有限单元法初步课程课件

形函F 数e 性FF质12 :e
单元杆端力
F1 1
q(x)
EA,l e
F2
2
x
1.
NNe 21((00))12
1e 0
N单1元(1)杆端0位移 N2 (1) 1
1
2
u ( ) (1 )1 2
一、建立位移模式
2. N1-(--)用杆N2端(位) 移 1表示杆中位移
N1
N
2
12
设杆u中(任) 中一点包位含移刚体u位(移x) a bx
Y
x2 f [x, y(x)]dx x2 [ f (x, y(x))]dx
x1
x1
dy
y( x) y=y（x）
q(x)
§1.2 变形体虚位移原理
外力虚功
l
y
We
内力虚功
q( x)y ( x)dx
0
l
Wi 0 [M (x)k(x) Q(x) N (x) ]dx
虚功方程
y（x）
平衡位置
y
0
0
§1.3 势能原理
y（x）
平衡位置
1.应变能
弯曲应变能
拉压应变能
Ve P / 2
1 2
l Mdx
0
Ve P / 2
1
l
Ndx
20
剪切应变能 Ve P / 2
1
l
Qdx
20
2.外力势能
对于线弹性杆件体系
M Q N
EI
GA
EA
EP
1 2
l M2 [ 0 EI
Q2
N2 ]dx
GA EA
y
0
0
§1.3 势能原理
y（x）
平衡位置
4.势能原理
对于线弹性杆件体系
对于线弹性杆件体系,虚功方程为:
M Q N
l
q(x)y(x)dx
l
[M
Mห้องสมุดไป่ตู้
Q
Q
N
N ]dx
0
0 EI GA EA
EI
GA
1 l M 2 Q2
EA
N2
或
EP 2
[ 0 EI
]dx GA EA
l
qydx
l[ M 2
---用杆端位移表示杆中内力
杆中任一点应变
du
dx
d N e dx
dN1 dx
dN2 dx
e
B e
B B1 B2 ---应变矩阵
杆中任一点应力
E
EB e
杆中任一截面的轴力
N A
EAB e
§1.4 基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析
一、建立位移模式
F1
---用杆端位移表示杆中位移 1
Q2
N 2 ]dx
0
0 2EI 2GA 2EA
l
0 qydx
[ l ( M 2
Q2
N 2 )dx
l
qydx] 0
0 2EI 2GA 2EA
0
即 EP 0
在弹性结构的一切可能位移中，真实位移 使结构势能取驻值。
满足结构位移边界条件的位移
§1.4 基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析
N N1 N2 ---形函数矩阵
§1.4 基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析
一、建立位移模式
F1
---用杆端位移表示杆中位移 1
q(x)
EA,l e
F2
2
x
u N e
N N1 N2
N1 1 N2
1
2
B1 1/ l B2 1/ l
二、应变分析
三、应力分析
---用杆端位移表示杆中应变
有限单元法初步
有限单元法是在矩阵位移法基础上发展起来的一种结构 分析方法，用于板壳、实体等结构的分析。
有限元分析的步骤与矩阵位移法基本相同，过程也相似。
离散化：
2
3
1
4
5
水坝
6
单元分析：
整体分析： 求应力：
§1 杆系结构的有限单元法
§1.1 泛函与变分
“最速落径问题”---质量为m的小环从A处自由滑下，
试选择一条曲线使所需时间最短。（不计摩擦）
设路径为 y=y（x）
ds dx2 dy2
ds 1 y2
v
dx
dt
dt
v 2gh
1 y2
dt
dx
2gh
所需时间 T[ y(x)] a 0
1 y2 dx
2gh
a
A
X
y
Y
B
称T为y（x）的泛函， y（x）为自变函数。
即以函数作自变量以积 分形式定义的函数为泛函。
N e
u (a若xx) l01,N1 uub2((el0))(20Nl2111 N2a)、0b称为0 广义坐标
N1 1 形(状)函数 N2
N1 1 1, 2 0 时的
杆中位移.
u (x)
(1
x l
)1
x l
2
令 x ---自然坐标
l
N2 2 1,1 0 时的
杆中位移.
虚功方程
l
q(x)y(x)dx
l
[M (x)k(x) Q(x) N (x) ]dx
y
0
0
§1.3 势能原理
y（x）
平衡位置
1.应变能
弯曲应变能
拉压应变能
Ve P / 2
1 2
l
Mdx
0
Ve P / 2
1
l
Ndx
20
剪切应变能 Ve P / 2
1
l
Qdx
20
2.外力势能
P
P
P
外力从变形状态退回到无位移的 原始状态中所作的功.
q(x)
EA,l e
F2
2
x
u N e
N N1 N2
N1 1 N2
二、应变分析 ---用杆端位移表示杆中应变
B e
B1 1/ l
B B1 B2 B2 1/ l
三、应力分析
---用杆端位移表示杆中内力
单元1 应变能
2
Ve
1 2
l
N (x) (x)dx
Wi We
l
l
0 q(x)y(x)dx 0 [M (x)k(x) Q(x) N (x) ]dx
§1.3 势能原理
1.应变能
弯曲应变能
Ve P / 2
1 2
l
Mdx
0
拉压应变能
Ve P / 2
1 2
l
Ndx
0
剪切应变能 Ve P / 2
1
l
Qdx
20
P
P
P
q(x)
§1.2 变形体虚位移原理
外力从变形状态退回到移的
原始状态中所作的功.
Ve*
Pi i
Ve*
l 0
q(x) y(x)dx
3.结构势能
l
0 qydx
EP Ve VP*
1
l
[M Q N ]dx
l
qydx
20
0
q(x)
§1.2 变形体虚位移原理
虚功方程
l
q(x)y(x)dx
l
[M (x)k(x) Q(x) N (x) ]dx
§1.1 泛函与变分
y*(x) y(x) y(x)
称 y(x)为y（x）的变分，它是一个无穷小的任意函数。
变分运算在形式上与微分运算相同。
y2 (x) 2 y(x)y(x)
微分与变分运算次序可以交换。
x x+dx
A
X
d (y) ( dy )
dx
dx
y* y*(x)
积分与变分运算次序也可以交换。
P1
P2 P3
Ve*
Pi i
Ve*
l 0
q(x) y(x)dx
3.结构势能
1 2
3
q(x)
EP Ve VP*
1
l
[M Q N ]dx
l
qydx
20
0
y(x)
q(x)
§1.2 变形体虚位移原理
虚功方程
l
q(x)y(x)dx
l
[M (x)k(x) Q(x) N (x) ]dx