第17讲 平面问题主应力法
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11.2 平面应力状态分析的解析法
1 2 3
主应力单元体
三
向ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
应 力
特例
状
态
y
y
y
x x
平
面
应 力
特例
单向应力状态
σ
状
态
纯剪应力状态
τ
y
y
x
x
x
z
平面应力状态分析的解析法
[例题] 已知:微元体如图，图中应力单位为 MPa 。求: (1)指定斜截面应力；(2) 主平面方位；（3）主应力大小；（4）画出主应力单元体。
20
30°
40 y
已知平面内一点两个互相垂直方向的应力
平面内一点任意方向的应力
y
y
y
x x
x
zz
x
x
n
α
x
y
y
e
xy
x
α
n α
α
α
a yx
y
f
应力的符号规定
1.正应力
y
x
2.切应力
x
y
α角
由x正向逆时针转到n正 向者为正；反之为负。
y
x
y
x
x
n
α+
x
e
xy
x
α
n α
α
α
a yx
y
f
任意斜截面上的应力
Fn 0
dA ( xydAcos )sin ( xdAcos )cos ( yxdAsin )cos ( ydAsin )sin 0
Ft 0
e
xy
x
α
n α
α
α
ayx y f
e
主应力单元体
三
向ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
应 力
特例
状
态
y
y
y
x x
平
面
应 力
特例
单向应力状态
σ
状
态
纯剪应力状态
τ
y
y
x
x
x
z
平面应力状态分析的解析法
[例题] 已知:微元体如图，图中应力单位为 MPa 。求: (1)指定斜截面应力；(2) 主平面方位；（3）主应力大小；（4）画出主应力单元体。
20
30°
40 y
已知平面内一点两个互相垂直方向的应力
平面内一点任意方向的应力
y
y
y
x x
x
zz
x
x
n
α
x
y
y
e
xy
x
α
n α
α
α
a yx
y
f
应力的符号规定
1.正应力
y
x
2.切应力
x
y
α角
由x正向逆时针转到n正 向者为正；反之为负。
y
x
y
x
x
n
α+
x
e
xy
x
α
n α
α
α
a yx
y
f
任意斜截面上的应力
Fn 0
dA ( xydAcos )sin ( xdAcos )cos ( yxdAsin )cos ( ydAsin )sin 0
Ft 0
e
xy
x
α
n α
α
α
ayx y f
e
材料力学平面应力知识点总结
材料力学平面应力知识点总结在材料力学中，平面应力是指只存在于某个平面内的应力情况。
研究平面应力是为了了解材料在受力过程中的应变、变形和破坏行为，对于工程设计和材料优化具有重要意义。
下面将对平面应力的知识点进行总结。
1. 平面应力的定义和表示方法平面应力是指只存在于某个平面内的力学状态。
平面应力可以分为两个分量：法向应力和切应力。
法向应力是垂直于选定平面的应力成分，用σ表示；切应力是平行于选定平面的应力成分，用τ表示。
在数学上，平面应力可以用矢量来表示。
平面应力矢量的大小等于切应力的大小，方向垂直于选定平面，与法向应力成90度夹角。
2. 平面应力的主应力和主应力方向主应力是指平面应力中的最大和最小的应力值。
主应力的大小分别为σ1和σ2，其中σ1≥σ2。
主应力方向是指与最大主应力相对应的应力方向。
求主应力和主应力方向的方法可以通过解平面应力的主应力方程或主应力方向方程得到。
3. 平面应力的等效应力等效应力是一种衡量平面应力状态下应力强度的参数。
等效应力的计算公式可以通过平面应力中的主应力计算得到。
对于二维平面应力，等效应力的计算公式为σeq = √(σ1^2 + σ2^2 - σ1σ2)。
等效应力可以用来评估材料的破坏强度，对于工程设计具有重要的指导意义。
4. 平面应力的应力转移和应变分布平面应力下，力沿着某个方向作用于材料表面，而垂直于该方向的应力为零。
这会导致应力在材料内部的转移和分布。
在受力方向上，应力呈现线性分布。
而在垂直于受力方向的方向上，应力呈现抛物线分布。
了解平面应力的应力转移和应变分布规律，有助于预测材料的变形和破坏行为。
5. 平面应力的应力应变关系平面应力下的应力应变关系可以用胡克定律来表示。
胡克定律表明，应力与应变之间的关系为线性关系，且比例常数为弹性模量。
对于平面应力情况下的材料，胡克定律可以简化为二维应力应变关系。
这种线性关系使得我们可以通过应变来计算应力，或者通过应力来计算应变，从而对材料的变形行为进行研究和分析。
主应力法及其应用
2.根据金属的流动趋向和所选取的坐标系，对变形体
截取包括接触面在内的基元体或基元板块，切面上的
正应力假定为主应力，且均匀分布；
3.主应力法（切块法）
§6.3 几种金属流动类型 变形公式的推导
1.平面应变镦粗型的变形力
2.平面应变挤压型的变形力
3.轴对称镦粗型的变形力
4.轴对称挤压型的变形力
1.平面应变镦粗型的变形力
σy
x
2.中部挤出凸台的平面应变镦粗变形力分析
F xe
xe 0
y
dx
mKxe h
ye
可推出宽度为b、高度为h的工件平面应变自由镦粗时接 触面上的压应力σy和单位变形力p（均为平均值）
y
2 K [1
m h
(b 2
x)]
p 2K (1 mb) 4h
2.平面应变挤压型的变形力
we
wf
ye 2 Y
3
金属
δ
ye γ 流动
方向
镦粗
σy
方向
τ
σx 金属流动方向
σx+ dx
σye h
设τ＝mK（m为摩擦因子 ，K＝Y/√3）
对基元板（设长dl）列平衡方程
Px xlh ( x d x )lh 2 ldx 0
x τ dx xe σy
d x
2mK h
dx
σy
根据屈服方程及成形镦粗成形条
件，σx<σy
h
σθ
dθ σr
σr+ dr
σr+ dr
σθ
r τ dr re σz
可得高度为h，直径为d的圆柱体自由镦粗时接触面上的
截取包括接触面在内的基元体或基元板块，切面上的
正应力假定为主应力，且均匀分布；
3.主应力法（切块法）
§6.3 几种金属流动类型 变形公式的推导
1.平面应变镦粗型的变形力
2.平面应变挤压型的变形力
3.轴对称镦粗型的变形力
4.轴对称挤压型的变形力
1.平面应变镦粗型的变形力
σy
x
2.中部挤出凸台的平面应变镦粗变形力分析
F xe
xe 0
y
dx
mKxe h
ye
可推出宽度为b、高度为h的工件平面应变自由镦粗时接 触面上的压应力σy和单位变形力p（均为平均值）
y
2 K [1
m h
(b 2
x)]
p 2K (1 mb) 4h
2.平面应变挤压型的变形力
we
wf
ye 2 Y
3
金属
δ
ye γ 流动
方向
镦粗
σy
方向
τ
σx 金属流动方向
σx+ dx
σye h
设τ＝mK（m为摩擦因子 ，K＝Y/√3）
对基元板（设长dl）列平衡方程
Px xlh ( x d x )lh 2 ldx 0
x τ dx xe σy
d x
2mK h
dx
σy
根据屈服方程及成形镦粗成形条
件，σx<σy
h
σθ
dθ σr
σr+ dr
σr+ dr
σθ
r τ dr re σz
可得高度为h，直径为d的圆柱体自由镦粗时接触面上的
《平面应力状态》课件
优化方法：采用 有限元分析方法， 对零部件进行应 力分析，找出应 力集中区域
优化结果：通过 优化设计，提高 了零部件的强度 和刚度，降低了 重量和成本，提 高了产品的市场 竞争力
感谢您的耐心观看
汇报人：PPT
纯剪切应力状态：物体在两个相互垂直的平面内受到剪切应力的作用， 应力在两个平面内是均匀分布的。
应力状态与变形关系
应力状态：物体内部受到的力与面 积的比值
应力与变形的关系：应力越大，变 形越大
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
变形：物体在外力作用下产生的形 状和尺寸变化
应力状态与变形的关系：应力状态 决定了物体的变形程度
预防措施：优化设计、选用 优质材料、改进制造工艺等
稳定性准则及判据
稳定性准则：平面应力状态下，结构在受到外力作用下保持稳定状态的条件 判据：根据应力状态、材料性质和几何形状等因素，判断结构是否满足稳定性准则 稳定性分析方法：包括能量法、变分法、有限元法等 稳定性判据的应用：在工程设计中，用于评估结构的稳定性，确保结构的安全性和可靠性
平面应力状态下的应变 分析
应变概念及测量方法
应变：物体在外力作用下产生的形变 应变类型：线应变、面应变、体应变 应变测量方法：光学测量法、机械测量法、电学测量法 应变分析：通过测量应变来研究物体的应力状态和变形规律
应变与应力关系
应变：物体在外力作用下产生的形变
应变与应力的量纲：应变的单位是长度，应力的 单位是力/面积
强度计算方法
应力状态： 平面应力状 态
强度指标： 最大主应力、 最小主应力、 剪应力
强度条件： 最大主应力、 最小主应力、 剪应力均小 于材料的许 用应力
强度计算公
弹性力学平面应力问题和平面应变问题
弹性力学平面应力问题和平面应 变问题
你现在浏览的是第一页，共171页
第一节 平面应力问题和平面应变问题 第二节 平衡微分方程 第三节 平面问题中一点的应力状态 第四节 几何方程 刚体位移
第五节 物理方程
第六节 边界条件
你现在浏览的是第二页，共171页
第七节 圣维南原理及其应用 第八节 按位移求解平面问题 第九节 按应力求解平面问题 相容方程 第十节 常应力情况下的简化 应力函数
你现在浏览的是第二十二页，共171页
定义
在任一点（x，y）取出一微小的平行六面体 ,作用于微分体上的力：
体力： 。
应力：作用于各边上， 并表示出正面上 由坐标增量引起 的应力增量。
你现在浏览的是第二十三页，共171页
应用的基本假定：
连续性假定─应力用连续函数来表示。
小变形假定─用变形前的尺寸代替变
u,,
ij =
x xy xz yx y yz
zx zy z
你现在浏览的是第五页，共171页
zx z
xz
x
ij=
x xy yx y
u ,
ij =
x xy yx y
你现在浏览的是第六页，共171页
两类特殊问题
1、平面应力问题
t/2
t/2
z
y y
x
你现在浏览的是第七页，共171页
你现在浏览的是第二十九页，共171页
说明
当 均平衡时，保证 ， 平衡；
反之则不然。
所以弹力的平衡条件是严格的，并且是 精确的。
你现在浏览的是第三十页，共171页
V
h
理力（ V ）
材力（
dx
dy
弹力（
dx
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第一节 平面应力问题和平面应变问题 第二节 平衡微分方程 第三节 平面问题中一点的应力状态 第四节 几何方程 刚体位移
第五节 物理方程
第六节 边界条件
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第七节 圣维南原理及其应用 第八节 按位移求解平面问题 第九节 按应力求解平面问题 相容方程 第十节 常应力情况下的简化 应力函数
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定义
在任一点（x，y）取出一微小的平行六面体 ,作用于微分体上的力：
体力： 。
应力：作用于各边上， 并表示出正面上 由坐标增量引起 的应力增量。
你现在浏览的是第二十三页，共171页
应用的基本假定：
连续性假定─应力用连续函数来表示。
小变形假定─用变形前的尺寸代替变
u,,
ij =
x xy xz yx y yz
zx zy z
你现在浏览的是第五页，共171页
zx z
xz
x
ij=
x xy yx y
u ,
ij =
x xy yx y
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两类特殊问题
1、平面应力问题
t/2
t/2
z
y y
x
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说明
当 均平衡时，保证 ， 平衡；
反之则不然。
所以弹力的平衡条件是严格的，并且是 精确的。
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V
h
理力（ V ）
材力（
dx
dy
弹力（
dx
6-1 主应力法及其应用_平面应变问题
挤压型的金属流动，基本上沿着平行于工模具运动的方向
金属塑性成形原理
一、平面应变镦粗型的变形力
长矩形板的镦粗， l >>宽b和高 ， l 方向应变 很小，可视为平面应变处理。求接触面上的压力 σy，单位面积变形力p。
1. 平行砧板间的平面应变镦粗(常摩擦条件)
摩擦力不变条件： K （μ为摩擦因子 ）
设长度为l（垂直于图平面的z方向）
X方向应力满足平衡方程式：
xlh ( x d x )lh 2ldx
d
x
2
h
dx
2K
h
dx
即x方向的应力增量由切向摩擦力导致
镦粗 方向
σy
σye
τ
σx
金属流动方向
τ
x
dx
b/2
平行砧板间平面应变镦粗
σx+dσx
h
金属塑性成形原理
屈服方程为： y x 2K
图6-1 连杆模锻时的金属流动平面和流动方向 a)流动平面 b）连杆模锻件 c）流动方向
金属塑性成形原理
2．假设在接触面上有正应力和切应力(摩擦力)，切面上的正应力假定为 主应力，且为均匀分布（即与一坐标无关）。
3. 在对该基元体或基元板块列塑性条件时，假定各坐标面上作用的正应 力即为主应力，而不考虑面上切应力（包括摩擦切应力）对材料塑性条 件的影响。
d y d x
所以：
y
d
y
d x
2K
h
dx
2K
h
x
C
代入边界条件求解C，即当x=b/2时，σy = 2K，所以：
工件外端为自由表面： xe 0 ye 2K
主应力法又称切块法，是一种近似解析法，通过对物体应力状态作一些简 化假设，建立以主应力表示的简化平衡微分方程和塑性条件，并联立求解。
金属塑性成形原理
一、平面应变镦粗型的变形力
长矩形板的镦粗， l >>宽b和高 ， l 方向应变 很小，可视为平面应变处理。求接触面上的压力 σy，单位面积变形力p。
1. 平行砧板间的平面应变镦粗(常摩擦条件)
摩擦力不变条件： K （μ为摩擦因子 ）
设长度为l（垂直于图平面的z方向）
X方向应力满足平衡方程式：
xlh ( x d x )lh 2ldx
d
x
2
h
dx
2K
h
dx
即x方向的应力增量由切向摩擦力导致
镦粗 方向
σy
σye
τ
σx
金属流动方向
τ
x
dx
b/2
平行砧板间平面应变镦粗
σx+dσx
h
金属塑性成形原理
屈服方程为： y x 2K
图6-1 连杆模锻时的金属流动平面和流动方向 a)流动平面 b）连杆模锻件 c）流动方向
金属塑性成形原理
2．假设在接触面上有正应力和切应力(摩擦力)，切面上的正应力假定为 主应力，且为均匀分布（即与一坐标无关）。
3. 在对该基元体或基元板块列塑性条件时，假定各坐标面上作用的正应 力即为主应力，而不考虑面上切应力（包括摩擦切应力）对材料塑性条 件的影响。
d y d x
所以：
y
d
y
d x
2K
h
dx
2K
h
x
C
代入边界条件求解C，即当x=b/2时，σy = 2K，所以：
工件外端为自由表面： xe 0 ye 2K
主应力法又称切块法，是一种近似解析法，通过对物体应力状态作一些简 化假设，建立以主应力表示的简化平衡微分方程和塑性条件，并联立求解。
(推荐)平面应力问题
l
yx
m yx l y
yx P xy
x
y A
fx px
x
为 l2、m2，则
y
B fy py
n
tan 2
cos(90 2 ) cos 2
m2 l2
2 x xy
(或 xy ) 2 y
22
应力主向的计算公式：
tan
1
x
(x
dx,
y)
x
(
x,
y)
x (x, x
y)
dx
1 2!
2 x (x,
x2
y)
(dx)2
1 n!
n x (
x
x,
n
y
)
(dx)n
10
略去二阶及二阶以上的微量后便得
x
(
x,
y)
x (x, x
y)
dx
同样 y 、 xy 、 yx 都一样处理，得到图示应力状
l x m yx l
m y l xy m
19
求解得：
m l
x yx
o
m yx
l y
y
2
(
x
y )
(
x
y
2 xy
)
0
yx y
x
P
A
xy
x B
px
n
n
py p
n
p x l x m yx
弹性力学平面应力问题和平面应变问题
在弹性力学平面应力问题和平面应变问题中，有限差分法常用于求解偏微 分方程，特别是对于规则的网格划分，计算效率较高。
有限差分法的精度取决于差分格式的选择和网格的划分，同时需要注意数 值稳定性和计算精度的问题。
边界元法
边界元法是一种基于边界积 分方程的数值分析方法，通 过将微分方程转化为边界积
分方程来求解。
变形特点
应用领域
在平面应力问题中，变形主要发生在作用 面上，而在平面应变问题中，变形可以发 生在整个结构中。
平面应力问题在桥梁、建筑和机械等领域 有广泛应用，而平面应变问题在岩土、地 质和材料等领域有广泛应用。
06
结论与展望
结论总结
平面应力问题和平面应变问题在弹性力学中具有重要地位，它们是描述物体在应力作用下的变形和应 力分布的基础。
弹性模量表示材料在受力作用下的刚度，是衡量材料抵 抗弹性变形能力的重要参数。
剪切模量表示材料在剪切力作用下的刚度，与弹性模量 和泊松比有关。
03
平面应变问题
应变状态分析
平面应变条件
应变分量中，只有$varepsilon_{x}$ 、$varepsilon_{y}$和 $gamma_{xy}$不为零，其余分量为 零。
有限元法在弹性力学平面应力问题和平面应变问题中广泛 应用，因为它能够处理复杂的几何形状和边界条件，且计 算精度高。
有限元法的实现需要建立离散化的模型、选择合适的单元 类型和求解算法，并进行数值稳定性和误差分析。
有限差分法
有限差分法是一种基于差分原理的数值分析方法，通过将微分方程转化为 差分方程来求解。
薄板弯曲问题
考虑一个矩形薄板，受到一对相距较远的集中力作用，使板发生弯曲。根据平面应力问题，可以分析 板的应力分布、中性面位置以及挠度等。
有限差分法的精度取决于差分格式的选择和网格的划分，同时需要注意数 值稳定性和计算精度的问题。
边界元法
边界元法是一种基于边界积 分方程的数值分析方法，通 过将微分方程转化为边界积
分方程来求解。
变形特点
应用领域
在平面应力问题中，变形主要发生在作用 面上，而在平面应变问题中，变形可以发 生在整个结构中。
平面应力问题在桥梁、建筑和机械等领域 有广泛应用，而平面应变问题在岩土、地 质和材料等领域有广泛应用。
06
结论与展望
结论总结
平面应力问题和平面应变问题在弹性力学中具有重要地位，它们是描述物体在应力作用下的变形和应 力分布的基础。
弹性模量表示材料在受力作用下的刚度，是衡量材料抵 抗弹性变形能力的重要参数。
剪切模量表示材料在剪切力作用下的刚度，与弹性模量 和泊松比有关。
03
平面应变问题
应变状态分析
平面应变条件
应变分量中，只有$varepsilon_{x}$ 、$varepsilon_{y}$和 $gamma_{xy}$不为零，其余分量为 零。
有限元法在弹性力学平面应力问题和平面应变问题中广泛 应用，因为它能够处理复杂的几何形状和边界条件，且计 算精度高。
有限元法的实现需要建立离散化的模型、选择合适的单元 类型和求解算法，并进行数值稳定性和误差分析。
有限差分法
有限差分法是一种基于差分原理的数值分析方法，通过将微分方程转化为 差分方程来求解。
薄板弯曲问题
考虑一个矩形薄板，受到一对相距较远的集中力作用，使板发生弯曲。根据平面应力问题，可以分析 板的应力分布、中性面位置以及挠度等。
主应力法
接触面上正应力σz的分布规律
1．滑动区
d z 2f z 0 dr h
k f z
2fr C1 exp h
上式积分得： σ
z
当r=R时， r 0 ，将屈服准则 代入上式，得积分常数C1
2f z 2K exp (R r ) 因此： h
x h ( x d x )h 2 k dx 0
d x 2 k 整理后得： dx h 0
（2）由近似塑性条件 y x s 2 K
（ x、 y分别为数值，即绝对值）
→
d y d x 0
（3）将上式带入平衡方程，得： d y 2 k
圆柱坐标下的应力平衡微分方程
r 1 r zr 1 ( r ) 0 r r z r r 1 zr 2 r 0 r r z r rz 1 z z rz 0 r r z r
F xe
单位流动压力为： p P 1
xe
0
y dx
k . xe
h
ye
在摩擦系数较大时（热镦粗平板（长度远远大于宽 度）），整个接触面上作用着最大摩擦 力
k K
2
s
2
S
，则单位流动压力公式为：
2 1w p S (1 ) 4h 3
当考虑滑动摩擦时，将滑动摩擦时的库仑摩擦定律
2 2 2
( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2
'
3J 2
1 3 s
zx xy yz 2 x ( ) x y z x yz
主应力法
C = 2k + 2k
R h
2k σ z = 2k + ( R − r ) h
总压力和平均压力
假定接触面上的摩擦服从库仑定律，这时总压力P 假定接触面上的摩擦服从库仑定律，这时总压力P 沿接触面的积分： 沿接触面的积分： R R
P=
2µ ( R−r ) h
∫
0
σ z ⋅ 2π rdr = ∫ σ s e
r z
为单元体边界上的摩擦应力，且是已知 为单元体边界上的摩擦应力，
的，剩下的未知应力只有两个，即 剩下的未知应力只有两个， 个方向的平衡方程就可以了。 个方向的平衡方程就可以了。
σr 和 σz
只需要建立一
§6.2 直角坐标平面应变问题解析
低摩擦条件下镦粗矩形件时， 低摩擦条件下镦粗矩形件时，接触面上单位压力分布 假定在任一瞬间工件的厚度 为h，接触面宽度为b，如 接触面宽度为b 图所示。由于对称性，仅研 图所示。由于对称性， 究其右半部。 究其右半部。
2µ ( R−r ) h
当热锻时，接触面上的摩擦很大，可达τ=k 当热锻时，接触面上的摩擦很大，可达τ 联解单元体的平衡方程和近似屈服条件可得：dσ 联解单元体的平衡方程和近似屈服条件可得： 积分后得： 积分后得： σ z = − 2 k 由边界条件可得： 由边界条件可得：
r +C h
z
= −2k
dr h
把k作常量处理 作常量处理
dσ x = dσ y
轴对称问题基本方程的简化
研究轴对称问题，采用圆柱坐标系 ( r , θ , z ) 研究轴对称问题， 根据主应力法的假设， 认为变形是均匀的。 根据主应力法的假设 ， 认为变形是均匀的 。 从变形体内分 离出来的单元体的界面是圆柱面， 离出来的单元体的界面是圆柱面 ， 在变形过程中仍保持为 圆柱面。假想一个半径为r 圆柱面 。假想一个半径为r ，高为 z的圆柱体，在变形过程 高为z的圆柱体， 中满足下面的体积不变条件： 中满足下面的体积不变条件：
平面问题中一点的应力状态
已知X=q， y=0， xy = -2q， 求： 1 ， 2 ，α1 1=2.562q 2=-1.562q tgα1=-0.781 α1=-37.99o=-37o59`
问题：
平面问题中，
(a)已知一点的应力为 方向的正应力n为 （b）已知 那么
，那么任一 1 2 n 为 ; a , b x y ? 1 2
⑶ 它是在边界上物体保持连续性的条 件，或位移保持连续性的条件。
应力边界条件－－设在 s 上给定了面力分 量
fx (s), f y (s).
通过三角形微分体的平衡条件，导出坐标面应力 与斜面应力的关系式，
p l σ m , p m σ l , x x y x y y x y
A
N
B
N
1 1 2 l ( ) N 2 1 4 2
2
s
N
1 显然，当 1l2 0 (l ) 时，τN为最大、最小值： 2 2
max 1 2 min 2
由 l
1 得， τmax、 τmin 的方向与σ1 2
（ σ2 ）成45°。
⑹ 所有边界均应满足，无面力的边界
（自由边） fx f也必须满足。 , y 0
坐标面
当边界面为坐标面时， 若x=a为正x 面，l = 1, m = 0, 则式(d)成为
() σ f ,() f . x x a x x y y x a
b a x
( e )
fx
xy
σ
x
σ
x
fx
n
B
py
xy
2
x
xy
y
σ2－(σx+σy)σ+(σxσy－τ2xy)=0
问题：
平面问题中，
(a)已知一点的应力为 方向的正应力n为 （b）已知 那么
，那么任一 1 2 n 为 ; a , b x y ? 1 2
⑶ 它是在边界上物体保持连续性的条 件，或位移保持连续性的条件。
应力边界条件－－设在 s 上给定了面力分 量
fx (s), f y (s).
通过三角形微分体的平衡条件，导出坐标面应力 与斜面应力的关系式，
p l σ m , p m σ l , x x y x y y x y
A
N
B
N
1 1 2 l ( ) N 2 1 4 2
2
s
N
1 显然，当 1l2 0 (l ) 时，τN为最大、最小值： 2 2
max 1 2 min 2
由 l
1 得， τmax、 τmin 的方向与σ1 2
（ σ2 ）成45°。
⑹ 所有边界均应满足，无面力的边界
（自由边） fx f也必须满足。 , y 0
坐标面
当边界面为坐标面时， 若x=a为正x 面，l = 1, m = 0, 则式(d)成为
() σ f ,() f . x x a x x y y x a
b a x
( e )
fx
xy
σ
x
σ
x
fx
n
B
py
xy
2
x
xy
y
σ2－(σx+σy)σ+(σxσy－τ2xy)=0
主应力法ppt课件
注：若未知量的个数多于独立平衡方程的个数，则为静不定问题；若未知量的个数等 于或少于独立平衡方程的个数未知量全部可由独立平衡方程求得，则为静定问题。
z z
0
x xy 0 x y
z z z 0 z
ppt课件.
xy y 0 x y
5
2 主应力法的基本原理
6
静不定
轴 对 称 问 微分方程，2个
题
塑性条件，1个
4
平面问题
微分方程，2个 塑性条件，1个
3
静不定 静定
联立方程
本构方程，6个 几何方程，6个
本构方程，4个 几何方程，2个
可解否
方程，16个 未知数，16个 理论上可解，实际不
可解。
方程，9个 未知数，9个 理论上可解，特殊情
况可解。
部分情况可解.
ppt课件.
1
• 金属塑性成形理论的主要任务之一就是确定各种成形 工序所需的变形力；变形力是指在塑性加工过程中， 工具对坯料所施加的使之发生塑性变形的作用力。变 形力是正确设计模具、选择设备和制定工艺规程的重 要参数。
• 求解变形体（毛坯）内部的应力大小及分布。需联解 平衡微分方程、塑性条件、几何方程和本构方程。
h0
1hdh
ppt课件.
15
(2) 圆柱体镦粗问题
f
采用圆柱坐标 (r,θ,z),设 h为圆柱体的高度，R为
半径，σr为径向正应力，
r
r dr
σθ为子午面上的正应力， f为接触表面上的摩擦
切应力。从变形体中切
取一高度为h、厚度为
dr、中心角为dθ的单元
体
ppt课件.
16
单元体径向的静力平衡方程:
主应力法
x
x
yx
y
0
xy
y
0
x y
主应力法的基本原理
主应力方法的基本假设
1. 把问题简化成平面问题或轴对称问题；或看成两者的拼合；
2. 根据金属的流动趋向和选取的坐标系，对变形体截取包括接触面在 内的基元体，切面上的应力假设为主应力，且均匀分布（与一坐标 轴无关），则平衡微分方程由两个变为一个，偏微分方程变为常微 分方程；
cos
cos
u
dx
cos
sin
l
dx
cos
sin
0
整理
xh ( x d x )[h (tan tan )dx] 2dx u tandx l tan dx 0
倾斜砧板问题
❖ 局部平衡条件
由静力平衡关系：ΣPy=0
ydx
sin( ) dx cos
u
cos
dx
cos
0
y tan u 0
ij 0 （3个）
x j
f ( ij ) C （1个）
dij d ij '
（6个）
dij
1 2
(dui x j
)
(du xi
j
)
（6个）
未知量： ij , dij , dui 共15 个
各方程不完全独立，且为偏微分方 程，无足够边界条件，不可解。
主应力法的基本原理
主应力方法的基本假设
x (tan tan )dx d xh 2dx u tandx l tan dx 0
倾斜砧板问题
❖ 平衡方程简化 x (tan tan )dx d xh 2dx u tandx l tan dx 0
代入 u y tan l y tan
平面应力和平面应变
考察P点邻域内线段的变形：
P u dx
x u u dx x
v P A
dy
v v dx x
PA dx PB dy
y
B
A
变形前 P
A
变形后
P
u v
u u dx
x
A v v dx
x
v v dy y
B
u u dy y
u u dy
B
B
y v v dy
y
注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。
PA的正应变：
设 z方向为无限长，则 x, x, u, 沿 z 方向都不变化，
仅为 x，y 的函数。 任一横截面均可视为对称面
因为任一横截面均可视为对称面，则有
w0
所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。
—— 平面位移问题
z 0 zy yz 0 zx xz 0
x x (x, y)
X
x
x
x
dx
Y
C
xy
xy
x
d
y
y
y
dy
xy
xy
x
dx
§ 3.2.1 平衡微分方程
取微元体PABC（P点附近），
x
PA dx PB dy
Z 方向取单位长度。
设P点应力已知： x , y , xy yx
体力：X ，Y
AC面：
xxyxxxxyddxx212!1!2x2x2xx2xy(d(dxx)x2)x2dx
2. 平面应变问题
(1) 几何特征
一个方向的尺寸比另
两个方向的尺寸大得多， 且沿长度方向几何形状和 尺寸不变化。
水坝
—— 近似认为无限长
弹性力学-平面应力-平面应变问题
yx
y
Y
0
x y
x
u x
y
v y
xy
u y
v x
yx
D
对于平面应力和平面应
变问题来说，只须在弹
性矩阵中，以 E
，
1 代μ即可。
2
代E
1
平面问题的解法?
弹性力学平面问题有两个平衡微分方程，三个几何 方程，三个物理方程。共有八个方程，其中含有三 个应力分量 x y xy ，三个应变分量 x y xy ，两个位移分量u和v，共八个未知函数。从数学的 观点来看，有足够的方程来求解这些未知函数，问 题是可解的。我们要求出八个未知函数，使其满足 八个方程，同时还必须满足全部（应力及位移）的 边界条件。 采用两种基本方法：一是位移法；另一种是应力法。
y 1 E 1 1 2 1 x y 1 z
z 1 E 1 1 2 1 x 1 y z
xy 21Exy yz 21Eyz zx 21Ezx
若令
T x y z xy yz zx
T x y z x y y z z x
代表应变列阵和应力列阵，则应力-应变关系
任何构件都占有三维空间，在载荷或温 度变化等的作用下，物体内产生的应力 、应变和位移必然是三向的。一般说来 ，它们都是三个坐标x、y、z的函数。这 样的问题称为弹性力学空间问题。
当构件形状有某些特点，并且受到特殊的 分布外力作用或温度变化影响，某些空间 问题可以简化为弹性力学的平面问题。这 些问题中的应力、应变和位移仅为两个坐 标（如x、y）的函数。平面问题可以进而 分为平面应变问题和平面应力问题两大类 。
y
y
o z
y
o z
y
o
x
弹性力学平面应力问题和平面应变问题
(1)求（ p x, p y） 由平衡条件，并略去高阶分量体力项，得
px lσ x mτ yx , p y mσ y lτ xy ,
其中：l=cos(n,x), m=cos(n,y)。
(a)
2、平面问题中一点的应力状态 x
37
yx yx
y xx
y y
A
斜面上应力分解为：
弹性力学
朱明礼 njzhu2004@
第一节
平面应力问题和平面应变问题
第二节
第三节 第四节
平衡微分方程
平面问题中一点的应力状态 几何方程 刚体位移
第五节
第六节
物理方程
边界条件
第七节
第八节
圣维南原理及其应用
按位移求解平面问题
第九节
第十节
按应力求解平面问题
常应力情况下的简化
相容方程
应力函数
x xy ij = yx y
u,
第二章
平面应力问题和平面应变问题
两类特殊问题
1、平面应力问题
t/2 t/2
x
z
y
y
第二章
平面应力问题和平面应变问题
平面应力
第一种：平面应力问题 条件是：
（1）等厚度的薄板； （2）体力作用于体内，平行于板的中面， 沿板厚不变； （3）面力作用于板边，平行于板的中面， 沿板厚不变； （4）约束作用于板边，平行于板的中面， 沿板厚不变。
故只有平面应力 σ x , σ y , xy 存在。
第二章
平面应力问题和平面应变问题
平面应力
（2）由于板为等厚度，外力、约束沿z向 不变，故应力 σ x , σ y , xy 仅为 f x, y 。 所以归纳为平面应力问题： a.应力中只有平面应力 σ x , σ y , xy 存在； b.且仅为 f x, y 。
17讲 平面应力状态分析——解析法
2
60 − 40 = ± 2
40
σx − σy
2
60 + 40 2
2
2
+ τ xy
2
30M P a
+ (−30)2
60M P a
68 3 = MPa − 48 3
∴ σ 1 = 6 8 .3 M P a , σ 2 = 0 , σ 3 = − 4 8 .3 M P a
主平面的方位：
tg 2 α o = −
y
σx −σ dτ α = 0, dα 2
即: 2 (
σx −σ
2
y
⋅ 2 c o s 2 α − 2 τ x sin 2 α = 0
c o s 2 α − τ x sin 2 α ) = 0
将 θ 0 代 τ α 式,得: 方位:
t g 2θ 0 =
σx −σ
2τ
x
y
大小:
τ
ma x mi n
= ± (
特例
纯剪应力状态
二 平面应力状态分析 — 数解法
1.斜截面上的应力 1.斜截面上的应力 已知受力构件中的应力单元体
σ
y
σ
e
x
σ
f
x
τx
σ
y
求垂直于xy面的任意斜截面ef上的应力 σ α τ α
公式推导使用的符号规定：
σ
α角: 由x正向逆时针转到n正 向者为正；反之为负。
y
正 应 力:
σ
拉应力为正
σ
M
M
讨论基本变形强度问题时的 共同特点: 危险截面上的危险点只承受 正应力或剪应力
中性轴
σ
=
M (x ) W
60 − 40 = ± 2
40
σx − σy
2
60 + 40 2
2
2
+ τ xy
2
30M P a
+ (−30)2
60M P a
68 3 = MPa − 48 3
∴ σ 1 = 6 8 .3 M P a , σ 2 = 0 , σ 3 = − 4 8 .3 M P a
主平面的方位：
tg 2 α o = −
y
σx −σ dτ α = 0, dα 2
即: 2 (
σx −σ
2
y
⋅ 2 c o s 2 α − 2 τ x sin 2 α = 0
c o s 2 α − τ x sin 2 α ) = 0
将 θ 0 代 τ α 式,得: 方位:
t g 2θ 0 =
σx −σ
2τ
x
y
大小:
τ
ma x mi n
= ± (
特例
纯剪应力状态
二 平面应力状态分析 — 数解法
1.斜截面上的应力 1.斜截面上的应力 已知受力构件中的应力单元体
σ
y
σ
e
x
σ
f
x
τx
σ
y
求垂直于xy面的任意斜截面ef上的应力 σ α τ α
公式推导使用的符号规定：
σ
α角: 由x正向逆时针转到n正 向者为正；反之为负。
y
正 应 力:
σ
拉应力为正
σ
M
M
讨论基本变形强度问题时的 共同特点: 危险截面上的危险点只承受 正应力或剪应力
中性轴
σ
=
M (x ) W
《材料力学》课件7-2平面应力状态的应力分析主应力
2 0
3 110MPa
max 172.5MPa
o
c
平面应力状态的几种特殊情况
x y
2
x y
2
cos 2 x sin 2
x y
2
sin 2 x cos 2
轴向拉伸压缩
x
2 (1 cos 2 )
60 0
f
n
30 5.2MPa
0
30 0.8MPa
0
对于图中所示之平面应力状态，若要求面内最大切应力 τmax＜85MPa，试求τx的取值范围。图中应力的单位为 MPa。
50
x
50 , y
d
100
o
2
2
二、符号规定：
正应力
y
α角
由x正向逆时针转到n正 向者为正；反之为负。
拉应力为正
x
压应力为负
x
n x
x
y
切 应 力
使单元体或其局部顺 时针方向转动为正；反之 为负。
某单元体应力如图所示，其铅垂方向和水平方向各平面 上的应力已知，互相垂直的二斜面ab和bc的外法线分别与x 轴成300和－600角，试求此二斜面ab和bc上的应力。
2
x 40MPa
主应力和主平面
2
(y ,y)
2
x y 2
2
2 x
a ( x , x)
o
c
d
1
1
x y
2 x y 2
3 110MPa
max 172.5MPa
o
c
平面应力状态的几种特殊情况
x y
2
x y
2
cos 2 x sin 2
x y
2
sin 2 x cos 2
轴向拉伸压缩
x
2 (1 cos 2 )
60 0
f
n
30 5.2MPa
0
30 0.8MPa
0
对于图中所示之平面应力状态，若要求面内最大切应力 τmax＜85MPa，试求τx的取值范围。图中应力的单位为 MPa。
50
x
50 , y
d
100
o
2
2
二、符号规定：
正应力
y
α角
由x正向逆时针转到n正 向者为正；反之为负。
拉应力为正
x
压应力为负
x
n x
x
y
切 应 力
使单元体或其局部顺 时针方向转动为正；反之 为负。
某单元体应力如图所示，其铅垂方向和水平方向各平面 上的应力已知，互相垂直的二斜面ab和bc的外法线分别与x 轴成300和－600角，试求此二斜面ab和bc上的应力。
2
x 40MPa
主应力和主平面
2
(y ,y)
2
x y 2
2
2 x
a ( x , x)
o
c
d
1
1
x y
2 x y 2
平面应力问题
平面应力问题平面域A 内的基本方程:平衡微分方程（在A 内） 几何方程（在A 内）物理方程（在A 内）即: S 上边界条件:应力边界条件在 上）位移边界条件（在 上） 平面应变问题常体力时方程的解为特解叠加下面方程的通解0,0.yx x y xyσX x y σY y x ∂⎫∂++=⎪∂∂⎪⎬∂∂⎪++=⎪∂∂⎭ττ, , .x y xy u v v ux y x yεεγ∂∂∂∂===+∂∂∂∂11(),(),2(1).x x y y y x xy xy σσσσE E Eεμεμμγτ⎫=-=-⎪⎪⎬+⎪=⎪⎭22()1()(a)12(1)x x y y y x xy xyE σεμεμE σεμεμE τγμ⎫=+⎪-⎪⎪=+⎬-⎪⎪=⎪+⎭{}[]{}2101011002(10, 2.18)x x y y xy xy σE σσD P ⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥==⎨⎬⎨⎬⎢⎥-⎪⎪⎪⎪⎢⎥-⎩⎭⎩⎭⎢⎥⎣⎦=•εμμεμμτγε式(),().x yx s x y xy s y l σm f m σl f ττ⎫+=⎪⎬+=⎪⎭σs(),().s s u u v v ⎫=⎪⎬=⎪⎭us 2222y xy x y x x yεγε∂∂∂+=∂∂∂∂.1 ,12μμμμ-→-→E E 0,0.yx x y xyσx y σy x ∂⎫∂+=⎪∂∂⎪⎬∂∂⎪+=⎪∂∂⎭ττ22,y ΦσYy x∂=-∂.2yx Φτxy ∂∂∂-=22,x ΦσXx y∂=-∂二、基本假设 1、连续性假定假定物体是连续的。
因此，各物理量可用连续函数表示。
2、完全弹性假定a.完全弹性—外力取消，变形恢复，无残余变形。
b.线性弹性—应力与应变成正比。
即应力与应变关系可用胡克定律表示（物理线性）。
3、均匀性假定假定物体由同种材料组成,因此， E 、 μ等与位置 无关。
4、各向同性假定假定物体各向同性。
E 、μ与方向无关。
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dx cos cos
l
dx sin cos
倾斜砧板问题
平衡方程
x h ( x d x )[h (tan tan )dx] dx dx cos cos cos cos
u dx dx sin l sin 0 cos cos
平衡方程简化
x (tan tan )dx [hb (tan tan ) x]d x 2dx y (tan tan )dx (tan 2 tan 2 )dx 0 2 y x Y d y d x 由近似塑性条件 3 2 Y (tan tan )dx [hb (tan tan ) x]d y 3 2dx (tan 2 tan 2 )dx 0
u y tan 同理： l y tan
且h hb (tan tan ) x
y
u
dx
倾斜砧板问题
Байду номын сангаас
平衡方程简化
x h ( x d x )[h (tan tan )dx] 2dx u tan dx l tan dx 0
K2 y ln(hb xK1 ) C K1
代入原式
he K2 y ln( ) ye K1 hb xK1
倾斜砧板问题
平均应力求解
he K2 y ln( ) ye K1 hb xK1 P 1 p A xe
xe
0
1 y dx xe
y
2mK xC h
当x xe时, y ye , 2mK 则 ye xe C h 2mK C ye xe h
2mK 得： y ( xe x) ye h
平行砧板问题
平均流动应力
y
2mK ( xe x) ye h
整理 x h ( x d x )[h (tan tan )dx] 2dx
u tan dx l tan dx 0
倾斜砧板问题
局部平衡条件
由静力平衡关系：ΣPy=0
dx dx y dx sin( ) u cos 0 cos cos y tan u 0
整理
2 d x dx h
平行砧板问题
带入近似屈服条件
2 d x dx h
由近似平衡条件： x y 2 K
得
d x d y
2 2mK dx dx h h
d y
平行砧板问题
求解微分方程
2 2mK d y dx dx h h
2K
讨论分析
2 Y) 当x=xe时， y ye 2 K ( 3 2mKxe y ye x=0 时， h
y
n
b
平行砧板问题
讨论分析
与材料有关
mKx e p ye h
与摩擦系数有关 与边界条件有关 与几何形状有关
宽度b,高度h的工件平面自由镦粗时： m b y 2 K [1 ( x)] h 2 m b p 2 K (1 ) 4 h
ij 0 （3个） x j
f ( ij ) C （1个）
d ij 1 (dui ) (du j ) d （6个） d ij （6个） ij ' 2 x j xi
未知量： ij , d ij , dui 共15 个
各方程不完全独立，且为偏微分方 程，无足够边界条件，不可解。
ij 0 x j
f ( ij ) C
主应力法的基本原理
主应力方法的适用范围
镦粗型流动：金属流动方向⊥模具运动方向； 挤压型流动：金属流动方向∥模具运动方向。 常见的金属流动类型： 纵 平面应变的 横 轴对称的 纵 横 向流动 向流动 镦粗型（平面应变镦粗） 挤压型（平面应变挤压） 镦粗型（轴对称镦粗） 挤压型（轴对称挤压）
倾斜砧板问题
角度定义
为了使推导的σy和p 的计算公式适合于 所有类型，规定α,β 的正负号：
α,β 使 流 道 变 宽 为 正，且 tan(- α)=-tan(α)
倾斜砧板问题
平衡方程
xh
( x d x )[h (tan tan )dx]
dx dx sin cos u cos cos
代入 u y tan
l y tan
略去高阶微量
x h x h x (tan tan )dx d x h d x (tan tan )dx
2dx y tan dx tan 2 dx y tan dx tan 2 dx 0
3. 忽略摩擦切应力的影响，认为基元体上的应力为主应力，塑性条件简化。
2 平面应变： ( x y ) 2 4 xy 4 K 2
x y 2K
主应力法：以主应力表示的近似平衡方程与近似塑性 条件联解以求接触面上应力分布的一种方法。
主应力法的基本原理
主应力方法的本质
主应力法又称切块法、切片法、切条法 实质：平衡微分方程和塑性条件联解
x yx 0 x y xy y 0 x y
主应力法的基本原理
主应力方法的基本假设
1. 把问题简化成平面问题或轴对称问题；或看成两者的拼合；
2. 根据金属的流动趋向和选取的坐标系，对变形体截取包括接触面在 内的基元体，切面上的应力假设为主应力，且均匀分布（与一坐标 轴无关），则平衡微分方程由两个变为一个，偏微分方程变为常微 分方程；
p
K2 w e ln( ) K1 wb
总结
主应力法解决问题的步骤 列平衡方程 带入屈服条件 求解微分方程 平均流动应力
we K2 x ln( ) xe K1 wb yK1
讨论
we K2 x ln( ) xe K1 wb yK1
x - y
2 Y 3
we K2 2 2 x = x - Y ln( ) xe - Y 3 K1 wb yK1 3
当 y=ye时
xe
0
he K2 [ ln( ) ye ]dx K1 hb xK1
K2 1 K2 p 2 [he (ln he 1) hb (ln hb 1)] ( ye ln he ) K1 xe K1
讨论
平面挤压问题的变形力
讨论
y
he K2 ln( ) ye K1 hb xK1
ye 0
2 xe - ye Y 3
xe
2 Y 3
讨论
we K2 2 2 x = x - Y ln( ) xe - Y K1 wb yK1 3 3
2 xe Y 3
x = x -
w K 2 Y 2 ln( e ) 3 K1 wb yK1
代入h hb (tan tan ) x
x (tan tan )dx [hb (tan tan ) x]d x 2dx y (tan tan )dx (tan 2 tan 2 )dx 0
倾斜砧板问题
第四章 塑性成形问题工程解法
第一节 主应力方法
第一讲 平面问题主应力法
主应力法基本原理 平行砧板镦粗问题 倾斜砧板镦粗问题
主应力法的基本原理
塑性力学分析的目的 1.确定变形力(功),合理选用设备、设计模具、制定 工艺 2.分析金属流动规律，合理选用毛坯尺寸、设计型腔
主应力法的基本原理
塑性力学分析的基本方法
倾斜砧板问题
平衡方程简化
2 Y (tan tan )dx [hb (tan tan ) x]d y 3 2dx (tan 2 tan 2 )dx 0 2 K1 tan tan , K 2 YK1 (2 tan 2 tan 2 ) 3 2 YK1dx (2 tan 2 tan 2 )dx (hb K1 x)d y 0 3
x (tan tan )dx hd x 2dx y (tan tan )dx (tan2 tan2 )dx 0
倾斜砧板问题
平衡方程简化
x (tan tan )dx hd x 2dx y (tan tan )dx (tan2 tan2 )dx 0
即： K 2 dx (hb K1 x)d y 0
K2 d y dx hb K1 x
倾斜砧板问题
平衡方程积分
K2 d y dx hb K1 x
当x xe时, y ye
即 ye
K2 K2 ln( hb xe K1 ) C ln[ hb xe (tan tan )] C K1 K1 K2 ln he C K1
单位流动压力：
P 1 p A xe 1 y dx xe 2m K [ ( xe x) ye ]dx h
xe
0
xe
0
m Kxe 1 mK 1 x x (2 xe x x 2 ) |0e ye |0e ye xe h xe h
平行砧板问题
无摩擦时(τ=0),如 直线mn所示。 2mK y ( xe x) ye σy=2K h Δgmn为τ引起的σy 1. 若xe为相邻变形区边界，则σye, σy,由边界条件定； 增加值。 2. 若xe为自由表面，σxe=0,则σye=2K。 g m
l
dx sin cos
倾斜砧板问题
平衡方程
x h ( x d x )[h (tan tan )dx] dx dx cos cos cos cos
u dx dx sin l sin 0 cos cos
平衡方程简化
x (tan tan )dx [hb (tan tan ) x]d x 2dx y (tan tan )dx (tan 2 tan 2 )dx 0 2 y x Y d y d x 由近似塑性条件 3 2 Y (tan tan )dx [hb (tan tan ) x]d y 3 2dx (tan 2 tan 2 )dx 0
u y tan 同理： l y tan
且h hb (tan tan ) x
y
u
dx
倾斜砧板问题
Байду номын сангаас
平衡方程简化
x h ( x d x )[h (tan tan )dx] 2dx u tan dx l tan dx 0
K2 y ln(hb xK1 ) C K1
代入原式
he K2 y ln( ) ye K1 hb xK1
倾斜砧板问题
平均应力求解
he K2 y ln( ) ye K1 hb xK1 P 1 p A xe
xe
0
1 y dx xe
y
2mK xC h
当x xe时, y ye , 2mK 则 ye xe C h 2mK C ye xe h
2mK 得： y ( xe x) ye h
平行砧板问题
平均流动应力
y
2mK ( xe x) ye h
整理 x h ( x d x )[h (tan tan )dx] 2dx
u tan dx l tan dx 0
倾斜砧板问题
局部平衡条件
由静力平衡关系：ΣPy=0
dx dx y dx sin( ) u cos 0 cos cos y tan u 0
整理
2 d x dx h
平行砧板问题
带入近似屈服条件
2 d x dx h
由近似平衡条件： x y 2 K
得
d x d y
2 2mK dx dx h h
d y
平行砧板问题
求解微分方程
2 2mK d y dx dx h h
2K
讨论分析
2 Y) 当x=xe时， y ye 2 K ( 3 2mKxe y ye x=0 时， h
y
n
b
平行砧板问题
讨论分析
与材料有关
mKx e p ye h
与摩擦系数有关 与边界条件有关 与几何形状有关
宽度b,高度h的工件平面自由镦粗时： m b y 2 K [1 ( x)] h 2 m b p 2 K (1 ) 4 h
ij 0 （3个） x j
f ( ij ) C （1个）
d ij 1 (dui ) (du j ) d （6个） d ij （6个） ij ' 2 x j xi
未知量： ij , d ij , dui 共15 个
各方程不完全独立，且为偏微分方 程，无足够边界条件，不可解。
ij 0 x j
f ( ij ) C
主应力法的基本原理
主应力方法的适用范围
镦粗型流动：金属流动方向⊥模具运动方向； 挤压型流动：金属流动方向∥模具运动方向。 常见的金属流动类型： 纵 平面应变的 横 轴对称的 纵 横 向流动 向流动 镦粗型（平面应变镦粗） 挤压型（平面应变挤压） 镦粗型（轴对称镦粗） 挤压型（轴对称挤压）
倾斜砧板问题
角度定义
为了使推导的σy和p 的计算公式适合于 所有类型，规定α,β 的正负号：
α,β 使 流 道 变 宽 为 正，且 tan(- α)=-tan(α)
倾斜砧板问题
平衡方程
xh
( x d x )[h (tan tan )dx]
dx dx sin cos u cos cos
代入 u y tan
l y tan
略去高阶微量
x h x h x (tan tan )dx d x h d x (tan tan )dx
2dx y tan dx tan 2 dx y tan dx tan 2 dx 0
3. 忽略摩擦切应力的影响，认为基元体上的应力为主应力，塑性条件简化。
2 平面应变： ( x y ) 2 4 xy 4 K 2
x y 2K
主应力法：以主应力表示的近似平衡方程与近似塑性 条件联解以求接触面上应力分布的一种方法。
主应力法的基本原理
主应力方法的本质
主应力法又称切块法、切片法、切条法 实质：平衡微分方程和塑性条件联解
x yx 0 x y xy y 0 x y
主应力法的基本原理
主应力方法的基本假设
1. 把问题简化成平面问题或轴对称问题；或看成两者的拼合；
2. 根据金属的流动趋向和选取的坐标系，对变形体截取包括接触面在 内的基元体，切面上的应力假设为主应力，且均匀分布（与一坐标 轴无关），则平衡微分方程由两个变为一个，偏微分方程变为常微 分方程；
p
K2 w e ln( ) K1 wb
总结
主应力法解决问题的步骤 列平衡方程 带入屈服条件 求解微分方程 平均流动应力
we K2 x ln( ) xe K1 wb yK1
讨论
we K2 x ln( ) xe K1 wb yK1
x - y
2 Y 3
we K2 2 2 x = x - Y ln( ) xe - Y 3 K1 wb yK1 3
当 y=ye时
xe
0
he K2 [ ln( ) ye ]dx K1 hb xK1
K2 1 K2 p 2 [he (ln he 1) hb (ln hb 1)] ( ye ln he ) K1 xe K1
讨论
平面挤压问题的变形力
讨论
y
he K2 ln( ) ye K1 hb xK1
ye 0
2 xe - ye Y 3
xe
2 Y 3
讨论
we K2 2 2 x = x - Y ln( ) xe - Y K1 wb yK1 3 3
2 xe Y 3
x = x -
w K 2 Y 2 ln( e ) 3 K1 wb yK1
代入h hb (tan tan ) x
x (tan tan )dx [hb (tan tan ) x]d x 2dx y (tan tan )dx (tan 2 tan 2 )dx 0
倾斜砧板问题
第四章 塑性成形问题工程解法
第一节 主应力方法
第一讲 平面问题主应力法
主应力法基本原理 平行砧板镦粗问题 倾斜砧板镦粗问题
主应力法的基本原理
塑性力学分析的目的 1.确定变形力(功),合理选用设备、设计模具、制定 工艺 2.分析金属流动规律，合理选用毛坯尺寸、设计型腔
主应力法的基本原理
塑性力学分析的基本方法
倾斜砧板问题
平衡方程简化
2 Y (tan tan )dx [hb (tan tan ) x]d y 3 2dx (tan 2 tan 2 )dx 0 2 K1 tan tan , K 2 YK1 (2 tan 2 tan 2 ) 3 2 YK1dx (2 tan 2 tan 2 )dx (hb K1 x)d y 0 3
x (tan tan )dx hd x 2dx y (tan tan )dx (tan2 tan2 )dx 0
倾斜砧板问题
平衡方程简化
x (tan tan )dx hd x 2dx y (tan tan )dx (tan2 tan2 )dx 0
即： K 2 dx (hb K1 x)d y 0
K2 d y dx hb K1 x
倾斜砧板问题
平衡方程积分
K2 d y dx hb K1 x
当x xe时, y ye
即 ye
K2 K2 ln( hb xe K1 ) C ln[ hb xe (tan tan )] C K1 K1 K2 ln he C K1
单位流动压力：
P 1 p A xe 1 y dx xe 2m K [ ( xe x) ye ]dx h
xe
0
xe
0
m Kxe 1 mK 1 x x (2 xe x x 2 ) |0e ye |0e ye xe h xe h
平行砧板问题
无摩擦时(τ=0),如 直线mn所示。 2mK y ( xe x) ye σy=2K h Δgmn为τ引起的σy 1. 若xe为相邻变形区边界，则σye, σy,由边界条件定； 增加值。 2. 若xe为自由表面，σxe=0,则σye=2K。 g m