2021届上海市浦东新区高一第一学期数学期末试题答案
上海浦东新区2021年高一上学期《数学》期末试卷与参考答案
上海市浦东新区2021年高一上学期《数学》期末试卷与参考答案一、填空题本大题共12小题，每小题3分，共36分.答案填在答题纸相应位置。
1. 设集合{}0,1,2,3,4,5A =，{1B x x =≤且}x N ∈，则A B =____.答案：{}0,1 2. (在幂函数a y x =的图象上，则该幂函数的表达式为____. 答案：12y x =3. 不等式2430x x -+≤的解集是______.答案：[]1,34. 已知21log 3a =，则3a =____.答案：25. 函数42y x =+的反函数是____. 答案：1142y x =-6. 设函数(log 10a y x a =+>且)1a ≠，则该函数的图象恒过定点的坐标是____.答案：()1,17. 当1x >时，11x x +-的最小值为___________.答案：38. 已知函数2y x=，[]1,2x ∈，则此函数的值域是____. 答案：[]1,2 9. 若不等式32x x a -+-<在x ∈R 上有解，则实数a 的取值范围为____.答案：()1,+∞10. 已知函数()2212y x a x =-+-在区间(],4-∞上是严格减函数，则实数a 的取值范围是_____.答案：3a ≥11. 定义在R 上的奇函数()f x 在[)0,+∞上的图像如图所示，则不等式()0x f x ⋅的解集是____.答案：[]3,3-12. 已知函数()()32,21,2x x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则数k 的取值范围是______.答案：()0,1二、选择题本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
13. 若实数,a b 满足a b >，则下列不等式成立的是（ ） A. a b >B. 33a b >C. 11a b <D. 22ab b >答案：B14. “函数()y f x =与()y g x =均是定义域为R 的奇函数”是“函数()()y f x g x =⋅是偶函数”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件答案：A15. 下列不等式中，解集相同的是（ ）A. 223x x -<与22311x x x x -<--B. 5x <与221153232x x x x x +<+-+-+ C. ()()3101x x x -+>+与30x ->D. ()()3103x x x -+>-与10x +>答案：C16. 已知函数()123,0,log ,0x x f x x x +⎧≤=⎨>⎩若f (x 0)>3，则x 0的取值范围是( ) A. (8，＋∞)B. (－∞，0)∪(8，＋∞)C. (0,8)D. (－∞，0)∪(0,8)答案：A三、解答题本大题共5小题，共52分.解答要写出文字说明､证明过程或演算步骤。
上海市2021学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
2021-2021学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、填空题1.已知集合{}2|20A x x x =--=，用列举法可表示为A =_________. 【答案】{}1,2- 【解析】 【分析】解方程220x x --=得1x =-或2x =，用列举法表示，即可. 【详解】方程220x x --=的解为：1x =-或2x =∴{}{}2|201,2A x x x =--==-故答案为：{}1,2-【点睛】本题考查集合的表示方法，属于容易题. 2.函数()lg(2)f x x =-的定义域是____________. 【答案】(2,+∞) 【解析】详解】∵20x ->，∴2x >．3.命题“若1x >，则0x >”的逆否命题是________. 【答案】若0x ≤，则1x ≤ 【解析】 【分析】根据命题“若p ，则q ”的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”，写出即可. 【详解】命题“若1x >，则0x >”的逆否命题是“若0x ≤，则1x ≤”故答案为：若0x ≤，则1x ≤【点睛】本题考查命题的四种形式，属于容易题.4.若函数()()11()31x f x x x >=-+≤⎪⎩，则()1f f -=⎡⎤⎣⎦________.【答案】3【解析】 【分析】先求解()14f -=，再求()4f ，即可.【详解】当1x ≤时()3f x x =-+，则()()1134f -=--+=. 当1x >时()1f x =，则()()1413f f f -==⎡⎤⎣⎦.故答案为：3【点睛】本题考查分段函数求值，属于较易题.5.已知集合{}{}2,1,2,1,A B a =-=，且B A ⊆，则实数a 的值为_________.【答案】2± 【解析】 【分析】根据题意可知，a A ∈，根据元素的互异性可知1a ≠，求解即可.【详解】若使得B A ⊆成立，则需1a Aa ∈⎧⎨≠⎩，即2a =-或2a =故答案为：2±【点睛】本题考查集合之间的关系，属于容易题.6.已知集合{}2|60A x x px =-+=，若3A ∈，则方程15x p -=的解为__________.【答案】2x = 【解析】 分析】由题意可知，3是方程260x px -+=的根，解得5p =.方程15x p -=等价变形为155x -=，解得，即可. 【详解】3A ∈∴3是方程260x px -+=的根，即23360p -+=，解得5p =.又方程155x p -==11x ∴-=，解得2x =.故答案为：2x =【点睛】本题考查元素与集合的关系以及实数指数幂的运算，属于较易题. 7.函数()2log f x x x =+零点个数为_________. 【答案】1 【解析】 【分析】函数()2log f x x x =+的零点个数，等价于方程()0f x =根的个数，等价于函数2log y x =与y x =-交点的个数，在同一坐标系下，画出函数图象，确定交点个数即可.【详解】由题意可知，在同一坐标系下，画出2log y x =与y x =-的函数图象，如图所示由图可知，函数2log y x =与y x =-有一个交点，则函数()2log f x x x =+有一个零点. 故答案为：1【点睛】本题考查函数的零点个数，属于较易题. 8.设函数()11f x x =-的反函数为()1f x -，则()11f -=_________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据原函数与反函数的关系，解方程111x =-，即可. 【详解】令()111f x x ==-解得2x = 函数()11f x x =-的反函数为()1f x -. ∴()112f -=故答案为：2【点睛】本题考查反函数，属于较易题.9.若函数()2f x ax bx c =++是定义域为()23,1a -的偶函数，则a b +=_________.【答案】1 【解析】 【分析】根据函数()f x 为偶函数，则定义域关于原点的对称，且0b =，列方程组得23100a b -+=⎧⎨=⎩，解方程组即可. 【详解】函数()2f x ax bx c =++是定义域为()23,1a -的偶函数∴23100a b -+=⎧⎨=⎩，解得1a =，0b =即1a b += 故答案为：1【点睛】本题考查函数的奇偶性，定义域关于原点对称是解决本题的关键，属于较易题. 10.方程2lg 3lg 20x x -+=的解为_________. 【答案】10或100 【解析】 【分析】令lg t x =，则方程2lg 3lg 20x x -+=变形为2320t t -+=，解得1t =或2t =，即lg 1x =或lg 2x =，解方程即可.【详解】令lg t x =，则方程2lg 3lg 20x x -+=变形为2320t t -+=.解得1t =或2t =，即lg 1x =或lg 2x =， 解得10x =或100x = 故答案为：10或100【点睛】本题考查解对数方程，属于较易题.11.己知函数()221f x x ax a =-++-在区间[]01，上的最大值是2,则实数a =______.【答案】1-或2. 【解析】 【分析】由函数对称轴与区间关系，分类讨论求出最大值且等于2，解关于a 的方程，即可求解. 【详解】函数()22221()1f x x ax a x a a a =-++-=--+-+，对称轴方程为为x a =；当0a ≤时，max ()(0)12,1f x f a a ==-==-；当2max 01,()()12a f x f a a a <<==-+=，即2110,2a a a --==（舍去），或152a （舍去）； 当1a ≥时，max ()(1)2f x f a ===， 综上1a =-或2a =. 故答案为:1-或2.【点睛】本题考查二次函数的图像与最值，考查分类讨论思想，属于中档题. 12.已知()f x 为奇函数，且在[)0,+∞上是减函数，若不等式()()12f ax f x -≤-在[]1,2x ∈上都成立，则实数a 的取值范围是___________.【答案】0a ≤ 【解析】 【分析】根据()f x 为奇函数，且在[)0,+∞上是减函数，可知12ax x -≤-，即11a x≤-，令11y x =-，根据函数11y x=-在[]1,2x ∈上单调递增，求解a 的取值范围，即可. 【详解】()f x 为奇函数，且在[)0,+∞上是减函数∴()f x 在R 上是减函数.∴12ax x -≤-，即11a x≤-. 令11y x =-，则11y x=-在[]1,2x ∈上单调递增. 若使得不等式()()12f ax f x -≤-在[]1,2x ∈上都成立. 则需min111101a x ⎛⎫≤-=-= ⎪⎝⎭.故答案为：0a ≤【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，属于中档题. 二、选择题13.下列四组函数中，表示同一函数的是( )A. ()()21,11x f x g x x x -==+-B. ()()0,1f x x g x ==C. ()(),f x x g x ==D. ()()0,0x x f x x g x x x >⎧==⎨-<⎩【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的两要素，定义域与对应法则，判断两个函数是否为同一函数，即可. 【详解】选项A ，()f x 的定义为{}1x x ≠，()g x 的定义为R 不相同，不是同一函数. 选项B ，()f x 的定义为{}0x x ≠，()g x 的定义为R 不相同，不是同一函数. 选项C ，()f x 的定义为R ，()g x 的定义为R 相同，()()f x g x x ==，是同一函数. 选项D ，()f x 的定义为R ，()g x 的定义为{}0x x ≠不相同，不是同一函数. 故选：C【点睛】本题考查函数的两要素，属于较易题. 14.已知集合{}2,1,0,1,2A =--，102x B x x ⎧⎫+=<⎨⎬-⎩⎭，则A B =( )A. {}1,0-B. {}0,1C. {}1,0,1-D. {}0,1,2【答案】B 【解析】 【分析】 解不等式102x x +<-，得12x -<<，即{}12B x x =-<<，与集合A ，求交集，即可. 【详解】{}10122x B x x x x ⎧⎫+=<=-<<⎨⎬-⎩⎭，{}2,1,0,1,2A =--{}0,1A B ∴⋂=故选：B【点睛】本题考查集合的运算，属于容易题.15.设命题甲为“0＜x ＜3”，命题乙为“|x -1|＜2“，那么甲是乙的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】 【分析】化简命题乙，再利用充分必要条件判断出命题甲和乙的关系． 【详解】命题乙为“|x -1|＜2， 解得-1＜x ＜3．又命题甲为“0＜x ＜3”， 因为{|03}x x <<{|13}x x -<<那么甲是乙的充分不必要条件． 故选A ．【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.16.下列函数中，值域是()0,∞+的是( )A. 13y x = B. y =C. ||31x y =- D. 2yx【答案】D 【解析】 【分析】先求解四个选项对应函数的定义域，再根据定义域求解值域，即可. 【详解】因为函数13y x =的定义域为R ，值域为R ，不是()0,∞+ 所以选项A 不符合题意.因为函数y =={1x x ≤-或}3x ≥所以值域为[)0,+∞，不是()0,∞+，选项B 不符合题意. 因为函数31x y =-的定义域为R 关于原点对称，3131xxy --==-所以函数31xy =-为偶函数.当0x ≥时3131xx y =-=-，单调递增 当0x <时3131xx y -=-=-，单调递减所以0min 310y =-=即函数31xy =-值域为[)0,+∞，不是()0,∞+，所以选项C 不符合题意.因为函数2y x 的定义域为{}0x x ≠关于原点对称， ()22x x ---=所以函数2yx 为偶函数.当0x >时2210y xx -==>，单调递减 当0x <时2210y x x-==>，单调递减即函数2y x 值域为()0,∞+，所以选项D 符合题意.故选：D【点睛】本题考查求函数的值域，属于中档题. 三、解答题17.已知函数()(),1xf x a a =>在区间[]1,2上的最大值比最小值大2，求实数a 的值.【答案】2 【解析】 【分析】由题意可知，函数()f x 在[]1,2单调递增，则()()212f f -=，解方程，即可. 【详解】函数()(),1xf x a a =>∴函数()f x 在[]1,2单调递增即()()2max 2f x f a ==，()()min 1f x f a ==又函数()(),1xf x a a =>在区间[]1,2上的最大值比最小值大2.∴()()2212f f a a -=-=，解得2a =或1a =-（舍去）综上所述：2a =【点睛】本题考查指数函数的单调性，属于较易题.18.已知函数()f x =.求：(1)函数()f x 的定义域；(2)判断函数()f x 的奇偶性，并加以证明. 【答案】(1)[)(]1,00,1-；(2)偶函数，证明见解析.【解析】 【分析】(1)根据分式分母不为0，开偶次方的根式，被开方式大于或者等于0，列不等式组，求解即可.(2)根据函数奇偶性的定义，证明即可.【详解】(1)若使得函数()f x =有意义则需2010x x ≠⎧⎨-≥⎩解得10x -≤<或01x <≤. 所以函数()f x 的定义域为[)(]1,00,1-.(2)由(1)可知，函数()f x 的定义域为[)(]1,00,1-关于原点对称()()f x f x x-===∴函数()f x 为偶函数.【点睛】本题考查函数的奇偶性，属于较易题.19.甲乙两地的高速公路全长166千米，汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速[]70,120v ∈（千米/时）.已知汽车每小时．．．的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分为20.02v ，固定部分为220元.(1)把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域； (2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本为多少元？（结果保留整数）【答案】(1)()[]20.0270,120166220,y v vv =+∈；(2)当105v =时，最小运输成本为696元. 【解析】 【分析】(1)由题意可知，汽车的行驶时间为166v（小时），汽车每小时．．．的运输成本为20020.20v +，从而确定全程运输成本y （元）表示为速度v （千米/时）的函数关系，即可. (2)由(1)可知，()216684110000.0222025y v v v v ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，根据对号函数，求解即可. 【详解】(1)因为汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速[]70,120v ∈（千米/时）.所以汽车的行驶时间为166v（小时） 又汽车每小时．．．的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分为20.02v ，固定部分为220元所以汽车每小时．．．的运输成本为20022.20v +（元） 则全程运输成本()[]20.0270,120166220,y v vv =+∈ (2) 由(1)可知，()216684110000.0222025y v v v v ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭当v ⎡∈⎣时，函数841100025y v v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减当v ⎡⎤∈⎣⎦时，函数841100025y v v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增所以，当105v =≈时，全程运输成本取得最小值即最小运输成本为()2min 1660.02105220696105y =⨯+≈元. 【点睛】本题考查函数的实际应用，属于中档题. 20.已知m 是整数，幂函数()22m m f x x -++=在[)0,+∞上是单调递增函数.(1)求幂函数()f x 的解析式；(2)作出函数()()1g x f x =-的大致图象；(3)写出()g x 的单调区间，并用定义法证明()g x 在区间[)1,+∞上的单调性.【答案】(1)()2f x x =；(2)图象见解析；(3)减区间为(][],1,0,1-∞-；增区间为[][)1,0,1,-+∞，证明见解析.【解析】【分析】(1)根据幂函数()22mm f x x -++=在[)0,+∞上是单调递增函数，可知220m m -++>，解不等式即可.(2)由(1)可知()2f x x =，则()21g x x =-，先画出21y x =-的图象，再将该图象x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，即可.(3)根据(2)图象写出单调区间，再根据定义法证明函数单调性，即可.【详解】(1)由题意可知，220m m -++>，即12m -<<因为m 是整数，所以0m =或1m =当0m =时，()2f x x =当1m =时，()2f x x = 综上所述，幂函数()f x 的解析式为()2f x x =. (2) 由(1)可知()2f x x =，则()21g x x =- 函数()g x 的图象，如图所示：(3)由(2)可知，减区间为(][],1,0,1-∞-；增区间为[][)1,0,1,-+∞当[)1,x ∈+∞时，()2211g x x x =-=- 设任意的1x ，[)21x ∈+∞,且120x x ->则()()()()()()2222121212121211g x g x x x x x x x x x -=---=-=-+ 又1x ，[)21x ∈+∞,且120x x ->∴()()120g x g x ->即()g x 在区间[)1,+∞上单调递增.【点睛】本题考查求幂函数的解析式以及画函数图象，单调性的定义法证明.属于中档题.21.已知函数()()()4log 1,0,1a f x x a a =+->≠的反函数()1fx -的图象经过点()5,1P -，函数()2(),21x g x b b R =-∈+为奇函数. (1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()()22xF x g x =+-的零点； (3)设()g x 的反函数为()1gx -，若关于x 的不等式()()1g k x f x -+<在区间()1,0-上恒成立，求正实数k 的取值范围.【答案】(1)()()24log 1f x x =+-；(2)4log 3x =；(3)(]0,4.【解析】【分析】(1)根据原函数与反函数的关系可知，函数()f x 过点()1,5-，代入求解a 值，即可.(2)由题意可知()00g =，解得1b =，从而确定()22121x x F x =-+-+，令()0F x =，即()()21212x x -+=，即43x =，解方程，即可.(3)由题意可知，()()121log ,1,11x g x x x-+=∈--，则不等式()()1g k x f x -+<变形为()2214log 1x k x-<++，令()1,0,1t x t =+∈，则244log 4k t t ⎛⎫<++- ⎪⎝⎭，令244log 4y t t ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，根据函数的单调性，可知244log 44y t t ⎛⎫=++-> ⎪⎝⎭，从而求解正实数k 的取值范围.【详解】(1)由题意，()f x 过点(1,5)-，即()14log 25a f -=+=，解得2a = 所以()()24log 1f x x =+-. (2)()g x 为R 上的奇函数∴()0201021g b b =-=-=+，解得1b =，即()2121x g x =-+ 则()()22x F x g x =+-令()0F x =，即221021x x -+-=+ 则()()()2212121412x x x x -+=-=-=即43x =，解得4log 3x =.(3)由(2)可知()2121x g x =-+ ∴()()121log ,1,11x g x x x-+=∈-- 即()()()12214log 1log 1x k f x g x x x-+<-=+---()()()2222114144log 4log 11x x x x x-+-++=+=+++ 令()1,0,1t x t =+∈，则2224444log 4log 4t t k t t t -+⎛⎫<+=++- ⎪⎝⎭令244log 4y t t ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，()0,1t ∈ 244log 4y t t ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭在()0,1t ∈单调递减 ∴22444log 44lo 41g 14y t t ⎛⎫⎛⎫=++->++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若关于x 的不等式()()1gk x f x -+<在区间()1,0-上恒成立,则4k ≤ 又k 为正实数∴(0,4]k ∈.【点睛】本题考查求函数的解析式，函数的零点，以及恒成立问题求参数取值范围，属于较难的题.。
2020_2021学年上海浦东新区高一上学期期末数学试卷(答案版)
2020~2021学年上海浦东新区高一上学期期末数学试卷(详解)一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1.【答案】【解析】【踩分点】设集合，且，则 ．集合，且，则．2.【答案】【解析】【踩分点】若点在幂函数的图象上，则该幂函数的表达式为 ．把点代入得，解得．则该幂函数的表达式为．3.【答案】【解析】【踩分点】不等式的解集是 ．∵不等式，，解得，∴不等式的解集为：．4.已知，则 ．【答案】【解析】【踩分点】由可得，故．5.【答案】【解析】【踩分点】函数的反函数是 ．，则，，故反函数为．6.【答案】【解析】【踩分点】设函数（且），则该函数的图象恒过定点的坐标是 ．当时，，故该函数的图象恒过定点．7.【答案】【解析】【踩分点】已知，则的最小值为 ．，当且仅当，即时等号成立，取得最小值．8.【答案】【解析】已知函数，，则此函数的值域是 ．易知该函数在上单调递减，【踩分点】所以当时，取得最大值，当时，取得最小值，故该函数在上的值域为．9.【答案】【解析】【踩分点】若不等式在上有解，则实数的取值范围为 ．令，当时，，当时，，当时，．综上，最小值为．要使在上有解，则．∴的取值范围为．10.【答案】【解析】【踩分点】已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 ．二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，若函数在区间上是减函数，则，解得，即实数的取值范围是．11.定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集是 ．yO x【答案】【解析】【踩分点】依题意，时，，时，，∵为奇函数，∴当时，，当时，，∴若，则，∴解集为．12.【答案】【解析】【踩分点】已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是 ．单调递减且值域为，单调递增且值域为，有两个不同的实根，则实数的取值范围是．二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13.A.B.C.D.【答案】A 选项：B 选项：【解析】若实数，满足，则下列不等式成立的是（ ）．B举反例：取，，满足，但是，因此不正确；∵，∴，因此正确；C 选项：D 选项：，分子，的符号无法确定，因此不正确；，当时，取等号，因此不正确．故选 B .14.A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件【答案】【解析】“函数与均是定义域为的奇函数”是“函数是偶函数”的（ ）．A ∵与均是定义域为的奇函数，则有，，∴，∴函数为偶函数，故充分性成立．当，时，为偶函数．但与均为非奇非偶函数，故必要性不成立．∴“函数与均是定义域为的奇函数”是“函数是偶函数”的充分非必要条件．故选．15.A.B.C.D.【答案】A 选项：【解析】下列不等式中，解集相同的是（ ）．与与与与C 等价于或，B 选项：C 选项：D 选项：解得或，而等价于，故不正确；由，解得：且，，故不正确；，等价于且，等价于，等价于，故正确；，等价于且，与取值范围不一致，故不正确．故选 C .16.A. B.C.D.【答案】【解析】已知函数，若，则的取值范围是（ ）．C 当时，不等式，所以，解得，这与不符，故此时不等式无解；当时，不等式为，所以，故此时不等式的解集为．综上，不等式的解集为．故选．三、解答题（本大题共5小题，共51分）18.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【踩分点】设函数为的定义域为，不等式的解集为．求集合、．已知全集，求．或；．．要使有意义，需满足，解得或，故或；，解得，故．，．故．19.【答案】【解析】已知函数的表达式为．讨论函数的奇偶性，并说明理由．当时，函数为偶函数；当时，函数为非奇非偶函数．证明见解析．函数的定义域关于原点对称17.【答案】【解析】【踩分点】设、为实数，比较与的值的大小．，，所以，当且仅当，时等号成立．【踩分点】①当时，，对任意，，∴为偶函数；②当时，，取，得，，∴，，∴函数既不是奇函数，也不是偶函数．综上所述，当时，函数为偶函数；当时，函数为非奇非偶函数．20.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】某商品销售价格和销售量与销售天数有关，第天的销售价格（元百斤），第天的销售量（百斤）．（销售收入销售价格销售量）求第天销售该商品的销售收入是多少？这天中，哪一天的销售收入最大？最大值为多少？元．第天该商品的销售收入最大，最大值为元．由已知得第天的销售价格（元百斤），销售量（百斤）．∴第天的销售收入（元），答：第天的销售收入为元．设第天的销售收入为，则．当时，，当时取最大值，当时，，当时取最大值，【踩分点】由于，答：第天该商品的销售收入最大，最大值为元．21.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】已知函数．当时，求证：在上是严格减函数．若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．证明见解析．．当时，，任取，则：，又，所以，，所以，则有，即，故当时，在上是严格减函数．由得对任意的恒成立，变形为对任意的恒成立，即对任意的恒成立，当即时，，所以．【踩分点】。
上海市浦东新区高一上期末数学试卷(1)
上海市浦东新区高一(上)期末数学试卷一、填空题(本大题满分36分)本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1 .函数y=a x(a> 0且a^ 1 )的图象均过定点 _____ .2•请写出好货不便宜”的等价命题：_.3. 若集合A={x|x w 1} , B={x|x>a}满足A H B={ 1}，则实数a=—.4. 不等式2|x- 1| - 1V0的解集是_____ .5. 若f (x+1) =2x- 1，则f (1) = ___ .y 36 .不等式—-：.-I的解集为s _2 -----7. __________________________________________ 设函数f (x) = (x+1)(x+a)为偶函数，贝U a= _______________________ .8. 已知函数f (x) = ' _________________ ，g (x)=…，则 f (x) ?g (x) = .V K+1工9. _____________ 设a：x<- 5或x> 1，B： 2m - 3<x<2m+1，若a是B的必要条件，求实数m的取值范围.10. 函数:'"的值域是—.11. _________________________________________ 已知ab>0，且a+4b=1，则-.的最小值为_____________________________________ .a b71-2a)x C I<1)12. 已知函数f(x)=自____________________________ _是R上的增函数，则a的取值范围是___________—+4 (x>l)二、选择题(本大题满分12分)本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分■413. 函数y=x 的大致图象是( )14. 已知f (x)是R上的奇函数，且当x>0时，f (x) =x- 1,则x v 0时f (x)=( )A. —x- 1B. x+1C.—x+1D. x- 115 •证券公司提示：股市有风险，入市需谨慎.小强买的股票A连续4个跌停( 个跌停：比前一天收市价下跌10%),则至少需要几个涨停，才能不亏损(一个涨停：比前一天收市价上涨10%).( )A. 3B. 4C. 5D. 616. 给定实数x,定义[x]为不大于x的最大整数，则下列结论中不正确的是( )A. x—[x] >0B. x—[x] v 1C. 令f (x) =x—[x]，对任意实数x，f (x+1)=f (x)恒成立D. 令f (x) =x- [x]，对任意实数x，f ( —x) =f (x)恒成立三、解答题(本大题满分52分)本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.3 317. 已知，;, : ： | ，求实数m的取值范围.18. 如图，矩形草坪AMPN中，点C在对角线MN上.CD垂直于AN于点D，CB垂直于AM 于点B，| CD =| AB| =3 米，| AD| =| BC| =2 米，设| DN| =x米，| BM| =y 米.求这块矩形草坪AMPN面积的最小值.X319•设a 是实数，函数f (x) =a- = (x€ R),(1) 若已知(1, 2)为该函数图象上一点，求a的值.(2) 证明：对于任意a，f(x)在R上为增函数.20 .已知函数f (x) =«- 2ax+1.(1)若对任意的实数x都有f (1+x) =f (1 - x)成立，求实数a的值；(2)若f (x)在区间［1，+x)上为单调递增函数，求实数a的取值范围;(3)当x€ ［- 1，1］时，求函数f (x)的最大值.21.在区间D上，如果函数f (x)为减函数，而xf (x)为增函数，则称f (x) 为D上的弱减函数.若f (x)=—(—Vl+x(1)判断f (x)在区间［0，+x)上是否为弱减函数；(2)当x€ ［1, 3］时，不等式:叮•士恒成立，求实数a的取值范围；(3)若函数g (x) =f (x) +k| x| - 1在［0，3］上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围.上海市浦东新区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1 .函数y=a x（a> 0且a^ 1 ）的图象均过定点（0, 1）.【考点】指数函数的图象与性质.【分析】根据指数函数的性质判断即可.【解答】解：：a0=1, a>0且a^ 1,函数丫=分（a>0且a z 1）的图象均过定点（0, 1）, 故答案为：（0, 1）.2.请写出好货不便宜”的等价命题：便宜没好货.【考点】四种命题.【分析】写出原命题的逆否命题，可得答案.【解答】解：好货不便宜”即如果货物为好货，则价格不便宜其逆否命题为：如果价格便宜，则货物不是好货” 即便宜没好货”，故答案为：便宜没好货3.若集合A={x|x w 1} , B={x|x>a}满足A H B={ 1}，则实数a=_J【考点】交集及其运算.【分析】由A, B,以及两集合的交集，确定出a的值即可.【解答】解：••• A={x| x< 1} , B={x| x>a}，且A H B={ 1}, --a=1,故答案为：14•不等式2|x- 1| - 1<0的解集是_已：二【考点】绝对值不等式的解法.【分析】先去掉绝对值然后再根据绝对值不等式的解法进行求解.【解答】解：①若x> 1,二 2 (x- 1)- 1<0,二x<_；②若x< 1,二 2 (1 - x)- 1< 0,.・.x> 订综上,x<故答案为：=< x<三5 .若f (x+1) =2x- 1,则f (1) = - 1 .【考点】函数的值.【分析】f (1) =f (0+1),由此利用f (x+1) =2x- 1，能求出结果.【解答】解：••• f (x+1) =2x- 1,••• f (1) =f (0+1) =2X 0-仁-1.故答案为：-1.垃I6. 不等式. 的解集为(-3 2)U [3, +旳.【考点】其他不等式的解法.【分析】首先将不等式化为整式不等式，然后求解集.【解答】解：原不等式等价于(x- 3) (x-2)>0且x- 2工0,所以不等式的解集为(-x, 2)U [3, +3)；故答案为：(-3, 2)U [3, +3)7. 设函数f (x) = (x+1) (x+a)为偶函数，贝U a= - 1 .【考点】函数奇偶性的性质.【分析】因为函数为偶函数，贝肪艮据偶函数定义 f (- x) =f (x)得到等式解出a 即可.【解答】解：•••函数为偶函数得f (1) =f (- 1)得：2 (1+a ) =0 --a=— 1. 故答案为：-1.8 .已知函数 f (X )= '：, g (x ) =「L 丄，则 f (x ) ?g (x ) Vx+1$U( 0, +x) .【考点】函数解析式的求解及常用方法. 【分析】直接将f (x ), g (x )代入约分即可.【解答】解：•••函数f (x ) = 一, g (x )二', Vri-1 x ••• f (x ) ?g (x ) =x , x € (- 1, 0)U( 0, +x), 故答案为：x , x € (- 1, 0)U( 0, +x).9.设a ： x < — 5或x > 1, B ： 2m — 3<x <2m+1，若a 是B 的必要条件，求实数 m 的取值范围 m w- 3或m 》2.【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系求出 m 的范围即可. 【解答】 解：a ： x < — 5 或 x > 1 , B ： 2m — 3<x < 2m+1, 若a 是B 的必要条件，则 2m — 3> 1 或 2m+1 w — 5, 故m 》2或m W - 3,故答案为：m 》2或m w — 3.【考点】函数的值域.【分析】换元得出设t=x 2 — 2》-2, y= ( ) t ，求解即可得出答案. 【解答】解：设t=x 2 — 2》-2,二 x , x € (— 1, 0)10.函数丁丛厂•的值域是(0, 4]••• y= ( J 七为减函数， •-0<CJ t w ( J — 2=4, 故函数V"的值域是(0, 4],故答案为：(0, 4].11.已知ab >0,且a+4b=1，则 •.的最小值为 9.a b【考点】基本不等式.【分析】把“ 1换成4a+b ,整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值 【解答】解：••• ab >0,且a+4b=1,1 . = J ) (a+4b ) =1+4+] + >5+2；尘 汙9,当且仅当 a=.； , b=；时 取等号，一的最小值为9,a b故答案为：9.(l-2a)s(x<l)_ 是R 上的增函数，贝U a 的取值范围是(M>1)(-X, 0) .【考点】函数单调性的性质.【分析】由条件利用函数的单调性的性质，可得 1-2a > 1,且a <0,由此求得 a 的取值范围.> 1,且 a <0, 求得a <0,故答案为：(-%, 0).12.已知函数f (x )=【解答】解：由于函数f (x )(l-2a)x(z<i) y+4(x>l)是R 上的增函数,1 - 2a二、选择题(本大题满分12分)本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分■413.函数y=x 的大致图象是( )【考点】函数的图象.【分析】根据函数的奇偶性和函数值得变化趋势即可判断.4 4【解答】解：y=f (-x) = ... =「=f(X)，•••函数y=x 为偶函数，•••图象关于y轴对称，故排除C, D，4一> 14•••当x>0时，y=x…的变化是越来越快，故排除B故选：A14.已知f (x)是R上的奇函数，且当x>0时，f (x) =x- 1，则x v 0时f (x) =( )A.- x- 1B. x+1C.- x+1D. x- 1【考点】函数奇偶性的性质.【分析】根据x>0时函数的表达式，可得X V 0时f (- X)=-X- 1，再利用奇函数的定义，即可算出当X V 0时函数f (X)的表达式.【解答】解：设X V 0,则-X>0,•••当X>0 时，f (X)=X- 1 ,•••当X V 0 时，f ( —X) =- X- 1，又••• f (X)是R上的奇函数，• f (X)=-f (-X)，•••当X V 0 时，f (X)=-f (- X)=X+1，故选B.15 •证券公司提示：股市有风险，入市需谨慎.小强买的股票A连续4个跌停(一个跌停：比前一天收市价下跌10%),则至少需要几个涨停，才能不亏损(一个涨停：比前一天收市价上涨10%).( )A. 3B. 4C. 5D. 6【考点】函数的值.【分析】设小强买的股票A时买入价格为a,连续4个跌停后价格为a( 1- 10%)4=0.6561a,设至少需要X个涨停，才能不亏损，则0.6564a (1+10%) X>a,由此能求出结果.【解答】解：设小强买的股票A时买入价格为a, 连续4个跌停后价格为a (1- 10%) 4=0.6561a, 设至少需要X个涨停，才能不亏损，则0.6564a (1+10%) X>a, 整理得：1.1X> 1.5235,••• 1.15=1.6105, 1.14=1.4641.•••至少需要5个涨停，才能不亏损.故选：C.16. 给定实数x,定义[X]为不大于X的最大整数，则下列结论中不正确的是( )A. X- [X] >0B. X- [X] V 1C. 令f (x) =x-[x]，对任意实数x, f (x+1) =f (x)恒成立D. 令f (x) =x- [ x]，对任意实数x, f (- x) =f (x)恒成立【考点】函数的值；函数解析式的求解及常用方法.【分析】利用[x]为不大于x的最大整数，结合函数性质求解.【解答】解：在A中，：[x]为不大于x的最大整数，二x-[x] >0,故A正确;在B中，：[x]为不大于x的最大整数，••• x- [x] v 1,故B正确；在C中，t[x]为不大于x的最大整数，f (x) =x- [x]，•对任意实数x，f (x+1) =f (x)恒成立，故C正确；在D中，：[x]为不大于x的最大整数，f (x) =x- [x]，• f (- 3.2) =- 3.2 - [ - 3.2]=-3.2+4=0.8, f (3.2) =3.2- [ 3.2] =3.2-3=0.2,•对任意实数x, f (x+1) =f (x)不成立，故D错误.故选：D.三、解答题(本大题满分52分)本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.3 317. 已知厂匚.+厂.匚，求实数m的取值范围.【考点】幕函数的性质.【分析】根据函数的单调性得到关于m的不等式，解出即可.【解答】解：(1)设函数，函数为R上的单调递增函数…得, m2+m<- m+3…即，m2+2m - 3< 0…得，(m - 1) (m+3)< 0所以，m的取值范围为：m € [ - 3, 1]…18. 如图，矩形草坪AMPN中，点C在对角线MN上.CD垂直于AN于点D,CB垂直于AM 于点B, | CD =| AB| =3 米，| AD| =| BC| =2 米，设| DN| =x米，| BM| =y 米.求这块矩形草坪AMPN面积的最小值.【考点】基本不等式在最值问题中的应用. 【分析】由题意-—1「：一「：士一+'—匚7一1/,表示出矩形的面积, J y 式，即可求得结论.【解答】解：由题意士一二，一3 yS A MPN = (x+2) (y+3) =xy+3x+2y+6=12+3x+2y ••:当且仅当3x=2y,即x=2, y=3时取得等号.….面积的最小值为24平方米. ….219 .设 a 是实数，函数 f (x ) =a -「 (x € R ),(1) 若已知(1, 2)为该函数图象上一点，求a 的值.(2) 证明：对于任意a , f (x )在R 上为增函数.【考点】函数的图象.【分析】(1)代值计算即可求出a(2)运用函数的定义判断证明函数的单调性，先在取两个值 X 1,变形，确定符号，最后下结论即可.【解答】解：(1) 「匚」三亍(2)证明：设任意禺，x ?€ R , X 1V X 2,由于指数函数y=2x 在R 上是增函数，且X iV X 2,所以即-.■ -I, 又由 2X >0,得「•’［「，「•：’［「，• •• f (X 1)- f ( X 2)v 0 即 f ( X 1)V f (X 2),所以，对于任意a , f (X )在R 上为增函数.则 f ( X 1 ) -f ( X2 ): =. =2 2+1 2=2(2 1 - 2(小+1)(2叫 +1)2_, 2 叫+1 2X L +1 利用基本不等 X 2后进行作差电20 .已知函数f (X)=«- 2ax+1.(1)若对任意的实数X都有f (1+X)=f (1 - x)成立，求实数a的值；(2)若f (X)在区间［1, +x)上为单调递增函数，求实数a的取值范围；(3)当x€ ［- 1, 1］时，求函数f (x)的最大值.【考点】函数的最值及其几何意义；二次函数的性质.【分析】(1)由题意可得x=1为对称轴，求得f (X)的对称轴方程，即可得到a；(2)求得f (x)的递增区间，［1, +x)为它的子区间，可得a的范围；(3)由函数图象开口向上，对称轴x=a,可得最大值只能在端点处取得，讨论a=0,a>0, a v0,即可得到所求最大值.【解答】解：(1)由对任意的实数x都有f (1+x) =f (1 - x)成立，知函数f (x) =x2- 2ax+1的对称轴为x=a,即a=1 ；(2)函数f (x) =x - 2ax+1的图象的对称轴为直线x=a,由f (x)在［a, +x)上为单调递增函数，y=f (x)在区间［1, +x)上为单调递增函数，得，a< 1 ；(3)函数图象开口向上，对称轴x=a,可得最大值只能在端点处取得.当a v0时，x=1时，函数取得最大值为：2 - 2a；当a>0时，x=- 1时，函数取得最大值为：2+2a；当a=0时，x=1或-1时，函数取得最大值为：2.21.在区间D上，如果函数f (x)为减函数，而xf (x)为增函数，则称f (x) 为D上的弱减函数.若f (x) = : -(1)判断f (x)在区间［0, +x)上是否为弱减函数；(2) 当x € ［1, 3］时，不等式 • 〔 「：恒成立，求实数a 的取值范围； x Vl+it 2K(3)若函数g (x ) =f (x ) +k|x| - 1在［0, 3］上有两个不同的零点，求实数k的取值范围.【考点】函数单调性的性质.【分析】(1)利用初等函数的性质、弱减函数的定义，判断：-―是［0，+%)上的弱减函数. 里; 再利用函数的单调性求得函数的最值,2 5 '71+7可得a 的范围.(3)根据题意，当x €( °，3］时，方程'—门工只有一解，分离参数k ，换元利用二次函数的性质，求得 k 的范围.【解答】解：(1)由初等函数性质知，：-在［°, +x)上单调递减, 而汀* |- 一 -宀； -:! :■: .： 在［°, +x)上单调递增，所以宀二：=是［°，+7 上的弱减函数.曲焉)唤 X - 2 5 VT77 仏 而...二-一在［1, 3］单调递增，••• 的最小值为-, 的最大值为「，Vl+xVl+x £ Vl+x占 ，二 a € [ -1，J . (3)由题意知方程“ 在【°，3］上有两个不同根, ①当x=°时，上式恒成立； ②当x €(°, 3］时，则由题意可得方程'门工只有一解,1 门一 1> 1 VI 耳-1 1 根据二一’ —(2)根据题意可得・ (2)不等式化为罟在X € ［1,3］上恒成立，则,.x 1令「r,则t e(1, 2],方程化为「.在t e(1, 2］上只有一解，所以。
上海市浦东新区2021-2022学年高一上学期期末数学试题(解析版)
浦东新区2021学年度第一学期期末教学质量检测高一数学答案一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1. 已知全集，集合，则_____________．【答案】## 【解析】【分析】根据补集运算得到答案即可.【详解】因为全集，集合，所以 故答案为：2. 函数的定义域为_____________．【答案】【解析】【分析】要使函数有意义，则有，解出即可.【详解】要使函数有意义，则有，即，解得故答案为：3. 已知幂函数的图象过点，则______.【解析】【分析】先根据待定系数法求得函数的解析式，然后可得的值．【详解】由题意设，∵函数的图象过点，∴，{}1,2,345U =，，{}123A =，，A ={}45，{}5,4{}1,2,345U =，，{}123A =，，A ={}45，{}45，1ln2x y x-=-()1,21ln2x y x-=-102x x ->-1ln 2x y x-=-102x x ->-()()120x x -->12x <<()1,2()y f x =(()3f =()y f x =()3f ()y f x x α==()y f x =(1222α==∴，∴，∴．【点睛】本题考查幂函数的定义及解析式，解题时注意用待定系数法求解函数的解析式，属于基础题．4. 当时，求___________．【答案】0【解析】【分析】由直接取绝对值号，进行开方运算即可求得.【详解】因为，所以.故答案为：05. 计算：_______．【答案】5【解析】【分析】利用对数运算性质求解即可.【详解】.故答案：6. 用反证法证明“设，求证”时，第一步的假设是______________．【答案】【解析】【分析】根据反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．即可得解；【详解】解：用反证法证明“设，求证”， 第一步为假设结论不成立，即假设故答案为：【点睛】此题主要考查了反证法的第一步，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：为12α=()12f x x =()1233f ==0a <a ++0a <0a <()20a a a a ++=-+-+=2log 2222log 24log 3+-=2log 22222log 24log 32log 8235+-=+=+=5332a b +=2a b +≤2a b +>332a b +=2a b +≤2a b +>2a b +>（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．7. 已知是关于的方程的两个根，则 ________.【答案】4【解析】【分析】由条件可得，，然后利用算出答案即可.【详解】因为是关于的方程的两个根，所以，，所以故答案为：48. 已知，则的最小值为________．【答案】【解析】【分析】首先根据题意得到，再利用基本不等式求解即可.【详解】因，所以，所以.当且仅当，即时取等号.所以的最小值为.故答案为：9. 若函数在区间内的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下：那么方程的一个近似解为_________（精确到0.1）．为αβ、x ()22240x mx m m R -+-=∈αβ-=+=2m αβ2=4m αβ-αβ-=αβ、x ()22240x mx m m R -+-=∈+=2m αβ2=4m αβ-4αβ-===3x >-13x x ++1-113333x x x x +=++-++3x >-30x +>11333133x x x x +=++-≥-=-++133x x +=+2x =-13x x ++1-1-()31f x x x =--[]1,1.5310x x --=x =()10f <()1.50f >()1.250f <()1.3750f >【答案】1.3【解析】【分析】根据，可以判定函数零点所在区间即可求得近似解.【详解】由题可得，，所以函数零点所在区间由题：0.1，所以其近似解为1.3.故答案为：1.310. 若是奇函数，当时，则__________．【答案】【解析】【分析】根据题设条件，利用，即可求解.【详解】由题意，函数是奇函数，当时，所以.故答案为：.11. 已知问题：“恒成立，求实数的取值范围”.两位同学对此问题展开讨论：小明说可以分类讨论，将不等式左边的两个绝对值打开；小新说可以利用三角不等式解决问题.请你选择一个适合自己的方法求解此题，并写出实数的取值范围___________．【答案】【解析】【分析】根据三角不等式求出最小值即可得解.【详解】根据三角不等式，所以恒成立，只需，所以或解得.()1.31250f <()1.343750f >()1.31250f <()1.343750f >()1.31250f <()1.343750f >()1.3125,1.34375()y f x =0x >()()2log 2f x x =+()2f -=2-()()22f f -=-()y f x =0x >()()2log 2f x x =+()()222log (22)2f f -=-=-+=-2-35x x a ++-≥a a (][),82,-∞-+∞ 33x x a a ++-≥+35x x a ++-≥35a +≥35a +≤-35a +≥(][),82,a ∈-∞-+∞U故答案为：12. 已知函数，若，则实数的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】根据函数单调性分段处理即可得解.【详解】由题函数在单调递增，在为常数函数，且若则或或则或或或或，综上所述：故答案为：二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.13. “”是“指数函数在上是严格减函数”的 （ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据定义，分充分性和必要性分别判断即可.(][),82,-∞-+∞ ()21,02,0x x f x x ⎧+≤=⎨>⎩()()221f a a f a -≤-a ⎫+∞⎪⎪⎭()21,02,0x x f x x ⎧+≤=⎨>⎩(],0-∞()0,∞+()02f =()()221f a a f a -≤-2210a a a -≤-≤2201a a a -≤≤-22010a a a ⎧-≥⎨-≥⎩23101a a a ⎧-+≤⎨≤⎩22001a a a ⎧-≤⎨≤-⎩22010a a a ⎧-≥⎨-≥⎩1a ≤≤12a ≤≤2a ≥a ⎫∈+∞⎪⎪⎭⎫+∞⎪⎪⎭12a =x y a =R【详解】充分性：时，在上是严格减函数成立，故充分性满足；必要性：由“指数函数在上是严格减函数”可得：，所以不一定成立，故必要性不满足.故“”是“指数函数在上是严格减函数”的充分非必要条件.故选：A.14. 任意，下列式子中最小值为2的是（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】A.通过举例排除；BCD 通过基本不等式及等号成立条件来判断.【详解】A.当时，，排除；B.，当且仅当时等号成立，符合；CD. ，当且仅当时等号成立，故等号不能成立，则，排除.故选：B.15. 若，则等于A. B.C.D.【答案】B 【解析】的.12a =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭R x y a =R 01a <<12a =12a =x y a =R x∈R 1x x+22x x -+222x x+1x =-12x x+=-222-+≥=x x 0x =222x x +≥=2x =2+≥=221x +=2+>18log 9185ba ，==36log 452a ba ++2ab a +-2a b a+2a b a +【分析】先化为，化再利用换底公式化简，解得，最后利用换底公式求结果.【详解】∵18b=5，∴，又，联立解得．∴．故选B．【点睛】本题考查换底公式，考查基本化简求解能力.16. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征，如函数（）的图像不可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性，分类，和三种情况分类讨论，结合选项，即可求解.【详解】由题意，函数的定义域为关于原点对称，且，所以函数为偶函数，图象关于原点对称，当时，函数且，图象如选项B中的图象；185b=5531823loglog2logb==+9318233log2log2loga==+ 3322log22log5aaba-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩5531823loglog2logb==+9318233log2log2loga==+3322log22log5aaba-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩9554533364923322log2loglog22log22log222ba baa aa⨯⨯+++====-+-+⨯2()af x xx=+a R∈a=0a<0a>2()()af x x a Rx=+∈(,0)(0,)x∈-∞⋃+∞()()f x f x-=()f xa=2()f x x=(,0)(0,)x∈-∞⋃+∞当时，若时，函数，可得，函数在区间单调递增，此时选项C 符合题意；当时，若时，可得，则，令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以选项D 符合题意.故选：A.三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．17. 已知a ，b 都是正实数，求证：，并指出等号成立的条件.【答案】证明见解析【解析】【分析】利用作差法证明即可.【详解】证明：所以 ， 且等号当且仅当时成立18.设不等式的解集为，不等式的解集为.（1）求集合、；（2）已知全集，求.【答案】（1），； （2）或.0a <0x >2()a f x x x =+322()0x af x x-'=>()f x (0,)+∞0a >0x >2()a f x x x =+3222()2a x af x x x x-'=-=()0f x '=x =x ∈()0f x '<()f x )x ∈+∞()0f x '>()f x 3322a b a b ab +≥+()()()332222()a b a b ab a b a ab bab a b +-+=+-+-+()()2a b a b =-+≥3322a b ab a b +≥+a b =213x -≤P 228x ≤≤Q P Q R U =P Q {}12P x x =-≤≤{}13Q x x =≤≤{1P Q x x ⋂=<}2x >【解析】【分析】（1）解两不等式可得出集合、；（2）求出集合，利用补集的定义可求得集合.【小问1详解】解：由可得，解得，由可得，因此，，.【小问2详解】解：由（1）可得，因此，或.19. 已知函数（1）求函数的值域；（2）求证：函数在上是严格减函数.【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由可推出答案；（2）利用定义证明即可.【小问1详解】因为，所以所以函数的值域为【小问2详解】设是上任意给定的两个实数，且，则， ，，函数在上是严格减函数20.P Q P Q P Q 213x -≤3213x -≤-≤12x -≤≤32282x ≤≤=13x ≤≤{}12P x x =-≤≤{}13Q x x =≤≤{}12P Q x x ⋂=≤≤{1P Q x x ⋂=<}2x >()121x f x =+()f x ()y f x =R ()0,1()20,x∈+∞()20,x∈+∞()211,x+∈+∞()f x ()0,112,x x R 12x x <()()1212112121x x f x f x -=-++()()2112222121x x x x-=+⋅+12x x < 2122x x ∴> 1210x +>2210x +>()()12f x f x ∴>∴()y f x =R浦东某购物中心开业便吸引了市民纷纷来打卡（观光或消费），某校数学建模社团根据调查发现：该购物中心开业一个月内（以30天计），每天打卡人数与第天近似地满足函数（万人），k 为正常数，且第8天的打卡人数为9万人.（1）求k 的值；（2）经调查，打卡市民（含观光）的人均消费（元）与第天近似地满足下表： x (天)101418222630(元)131135139143139135现给出以下三种函数模型：①，②，③.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述打卡市民（含观光）的人均消费（元）与第天的关系，并求出该函数的解析式；（3）请在问题（1），（2）的基础上，求出该购物中心日营业收入（，x 为正整数）的最小值（单位：万元）.（注：日营业收入=日打卡人数人均消费）.【答案】（1）8； （2）函数模型②满足要求，；（3）1116万元.【解析】【分析】（1）直接根据即可求出的值；（2）根据表格可知的值先增大，后减小，从而可得到函数模型②满足要求；然后根据表格中的数据代入函数的关系式即可求出答案；（3）分且为正整数和且为正整数两种情况分段讨论去掉绝对值符号，从而可求函数的最小值.【小问1详解】因为第天的打卡人数为万人，所有，解得.【小问2详解】由表格，可知的值先增大，后减小，所以显然，函数模型②满足要求，()P x x ()8kP x x=+()C x x ()C x ()C x ax b =+()22C x a x b =-+()xC x a b =+()C x x ()f x 130x ≤≤()P x ⨯()C x ()22143C x x =--+()89P =k ()C x 2230x ≤≤x 121x ≤≤x 89()8898kP =+=8k =()C x又由表格可知，代入，得，解得，所以.【小问3详解】易知，当且为正整数时，，因为为减函数，所以；当且为正整数时，，所以，当且仅当时等号成立.综上知，该商场在第30天时日营业收入最小，最小为1116万元.21. 已知函数.（1）求方程解；（2）若关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围；（3）若将区间划分成2021个小区间，且满足，使得和式恒成立，试求出实数的最小值并说明理由.【答案】（1）（2）（3）6，理由见解析【解析】【分析】（1）解方程即可；（2）将问题转化为在上有实数解，求函数在的()()10131,14135C C ==()22C x a x b =-+121318135a b a b +=⎧⎨+=⎩1,143a b =-=()22143C x x =--+()()()()8814322f x P x C x x x ⎛⎫==+-- ⎪⎝⎭2230x ≤≤x ()()1165811658164f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x ()()301116f x f ≥=121x ≤≤x ()()1121811218122f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()121812*********f x x x ⎛⎛⎫=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝11x =()24x f x =-()3f x =x 12()log f x x λ=+[]2,4x ∈λ()0,1,2,,2021i x i =⋅⋅⋅[]1,3012202113x x x x =<<<⋅⋅⋅<=()()()()()()()()10213220212020f x f x f x f x f x f x f x f x M -+-+-+⋅⋅⋅+-≤M 2log 7x =[]1,14λ∈243x -=122log 4x x λ=--[]2,4x ∈122log 4x y x =--[]2,4x ∈上的值域即可得解；（3）根据函数单调性分析最值即可得解.【小问1详解】由得得【小问2详解】由题可得在上有实数解，函数在上是严格增函数 又 【小问3详解】由题，在区间上是严格增函数，对任意划分，且为正整数实数的最小值为243x -=27x =2log 7x =122log 4xx λ=--[]2,4x ∈122log 4x y x =--[]2,4x ∈[]122log 41,14x x --∈[]1,14λ∴∈()f x []1,3012202113k x x x x x =<<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅<=2021k <()()()()()()()()10212120212020f x f x f x f x f x f x f x f x -+-+-+⋅⋅⋅+-()()()()()()()()10213220212020f x f x f x f x f x f x f x f x =-+-+-+⋅⋅⋅+-()()20210f x f x =-()()316f f =-=6M ∴≥∴M 6。
上海市浦东新区高一上学期期末考试数学试卷含答案
上海市浦东新区2021--2022学年度第一学期期末考试高一年级数学试卷试卷共 4 页考生注意：1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚； 2、本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟；3、请考生用黑色水笔或圆珠笔将答案写在答题(卡)卷上；一、填空题（每小题3分，共36分） 1、若43πα=，则α的终边在第________象限. 2、如果32a =，那么3log 8=______．（用a 表示）3、设集合{}1,A a =，{}21,B a =．若A B =，则实数a 的值为______．4、某扇形的圆心角为2弧度，半径为4cm ，则该扇形的面积为___________2cm .5、已知常数0a >且1a ≠，假设无论a 为何值，函数12x y a -=+的图像恒经过一个定点，则这个点的坐标为_________.6、若幂函数()f x 过点()2,8，则满足不等式()()310f a f a -+-≤的实数a 的取值范围是______.7、已知()()sin cos πθπθ-++=1tan tan θθ+的值是___________.8、设函数1221(0)()(0)x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩,若0()1f x >，则0x 的取值范围是________. 9、设x R ∈，求方程|2||23||35|x x x -+-=- 的解集__________ 10、设,0a b >，若41a b +=，则22log log a b +的最大值为__________．11、已知函数223,[,0]y x x x m =++∈的最大值为3，最小值为2，则实数m 的取值范围是____________.12、已知R λ∈，函数()24,43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩，若函数()y f x =图像与x 轴恰有两个交点，则实数λ的取值范围是______________.二、选择题：（每题3分，共12分）13、下列四个命题中，为真命题的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc > B.若a b >，c d >，则a c b d ->- C ．若||a b >，则22a b > D ．若a b >，则11a b< 14、若不等式20ax bx c ++>的解集是{|x 1123x -<<}，则不等式20cx bx a +<+的解集是（ ）. A ．(3,2)- B.(2,3)- C. (,2)(3,)-∞-+∞ D. (,3)(2,)-∞-+∞15、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”成立时，假设正确的是（ ） A ．假设三内角都不大于60° B ．假设三内角都大于60°C ．假设三内角至少有一个大于60°D ．假设三内角至多有两个大于60°16、若存在实数a ，使得当[0,]x m ∈（0m >）时，都有2|21|||4x x a -+-≤，则实数m 的最大值是（ ）A ．1B ．32 C ．2 D ． 52【提示】由各选项知最大值m t ≤，由214x -≤，解得3522x -≤≤，这样必须有52m ≤，然后不等式变形为22421421x x a x x -+-≤≤+--，记()2421f x x x =+--，()2421g x x x =-+-，分类讨论去绝对值符号，可得()f x 的最小值是3，因此()g x 的最大值性质不大于3，才存在a 保证不等式恒成立，由最大值()3g m ≤可得m 的范围，得m 的最大值； 三、解答题：(共52分)17、（本题8分）已知集合{||2|3}A x x =-<，集合12{|0}7xB x x -=>-，求集合A B18、（本题8分） 已知sin 0αα=，求 （1）222sin3sin cos 5cos αααα-+的值；（2）若[0,2)απ∈，求角α的值19、（本题12分）某农户利用墙角线互相垂直的两面墙，将一块可折叠的长为a m 的篱笆墙围成一个鸡圈，篱笆的两个端点,A B 分别在这两墙角线上，现有三种方案：方案甲：如图1，围成区域为三角形AOB ； 方案乙：如图2，围成区域为矩形OACB ；方案丙：如图3，围成区域为梯形OACB ，且60OAC ∠=︒.（1）在方案乙、丙中，设m AC x =，分别用x 表示围成区域的面积()22S m ，()23S m ;（2）为使围成鸡圈面积最大，该农户应该选择哪一种方案，并说明理由.20、（本题10分） 设函数()y f x =的表达式为2()||f x x x a =+-，其中a 为实常数. （1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）设0a >,函数()()f x g x x=在区间(0,]a 上为严格减函数，求实数a 的最大值.21、（本题14分） 已知函数()y f x =的定义域为D ，若存在实数a ，b ，对任意的x D ∈，有2-∈a x D ，且使得()(2)2f x f a x b +-=均成立，则函数()y f x =的图像关于点(,)a b 对称，反之亦然，我们把这样的函数()f x 叫做“ψ函数；（1）已知“ψ函数”的图像关于点(1,2)对称，且(0,1)x ∈时，1()f x x x=-；求(1,2)x ∈时，函数()f x 的解析式；（2）已知函数123()1234x x x x f x x x x x +++=+++++++，问()f x 是否为“ψ函数”？请说明理由； （3）对于不同的“ψ函数”()f x 与()g x ，若()f x 、()g x 有且仅有一个对称中心，分别记为(,)m p 和(,)n q ， ①求证：当m n =时，()()f x g x +仍为“ψ函数”；②问：当m n ≠时，()()f x g x +是否仍一定为“ψ函数”？若是，请说明理由；若不一定是，请举出具体的反例；【提示】（1）根据函数图像的对称关系列关系式计算即可；（2）根据“ψ函数”的定义，结合题给的具体函数解析式，计算出a ,b 的值即可得出结果；（3）①根据定义验证即可；②根据定义，举出具体函数验证结论，所举函数不唯一；答案解析2021--2022学年度第一学期期末高一年级数学卷试卷共 4 页考生注意：1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚； 2、本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟；3、请考生用黑色水笔或圆珠笔将答案写在答题(卡)卷上；一、填空题（每小题3分，共36分） 1、若43πα=，则α的终边在第________象限. 【提示】注意：高中研究“角”的前提 【答案】三； 【解析】+3παπ=；【说明】本题考查了角是“旋转”的量；高中研究角，前提：在直角坐标系中，顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上；2、如果32a =，那么3log 8=______．（用a 表示） 【提示】注意：指数与对数的互化； 【答案】3a ；【解析】方法1、由332log 2aa =⇒=，而33log 83log 23a ==；方法2、333log 83log 23log 33aa ===；【说明】本题主要考查指数与对数的互化或对数的换底公式； 3、设集合{}1,A a =，{}21,B a =．若A B =，则实数a 的值为______．【提示】注意：集合相等的隐含条件； 【答案】0；【解析】由已知，得20a a a =⇒=或1a =（舍去）； 【说明】本题考查了集合相等与集合元素的互异性；4、某扇形的圆心角为2弧度，半径为4cm ，则该扇形的面积为___________2cm . 【提示】注意：扇形的面积公式的相关要素； 【答案】16； 【解析】由221112416222S lr r α===⨯⨯=； 【说明】本题考查了扇形的面积公式，注意：角的单位须：弧度；5、已知常数0a >且1a ≠，假设无论a 为何值，函数12x y a -=+的图像恒经过一个定点，则这个点的坐标为_________.【提示】注意：“指数函数”的图像特征；【答案】(13)，【解析】由指数函数xy a =的图像恒经过一个定点(01)，，所以，函数12x y a -=+的图像恒经过一个定点(13)，；【说明】本题考查了指数函数xy a =的图像特征；6、若幂函数()f x 过点()2,8，则满足不等式()()310f a f a -+-≤的实数a 的取值范围是______. 【提示】注意：幂函数的定义并判断单调性； 【答案】(],2-∞；【解析】由题意，不妨设幂函数()af x x =，因为，若幂函数()f x 过点()2,8，则幂函数为3y x =；又，幂函数为3y x =为奇函数；则不等式()()310f a f a -+-≤，等价为()()()()3131f a f a a a -≤-⇔-≤-，解得2a ≤；【说明】本题既考查了利用待定系数法求幂函数；又综合考查了函数的奇偶性、单调性的交汇；7、已知()()sin cos πθπθ-++=1tan tan θθ+的值是___________.【提示】注意：转化为“同角”； 【答案】3；【解析】由已知()()sin cos 3πθπθ-++=sin cos 3θθ-=；又1tan tan θθ+=sin cos 1cos sin sin cos θθθθθθ+=， 再据21(sin cos )12sin cos 3θθθθ=-=-，解得1sin cos 3θθ=，所以，1tan tan θθ+=sin cos 13cos sin sin cos θθθθθθ+==； 【说明】本题既考查了诱导公式，又综合考查了平方关系及其变式2(sin cos )12sin cos θθθθ±=±；8、设函数1221(0)()(0)x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩,若0()1f x >，则0x 的取值范围是________. 【提示】注意：分段函数；在给定区间上利用单调性进行转化； 【答案】(,1)(1,)-∞-+∞；【解析】当00x ≤时，由已知，得0010211221x x x --->⇔>⇔<-，即01x <-；当00x >时，由已知，得111222000111x x x >⇔>⇔>，即01x > 综上，可得01x <-或01x >；【说明】本题考查了依据分段函数，结合指数函数与幂函数的单调性进行等价转化为不等式解之； 9、设x R ∈，求方程|2||23||35|x x x -+-=- 的解集__________ 【提示】注意：题设中“(2)(23)(35)x x x -+-=-”的特点；【答案】3(,][2,)2-∞+∞；【解析】由三角不等式|35||(2)(23)||2||23|x x x x x -=-+-≤-+-，等号成立条件是：(2)(23)|0x x -⋅-≥，解得32x ≤或2x ≥，即3(,][2,)2-∞+∞； 【说明】本题基本方法是：分段讨论或借助函数数形结合，计算量大；但是，若能理解与用好“新教材”中的三角不等式与等号成立条件，则简捷合理；10、设,0a b >，若41a b +=，则22log log a b +的最大值为__________．【提示】注意：限制条件，研究“最大值”的目标是：小于等于常数，并保证等号成立； 【答案】4-；【解析】由,0a b >，若41a b +=，结合基本不等式，得1142416a b ab ab =+≥⇔≤（等号，当且仅当“41a b +=且4a b =”时成立）； 而22221log log log log 416a b ab +=≤=- 【说明】本题既考查了基本不等式，又考查了对数的运算法则；有一定的综合性；11、已知函数223,[,0]y x x x m =++∈的最大值为3，最小值为2，则实数m 的取值范围是____________. 【提示】画出函数的图像，对称轴为1x =-，函数在对称轴的位置取得最小值2，令2()233f x x x =++=，可求得0x =，或2x =-，进而得到参数范围； 【答案】[2,1]--；【解析】函数2()23f x x x =++的图象是开口朝上，且以直线1x =-为对称的抛物线， 当1x =-时，函数取最小值2，令2()233f x x x =++=，则0x =，或2x =-，若函数2()23f x x x =++在[],0m 上的最大值为3，最小值为2，则[]2,1m ∈--，故答案为：[]2,1--；【说明】本题主要考查一元二次函数给定，区间变化；数形结合解答这类填充、选择题最有效；12、已知R λ∈，函数()24,43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩，若函数()y f x =图像与x 轴恰有两个交点，则实数λ的取值范围是______________.【提示】注意：关键词“函数()y f x =图像”、“x 轴恰有两个交点” 【答案】 (]()1,34,+∞；【解析】方法1、由题意，函数()y f x =图像与x 轴恰有两个交点，就是方程()0f x =有两个根； 分别解出方程40x -=有一个根：14x =，方程2430x x -+=有两个根21x =或33x =；所以，当1λ≤时，方程()0f x =有1个根；当13λ<≤时，方程()0f x =有2个根； 当34λ<≤时，方程()0f x =有3个根；当4λ>时，方程()0f x =有2个根； 综上，(]()1,34,λ∈+∞；方法2、画出函数()24,43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩的图像，如图据图，得（同方法1）【说明】本题主要考查了分段函数、初等函数的图像；以及新教材中“零点”的定义与“三种等价”形式，渗透了函数与方程思想与数形结合的数学思想方法的考查； 二、选择题：（每题3分，共12分）13、下列四个命题中，为真命题的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc > B.若a b >，c d >，则a c b d ->- C ．若||a b >，则22a b > D ．若a b >，则11a b< 【提示】注意：不等式性质； 【答案】C ；【解析】由不等式性质22||0a b a b >>⇒> 【说明】本题考查了不等式性质； 14、若不等式20ax bx c ++>的解集是{|x 1123x -<<}，则不等式20cx bx a +<+的解集是（ ）. A ．(3,2)- B.(2,3)- C. (,2)(3,)-∞-+∞ D. (,3)(2,)-∞-+∞【提示】注意：一元二次不等式与一元二次方程的沟通； 【答案】B ；【解析】由不等式20ax bx c ++>的解集是{|x 1123x -<<}，则 得0a <且方程20ax bx c ++=的两个根为：112x =-或213x =，由11()()023c a =-⨯<，则0c >，所以，方程2 0cx bx a +=+的两个根为： 32x =-或43x =，则不等式2 0cx bx a +<+的解集是(2,3)-；【说明】本题综合考查了一元二次不等式与一元二次方程的沟通与一元二次方程根的定义；15、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”成立时，假设正确的是（ ） A ．假设三内角都不大于60° B ．假设三内角都大于60°C ．假设三内角至少有一个大于60°D ．假设三内角至多有两个大于60°【提示】注意审题，关键词“至少有一个不大于”； 【答案】B【说明】本题考查了新教材中新增必修的知识点“反证法”；16、若存在实数a ，使得当[0,]x m ∈（0m >）时，都有2|21|||4x x a -+-≤，则实数m 的最大值是（ ）A ．1B ．32 C ．2 D ． 52【提示】由各选项知最大值m t ≤，由214x -≤，解得3522x -≤≤，这样必须有52m ≤，然后不等式变形为22421421x x a x x -+-≤≤+--，记()2421f x x x =+--，()2421g x x x =-+-，分类讨论去绝对值符号，可得()f x 的最小值是3，因此()g x 的最大值性质不大于3，才存在a 保证不等式恒成立，由最大值()3g m ≤可得m 的范围，得m 的最大值； 【答案】C ；【解析】由各选项知最大值m t ≤，因为214x -≤，解得3522x -≤≤，所以52m ≤；不等式2214x x a -+-≤可化为22421421x x a x x -+-≤≤+--.设()2421f x x x =+--，()2421g x x x =-+-，因为()22123021252x x x f x x x x m ⎧⎛⎫++≤< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩的最小值为3，所以当[]()0,0x m m ∈>时，都有()3g x ≤.若10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()2233g x x x =--≤-；若1,2x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()2253g x x x =+-≤，所以2280m m +-≤，解得2m ≤.综上，所求实数m 的最大值为2； 故选：C ；【说明】本题综合考查了分段函数、函数的最值、绝对值不等式、一元二次函数在给定区间上求最值；解题的切入点是：通过绝对值的性质挖掘自变量x 的隐含条件，由此得出52m ≤的隐含条件；从而，等价为一元二次函数在给定区间上求最值与恒成立问题； 三、解答题：(共52分)17、（本题8分）已知集合{||2|3}A x x =-<，集合12{|0}7xB x x -=>-，求集合A B 【提示】先利用“解不等式”知识，化简集合； 【解析】由条件可知，(1,5)A =-，1(,7)2B =，所以，(1,7)AB =-；【说明】本题考查了简单的绝对值不等式、分式不等式的解法与集合的并集运算；18、（本题8分） 已知sin 0αα=，求 （1）222sin3sin cos 5cos αααα-+的值；（2）若[0,2)απ∈，求角α的值【提示】注意：关于sin ,cos αα的“齐次式”的运算技巧，已知三角比求角，注意角的范围；【解析】由条件可知sin αα=，所以tan α=222222222sin 3sin cos 5cos 2tan 3tan 52sin 3sin cos 5cos =sin cos tan 1ααααααααααααα-+-+-+=++，所以，原式（2）由tan α=[0,2)απ∈，所以，25,33ππα=； 【说明】本题考查了同角三角比之间关系与已知三角比求角；而本题若注意“关于sin ,cos αα的“齐次式””，采用先化简后计算，则解答更简捷；19、（本题12分）某农户利用墙角线互相垂直的两面墙，将一块可折叠的长为a m 的篱笆墙围成一个鸡圈，篱笆的两个端点,A B 分别在这两墙角线上，现有三种方案：方案甲：如图1，围成区域为三角形AOB ； 方案乙：如图2，围成区域为矩形OACB ；方案丙：如图3，围成区域为梯形OACB ，且60OAC ∠=︒.（1）在方案乙、丙中，设m AC x =，分别用x 表示围成区域的面积()22S m ，()23S m ;（2）为使围成鸡圈面积最大，该农户应该选择哪一种方案，并说明理由. 【提示】（1）根据矩形面积与梯形的面积公式表示即可得答案；（2）先根据基本不等式研究方案甲得面积的最大值为24a ，再根据二次函数的性质结合（1）研究2S ，3S 的最大值即可得答案；【答案】（1）22S x ax =-+，0x a <<；23333S x =，0x a <<；（2）农户应该选择方案三； 【解析】（1）对于方案乙，当AC x =时，()m BC a x =-，所以矩形OACB 的面积()22S x a x x ax =-=-+，0x a <<；对于方案丙，当AC x =时，()m BC a x =-，由于60OAC ∠=︒ 所以113,22OA a x x a x OB =-+=-=， 所以梯形OACB 的面积为311313322222S a x a x a x ⎛⎫⎛⎫=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2333=，0x a <<.（2）对于方案甲，设,AO x BO y ==，则222x y a +=，所以三角形AOB 的面积为2221112224x y a S xy +=≤⋅=，当且仅当2x y ==时等号成立，故方案甲的鸡圈面积最大值为24a ；对于方案乙，由（1）得22222244a a a S x ax x ⎛⎫=-+=--+≤ ⎪⎝⎭，0x a <<，当且仅当2a x =时取得最大值24a ，故方案乙的鸡圈面积最大值为24a ；对于方案丙，22343S x ax ⎫==-⎪⎝⎭2222242393a a x a x ⎤⎛⎫⎫=--=-⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，0x a <<. 当且仅当23a x =22； 由于()()()123max max max S S S =<所以农户应该选择方案丙，此时鸡圈面积最大；【说明】本题综合考查了利用函数模型建立函数关系式；然后通过求相应函数的“最值”，确定选择方案； 20、（本题10分） 设函数()y f x =的表达式为2()||f x x x a =+-，其中a 为实常数. （1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）设0a >,函数()()f x g x x=在区间(0,]a 上为严格减函数，求实数a 的最大值. 【提示】（1）利用奇偶性的定义，讨论0a =和0a ≠即可；（2）利用单调性的定义得出120x x a -<，进而得出20a a a ⎧≥⎨>⎩即可求出；【答案】（1）当0a =时，()y f x =为偶函数，当0a ≠时，()y f x =为非奇非偶函数；（2）1； 【解析】（1）可得()f x 的定义域为R ，关于原点对称，()22()||||f x x x a x x a -=-+--=++， 当0a =时，()()f x f x -=，则()f x 为偶函数，当0a ≠时，()()f x f x -≠且()()f x f x -≠-，则()f x 为非奇非偶函数；（2）当(]0,x a ∈，2()()1x x a f x ag x x x x x+-===+-，任取120x x a <<≤， 则()()()()121212121212x x x x a a a g x g x x x x x x x ---=+--=，因为，120x x a <<≤，所以，120x x -<且2120x x a <<，因为，()g x 在区间(0，a ]上为严格减函数，所以，120x x a -<，即12a x x >恒成立，所以，2a a a ⎧≥⎨>⎩，解得01a <≤，所以， a 的最大值为1；【说明】本题综合考查了函数奇偶性的判断依据与方法，与分类讨论进行了简单的交汇；以及利用定义证明单调性的基本方法与步骤；【注意】利用定义判断函数单调性的步骤：（1）在定义域内任取12x x <；（2）计算()()12f x f x -并化简整理；（3）判断()()12f x f x -的正负； （4）得出结论，若()()120f x f x -<，则()f x 单调递增；若()()120f x f x ->，则()f x 单调递减； 21、（本题14分） 已知函数()y f x =的定义域为D ，若存在实数a ，b ，对任意的x D ∈，有2-∈a x D ，且使得()(2)2f x f a x b +-=均成立，则函数()y f x =的图像关于点(,)a b 对称，反之亦然，我们把这样的函数()f x 叫做“ψ函数；（1）已知“ψ函数”的图像关于点(1,2)对称，且(0,1)x ∈时，1()f x x x=-；求(1,2)x ∈时，函数()f x 的解析式；（2）已知函数123()1234x x x x f x x x x x +++=+++++++，问()f x 是否为“ψ函数”？请说明理由； （3）对于不同的“ψ函数”()f x 与()g x ，若()f x 、()g x 有且仅有一个对称中心，分别记为(,)m p 和(,)n q ， ①求证：当m n =时，()()f x g x +仍为“ψ函数”；②问：当m n ≠时，()()f x g x +是否仍一定为“ψ函数”？若是，请说明理由；若不一定是，请举出具体的反例；【提示】（1）根据函数图像的对称关系列关系式计算即可；（2）根据“ψ函数”的定义，结合题给的具体函数解析式，计算出a ,b 的值即可得出结果；（3）①根据定义验证即可；②根据定义，举出具体函数验证结论，所举函数不唯一； 【答案】（1）()12(12)2f x x x x=++<<-；（2）()f x 是“ψ函数”；（3）()()f x g x +①仍为“ψ函数”；m n ≠②时，()()f x g x +不一定是“ψ函数”；【解析】（1）根据“ψ函数”的概念，()()24f x f x +-=，所以， ()()42f x f x =--，()1,2x ∈时，()()20,1x -∈，又 ()0,1x ∈时，()1f x x x=-， ()1,2x ∈时，()()()114242222f x f x x x x x ⎡⎤=--=---=++⎢⎥--⎣⎦， 即()1,2x ∈时，()f x 的解析式为 ()12(12)2f x x x x=++<<-； （2）方法1、根据题意，取52a =-，上式计算得()()58f x f x +--=，此时 4b =；所以函数()f x 是“ψ函数”； 方法2、()1234123412111134x x x x f x x x x x x x x x +++=+++=----++++++++， 所以，()5441121113f x x x x x --=------------；所以，()(5)8f x f x +--=；所以，()f x 关于点5(,4)2-对称，故函数()f x 是ψ函数； （3）根据题意，()()()()22,22f x f m x p g x g n x q +-=+-=，m n =①时，()()()()()22222f x f n x g x g n x p q p q +-++-=+=+，所以此时()()f x g x +仍为“ψ函数”；m n ≠时，()()f x g x +不一定是“ ψ函数”；设()1f x x=，易知函数()f x 图像关于 ()0,0对称，得0,0m p ==； 设()1xg x x =+，知函数()g x 图像关于()1,1-对称，得1,1n q =-=， ()()2123221222312342122232412311114123421222324f x f a x x x x x a x a x a x a x x x x x a x a x a x a x x x x x x x x x x a x a x a x a +-+++--+-+-+=+++++++++++-+-+-+-++++=++++++++++++--------此时，()()11x f x g x x x +=++，其图像不关于某一点对称，即不是“ ψ函数”；结论得证； 【说明】本题借助“新定义”，考查了新教材依据奇函数的定义，研究奇函数的图像关于原点对称的过程、方法与拓展；体现了考试试题“源于教材，又高于教材”的特点；。
2020-2021学年上海市浦东新区进才中学高一(上)期末数学试卷(解析版)
2020-2021学年上海市浦东新区进才中学高一（上）期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．已知集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{3，4，5}，则A∩B＝．2．函数y＝log a（2x﹣1）+3（a＞0且a≠1）的图像恒过定点P，则点P的坐标是．3．已知α∈[0，2π），且α与﹣终边相同，则α＝．4．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，且B⊆A，则实数a取值范围为．5．若lg2＝a，lg3＝b，则log524＝．6．已知＜x﹣1，则实数x取值范围为．7．已知tanα＝2，则sinαcosα+cos2α+2sin2α＝．8．已知x+2y＝1，求+的最小值为．9．“求方程＝1的解”有如下解题思路：设f（x）＝，则y ＝f（x）是R上的严格减函数，且f（2）＝1，所以原方程有唯一解x＝2，类比上述解题思路，可得不等式x3﹣（x﹣2）2＞（x﹣2）6﹣x的解集为．10．已知y＝f﹣1（x）是y＝f（x）＝2x+x，x∈[0，2]的反函数，则函数y＝f（x）+f﹣1（x）的最小值为．11．已知，若a，b∈[﹣2，5]，且当x1，x2∈[a，b]时，恒成立，则b﹣a的最大值为．12．定义两点P（x1，y1），Q（x2，y2）的曼哈顿距离为d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，若M表示到点A（1，3）、B（6，9）的曼哈顿距离相等的所有点C（x，y）的集合，其中x，y∈[0，10]，则点集M与坐标轴及直线x＝10所围成的图形的面积为．二、选择题13．已知k∈{}，若y＝x k为奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，则实数k的值是（）A．﹣1，3B．，3C．D．14．“a＜1”是“函数在区间（﹣∞，1）上严格减”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．已知f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），若不等式f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（，+∞），则不等式f（10x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（lg2，+∞）B．（﹣1，lg2）C．（﹣lg2，+∞）D．（﹣∞，﹣lg2）16．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数y＝D（x）＝，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题：①D（D（x））＝0；②对任意x∈R，恒有D（x）＝D（﹣x）成立；③任取一个不为零的有理数T，D（x+T）＝D（x）对任意实数x均成立；④存在三个点A（x1，D（x1））、B（x2，D（x2））、C（x3，D（x3）），使得△ABC为等边三角形；其中真命题的序号为（）A．①③④B．②④C．②③④D．①②③三、解答题17．已知．（1）求的值；（2）若，β终边经过P（﹣3，4），求．18．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+a．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）＝|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求实数a的取值范围．19．某企业在现有设备下每日生产总成本y（单位：万元）与日产量x（单位：吨）之间的函数关系式为：y＝2x2+（15﹣4k）x+128k+8，近年来各部门都非常重视大气污染防治工作，为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品的除尘费用为k万元，引进除尘设备后，当日产量x＝1时，总成本为142．（1）求k的值；（2）若每吨产品出厂价为48万元，那么引进除尘设备后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？20．已知函数f（x）＝3﹣2log2x，g（x）＝log2x．（1）当x∈[1，4]时，求函数h（x）＝[f（x）+1]•g（x）的值域；（2）给定n∈N，如果对任意的x∈[2n，2n+1]，不等式恒成立，求实数k的取值范围．21．对于任意y＝f（x），x∈D，若存在x0∈D，使得f（x0+1）＝f（x0）•f（1），则称f（x）具有性质P．记M＝{f（x）|f（x）具有性质P}．（1）判断f（x）＝lgx和g（x）＝2x+x2是否属于集合M；（2）设，求实数a的取值范围；（3）已知x∈（0，1]时，f（x）＝8x2﹣8x+2；且对任意x∈（﹣1，1]，都有f（x+1）＝f （x）•f（1），令h（x）＝f（x）﹣kx﹣1，k∈R，试讨论函数y＝h（x），x∈（﹣1，1]的零点个数．参考答案一、填空题1．已知集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{3，4，5}，则A∩B＝{3，4}．解：∵集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{3，4，5}，∴A∩B＝{3，4}．故答案为：{3，4}．2．函数y＝log a（2x﹣1）+3（a＞0且a≠1）的图像恒过定点P，则点P的坐标是（1，3）．解：因为函数y＝log a（2x﹣1）+3（a＞0且a≠1），当x＝1时，y＝3，所以函数的图象恒过定点P（1，3）．故答案为：（1，3）．3．已知α∈[0，2π），且α与﹣终边相同，则α＝．解：∵α与﹣终边相同，∴α＝2kπ﹣，k＝2时，α＝∈[0，2π]，故答案为：．4．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，且B⊆A，则实数a取值范围为[3，+∞）．解：由x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3，可得B＝（﹣1，3）．∵B⊆A．∴a≥3．∴实数a的取值范围是[3，+∞）．故答案为[3，+∞）．5．若lg2＝a，lg3＝b，则log524＝．解：∵lg2＝a，lg3＝b，∴log524＝＝＝，故答案为：．6．已知＜x﹣1，则实数x取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．解：当x＞0时，不等式化为，两边三次方得x4＜1，解得0＜x＜1；当x＜0时，不等式化为，两边三次方得x4＞1，解得x＜﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．7．已知tanα＝2，则sinαcosα+cos2α+2sin2α＝．解：因为tanα＝2，所以sinαcosα+cos2α+2sin2α＝＝＝＝．故答案为：．8．已知x+2y＝1，求+的最小值为．解：∵x+2y＝1，x，y＞0，∴+＝（x+2y）＝+＝，当且仅当x＝y＝时取等号．故答案为：．9．“求方程＝1的解”有如下解题思路：设f（x）＝，则y ＝f（x）是R上的严格减函数，且f（2）＝1，所以原方程有唯一解x＝2，类比上述解题思路，可得不等式x3﹣（x﹣2）2＞（x﹣2）6﹣x的解集为（1，4）．解：不等式式x3﹣（x﹣2）2＞（x﹣2）6﹣x变形为x3+x＞（x﹣2）6+（x﹣2）2，令u＝x，v＝（x﹣2）2，则x3+x＞（x﹣2）6+（x﹣2）2⇔u3+u＞v3+v；考察函数f（x）＝x3+x，知f（x）在R上为增函数，∴f（u）＞f（v），∴u＞v；不等式x3+x＞（x﹣2）6+（x﹣2）2可化为x＞（x﹣2）2，解得1＜x＜4；∴不等式的解集为：（1，4）．故答案为：（1，4）．10．已知y＝f﹣1（x）是y＝f（x）＝2x+x，x∈[0，2]的反函数，则函数y＝f（x）+f﹣1（x）的最小值为3．解：因为y＝2x在[0，2]上为增函数，y＝x在[0，2]上为增函数，故f（x）＝2x+x在x∈[0，2]上为增函数，所以其值域为[1，6]，所以y＝f﹣1（x）定义域为[1，6]，且在[1，6]上为增函数，因此y＝f（x）+f﹣1（x）在[1，6]上为增函数，∴y＝f（x）+f﹣1（x）的最小值为f（1）+f﹣1（1）＝2+1+0＝3．故答案为：3．11．已知，若a，b∈[﹣2，5]，且当x1，x2∈[a，b]时，恒成立，则b﹣a的最大值为4．解：∵a，b∈[﹣2，5]，且x1，x2∈[a，b]，∴a＜b，∵恒成立，∴g（x）在区间[a，b]上单调递增，∵函数，∴g（x）＝，当x∈[﹣2，0）时，g（x）＝+1，单调递增；当x∈（0，1]时，g（x）＝1﹣x，单调递减；当x∈[1，）时，g（x）＝x﹣1，单调递增；当x∈[，5]时，g（x）＝+1，单调递增．∴当a＝1，b＝5时，b﹣a取得最大值为5﹣1＝4．故答案为：4．12．定义两点P（x1，y1），Q（x2，y2）的曼哈顿距离为d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，若M表示到点A（1，3）、B（6，9）的曼哈顿距离相等的所有点C（x，y）的集合，其中x，y∈[0，10]，则点集M与坐标轴及直线x＝10所围成的图形的面积为52.5．解：由题意可知|x﹣1|+|y﹣3|＝|x﹣6|+|y﹣9|，x，y∈[0，10]，①当x≤1，y≤3时，1﹣x+3﹣y＝6﹣x+9﹣y，∴4＝13，无解，②当x≤1，3＜y≤9时，1﹣x+y﹣3＝6﹣x+9﹣y，∴y＝8.5，③当x≤1，y＞9时，1﹣x+y﹣3＝6﹣x+y﹣9，∴﹣2＝﹣3，无解，④当1＜x≤6，y≤3时，x﹣1+3﹣y＝6﹣x+y﹣9，∴x＝6.5＞6，无解，⑤当1＜x≤6，3＜y≤9时，x﹣1+y﹣3＝6﹣x+9﹣y，∴x+y＝，⑥当1＜x≤6，y＞9时，x﹣1+y﹣3＝6﹣x+y﹣9，∴x＝＜1，无解，⑦当x＞6，y≤3时，x﹣1+3﹣y＝x﹣6+9﹣y，∴2＝7，无解，⑧当x＞6，3＜y≤9时，x﹣1+y﹣3＝x﹣6+9﹣y，∴y＝，⑨当x＞6，y＞9时，x﹣1+y﹣3＝x﹣6+y﹣9，∴﹣4＝﹣15，无解，综上，符合条件线段有：x∈[0，1]，y＝8.5；x∈（1，6]，y∈（3，9]，x+y＝；x∈（6，10]，y∈（3，9]，y＝，∴如图所示：，∴图中阴影部分面积为所求面积，∴面积S＝1×8.5+×（6﹣1）+（10﹣6）×3.5＝8.5+30+14＝52.5．故答案为：52.5．二、选择题13．已知k∈{}，若y＝x k为奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，则实数k的值是（）A．﹣1，3B．，3C．D．解：当k＝﹣1时，y＝x﹣1为奇函数，但在（0，+∞）上单调递减，不符合题意；当k＝2时，y＝x2为偶函数，不符合题意；当k＝时，y＝＝为非奇非偶函数，不符合题意；当k＝3时，y＝x3为奇函数，且在（0，+∞）上为增函数，符合题意；当k＝时，y＝为奇函数，且在（0，+∞）上为增函数，符合题意．故实数k的值是3，．故选：B．14．“a＜1”是“函数在区间（﹣∞，1）上严格减”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：因为＝＝2+，所以当函数在区间（﹣∞，1）上严格减时，有：2﹣a＞0，即a＜2．由于集合A＝{a|a＜1|⊊B＝{a|a＜2}，所以“a＜1”是“函数在区间（﹣∞，1）上严格减”的充分不必要条件，故选：A．15．已知f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），若不等式f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（，+∞），则不等式f（10x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（lg2，+∞）B．（﹣1，lg2）C．（﹣lg2，+∞）D．（﹣∞，﹣lg2）解：∵不等式f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（，+∞），∴二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点为（﹣1，0），（，0）且a＜0，∴二次函数y＝ax2+bx+c在（，+∞）上为减函数，∵10x＞0，f（10x）＞0＝f（），∴10x＜，∴x＜lg＝﹣lg2，∴不等式f（10x）＞0的解集为（﹣∞，﹣lg2）．故选：D．16．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数y＝D（x）＝，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题：①D（D（x））＝0；②对任意x∈R，恒有D（x）＝D（﹣x）成立；③任取一个不为零的有理数T，D（x+T）＝D（x）对任意实数x均成立；④存在三个点A（x1，D（x1））、B（x2，D（x2））、C（x3，D（x3）），使得△ABC为等边三角形；其中真命题的序号为（）A．①③④B．②④C．②③④D．①②③解：①若x为有理数，则D（x）＝1是有理数，则D（D（x））＝1，若x为无理数，则D（x）＝0是有理数，则D（D（x））＝1；故①错误，②若x为有理数，则﹣x为有理数，此时D（x）＝1，D（﹣x）＝1，即D（x）＝D（﹣x）成立，若x为无理数，则﹣x为无理数，此时D（x）＝0，D（﹣x）＝0，即D（x）＝D（﹣x）成立，综上对任意x∈R，恒有D（x）＝D（﹣x）成立；故②正确，③若x为有理数，则x+T为有理数，此时D（x+T）＝1，D（x）＝1，即D（x+T）＝D（﹣）成立，若x为无理数，则x+T为无理数，此时D（x+T）＝0，D（x）＝0，即D（x+T）＝D（x）成立，综上任取一个不为零的有理数T，D（x+T）＝D（x）对任意实数x均成立；故③正确，④对任意有理数x，存在三个点A（x，1）、B（x﹣，0）、C（x+，0）是边长为的等边三角形，故④正确，故选：C．三、解答题17．已知．（1）求的值；（2）若，β终边经过P（﹣3，4），求．解：（1）因为，所以两边平方，可得1+2sinαcosα＝，所以sinαcosα＝﹣，所以＝cosα（﹣sinα）＝．（2）由（1）可得（sinα﹣cosα）2＝1﹣2sinαcosα＝，又，所以sinα﹣cosα＞0，可得sinα﹣cosα＝，又β终边经过P（﹣3，4），所以cosβ＝＝﹣，＝﹣+＝+＝+＝﹣．18．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+a．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）＝|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求实数a的取值范围．解：（1）当a＝2时，f（x）＝|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）不等式f（x）+g（x）≥3可化为|2x﹣1|+|2x﹣a|≥3﹣a，即，当a≥3时，原不等式成立．当a＜3时，由绝对值三角不等式可得，∴，平方得（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴实数a的取值范围是[2，+∞）．19．某企业在现有设备下每日生产总成本y（单位：万元）与日产量x（单位：吨）之间的函数关系式为：y＝2x2+（15﹣4k）x+128k+8，近年来各部门都非常重视大气污染防治工作，为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品的除尘费用为k万元，引进除尘设备后，当日产量x＝1时，总成本为142．（1）求k的值；（2）若每吨产品出厂价为48万元，那么引进除尘设备后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？解：（1）由题意可得，除尘后y＝2x2+（15﹣4k）x+120k+8+kx＝2x2+（15﹣3k）x+120k+8，∵当日产量x＝1时，总成本为142，∴2+15﹣3k+120k+8＝142，解得k＝1．（2）由（1）y＝2x2+12x+128，∵总利润L＝48x﹣（2x2+12x+128）＝36x﹣2x2﹣128，（x＞0），∴每吨产品的利润＝4，当且仅当时，即x＝8时，等号成立，∴除尘后日产量为8吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为4万元．20．已知函数f（x）＝3﹣2log2x，g（x）＝log2x．（1）当x∈[1，4]时，求函数h（x）＝[f（x）+1]•g（x）的值域；（2）给定n∈N，如果对任意的x∈[2n，2n+1]，不等式恒成立，求实数k的取值范围．解：（1），∵x∈[1，4]，∴log2x∈[0，2]，∴函数h（x）的值域为[0，2]．（2）由得（3﹣4log2x）（3﹣log2x）＞k⋅log2x，令t＝log2x，∵x∈[2n，2n+1]，∴t＝log2x∈[n，n+1]，∴（3﹣4t）（3﹣t）＞k⋅t对一切的t∈[n，n+1]恒成立，①当n＝0时，若t＝0时，k∈R；当t∈（0，1]时，恒成立，即，函数在t∈（0，1]单调递减，于是t＝1时取最小值﹣2，此时x＝2，于是k∈（﹣∞，﹣2）；②当n＝1时，此时t∈[1，2]时，恒成立，即，∵，当且仅当，即时取等号，即的最小值为﹣3，k∈（﹣∞，﹣3）；③当n≥2时，此时t∈[n，n+1]时，k＜恒成立，即，函数在t∈[n，n+1]单调递增，于是t＝n时取最小值，此时x＝2n，于是．由于4n﹣15+在n≥2递增，可得4n﹣15+≥﹣＞﹣3，综上可得，k的范围是（﹣∞，﹣3）．21．对于任意y＝f（x），x∈D，若存在x0∈D，使得f（x0+1）＝f（x0）•f（1），则称f（x）具有性质P．记M＝{f（x）|f（x）具有性质P}．（1）判断f（x）＝lgx和g（x）＝2x+x2是否属于集合M；（2）设，求实数a的取值范围；（3）已知x∈（0，1]时，f（x）＝8x2﹣8x+2；且对任意x∈（﹣1，1]，都有f（x+1）＝f （x）•f（1），令h（x）＝f（x）﹣kx﹣1，k∈R，试讨论函数y＝h（x），x∈（﹣1，1]的零点个数．解：（1）若假设f（x）∈M，则存在x0＞0有lg（x0+1）＝lgx0⋅0＝0⇒x0＝0与x0＞0矛盾，所以f（x）∉M，假设存在x0∈R，有．易知x0＝0是其解，所以g（x）∈M；（2）因为，所以存在x∈R有①当a＝0，①式是恒成立．当a≠0，由①式可以得到有解．令t＝2x+1∈（1，+∞），则，所以，综上所述，；（3）任意x∈（﹣1，0），x+1∈（0，1）x∈（﹣1，0），且有f（x+1）＝f（x）f（1），则有，令x＝0得到f（1）＝f（0）f（1），又因为f（1）＝2≠0，所以f（0）＝1，所以f（x），令h（x）＝f（x）﹣kx﹣1＝0，当x＝0，h（0）＝0，所以x＝0是h（x）的零点，当x≠0时，k＝g（x）＝＝，当x∈（0，1]时，g（x）＝8x+﹣8≥4﹣8，其图象为：有图象易知，当k∈（﹣∞，4﹣8）有1个零点，当k∈{4﹣8}∪[4，+∞）有2个零点，当k∈（4﹣8，0]∪（1，4）有3个零点，当k∈（0，1]，有4个零点．。
2021-2022学年上海市上海中学高一上学期期末考数学试卷(含详解)
2021-2022年上海中学高一上期末一、填空题1.若函数()f x 满足()112x f x -+=，则()4f =______．2.函数()()2ln 4f x x=-的单调增区间是______．3.已知θ是第四象限角，5cos 13θ=，则2021cos 2πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭______．4.函数()()()42log 4log 2f x x x =⋅的最小值为______．5.已知函数()()12f x xx α=≤≤的最大值与最小值之差为12，则α=______．6.已知()f x 是偶函数，且方程()30f x -=有五个解，则这五个解之和为______．7.不等式()()2021202142x x --->-的解为______．8.设()f x 是定义在区间[]22-,上的严格增函数．若()()2212f a f a ->+，则a 的取值范围是______．9.若π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，记22cos sin P θθ=-，33cos sin Q θθ=-，44cos sin R θθ=-，则P 、Q 、R 的大小关系为______．10.在函数()125236x x xf x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图像上，有______个横、纵坐标均为整数的点．11.设()111f x x x x=++-，若存在a ∈R 使得关于x 的方程()()()20f x af x b ++=恰有六个解，则b 的取值范围是______．12.若定义域为(]0,I m =的函数()e xf x =满足：对任意能构成三角形三边长的实数,,a b c I ∈，均有()f a ，()f b ，()f c 也能构成三角形三边长，则m 的最大值为______．（e 2.718281828≈是自然对数的底）二、选择题13.2021- 的始边是x 轴正半轴，则其终边位于第（）象限．A.一B.二C.三D.四14.设函数()f x 的定义域为R ．则“()f x 在R 上严格递增”是“()()g x f x x =+在R 上严格递增”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C .充分必要D.既不充分也不必要15.将函数()()lg 2f x x =的图像向左、向下各平移1个单位长度，得到()g x 的函数图像，则()g x =（）A.()lg 211x +- B.1lg 5x +⎛⎫⎪⎝⎭C.()lg 211x -- D.1lg 5x -⎛⎫⎪⎝⎭16.设函数()2xf x x =+，点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 在()f x 的图像上，且32210x x x x -=-≠．对于ABC ，下列说法正确的是（）①一定是钝角三角形②可能是直角三角形③不可能是等腰三角形③可能是等腰三角形A.①③B.①④C.②③D.②④三、解答题17.求函数()f x =18.已知0a >，b R ∈，且函数()12xf x b a=+-有奇偶性，求a ，b 的值．19.某厂商计划投资生产甲、乙两种商品，经市场调研发现，如图所示，甲、乙商品的投资x 与利润y （单位：万元）分别满足函数关系11ay k x =与22ay k x =．（1）求1k ，1a 与2k ，2a 的值；（2）该厂商现筹集到资金20万元，如何分配生产甲、乙商品的投资，可使总利润最大？并求出总利润的最大值．21.设函数()1122f x x ax x x ⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭，其中a R ∈．（1）若当1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时()f x 取到最小值，求a 的取值范围．（2）设()f x 的最大值为()M a ，最小值为()L a ，求()()()g a M a L a =-的函数解析式，并求()g a 的最小值．23.对于函数()f x ，若实数0x 满足()00f x x =，则称0x 是()f x 的不动点．现设()2f x x a =+．（1）当2a =-时，分别求()f x 与()()f f x 的所有不动点；（2）若()f x 与()()ff x 均恰有两个不动点，求a 的取值范围；（3）若()f x 有两个不动点，()()ff x 有四个不动点，证明：不存在函数()g x 满足()()()f x g g x =．2021-2022年上海中学高一上期末一、填空题1.若函数()f x 满足()112x f x -+=，则()4f =______．【1题答案】【答案】4【解析】【分析】根据题意，令3x =，结合指数幂的运算，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 满足()112x f x -+=，令3x =，可得()()3131424f f -+===.故答案为：4.2.函数()()2ln 4f x x =-的单调增区间是______．【2题答案】【答案】(2,0]-【解析】【分析】先求出函数的定义域，再换元，利用复合函数单调性的求法求解【详解】由240x ->，得22x -<<，所以函数的定义域为(2,2)-，令24t x =-，则ln y t =，因为24t x =-在(2,0]-上递增，在[0,2)上递减，而ln y t =在(0,)+∞上为增函数，所以()f x 在(2,0]-上递增，在[0,2)上递减，故答案为：(2,0]-3.已知θ是第四象限角，5cos 13θ=，则2021cos 2πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭______．【3题答案】【答案】1213-【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求出sin θ的值，在利用诱导公式可求得结果.【详解】因为θ是第四象限角，5cos 13θ=，则12sin 13θ==-，所以，202112cos cos sin 2213ππθθθ⎛⎫⎛⎫-=-==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：1213-.4.函数()()()42log 4log 2f x x x =⋅的最小值为______．【4题答案】【答案】18-##-0.125【解析】【分析】化简函数为()2442(log )3log 1f x x x =++，4log t x R =∈，得到()2231f t t t =++，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数()()()4242log 4log 2(log 1)(log 1)f x x x x x =⋅=++24444(log 1)(2log 1)2(log )3log 1x x x x =++=++，令4log t x R =∈，可得()22312312()48f t t t t =++=+-，当34t =-时，()min 31()48f t f =-=-，即函数()f x 的最小值为18-.故答案为：18-.5.已知函数()()12f x x x α=≤≤的最大值与最小值之差为12，则α=______．【5题答案】【答案】23log 2或1-.【解析】【分析】根据幂函数的性质，结合题意，分类讨论，利用单调性列出方程，即可求解.【详解】由题意，函数()()12f x xx α=≤≤，当0α>时，函数()f x 在[]1,2上为单调递增函数，可得1212α-=，解得23log 2α=；当0α=时，显然不成立；当0α<时，函数()f x 在[]1,2上为单调递减函数，可得1122α-=，解得1α=-，综上可得，23log 2α=或1α=-.故答案为：23log 2或1-.6.已知()f x 是偶函数，且方程()30f x -=有五个解，则这五个解之和为______．【6题答案】【答案】15【解析】【分析】根据函数的奇偶性和图象变换，得到函数()3=-y f x 的图象关于3x =对称，进而得出方程其中其中一个解为3x =，另外四个解满足14236x x x x +=+=，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 是偶函数，可函数()f x 的图象关于0x =对称，根据函数图象的变换，可得函数()3=-y f x 的图象关于3x =对称，又由方程()30f x -=有五个解，则其中一个解为3x =，不妨设另外四个解分别为1234,,,x x x x 且1234x x x x <<<，则满足2314322x x x x ++==，即14236x x x x +=+=，所以这五个解之和为66315++=.故答案为：15.7.不等式()()2021202142x x --->-的解为______．【7题答案】【答案】()(),23,4∞-⋃【解析】【分析】根据幂函数的性质，分类讨论即可【详解】将不等式()()2021202142x x --->-转化成2021202111(()42x x >--（Ⅰ）1041021142x x x x ⎧>⎪-⎪⎪>⎨-⎪⎪>⎪--⎩，解得34x <<；（Ⅱ）104102xx ⎧>⎪⎪-⎨⎪<⎪-⎩，解得2x <；（Ⅲ）1041021142x x x x ⎧<⎪-⎪⎪<⎨-⎪⎪>⎪--⎩，此时无解；综上，不等式的解集为：(,2)(3,4)-∞故答案为：(,2)(3,4)-∞ 8.设()f x 是定义在区间[]22-,上的严格增函数．若()()2212f a f a ->+，则a 的取值范围是______．【8题答案】【答案】6[,1)2--.【解析】【分析】根据题意，列出不等式组222122212222a a a a ⎧->+⎪-≤-≤⎨⎪-≤+≤⎩，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 是定义在区间[]22-,上的严格增函数，因为()()2212f a f a ->+，可得222122212222a a a a ⎧->+⎪-≤-≤⎨⎪-≤+≤⎩，解得12a -≤<-，所以实数a 的取值范围是6[,1)2--.故答案为：[,1)2--.9.若π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，记22cos sin P θθ=-，33cos sin Q θθ=-，44cos sin R θθ=-，则P 、Q 、R 的大小关系为______．【9题答案】【答案】P R Q =<【解析】【分析】利用平方差公式和同角三角函数的平方关系可得P 、R 的关系，然后作差，因式分解，结合已知可判断P 、Q 的大小关系.【详解】44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin R P θθθθθθθθ=-=+-=-=又2233cos sin (cos sin )P Q θθθθ-=---(cos sin )(cos sin )(cos sin )(1cos sin )θθθθθθθθ=-+--+(cos sin )(cos sin 1cos sin )θθθθθθ=-+--(cos sin )(cos 1)(1sin )θθθθ=---因为π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos sin 0,cos 10,1sin 0θθθθ->-<->所以0P Q -<，即P Q<所以P 、Q 、R 的大小关系为P R Q =<.故答案为：P R Q=<10.在函数()125236x x xf x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图像上，有______个横、纵坐标均为整数的点．【10题答案】【答案】3【解析】【分析】由题可得函数为减函数，利用赋值法结合条件及函数的性质即得.【详解】因为()125236x x xf x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数在R 上单调递减，又()0001250=3236f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()11112512236f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()222125252=23618f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()3331253=1236f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且当3x >时，()()0,1f x ∈，当0x <时，令,N *x n n =-∈，则()12536151222Z 236251010n n nn n n nn n f n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++=++=++∉ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，综上，函数()125236xxxf x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图像上，有3个横、纵坐标均为整数的点．故答案为：3.11.设()111f x x x x=++-，若存在a ∈R 使得关于x 的方程()()()20f x af x b ++=恰有六个解，则b 的取值范围是______．【11题答案】【答案】2,)++∞【解析】【分析】作出f (x )的图像，当0x <时，min ()1f x =+，当0x >时，min ()2f x =.令()t f x =，则20t at b ++=，则该关于t的方程有两个解1t、2t，设1t＜2t，则11)t∈+，21,)t∈+∞.令2()g t t at b=++，则(2)01)0gg>⎧⎪⎨+<⎪⎩，据此求出a的范围，从而求出b的范围．【详解】当1≥x时，11()11f x x xx x=++-=+，当01x<<时，112()11f x x xx x x=++-=+-，当0x<时，112()11f x x xx x x=--+-=--+，则f(x)图像如图所示：当0x<时，2()11f x xx=--+≥+，当0x>时，min()2f x=．令()t f x=，则20t at b++=，∵关于x的方程()()()20f x af x b++=恰有六个解，∴关于t的方程20t at b++=有两个解1t、2t，设1t＜2t，则11)t∈+，21,)t∈+∞，令2()g t t at b=++，则(2)4201)91)0g a bg a b=++>⎧⎪⎨+=++++<⎪⎩，∴42ba-->且a<，要存在a满足条件，则42b--<，解得2b>+．故答案为：2,)++∞．12.若定义域为(]0,I m =的函数()e xf x =满足：对任意能构成三角形三边长的实数,,a b c I ∈，均有()f a ，()f b ，()f c 也能构成三角形三边长，则m 的最大值为______．（e 2.718281828≈是自然对数的底）【12题答案】【答案】ln 4##2ln 2【解析】【分析】不妨设三边的大小关系为：0a b c <≤≤，利用函数的单调性，得出()f a ，()f b ，()f c 的大小关系，作为三角形三边则有任意两边之和大于第三边，再利用基本不等式求出边的范围得出m 的最大值即可.【详解】()e xf x =在(]0,I m =上严格增，所以(()1,e m f x ⎤∈⎦，不妨设0a b c <≤≤，因为对任意能构成三角形三边长的实数,,a b c I ∈，均有()f a ，()f b ，()f c 也能构成三角形三边长，所以e e e ,a b c a b c +>+>，因为e e e a b c +≥=>，所以24e e a b c +>，因为对任意,,a b c I ∈都成立，所以24e e c c ≥，所以e 4c ≤，所以ln 4c ≤，所以ln 4m ≤，所以m 的最大值为ln 4．故答案为：ln 4.二、选择题13.2021- 的始边是x 轴正半轴，则其终边位于第（）象限．A.一 B.二C.三D.四【13题答案】【答案】B 【解析】【分析】将2021- 转化为()0,360内的角，即可判断.【详解】20213606139-=-⨯+ ，所以2021- 的终边和139 的终边相同，即落在第二象限.故选：B14.设函数()f x 的定义域为R ．则“()f x 在R 上严格递增”是“()()g x f x x =+在R 上严格递增”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要【解析】【分析】利用特例法、函数单调性的定义结合充分条件、必要条件的定义判断可得出合适的选项.【详解】若函数()f x 在R 上严格递增，对任意的1x 、2R x ∈且12x x <，()()12f x f x <，由不等式的性质可得()()1122f x x f x x +<+，即()()12g x g x <，所以，()()g x f x x =+在R 上严格递增，所以，“()f x 在R 上严格递增”⇒“()()g x f x x =+在R 上严格递增”；若()()g x f x x =+在R 上严格递增，不妨取()12f x x =-，则函数()()12g x f x x x =+=在R 上严格递增，但函数()12f x x =-在R 上严格递减，所以，“()f x 在R 上严格递增”⇐/“()()g x f x x =+在R 上严格递增”.因此，“()f x 在R 上严格递增”是“()()g x f x x =+在R 上严格递增”的充分不必要条件.故选：A.15.将函数()()lg 2f x x =的图像向左、向下各平移1个单位长度，得到()g x 的函数图像，则()g x =（）A.()lg 211x +-B.1lg 5x +⎛⎫⎪⎝⎭C.()lg 211x -- D.1lg 5x -⎛⎫⎪⎝⎭【15题答案】【答案】B 【解析】【分析】根据函数的图象变换的原则，结合对数的运算性质，准确运算，即可求解.【详解】由题意，将函数()()lg 2f x x =的图像向左、向下各平移1个单位长度，可得()221lg[2(1)]1lg(22)1lg lg 105x x g x x x ++=+-=+-==.故选：B.16.设函数()2xf x x =+，点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 在()f x 的图像上，且32210x x x x -=-≠．对于ABC ，下列说法正确的是（）①一定是钝角三角形②可能是直角三角形③不可能是等腰三角形③可能是等腰三角形A.①③B.①④C.②③D.②④【解析】【分析】结合0BA BC ⋅<uu r uu u r，得到90ABC ∠> ，所以ABC 一定为钝角三角形，可判定①正确，②错误；根据两点间的距离公式和函数的变化率的不同，得到AB BC <，可判定③正确，④不正确.【详解】由题意，函数()2xf x x =+为单调递增函数，因为点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 在()f x 的图像上，且32210x x x x -=-≠，不妨设123x x x <<，可得12123232(,),(,)BA x x y y BC x x y y =--=--，则12321232()()()()BA BC x x x x y y y y ⋅=--+--，因为123x x x <<，可得1232()()0x x x x --<，31221222313222(()()[())][2()]()2x x x x x x x x y y y y -+----+-=又由因为12220x x -<，120x x -<，32220x x ->，320x x ->，所以31221232[())][())22(22(]0xxxxx x x x -+-+-<-，所以12321232()()()()0BA BC x x x x y y y y ⋅=--+--<所以90ABC ∠> ，所以ABC 一定为钝角三角形，所以①正确，②错误；由两点间的距离公式，可得AB BC ==根据指数函数和一次函数的变化率，可得点A 到B 的变化率小于点B 到C 点的变化率不相同，所以AB BC <，所以ABC 不可能为等腰三角形，所以③正确，④不正确.故选：A.三、解答题17.求函数()f x =【17题答案】【答案】定义域为(1,)+∞，值域为[1,)+∞，递减区间为(1,2]，递增区间为[2,)+∞.【解析】【分析】由函数的解析式有意义列出不等式，可求得其定义域，由2331(1)111x x x x x -+=-+---，结合基本不等式，可求得函数的值域，令()1(1)11g x x x =-+--，根据对勾函数的性质和复合函数的单调性的判定方法，可求得函数的单调区间.【详解】由题意，函数()f x =23301x x x -+≥-且10x -≠，因为方程223333(024x x x -+=-+>，所以10x ->，解得1x >，所以函数()f x 的定义域为(1,)+∞又由2233(1)(1)11(1)1111x x x x x x x x -+---+==-+----，因为10x ->，所以1(1)1111x x -+-≥=-，当且仅当111x x -=-时，即2x =时，等号成立，所以23311x x x -+≥-，所以函数()f x 的值域为[1,)+∞，令()1(1)11g x x x =-+--，根据对勾函数的性质，可得函数()g x 在区间(1,2]上单调递减，在[2,)+∞上单调递增，结合复合函数的单调性的判定方法，可得()f x 在(1,2]上单调递减，在[2,)+∞上单调递增.18.已知0a >，b R ∈，且函数()12x f x b a=+-有奇偶性，求a ，b 的值．【18题答案】【答案】()f x 为奇函数，11,2a b ==，【解析】【分析】由函数奇偶性的定义列方程求解即可【详解】若()f x 为奇函数，则()()0(R)f x f x x -+=∈，所以11022x x b b a a-+++=--恒成立，即212122x x x b a a+=--⋅-，所以22222212[2(1)2]x x x x a b a a a -⋅+=--⋅++⋅-恒成立，所以21222(1)ab a b a =⎧⎨-=-+⎩，解得112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以当()f x 为奇函数时，11,2a b ==，若()f x 为偶函数，则()()(R)f x f x x -=∈，所以1122x x b b a a-+=+--恒成立，得22x x -=，得0x =，不合题意，所以()f x 不可能是偶函数，综上，()f x 为奇函数，11,2a b ==，19.某厂商计划投资生产甲、乙两种商品，经市场调研发现，如图所示，甲、乙商品的投资x 与利润y （单位：万元）分别满足函数关系11ay k x =与22ay k x =．（1）求1k ，1a 与2k ，2a 的值；（2）该厂商现筹集到资金20万元，如何分配生产甲、乙商品的投资，可使总利润最大？并求出总利润的最大值．【19题答案】【答案】（1）1 1.5k =，11a =，23k =，212a =（2）分配生产乙商品的投资为1万元，甲商品的投资为19万元，此时总利润的最大值为31.5万元.【解析】【分析】（1）代入点的坐标，求出1k ，1a 与2k ，2a 的值；（2）在第一问的基础上，表达出总利润的关系式，利用配方求出最大值.【小问1详解】将()()1,1.5,3,4.5代入11ay k x =中，111 1.53 4.5a k k =⎧⎨⋅=⎩，解得：111.51k a =⎧⎨=⎩，将()()4,6,9,9代入22ay k x =中，22224699a a k k ⎧⋅=⎨⋅=⎩，解得：22312k a =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以1 1.5k =，11a =，23k =，212a =.【小问2详解】设分配生产乙商品的投资为m （0≤m ≤20）万元、甲商品的投资为()20m -万元，此时的总利润为w ，则())12231.5203131.52w m m =-+⋅=-+，因为0≤m ≤20，1=，即1m =时，w 取得最大值，即分配生产乙商品的投资为1万元，甲商品的投资为19万元，此时总利润的最大值为31.5万元.21.设函数()1122f x x ax x x ⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭，其中a R ∈．（1）若当1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时()f x 取到最小值，求a 的取值范围．（2）设()f x 的最大值为()M a ，最小值为()L a ，求()()()g a M a L a =-的函数解析式，并求()g a 的最小值．【21题答案】【答案】（1）3(3,)4-（2）()()()33,[,)2452(3,0]2513(3,)2243,(,3]2a a g a a x g a g a a x a a ∞∞⎧∈+⎪⎪⎪=--∈-⎪=⎨⎪=--∈-⎪⎪⎪-∈--⎩，最小值为12.【解析】【分析】（1）求得函数的导数()22(1)1a x f x x--'=，令()2(1)1h x a x =--，要使得函数()f x 在1(,2)2x ∈取到最小值，则函数()f x 必须先减后增，列出方程组，即可求解；（2）由（1）知()2(1)1h x a x =--，若10a -≤时，得到函数()f x 在1[,2]2上单调递减，得到()32g a a =；若10a ->时，令()0h x =，求得x =12≤2≥，122<<三种情况讨论，求得函数的解析式，利用一次函数、换元法和二次函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：由函数()11(1)f x x ax a x x x =+-=-+，可得()2221(1)1(1)a x f x a x x--'=--=，令()2(1)1h x a x =--，要使得函数()f x 在1(,2)2x ∈取到最小值，则函数()f x 必须先减后增，则满足()()11()11024(2)4110h a h a ⎧=--<⎪⎨⎪=-->⎩，解得334a -<<，即实数a 的取值范围为3(3,)4-.【小问2详解】解：由（1）知()22(1)1a x f x x--'=，设()2(1)1h x a x =--，若10a -≤时，即1a ≥时，()0h x <，即()0f x '<，函数()f x 在1[,2]2上单调递减，所以1515()(),(2)2222()2M a f a f a L a ==-==-，可得()()()32g a M a L a a =-=；若10a ->时，即1a <时，令()0h x =，即2(1)10a x --=，解得x =x =12≤时，即3a ≤-时，()0h x >在1[,2]2x ∈恒成立，即()0f x '>，可得函数()f x 在1[,2]2上单调递增，所以5151(2)2,()()22(2)2f a L a f a M a ==-==-，可得()()()32g a M a L a a =-=-；2≥时，即314a ≤<时，()0h x <在1[,2]2x ∈恒成立，即()0f x '<，可得函数()f x 在1[,2]2上单调递减，所以1515()(,(2)2222()2M a f a f a L a ==-==-，可得()()()32g a M a L a a =-=；③当122<<时，即334a -<<时，当1[2x ∈时，()0h x <，即()0f x '<，()f x 单调递减；当2]x ∈时，()0h x >，即()0f x '>，()f x 单调递增，所以当x =()f x取得最小值，即()L a =，又由1515(),(2)22222f a f a =-=-，可得13((2)22f f a -=，（i ）当30a -<≤时，1()(2)02f f -<，即1((2)2f f <，所以5()(2)22M a f a ==-，此时()()()522g a M a L a a --==-；（ii ）当304a <<时，1()(2)02f f ->，即1((2)2f f >，所以151()()222M a f a ==-，此时()()()5122g a M a a L a --==-，综上可得，函数()g a 的解析式为()()()33,[,)2452(3,0]2513(3,)2243,(,3]2a a g a a x g a g a a x a a ∞∞⎧∈+⎪⎪⎪=--∈-⎪=⎨⎪=--∈-⎪⎪⎪-∈--⎩，当3a ≤-时，()9(3)2g a g ≥-=；当34a ≥时，()39(48g a g ≥=；当30a -<≤时，令[1,2)t =，则21a t =-，可得()21222t t t ϕ-+=，根据二次函数的性质，可得当1t =时，函数()t ϕ取得最小值，最小值为()112ϕ=；当304a <<时，令1(,1)2t =，则21a t =-，可得()21222t t t ϕ-+=，则()()112t ϕϕ>=，综上可得，函数()g a 的最小值为12.23.对于函数()f x ，若实数0x 满足()00f x x =，则称0x 是()f x 的不动点．现设()2f x x a =+．（1）当2a =-时，分别求()f x 与()()f f x 的所有不动点；（2）若()f x 与()()ff x 均恰有两个不动点，求a 的取值范围；（3）若()f x 有两个不动点，()()f f x 有四个不动点，证明：不存在函数()g x 满足()()()f x g g x =．【23题答案】【答案】（1）123415152,1,22x x x x --+==-==（2）31,44⎡⎫-⎪⎢⎣⎭（3）见详解.【解析】【小问1详解】因为2a =-，所以()f x x =即220x x --=，所以122,1x x ==-，所以()f x 的不动点为122,1x x ==-；解(())f f x x =，22242(())(2)(2)242f f x f x x x x x =-=--=-+=，所以42420x x x --+=，因为()f x x =是(())f f x x =的解，所以上述四次方程必有因式22x x --，利用长除法或者双十字相乘法因式分解得22(2)(1)0x x x x --+-=，所以123,4152,1,2x x x -±==-=，所以(())f f x 的不动点为123,4152,1,2x x x -±==-=；【小问2详解】由2()f x x a x =+=得20x x a -+=，由222422(())()()2f f x f x a x a a x ax a a x =+=++=+++=、得42220x ax x a a +-++=，因为()f x x =是(())f f x x =的解，所以上述四次方程必有因式2x x a -+，利用长除法或者双十字相乘法因式分解得22()(1)0x x a x x a -++++=，因为()f x 与(())f f x 均恰有两个不动点，所以①12140,144340a a a ∆=->∆=--=--<或②1140a ∆=->且20x x a -+=和210x x a +++=有同根，由①得3144a -<<，②中两方程相减得210x +=，所以12x =-，故34a =-，综上，a 的取值范围是31,44⎡⎫-⎪⎢⎣⎭；【小问3详解】（3）设()f x 的不动点为,a b ，(())f f x 的不动点为a b c d ,,,，所以(),(),(),()f a a f b b f c c f d d ==≠≠，设()(())h x f f x =，则()(())h c f f c c ==，所以(())((())()h f c f f f c f c ==，所以()f c 是()(())h x f f x =的不动点，同理，()f d 也是()(())h x f f x =的不动点，只能(),()f c d f d c ==，假设存在()(())f x g g x =，则()()g a a g b b =⎧⎨=⎩或()()g a bg b a =⎧⎨=⎩，因为()y f x =过点(,),(,)c d d c ，所以(),()g c c g d d ≠≠，否则()(())()f c g g c g c c ===矛盾，且(),()g c d g d c ≠≠，否则()(())()f c g g c g d d ===，所以一定存在(),(),(),()g c t g t d g d s g s c ====，,S t 与cd 均不同，所以((())g g g t t =，所以(())f f t t =，所以(())f f x 有另外不动点，矛盾，故不存在函数()g x 满足()(())f x g g x =．。
上海市浦东新区建平中学2020-2021学年高一上学期期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．函数y＝的定义域为．2．已知集合，B＝{x|e x﹣2＜1}，则A∩B＝．3．已知函数f（x）＝（a2﹣1）x，若函数在（﹣∞，+∞）严格增函数，则实数a的取值范围是．4．函数的单调递增区间为．5．对于任意实数a，函数（a＞0且a≠1）的图象经过一个定点，则该定点的坐标是．6．如图是一个地铁站入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为16cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BQD＝30°，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为cm．7．已知函数f（x）＝x2（x≤0），则y＝f（x）的反函数为．8．已知a、b都是正数，且（a+1）（b+2）＝16，则a+b的最小值为．9．已知log35＝，5b＝7，则用a、b的代数式表示log63105＝．10．当|lga|＝|lgb|，a＜b时，则a+3b的取值范围是．11．如图所示，已知函数f（x）＝log24x图象上的两点A、B和函数f（x）＝log2x上的点C，线段AC平行于y轴，三角形ABC为正三角形时，设点B的坐标为（p，q），则的值为．12．已知函数，函数g（x）＝b﹣f（2﹣x），如果y＝f（x）﹣g （x）恰好有两个零点，则实数b的取值范围是．二、选择题（共6小题）.13．函数f（x）＝的大致图象为（）A．B．C．D．14．若函数是偶函数，则实数a的值是（）A．﹣1B．0C．1D．不唯一15．已知cos170°＝m，则tan10°的值为（）A．B．C．D．16．已知n＜m，函数的值域是[﹣1，1]，有下列结论：①当n＝0时，；②当时，m∈（n，2]；③当时，m∈[1，2]；④当时，．其中正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．③④三、解答题17．（1）已知，求的值；（2）已知，求sin2θ+sinθcosθ﹣cos2θ的值．18．设函数是R上的奇函数．（1）求a的值，并求函数f（x）的反函数f﹣1（x）解析式；（2）若k为正实数，解关于x的不等式．19．某校数学建模小组研究发现：在40分钟的一节课中，高一年级学生注意力指标S与学生听课时间t（单位：分钟）之间的函数关系为．（1）在上课期间的前13分钟内（包括第13分钟），求注意力的最大指标；（2）根据研究结果表明，当注意力指标大于80时，学生的学习效果最佳，现有一节40分钟课，其核心内容为连续的20分钟，问：教师是否能够安排核心内容的时间段，使得学生在核心内容的这段时间内，学习效果均在最佳状态？20．（16分）已知幂函数是奇函数，且f（x）在（0，+∞）为严格增函数．（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；（2）求[2f（x）]，的最值，并求出取得最值时的x取值．21．（16分）已知函数f（x）＝2x（x∈R），记g（x）＝f（x）﹣f（﹣x）．（1）解不等式：f（2x）﹣2f（x）≤3；（2）设t为实数，若存在实数x0∈（1，2]，使得g（2x0）＝t•g2（x0）﹣1成立，求t的取值范围；（3）记H（x）＝f（2x+2）+af（x）+b（其中a、b均为实数），若对于任意的x∈[0，1]，均有|H（x）|≤，求a、b的值．参考答案一、填空题1．函数y＝的定义域为（﹣∞，2020]．解：由题意得：2021﹣x≥1，解得：x≤2020，故答案为：（﹣∞，2020]．2．已知集合，B＝{x|e x﹣2＜1}，则A∩B＝[0，2）．解：∵集合＝{x|x≥0}，B＝{x|e x﹣2＜1}＝{x|x＜2}，∴A∩B＝[0，2）．故答案为：[0，2）．3．已知函数f（x）＝（a2﹣1）x，若函数在（﹣∞，+∞）严格增函数，则实数a的取值范围是．解：∵f（x）在（﹣∞，+∞）严格增函数，∴a2﹣1＞1，解得或，∴a的取值范围是．故答案为：．4．函数的单调递增区间为．解：因为y＝是减函数，y＝x2﹣x﹣2在是减函数，所以函数的单调递增区间为：．故答案为：．5．对于任意实数a，函数（a＞0且a≠1）的图象经过一个定点，则该定点的坐标是．解：因为当x＝﹣3式时，f（x）＝，所以函数f（x）必过定点．故答案为：．6．如图是一个地铁站入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为16cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BQD＝30°，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为70cm．解：连接AB，CD，过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD于F，因为AB∥EF，AE∥BF，所以四边形AEFB为平行四边形，又因为∠AEF＝90°，可得四边形AEFB为矩形，所以EF＝AB＝16，因为AE∥PC，可得∠PCA＝∠CAE＝30°，所以CE＝AC sin30°＝×54＝27，同理可得DF＝27，所以当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为：CD＝CE+EF+FD＝27+16+27＝70（cm），故答案为：70．7．已知函数f（x）＝x2（x≤0），则y＝f（x）的反函数为．解：因为y＝x2（x≤0），所以x＝﹣，又因原函数的值域是{y|y≥0}，所以已知函数f（x）＝x2（x≤0），则y＝f（x）的反函数为．故答案为：．8．已知a、b都是正数，且（a+1）（b+2）＝16，则a+b的最小值为5．解：∵（a+1）（b+2）＝16，∴（a+1）+（b+2）＝2×＝8，（当且仅当a+1＝b+2，即a＝3，b＝2时取等号）∴a+b≥5，则a+b的最小值为5，故答案为：5．9．已知log35＝，5b＝7，则用a、b的代数式表示log63105＝．解：∵，∴＝＝＝．故答案为：．10．当|lga|＝|lgb|，a＜b时，则a+3b的取值范围是（4，+∞）．解：|lga|＝|lgb|，a＜b时，|lga|＝|lgb|，lga+lgb＝0＝lg（ab），∴ab＝1，a，b＞0，所以a+3b＝a+，令f（a）＝a+，由“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数，所以f（a）＞f（1）＝1+＝4，即a+3b的取值范围是（4，+∞）．故答案为：（4，+∞）．11．如图所示，已知函数f（x）＝log24x图象上的两点A、B和函数f（x）＝log2x上的点C，线段AC平行于y轴，三角形ABC为正三角形时，设点B的坐标为（p，q），则的值为4．解：根据题意，因为点B（p，q）在函数f（x）＝log24x上，又f（x）＝2+log2x，所以2+log2p＝q，所以p＝2q﹣2，即4p＝2q，所以的值为4．故答案为：4．12．已知函数，函数g（x）＝b﹣f（2﹣x），如果y＝f（x）﹣g （x）恰好有两个零点，则实数b的取值范围是．解：函数，则函数，故函数，即，因为函数g（x）＝b﹣f（2﹣x），且y＝f（x）﹣g（x）恰好有两个零点，等价于f（x）+f（2﹣x）＝b恰有两个根，即函数y＝f（x）+f（2﹣x）与函数y＝b的图象恰有两个交点，因为且，所以函数y＝f（x）+f（2﹣x）的最低点的纵坐标为，作出函数y＝f（x）+f（2﹣x）和y＝b的图象如图所示，由图象可知，当b＝或b＞2时，两个函数图象有两个交点，即y＝f（x）﹣g（x）恰好有两个零点，所以实数b的取值范围是．故答案为：．二、选择题13．函数f（x）＝的大致图象为（）A．B．C．D．解：∵f（﹣x）＝＝f（x），且定义域关于原点对称，∴函数f（x）为偶函数，即函数f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，B当x＞1是函数y＝lg|x|为增函数，当0＜x＜1时，函数y＝lg|x|为减函数，当x＞0，函数y＝为减函数，故函数f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）为减函数，故图象为先增后减，故排除C，故选：D．14．若函数是偶函数，则实数a的值是（）A．﹣1B．0C．1D．不唯一解：根据题意，函数是偶函数，则f（﹣x）＝f（x），即x2+＝（﹣x）2+，变形可得：（a﹣1）（e x﹣e﹣x）＝0恒成立，必有a＝1，故选：C．15．已知cos170°＝m，则tan10°的值为（）A．B．C．D．解：因为cos170°＝m，所以sin170°＝，则tan10°＝＝＝＝﹣．故选：B．16．已知n＜m，函数的值域是[﹣1，1]，有下列结论：①当n＝0时，；②当时，m∈（n，2]；③当时，m∈[1，2]；④当时，．其中正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．③④解：是增函数，且当x＝﹣1时，y＝﹣1，x＝时，y＝1，y＝22﹣|x﹣1|﹣3＝，当x＝1时，y＝1，x＝2时，y＝﹣1，x＝0时，y＝﹣1，且当x＜1时，函数y＝22﹣|x﹣1|﹣3是增函数，x＞1时，函数y＝22﹣|x﹣1|﹣3是减函数，当n＝0时，最大值1必在x＞n时取到，即m的值必须保证自变量x可以取到1，故m ≥1，故错误，①不正确；②当时，此范围中n＝0存在，故此时m≥1，故m∈（n，2]错误，②不正确；③由①知，当时，m∈[1，2]，故③正确；④当时，此时＝1，此时在﹣1≤x≤n时，﹣1≤y≤1，故此时，可保证函数的值域是[﹣1，1]，故④正确．故选：D．三、解答题17．（1）已知，求的值；（2）已知，求sin2θ+sinθcosθ﹣cos2θ的值．解：（1）因为＝＝﹣tanα，所以＝﹣tan＝﹣；（2）因为，所以sin2θ+sinθcosθ﹣cos2θ＝＝＝＝．18．设函数是R上的奇函数．（1）求a的值，并求函数f（x）的反函数f﹣1（x）解析式；（2）若k为正实数，解关于x的不等式．解：（1）因为函数是R上的奇函数．所以f（0）＝，解得a＝1，设y＝f（x）＝，则，所以，所以函数f（x）的反函数，x∈（﹣1，1）；（2）由，可得，x∈（﹣1，1），则，所以且k＞0，所以1﹣x＜k，所以x＞1﹣k，①若﹣1＜1﹣k＜1，即0＜k＜2，则原不等式的解集为（1﹣k，1），②若1﹣k≤﹣1，即k≥2，则原不等式的解集为（﹣1，1）．19．某校数学建模小组研究发现：在40分钟的一节课中，高一年级学生注意力指标S与学生听课时间t（单位：分钟）之间的函数关系为．（1）在上课期间的前13分钟内（包括第13分钟），求注意力的最大指标；（2）根据研究结果表明，当注意力指标大于80时，学生的学习效果最佳，现有一节40分钟课，其核心内容为连续的20分钟，问：教师是否能够安排核心内容的时间段，使得学生在核心内容的这段时间内，学习效果均在最佳状态？解：（1）当0＜t≤13时，S＝﹣，∴当t＝﹣＝12时，S的值最大，最大值为82；（2）当0＜t≤13时，令S＝﹣t2+6t+46≥80，解得12﹣2≤t≤12+2，∴t∈[12﹣2，13]，当13＜t≤40时，令83﹣log3（t﹣5）≥80，解得5＜t≤32，∴t∈（13，32]，∴t∈[12﹣2，32]，∵32﹣（12﹣2）＝20+2＞20，∴教师能够安排核心内容的时间段，使得学生在核心内容的这段时间内，学习效果均在最佳状态．20．（16分）已知幂函数是奇函数，且f（x）在（0，+∞）为严格增函数．（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；（2）求[2f（x）]，的最值，并求出取得最值时的x取值．解：（1）∵幂函数是奇函数，且f（x）在（0，+∞）为严格增函数，∴﹣2m2+m+3 为奇数，且﹣2m2+m+3＞0，求得﹣1＜m＜，且﹣2m2+m+3 为奇数．∴m＝0，f（x）＝x3．（2）令log2f（x）＝t＝，∵，∴t∈[﹣3，3]，函数[2f（x）]＝﹣＝+log2[2f（x）]＝+log2f（x）+log22＝t2+t+1＝+，故当t＝﹣时，即x＝时，函数y取得最小值为，当t＝3时，即x＝2时，函数y取得最大值为13．21．（16分）已知函数f（x）＝2x（x∈R），记g（x）＝f（x）﹣f（﹣x）．（1）解不等式：f（2x）﹣2f（x）≤3；（2）设t为实数，若存在实数x0∈（1，2]，使得g（2x0）＝t•g2（x0）﹣1成立，求t的取值范围；（3）记H（x）＝f（2x+2）+af（x）+b（其中a、b均为实数），若对于任意的x∈[0，1]，均有|H（x）|≤，求a、b的值．解：（1）因为函数f（x）＝2x（x∈R），所以不等式f（2x）﹣2f（x）≤3，即为22x﹣2x﹣6≤0，即（2x+2）（2x﹣3）≤0，解得0＜2x≤3，所以x≤log23，故不等式f（2x）﹣2f（x）≤3的解集为（﹣∞，log23]；（2）存在实数x0∈（1，2]，使得g（2x0）＝t•g2（x0）﹣1成立，即存在实数x0∈（1，2]，使得成立，令，因为k在（1，2]上单调递增，所以，又，则有存在实数，使得成立，则，设，，即有在上单调递增，所以，故t的取值范围为；（3）H（x）＝f（2x+2）+af（x）+b＝22x+2+a•2x+b＝4•（2x）2+a•2x+b，令v＝2x，因为x∈[0，1]，所以v∈[1，2]，所以φ（v）＝4v2+av+b，因为若对于任意的x∈[0，1]，均有|H（x）|≤，则对任意v∈[1，2]，均有|φ（v）|＝，所以，由①②③解得a＝﹣12，b＝．。
上海市浦东新区2021届高一数学上学期期末学业水平测试试题
上海市浦东新区2021届高一数学上学期期末学业水平测试试题一、选择题1．函数的定义域为A ．B ．C ．D ．2．已知函数()sin(2)3f x x π=+，将()y f x =的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若动直线x t =与函数()y f x =和()y g x =的图象分别交于M ，N 两点，则||MN 的最大值为( )A ．2BC ．1D ．123．已知函数()ln f x x =()f x 的定义域为（ ）A.(0,1)B.(1,2]C.(0,4]D.(0,2]4．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()3x f x =，则9(log 4)f 的值为（ ）A.-2B.12C.12-D.25．锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin a C =，1a =，则ABC ∆周长的最大值为（ ）A 1B 1C ．3D ．46．数学家默拉在1765年提出定理，三角形的外心,重心,垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点重心是三角形三条中线的交点,垂心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线,已知△ABC 的顶点B(-1,0),C(0,2),AB=AC,则△ABC 的欧拉线方程为（ ）A.2x-4y-3=0B.2x+4y+3=0C.4x-2y-3=0D.2x+4y-3=07．将函数sin y x =的图象上每个点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再将所得图象向左平移6π个单位后，得到函数()f x 的图象，那么所得图象的一条对称轴方程为( ) A.12x π= B.6x π= C.3x π= D.23x π=8．我国古代数学著作《九章算术》中，其意是：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？右图是源于其思想的一个程序框图，若输出的2S =（单位：升），则输入k 的值为A.6B.7C.8D.99．已知两个不同的平面αβ，和两条不重合的直线m n ，，有下列四个命题：①若//,m n m α⊥，则n α⊥；②若,m m αβ⊥⊥，则αβ∥；③若,,m m n n αβ⊥⊂∥，则αβ⊥；④若,m n ααβ⋂=，则m n .其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 10．甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为,其中,若,就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为 ( )A． B ． C ． D ．11．已知，则的值为（ ） A． B． C ． D ． 12．设满足约束条件，且，则的取值范围是（ ）A． B ． C． D ． 二、填空题13．已知三棱锥P ABC -外接球的表面积为10π0，PA ⊥面0,4,30ABC PA BAC =∠=，则该三棱锥体积的最大值为____。
上海市浦东新区2021 2021学年高一上学期期末考试数学试题(word版,附答案)
上海市浦东新区2021 2021学年高一上学期期末考试数学试题（word版，附答案）----af3ce918-6ea6-11ec-be94-7cb59b590d7d上海市浦东新区2021-2021学年高一上学期期末考试数学试题（word版，附答案）浦东新区2022学年第一学期期末质量考试高一数学（答题时间：90分钟，试卷满分：100分）一题号1~12得分得分评卷人一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1.功能y？ax（a？0和a？1）的图像都通过固定点_____________________2。
请写下“好货不便宜”的等价命题：________3.若集合a??x|x?1?，b??x|x?a?满足a?b?{1}，则实数a=．4.不等式2|x?1|?1?0的解集是.5.若f(x?1)?2x?1，则f(1)?.6.不等式13~161718192022 23总分x？3.0的解集是______x？27.设函数f（x）？（x1）（xa）是一个偶数函数，那么8.设f(x)?x2x?1，g(x)?x?1，则f(x)?g(x)=.x9.设?:x??5或x?1，?:2m?3?x?2m?1，若?是?的必要条件，求实数m的取值范围_______________.x10。
功能y？()122? 2的值范围为。
11已知ab>0，a？4b？1那么11+的最小值为__________ab?(1?2a)x(x?1)?12.已知函数f(x)??a在r上是增函数，则实数a的取值范围是.? 4（x？1）？？评分员得3分，否则全部得0分13．函数y?x的大致图象是（YY432。
多项选择题（这道主题的满分是12分）这道主题有4道题。
每个问题给出四个结论，分别编码为a、B、C和D，其中一个结论是正确的，并且每个问题的答案都是正确的）yyoxoooxxx？CDBA.14.已知f(x)是r上的奇函数，且当x?0时，f(x)?x?1，则x?0时f(x)=（）（a）?x?1（b）x?1（c）?x?1（d）x?115.证券公司认为股市存在风险，进入市场时要谨慎。