第12讲 均值不等式 拔高难度 讲义

均值不等式引入22.ab?b?2a?R,b?R,a、利用作差法证明：1 ＝(a－b)2≥0证明：∵a2＋b2－2ab ．＝”a2∴＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，取“ab. a＋＝b≥2(a)2，b＝，(b)2.据此证明：a>0b>0时，，2、当a>0b>0时，ab≥2ab. ∴aa＋＋－(b)2－b2)2≥0.a·b＝证明：∵a＋b－ab2＝((a)2解读

1、等号成立条件

对于任意实数，b，a，当且仅当时，等号成立．22ab?b2?aba?证明：，当时，；当时，

．，当且仅当时，等号成立．2220)ba?=(ab?a??b2ba?2、基本2220)??2ab((baab?b?a?)?ba?b?a

不等式

a?b，是正数，那么如果ba，，当且仅当时，有等号成立．此结论又ba?ab≥

2称均值不等式或基本不等式．

a?b证明：，所以即，2220b?(b)(ab??ab2?a?()?a)?aa?≥2bbab≥2

3、均值不等式的理解

a?b叫做，的算术平均值，叫做的几何（1）对于任意两个实数b，ba，b，aaab 2平均值．此定理可以叙述为：两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数．

a?b的充要条件．也就是如果的理解应为是，则（2）对于ba?ba?”=“=ab

2ba?．ab?2a?b）注意（3，后者是和成立的条件不同．前者是

4、极值定理

22abb2a??a?R，bab?2+Ra，b?

（1）若（和为定值），则当时，取得最大值是；xyy?xsy??x42s?xyx?y证明：都2s

是正数，yx，，有，当且仅当，2xy)??(y?xsy?x?xy?242

时，取得最大值是；xy

2s

4（2）若（积为定值），则当时，取得最小值是；yx?pxy=p2y?x x?y都是正数，证明：yx，当且仅当时，等号成立．又，，??yxpx?yxy=xy?2

．p2【注意】利用极

值定理求最大值或最小值是应注意：

①注意均值不等式的前提条件：函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行转化，再运用均值不等式；

②求积最大值时，应看和是否是定值；求和最小值时，看是否为xyxyy?xyx?定值．

③通过加减的方法配凑成使用算术平均数与几何平均数定理的形式；

④注意“1”的代换；

⑤等号是否成立: 只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否则不能由均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值．

5、运用均值不等式的前提有口诀：

一正二定三相等．

探究

a?b的一种几何解释，请你补充完整．下面是基本不等式ab≥

2ABOACaCBb⊙，如图所示，＝为＝，的直径，

CCDABODAD⊙⊥，上半圆于点连接作交，过点BD.CD OD ，由射影定理可知，＝＝，而a?b CD OD ，所以因为, ab_____2

CO ,等号成立．与时当且仅当，即a?ba?b OD?CD，OD．＝答案：，ab=CD，当且仅当点C与圆心O ab≥22重合，即时，等号成立．b?a

典例精讲

一．选择题（共15小题）

2+3xy﹣2=0，则2x+y的最小值是，且?周口期末）已知x＞0，y＞0x1．（2017秋（）

．CBA．．．D

【分析】由x代入2x+y化简之后利用基本不等式可求出2得+3xy﹣2=0

2x+y的最小值．

【解答】解：由x，所以，，22x﹣﹣2=0，得3xy=2+3xy

，由基本不等式可得

当且仅当时，等号成立，＞，即当

因此，2x+y的最小值为，

故选：C．

2．（2018春?齐齐哈尔期末）若等边△ABC的边长为3，N为AB的中点，且AB 取得最小值时，上一点M满足：＞＞，，则当

）（

D．6 C．B．A．

【分析】根据N为AB的中点，且AB上一点M满足M，A，B三点共线：＞＞，与基本不等式的”“+y=1，利用乘1法x，可知，性质求解xy．的值，即可求

满足：AB上一点M【解答】解：由题意：N为AB的中点，且

＞＞，y=1，，可知x+

时（）（x+y）=10+，y=，则x=，当且仅当=16

取等号．

由＞，＞，，则AM=3，MB=1．，CM=1，则CM=CN=N为AB的中点，正△ABC，那么的边长为3

．=NCM=cos∠

．则NCM=∠|?cos=|CN|×|CM

故选：C．

）（的最小值为则x+y=1，3．（2018春?重庆期末）已知正数x，y满足

D．B．2 C．A．

然后利用基本不等式计算14y+）=5，【分析】由x+y=1得4x+（=

的最小值．的最小值，即可得到

4y+1=5，∵x+y=1，∴4x+【解答】解：所以，==

，，所以，

时，等号成立，当且仅当，即当

因此，的最小值为，

．C故选：

4．（2018春?柯桥区期末）已知正实数x，y满足x+y+3=xy，若对任意满足条件的正实数x，y都有不等式（x+y）﹣a（x+y）+1≥0恒成立，则实数a的取2值范围为（）

]B．（﹣∞A．（﹣∞，]，

，++∞）∞），D．（﹣∞，﹣C．]∪[[≤6，由题意可得axy≤，由二次不等式的解法可得x+y≥【分析】运用的最小值，运用对勾函数的单调性，可得最小值，进而得到所y）+（x+

求范围．

，3=xy≤【解答】解：x+y+

可得（x+y）﹣4（x+y）﹣12≥0，2由x＞0，y＞0，解得x+y≥6，

对任意满足条件的正实数x，y都有

不等式（x+y）﹣a（x+y）+1≥0恒成立，2+的最小值，+y）可得a≤（x