不同阶分数阶混沌系统的同步与参数辨识李安平
分数阶与整数阶混沌系统的错位投影同步
分数阶与整数阶混沌系统的错位投影同步张晓青【摘要】根据激活控制法和Lyapunov稳定性理论设计了合适的非线性控制器,实现了分数阶Liu系统和整数阶Chen系统的错位投影同步.理论分析和数值仿真结果一致,证明了所提方案的有效性.【期刊名称】《河南科学》【年(卷),期】2019(037)001【总页数】5页(P26-30)【关键词】分数阶混沌系统;整数阶混沌系统;错位投影同步;激活控制法【作者】张晓青【作者单位】太原工业学院理学系,太原 030008【正文语种】中文【中图分类】O415.5随着对混沌同步的不断研究，各个领域的学者们提出了多种混沌同步的概念，比如，完全同步［1-4］，反同步［3-4］，投影同步［5-6］，错位投影同步（DPS）［7-10］，混合函数投影同步（MFPS）［11］等. 不同的混沌同步类型意味着驱动和响应系统之间不同的比例因子.从安全通信角度考虑，比例因子越复杂，系统的抗破译能力越强.其中错位投影同步其尺度因子具有不可预测性，并且无法预测驱动系统和响应系统的哪些变量进行对应，这在保密通信中将大大提高信息的安全性，近年来有不少学者在做有关研究.Chu Y.［7］提出了错位投影同步，并且基于Lyapunov稳定性理论设计了控制器实现了错位投影同步.邓玮等人［8］实现了两个初值不同的新系统的错位投影同步，并且将新系统及错位投影同步方法应用到保密通信中.邵书义等人［9］基于Lyapunov稳定性理论和分数阶系统理论，设计了非线性控制器，实现了初值不同的两个分数阶变形Chua混沌系统之间的错位投影同步.孙俊伟等人［10］基于Lyapunov稳定性理论，设计了非线性控制器，实现了一系列复线性和一系列实线性混沌系统在不同初值下的错位投影同步.目前，在整数阶混沌系统之间同步和分数阶混沌系统之间的同步研究成果较多.Jia H.等人［12］实现了含参整数阶Liu系统的自适应同步.陈旭等人［13］基于自适应模糊滑模控制实现了分数阶混沌系统的同步.可是，关于分数阶与整数阶混沌系统之间的各类同步研究还不多见.整数阶混沌系统与分数阶混沌系统属于不同的体系，研究这两种系统之间的同步在保密通信等领域具有更高的使用价值.本文首先描述了分数阶Liu混沌系统［14］与整数阶Chen混沌系统［15］，其次基于激活控制法和Lyapunov稳定性理论设计了合适的追踪控制器，实现了二者的错位投影同步，最后利用MATLAB数值仿真进一步验证了所设计控制器的有效性和合理性.1 分数阶Liu混沌系统与整数阶Chen混沌系统的错位投影同步分数阶Liu系统的数学表达式为：其中：0≤q1，q2，q3≤1是分数阶阶数；a，b，c，d，h是系统参数；x1，x2，x3是状态变量.本文中取Liu系统的参数为a=10，b=40，c=10，d=2.5，h=4，初始条件为并且q1=0.75，q2=0.85，q3=0.95，Liu系统出现了混沌现象，系统的混沌吸引子如图1所示.图1 分数阶Liu系统在x1-x2-x3空间的相图Fig.1 Phase portrait of the fractional order Liu system in x1-x2-x3space整数阶Chen系统可以描述为：其中：y1,y2,y3是状态变量是系统参数.当初始条件为时，整数阶Chen系统呈现混沌现象.如图2所示.图2 整数阶Chen系统在y1-y2-y3空间的相图Fig.2 Phase portrait of the integer order Chen system in y1-y2-y3space将系统（1）式作为驱动系统，系统（2）式作为响应系统，受控的响应系统可构造为：（3）式中的为追踪控制器，其中为补偿器，为反馈控制器.设驱动系统和响应系统之间的错位投影同步误差为：此处是比例因子.设计（3）式中的补偿器为：其中则受控的响应系统变为对上式变形，即可得到误差动力系统：令其中将（6）式改写成：其中：F11为仅包含误差项e3()t的非线性函数，故因而可以选择反馈控制器为：其中：A1∈R2×2为待定实矩阵，B1∈R1×1. 将（8）式代入（7）式得：分析（9）式中的第二个式子：根据线性系统稳定性理论［16］可知，当选择B1∈R1×1使得r+B1＜0时当t→∞时成立，此时（9）式中的第一个方程变为设将参数代入（9）式，则误差动力系统变为：选取：则当选择-35+a11≤ 0，28+a22≤ 0，3+B1≤ 0，28+a12+a21=0时，有根据Lyapunov稳定性理论［17］，误差系统式（10）渐进稳定，即驱动系统式（1）和响应系统式（3）实现了错位投影同步.2 数值仿真我们用Matlab进行数值仿真验证.选取比例因子驱动系统和响应系统的初值，系统参量分别取此时，Liu系统和Chen系统都呈现出混沌现象.系统式（1）和系统式（3）的错位投影同步误差效果如图3所示.由图3可知，错位投影同步误差以很快的速度收敛于0.图4表示当时，选取时的误差变化.由图4可见，所有的误差都在很短的时间内趋于0.图3 比例因子为(λ 1,λ2,λ3)=(1 0,5,3) 时系统（1）和（3）之间的误差曲线Fig.3 DPS errors between system（1）and system（3），when(λ 1,λ2,λ3)=(1 0,5,3)图4 比例因子为(λ 1,λ2,λ3)=(- 2,-3,-10 )时系统（1）和（3）之间的误差曲线Fig.4 DPS errors between system（1）and system（3），when(λ1,λ2,λ3)=(- 2,-3,-10)3 结论本文研究了分数阶Liu混沌系统和整数阶Chen混沌系统之间的错位投影同步，首次利用激活控制法和Lyapunov稳定性理论设计了合适的反馈控制器，实现了分数阶混沌系统与整数阶混沌系统的错位投影同步.数值仿真实验中错位投影同步误差以很快的速度收敛于0，与理论说明一致，表明了所设计控制器的合理性.本文控制器的设计方法不仅可以用于相同的分数阶与整数阶混沌系统，也可以用于不同的分数阶与整数阶混沌系统，研究结果有重要的理论意义，而且在保密通信、信息科学、信息处理等领域有潜在的应用价值.【相关文献】［1］包刚，那仁满都拉，图布心，等.耦合混沌振子系统完全同步的动力学行为［J］.物理学报，2007，56（4）：1971-1974.［2］王燕舞，关治洪，王华，等.自适应控制实现陈氏混沌系统的完全同步［J］.华中科技大学学报（自然科学版），2002，30（12）：49-51.［3］董俊，张广军，姚宏，等.分数阶异结构超混沌系统完全同步与反相同步控制［J］.动力学与控制学报，2014，12（2）：119-126.［4］董俊，张广军，姚宏，等.异结构超混沌系统的完全同步与反相同步控制［J］.空军工程大学学报（自然科学版），2012，13（5）：90-94.［5］阿布都热合曼·卡的尔，王兴元，赵玉章.统一超混沌系统的投影同步［J］.物理学报，2011，60（4）：81-85.［6］李华青，罗小华，代祥光.一个超混沌系统及其投影同步［J］.电子学报，2009，37（3）：654-657.［7］ CHU Y，CHANG Y X，AN X，et al.A new scheme of general hybrid projective complete dislocated synchronization［J］.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2011，16（3）：1509-1516.［8］邓玮，吴艳敏，方洁，等.一个新混沌系统及错位投影同步通讯方案［J］.数学的实践与认识，2014，44（20）：156-164.［9］邵书义，闵富红，马美玲，等.分数阶Chua’s系统错位同步无感模块化电路实现及应用［J］.物理学报，2013，62（13）：41-46.［10］ SUN J，WANG Y，YAO L，et al.General hybrid projective complete dislocated synchronization between a class of chaotic real nonlinear systems and a class of chaotic complex nonlinear systems［J］.Applied Mathematical Modeling，2015，39（20）：6150-6164.［11］李战国，徐伟.不同阶混沌系统缩阶混合函数投影同步［J］.信息与控制，2012，41（1）：33-37.［12］Jia H，Qun J Z.Adaptive synchronization of uncertain Liu system via nonlinear input ［J］.Chinese Physics B，2008，17（2）：503-506.［13］陈旭，李明，郑永爱.基于自适应模糊滑模控制的分数阶混沌系统的投影同步［J］.动力学与控制学报，2018，16（5）：411-417.［14］LIU C X，LIU K.A new chaotic attractor chaos［J］.Chaos，Solitons and Fractals，2004，22：1031-1038.［15］CHEN G R，UETA T.Yet another chaotic attractor［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos，1999，9（7）：1465-1466.［16］闵富红.混沌系统同步控制的有关问题研究［D］.南京：南京理工大学，2007.［17］徐瑞萍，高存臣.基于线性反馈控制的一类混沌系统的同步［J］.中国海洋大学学报（自然科学版），2014，44（5）：114-120.。
分数阶混沌系统的控制与同步研究
分数阶混沌系统的控制与同步探究摘要：分数阶系统具有很好的非线性特性和长记忆能力，在混沌系统的探究中得到广泛应用。
本文主要探讨了分数阶混沌系统的控制与同步问题。
起首介绍了分数阶系统和混沌现象的基本观点，随后分别探讨了分数阶系统的控制方法和同步方法。
通过模拟试验验证了这些方法的有效性。
最后，总结了探究结果并指出了将来的进步方向。
1.引言随着现代科学技术的进步，混沌系统的探究引起了广泛的关注。
混沌系统是一类非线性动力学系统，具有高度复杂的行为和随机性，表现出的熵较高。
分数阶系统是近年来探讨的热点之一，其具有更广泛的记忆特性和非线性特性，能够更好地描述实际系统的动力学行为。
因此，分数阶混沌系统的控制和同步问题成为了探究的重点。
2.分数阶系统的基本观点分数阶系统是指微分与积分阶数不仅仅为整数，而是介于0和1之间的实数。
分数阶微分方程是描述分数阶系统的基本工具。
混沌系统是一类具有无法猜测的行为和极其敏感的初始条件的系统。
分数阶混沌系统介于分数阶系统和混沌系统之间，兼具了两者的特性。
3.分数阶混沌系统的控制方法针对分数阶混沌系统的控制问题，探究者提出了多种方法。
其中一种常用的方法是基于反馈控制理论的方法。
通过在系统中引入适当的反馈控制项，可以有效地控制系统的混沌行为。
另一种方法是基于最优控制理论的方法，通过求解最优控制问题，可以获得使系统行为稳定或特定性能指标最优的控制策略。
4.分数阶混沌系统的同步方法分数阶混沌系统的同步问题是指如何使两个或多个分数阶混沌系统的状态变量在某种意义上达到一致。
同步方法可以分为无控制同步和有控制同步两种。
无控制同步是指系统自身通过耦合作用实现同步，而有控制同步是利用外部控制手段实现同步。
常用的同步方法有时间延迟复杂网络同步、自适应控制同步和非线性控制同步等。
5.模拟试验与结果分析为验证分数阶混沌系统的控制和同步方法的有效性，进行了一系列模拟试验。
通过对分数阶混沌系统进行控制和同步，分析了系统的动力学行为和性能指标。
不同阶分数阶混沌系统的同步与参数辨识李安平
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2013， 49 （4）
Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用
A( x t ) + A( x t )T ， 若 AH (t ) 2 所有元素连续有界， 且存在一个正常数 σ ( > 0) ， 使得 AH (t )
在实际工作中混沌系统的参数由于干扰或各种其他因素 的影响经常是未知的， 因此研究参数未知的不确定混沌系 统 同 步 与 辨 识 有 重 要 意 义 [12-14]。 在 有 未 知 参 数 存 在 情 形 下， 文 [11]的方法不再适用， 而且关于不同阶分数阶混沌系 统之间的参数辨识尚未见报道。 本文讨论参数不确定分数阶混沌系统用不同阶同结 构系统来同步和参数辨识， 利用分数阶非线性时变系统稳 定性理论， 给出分数阶系统用不同阶的分数阶系统来同步 和参数辨识的方法， 实例实现了不确定分数阶 Chen 通过不 同阶的分数阶 Chen 系统来同步和参数辨识。理论和实验 仿真说明了方法的有效性。
2
分数阶微积分
分数阶微积分有 300 多年的历史， 其定义有很多种， 常
1in
使 得 AH 所 有 的 特 征 值 都 满 足 λ i (t ) = a ii min (- a ii )( > 0) ，
-σ < 0 ， 因此由定理 2 可得， 系统渐近稳定。
用的有 Grunwald_Letnikov （GL） ， Riemann_Lionville （RL） ， Caputo’ s 定义。分数阶微分方程的计算方法有两大类： 一 种是频域算法， 一种时域算法。本文中采用 Caputo’ s 定义 和预测 -校正 （predictor-correctors） 时域数值算法。 Caputo’ s 分数阶微分定义为：
一个新分数阶混沌系统的同步和控制_杨叶红_肖剑_马珍珍
０ 引言
混沌现象是在一个系统中出现的一种看似无规则的且具有内在随机性的复杂现象。大量研究表明， 当 混沌系统的阶数为分数时仍然出现混沌现象， 并且更能反映出系统呈现的工程物理现象。近年来， 人们对混 沌系统进行了深入研究。在混沌系统的同步中， 参数具有重要的作用， 研究者对整数阶混沌系统参数识别进
第 ４ ９卷 第 ２期 ２ ０ １ ４年 ２月 山 东 大 学 学 报 （ 理 学 版） Ｖ ｏ ｌ ． ４ ９ Ｎ ｏ ． ２ Ｆ ｅ ｂ ． ２ ０ １ ４ Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｈ ａ ｎ ｄ ｏ ｎ ｇＵ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
大多以参数和结构确定的混沌系统作为研究对象设计同步方法， 当系统中某些参数未知时， 混沌系统的敏感 性将造成系统状态极大的差异。
2014-03-05 17:46 收稿日期： ２ ０ １ ３ ０ ５ ０ ９ ；网络出版时间： ２ ０ １ ３ １ １ ２ ２１ ５ ∶ ０ ７ /kcms/detail/37.1389.N.20140305.1746.002.html 网络出版地址： ｈ ｔ ｔ ｐ ： ／ ／ ｗ ｗ ｗ ． ｃ ｎ ｋ ｉ ． ｎ ｅ ｔ ／ ｋ ｃ ｍ ｓ ／ ｄ ｅ ｔ ａ ｉ ｌ ／ ３ ７ ． １ ３ ８ ９ ． Ｎ ． ２ ０ １ ３ １ １ ２ ２ ． １ ５ ０ ７ ． ０ ０ １ ． ｈ ｔ ｍ ｌ
β ｊ ， ｎ ＋ １ ＝
０ ≤ｊ ≤Ｎ
ｐ ｍａ ｘ｜ ｙ （ ｔ ）－ｙ （ ｔ ）｜ ＝Ｏ （ ｈ ） ， ｊ ｈ ｊ
（ ９ ）
（ ｋ ）
（ ｋ ） ０
∫ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（ ４ ）
分数阶Victor-Carmen混沌系统的新型滑模同步方法
2021年5月 第28卷第5期控制工程Control Engineering of ChinaMay . 2021Vol .28, No .5文章编号：1671-7848(2021)05-0856-04DOI: 10.14107/j .cnki .kzgc .20180249分数阶Victor-Carmen 混沌系统的新型滑模同步方法毛北行(郑州航空工业管理学院数学学院，河南郑州450015)^ |摘要：Victor-Carmen 混洸系统引起了控制界的高度关注，利用新型滑模方法研究分数阶、 Victor-Carmen 混洸系统同步的方法尚未被系统地研究过。
基于一种新型滑糢面研究了分数-阶Victor-Carmen 不确定混洸系统的同步，并依据滑模方法和分数阶微分相关理论得到分数阶Victor-Carmen 不确定系统滑模同步的充分条件。
结论表明，分数阶Victor-Carmen 没先 祕在适当紐T 是賴同步的，最后借助MATLAB 仿真软件雜健S 进行验证。
关键词：新型滑模；分数阶；Victor-Carmen 混先系统 中图分类号：0482.4文献标识码：ANew Sliding Mode Synchronization Methods For Fractional-orderVictor-Carmen Chaotic SystemsMAO Bei-xing(School of Mathematics , Zhengzhou University of A eronautics , Zhengzhou 450015,China )Abstract:Victor-Carmen chaotic systems have attracted much attention from the control community . Themethod of studying the synchronization of fractional-order Victor-Carmen chaotic systems using the new sliding mode method has not been systematically studied . The synchronization of fractional-order Victor-Carmen uncertain chaotic systems is studied based on a new type sliding mode surface method in this paper . Sufficient conditions are acquired for sliding mode synchronization of fractional-order Victor-Carmen uncertain systems based on sliding mode method and fractional-order differential theory . The results demonstrate that fractional-order Victor-Carmen chaotic systems are of sliding mode synchronization under certain conditions . Finally , the numerical results are verified by MATLAB simulation software .K ey words: New sliding mode ; fractional -order ; Victor-Carmen chaotic systemi 引言近年来，分数阶混沌系统的同步问题成为研究 的热点[14]，如何利用滑模方法解决同步问题被科学 界广泛研宄，并取得了丰硕的成果^-91。
不同维不同阶的分数阶混沌系统同步及仿真
Ｓｖ ｈ ０ ｚ ｔ０ ａ ｄ Ｓ ｍ ｕｌｔｏ ｏ ａ ｔｏ ａ —Ｏｒ ｒ Ｃｈａ ｔｃ ｎｃ ｒ ｎｉａ ｉｎ ｎ ｉ ａ ｉｎ ｆＦｒ ｃｉ ｎ ｌ ｄｅ ｏ ｉ
Ｓ ｓｅ ｗｉｈ Ｄｉ ｅ ｅ ｔＤｉ ｎ ｉｎ ｎ ｆｅ ｅ ｔＯｄ ｒ ｙ ｔ ｍ ｔ ｆ ｒ ｎ ｍｅ ｓｏ ｓａ ｄ Ｄｉ ｒ ｎ ｅ ｓ ｆ
摘要 ： 分数阶混沌系统同步在安全保密通信等领域有着重要的应用价值和研 究意义 。对不 同维不 同阶的分数 阶混 沌系统之 间的广义 同步 ， 根据主动控制和分数 阶系统稳定性理论设计控制器实现同步。先将 两个分数 阶混沌系统分解为线 性和非线 性部分之 和， 用主动控制构造同步误差方 程， 然后利用分数 阶线性时不变系统稳 定性理论设计控制器 ， 实现不 同维不 同阶分 数 阶混沌 系统之 间的广义同步 ， 再用分数 阶微分 的 Ｃ ｐ ｔ ａｕｏ定义和分 数阶微分 方程 的预测校 正数值解法进行数 值仿真 ， 实现 三维 Ｃ ｅ ｈｎ系统和 四维超 Ｌｒｎ ｏｅｚ系统 间的广义 同步 。仿真结果表明了提出方法 的有效性 。 关键 词： 分数 阶混沌系统 ； 广义同步 ； 不同维不 同阶
收稿 日期 ：０ １ ０ — ８ 修 回 日期 ：０ １ ０ ～ １ ２ １—６ １ ２ １ — ７ ２
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之 间 的 广 义 投 影 同步 尚未 见 报 道 。
１ ９６ 一
本 文 讨 论 分 数 阶 混 沌 系 统 用 不 同 阶 不 同 维 系 统 来 广 义
同步 ， 利用分数 阶 混沌 线性 系 统稳 定 性理 论 和主 动控 制 原 理 ， 过在控制量 中引入分 数 阶微分项 ， 出不 同阶数不 同 通 给 维数 的分数 阶系统广义 同步的方法 ， 值仿真 实例实现 了不 数
不同阶次的分数阶复值混沌系统的广义投影同步和广义错位投影同步
不同阶次的分数阶复值混沌系统的广义投影同步和广义错位投影同步王志成;王震【摘要】研究了分数阶复值混沌系统的同步问题.应用不等阶次分数阶实值混沌系统的同步和复值混沌系统的同步方法,提出了广义投影同步和广义错位投影同步.针对驱动系统和响应系统阶次不相同的情况,基于分数阶非线性系统稳定性理论,以复值分数阶Chen系统为例,运用自适应控制方法设计反馈控制器,将不等阶分数阶复值系统同步问题转化为可以讨论的等阶复值系统同步问题,并通过理论分析和数值仿真验证了该理论的有效性.【期刊名称】《山东科技大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(038)003【总页数】10页(P72-81)【关键词】分数阶;复值;混沌;同步【作者】王志成;王震【作者单位】山东科技大学数学与系统科学学院,山东青岛266590;山东科技大学数学与系统科学学院,山东青岛266590【正文语种】中文【中图分类】N941.3;N941.7分数阶微积分具有和整数阶微分理论近乎同样长的历史，但由于人们的认知水平不足、缺乏对应的物理应用背景等原因，分数阶微分一直没得到相应的发展和重视[1]。
直到1982年,Mandelbrot等[2]第一次指出自然界和许多其他领域中存在很多相似于整数阶系统的分数维现象；在生物医学、力学物理、金融工程和神经网络工程等一些新兴领域，用整数微分方程建模存在很大的局限性，但利用分数阶微积分可以有效改善遗传记忆问题[3-5]。
此外，由于混沌信号具有初值敏感性、类随机性、连续宽带谱等特性，分数阶混沌系统在保密通信中具有巨大的潜在价值，可实现数字混沌加密通信，有利于提高信息的安全传输[6-7]，因此研究分数阶系统具有十分重要的意义。
早在1990年，Peora和Corrol[8]就提出了混沌同步的概念，并广泛应用于物理学、气象学等各种工程和物理领域中。
近年来，混沌同步在保密通信等跨学科领域的潜在应用价值吸引了许多学者的注意[9]，并取得了一些重大成果。
一类不确定分数阶混沌系统自适应同步与参数辨识
一类不确定分数阶混沌系统自适应同步与参数辨识赵小山;孔德富;郭永峰【摘要】In view of one parameter uncertain fractional-order chaotic system, firstly, the chaotic attractors of different phase plane are given. Then, based on the fractional-order stability theory, suitable adaptive synchronization controllers are designed. The method not only achieves the chaos synchronization of the system, but also identifies unknown parameters of the respond system. At last based on the Lyapunov stability theory, strict mathematic proof is given, numerical simulation demonstrates the effectiveness and correctness of the method.%针对一个参数不确定的分数阶混沌系统，首先给出不同相平面上的混沌吸引子图，然后基于分数阶系统稳定性理论，设计了一种自适应同步控制方法，不仅能够实现该系统的混沌同步，同时能够完成响应系统的参数辨识，并根据Lyapunov稳定性理论给予严格证明，最后通过数值仿真，验证了该方法的有效性和正确性。
【期刊名称】《天津工业大学学报》【年(卷),期】2015(000)003【总页数】4页(P85-88)【关键词】分数阶混沌系统;混沌同步;参数辨识;自适应同步;控制器【作者】赵小山;孔德富;郭永峰【作者单位】天津职业技术师范大学理学院，天津 300222;天津职业技术师范大学理学院，天津 300222;天津工业大学理学院，天津 300387【正文语种】中文【中图分类】O231.2分数阶微积分理论尽管有300多年的历史，但是因为其长时间没有实际应用背景而发展缓慢[1].但近几十年来，由于Mandelbort[2]提出自然界乃至很多科学领域都存在分数维的事实，分数阶微积分得到了迅猛的发展.在混沌系统的同步中，参数具有极其重要的作用，当系统中某些参数未知时，混沌系统的敏感性将造成系统状态极大的差异.目前很多研究者已经对整数阶的参数问题进行了大量的研究[3-4]，但对分数阶混沌系统的参数识别问题研究相对较少.在很多实际应用中，分数阶系统又能更准确地反映其数学特性，因而逐渐成为混沌研究的热点.自1990年，Pecora和Corroll首次提出混沌同步的概念以来，人们从不同的角度实现了不同类型的混沌同步，有完全同步、广义同步、投影同步等[5-7].本文针对一个不确定的分数阶混沌系统，设计自适应控制器并进行参数识别，最后通过数值模拟验证该方法的有效性和正确性.分数阶微积分存在着多种定义，大多采用的是Caputo定义和Riemann-Liouville （R-L）定义，本文采用的是Caputo定义[8]：式中：m=[α]；Jθ为θ阶Riemann-Liouville积分算子，它被定义为：其中Γ（·）为Gamma函数.预估-校正算法是典型的求解一阶微分方程组Adams-Bashforth-Moulton[9]法的推广，基于Caputo分数阶微分定义，将其应用到分数阶系统的数值计算.考虑下面的初值问题在文献[10]中，Diethelm等证明了如果方程f是连续的，那么（3）式的初值问题等价于如下的Volterra积分方程令h=T/N，tn=nh，n=0，1…，N∈Z+，首先进行Adams-Bashforth预估，得到如下公式式中：，其次再进行Adams-Moulton校正：其相应的预估矫正算法误差为maxj=0，1，…N|x（tj）-xh（tj）|=O（hp），其中p=min（2，1+α）.超混沌Lorenz-Stenflo（LS）系统是Stenflo在研究低频率短波长的重力波方程式提出来的，其形式如下：式中：x、y、z、w为系统的状态变量；a、b、c、d为系统参数，当a=1，b=7，c=26，d=1.5时，系统存在混沌吸引子.本文研究的是系统（8）分数阶的形式.其分数阶形式为：式中：q为分数阶系统的阶数，q=0.98，分数阶系统的参数依然取a=1，b=7，c=26，d=1.5.采用Caputo定义设计算法，利用Matlab数值仿真，得出系统（9）的混沌吸引子图如图1所示.通过这个在二维平面上的相图更加可以清晰的看出该系统的混沌轨道是双漩涡结构. 文献[11]给出了分数阶稳定性理论.定理1 考虑线性分阶系统式中，0＜q＜1，x∈Rn（n∈N），A∈Rn×n.当且仅当矩阵A的任意特征值λ，满足|arg（λ）|＞qπ/2时，系统（10）渐近稳定.由定理1的证明过程可以得出如下定理2.定理2 对于非线性分数阶系统式中，0＜q＜1，x=（x1，x2…，xn）T，A（x）∈Rn×n为状态向量，是系数矩阵.当含有状态变量的系数矩阵A（x）的所有特征值λi（i=1，2，…，n）实部都不大于零，即|arg（λi）|＞qπ/2时，系统（11）是渐近稳定的.根据分数阶稳定性理论，设计如下自适应同步同步控制方法，并进行参数辨识.本文设驱动系统为：假设所有参数均为未知，采用自适应同步方法，设计如下响应系统：式中，参数a、b、c的估计值分别为自适应控制器为u=（u1，u2，u3，u4）T. 同步误差变量设为：e1=y1-x1，e2=y2-x2，e3=y3-x3，e4=y4-x4，未知参数估计误差设为：定理3 若设计的系统同步控制器为则t→∞时，误差动力系统（16）趋于稳定，即驱动系统（12）和响应系统（13）达到同步.证明针对误差动力系统（16），构造如下的Lyapunov函数：由此可得V≥0，≤0，所以当t→∞时，根据Lyapunov稳定性定理[12]，有e1→0，e2→0，e3→0，e4→0，ea→0，eb→0，ec→0，ed→0.动力学误差系统（16）趋于稳定，即当t→∞时，驱动系统（12）和响应系统（13）实现混沌同步.由预估-校正算法，结合Matlab进行数值仿真，参数a，b，c，d的真实值分别为（a，b，c，d）=（1，0.7，26，1.5）；驱动系统（12）的初始值为（x1（0），x2（0），x3（0），x4（0））=（0.1，0.2，0.2，-0.2）；响应系统（13）的初始值为（y1（0），y2（0），y3（0），y4（0））=（15，20，10，40）；误差系统（16）的初始值为（e1（0），e2（0），e3（0），e4（0））=（14.9，19.8，9.8，40.2）；参数估计值分别为=（10，-5，0，10），得到误差系统变化曲线和参数辨识效果.图2为误差系统（16）的误差变化曲线.由图2可以看到，随着时间t的增加，系统同步误差逐渐为0，也就是驱动系统（12）和响应系统（13）达到同步.图3为未知参数辨识图，其中（a）、（b）、（c）、（d）是参数a、b、c、d的辨识曲线.由图3可以看出，当参数a、b、c、d分别从估计值10、-5、0、10快速的趋近于真实值1、0.7、26、1.5，也就是说，所设计的辨识规则是正确的.本文针对参数不确定的分数阶超混沌Lorenz-Stenflo系统，给出了其在不同相平面上的混沌吸引子图；基于分数阶稳定性理论，设计了合适的自适应同步控制器，根据Lyapunov稳定性定理，推导出未知参数的辨识规则，通过利用预估-校正算法，进行数值模拟，验证了该方法的有效性和正确性.该方法也可以推广到其他分数阶混沌系统中，同时分数阶混沌系统异结构同步与参数辨识，甚至分数阶混沌系统异结构投影同步与参数辨识，将在接下来的工作中进一步研究.【相关文献】[1]刘崇新.蔡氏对偶混沌电路分析[J].物理学报，2002，51（6）：1198-1202.[2]LORENZ E N.Deterministic nonperiodic flow[J].J Atmos Sci，1963，20：130-141.[3]SUNDARAPANDIANV，PEHLIVANI.Analysis，control，synchronization，and circuit design of a novel chaotic system[J]. Mathematical and Computer Modeling，2012，55：1904-1915.[4]YUAN L，YANG Q.Parameter identification and synchronization of fractional-order chaotic systems[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2012，17：305-306.[5] 董俊，张广军，姚宏.异结构超混沌系统的完全同步与反相同步控制[J].空军工程大学学报，2012，13（5）：90-94.[6]王兴元，孟娟.一类混沌神经网络的观测器广义投影同步设计[J].应用力学学报，2008，25（4）：656-659.[7]MAINIERIR，REHACEKJ.Projectivesynchronizationin threedimensional chaoticsystems[J].Physical Review Letters，1999，82（15）：3042-3045.[8]CAPUTO M.Linear models of dissipation whose q is almost frequency independent-II[J].Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society，1967，13（5）：529-539. [9]DIETHELM K，FORD N J，FREED A D.A predictor-corrector approach for the numerical solution of fractional differential equations[J].Nonlinear Dynamics，2002，29：3-22. [10]DIETHELM K，FORD N J.Analysis of fractional differential equations[J].Math Anal Appl，2002，265：229-248.[11]张若洵，杨世平，刘永利.基于线性控制的分数阶统一混沌系统的同步[J].物理学报，2010，59（3）：1549-1552.[12]HAHN W.The Stability of Motion[M].New York：Springer Press，1967.。
不同维混沌系统的混合函数投影同步及参数辨识
Ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ ｆ ｏ ｒ ｈ ｙ ｂ ｒ ｉ ｄ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｐ ｒ ｏ ｊ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｙ ｎ ｃ ｈ ｒ ｏ ｎ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ ｐ ａ ｒ ａ ｍｅ ｔ ｅ ｒ ｉ ｄ ｅ ｎ ｔ ｉ ｆ ｉ —
第 ３ ４ 卷第 ３ 期
Ｖｏ １ ． ３ ４ Ｎｏ ． ３ ２ ０ １ ３
青 岛 理 工 大 学 学 报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｑｉ ｎ ｇ ｄ ａ ｏ Ｔｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｉ ｃ ａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
不 同维 混沌 系统 的 混 合 函数 投 影 同步 及 参 数 辨 识
ＬＩ Ｄｅ － ｋ ｕ ｉ ，ＬＩ ＡＮ Ｙｕ － ｐ ｉ ｎ ｇ
（ Ｄｅ ｐ ａ ｒ ｔ ｍｅ ｎ ｔ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ，Ｄｉ ｎ ｇ ｘ ｉ Ｎｏ ｒ ｍａ ｌ Ｃｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ，Ｄｉ ｎ ｇ ｘ ｉ ７ ４ ３ ０ ０ ０， Ｃｈ ｉ ｎ ａ ）
正确性． 本文的研 究结果是把一些学者利 用常数 对角矩 阵来实现 相 同维 混沌 系统的混合 投影 同步推广到 利 用 函数对角矩 阵实现不 同维混沌 系统 的混 合函数投影同步． 关键词 ：不同维混沌系统 ； 混合 函数投影 同步 ； 参数辨识
中 图分 类 号 ： ０ ３ ２ ２ 文献标志码 ： Ａ 文章 编 号 ： １ ６ ７ ３ — ４ ６ ０ ２ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ３ — ０ ０ ９ ５ — ０ ７
ｓ ｔ ａ ｔ ｅ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｂ ｌ ｅ ｓ ｏ ｆ ｔ ｉ ｚ ｅ ｓ ｙ ｎ ｃ ｈ ｒ ｏ ｎ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｂ ｙ ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｐ ｒ ｏ ｐ ｏ ｒ ｔ ｉ ｏ ｎ ｒ ｅ ｓ ｐ ｅ ｃ ｔ ｉ ｖ ｅ ｌ ｙ ．Ｂａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ Ｌｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ， ａ ｎ ａ ｄ ａ ｐ ｔ ｉ ｖ ｅ ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ ｌ ｅ ｒ ｉ ｓ ｄ ｅ ｓ ｉ ｇ ｎ ｅ ｄ ｔ ｏ ｒ ｅ ａ ｌ —
基于反馈教学优化算法的混沌系统参数辨识
基于反馈教学优化算法的混沌系统参数辨识李瑞国;张宏立;王雅【摘要】针对传统智能优化算法对混沌系统参数辨识精度低、速度慢的问题,提出一种基于反馈教学优化算法的混沌系统参数辨识的新方法.该方法以教学优化算法为基础,在教授-学习阶段之后加入反馈阶段,同时将参数辨识问题转化为参数空间上的函数优化问题.分别以三维二次自治广义Lorenz系统、Jerk系统和Sprott-J系统为待辨识模型,对粒子群优化算法、量子粒子群优化算法、教学优化算法及反馈教学优化算法进行了对比实验,反馈教学优化算法辨识误差为零,搜索次数明显减少.仿真结果表明,反馈教学优化算法明显提高了混沌系统参数辨识精度和速度,验证了该算法的可行性和有效性.【期刊名称】《计算机应用》【年(卷),期】2015(035)005【总页数】6页(P1367-1372)【关键词】教授阶段;学习阶段;反馈阶段;混沌系统;参数辨识【作者】李瑞国;张宏立;王雅【作者单位】新疆大学电气工程学院,乌鲁木齐830047;新疆大学电气工程学院,乌鲁木齐830047;新疆大学机械工程学院,乌鲁木齐830047【正文语种】中文【中图分类】TP391.9自Lorenz于20世纪60年代发现第一个混沌吸引子以来，混沌理论的研究和应用在许多领域中得到了极大的关注，Lorenz系统成为后人研究混沌理论的出发点和基石[1]。
随后，一些新的混沌系统相继被提出，使混沌理论得到了充分研究，尤其是混沌同步控制[2]，已广泛应用于保密通信[3]、信息科学、化学和生命科学[4]等领域。
实现混沌系统同步控制的方法很多，如模糊控制[5]、状态反馈控制[6]、主动控制[7]及变结构控制[8]等，但由于混沌系统的复杂性，当系统参数未知时，这些方法难以实现同步控制，因此，对混沌系统的未知参数辨识研究具有非常重要的意义[9]。
动力系统辨识问题是动力学研究的逆问题，它利用系统在实验中测得的输入-输出数据，采用系统辨识理论，建立反映系统本质特性的动力学模型，并辨识出模型中的待定参数。
两个分数阶混沌系统的广义投影同步及电路实现
如函数，） Ｏ的初 始 值 均 为零 ，则 （） 可 表 示 为 ２式
对 于 分数 阶混 沌 系 统 ， 为 维 连 续 时 间分 数 阶 混 沌 系 认 统 有 如下 形 式 ：
∈ Ｒ 。 Ａ ∈ Ｒ…
，
，
｛
Ｂ ∈ Ｒ…
，
Ｃ∈ Ｒ ，且 ｆ： ÷ Ｒ ＿ Ｒ 是
迅速 找到实现两个分 数阶混沌 系统广义投 影同步 的一般方
，
来 表 述 多种 同 步 特 性 而 提 出 的 投 影 同步 和 广 义 投 影 同
步 ，成 为 众 多 学者 的研 究 热 点 。其 中 ，广 义 投 影 同 步 可 以 用
｛
） Ｉ Ｌ ）
字通 信 ， 从 而 实现 快
堵 威 ， 方建 安 ，唐 漾 ，龚信 礼 ，赵 晨 圆
摘 要 ：研 究了分数阶混沌 系统的广义投 影同步及 电路 实现 。基 于非线性观测 器，提 出了用于实现分数阶混沌 系统的广 义投 影 同步 的一般方法。并建立 了相 关的教 学模 型，证 明结果的有 效性 。运 用 了 Ｍａｌ ｔ ｂ进行 数字仿真进一步表明该方法的可行 ａ
１１ 分 数 阶 混 沌 系 统 ． 有 关 分 数 阶 微 分 的 定 义 有 很 多 。 最 常 用 的 定 义 就 是 Ｒｅ ａ ｎＬｏ ｖｌ 分 数 阶 微 分 ： ｉｍ ｎ ．ｉｕ ｉｅ ｌ
ｄ ｒ
：
众 多 分数 阶 系 统 被 应 用 于 分 数 阶 力 学 领 域 中 。 最 近 ， 多学 者 开 始 研 究 分 数 阶 混 沌 动 力 系 统 。由于 混 许
速通信。 ａｇＹ用了 ａｔ ｅ 制和 自适 应方 法来 实现 整数 阶 Ｔｎ ｃｖ 控 ｉ 混沌 系统 的投影 同步Ｉ 。另外 ，一些学 者在分数 阶混沌系统
分数阶Newton-Leipnik混沌系统r滑模同步的两种方法
分数阶Newton-Leipnik混沌系统r滑模同步的两种方法毛北行【摘要】Based on sliding mode control and proportional integral sliding mode control ,the author designed sliding mode functions and controller ,and gave sufficient conditions for synchronization of fractional-order Newton-Leipnik chaotic systems .The results show that the master-slave systems of fractional-order New ton-Leipnik systems obtain sliding mode synchronization and proportional integral sliding mode synchronization if proper control law and sliding mode surfaces are selected .%基于滑模控制及比例积分滑模控制,设计滑模函数和控制器,并给出分数阶New ton-Leipnik混沌系统取得同步的充分性条件.结果表明,若选取适当的控制律和滑模面,则分数阶New ton-Leipnik混沌系统的主从系统可取得滑模同步及比例积分滑模同步.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2018(056)003【总页数】5页(P708-712)【关键词】混沌同步;分数阶;Newton-Leipnik系统【作者】毛北行【作者单位】郑州航空工业管理学院理学院 ,郑州450015【正文语种】中文【中图分类】O482.4近年来, 对滑模同步问题的研究已引起人们广泛关注[1-10]. 文献[11]研究了一类分数阶Duffling-Van der pol系统的同步控制问题; 文献[12]研究了分数阶多涡卷系统的同步控制; 文献[13]基于滑模方法研究了一类不确定系统的同步问题; 文献[14]研究了一类具有二次项的Mavpd混沌系统的动力学分析问题, 并讨论了该系统的平衡点及稳定性；文献[15]研究了比例积分追踪制导方法, 得到了精确的追踪制导方法；文献[16]研究了一个新混沌系统的滑模控制问题. 在此基础上, 本文研究分数阶Newton-Leipnik混沌系统滑模同步, 并给出系统取得同步的充分性条件.定义1[17] Caputo分数阶导数定义为+.分数阶Newton-Leipnik混沌系统[4]为(1)当μ1=0.4, μ2=0.175, α∈[0.989,1]时, 系统(1)出现奇异吸引子. 以系统(1)作为驱动系统, 设计响应系统为(2)定义误差e1=x2-x1, e2=y2-y1, e3=z2-z1,将式(1)与式(2)相减可得(3)1 滑模同步假设条件：(H1) |e2+10(y2z2-y1z1)|<ε1|e1|, ε1<μ1;(H2) |-e1+5(x2z2-x1z1)|<ε2|e2|, ε2<0.4;(H3) x1,y2为有界变量, 即存在正常数M>0, 满足|x1|<M, |y2|<M.引理1[17] 对于一般的分数阶自治非线性微分方程当系统的阶数0<α≤1时, 若存在实对称正定矩阵P, 使得则分数阶系统(1)渐近稳定.引理2(Barbalat引理)[18] 若函数f(t)在[0,+∞)上一致连续, 且广义积分f(t)dt存在, 则定理1 若假设条件(H1)和(H2)成立, 设计滑模面设计控制器则分数阶Newton-Leipnik主从系统(1)和(2)取得滑模同步.证明：在滑模面上运动时, 根据误差系统方程(3)可得构造函数由(H1)可得从而易知该微分方程的解渐近稳定, 于是e1→0. 同理, 根据误差方程构造函数由(H2)可得再由可得又由于e1→0, e2→0, 且在滑模面上s=0, 因此可得误差方程由(H1)易得-ε1|e1|<e2+10(y2z2-y1z1)<ε1|e1| ⟹ -ε1|e1|-e2<10(y2z2-y1z1)<ε1|e1|-e2, 从而有-ε1|e1|+e2<-10(y2z2-y1z1)<ε1|e1|+e2.同理由(H2) 易得-ε2|e2|-e1<-5(x2z2-x1z1)<ε2|e2|-e1,从而可得-ε1|e1|+e2-ε2|e2|-e1<-5(x2z2-x1z1)-10(y2z2-y1z1)<ε1|e1|+e2+ε2|e2|-e1. 又由于e1→0, e2→0, 因此由两边加定理易得-5(x2z2-x1z1)-10(y2z2-y1z1)→0,从而变为显然e3→0.不在滑模面上运动时, 构造Lyapunov函数V(t)=s2/2, 求导可得由于积分可得因此s(t)是可积的且有界, 由引理2可知, s(t)→0.2 比例积分滑模同步定理2 在假设条件(H1)～(H3)成立下, 选取控制器u(t)=-(k+μ2)e3(t)-ηsgn(s(t)), k>0为常数, 则分数阶Newton-Leipnik系统的主从系统(1)和(2)可取得比例积分滑模同步.证明：将等效控制器代入式(3)可得理想滑模方程为(4)在滑模面上运动时, 根据误差系统方程(3)可得构造函数由(H1)可得从而e1→0.同理根据误差方程构造函数由(H2)可得再由滑模面上可得方程-5(x2y2-x1y1)=-5(x2-x1)y2-5x1(y2-y1)=-5e1y2-5x1e2.又由于e1→0, e2→0, 即e1,e2为无穷小量, 由(H3), x1,y2为有界变量, 故-5(x2y2-x1y1)为无穷小量, 即-5(x2y2-x1y1)→0, 因此显然e3→0.当不在滑模面上运动时, 选取Lyapunov函数V(t)=s2/2, 求导可得根据引理2可知, s(t)→0.3 数值仿真选取系统参数μ1=0.4, μ2=0.175, α=0.93, 设置系统初始值为(x1(0),y1(0),z1(0))=(2,1,3), (x2(0),y2(0),z2(0))=(1,2,2),分别采用定理1和定理2中的滑模面和控制器进行数值仿真, 定理1和定理2的系统误差曲线分别如图1和图2所示. 由图1和图2可见, 开始时误差相差较大, 随着时间的延长, 系统误差逐渐趋于一致. 定理1中当时间t>0.275 s后, 系统取得滑模同步, 定理2中当t>0.225 s后, 系统取得比例积分滑模同步. 显然, 定理2比定理1中的控制器简单且能在更短时间内达到同步.图1 定理1的系统误差曲线Fig.1 System error curves of theorem 1图2 定理2的系统误差曲线Fig.2 System error curves of theorem 2综上, 本文研究了分数阶Newton-Leipnik混沌系统的滑模同步问题, 设计了滑模面和控制器, 并给出了系统取得同步的充分性条件, 最后通过数值算例验证了该方法的可行性与有效性.参考文献【相关文献】[1] HE Jinman, CHEN Fangqi. 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Beijing: Tsinghua University Press, 2003.)。
一类新型不确定分数阶混沌系统的滑模同步
一类新型不确定分数阶混沌系统的滑模同步李巧利【摘要】基于滑模同步方法研究了一类新型分数阶不确定混沌系统的同步问题, 利用分数阶微积分给出了一类不确定分数阶和整数阶混沌系统取得滑模同步的充分性条件.研究表明:设计适当的控制器及滑模面下, 不确定分数阶混沌系统取得滑模同步.%The problem of synchronization of a class of new type fractional-order uncertain chaotic systems were studied based on sliding mode approaches using fractional-order calculus. The sufficient conditions were arrived for fractional-order and integal chaotic systems achieving sliding mode synchronization. The research conclusion illustrated that fractional-order and integal uncertain chaotic systems were sliding mode chaos synchronization under proper controllers and sliding mode surfaces.【期刊名称】《安徽大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(043)002【总页数】5页(P39-43)【关键词】不确定;分数阶;多混沌系统;终端滑模;同步【作者】李巧利【作者单位】河南工业大学理学院, 河南郑州 450001【正文语种】中文【中图分类】O482.4随着混沌同步方面的发展，分数阶系统的同步控制问题引起了众多学者的密切关注[1-6].文献[7]研究一类分数阶不确定系统的滑模同步问题，能够使主从系统达到快速同步；文献[8]基于自适应模糊方法实现一类分数阶混沌系统的同步;文献[9]研究一类分数阶非线性混沌系统同步控制问题；文献[10]根据滑模方法研究一类不确定混沌系统投影同步问题;文献[11]研究分数阶不确定同步发电机混沌系统的滑模自适应控制与参数辨识;文献[12]通过蜿蜒控制研究一类系统的有限时间控制与同步问题.在上述研究的基础上,论文基于滑模同步方法研究一类新型分数阶不确定混沌系统的同步问题，利用分数阶微积分给出一类不确定分数阶混沌系统取得滑模同步的充分性条件.定义1[13] Caputo分数阶导数定义为1 主要结果以如下分数阶混沌系统为主系统(1)假设a<0,b>0为常数，则主系统代表了一类混沌系统，如统一混沌、Genesio-Tesi等系统.从系统设计为(2)定义误差ei=yi-xi，则得到误差系统(3)假设1 ‖Δf(y)-Δf(x)‖≤d,d>0.假设2 ‖be2‖≤k‖e1‖,k>0.假设3 a+k<0.引理1[14] 对于一般的分数阶自治非线性微分方程当系统的阶数0<α≤1时，如果存在实对称正定矩阵P，使得则上述分数阶系统渐近稳定.引理定理1设计滑模面s(t)=λ1e1+λ2e2+λ3e3,则分数阶不确定混沌系统(1)与(2)取得滑模同步.证明当系统在滑模面上运动时满足滑模方程根据方程以及引理1，有再结合假设2，3，有根据分数阶微积分的相关理论不难得到上述系统渐近稳定，有e1→0，由假设2，不难得到又由于满足滑模方程s(t)=λ1e1+λ2e2+λ3e3=0，从而e3→0.当不在滑模面上运动时，s≠0，构造Lyapunov函数由引理2，得s[λ1(ae1+be2)+λ2(f(y)-f(x)+Δf(y)-Δf(x)+u(t))+λ3(g(y)-g(x))]≤-η|s|2=-2ηV，从而该微分系统渐近稳定，它的解V(t)→0，从而s(t)→0.证毕.以下考虑整数阶混沌系统(4)从系统设计为(5)定义误差ei=yi-xi，则得到误差系统(6)设计滑模面s(t)=λ1e1+λ2e2+λ3e3,则分数阶不确定混沌系统(4)与(5)取得滑模同步.证明当系统在滑模面上运动时满足滑模方程根据方程构造Lyapunov函数根据假设2，3，得从而e1→0，由假设2不难得到e2→0，又由于满足滑模方程s(t)=λ1e1+λ2e2+λ3e3=0，从而e3→0.当系统不在滑模面上运动s≠0时，构造Lyapunov函数则有V(t)≤e-2ηtV(0)，所以，有从而s(t)→0.证毕.2 数值仿真例1(定理1) 以分数阶Genesioi-Tesi混沌系统为例，驱动系统设计为从系统为例2(定理2) 以整数阶系统为主系统从系统为系统初始值设置为(x1(0),x2(0),x3(0))=(1,-2,3),(y1(0),y2(0),y3(0))=(2,-1,1),d=10,α=0.935,λ1=2,λ2=4,λ3=1.8,η=2.5.例1，2的系统误差曲线分别如图1,2所示.图1 定理1中的系统误差曲线图2 定理2中的系统误差曲线3 结束语研究一类新型分数阶不确定系统的滑模同步问题，利用分数阶微积分给出了一类不确定分数阶混沌系统取得滑模同步的充分性条件，并有严格的数学证明和推导过程.数值仿真验证了方法的正确性.参考文献：【相关文献】[1] SUN Y P, LI J M, WANG J A, et al. Generalized projective synchronization of chaotic systems via adaptive learning control[J]. Chinese Physics B, 2010, 19 (2): 502-505.[2] LIU P, LIU S. Robust adaptive full state hybrid synchronization of chaotic complex systems with unknown parameters and external disturbances[J]. Nonlinear Dynamics, 2012, 70 (1): 585-599.[3] YANG L, YANG J. Robust finite-time convergence of chaotic systems via adaptive terminal sliding mode scheme[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2011, 16 (6): 2405-2413 .[4] MOHAMMAD P A. Robust finite-time stabilization of fractional-order chaotic systems based on fractional Lyapunov stability theory[J]. Journal of Computation and Nonlinear Dynamics , 2012, 32 (7): 1011-1015.[5] MILAD M, HADI D. Synchronization of fractional-order hyper-chaotic systems basedon a new adaptive sliding mode control[J]. Int J Dynam Control, 2015, 10 (7): 435-446. [6] WANG X, HE Y. Projective synchronization of fractional order chaotic system based on linear separation[J]. Phys Lett A， 2008, 37 (12): 435-441.[7] 余明哲, 张友安. 一类不确定分数阶混沌系统的滑模自适应同步[J]. 北京航空航天大学学报, 2014, 40 (9): 1276-1280.[8] 陈烨, 李生刚, 刘恒. 基于自适应模糊控制的分数阶混沌系统同步[J]. 物理学报, 2016, 65 (17): 501-511.[9] 于昊天, 时宝. 非线性系统分数阶滑模控制分析与设计[J]. 海军航空工程学院报, 2016, 31 (4): 407-422.[10] 孙宁, 张化光, 王智良. 不确定分数阶混沌系统的滑模投影同步[J]. 浙江大学学报 (工学版), 2010, 44 (7): 1288-1291.[11] 郝建红, 熊雪艳, 米盺禾. 不确定分数阶同步发电机混沌系统的滑模自适应控制及参数辨识[J]. 河北师范大学学报 (自然科学版), 2016, 40 (2): 116-123.[12] LUO R Z, SU H P. Finite-time control and synchronization of a class of systems via the twisting controller[J]. Chinese Journal of Physics, 2017, 55 (9): 2119-2207.[13] PODLUBNY I. Fractional differential equation[M]. New York： Academic Press, 1999.[14] 胡建兵, 赵灵冬. 分数阶系统稳定性理论与控制研究[J] . 物理学报, 2013, 62 (24): 5041-5047.[15] LI L, SUN Y. Adaptive fuzzy control for nonlinear fractional-order uncertain systems with unknown uncertainties and external disturbance[J]. Entropy, 2015, 17 (8): 5580-5592.。
非同元次分数阶混沌系统的组合同步
非同元次分数阶混沌系统的组合同步林慧妮【摘要】Based on the idea of tracking control, we give two different options of controllers by using the stability theory of incommensurate fractional-order linear systems and the stability determinant theorem of fractional-order chaos systems, respectively. And we prove that they both can achieve the combination synchronization among three incommensurate fractional-order Lu systems theoretically. Finally, the numerical simulations are provided to illustrate the correctness of the theory and the effectiveness of the control strategy.%本文基于追踪控制的思想，分别利用非同元次分数阶线性系统的稳定性理论与分数阶混沌系统稳定性判定定理给出了控制器的不同选择方案，并从理论上证明了它们都能实现三个非同元次分数阶Lu系统的组合同步。
最后，通过数值仿真验证理论的正确性和控制策略的有效性。
【期刊名称】《漳州师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(000)003【总页数】7页(P1-7)【关键词】组合同步;追踪控制;分数阶混沌系统;稳定性理论【作者】林慧妮【作者单位】闽南师范大学数学与统计学院，福建漳州 363000【正文语种】中文【中图分类】O231.2虽然分数阶微积分的发展几乎与整数阶微积分同步，都已经有300多年的历史了，但是由于前者缺乏明显的几何意义，所以分数阶微积分理论一直处于缓慢发展状态. 近年来，随着人们对物理系统的深入研究，发现许多物理系统因其特殊的材料和化学特性而展现出分数阶动力学行为，也就是说，分数阶系统能够更好地描述实际系统的动态特性，所以分数阶混沌系统的控制与同步问题逐渐成为目前混沌研究的热点之一. 对此，人们相继提出了各种各样实现分数阶混沌同步的方法，如单变量驱动方法[1]、线性反馈方法[2]、非线性反馈方法[3]、状态观测器方法[4]、追踪控制方法[5]、主动控制[6]等. 与此同时，人们也提出了各种各样的同步类型，如完全同步[7]、广义同步[8]、自适应同步[9]、投影同步[10]、广义投影同步[11]、函数投影同步[12]等.然而，以上大部分研究是针对单个系统驱动单个系统. 最近Zhou等人提出另一种新的同步类型—组合同步[5]，即采用多个系统驱动单个系统实现混沌同步，该同步类型有着其独特的优点，比如可以将需要传输的信号分割后分别加载到不同的载体上或者在不同时间段使用不同的载体传输信号. 因此，将该方法运用于保密通讯将会增强通讯的安全性以及灵活性[5]. 从目前已有的大量文献来看，人们对于分数阶系统的研究主要是基于同元次分数阶系统模型进行的，而对非同元次分数阶系统的研究目前还鲜有见到[13]，事实上，对于非同元次分数阶系统的组合同步的研究具有一定的理论价值和实际意义.基于上述的讨论，本文将研究三个非同元次分数阶系统的组合同步. 选择三个非同元次分数阶系统作为研究对象，基于追踪控制的思想，通过设计合适的控制器,实现这三个分数阶系统的组合同步. 为了说明方法的有效性，通过数值仿真进一步进行验证.目前，分数阶微分有很多种定义[14]，而最常用的是Riemann-Liouville定义和Caputo定义. 由于后者更适合描述分数阶微分方程的初值问题，所以本文采用Caputo定义[14].定义1[14]连续函数的Caputo分数阶微分定义为：其中，为初始时刻，是Riemann-Liouville积分算子：定义2[15]考虑如下驱动系统和响应系统：其中，，是状态变量，为控制器，为非线性函数.如果存在三个常数矩阵且使得，则称驱动系统(1)、(2)与响应系统(3)达到组合同步. 定义3[16]对于一般的分数阶系统，可以表示为如下形式：式中，为系统状态变量，系统阶次，其中不完全相等，为包含变量的系数矩阵. 当阶数满足，且都为真分数时，则把形如式（4）的系统称为“真分数阶”系统.引理1[17]考虑如下分数阶线性系统：其中，M为分母的最小公倍数，如果式子的所有根满足不等式，则分数阶系统(4)的零解是全局渐近稳定的.引理2[18]对于分数阶系统式中，为系统状态变量，为系统阶次，为包含变量的系数矩阵. 当阶数时，如果存在实对称正定矩阵，使恒成立，则分数阶系统（6）稳定. 该稳定性判据同样适用于真分数阶系统[16].2.1问题描述考虑将如下三个分数阶系统作为驱动-响应系统：为了简单起见，本文取, , .我们的研究目标: 设计合适的控制器使得,其中,,, 即三个系统达到组合同步.2.2 控制方案驱动-响应系统可简写成：其中，，，是连续非线性函数，且对，存在一个有界矩阵，使得.由追踪控制思想，可将驱动系统（10）、（11）的输出作为参考信号，而实现受控的分数阶系统（12）与分数阶系统（10）、（11）的组合同步，实质上就是要选择合适的追踪控制器，使得受控的分数阶系统（12）的输出追踪分数阶系统（10）、（11）的输出信号. 所以下面我们只要用追踪控制方法实现系统的输出信号与参考信号同步，则等价于实现驱动系统(10)、(11)与响应系统(12)的组合同步. 令驱动-响应系统的组合同步误差为.首先，基于参考信号为系统(12)定义一个补偿控制器：将式(13)代入式(12)得：由知，，代入（14）得：进一步地，选择合适的反馈控制器将(16)代入(15)得：由引理1知，如果能够选择适合的反馈矩阵，其中是控制参数，使得对于所有的平衡点，它对应的方程的所有根满足不等式，则误差系统(17)的零解是全局渐近稳定的，即驱动系统(7)、(8)与响应系统(9)实现组合同步.事实上，对于分数阶混沌系统（15），利用一种新的分数阶混沌系统稳定性判定定理可以设计出更加简单的反馈控制器，而且同样能使得驱动系统(7)、(8)与响应系统(9)实现组合同步.首先，我们先把具体的变量代入系统（15），可以将系统（15）化成：选择反馈控制器为则误差系统（18）变为令P是单位矩阵，并构造如下函数：其中由引理2知，只要选择合适的反馈矩阵，使其满足，则可以得到矩阵Y是负定的，此时有恒成立，则分数阶系统（21）是稳定的，即驱动系统(7)、(8)与响应系统(9)实现组合同步.为了验证理论的有效性和正确性，我们考虑这样一个具体分数阶系统，选取参数分别为，. 此时，系统处于混沌状态，且其混沌吸引子的相轨迹如图1所示.对于反馈控制器的设计方案1，初值分别为，此处选择，，. 并使用Matlab软件进行仿真，误差图如图2所示. 由图可知，误差分别很快收敛到零，从而三个非同元次分数阶系统达到组合同步.对于反馈控制器的设计方案2，初值分别为，此处选择，，. 并使用Matlab软件进行仿真，误差图如图3所示. 由图可知，误差分别很快收敛到零，从而三个非同元次分数阶系统达到组合同步.本文分别基于非同元次分数阶线性系统的稳定性理论与分数阶混沌系统稳定性判定定理，利用非线性控制与追踪控制的思想，通过设计合适的控制器，实现了三个分数阶系统的组合同步. 最后仿真结果表明了理论的正确性和控制策略的有效性. 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不同阶分数阶混沌系统的自适应同步
不同阶分数阶混沌系统的自适应同步
封昆仑;张齐;陈建鹏;邵琪;刘勇
【期刊名称】《连云港职业技术学院学报》
【年(卷),期】2013(026)001
【摘要】给出了不同阶分数阶混沌系统的自适应同步方法.利用主动控制法,基于分数阶稳定性理论和自适应控制理论,设计控制器,实现了不同阶分数阶混沌系统的同步.数值仿真也说明了该方法的有效性.
【总页数】3页(P34-36)
【作者】封昆仑;张齐;陈建鹏;邵琪;刘勇
【作者单位】盐城师范学院,江苏盐城224002
【正文语种】中文
【中图分类】O415.5
【相关文献】
1.不同维不同阶的分数阶混沌系统同步及仿真 [J], 李安平;沈细群
2.不同阶分数阶混沌系统的同步与参数辨识 [J], 李安平;刘国荣;沈细群
3.双重不确定分数阶混沌系统的鲁棒自适应同步控制算法研究 [J], 钟昆;高嵩;黄姣茹;钱富才
4.分数阶混沌系统的自适应预测同步 [J], 司辉;郑永爱
5.不同阶异结构分数阶混沌系统的广义投影同步 [J], 王亚民;朱鑫铨;姬天富;刘玉荣
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基于自适应同步辨识四维超混沌系统所有参数
基于自适应同步辨识四维超混沌系统所有参数
张平伟
【期刊名称】《安庆师范学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2007(13)3
【摘要】本文解析地证明了采用较少的时间序列和适当的自适应同步方法,可实现四维超混沌系统所有参数的精确辨识.模拟了只用两个时间序列就可以对四维超混沌系统的所有参数进行精确辨识.该方法使用的控制器简单.需要的时间序列少,且具有很强的鲁棒性.
【总页数】4页(P19-21,25)
【作者】张平伟
【作者单位】安庆师范学院,物理与电气工程学院,安徽,安庆,246133
【正文语种】中文
【中图分类】O545
【相关文献】
1.基于状态观测器的超混沌系统的参数辨识和反同步 [J], 杨丽新;何万生;刘晓君
2.参数未知的超混沌系统的反同步与参数辨识 [J], 吴淑花;容旭巍;刘振永
3.两类异结构四维超混沌系统的自适应同步 [J], 刘爱民
4.新四维超混沌系统自适应滑模同步 [J], 程春蕊;雷腾飞;毛北行
5.四维忆阻不确定分数阶超混沌系统的自适应滑模同步 [J], 杨永;毛北行;张巧因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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2013， 49 （4）
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不同阶分数阶混沌系统的同步与参数辨识
2 李安平 1， ， 刘国荣 3， 沈细群 3
2 LI Anping1， , LIU Guorong2, SHEN Xiqun3
1.湖南大学 电气与信息工程学院， 长沙 410082 2.湖南工程学院 理学院， 湖南 湘潭 411104 3.湖南工程学院 电气与信息工程学院， 湖南 湘潭 411104 1.College of Electrical and Information Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China 2.College of Science, Hunan Institute of Engineering, Xiangtan, Hunan 411104, China 3.College of Electrical and Information Engineering, Hunan Institute of Engineering, Xiangtan, Hunan 411104, China LI Anping, LIU Guorong, SHEN Xiqun. Synchronization of uncertain fractional-order chaotic system using fractionalorder system with different order and parameters identification. Computer Engineering and Applications, 2013, 49 （4） ： 245-248. Abstract：This paper discusses synchronization of fractional-order chaotic system with uncertain parameters. A new method for synchronization of fractional-order chaotic system and parameters identification using an fractional-order chaotic system with different order is proposed. Using pre-control and active control method, and based on the fractional-order’ s stability theory and adaptive control theory, and a method for Synchronization of uncertain fractional-order chaotic system and parameters identification is proposed, and synchronization fractional-order Chen system using fractional-order Chen system with different order is realized, by which the uncertain parameters of Chen system are identified. Numerical simulations show the effectiveness of the developed approach. Key words： uncertain fractional-order chaotic system; synchronization; parameters identification 摘 要： 针对不确定分数阶混沌系统的同步和参数辨识问题， 提出一种新的方法， 即用不同阶分数阶系统来同步和参数辨
识。利用主动控制和预控制量方法， 基于分数阶混沌系统稳定性理论和自适应控制理论， 设计控制器， 实现不同阶分数阶 混沌系统之间的同步和参数辨识。理论和仿真结果实现了不同阶 Chen 系统间的同步和辨识， 表明了该方法的有效性。 关键词： 不确定分数阶混沌系统； 同步； 参数辨识 文献标志码： A 中图分类号： TP273 doi： 10.3778/j.issn.1002-8331.1107-0476
直以来由于对整数阶系统研究的重视而受到冷遇。直到 后来， 发现分数阶微分系统能更好地描述现实中的各种现 象， 从而受到越来越多学者的关注。在对混沌系统进行讨 论的过程中， 不断有学者发现众多的整数阶混沌系统在当 阶数为分数时仍会出现混沌。因此近年来， 分数阶混沌系 统的研究受到很多学者的重视， 有了很多的成果。 混沌系统研究的一个重要分支是混沌控制和同步。自
基金项目： 湖南省自然科学基金 （No.2009JJ8006） ； 湖南省高校创新团队。 作者简介： 李安平 （1974—） ， 男， 博士生， 讲师， 主要研究方向为混沌同步及非线性系统控制； 刘国荣 （1957—） ， 男， 博士， 教授， 博士生导师； 沈细群 （1975—） ， 女， 讲师。 E-mail： lianp0-27 文章编号： 1002-8331 （2013） 04-0245-04 CNKI 出版日期： 2011-11-14 /kcms/detail/11.2127.TP.20111114.0939.027.html
1
引言
分数阶积微分早在 17 世纪就是数学的一个分支， 但一
从 Pecora 和 Carroll 等 [1] 提出同步和控制的思想后， 不断有 学者提出了混沌同步的不同定义， 如广义同步， 完全同步， 并提供了很多不同的同步方法， 投影同步， 延迟同步 [2-5] 等， 如反馈控制， 自适应控制， 脉冲控制等 [6-10]。但是大多文献 在讨论分数阶混沌同步时， 一般都只考虑混用同阶同结构 或异结构分数阶混沌系统来同步。而关于不同阶的分数 阶混沌系统之间的同步研究， 文献很少。仅文献 [11] 讨论 了基于追踪控制和分数阶系统稳定性定理， 给出了不同阶 同结构和异结构分数阶混沌系统之间的同步方法。另外，