第17讲 平面问题主应力法

单位流动压力：
P 1 p A xe 1 y dx xe 2m K [ ( xe x) ye ]dx h

xe
0

xe
0
m Kxe 1 mK 1 x x (2 xe x x 2 ) |0e ye |0e ye xe h xe h
平行砧板问题

无摩擦时(τ=0),如 直线mn所示。 2mK y ( xe x) ye σy=2K h Δgmn为τ引起的σy 1. 若xe为相邻变形区边界，则σye, σy,由边界条件定； 增加值。 2. 若xe为自由表面，σxe=0,则σye=2K。 g m
ij 0 （3个） x j
f ( ij ) C （1个）
d ij 1 (dui ) (du j ) d （6个） d ij （6个） ij ' 2 x j xi
未知量： ij , d ij , dui 共15 个
各方程不完全独立，且为偏微分方 程，无足够边界条件，不可解。
ij 0 x j
f ( ij ) C
主应力法的基本原理
主应力方法的适用范围
镦粗型流动：金属流动方向⊥模具运动方向； 挤压型流动：金属流动方向∥模具运动方向。 常见的金属流动类型： 纵 平面应变的 横 轴对称的 纵 横 向流动 向流动 镦粗型（平面应变镦粗） 挤压型（平面应变挤压） 镦粗型（轴对称镦粗） 挤压型（轴对称挤压）

xe
0
he K2 [ ln( ) ye ]dx K1 hb xK1
K2 1 K2 p 2 [he (ln he 1) hb (ln hb 1)] ( ye ln he ) K1 xe K1
讨论

平面挤压问题的变形力
讨论
y
he K2 ln( ) ye K1 hb xK1
即： K 2 dx (hb K1 x)d y 0
K2 d y dx hb K1 x
倾斜砧板问题

平衡方程积分
K2 d y dx hb K1 x
当x xe时, y ye
即 ye
K2 K2 ln( hb xe K1 ) C ln[ hb xe (tan tan )] C K1 K1 K2 ln he C K1
2K
讨论分析
2 Y) 当x=xe时， y ye 2 K ( 3 2mKxe y ye x=0 时， h
y
n
b
平行砧板问题

讨论分析
与材料有关
mKx e p ye h
与摩擦系数有关 与边界条件有关 与几何形状有关
宽度b,高度h的工件平面自由镦粗时： m b y 2 K [1 ( x)] h 2 m b p 2 K (1 ) 4 h
主应力法的基本原理
主应力方法的基本假设
1. 把问题简化成平面问题或轴对称问题；或看成两者的拼合；
主应力法的基本原理
主应力方法的基本假设
1. 把问题简化成平面问题或轴对称问题；或看成两者的拼合； 2. 根据金属的流动趋向和选取的坐标系，对变形体截取包括接触面在 内的基元体，切面上的应力假设为主应力，且均匀分布（与一坐标 轴无关），则平衡微分方程由两个变为一个，偏微分方程变为常微 分方程；
倾斜砧板问题

平衡方程简化
2 Y (tan tan )dx [hb (tan tan ) x]d y 3 2dx (tan 2 tan 2 )dx 0 2 K1 tan tan , K 2 YK1 (2 tan 2 tan 2 ) 3 2 YK1dx (2 tan 2 tan 2 )dx (hb K1 x)d y 0 3
y
2mK xC h
当x xe时, y ye , 2mK 则 ye xe C h 2mK C ye xe h
2mK 得： y ( xe x) ye h
平行砧板问题

平均流动应力
y
2mK ( xe x) ye h

平衡方程简化
x (tan tan )dx [hb (tan tan ) x]d x 2dx y (tan tan )dx (tan 2 tan 2 )dx 0 2 y x Y d y d x 由近似塑性条件 3 2 Y (tan tan )dx [hb (tan tan ) x]d y 3 2dx (tan 2 tan 2 )dx 0
3. 忽略摩擦切应力的影响，认为基元体上的应力为主应力，塑性条件简化。
2 平面应变： ( x y ) 2 4 xy 4 K 2
x y 2K
主应力法：以主应力表示的近似平衡方程与近似塑性 条件联解以求接触面上应力分布的一种方法。
主应力法的基本原理
主应力方法的本质
主应力法又称切块法、切片法、切条法 实质：平衡微分方程和塑性条件联解
K2 y ln(hb xK1 ) C K1
代入原式
he K2 y ln( ) ye K1 hb xK1
倾斜砧板问题

平均应力求解
he K2 y ln( ) ye K1 hb xK1 P 1 p A xe

xe
0
1 y dx xe
整理
2 d x dx h
平行砧板问题

带入近似屈服条件
2 d x dx h
由近似平衡条件： x y 2 K
得
d x d y
2 2mK dx dx h h
d y
平行砧板问题

求解微分方程
2 2mK d y dx dx h h
整理 x h ( x d x )[h (tan tan )dx] 2dx
u tan dx l tan dx 0
倾斜砧板问题

局部平衡条件
由静力平衡关系：ΣPy=0
dx dx y dx sin( ) u cos 0 cos cos y tan u 0
x yx 0 x y xy y 0 x y
主应力法的基本原理
主应力方法的基本假设
1. 把问题简化成平面问题或轴对称问题；或看成两者的拼合；
2. 根据金属的流动趋向和选取的坐标系，对变形体截取包括接触面在 内的基元体，切面上的应力假设为主应力，且均匀分布（与一坐标 轴无关），则平衡微分方程由两个变为一个，偏微分方程变为常微 分方程；
ye 0
2 xe - ye Y 3
xe
2 Y 3
讨论
we K2 2 2 x = x - Y ln( ) xe - Y K1 wb yK1 3 3
2 xe Y 3
x = x -
w K 2 Y 2 ln( e ) 3 K1 wb yK1
第四章 塑性成形问题工程解法
第一节 主应力方法
第一讲 平面问题主应力法
主应力法基本原理 平行砧板镦粗问题 倾斜砧板镦粗问题
主应力法的基本原理
塑性力学分析的目的 1.确定变形力(功),合理选用设备、设计模具、制定 工艺 2.分析金属流动规律，合理选用毛坯尺寸、设计型腔
主应力法的基本原理
塑性力学分析的基本方法
代入h hb (tan tan ) x
x (tan tan )dx [hb (tan tan ) x]d x 2dx y (tan tan )dx (tan 2 tan 2 )dx 0
倾斜砧板问题
平行砧板问题

例一
例一：平行砧板间的平面应变镦粗
设 mK , K Y / 3
求：变形力和平均应力
平行砧板问题

列平衡方程
对基元板块，列平衡方程：
P x x lh ( x d x )lh 2ldx 0
x h ( x d x )h 2 dx 0
we K2 x ln( ) xe K1 wb yK1
讨论
we K2 x ln( ) xe K1 wb yK1
x - y
2 Y 3
we K2 2 2 x = x - Y ln( ) xe - Y 3 K1 wb yK1 3
当 y=ye时
dx cos cos
l
dx sin cos

倾斜砧板问题

平衡方程
x h ( x d x )[h (tan tan )dx] dx dx cos cos cos cos
u dx dx sin l sin 0 cos cos
p
K2 w e ln( ) K1 wb
总结

主应力法解决问题的步骤 列平衡方程 带入屈服条件 求解微分方程 平均流动应力
倾斜砧板问题

角度定义
为了使推导的σy和p 的计算公式适合于 所有类型，规定α,β 的正负号：
α,β 使 流 道 变 宽 为 正，且 tan(- α)=-tan(α)
倾斜砧板问题

平衡方程
xh
( x d x )[h (tan tan )dx]

dx dx sin cos u cos cos
u y tan 同理： l y tan
且h hb (tan tan ) x
y

u
dx
倾斜砧板问题

平衡方程简化
x h ( x d x )[h (tan tan )dx] 2dx u tan dx l tan dx 0
代入 u y tan
l y tan
略去高阶微量
x h x h x (tan tan )dx d x h d x (tan tan )dx
2dx y tan dx tan 2 dx y tan dx tan 2 dx 0
x (tan tan )dx hd x 2dx y (tan tan )dx (tan2 tan2 )dx 0
倾斜砧板来自百度文库题

平衡方程简化
x (tan tan )dx hd x 2dx y (tan tan )dx (tan2 tan2 )dx 0