动态滑模控制在并联机器人中的应用
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＄ Bn ( x) ， ∀ xER
n
σ= +λs
(5) (6)
ε＞(cn-1+λ)+ Bn
&= u
n −1 n−2 1 dg df (n) ( n +1) & u − (c 2 + λ ) f − & + (c n −1 + λ ) y d − c n −1 + λ ) g + x x + yd − ∑ ci ei + 2 − ∑ λci ei +1 − ε sgn(σ (7) g dx dx i =1 i =1 稳定性分析:稳定性是系统的一个基本结构特性,稳定性问题是系统控制理论研究的一个重要课题. 将式 (2) 代入式 (4) 得
(n) & = f ( x) + g ( x)u + η − y d s + ∑ ci ei +1 i =1 n −1
(3) (4)
构造新的动态切换函数 式中 λ 为严格的正常数. 当 σ =0 时, + λ s =0 是一个渐近稳定的一阶动态系统, s 趋近于零. 假设1 不确定性满足有界条件,存在有界函数 B n( x ) ,使得 │ │ ≤ B n( x ) , x ∈ R n,且 g ( x ) 符号恒定. η 假设2 不确定项导数有界即 假设3 存在正实数 ε ,满足 动态滑模控制律取为
&& + C (q, q & )q & + G (q) = τ M (q)q
体结构所决定的 n × n , n × n 和 n × 1 阶函数矩阵. 由于式(12)已写成拟线性化的形式,看上去比较简 洁.实际上,在本研究的系统中式(12)的展开形式相当复 杂.基于机器人关节或支路模型的分散控制系统是目前应 用最为广泛的设计方法之一,在工业工程中绝大部分的机 器人系统都采用了该类设计方法. 对于本文所研究的并联机器人,相互并联的各支路可 用图 1 表示. 当机器人关节的驱动装置为交流伺服电机,且忽略等 效干扰力矩,可导出机器人各支路的数学模型传递函数为
(13)
式中: J' = L p ( J a +J m +i 2 J 0 ) ; B' =( R p +K A K i )( J a +J m +i 2 J 0 )+ L p ( B m +i 2 B 0 ) ; W' =( R p +K A K i ) ( B m +i 2 B 0 ) ; Kx =3 K 2 tp /2 ; K =3 K AK preK tp/2 .
这里 f ( x )= - 0 . 007 x 1- 18 . 29 x 3, g ( x )=0 . 012 5 .
(15)
设期望的跟踪信号为 y d =sin t ,跟踪误差为 e = x (1) - y d . n =3 时,定义 s = c 1 e + c 2 + c 3 ,取 c 1 = c 2 =100 , c 3 =1 , λ =3 000 ,初始条件为 x (0)=[0 . 5 0 0] ,则动态控制律为:
e = y − y d n −1 (2) K + c n −1en −1 + en = ∑ ci ei + en = + + s c e c e 1 1 2 2 i =1 式 中 :e i= e ( i - 1 ) ( i = 1 , 2 , … , n ) 为 跟 踪 误 差 及 其 各 阶 导 数 , 选 取 常 数 c 1, c 2, … , c n-1, 使 得 多 项 式 p n -1 + c n - 1 p n-2+ … + c 2p+c 1为 Hurwite 稳定, p 为 Laplace 算子.则
连接动平台 电机 减速装置
(12)
式中: q 和 分别为机器人各关节的位置和速度; τ 为 n × 1 阶驱动力矩向量; M , C , G 分别为由机器人的具
支路关节
图1 机器人支路模型
G (s) =
θ (s) K = 2 I d ( s ) s[ J ' s + B' s + W ' ] + K x
Key words: parallel robot; sliding mode control; servo motor; trajectory tracking
并联机器人同串联机器人相比,具有刚度大、 承载能力高、 精度高、 结构紧凑等特点,可广泛应用于 工业、 航空、 军事等领域 [1] .最近几十年,国内外学者对并联机器人的特点、 机构学、 运动学方面进行了广 泛、 深入的研究.但是,并联机器人作为一个结构复杂、 多变量、 多自由度、 多参数 耦 合的非线性系统,其 控制策略、 控制方法的研究极其复杂.最初设计控制系统时,大多把并联机器人的各个分支当作完全独 立的系统来进行控制,控制策略为传统的 PID 控制,控制效果很不理想.模糊控制方法可以在不要求机 器人模型精确的情况下实现机器人的控制,但是模糊控制方法的模糊规则设计比较重要,规则设计的好 坏将会直接影响到控制的效果 [2],而且该规则的设定需要具有专家知识或是经过多次试验得到,因此在 没有相应的条件下,该方法可能无法起到较好的控制效果. 滑模变结构控制本质上是一类特殊的非线性控制,其非线性表现为控制的不连续性,这种控制策略 与其他控制策略的不同之处在于系统的 “结构” 并不固定,而是在动态过程中根据系统当前的状态 ( 如偏 差及其各阶导数等 ) 有目的地不断变化,迫使系统按照预定 “滑动模态” 的状态轨迹运动 [3].研究表明 [4-6]: 滑模变结构控制具有快速响应、 对参数变化及扰动不灵敏、 无需系统在线辩识,物理实现简单等优点.滑
好,系统抗干扰能力强,对系统参数变化不敏感,具有良好的跟踪性能.
关键词： 并联机器人；滑模控制；伺服电机；轨迹跟踪 中图分类号： TP242 文献标志码： A 文章编号： 1008-5475(2010)01-0037-04
Dynamic Sliding Mode Control Applied in Parallel Robot System
ZHU Cai-hong
(Department of Electronic Information Engineering, Suzhou Vocational University, Suzhou 215104, China)
Abstract: Directed against the parallel robot mechanism with AC servo-motor drive, a model of
第21卷 第1期 2010年3月
苏州市职业大学学报 Journal of Suzhou Vocational University
Vol.21,No.1 Mar. , 2010
动态滑模控制在并联机器人中的应用
朱彩红
(苏州市职业大学 电子信息工程系，江苏 苏州 215104）
摘 要： 针对一种以交流伺服电机驱动的并联机器人机构,建立控制模型,设计一种动态滑模控制 算法,并进行稳定性分析,在Matlab/Simulink上进行了轨迹跟踪仿真试验.结果表明:该算法鲁棒性
dg & u + gu & + (c n −1 + λ ) η + η x dx
df (n) & − (c n −1 + λ ) y d x − dx
(10)
& − ε sgn( σ ) & = (c n −1 + λ ) η + η σ
则根据假设 1~3 得
& − ε σ = σ [(c n −1 + λ ) η + η &] − ε σ < & = σ (c n −1 + λ ) η + σ η σσ & ] − [(c n −1 + λ ) Bn + Bn ] σ ＜o σ [(c n −1 + λ ) η + η
& = ∑ ci ei +1 + e &n + λ σ
i =1
n −1
∑c e
i =1
n −1
i i +1
+ en
(8)
则
& = ∑ ci ei + 2 + c n −1e &n + e &&n + λ σ
i =1
n−2
∑c e
i =1
n −1
i i +1
&n +e
(9)
- 38 -
2010年第1期
朱彩红：动态滑模控制在并联机器人中的应用
将式 (1)、 (2) 代入式 (9) 整理得
& = ∑ ci ei + 2 + ∑ λci ei +1 + (c n −1 + λ ) f + σ
i =1 i =1
n−2
Fra Baidu bibliotekn −1
y
将控制律式 (7) 代入式 (10) 得
( n +1) d
+ c n −1 + λ ) g +
G( s) =
转换为状态方程,则有
θ (s) 0.012 5 = 3 I d ( s ) s + 18.29s 2 + 0.007
(14)
- 39 -
苏州市职业大学学报
第21卷
&1 = x 2 x x & 2 = x3 & 3 = −0.007 x1 − 18.29 x3 + 0.012 5u + η x y = x1
controlling system was established. A kind of dynamic sliding mode control algorithm was designed. And the stability of this control algorithm was analyzed. A simulative experiment of trajectory tracking was made on the Matlab/Simulink. The simulation result was given to prove the validity of the variable structure controller, and a good performance in tracking, and the high-accuracy real time control of the parallel robot mechanism is implemented.
(11)
通过李亚普诺夫稳定性分析,得出新的动态切换函数 σ 满足,即满足滑模变结构控制理论的到达条 件,从而验证了系统的稳定性,也就保证了控制器的鲁棒性和动态品质.
2
并联机器人控制模型的建立
本文研究的少自由度并联机器人具有各支路机构简单,不存在虚约束及工作空间较大等特点 [10]. 机器人系统完整的拉格朗日动力学模型为:
收稿日期：2009-07-20；修回日期：2009-08-30 作者简介：朱彩红(1979－),女,江苏张家港人,讲师,硕士，主要从事并联机器人控制方面研究.
- 37 -
苏州市职业大学学报
第21卷
模变结构控制方法比较适合并联机器人控制 [7-8],因此本文采用了一种新的机器人轨迹跟踪变结构控制 方法,即基于动态切换函数的动态滑模控制方法,亦即通过设计新的切换函数或将常规滑模变结构控制 中的切换函数 s 通过微分环节构成新的切换函数 σ ,该切换函数与系统控制输入的一阶或高阶导数有关, 可将不连续项转移到控制的一阶或高阶导数中去,得到在时间上本质连续的动态滑模控制律,可以有效 地降低抖振.
1
滑模控制器的设计
滑模变结构控制器的设计需要完成以下的工作: 切换函数 s ( x ) 的求取;保证滑动模态的存在;滑动
模态稳定性的确定;变结构控制趋近阶段的鲁棒性及动态品质的保证;变结构控制 ( x ) 的寻求. 考虑如下单入单出 n 阶仿射非线性系统: (1) 式中: x ∈ R 为可测状态变量; u , y ∈ R 分别为系统的输入和输出; f ( x ) , g ( x ) 为已知平滑函数; η 为系统中的 不确定项,它包括模型不确定性和外加扰动 [9]. 定义误差及切换函数分别为:
3
实例仿真及分析
机器人的交流伺服电动机参数为:Kpre=88,Ki=2.2,KA=6,Ktp=3.41 N·m/A,Lp=0.038 37 H,Rp=5.09 Ω,
Ja=0.19 kg·m2, 取减速装置的速比为 i =40 ,关节部分在减速装置驱动侧的转动惯量为 0 . 1 kg·m 2.由于机 构间的 耦 合作用,系统的等效转动惯量和等效负载阻力系数取 J 0=40 , B 0=0 .取 J m=0 , B m=0 . 由此可得交流伺服驱动机器人关节的模型传递函数为
n
σ= +λs
(5) (6)
ε＞(cn-1+λ)+ Bn
&= u
n −1 n−2 1 dg df (n) ( n +1) & u − (c 2 + λ ) f − & + (c n −1 + λ ) y d − c n −1 + λ ) g + x x + yd − ∑ ci ei + 2 − ∑ λci ei +1 − ε sgn(σ (7) g dx dx i =1 i =1 稳定性分析:稳定性是系统的一个基本结构特性,稳定性问题是系统控制理论研究的一个重要课题. 将式 (2) 代入式 (4) 得
(n) & = f ( x) + g ( x)u + η − y d s + ∑ ci ei +1 i =1 n −1
(3) (4)
构造新的动态切换函数 式中 λ 为严格的正常数. 当 σ =0 时, + λ s =0 是一个渐近稳定的一阶动态系统, s 趋近于零. 假设1 不确定性满足有界条件,存在有界函数 B n( x ) ,使得 │ │ ≤ B n( x ) , x ∈ R n,且 g ( x ) 符号恒定. η 假设2 不确定项导数有界即 假设3 存在正实数 ε ,满足 动态滑模控制律取为
&& + C (q, q & )q & + G (q) = τ M (q)q
体结构所决定的 n × n , n × n 和 n × 1 阶函数矩阵. 由于式(12)已写成拟线性化的形式,看上去比较简 洁.实际上,在本研究的系统中式(12)的展开形式相当复 杂.基于机器人关节或支路模型的分散控制系统是目前应 用最为广泛的设计方法之一,在工业工程中绝大部分的机 器人系统都采用了该类设计方法. 对于本文所研究的并联机器人,相互并联的各支路可 用图 1 表示. 当机器人关节的驱动装置为交流伺服电机,且忽略等 效干扰力矩,可导出机器人各支路的数学模型传递函数为
(13)
式中: J' = L p ( J a +J m +i 2 J 0 ) ; B' =( R p +K A K i )( J a +J m +i 2 J 0 )+ L p ( B m +i 2 B 0 ) ; W' =( R p +K A K i ) ( B m +i 2 B 0 ) ; Kx =3 K 2 tp /2 ; K =3 K AK preK tp/2 .
这里 f ( x )= - 0 . 007 x 1- 18 . 29 x 3, g ( x )=0 . 012 5 .
(15)
设期望的跟踪信号为 y d =sin t ,跟踪误差为 e = x (1) - y d . n =3 时,定义 s = c 1 e + c 2 + c 3 ,取 c 1 = c 2 =100 , c 3 =1 , λ =3 000 ,初始条件为 x (0)=[0 . 5 0 0] ,则动态控制律为:
e = y − y d n −1 (2) K + c n −1en −1 + en = ∑ ci ei + en = + + s c e c e 1 1 2 2 i =1 式 中 :e i= e ( i - 1 ) ( i = 1 , 2 , … , n ) 为 跟 踪 误 差 及 其 各 阶 导 数 , 选 取 常 数 c 1, c 2, … , c n-1, 使 得 多 项 式 p n -1 + c n - 1 p n-2+ … + c 2p+c 1为 Hurwite 稳定, p 为 Laplace 算子.则
连接动平台 电机 减速装置
(12)
式中: q 和 分别为机器人各关节的位置和速度; τ 为 n × 1 阶驱动力矩向量; M , C , G 分别为由机器人的具
支路关节
图1 机器人支路模型
G (s) =
θ (s) K = 2 I d ( s ) s[ J ' s + B' s + W ' ] + K x
Key words: parallel robot; sliding mode control; servo motor; trajectory tracking
并联机器人同串联机器人相比,具有刚度大、 承载能力高、 精度高、 结构紧凑等特点,可广泛应用于 工业、 航空、 军事等领域 [1] .最近几十年,国内外学者对并联机器人的特点、 机构学、 运动学方面进行了广 泛、 深入的研究.但是,并联机器人作为一个结构复杂、 多变量、 多自由度、 多参数 耦 合的非线性系统,其 控制策略、 控制方法的研究极其复杂.最初设计控制系统时,大多把并联机器人的各个分支当作完全独 立的系统来进行控制,控制策略为传统的 PID 控制,控制效果很不理想.模糊控制方法可以在不要求机 器人模型精确的情况下实现机器人的控制,但是模糊控制方法的模糊规则设计比较重要,规则设计的好 坏将会直接影响到控制的效果 [2],而且该规则的设定需要具有专家知识或是经过多次试验得到,因此在 没有相应的条件下,该方法可能无法起到较好的控制效果. 滑模变结构控制本质上是一类特殊的非线性控制,其非线性表现为控制的不连续性,这种控制策略 与其他控制策略的不同之处在于系统的 “结构” 并不固定,而是在动态过程中根据系统当前的状态 ( 如偏 差及其各阶导数等 ) 有目的地不断变化,迫使系统按照预定 “滑动模态” 的状态轨迹运动 [3].研究表明 [4-6]: 滑模变结构控制具有快速响应、 对参数变化及扰动不灵敏、 无需系统在线辩识,物理实现简单等优点.滑
好,系统抗干扰能力强,对系统参数变化不敏感,具有良好的跟踪性能.
关键词： 并联机器人；滑模控制；伺服电机；轨迹跟踪 中图分类号： TP242 文献标志码： A 文章编号： 1008-5475(2010)01-0037-04
Dynamic Sliding Mode Control Applied in Parallel Robot System
ZHU Cai-hong
(Department of Electronic Information Engineering, Suzhou Vocational University, Suzhou 215104, China)
Abstract: Directed against the parallel robot mechanism with AC servo-motor drive, a model of
第21卷 第1期 2010年3月
苏州市职业大学学报 Journal of Suzhou Vocational University
Vol.21,No.1 Mar. , 2010
动态滑模控制在并联机器人中的应用
朱彩红
(苏州市职业大学 电子信息工程系，江苏 苏州 215104）
摘 要： 针对一种以交流伺服电机驱动的并联机器人机构,建立控制模型,设计一种动态滑模控制 算法,并进行稳定性分析,在Matlab/Simulink上进行了轨迹跟踪仿真试验.结果表明:该算法鲁棒性
dg & u + gu & + (c n −1 + λ ) η + η x dx
df (n) & − (c n −1 + λ ) y d x − dx
(10)
& − ε sgn( σ ) & = (c n −1 + λ ) η + η σ
则根据假设 1~3 得
& − ε σ = σ [(c n −1 + λ ) η + η &] − ε σ < & = σ (c n −1 + λ ) η + σ η σσ & ] − [(c n −1 + λ ) Bn + Bn ] σ ＜o σ [(c n −1 + λ ) η + η
& = ∑ ci ei +1 + e &n + λ σ
i =1
n −1
∑c e
i =1
n −1
i i +1
+ en
(8)
则
& = ∑ ci ei + 2 + c n −1e &n + e &&n + λ σ
i =1
n−2
∑c e
i =1
n −1
i i +1
&n +e
(9)
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2010年第1期
朱彩红：动态滑模控制在并联机器人中的应用
将式 (1)、 (2) 代入式 (9) 整理得
& = ∑ ci ei + 2 + ∑ λci ei +1 + (c n −1 + λ ) f + σ
i =1 i =1
n−2
Fra Baidu bibliotekn −1
y
将控制律式 (7) 代入式 (10) 得
( n +1) d
+ c n −1 + λ ) g +
G( s) =
转换为状态方程,则有
θ (s) 0.012 5 = 3 I d ( s ) s + 18.29s 2 + 0.007
(14)
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苏州市职业大学学报
第21卷
&1 = x 2 x x & 2 = x3 & 3 = −0.007 x1 − 18.29 x3 + 0.012 5u + η x y = x1
controlling system was established. A kind of dynamic sliding mode control algorithm was designed. And the stability of this control algorithm was analyzed. A simulative experiment of trajectory tracking was made on the Matlab/Simulink. The simulation result was given to prove the validity of the variable structure controller, and a good performance in tracking, and the high-accuracy real time control of the parallel robot mechanism is implemented.
(11)
通过李亚普诺夫稳定性分析,得出新的动态切换函数 σ 满足,即满足滑模变结构控制理论的到达条 件,从而验证了系统的稳定性,也就保证了控制器的鲁棒性和动态品质.
2
并联机器人控制模型的建立
本文研究的少自由度并联机器人具有各支路机构简单,不存在虚约束及工作空间较大等特点 [10]. 机器人系统完整的拉格朗日动力学模型为:
收稿日期：2009-07-20；修回日期：2009-08-30 作者简介：朱彩红(1979－),女,江苏张家港人,讲师,硕士，主要从事并联机器人控制方面研究.
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苏州市职业大学学报
第21卷
模变结构控制方法比较适合并联机器人控制 [7-8],因此本文采用了一种新的机器人轨迹跟踪变结构控制 方法,即基于动态切换函数的动态滑模控制方法,亦即通过设计新的切换函数或将常规滑模变结构控制 中的切换函数 s 通过微分环节构成新的切换函数 σ ,该切换函数与系统控制输入的一阶或高阶导数有关, 可将不连续项转移到控制的一阶或高阶导数中去,得到在时间上本质连续的动态滑模控制律,可以有效 地降低抖振.
1
滑模控制器的设计
滑模变结构控制器的设计需要完成以下的工作: 切换函数 s ( x ) 的求取;保证滑动模态的存在;滑动
模态稳定性的确定;变结构控制趋近阶段的鲁棒性及动态品质的保证;变结构控制 ( x ) 的寻求. 考虑如下单入单出 n 阶仿射非线性系统: (1) 式中: x ∈ R 为可测状态变量; u , y ∈ R 分别为系统的输入和输出; f ( x ) , g ( x ) 为已知平滑函数; η 为系统中的 不确定项,它包括模型不确定性和外加扰动 [9]. 定义误差及切换函数分别为:
3
实例仿真及分析
机器人的交流伺服电动机参数为:Kpre=88,Ki=2.2,KA=6,Ktp=3.41 N·m/A,Lp=0.038 37 H,Rp=5.09 Ω,
Ja=0.19 kg·m2, 取减速装置的速比为 i =40 ,关节部分在减速装置驱动侧的转动惯量为 0 . 1 kg·m 2.由于机 构间的 耦 合作用,系统的等效转动惯量和等效负载阻力系数取 J 0=40 , B 0=0 .取 J m=0 , B m=0 . 由此可得交流伺服驱动机器人关节的模型传递函数为