高中数学“点到平面的距离”教学实录

以点带面融会贯通

---“点到平面的距离”教学实录

1 背景

05年11月，笔者受浙江省教研室、浙江省特级教师协会的委托，到浙江省丽水市遂昌中学送教，

在该校高三（1）班上了一节立体几何复习课，参加活动的有丽水市各普通高中的数学教师代表，课题是空间距离的求法，笔者以2003年全国高考数学试题（文史类）的第17题（第一个解答题）的第（II）问为例题，与学生对这个题目进行了的深入的研究、讨论、探索．通过这堂课，不仅使学生掌握了求点到平面距离的一些常用方法，提高了学生的思维能力，而且让学生体会数学发现的快乐．

2 点击各样距离,聚焦点面距离.

教师：我来自千里之外的宁波北仑,中国有句古话,叫做“有缘----”

学生：“有缘千是里来相会”，

教师：对! 相聚确实是一种缘分，今天我和大家能相聚在这里，也是一种缘分，但愿我们能愉快地度过这45分钟.且彼此都留下美好的印象.今天我们要讨论的话题是如何求距离．到现在为止我们已经学过那此距离？

学生：点到点的距离、点到线的距离、点到面的距离、直线到直线的距离、直线到平面的距离、还有平面到平面的距离等等．

教师：在空间中特有的距离有哪几种？

学生：异面直线间的距离、直线到平面的距离、点到平面的距离、两平行平面间的距离．

教师：即“四大距离”相当于蒋、宋、孔、陈四大家族.都是很重要的,这里有个问题,我今天讲课题是点到平面距离,为什么不是其它距离呢?好像我只对点面距离情有独钟,你能说出点到平面的距离，是靠什么“什么魅力”把吴老师深深的吸引？你能明白我的心吗？

学生：点面距离最重要!

教师：难道其它距离就不重要了吗?还是让我们先设法弄清楚这四大家族的关系如何？为什么点面距离是最重要的,先看一看面面距离是如何定义的？

学生：两平行平面公垂线段的长即为两平行平面间的距离（用讲台桌面和一书本作为模型）.

教师：你是如何求两平行平面间的距离的？

学生：只要求出其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离即可.

教师：即要求面面距离只须求---

学生：只须求点面距离.

教师：即面面距离可化归为点面距离．让我们再瞧一瞧线面距离（用教鞭及讲台桌面作为模型）线面距离是如何定义的？

学生：直线和平面平行时，直线上的任意一点到平面的距离即为直线到平面的距离.

教师：即线面距离必须化归为点面距离.最后让我们来看一看异面直线间的距离,(作出图形)

学生：异面直线的公垂线段的长即为异面直线的距离.

教师：照理说要求异面直线的距离必须画出异面直线的公垂线段,但要

画异面直线的公垂线段是一件很不容易的事情,如图b ,a 是异面直线,AB 是它们的公垂线段,过点B 作a 的平行线

1a ,则直线b ,a 1确定的平面和a 的关系如何?

学生：平行!

教师：AB 和平面M 的关系如何? 学生：垂直.

教师：AB 的长即为A 到平面M 的距离,即为直线a 到平面M 的距离.所以异面直线的距离也可以化归为线面 距离,最终可化归为点面距离,由此可知,这四个距离中家族中,起决定作用的法人代表是谁?

学生：是点面距离.

3 给出典型问题,引导学生探索.

教师：毫无凝问,点面距离是众多距离中决定作用的法人代表，是众多距离中的最耀眼的明星，老师也是追星 族,对点面距离情有独钟一点也不奇怪了.下面我们设法把这个法人代表搞定.今天我们用一节课时间就做一个题目，请大家看手头中的讲义，先请大家试着做一做 (:学生各自解答讲义中的例题,教师在黑板上画好基本图形)

例题（由2003年全国高考试题改变）

已知：正四棱柱1111D C B A ABCD -中，21=AA ，1AB =，点E 为1CC 的中点. 求:点1D 到平面BDE 的距离.

教师:为了叙述方便,我们所求的点称为“目标点”，如本题中的目标点为1D ，所涉及的平面称为目标平面，如本问题的目标平面为平面BDE ．下面请各位同学试着做一做！

4 展示各种解法,总结思想方法. （大约六、七分钟后）

教师：下面请同学们展示一下自己的解法，这种机会是很难得，哪位同学先勇敢地站起来介绍一下自己的解 法？好的，请你先说一说总的思路和方法！ 学生：我是用体积法做的． 教师：哪就是说没有画出垂线段！

学生：因为BDE ∆是边长为2的正三角形，所以其面积为2

3

，接下去求出三棱锥1DED B -的体积 教师：其体积是如何算？

学生：DE D 1∆的面积为1，高BC 也为1，所以其体积为3

1

，点1D 到平面BDE 的距离为332

教师：大家听清楚了吗？ 学生：清楚了. 教师：他说得好不好? 学生：好!

教师：大家鼓励一下. 学生：(掌声.)

教师：我们给这种方法取个名字. 学生：运用体积法.

教师：运用体积法的解题程序如何.第一步干什么,第二步干什么?

学生：先看中一个四面体，再求它的体积，再求出所求点对面的哪个面的面积． （板书：运用体积法 图形→体积→面积→结论）

A

1

A

1

C

教师：这是最简捷的解法,也是最美的解法,如果是考试时解题,我们就可以到此为止了,因为考试解题一题一解 即可,且最好能把你的绝活亮出来,越简捷越好,是以拿到分数为目的.而平时做题则不同,是以提高能力为目标的，我认为要高考数学要取得好成绩，必须要解决的问题是政策和对策的问题，即所的谓的“上有政策，下有对策”，对于求点面距离这个政策，你还有哪些其它对策呢？今天，不管是漂亮的方法，还是丑陋的方法，都给以亮相的机会，下面接着展示

学生：我是用坐标法做的． 教师：你是如何建立直角坐标系的？

学生：以D 为原点，用右手坐标系（教师作图） 可经得到：()0,0,0D ,()()()1,1,0,0,1,1,2,0,01E B D

教师：请问你其它点的坐标为何不写了？ 学生：写了也白写！

教师：对写了也白写还不如不写．下面干什么事情？

学生：求出平面DBE 的一个法向量，设法向量为()z y x n ,,=→

，而()0,1,1=DB ,()1,1,0=DE 由n DB ⊥且n DE ⊥，可得法向量为()1,1,1-=→

n 教师：法向量求出以后干什么用呢？

学生：可以求出距离了，()2,0,01=DD ，1DD 的长以及它和法向量的夹角都可以知道，由此可得∴点1D 到 平面BDE 的距离d =3

3

2,cos 11>=<→

DD n DD 教师：我们也给这种解法取个名字， 学生：坐标法

教师：对，空间坐标法，用空间坐标法的解题程序又如何呢？

学生：先建立空间直角坐标系，相关点用坐标表示之，求出目标平面的法向量，再找一条过目标点的斜线段，由内积公式求出它和法向量所成的角，最后终得距离．

（板书：空间坐标法 建坐标→坐标化→法向量→斜线段→算夹角→求距离）

教师：前面两位同学的都比较狡猾，没有按照点面距离的定义，画出点到线的距离，画出距离可不可以呢？ 学生：设正四棱柱1111D C B A ABCD -两底面的中心分别1,O O ; 则只须求出点1O 到平面BDE 的距离． 教师：为什么？

学生：因为11B D ∥平面DBE ．

教师：你为什么要把所求的点转移到点1O

学生：因为点1D 不好商量，过1D 作平面DBE 的垂线画出来， 教师：所以我们要让这个点跑到面的里面,下面说一说你是如何作辅助线的，你怎么说我就怎么画,如果我是电

脑,那么你是鼠标.

学生：先证明平面OE O 1与平面DBE 垂直，交线为OE ，再作OE H O ⊥1于H,则⊥H O 1平面DBE.则H O 1即 为 点1O 到平面BDE 的距离．

A 1

B 1

D 1C 1C

D E

O 1O