过加减的方法配凑成使用算术平均数与几何平均数定理的形式；④注意“1”的代换；⑤等号是否成立: 只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否则不能由均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值．5、运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等．探究a?b的一种几何解释，请你补充完整．下面是基本不等式ab≥2ABOACaCBb⊙，如图所示，＝为＝，的直径，CCDABODAD⊙⊥，上半圆于点连接作交，过点BD.CD OD ，由射影定理可知，＝＝，而a?b CD OD ，所以因为, ab_____2CO ,等号成立．与时当且仅当，即a?ba?b OD?CD，OD．＝答案：，ab=CD，当且仅当点C与圆心O ab≥22重合，即时，等号成立．b?a典例精讲一．选择题（共15小题）2+3xy﹣2=0，则2x+y的最小值是，且?周口期末）已知x＞0，y＞0x1．（2017秋（）．CBA．．．D【分析】由x代入2x+y化简之后利用基本不等式可求出2得+3xy﹣2=02x+y的最小值．【解答】解：由x，所以，，22x﹣﹣2=0，得3xy=2+3xy，由基本不等式可得当且仅当时，等号成立，＞，即当因此，2x+y的最小值为，故选：C．2．（2018春?齐齐哈尔期末）若等边△ABC的边长为3，N为AB的中点，且AB 取得最小值时，上一点M满足：＞＞，，则当）（D．6 C．B．A．【分析】根据N为AB的中点，且AB上一点M满足M，A，B三点共线：＞＞，与基本不等式的”“+y=1，利用乘1法x，可知，性质求解xy．的值，即可求满足：AB上一点M【解答】解：由题意：N为AB的中点，且＞＞，y=1，，可知x+时（）（x+y）=10+，y=，则x=，当且仅当=16取等号．由＞，＞，，则AM=3，MB=1．，CM=1，则CM=CN=N为AB的中点，正△ABC，那么的边长为3．=NCM=cos∠．则NCM=∠|?cos=|CN|×|CM故选：C．）（的最小值为则x+y=1，3．（2018春?重庆期末）已知正数x，y满足D．B．2 C．A．然后利用基本不等式计算14y+）=5，【分析】由x+y=1得4x+（=的最小值．的最小值，即可得到4y+1=5，∵x+y=1，∴4x+【解答】解：所以，==，，所以，时，等号成立，当且仅当，即当因此，的最小值为，．C故选：4．（2018春?柯桥区期末）已知正实数x，y满足x+y+3=xy，若对任意满足条件的正实数x，y都有不等式（x+y）﹣a（x+y）+1≥0恒成立，则实数a的取2值范围为（）]B．（﹣∞A．（﹣∞，]，，++∞）∞），D．（﹣∞，﹣C．]∪[[≤6，由题意可得axy≤，由二次不等式的解法可得x+y≥【分析】运用的最小值，运用对勾函数的单调性，可得最小值，进而得到所y）+（x+求范围．，3=xy≤【解答】解：x+y+可得（x+y）﹣4（x+y）﹣12≥0，2由x＞0，y＞0，解得x+y≥6，对任意满足条件的正实数x，y都有不等式（x+y）﹣a（x+y）+1≥0恒成立，2+的最小值，+y）可得a≤（x+的最小值为，t≥6递增，可得t+可令t=x+y，则t在≤，则aB．故选：）的是（张家界期末）下列函数中，最小值为5．（2018春?2x y=2．+ B．Ay=lgx+＜＜）（0+．Dy=．Cy=sinx【分析】A项中lgx不能保证＞0；B项运用基本不等式可得答案；C项中等号不成立；D项中无解．sinx=，不满足正数条件；lgx∈R【解答】解：A中x运用基本不等式可知成立；＞0B选项中2无解不满足三能等条件，不对；=中C无解．sinx=D中故选：B．），（，0，1），则，6．（2018春?石家庄期末）设a，bc∈（A．都不大于2 B．都不小于2D．至少有一个不大于2．至少有一个大于2C【分析】先利用基本不等式判断（）+（）+（）＞6，再用反证法证明，，中至少有一个大于2．【解答】解：a，b，c∈（0，1），2≥c+）（=a+）+（b+）+（）则（）+（+（）=6，++22当且仅当a=b=c=1时取“=”；）+（）+（）＞6，∴（假设，，都不大于2，则（）+（）+（）≤6，这与（）+（）+（）＞6矛盾，，，中至少有一个大于2．∴假设不成立，即．D故选：则b），lga+lgb=lg（a+7．（2018春?沙坪坝区校级期末）若正数a，b满足：）的最小值为（1．．4DA．16B．9C【分析】由对数运算得到ab=a+b，通过因式分解得到（a﹣1）（b﹣1）=1，再利用基本不等式即可求出的最小值．【解答】解：由lga+lgb=lg（a+b），可得lg（ab）=lg（a+b），所以，ab=a+b，则ab﹣a﹣b+1=1，即a（b﹣1）﹣（b﹣1）=1，所以，（a﹣1）（b﹣1）=1，由基本不等式可得，时，等号成立，，即当当且仅当的最小值为因此，4，故选：C．的则，+b=1，c+d=1，2018秋?越城区校级月考）已知实数a，b，cd满足a8．（）最小值是（．9．43DC．A．10B【分析】利用基本不等式求得的最小值．再利用基本不等式求得，≥4【解答】解：∵a+b=1，c+d=1，∴ab≤，∴时，a=b=，当且仅当≥=4取等号．+）则=5=92+，≥+5+）（≥4+=c+d?（当且仅当a=b=时，且c=，d=时，的最小值为9，．B故选：的最小值y=且x+y=1，函数?城关区校级期末）设x＞0，y＞09．（2018春为（）D8．A．10B．9C．【分析】将代数式x+y与代数式相乘，展开，然后利用基本不等式可求出答案．【解答】解：∵x＞0，y＞0且x+y=1，所以，，当且仅当，即当时，等号成立，因此，函数y=的最小值为9，故选：B．10．（2018春?金安区校级期末）下列说法正确的是（）的最小值为2 A．的最小值为4，x∈（0，π）B．2+1的最小值为2x C．xD．4x（1﹣x）的最大值为1【分析】利用基本不等式或函数的基本性质来得出各代数式的最值，利用基本不等式时需注意“一正、二定、三相等”这三个条件要满足．＜，A选项不符合题意！【解答】解：对于A选项，当x＜0时，对于B选项，当x∈（0，π）时，0＜sinx≤1，由基本不等式可得，即当sinx=2时，等号成立，这与0，当且仅当矛盾！1≤sinx＜对于C选项，∵x222+1的最小值为1，所以，xC选项不合乎题意！≥0，x，+1≥1对于D选项，由基本不等式可得，当且仅当x=1﹣x时，即当x=时，等号成立，D选项正确！故选：D．中最22b+，a，＞1则a+b2ab，2（11．2018春?平罗县校级期末）若a＞1，b大的一个是（）22+D．abB．2abC．2A．a+b【分析】利用基本不等式与重要不等式的性质、作差法即可得出．【解答】解：∵a＞1，b＞1，22≥2ab，+bb≥2，a ∴a+又（a）﹣（a+b）=﹣﹣22=0++b，＞22＞a+b+b，∴a因此：a+b，2ab，2，a中最大的一个是：a，2222b++b 故选：D．的解集为（）萍乡期末）不等式春?12．（2018B．（]A．[0，1 0，1]D．（﹣，]（﹣C．∞，0∪[1+∞）∞，0）∪[1，+∞）【分析】根据题意，原不等式可以转化为（1﹣x）x≥0且x≠0，解可得x的取值范围，即可得答案．解：根据题意，【解答】，0≠x且0≥x）x﹣1（?，1x＜0解可得：≤，]1，0即不等式的解集为（．故选：B．＜恒成立，则实数a的取值范怀化期末）若不等式13．（2017秋?围是（），，C．，．D A．（0，1B ．）【分析】不等式恒成立化为x﹣2ax＞﹣（3x+a）恒成立，即△＜0，从而求出a22的取值范围．＜恒成立，【解答】解：不等式即恒成立，＜即x﹣2ax＞﹣（3x+a）恒成立，22即x﹣（2a﹣3）x+a22＞0恒成立，﹣4a22＜02a﹣3），∴△=（即（2a﹣3+2a）（2a﹣3﹣2a）＜0，解得a＞；，+∞）．的取值范围是（∴实数a故选：B．14．（2018春?道里区校级期末）若a＞0，b＞0，ab=a+b+1，则a+2b的最小值为（）D．73C．3+A．3+3B．3﹣【分析】由ab=a+b+1得，代入a+2b得，然后利用基本不等式可求出该代数式的最小值．【解答】解：由ab=a+b+1，可得a（b﹣1）=b+1，得，由于a＞0，b＞0，，1＞b则．所以，=，时，即当b=2时，等号成立，因此，a+2b的最小值为当且仅当＞7，故选：D．）的最大值为（则．a+b=2a，b∈R，15+．（2018春?台州期末）已知2．D．A．1 B．C﹣1=2，令化简配方可得t=ab﹣1=a（﹣a）﹣【分析】=+，再由基t=≥4），即（，令（a﹣1）4﹣2t=ss2=≤0，则本不等式计算可得最大值．【解答】解：a，b∈R，a+b=2．则+=，===令t=ab﹣1=a（2﹣a）﹣1=﹣（a﹣1）2≤0，则，=令4﹣2t=s（s≥4），即t=，可得，==+由s，=8≥2当且仅当s=4，t=2﹣2 时上式取得等号，，可得=≤则的最大值为，+故选：C．二．填空题（共5小题）16．（2018春?定州市校级期末）已知实数x，y满足3x﹣y≤ln（x+2y﹣3）+ln（2x﹣3y+5），则x+y=．【分析】构造函数f（t）=lnt﹣t+1，求得导数和单调性，可得最值，再由条件可得等号成立的条件，解方程可得x，y，进而得到所求和．【解答】解：由f（t）=lnt﹣t+1的导数为：﹣1=，=f′（t）当t＞1时，f′（t）＜0，f（t）递减，当0＜t＜1时，f′（t）＞0，f（t）递增，可得f（t）的最大值为f（1）=0，即有lnt≤t﹣1，则ln（x+2y﹣3）+ln（2x﹣3y+5）≤x+2y﹣3﹣1+2x﹣3y+5﹣1=3x﹣y，当且仅当x+2y﹣3=2x﹣3y+5=1时，取得等号，则x=，y=，可得x+y=，故答案为：．的，则xy=4y+++∞），x春?南京期中）若x，y∈（0，201817．（取值范围是（，]．+由基本不等式可得x【分析】2+xy，可得（）﹣4≤y+xy≥20，+可得0＜xy≤2，即有1＜xy+1≤3，化简所求式子，运用对勾函数的单调性，可得所求范围．【解答】解：x，y∈（0，+∞），x+y+xy=4，+x可得+xy，2xy≥y+可得（）2﹣4≤+0，﹣2≤≤，可得0＜xy≤2，即有1＜xy+1≤3，则=，=t=xy+1，可令递减，可得]1）+在（1，3由（xy++=t+，，17）（xy+1）[∈，的取值范围是（则]，，（故答案为：]．的取值范2222yxy满足x+y=2x，则，东湖区校级期末）已知实数秋（18．2016?x围是[0，]．【分析】由x﹣x，构造函数f（x）42223222=2x≥0?0≤x≤2，x+yy=2x，得y=2x﹣x ﹣x（0≤x≤2），利用导数法可求得函数的单调区间与极值，从而可求其43=2x 值域．【解答】解：由x2222≥0x，，得y =2x+y﹣=2x（2x﹣x）=2x﹣x．422223=xy2，x ∴0≤x≤设f（x）=2x﹣x（0≤x≤2），43则f′（x）=6x﹣4x（3﹣2x），232=2x当0＜x＜时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，）上单调递增；当，2）上单调递减，）在（xf（f′（x）＜0，函数＜x＜2时，时，函数取得极大值，也是最大值，f（）=，x=∴当当x=0、x=2时，f（x）=0，]，0，函数f（x）的值域为[∴．0≤x即22≤y，[0故答案为：]．19．（2014?监利县校级模拟）若实数a，b，c，d满足ab=2，c+2d=0，则（a﹣c）的最小值为．22）+（b﹣d相切与曲线﹣的图象，设直线y=2x+ty=【分析】分别画出函数，y=﹣2x于第一象限内的点P（m，n），则点P到直线y=﹣2x的距离即为所求．2x的图象，﹣解：分别画出函数y=，y=【解答】n），相切于第一象限内的点P（m，ty=设直线﹣2x+与曲线∴，n=m=1，∴，解得=2∵．．）2，1切点为（∴．．d= 由点到直线的距离公式可得=的最小值为，化为．22）﹣db∴（a﹣c）+（故答案为：．的部分图象如图所示，）（x，6]上的偶函数，f﹣20．已知函数f（x）是定义在[6 ．x ＜3}0﹣6＜x＜﹣3或＜＞则不等式xf（x）0的解集为{x|分别求出不等式的解．＜0，0结合函数的性质，函数的图象，对x＞和x【分析】＜3，＞0，可得0＜xx【解答】解：当x＞0时，不等式xf（）]上的偶函数，[﹣6，6）是定义在因为函数f（x3 ﹣6＜x＜x＜0时，不等式xf（）＞0，解得﹣所以x }＜0x＜3﹣6{＞）0的解集为x|﹣＜x＜3或xxf不等式（＜3}x03＜＜﹣x故答案为：{|6x﹣或＜小题）3三．解答题（共．的最小值．，求1a＞1，b+＞21．（2018?南通一模）已知即可得出＞1＞1，b【分析】根据a，的最小值．，两式相加便可求出；b＞1a【解答】解：∵＞1，；1＞0∴a﹣1＞0，b﹣，；∴两式相加：；；∴当且仅当，且时成立；“=”8取得最小值．即a=b=2时，的≥2|，m∈R，且f（x+2）0|2018?22．（德阳模拟）已知函数f（x）=m﹣x﹣解集为[﹣1，1]．（1）求m的值；，且+∞）∈b，c（0，（2）若a，9．3ca+2b+≥++=m，证明：【分析】（1）运用绝对值的解法，即可得到所求值；（2）运用乘1法和基本不等式，即可得到证明．【解答】解：（1）函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]，可得m﹣|x|≥0的解集为[﹣1，1]，即有[﹣m，m}={﹣1，1]，可得m=1；（2）证明：a，b，c∈（0，+∞），且++=1，则a+2b+3c=（a+2b+3c）（）++）+（）+（）=3++++（++≥3+222=3+2+2+2=9，当且仅当a=2b=3c=3，取得等号．23．（2018?杨浦区一模）如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？；由，表示出面积y，则长为L﹣3x【分析】（1）由题意设长方形场地的宽为x 0，可得函数的定义域；﹣3x＞lx＞0，且2）对其运用基本不等式求出函数的最值即场地的面积最大值，从而求解．（，y）设场地面积为，垂直于墙的边长为x 【解答】解：（1 ；﹣3x）它的面积y=x（l，00，可得函数的定义域为（，且l ﹣3x＞由x＞0 ；l）））=，（2）y=xl﹣3x（2=3x）≤×（（×3x1﹣时，这块长方形场地的面积最大，当x=．l ﹣3x=这时的长为，最大面积为l归纳总结1、，则（1）若abab2Ra,b?22??22ba?b?a ）（2）若，则（当且仅当时取“=”R?a,b?ab2、2ba?）若1（*Ra,?b，则ab?2）若（2*ba?ab?2a?bRb?a,时取“（当且仅当=，则”）2b?a??）若（3*b?a ，则时取“( 当且仅当=”）R?a,b?ab??2??11x?x?0”时取“= 3、若(当且仅当，则）2x??x10x?，则若1??x”当且仅当时取“= ）(2??x?x1110x?，则若b?a ）时取“= (当且仅当”-2?x?即?2x???2或x xxxba b?0aab?）(4.若当且仅当时取“=，则”2??ab ababab0ab?，则若22-2a?b时取“(当且仅当=）”?即???或??bababa22bba?a?a?b时取“=”）（当且仅当，则5.若R?ba,2)(?22注意：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用。