1-1信号的描述、分类和典型信号10汇总
1信号及其描述
T
0
x(t )dt
0
x(t ) dt
1 T R12 ( ) x1 (t ) x2 (t )dt T 0
1 T 2 x (t )dt T 0
1.2.2 周期信号的频谱
(1) 傅里叶级数的三角函数展开式
x(t ) a0 (an cos n0t bn sin n0t )
32
4) 时间尺度改变性质
x(t ) X ( f )
在信号x(t) 幅值不变的条件下，有： f 1 x(kt) X ( ) (k 0) k k 即时域时间压缩 k倍，则频域的扩展和幅值的降 低均为k倍。 证明：当信号x(t) 的时间尺度变为 kt 时，有：
x(t )e
j2 πft
周期方波前4个谐波成分的叠加
周期方波的时、频域描述及其关系
(2) 傅里叶级数的复指数展开式 欧拉公式：
e
jn0t
cos nt jsin nt
1 jn0t j0t cos n0 t (e e ) 2 j -jn0 t jn0 t sin n0 t (e e ) 2
XI( f ) ( f ) arctan XR( f )
2
周期信号与瞬变信号幅值谱的区别： • 周期信号幅值谱 | cn| 的量纲即为信号幅值的量 纲；瞬变信号幅值谱|X(f)| 为信号在单位频宽上 的幅值。所以 |X(f)| 是频谱密度函数，工程测试 中仍称为频谱。 • |cn|是离散的，|X(f)|是连续的。
1 信号的描述
1.1 信号的分类
1.1.1 从随时间变化规律的角度分类
周期 确定性信号 非周期 简谐 复杂周期 准周期 瞬变 各态历经 非各态历经
信号及其描述
分条件是x（t）在区间(-∞, ∞)上绝对
可积，即
x(t ) dt
但上述条件并非必要条件。因为当引 入广义函数概念之后，许多原本不满足绝 对可积条件的函数也能进行傅里叶变换。
• 小结： –从式（1－29）可知，一个非周期函数可分解成频率f 连续变化的谐波的叠加。式中X(f)df的是谐波ej2πf的 系数，决定着信号的振幅和相位。 –X(f)或X(ω)为x(t)的连续频谱。 –由于X(f)一般为实变量f的复函数，故可将其写为
这就是傅里叶级数的复指数展开形式。
求傅里叶级数的复系数Cn
Cn
1 T0
T0 / 2
x( t )cos n0tdt
T0 / 2
j
T0 / 2 T0 / 2
x(
t
)
sin
n0tdt
1
T0 / 2 x( t )e jn0t dt
T T0 / 2 0
n 0,1,2,
x( t ) d x( t )e jtdt e jt
2
1
x(
t
)e
jt
dt
e
jt
d
2
（1－25）
将上式中括号中的积分记为X(ω),则有
1
X( )
x( t )e jt dt
（1－26）
确定性信号又分为周期信号和非周期信号。 • 周期信号：
定义：满足下面关系式的信号： x(t)=x(t+nT0)
式中，T0——周期。
• 非周期信号：
–定义：不具有周期重复性的确定性信号。 –非周期信号又可分成准周期信号和瞬态信号两类。
信号及其分类
为什么要对信号进行频域描述？
信号的时域与频域描述是否包含同样的信息量？
1.时域描述：以时间为独立变量 ，反映信号
幅值—时间变化的关系
不能提示信号的频率组成
2.频域描述：信号的频率组成及其幅值相角之
大小
揭示：幅值——频率， 相位——频率
幅频谱
相频谱
例：周期方波
x(t) x(t nT0 )
x(t) A 0 t T0
2 T0
x(t)
sin
nw0tdt
2
n=1,2,3…..
w0
2
T0
合并同类项： x(t) a0 An sin(nw0t n )
An
a
2 n
bn2
n1
tg n
an bn
即：
n
arctg
an bn
也可写成： x(t) a0 An cos(nw0t n ) n1
T0
T0 t 0 2
x(t) A 2A t T0
o t T0 2
解：a0
1 T0
T0
2
2 T0
2
x(t)dt
T0
T0
2A
A
2 (A t)dt
0
T0
2
an
2 T0
T0
2 T0 2
x(t) cosnw0tdt
4 T0
T0 2 0
(
A
2 At ) T0
例1－2：画出余弦、正弦函数的实、虚部频谱图
解：
cosw0t
信号的描述与分类
X
4．抽样信号(Sampling Signal)
sin t Sa( t ) t
1
Sat
性质
2
① Sa t Sat ，偶函数 ② t 0 , Sa( t ) 1，即limSa( t ) 1 t 0 ③ Sa( t ) 0, t n ，n 1,2,3 sin t sin t ④ dt , dt 0 t 2 t ⑤ lim Sa( t ) 0 t ⑥ sinc( t ) sin t / t
• 信号
信号的描述与分类
X
主要内容
信号的描述 信号的分类 典型确定性信号介绍 重点：典型确定性信号的描述
难点：复指数信号，抽样信号
X
一．信号的描述
•公式法（函数法/闭式-closed form）： 借助数学表达式描述信号随时间的变化。
例如sin t te-2t
•图形法（波形法）： 借助图形表达信号 随时间的变化。
f(t)
0 f(n)
t
0 12
n
X
4．模拟信号，抽样信号，数字信号
•模拟信号：时间和幅值均为连续 的信号。 抽
样
f t
•抽样信号：时间是离散的，幅值 是连续的信号。 量
化
O
t
f n
•数字信号：时间和幅值均为离散 的信号。
n
f n
主要讨论确定性信号 先连续，后离散；先周期，后非周期
5.钟形脉冲函数(高斯函数)
X
1．指数信号
f (t ) Ke t l 0直流(常数),
0
K
0
f t
0 0
t
l 0 , l 0 单边指数信号 0 f t t e
信号的描述和分类
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上述离散信号可简画为 用表达式可写为 1 ,
f(k)
2,
2
பைடு நூலகம்
2
1
1
1 .5,
f (k )
2,
-1 o 1 2 3 4 k
0,
1，
-1 .5
或写为
0，
k 1 k0 k 1 k2 k3 k4 其他 k
f(k)= {…，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，…}
↑
k=0
例3 离散周期信号示例2
由上面几例可看出： ①连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是 周期序列。 ②两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序 列之和一定是周期序列。
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4．能量信号与功率信号
将信号f (t)施加于1Ω电阻上，它所消耗的瞬
时功率为| f (t) |2，在区间(–∞ , ∞)的能量和平
能量信号与功率信号将信号ft施加于1电阻上它所消耗的瞬时功率的能量和平均功率定义为1信号的能量edef2信号的功率p若信号ft的能量有界即e则称其为能量有限信号简称能量信号
§1.2 信号的描述和分类
信号的描述 信号的分类 几种典型确定性信号
■
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一、信号的描述
信号是信息的一种物理体现。它一般是随时间或 位置变化的物理量。 信号按物理属性分：电信号和非电信号。它们 可以相互转换。
均（功1）率信定号义的为能量E
def
E
f (t) 2 dt
（2）信号的功率P
def
Pl
i
m1
TT
T
2 T
f(t)2dt
2
信号与系统复习知识总结
重难点1.信号的概念与分类 按所具有的时间特性划分：确定信号和随机信号； 连续信号和离散信号； 周期信号和非周期信号； 能量信号与功率信号； 因果信号与反因果信号；正弦信号是最常用的周期信号,正弦信号组合后在任一对频率或周期的比值是有理分数时才是周期的;其周期为各个周期的最小公倍数;① 连续正弦信号一定是周期信号;② 两连续周期信号之和不一定是周期信号;周期信号是功率信号;除了具有无限能量及无限功率的信号外,时限的或,∞→t 0)(=t f 的非周期信号就是能量信号,当∞→t ,0)(≠t f 的非周期信号是功率信号;1. 典型信号① 指数信号： ()at f t Ke =,a ∈R ② 正弦信号： ()sin()f t K t ωθ=+ ③ 复指数信号： ()st f t Ke =,s j σω=+ ④ 抽样信号： sin ()tSa t t= 奇异信号（1） 单位阶跃信号1()u t ={ 0t =是()u t 的跳变点;（2） 单位冲激信号单位冲激信号的性质：1取样性 11()()(0)()()()f t t dt f t t f t dt f t δδ∞∞-∞-∞=-=⎰⎰()0t δ=当0t ≠时相乘性质：()()(0)()f t t f t δδ= 2是偶函数 ()()t t δδ=- 3比例性 ()1()at t aδδ=4微积分性质 d ()()d u t t tδ= ； ()d ()t u t δττ-∞=⎰5冲激偶 ()()(0)()(0)()f t t f t f t δδδ'''=- ； ()()d (0)f t t t f δ∞-∞''=-⎰ ()d ()tt t t δδ-∞'=⎰ ；带跳变点的分段信号的导数,必含有冲激函数,其跳变幅度就是冲激函数的强度;正跳变对应着正冲激；负跳变对应着负冲激;重难点2.信号的时域运算 ① 移位： 0()f t t +, 0t 为常数当0t >0时,0()f t t +相当于()f t 波形在t 轴上左移0t ；当0t <0时, 0()f t t +相当于()f t 波形在t 轴上右移0t ;② 反褶： ()f t - ()f t -的波形相当于将()f t 以t =0为轴反褶; ③ 尺度变换： ()f at ,a 为常数当a >1时,()f at 的波形时将()f t 的波形在时间轴上压缩为原来的1a； 当0<a <1时,()f at 的波形在时间轴上扩展为原来的1a; ④ 微分运算： ()df t dt信号经微分运算后会突出其变化部分; 2. 系统的分类根据其数学模型的差异,可将系统划分为不同的类型：连续时间系统与离散时间系统；线性系统与非线性系统；时变系统与时不变系统； 重难点3.系统的特性（1） 线性性若同时满足叠加性与均匀性,则称满足线性性;当激励为1122()()C f t C f t +1C 、2C 分别为常数时,系统的响应为1122()()C y t C y t +;线性系统具有分解特性：)()()(t y t y t y zs zi +=零输入响应是初始值的线性函数,零状态响应是输入信号的线性函数,但全响应既不是输入信号也不是初始值的线性函数;（2） 时不变性 :对于时不变系统,当激励为0()f t t -时,响应为0()f t t -; （3） 因果性线性非时变系统具有微分特性、积分特性; 重难点4.系统的全响应可按三种方式分解：各响应分量的关系：重难点5.系统的零输入响应就是解齐次方程,形式由特征根确定,待定系数由-0初始状态确定;零输入响应必然是自由响应的一部分;重难点6.任意信号可分解为无穷多个冲激函数的连续和：那么系统的的零状态响应为激励信号与单位冲激响应的卷积积分,即)()()(t h t f t y zs *=;零状态响应可分解为自由响应和强迫响应两部分;重难点7.单位冲激响应的求解;冲激响应)(t h 是冲激信号作用系统的零状态响应; 重难点8.卷积积分（1） 定义 ττττττd f t f d t f f t f t f )()()()()(*)(212121-=-=⎰⎰∞∞-∞∞-（2） 卷积代数① 交换律 )(*)()(*)((1221t f t f t f t f =② 分配率 )(*)()(*)()]()([*)(3121321t f t f t f t f t f t f t f +=+ ③ 结合律 )](*)([*)()(*)](*)([321321t f t f t f t f t f t f = 重难点9.卷积的图解法 求某一时刻卷积值 卷积过程可分解为四步：1换元： t 换为τ→得 f 1τ, f 2τ2反转平移：由f 2τ反转→ f 2–τ 右移t → f 2t-τ 3乘积： f 1τ f 2t-τ4积分： τ从 –∞到∞对乘积项积分; 3性质1ft δt=δtft = ft )()(*)(00t t f t t t f -=-δ)()(*)(2121t t t f t t t t f --=--δ 210,,t t t 为常数2ft δ’t = f’t 3ftut ()()d ()d tf u t f τττττ∞-∞-∞=-=⎰⎰ut ut = tut4[]121221d ()d ()d ()*()*()()*d d d n n nn n nf t f t f t f t f t f t t t t ==5121212[()*()]d [()d ]*()()*[()d ]t t tf f f f t f t f τττττττ-∞-∞-∞==⎰⎰⎰6 f 1t –t 1 f 2t –t 2 = f 1t –t 1 –t 2 f 2t = f 1t f 2t –t 1 –t 2 = f t –t 1 –t 27 两个因果信号的卷积,其积分限是从0到t ; 8系统全响应的求解方法过程归纳如下：a.根据系统建立微分方程；b.由特征根求系统的零输入响应)(t y zi ；c.求冲激响应)(t h ；d.求系统的零状态响应)()()(t h t f t y zs *=；e.求系统的全响应)()()(t y t y t y zs zi +=;重难点10.周期信号的傅里叶级数任一满足狄利克雷条件的周期信号()f t 1T 为其周期可展开为傅里叶级数; 1三角函数形式的傅里叶级数0111()[cos()sin()]n n n f t a a n t b n t ωω∞==++∑ 式中112T πω=,n 为正整数;直流分量010011()t T t a f t dt T +=⎰ 余弦分量的幅度01112()cos()t T n t a f t n t dt T ω+=⎰ 正弦分量的幅度01112()sin()t T n t b f t n t dt T ω+=⎰三角函数形式的傅里叶级数的另一种形式为011()cos()n n n f t a A n t ωϕ∞==++∑2指数形式的傅里叶级数 1()jn tnn f t F eω∞=-∞=∑ 式中,n 为从-∞到+∞的整数;复数频谱011011()t T jn t n t F f t e dt T ω+-=⎰利用周期信号的对称性可以简化傅里叶级数中系数的计算;从而可知周期信号所包含的频率成分;有些周期信号的对称性是隐藏的,删除直流分量后就可以显示其对称性;①实偶函数的傅里叶级数中不包含正弦项,只可能包含直流项和余弦项; ②实奇数的傅里叶级数中不包含余弦项和直流项,只可能包含正弦项;③实奇谐函数的傅里叶级数中只可能包含基波和奇次谐波的正弦、余弦项,而不包含偶次谐波项;重难点11.从对周期矩形脉冲信号的分析可知：1 信号的持续时间与频带宽度成反比;2 周期T 越大,谱线越密,离散频谱将变成连续频谱；3 周期信号频谱的三大特点：离散性、谐波性、收敛性;重难点12.傅里叶变换 傅里叶变换定义为正变换()[()]()j t F f f t f t e dt ωω∞--∞==⎰逆变换11()[()]()2j t f t f F F e d ωωωωπ∞--∞==⎰频谱密度函数()F ω一般是复函数,可以写作 ()()()j F F e ϕωωω=其中()F ω是()F ω的模,它代表信号中个频谱分量的相对大小,是ω的偶函数;()ϕω是()F ω的相位函数,它表示信号中各频率分量之间的相位关系,是ω的奇函数;常用函数 F 变换对：δtπδωut 1()j πδωω+e -t ut 1j ωα+ g τt2Sa ωττ⎛⎫⎪⎝⎭sgn t 2j ωe –|t |222ααω+ 重难点13.傅里叶变换的基本性质 1 线性特性1212()()()()af t bf t aF j bF j ωω+↔+2 对称特性 ()2()F jt f πω↔-3 展缩特性 1()()f at F j a aω←−→ 4 时移特性0-j t 0()()f t t F j e ωω-←→⋅5 频移特性 0j 0()[()]t f t e F j ωωω⋅←→- 6 时域卷积特性 1212()()()()f t f t F j F j ωω*←→⋅ 7 频域卷积特性 12121()()[()()]2f t f t F j F j ωωπ⋅←→*8 时域微分特性 ()()n n n d fj F j dtωω←→⋅9 积分特性1()()(0)()tf d F j F j ττωπδωω-∞←→+⎰10.频域微分特性 ()()n nnndF j t f t j d ωω←→⋅ 11奇偶虚实性若()()()F R jX ωωω=+,则①()f t 是实偶函数()()f R ωω=,即()f ω为ω的实偶函数; ②()f t 是实奇函数()()f jX ωω=,即()f ω为ω的虚奇函数; 重难点14.周期信号的傅里叶变换周期信号()f t 的傅里叶变换是由一些冲激函数组成的,这些冲激位于信号的谐频11(0,,2,)ωω±±处,每个冲激的强度等于()f t 的傅里叶级数的相应系数n F 的2π倍;即重难点15.冲激抽样信号的频谱冲激抽样信号()s f t 的频谱为1()()s sn sf F n T ωωω∞=-∞=-∑其中s T 为抽样周期,()f ω为被抽样信号()f t 的频谱;上式表明,信号在时域被冲激序列抽样后,它的频谱()s F ω是连续信号频谱()f ω以抽样频谱s ω为周期等幅地重复;重难点16．对于线性非时变系统,若输入为非周期信号,系统的零状态响可用傅里叶变换求得;其方法为：1 求激励ft 的傅里叶变换F j;2 求频域系统函数H j;3 求零状态响应y zs t 的傅里叶变换Y zs j,即Y zs j= H j F j;4 求零状态响应的时域解,即y zs t = F -1Y zs j重难点17．对于线性非时变稳定系统,若输入为正弦信号)cos()(0t A t f ω=,则稳态响应为其中,)()(00ϕωωj e j H j H =为频域系统函数;重难点18．对于线性非时变系统,若输入为非正弦的周期信号,则系统的稳态响应的频谱为其中,n F 是输入信号的频谱,即)(t f 的指数傅里叶级数的复系统;)(Ωjn H 是系统函数,为基波;n Y 是输出信号的频谱;时间响应为重难点19．在时域中,无失真传输的条件是 )()(0t t f K t y -=在频域中,无失真传输系统的特性为 0)(t j e K j H ωω-=20．理想滤波器是指可使通带之内的输入信号的所有频率分量以相同的增益和延时完全通过,且完全阻止通带之外的输入信号的所有频率分量的滤波器;理想滤波器是非因果性的,物理上不可实现的;重难点21．理想低通滤波器的阶跃响应的上升时间与系统的截止频率带宽成反比;重难点22．时域取样定理注意：为恢复原信号,必须满足两个条件：1f t 必须是带限信号；2取样频率不能太低,必须f s ≥2f m,或者说,取样间隔不能太大,必须T s ≤1/2f m ；否则将发生混叠; 通常把最低允许的取样频率f s=2f m 称为奈奎斯特Nyquist 频率； 把最大允许的取样间隔T s=1/2f m 称为奈奎斯特间隔;重难点23．单边拉氏变换的定义为积分下限定义为-=0t ;因此,单位冲激函数1)(⇔t δ,求解微分方程时,初始条件取为-=0t ;重难点24．拉普拉斯变换收敛域：使得拉氏变换存在的S 平面上σ的取值范围称为拉氏变换的收敛域;)(t f 是有限长时,收敛域整个S 平面；)(t f 是右边信号时,收敛域0σσ>的右边区域；)(t f 是左边信号时,收敛域0σσ<的左边区域；)(t f 是双边信号时,收敛域是S 平面上一条带状区域;要说明的是,我们讨论单边拉氏变换,只要σ取得足够大总是满足绝对可积条件,因此一般不写收敛域;单边拉氏变换,只要σ取得足够大总是满足绝对可积条件,因此一般不写收敛域;重难点25．拉普拉斯正变换求解：常用信号的单边拉氏变换 重难点26.拉普拉斯变换的性质6时域卷积定理 f 1t f 2t ←→ F 1s F 2s7周期信号,只要求出第一周期的拉氏变换1()F s ,1()()1sTF s F s e-=- 频域微分性： d ()()()d F s t f t s-←→频域积分性： ()()s f t F d tηη∞←→⎰初值定理：0(0)lim ()lim ()t s f f t sF s →+→∞+==终值定理若ft 当t →∞时存在,并且 ft ← → F s , Res>0, 0<0,则 0()lim ()s f sF s →∞=拉氏变换的性质及应用;一般规律：有t 相乘时,用频域微分性质; 有实指数t e α相乘时,用频移性质; 分段直线组成的波形,用时域微分性质;周期信号,只要求出第一周期的拉氏变换1()F s ,1()()1sTF s F s e-=- 由于拉氏变换均指单边拉氏变换,对于非因果信号,在求其拉氏变换时应当作因果信号处理;重难点27．拉普拉斯反变换求解：掌握部分分式展开法求解拉普拉斯逆变换的方法1单实根时 )(t Ke a s Kt a ε-⇔+2二重根时2()()t KKte t s αεα-↔+ 重难点28．微分方程的拉普拉斯变换分析：当线性时不变系统用线性常系数微分方程描述时,可对方程取拉氏变换,并代入初始条件,从而将时域方程转化为S 域代数方程,求出响应的象函数,再对其求反变换得到系统的响应;重难点29．动态电路的S 域模型：由时域电路模型能正确画出S 域电路模型,是用拉普拉斯变换分析电路的基础; 引入复频域阻抗后,电路定律的复频域形式与其相量形式相似;重难点30．系统的零状态响应为 )()()(s F s H s Y zs =其中,)()(s H t h ⇔,)(s H 是冲激响应的象函数,称为系统函数;系统函数定义为)()()(s F s Y s H zs =重难点31．系统函数的定义重难点32．系统函数的零、极点分布图重难点33．系统函数H ·与时域响应h · ：LTI 连续因果系统的h t 的函数形式由H s 的极点确定;① Hs 在左半平面的极点无论一阶极点或重极点,它们对应的时域函数都是按指数规律衰减的;结论：极点全部在左半开平面的系统因果是稳定的系统;② Hs 在虚轴上的一阶极点对应的时域函数是幅度不随时间变化的阶跃函数或正弦函数;Hs 在虚轴上的二阶极点或二阶以上极点对应的时域函数随时间的增长而增大;③ H s 在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点,其所对应的响应函数都是递增的;重难点34．系统的稳定性：稳定系统 Hs 的极点都在左半开平面,)θ+边界稳定系统 Hs 的极点都在虚轴上,且为一阶, 不稳定系统 Hs 的极点都在右半开平面或虚轴上二阶以上;H s=11101110()()m m m m n n n n b s b s b s b N s D s a s a s a s a ----++++=++++ 判断准则：1多项式的全部系数i a 符号相同为正数；2无缺项；3对三阶系统,323210()D s a s a s a s a =+++的各项系数全为正,且满足1203a a a a > 重难点35、常用的典型信号 1．单位抽样序列)(n δ)(n δ的延迟形式： 1,()0,n m n m n mδ=⎧-=⎨≠⎩推出一般式： ∑∞-∞=-=k k n k x n x )()()(δ2．单位阶跃序列()n ε与)(n δ的关系： ()()(1)n n n δεε=-- 延迟的表达式()n m ε-; 3． 矩形序列)(n R N -----有限长序列 4． 实指数序列----实指数序列)(n u a n 重难点36、离散系统的时域模拟它的基本单元是延时器,乘法器,相加器; 重难点37、系统的零输入响应若其特征根均为单根,则其零输入响应为：1()nkx xi i i y k c λ==∑C 由初始状态定相当于0-的条件 重难点38、卷积和的定义12()()()k f n f k f n k ∞=-∞=-∑=f 1n f 2n卷积和的性质1 交换律：()()()()1221f n f n f n f n *=*2 分配律：()()()()()()123123f n f n f n f n f n f n **=**⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦3 结合律.：()()()()()()()1231213f n f n f n f n f n f n f n *+=*+*⎡⎤⎣⎦f n δn = f n , f n δn – n 0 = f n – n 0 f n εn =()nk f k =-∞∑f 1n – n 1 f 2n – n 2 = f 1n – n 1 – n 2 f 2n卷和的计算：不进位乘法求卷积、利用列表法计算、卷积的图解法 重难点39、离散系统的零状态响应离散系统的零状态响应等于系统激励与系统单位序列响应的卷积和;即 重难点40．z 变换定义()()n n F z f n z ∞-=-∞=∑称为序列f k 的双边z 变换()()n n F z f n z ∞-==∑ 称为序列f k 的单边z 变换重难点41．收敛域因果序列的收敛域是半径为|a|的圆外部分; 重难点42．熟悉基本序列的Z 变换;k ←→ 1 , z>0 k ←→1zz -, z>1 重难点43．z 变换的性质 1移位特性双边z 变换的移位：()n z F z -↔f(k -n)单边z 变换的移位： f k-2 ←→ z -2F z + f -2 + f -1z -1 2序列乘a k z 域尺度变换 a k f k ←→ F z/a3卷积定理 f 1k f 2k ←→ F 1z F 2z 重难点44．掌握部分分式法求逆Z 变换; 重难点45．掌握离散系统Z 域的分析方法; 1差分方程的变换解 2系统的z 域框图 3稳定性Hz 按其极点在z 平面上的位置可分为：在单位圆内、在单位圆上和在单位圆外三类;① 极点全部在单位圆内的系统因果是稳定系统;② Hz 在单位圆上是一阶极点,单位圆外无极点,系统是临界稳定系统;③ Hz 在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点,系统是不稳定系统;。
测试技术-第一章 信号及其描述
2014-4-23
《测试技术》讲义
6
2014-4-23
《测试技术》讲义
7
能量信号和功率信号
在非电量测量中，常把被测信号转换为电压或电 流信号来处理。显然，电压信号加到电阻R上， 其瞬时功率 P(t ) x 2 (t ) / R 。当R=1 时， P(t ) x 2 (t ) 。瞬时功率对时间积分就是信号 在该积分时间内的能量。依此，人们不考虑信号 实际的量纲，而把信号的平方及其对时间的积分 分别称为信号的功率和能量。当 x(t ) 满足 2 x (1—4) (t )dt 时，则认为信号的能量是有限的，并称之为能量 有限信号，简称能量信号，如矩形脉冲信号、衰 减指数函数等。
2014-4-23 《测试技术》讲义 5
连续信号和离散信号
连续信号：若信号数学表示式中的独立变量取值 是连续的 (图1—3a)。 离散信号：若独立变量取离散值。图1-3b是将 连续信号等时距采样后的结果，就是离散信号。 离散信号可用离散图形表示，或用数字序列表示。 连续信号的幅值可以是连续的，也可以是离散的。 若独立变量和幅值均取连续值的信号称为模拟信 号。 若离散信号的幅值也是离散的．则称为数字信号。 数字计算机的输入、输出信号都是数字信号。
，
把周期函数x(t)展开为傅里叶级数的复指数 函数形式后，可分别以 cn 和 n 作幅 频谱图和相频谱图；也可以分别以cn的实 部或虚部与频率的关系作幅频图，并分别 称为实频谱图和虚频谱图(参阅例1—2)。 比较傅里叶级数的两种展开形式可知：复 指数函数形式的频谱为双边谱(ω从-∞到 +∞)，三角函数形式的频谱为单边谱(ω从0 到+∞)；两种频谱各谐波幅值在量值上有 A c c0 a0 。双边幅频谱 确定的关系， 2 ， 为偶函数，双边相频谱为奇函数。
1信号及其描述
aX ( f ) bY ( f )
3.对称性 若:(时域信号) x(t) X(ƒ) (频域信号)，则 X (t) ↔ x (-ƒ )
4.尺度改变性质 若k为常数，且k>0,则
x(kt) x(kt)e j2ft dt Leabharlann 1j 2 f (kt)
x(kt)e k d (kt)
k
1 X( f ) kk
确定性信号
周期信号 非周期信号
1、周期信号
定义：按一定的时间间隔周而复始重复出现的信号。 x ( t ) = x ( t + nT0 ) n＝±1，±2，±3…
(1)谐波信号，如余弦信号 x ( t ) = 2cos0t
(2)一般周期信号,如方波、三角波。
x(t)
x(t)
0
t
0
t
2、非周期信号 定义：确定性信号中那些不具有周期重复性的信号。
信号的频域描述 ➢ 应用傅里叶级数或傅里叶变换，对信号进行变换（分解）， 以频率为独立变量建立信号幅值、相位与频率的函数关系。 ➢ 频谱图：以频率为横坐标的幅值、相位变化图。 幅值谱：幅值-频率图 相位谱：相位-频率图 ➢ 频域描述抽取信号内在的频率组成及其幅值和相角的大小， 描述更简练、深刻、方便。
相频图
例3：求周期方波的频谱。
x(t) x(t nT0 ), n 1, 2, 3,
x(t )
A
A
(0 t T0 2) ( T0 2 t 0)
x(t)
…
T0
T0
2
2
T0
0
T0
…
t
因x(t)是奇函数，在对称区间积分值为0，所以 a0 0, an 0
bn
第一章 信号及其描述2-3
相互关系：σx2=
ψx2–μx2
对于集合平均有：
式中： M — 样本记录总数
i — 样本记录序号
t1 — 观测时刻
（二）概率密度函数 ——信号幅值落在制定区域内的概率
X(t)落在（x，x+Δx)区间内的时间为：
信号落在（x，x+Δx)区间内的概率为：
概率密度函数为:
Pr x xt x x p x lim x 0 x
三角函数展开式：
幅频图
相频图
复指数函数展开式：
其中：
1 jn0t x(t ) j ne n
CnR 0 2A CnI n
2A
n
2A C n n 2A 2 当n 0 n arctan n 0 当n 0 2
{xi（t)}= {x1（t) ，x2（t)，· xi（t) · } · · · ·
集合平均：集合中所有样本函数对同一时刻 ti 的观测值取 平均 时间平均：按单个样本的时间历程进行平均
平稳随机过程：统计特征参数不随时间而变化
各态历经：任一单个样本函数的时间平均统计等于 该过程的集合平均统计特征。
实际工作中，常用一个或几个有限长度的样本记录来推断整 个随机过程，以其时间平均来估计集合平均
二、随机过程的主要特征参数 （一）均值μx、方差σx2、均方值ψx2
信号x(t)的方差定义为：
x(t)
2 x
lim
1 T T
T
0
( x(t ) x ) 2 dt
t
方差：反映了信号绕均值的波动程度。
1 jn0t cos(n0t ) (e e jn0t ) 2 j jn0t sin(n0t ) (e e jn0t ) 2 代入傅里叶级数的三角函数展开式
信号的分类
信号的分类
一、信号分类
1、按发出源分类
（1）自然信号：由自然界产生的信号，如：声音、光线、电、磁等。
（2）人工信号：由人工设备产生的信号，如：手机信号、电视信号、电脑信号等。
2、按信号特点分类
（1）连续信号：是指在时间上是连续变化的信号，如：声波、通讯信号等。
（2）离散信号：是指在时间上是离散变化的信号，如：图形信号、编码信号、控制信号等。
3、按信号内容分类
（1）数字信号：是指信号的内容是由数字组成的信号，如：编码信号、多媒体数字信号等。
（2）模拟信号：是指信号的内容是由模拟量表示的信号，如：声波、电磁波等。
- 1 -。
考研《信号与系统》考研重点考点归纳
考研《信号与系统》考研重点考点归纳第1章信号与系统1.1考点归纳一、信号的描述及分类1．信号的定义信号是指消息的表现形式与传送载体。
2．信号的分类及特性（1）确定信号与随机信号确定信号：由确定系统产生、具有确定参数、按确定方式变化的信号。
随机信号：具有不可预知的不确定性信号。
实际中的信号绝大部分都是随机信号。
（2）连续信号与离散信号连续信号：在定义的时间区域内任意时间点上都有定义的信号。
离散信号：只在某些不连续时间值上给定函数值的信号。
（3）周期信号与非周期信号周期信号：=，n∈Z非周期信号：≠，n∈Z（4）奇信号与偶信号偶信号：或。
奇信号：或。
任何信号=一个偶信号＋一个奇信号，其中偶部和奇部分别为：（5）功率信号与能量信号功率信号：信号平均功率为非零的有限值。
能量信号：信号总能量为非零的有限值。
3．信号的能量与功率表1-1 能量与功率计算公式说明：（1）总能量有限的信号，平均功率为零；（2）平均功率有限的信号，能量无穷大。
二、信号的运算1．信号的相加与相乘同一时刻两信号之值对应相加减乘：或2．信号的延时信号延时后的信号：式中，＞0，波形在保持信号形状不变的同时，右移的距离；＜0则向左移动。
3．信号的反褶与尺度变换（1）信号的反褶形式：，波形对称于纵坐标轴的反褶。
（2）信号的尺度变换形式：，有以下规则：①，波形为的波形在时间轴上压缩为原来的；②，波形为的波形在时间轴上扩展为原来的。
③，波形为的波形反转并压缩或展宽至。
4．形如的波形变换（1）先向右（左）平移b个单位，再在此基础上压缩或扩展原来的；（2）先压缩或扩展原来的，再向右（左）平移个单位。
三、指数信号与正弦信号1．连续时间复指数信号与正弦信号连续时间复指数信号具有如下形式：其中C和α一般为复数。
（1）实指数信号实指数信号：C和α都是实数的x（t）。
α的正负对波形的影响：①若α是正实数，x（t）随t的增加而呈指数增长；②若α是负实数，x（t）随t的增加而呈指数衰减。
§1-1 常用信号介绍
工程类院校电子信息技术、机电控制等专
业必设的理论基础课之一
是相关专业研究生入学考试课程 是随机信号分析、通信原理、图象处理、
自动控制原理等后续课程的基础课
其基本原理和方法可直接应用来解决实际
问题
1
课程任务
《信号与系统Ⅱ》由传统的“信号与系统”
的全部内容，以及“数字信号处理”的一部 分内容构成。
n (n=1~128) 100 120
0.05 0 -0.05
80
60
40
-0.2 0 5 1 t (ms) 1 20
20
0
0
2
4
6
8
10 τ(ms)
12
14
16
5
学习方法1
•注重物理概念与数学分析之间的对照，不要盲目计 算； •注意分析结果的物理解释，各种参量变动时的物理 意义及其产生的后果； •同一问题可有多种解法，应寻找最简单、最合理的 解法，比较各方法之优劣； •在学完本课程相当长的时间内仍需要反复学习本课 程的基本概念。
＋ U(t) －
x ( t ) dt
2
1 lim 平均功率： P = T →∞ T
∫
T /2 −T / 2
x( t ) dt
2
2
DTS: 能量：
E=
n =－∞
∑
∞
x ( n)
N 1 2 lim ∑ x ( n) 平均功率： P = 2 N + 1 N →∞ n =− N
如果0 < P < ∞ ，且 E = ∞ 如果0 < E < ∞ ，且P=0
……
9
第一章 信号与系统的基本概念
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 信号及其分类 常用信号及其基本特性 信号时域运算 系统及其表示 系统的分类
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功率：
1 P＝ lim T T
T 2 T 2
f (t ) dt
2
若信号f (t)的能量有界，即E <∞ ,则称其为能量有 限信号，简称能量信号。此时P = 0 若信号f (t)的功率有界，即P <∞ ,则称其为功率有 限信号，简称功率信号。此时E = ∞
时限信号(仅在有限时间区间不为零的信号)
通讯方式的不断进步：
古代：烽火、击鼓、旗语等
近代：电报、电话、无线通信
现代：计算机网络通信，视频电视转播，卫星传输及
移动通信等
第一节
1.
信
号
消息、信息 、信号
2.
3. 4.
信号的分类
基本（典型）信号 信号的运算
2.信号的分类
•信号的分类方法很多，可以从不同的角度对信 号进行分类。 •按实际用途划分： 电视信号 雷达信号 控制信号 通信信号 广播信号 …… •按所具有的时间等特性划分
f(t)
h(t)
y(t)
第一节
1.
信
号
消息、信息 、信号
2.
3. 4.
信号的分类
基本（典型）信号 信号的运算
1. 信息、消息、信号
1.消息（Message） 通常我们把来自外界的各种报道称为消息。 主要反映知识状态的改变. 2.信息（Information） 信息论中的术语,通常我们把消息中有意义的内容 称为信息. 信息度量=[收到消息前对其事件无知程度]-[收到 消息后对某事件的无知程度].
①
电信号和非电信号
•电信号：把要传送的消息（语言、文字、图象）变换 成按一定规律变化的电压和电流。
容易传输和控制 •非电信号：声信号、光信号、温度、速度、流量等。 可通过传感器转换成电信号，易于远距离传输与控制
②
确定性信号和随机信号
•确定性信号 对于指定的某一时刻t，可确定一相应的函数值f(t)。 即可用一确定的时间函数来表示。在相同的条件下可 以准确的重现。（对干不连续点除外）
解：（1）sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为 ω1= 2 ， T1= 2π/ ω1= π cos3t是周期信号，其角频率和周期分别为 ω2= 3 ， T2= 2π/ ω2= 2π/3 由于T1/T2= 3/2为有理数，故f1(t)为周期信号， 其周期为T1和T2的最小公倍数2π。 （2） cos2t 和sinπt的周期分别为T1= πs， T2= 2 s， 由于T1/T2为无理数，故f2(t)为非周期信号。
第一章 信号与系统的基础知识
信号理论与系统理论
信号分析：研究信号的基本性能，如信号 的描述、性质等。 信号理论 信号传输 信号处理
系统分析：给定系统，研究系统对于输入 激励所产生的输出响应。 系统理论 系统综合：按照给定的需求设计（综合） 系统。
重点讨论信号的分析、系统的分析。分析是综合的基础。
信号与系统
如 f(t)＝sint
•随机信号 不能准确地用时间函数来表达的信号。在每一时刻的 值不具确定性，有随机性，不会重现。如干扰、噪声
严格说来，客观存在的信号基本上都是随机信号，研究随 机信号要用概率统计方法。虽然如此，研究确定性信号仍十分 重要，因为它是一种理论的科学抽象，是研究随机信号的基础。 以确定性信号为主。
③
周期信号和非周期信号
f (t ) f (t kT )
k 0， 1， 2， （任意整数）
正弦周期信号（简谐信号） 周期信号 复杂周期信号（除简谐信号外的周期信 号） 准周期 ( 频率之比值为无理数 ) 非周期信号
瞬态 ( 脉冲, 衰减函数 ) 周期T 的周期信号
规律: 两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2， 若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号 x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的 最小公倍数。
例1 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。 (1) f1(t) = sin2t + cos3t (2) f2(t) = cos2t + sinπt
为能量信号; 周期信号属于功率信号，而非周期信号可能 是能量信号，也可能是功率信号。 有些信号既不是属于能量信号也不属于功率 信号，如f (t) = e t。
f (t ) f (t ) f (t )
0
t
0t0来自t例：判断何种信号
e
1
2 t
t
0
E f (t )dt (e ) dt e dt
f(t)
O
t
离散时间信号：仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称
为离散时间信号，简称离散信号。这里的“离散”指信号 的定义域—时间是离散的，它只在某些规定的离散瞬间给 出函数值，其余时间无定义。 如下图的f(t)仅在一些离散时刻tk(k = 0,±1,±2,…)才有定义， 其余时间无定义。相邻离散点的间隔Tk=tk+1-tk可以相等也可 不等。通常取等间隔T，离散信号可表示为f(kT)，简写为 f(k)，这种等间隔的离散信号也常称为序列。其中k称为序 号。
④
因果信号和非因果信号
0 t 0 f (t ) 0 t 0
t=0时接入系统的信号（t<0时函数值 为零）。有始信号、单边信号。
⑤
功率信号和能量信号
将信号f (t)施加于1Ω电阻上，它所消耗的瞬时功 率为| f (t) |2，在区间(–∞ , ∞)的能量和平均功率定 义为 2 E f (t ) dt 能量：
3. 信号（Signal）
信号是信息的载体。通过信号传递信息。信号我 们并不陌生，如 •刚才铃声—声信号，表示该上课了； •十字路口的红绿灯—光信号，指挥交通； •电视机天线接受的电视信息—电信号； •广告牌上的文字、图象信号等等。
为了有效地传播和利用信息，常常需要将信息转 换成便于传输和处理的信号。
2 2 t 2
0
4t
4t e dt 0
A e4 x (dx) 0 e4 x dx B
0
能量信号
0
E 20 e 4t dt 1
2
PE
⑥ 连续信号和离散信号
连续时间信号：信号存在的时间范围内，任意时刻 都有定义（即都可以给出确定的函数值，可以有有 限个间断点）。 用t表示连续时间变量。 即：自变量连续，函数值连续或不连续