量子力学基础知识_图文
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当a=1cm时
在这种情况下，相邻能级间的距离是非常小的， 我们可以把电子的能级看作是连续的。 当a=10-10m时
在这种情况下，相邻能级间的距离是非常大的， 这时电子能量的量子化就明显的表现出来。
三 物质波的统计诠释——概率波
经典粒子——不被分割的整体，有确定位置和运 动轨道 ；经典的波——某种实际的物理量的空间分 布作周期性的变化，波具有相干叠加性。 二象性 要求将波和粒子两种对立的属性统一到同一物体上。
1926 年玻恩提出 德布罗意波是概率波。
统计解释：在某处德布罗意波的强度是与粒子在 该处邻近出现的概率成正比的。
（2）粒子的最小能量不等于零 最小能量 也称为基态能或零点能。 零点能的存在与不确定度关系协调一致。
(3)粒子在势阱内出现概率密度分布
经典观点： 不受外力的粒子在0到a范围内出现概率处处相等。 量子论观点：
当 很大
n =4
时， 量子 概率分布
n =3
就接近经
n =2
典分布
0
a n =1 0
a
（4）有限深势阱，粒子出现的概率分布
量子力学基础知识_图文.ppt
§22－1 波粒二象性
一 德布罗意假设
法国物理学家德布罗意（Louis Victor de Broglie 1892 – 1987 )
思想方法 自然界在许多方 面都是明显地对称的，他采用类 比的方法提出物质波的假设。
“整个世纪以来，在辐射理论上，比起波动的研 究方法来，是过于忽略了粒子的研究方法； 在实物 理论上，是否发生了相反的错误呢 ？ 是不是我们关 于‘粒子’的图象想得太多 ，而过分地忽略了波的图 象呢？”
如果势阱不是无限 深，粒子的能量又 低于势璧，粒子在 阱外不远处出现的 概率不为零。
经典理论无 法解释，实验得 到证实。
0
a
例 一电子在无限深势阱，如果势阱宽度分别为 1.0×10-2m和10-10m 。试讨论这两种情况下相邻能级 的能量差。
解：根据势阱中的能量公式
得到两相邻能级的能量差
可见两相邻能级间的距离随着量子数的增加而增加 ，而且与粒子的质量m和势阱的宽度a有关。
（三维）自由粒子波函数
波函数的统计意义
概率密度 表示在某处单位体积内粒子出现的概率. 正实数
某一时刻出现在某点附近在体积元 中的粒子 的概率为
某一时刻在整个空间内发现粒子的概率为
归一化条件
( 束缚态 )
结论：
Байду номын сангаас
波函数的性质 1）单值 3）有限
2）连续 4）归一
§22－3 不确定关系
一、不确定关系的表述和含义
在微观领域内，粒子的轨道概念不适用！
例 给您一个全新概念: 原子中电子运动不存在“轨道”
分析: 原子线度 r ∼ 10 -10 m
若电子Ek = 10eV 则
由不确定关系有
轨道概念不适用!
代之以电子云概念
例 给您以启示:
什么条件下可以使用轨道的概念? 如电子在示波管中的运动.
x
v
电子射线
0.1mm
例 不确定关系在理论上的一个历史作用： 判断电子不是原子核的基本成分 (电子不可能稳定在原子核内) 。
分析: 原子核线度 • 由测不准关系
• 这样的动量对应的电子能量有多大？
• 什么样的核可以把它束缚住呢？ 目前最稳定核的能量(最大的能量) 是
这就是说 目前还没有能量是20MeV的核 • 结论：电子不是原子核的组成部分
如势函数不是时间的函数，即 用分离变量法将波函数写为： 代入薛定谔方程得：
则 和
这就是定态薛定谔方程
定态: 能量取确定值的状态
定态波函数
对自由粒子波函数， 则
与时间无关
布 喇 格
德 拜
狄 拉 克
薛 定
德 康布 普罗 顿 意泡
海 森
谔
利伯
玻 恩
玻 尔
普 朗 克
居 里 夫 人
洛 仑 兹
爱朗 因之 斯万 坦
德布罗意假设：实物粒子具有波粒二象性。
德布罗意公式
注意
1）若
则
若
则
2）宏观物体的德布罗意波长小到实验难以测 量的程度，因此宏观物体仅表现出粒子性。
例1 在一束电子中，电子的动能为 此电子的德布罗意波长 ？
解
，求
此波长的数量级与 X 射线波长的数量级相当.
这是一张果蝇 的照片，是用电子 显微镜拍摄的。电 子显微镜的最基本 原理是利用电子的 波动性。
设体系处于某能量状态的寿命为 ，
就是体系处于某能量状态的时刻的不确定量。 则该状态能量的不确定程度E（能级自然宽度）为:
假定原子中某一激发态的寿命 ~ 10-8 s 则其能级宽度为:
三、不确定性关系的应用举例 例 设子弹的质量为0.01㎏,枪口的直径为0.5㎝。 试求子弹射出枪口时的横向速度的不确定量。
电子速度的不确定量为
氢原子中电子速率约为 106 m/s。速率不确定量与速率本身 的数量级基本相同，因此原子中电子的位置和速度不能同时 完全确定，也没有确定的轨道。
二、能量与时间的不确定性关系
能量和时间也是一对共轭物理量，有
推导如下:
在原子系统中基态能级宽度最小，所以电子该能级 停留时间最长，也即基态最稳定。
解 ： 枪口直径可以当作子弹射出枪口时位置的不确定 量。 由于
根据不确定性关系得
和子弹飞行速度每秒几百米相比 ,这速度的不确定 性是微不足道的,所以子弹的运动速度是确定的。
例 原子线度为10-10m , 计算原子中电子速度的不确定度。 解 P = m V
：
按经典力学计算，氢原子中电子的轨道速度 V ~106 ms-1 。 物理量与其不确定度一样数量级，物理量没有意义了！
在势阱边界处，粒子要受到无限大、指向阱内的力，表明 粒子不能越出势阱,即粒子在势阱外的概率为0。
二、一维无限深势阱中运动粒子的波函数 势阱内的一维定态薛定谔方程为：
解为：
由边界条件得： 据归一化条件，得 得波函数表达式：
三、能量量子化 概率密度函数 (1)粒子能量不能取连续值 由
得
能量取分立值（能级），能量量子化是粒 子处于束缚态的所具有的性质。
I. Langmeir M. Curie
L. De Brogglie Niels Bohr
§22－5 一维无限深势阱中的粒子
一、势阱
若质量为m的粒子，在保守力场的作用下，被 限制在一定的范围内运动，其势函数称为势阱。
为了简化计算，提出理想模型——无限深势阱。
一维无限深势阱：
a 保守力与势能之间的关系：
一维自由粒子的波函数为：
1933诺贝尔物理学奖
显然
又因为
，代入上两式得到：
奥地利物理学家
有势力场中粒子的总能量为：
将
和
一维自由粒子的含 时薛定谔方程
（1） 代入（1）式得
和
势场中一维运动粒
子的薛定谔方程
在势场中，作三维运动粒子薛定谔方程为：
或记成 其中
(拉普拉斯算符) (哈密顿算符)
2、定态薛定谔方程
----------微观粒子的“波粒二象” 性的具体体现
P
Px
x
狭缝 入射电子束
照相底版
只考虑一级衍射:
电子可在缝宽 确定量就是缝宽
范围的任意一点通过狭缝，电子坐标不 ，电子在 x方向的动量不确定量:
若考虑次级衍射:
一般有:
例1 原子的线度约为 10-10 m ，求原子中电子速度的 不确定量。 解: 原子中电子的位置不确定量 10-10 m，由不确定关系
概率概念的哲学意义：在已知给定条件下，不 可能精确地预知结果，只能预言某些可能的结果的 概率。
§22－2 波函数
波函数（ ）：量子力学中用以描述粒子运动状 态的数学表达式。
单色平面波
复数形式
一个沿x方向作匀速直线运动的自由粒子(能量为E, 动量为px)具有波粒二象性： 由德布罗意关系式 代入上式
海森堡（Heisenberg）在1927年提出微观粒子运动的基 本规律，包含多种表达式，其中两个是
第1个式子说明: 第2个式子说明:
粒子在客观上不能 同时具有确定的坐 标位置 和相应的动 量.
粒子在客观上不能 同时在确定的时间 具有相应确定的能 量.
1901-1976创立量子力学 获得1932年诺贝尔物理学奖
例 估算一些物理量的量级: 估算 H 原子的轨道半径r;
H原子最稳定的半径 ——玻尔半径。
解 设H原子半径为r, 则电子活动范围 由不确定关系
假设核静止 按非相对论 ,电子能量为
代入
得
最稳定，即能量最低
得
Å
一张有趣的图片 少女还是老妇？ 两种图象不会同 时出现在你的视 觉中。
“冬虫夏草” -
是虫还是草 ？
1927年第五届索尔威会议
（本次课完）
E. Schrodinger
W. Bragg
L. Brillouin W. Pauli
P. Debye
P. Ehrenfest P. Dirac A. Compton W. Heisenberg
Max Planck H. A LoreAnt.zEinPst.eLinangevinMax. Born
严格的理论给出的不确定性关系为：
首先由海森堡给出(1927) 海森堡不确定性关系 (海森堡测不准关系)
它的物理意义是，微观粒子不可能同时具有确定的位置和动 量。粒子位置的不确定量 越小，动量的不确定量 就越大，反之亦然。因此不可能用某一时刻的位置和动量描 述其运动状态。轨道的概念已失去意义，经典力学规律也不 再适用。
加速电压U=102V 电子准直直径为0.1mm
即 x = 0.0001 m
分析: 由
电子的横向弥散可以忽略，轨道有意义。 宏观现象中
可看成经典粒子，从而可使用轨道概念。
讨论
1) 从量子过渡到经典的物理条件 如粒子的活动线度>> h
如例2所示的电子在示波管中的运动， 这时将电子看做经典粒子。
2) 微观粒子的力学量的不确定性 意味着物理量与其不确定量的数量级相同， 即P与P量级相同，r与r量级相同， 如例1所示的原子中运动的电子。
看到“冬虫夏草”这 个名字，许多人都会感到 奇怪；冬天还是动物，怎 么夏天又变成了植物呢？ 自然界的变化，奥妙无穷 ，世界上就有这种一身兼 动物、植物的奇特生物。 冬天的形状完全是虫，夏 天的形状又象是草，所以 取了这么一个形象生动的 名字--冬虫夏草。
§22－4 薛定谔方程
1. 薛定谔方程的引入
在这种情况下，相邻能级间的距离是非常小的， 我们可以把电子的能级看作是连续的。 当a=10-10m时
在这种情况下，相邻能级间的距离是非常大的， 这时电子能量的量子化就明显的表现出来。
三 物质波的统计诠释——概率波
经典粒子——不被分割的整体，有确定位置和运 动轨道 ；经典的波——某种实际的物理量的空间分 布作周期性的变化，波具有相干叠加性。 二象性 要求将波和粒子两种对立的属性统一到同一物体上。
1926 年玻恩提出 德布罗意波是概率波。
统计解释：在某处德布罗意波的强度是与粒子在 该处邻近出现的概率成正比的。
（2）粒子的最小能量不等于零 最小能量 也称为基态能或零点能。 零点能的存在与不确定度关系协调一致。
(3)粒子在势阱内出现概率密度分布
经典观点： 不受外力的粒子在0到a范围内出现概率处处相等。 量子论观点：
当 很大
n =4
时， 量子 概率分布
n =3
就接近经
n =2
典分布
0
a n =1 0
a
（4）有限深势阱，粒子出现的概率分布
量子力学基础知识_图文.ppt
§22－1 波粒二象性
一 德布罗意假设
法国物理学家德布罗意（Louis Victor de Broglie 1892 – 1987 )
思想方法 自然界在许多方 面都是明显地对称的，他采用类 比的方法提出物质波的假设。
“整个世纪以来，在辐射理论上，比起波动的研 究方法来，是过于忽略了粒子的研究方法； 在实物 理论上，是否发生了相反的错误呢 ？ 是不是我们关 于‘粒子’的图象想得太多 ，而过分地忽略了波的图 象呢？”
如果势阱不是无限 深，粒子的能量又 低于势璧，粒子在 阱外不远处出现的 概率不为零。
经典理论无 法解释，实验得 到证实。
0
a
例 一电子在无限深势阱，如果势阱宽度分别为 1.0×10-2m和10-10m 。试讨论这两种情况下相邻能级 的能量差。
解：根据势阱中的能量公式
得到两相邻能级的能量差
可见两相邻能级间的距离随着量子数的增加而增加 ，而且与粒子的质量m和势阱的宽度a有关。
（三维）自由粒子波函数
波函数的统计意义
概率密度 表示在某处单位体积内粒子出现的概率. 正实数
某一时刻出现在某点附近在体积元 中的粒子 的概率为
某一时刻在整个空间内发现粒子的概率为
归一化条件
( 束缚态 )
结论：
Байду номын сангаас
波函数的性质 1）单值 3）有限
2）连续 4）归一
§22－3 不确定关系
一、不确定关系的表述和含义
在微观领域内，粒子的轨道概念不适用！
例 给您一个全新概念: 原子中电子运动不存在“轨道”
分析: 原子线度 r ∼ 10 -10 m
若电子Ek = 10eV 则
由不确定关系有
轨道概念不适用!
代之以电子云概念
例 给您以启示:
什么条件下可以使用轨道的概念? 如电子在示波管中的运动.
x
v
电子射线
0.1mm
例 不确定关系在理论上的一个历史作用： 判断电子不是原子核的基本成分 (电子不可能稳定在原子核内) 。
分析: 原子核线度 • 由测不准关系
• 这样的动量对应的电子能量有多大？
• 什么样的核可以把它束缚住呢？ 目前最稳定核的能量(最大的能量) 是
这就是说 目前还没有能量是20MeV的核 • 结论：电子不是原子核的组成部分
如势函数不是时间的函数，即 用分离变量法将波函数写为： 代入薛定谔方程得：
则 和
这就是定态薛定谔方程
定态: 能量取确定值的状态
定态波函数
对自由粒子波函数， 则
与时间无关
布 喇 格
德 拜
狄 拉 克
薛 定
德 康布 普罗 顿 意泡
海 森
谔
利伯
玻 恩
玻 尔
普 朗 克
居 里 夫 人
洛 仑 兹
爱朗 因之 斯万 坦
德布罗意假设：实物粒子具有波粒二象性。
德布罗意公式
注意
1）若
则
若
则
2）宏观物体的德布罗意波长小到实验难以测 量的程度，因此宏观物体仅表现出粒子性。
例1 在一束电子中，电子的动能为 此电子的德布罗意波长 ？
解
，求
此波长的数量级与 X 射线波长的数量级相当.
这是一张果蝇 的照片，是用电子 显微镜拍摄的。电 子显微镜的最基本 原理是利用电子的 波动性。
设体系处于某能量状态的寿命为 ，
就是体系处于某能量状态的时刻的不确定量。 则该状态能量的不确定程度E（能级自然宽度）为:
假定原子中某一激发态的寿命 ~ 10-8 s 则其能级宽度为:
三、不确定性关系的应用举例 例 设子弹的质量为0.01㎏,枪口的直径为0.5㎝。 试求子弹射出枪口时的横向速度的不确定量。
电子速度的不确定量为
氢原子中电子速率约为 106 m/s。速率不确定量与速率本身 的数量级基本相同，因此原子中电子的位置和速度不能同时 完全确定，也没有确定的轨道。
二、能量与时间的不确定性关系
能量和时间也是一对共轭物理量，有
推导如下:
在原子系统中基态能级宽度最小，所以电子该能级 停留时间最长，也即基态最稳定。
解 ： 枪口直径可以当作子弹射出枪口时位置的不确定 量。 由于
根据不确定性关系得
和子弹飞行速度每秒几百米相比 ,这速度的不确定 性是微不足道的,所以子弹的运动速度是确定的。
例 原子线度为10-10m , 计算原子中电子速度的不确定度。 解 P = m V
：
按经典力学计算，氢原子中电子的轨道速度 V ~106 ms-1 。 物理量与其不确定度一样数量级，物理量没有意义了！
在势阱边界处，粒子要受到无限大、指向阱内的力，表明 粒子不能越出势阱,即粒子在势阱外的概率为0。
二、一维无限深势阱中运动粒子的波函数 势阱内的一维定态薛定谔方程为：
解为：
由边界条件得： 据归一化条件，得 得波函数表达式：
三、能量量子化 概率密度函数 (1)粒子能量不能取连续值 由
得
能量取分立值（能级），能量量子化是粒 子处于束缚态的所具有的性质。
I. Langmeir M. Curie
L. De Brogglie Niels Bohr
§22－5 一维无限深势阱中的粒子
一、势阱
若质量为m的粒子，在保守力场的作用下，被 限制在一定的范围内运动，其势函数称为势阱。
为了简化计算，提出理想模型——无限深势阱。
一维无限深势阱：
a 保守力与势能之间的关系：
一维自由粒子的波函数为：
1933诺贝尔物理学奖
显然
又因为
，代入上两式得到：
奥地利物理学家
有势力场中粒子的总能量为：
将
和
一维自由粒子的含 时薛定谔方程
（1） 代入（1）式得
和
势场中一维运动粒
子的薛定谔方程
在势场中，作三维运动粒子薛定谔方程为：
或记成 其中
(拉普拉斯算符) (哈密顿算符)
2、定态薛定谔方程
----------微观粒子的“波粒二象” 性的具体体现
P
Px
x
狭缝 入射电子束
照相底版
只考虑一级衍射:
电子可在缝宽 确定量就是缝宽
范围的任意一点通过狭缝，电子坐标不 ，电子在 x方向的动量不确定量:
若考虑次级衍射:
一般有:
例1 原子的线度约为 10-10 m ，求原子中电子速度的 不确定量。 解: 原子中电子的位置不确定量 10-10 m，由不确定关系
概率概念的哲学意义：在已知给定条件下，不 可能精确地预知结果，只能预言某些可能的结果的 概率。
§22－2 波函数
波函数（ ）：量子力学中用以描述粒子运动状 态的数学表达式。
单色平面波
复数形式
一个沿x方向作匀速直线运动的自由粒子(能量为E, 动量为px)具有波粒二象性： 由德布罗意关系式 代入上式
海森堡（Heisenberg）在1927年提出微观粒子运动的基 本规律，包含多种表达式，其中两个是
第1个式子说明: 第2个式子说明:
粒子在客观上不能 同时具有确定的坐 标位置 和相应的动 量.
粒子在客观上不能 同时在确定的时间 具有相应确定的能 量.
1901-1976创立量子力学 获得1932年诺贝尔物理学奖
例 估算一些物理量的量级: 估算 H 原子的轨道半径r;
H原子最稳定的半径 ——玻尔半径。
解 设H原子半径为r, 则电子活动范围 由不确定关系
假设核静止 按非相对论 ,电子能量为
代入
得
最稳定，即能量最低
得
Å
一张有趣的图片 少女还是老妇？ 两种图象不会同 时出现在你的视 觉中。
“冬虫夏草” -
是虫还是草 ？
1927年第五届索尔威会议
（本次课完）
E. Schrodinger
W. Bragg
L. Brillouin W. Pauli
P. Debye
P. Ehrenfest P. Dirac A. Compton W. Heisenberg
Max Planck H. A LoreAnt.zEinPst.eLinangevinMax. Born
严格的理论给出的不确定性关系为：
首先由海森堡给出(1927) 海森堡不确定性关系 (海森堡测不准关系)
它的物理意义是，微观粒子不可能同时具有确定的位置和动 量。粒子位置的不确定量 越小，动量的不确定量 就越大，反之亦然。因此不可能用某一时刻的位置和动量描 述其运动状态。轨道的概念已失去意义，经典力学规律也不 再适用。
加速电压U=102V 电子准直直径为0.1mm
即 x = 0.0001 m
分析: 由
电子的横向弥散可以忽略，轨道有意义。 宏观现象中
可看成经典粒子，从而可使用轨道概念。
讨论
1) 从量子过渡到经典的物理条件 如粒子的活动线度>> h
如例2所示的电子在示波管中的运动， 这时将电子看做经典粒子。
2) 微观粒子的力学量的不确定性 意味着物理量与其不确定量的数量级相同， 即P与P量级相同，r与r量级相同， 如例1所示的原子中运动的电子。
看到“冬虫夏草”这 个名字，许多人都会感到 奇怪；冬天还是动物，怎 么夏天又变成了植物呢？ 自然界的变化，奥妙无穷 ，世界上就有这种一身兼 动物、植物的奇特生物。 冬天的形状完全是虫，夏 天的形状又象是草，所以 取了这么一个形象生动的 名字--冬虫夏草。
§22－4 薛定谔方程
1. 薛定谔方程的引入