山西省太原市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题Word版含答案
(9份试卷汇总)2019-2020学年山西省太原市数学高一(上)期末达标测试模拟试题
2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．函数()()sin0,2f x A x A πωϕϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到()f x 的图象，则只要将()cos2g x x =的图象（ ）A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度2．已知函数的值域为，且图像在同一周期内过两点，则的值分别为（ ）A. B.C.D.3．设[x]表示不超过x 的最大整数，如[-3.14]=-4，[3.14]=3．已知数列{n a }满足：1a 1=，n 1n a a n 1+=++（*n N ∈），则12320191111[]a a a a ++++L =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．已知扇形的圆心角为2弧度，其所对的弦长为2，则扇形的弧长等于( ) A ．2sin1B ．2cos1C ．1sin2D ．2sin25．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”，其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，则该人第五天走的路程为（ ） A ．6里B ．12里C ．24里D ．48里6．若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知向量()()2,1,,2a b x ==-r r ，若//a b r r ，则a b +=r r（ ）A ．()2,1--B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-8．定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,,k a a a L 中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，81335a a =，则n S 中最大的是( ).A ．10SB ．11SC ．20SD ．21S10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的圆的半径为2，则该几何体的体积为（ ）A.51296π-B.296C.51224π-D.51211．要得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数2y sin x ＝的图象（ ） A ．向左平移π6个单位 B ．向右平移π6个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向右平移π3个单位 12．若函数为偶函数，则a=（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足,33B a c b π∠=+=则ac=___ 14．已知()()2a 1x a,x 1a f x log x,x 1-+<⎧=≥⎨⎩是定义在(),∞∞-+上的减函数，则实数a 的取值范围是______．15．在数列{}n a 中，已知11a =，()11sin2n n n a a π++-=，记nS为数列{}n a 的前n 项和，则2019S =_________.16．已知在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别为边AB ，AD 的中点，若P 为线段MN 上的动点，则PC PD ⋅u u u v u u u v的最大值为___． 三、解答题 17．已知函数21()(2)()2f x x m x m =+-∈R (1)若关于x 的不等式()4f x <的解集为()2,4-,求m 的值;(2)若对任意[0,4],()20x f x ∈+…恒成立,求m 的取值范围. 18．已知sin(2)tan()cos()()cos()tan(3)f παπααπαπαπα-+--=--.（1）将()f α化为最简形式； （2）若31()()25f f παα-+=，且(0,)απ∈，求tan α的值. 19．选修4—5:不等式选讲已知(0)x y z ∈+∞，，，，3x y z ＝++．（1）求111x y z++的最小值（2）证明：2223x y z ＋＋≤． 20．某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数； （3）在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？21．如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，，点E 在棱PB 上.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）当且E 为PB 的中点时，求AE 与平面所成的角的大小.22．函数()f x 的定义域为R ，且对任意，有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x <，(Ⅰ)证明()f x 是奇函数； (Ⅱ)证明()f x 在R 上是减函数； (III)若,，求x 的取值范围.【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A A B B A C C C BC13．12或214．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭15．1010 16．3 三、解答题17．（1）1m =；（2）[0,)+∞ 18．（1）αα=()sin f （2）4tan 3α=- 19．（1）3； （2）证明略． 20．（1）；（2），；（3）．21．(1)见解析 (2)4π 22．(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析(III)2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．已知(0,3)A ,(1,0)B , O 为坐标原点，则ABO ∆的外接圆方程是（ ） A.2230x y x y +--= B.2230x y x y +++= C.2230x y x y +-+=D.2230x y x y ++-=2．函数y ＝2log 4(1－x)的图象大致是A. B. C. D.3．(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是( ) A ．－1B ．0C ．1D ．24．执行如图所示的程序框图，若输人的n 值为2019，则S ＝A ．1-B ．12-C ．12D ．15．在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l 上的一点向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，仍在该直线上，则直线l 的斜率为( ) A ．－2 B ．－12C ．12D ．2 6．如图，在中，，，，，，，则的值为A ．B ．C ．D ．7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为,BC CD 的中点，则异面直线AF 和1D E 所成角的大小为（ ）A.30oB.45oC.60oD.90o8．已知,a b R ∈，则“0ab >”是“2b aa b+>”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件9．函数2tan 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域为( ) A ．{x |x ≠12π} B ．{x |x ≠－12π} C ．{x |x ≠12π＋kπ，k ∈Z }D ．{x |x ≠12π＋12kπ，k ∈Z }10．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos23α=，则a b -= A.15B.5 C.25D.111．一观览车的主架示意图如图所示，其中O 为轮轴的中心，距地面32 m(即OM 长)，巨轮的半径长为30 m ，AM ＝BP ＝2m ，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈．若点M 为吊舱P 的初始位置，经过t 分钟，该吊舱P 距离地面的高度为h(t) m ，则h(t)等于( )A ．30sin ＋30B ．30sin ＋30C ．30sin＋32 D ．30sin12．函数值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，下列结论中：①函数()f x 关于8x π=-对称；②函数()f x 关于(,0)8π对称；③函数()f x 在3(,)88ππ是增函数，④将2cos22y x =的图象向右平移34π可得到()f x 的图象． 其中正确的结论序号为______ ．14．湖结冰时，一个球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm 的空穴，则该球的半径为 .15．在数列{}n a 中，已知11a =，()11sin2n n n a a π++-=，记nS为数列{}n a 的前n 项和，则2019S =_________.16．如图所示，已知点()1,1A ，单位圆上半部分上的点B 满足·0OAOB =u u u r u u u r ，则向量OB uuu r的坐标为________．三、解答题17．如图1所示，在等腰梯形ABCD ，BC AD ∥，CE AD ⊥，垂足为E ，33AD BC ==，1EC =．将DEC ∆沿EC 折起到1D EC ∆的位置，使平面1D EC ∆⊥平面ABCE ，如图2所示，点G 为棱1AD 的中点．（1）求证：BG ∥平面1D EC ； （2）求证：AB ⊥平面1D EB ； （3）求三棱锥1D GEC -的体积．18．已知圆M 的标准方程为22(2)1x y +-=，N 为圆M 上的动点，直线l 的方程为20x y -=，动点P 在直线l 上．（1）求PN 的最小值，并求此时点P 的坐标；（2）若P 点的坐标为1(,)2m ，过P 作直线与圆M 交于C ，D 两点，当3CD =时，求直线CD 的方程．19．已知()[]()14252,2x x f x x -=-+∈-(Ⅰ)求()f x 的值域；(Ⅱ)若()232f x m am >++对任意[]1,1a ∈-都成立，求m 的取值范围．20．在ABC ∆中，(1,2)A -，边AC 上的高BE 所在的直线方程为74460x y +-=，边AB 上中线CM 所在的直线方程为211540x y -+=.（1）求点C 坐标； （2）求直线BC 的方程.21．已知直线l ：(21)(1)74m x m y m +++=+，圆C ：22(1)(2)25x y -+-= （1）求证：直线l 与圆C 总相交；（2）求出相交的弦长的最小值及相应的m 值；22．为了参加奥运会，对自行车运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度的数据如表所示：请判断：谁参加这项重大比赛更合适，并阐述理由. 甲 27 38 30 37 35 31 乙332938342836一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C D B A D D B D B BB13．①②③ 14．13cm 15．101016．22⎛ ⎝⎭三、解答题17．（1）证明略；（2）证明略；（3）16. 18．（1）PN 451-，此时点42(,)55P ；（2）12x =或9056590x y +-=．19．(Ⅰ)[]4,5 (Ⅱ)2233m -<< 20．（1）()66C ，（2）2180x y +-=21．(1)略 (2) 相交的弦长的最小值为34m=-.22．乙参加更合适2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（） A ．若,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m n ⊥ B ．若//,//,//m n αβαβ，则//m n C ．若//,//m n αα，则//m n D ．若,//,//m m n n αβ⊥，则αβ⊥2．在圆22x y 2x 6y 0+--=内，过点()E 0,1的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．52B ．102C ．152D ．2023．已知函数2()2cos 3sin 2f x x x =-，在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，内角A 满足()1f A =-，若6a =，则ABC △的周长的取值范围为（ ）A.(6,36)B.(26,36]C.(6,36]D.(26,36)4．已知,a b 是两条异面直线，//c a ，那么c 与b 的位置关系（ ） A.一定是异面B.一定是相交C.不可能平行D.不可能垂直5．己知等差数列{}n a 的公差为-1，前n 项和为n S ，若357,,a a a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，则n S 的最大值为（ ） A ．25B ．40C ．50D ．456．已知tan α，tan β是方程2lg(32)0x x --=的两个实数根，则tan()αβ+=（ ） A ．2B ．15C ．16D ．127．下列函数为奇函数的是（ ） A ．y x =B ．|sin |y x =C ．cos y x =D ．xxy e e -=-8．若实数a 满足20a a +<,则2,,a a a -的大小关系是： A.2a a a -<<B.2a a a <-<C.2a a a <-<D.2a a a <<-9．已知向量a,b r r 满足||1=r a ，1⋅=-r ra b ，则(2)⋅-=r r r a a b A ．4B ．3C ．2D ．010．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积1(2=弦⨯矢+矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为23π，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )A.6平方米B.9平方米C.12平方米D.15平方米11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ．83cmB ．123cmC ．3233cm D ．4033cm 12．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ ） 分数 5 4 3 2 1 人数 20 10303010A ．3B ．2105C ．3D ．85二、填空题13．已知ABC ∆为等腰三角形，AB AC =，D 是AC 的中点，且4BD =，则ABC ∆面积的最大值为__________． 14．已知△中，，，（）的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是 ．15．用反证法证明“,a b N ∈，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，应假设_______.16．已知数列{}n a 的通项公式是2n a n =，若将数列{}n a 中的项从小到大按如下方式分组：第一组：(2,4)，第二组：(6,8,10,12)，第三组：(14,16,18,20,22,24)，…，则2018位于第________组.三、解答题17．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，1AA ⊥平面ABCD ，1AB =，12AA =，60BAD ∠=︒，点P 为1DD 的中点．（1）求证：直线1BD ∥平面PAC ； （2）求证：AC ⊥平面11BDD B ；（3）求直线CP 与平面11BDD B 所成的角的正切值．18．已知函数2()cos 3sin cos (0)fx x x x ωωωω=+>的图象的相邻两条对称轴的距离为32π. （Ⅰ）求ω的值并写出函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）设α是第一象限角，且323()2226f πα+=，求sin()4cos(42)παπα++的值.19．声音靠空气震动传播，靠耳膜震动被人感知.声音可以通过类似于图①和图②的波形曲线来描述，图①和图②是一位未成年女性和一位老年男性在说“我爱中国”四个字时的声波图，其中纵坐标表示音量（单位：50分贝），横坐标代表时间（单位：52.310-⨯秒）.声音的音调由其频率所决定，未成年女性的发声频率大约为老年男性发声频率的2倍.下面的图③和图④依次为上面图①和图②中相同读音处的截取的局部波形曲线，为了简便起见，在截取时局部音量和相位做了调整，使得二者音量相当，且横坐标从0开始.已知点()800,0位于图④中波形曲线上.③ ④ （Ⅰ）描述未成年女性声音的声波图是_____；（填写①或②）（Ⅱ）请你选择适当的函数模型()[],0,2000y f x x =∈来模仿图④中的波形曲线：()f x =___________________________（函数模型中的参数取值保留小数点后2位）.20．据市场调查发现，某种产品在投放市场的30天中，其销售价格（元）和时间（天）的关系如图所示．（1）求销售价格（元）和时间（天）的函数关系式； （2）若日销售量（件）与时间（天）的函数关系式是,问该产品投放市场第几天时，日销售额（元）最高，且最高为多少元？ 21．已知函数在区间上有最小值-2,求实数a 的值22．已知数列{}n a 中，11a =，前n 项的和为n S ，且满足数列是公差为1的等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且恒成立，求λ的最大值.【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B B C D C D D B B CB二、填空题 13．32314．15．,a b 中没有能被5整除的数 16．32 三、解答题17．（1）略；（2）略；（3）15518．（Ⅰ）13ω=，()f x 的单调递增区间为[3,3]2k k ππππ-+，k Z ∈（Ⅱ）1321419．(Ⅰ)② (Ⅱ)cos0.03x ，[]0,2000x ∈ 20．（Ⅰ）；（Ⅱ）在第10天时，日销售额最大，最大值为900元． 21．2-22．（1）（2）12019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．已知a r 与b r 的夹角为120o，3a =r ，13a b +=r r ，则b =r （ ）A.4B.3C.2D.1 2．已知函数的零点是和（均为锐角），则（ ）A.B. C.D.3．已知函数()f x ＝sinx 与()cos(2)()22g x x ππϕϕ=+-≤≤的图象的一个交点的横坐标为4π，则ϕ＝( ) A ．－2π B ．－4π C ．4π D ．2π 4．已知函数()y f x =在区间(－∞,0)内单调递增，且()()f x f x -=，若()1.2121log 3,2,2a f b f c f -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b c a >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．a b c >>5．空间直角坐标系O xyz -中，点(1,1,2)M -在,,xOy xOz yOz 平面上的射影分别为,,A B C ，则三棱锥M ABC -的外接球的表面积为( )A.4πB.5πC.6πD.7π6．若函数2|1|1()2ln 1x f x x x e+=+-+，则不等式(31)(2)f x f ->的解集为（ ） A ．(1,1)-B ．(4,2)-C ．(,1)(1,)-∞-+∞UD ．(,4)(2,)-∞-+∞U7．在ABC ∆中，5cos 2C =,BC=1,AC=5，则AB= A ．42B ．30C ．29D ．258．已知点()2,1A -，点(,)P x y 满足线性约束条件20,10,24,x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩O 为坐标原点，那么OA OP ⋅u u u r u u u r 的最小值是 A ．11B ．0C ．1-D ．5-9．函数sin()y A x ωϕ=+的部分图像如图所示，则A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(+)6y x π=D ．2sin(+)3y x π=10．设函数()f x x =-，()()2lg 41g x ax x =-+，对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使()()12f x g x =，则实数a 的取值范围为（）A ．(],4-∞B ．(]0,4C ．(]4,0-D ．[)4,+∞ 11．直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是（ ） A ．B ．C ．D ．12．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ．3(0,] B ．3(0,]4C ．3[,1) D ．3[,1)4二、填空题 13．如图，矩形中，，⊥平面，若在上只有一个点满足，则的值等于________.14．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点F 是线段1BC 上的动点，则直线1A F 与平面1BDC 所成的最大角的余弦值为________.15．《九章算术》是体现我国古代数学成就的杰出著作，其中(方田)章给出的计算弧田面积的经验公式为:弧田面积12=(弦⨯矢+矢2)，弧田(如图阴影部分)由圆弧及其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦的长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有弧长为43π米，半径等于2米的弧田，则弧所对的弦AB 的长是_____米，按照上述经验公式计算得到的弧田面积是___________平方米.16．已知等差数列{}n a，{}n b的前n项和分别为n S，n T，若13nnSnT n+=+，则241524a ab b b b+=++______.三、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD-中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形.（Ⅰ）证明：AC⊥平面PBD；（Ⅱ）E为楼PB上一点，若//PD平面ACE，60BAD PAD∠=∠=︒，2AB=，6PD=，求三棱锥P ADE-的体积.18．已知函数()()2221xxmf x m R--=∈+.（1）当3m=时，判断并证明函数()f x的奇偶性；（2）当1m>时，判断并证明函数()f x在R上的单调性.19．如图，在四棱锥P ABCD-中，四边形ABCD为平行四边形，090BAP CDP∠=∠=，E为PC中点,（1）求证：()2()22f x b x x≥-+平面EBD；（2）若PAD∆是正三角形，且PA AB=.(Ⅰ)当点M在线段PA上什么位置时，有DM⊥平面PAB？(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，点N在线段PB上什么位置时，有平面DMN⊥平面PBC？20．如图一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个半径为x的内接圆柱．()1试用x 表示圆柱的高h ；()2当x 为何值时，圆柱的全面积最大，最大全面积为多少⋅21．已知四边形ABCD 和正方形CDEF 所在的平面互相垂直，AD DC ⊥，//AB DC ，12AB AD DC ==.（1）证明：BC ⊥平面BDE ； （2）M 为线段AD 上的点，且12AM MD =，N 是线段DE 上一点，且12DN NE =，求证：//MN 平面BCE .22．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .已知26a =，，求n a 和n S .【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B B A C C A D A D AA13． 14．1315．2313216．34三、解答题17．（Ⅰ）证明略；（Ⅱ）2418．（1）略；（2）略.19．（1）详略；（2）(Ⅰ) 点M 在线段PA 中点时；(Ⅱ) 当14PN PB =时.20．（1）3(1),01h x x =-<<（2）max 39,44x S π== 21．（1）略；（2）略 22．或.2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A.若，，则B.若，则C.若，则D.若，则2．在正三棱锥P ABC -中，4,AB 3PA ==，则侧棱PA 与底面ABC 所成角的正弦值为（ ） A ．14B ．15 C ．18D ．63 3．已知函数2()2cos 3sin 2f x x x =-，在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，内角A 满足()1f A =-，若6a =，则ABC △的周长的取值范围为（ ）A.(6,36)B.(26,36]C.(6,36]D.(26,36)4．已知()()2331log 1a a x a x f x x x ⎧--+<=⎨≥⎩是R 上的单调递增函数，那么a 的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．51,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．5,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()1,+∞5．已知将函数()cos()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭向右平移12π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，且2(0)2f =，则当ω取最小值时，函数()f x 的解析式为（ ） A ．()cos 54f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()sin 94f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()cos 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．1()cos 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭6．要得到函数sin(3)4y x π=-的图像，只需要将函数sin3y x =的图像（ ）A ．向右平移4π个单位 B ．向左平移4π个单位 C ．向右平移12π个单位 D ．向左平移12π个单位7．已知5sin α=，sin()1010αβ-=-，,αβ均为锐角，则β=（ ） A ．512πB ．3π C ．4π D ．6π 8．张丘建算经卷上有“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同已知第一天织布6尺，30天共织布540尺，则该女子织布每天增加 A.尺B.尺C.尺D.尺9．数列{}n a 的通项公式为n aa n n=+，若数列{}n a 单调递增，则a 的取值范围为 A ．(,0]-∞B ．[0,)+∞C ．(,2)-∞D ．[1,)+∞10．已知集合(){}223A x y xy x Z y Z =+≤∈∈，，，，则A 中元素的个数为A ．9B ．8C ．5D ．411．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是 ( )． A ．①B ．②④C ．③D ．①③12．某学校为了调查高一年级的200名学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行抽查；第二种由教务处对该年级的学生进行编号，从001到200，抽取学号最后一位为2的同学进行调查，则这两种抽样的方法依次是（ ） A ．分层抽样，简单随机抽样 B ．简单随机抽样，分层抽样 C ．分层抽样，系统抽样 D ．简单随机抽样，系统抽样 二、填空题13．已知,a b r r 均为单位向量，且它们的夹角为120o，则|2|a b +=r r ______．14．已知点()()2,3,3,2P Q -，直线20ax y ++=与线段PQ 相交，则实数a 的取值范围是____； 15．调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：ˆy=0.245x+0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_______万元. 16．已知无穷等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，且13lim 1n n q q a →∞+-⎫⎪⎝⎭=⎛，则首项1a 的取值范围是________． 三、解答题17．如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面,ABCD E 是PC 的中点.（1）求证：BD ⊥平面PAC ； （2）若2,6AB PB ==求三棱锥B CDE -的体积.18．某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共14吨，如果在市场上直接销售，每吨可获利0.2万元；如果进行精加工后销售，每吨可获利0.6万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工P （万元）与精加工的蔬菜量x （吨）有如下关系：21,082038,81410x x P x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨+⎪<≤⎪⎩设该农业合作社将x （吨）蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润（扣除加工费）为y （万元）． （1）写出y 关于x 的函数表达式；（2）当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大，并求出最大利润．19．已知定义域为R 的函数()x x 13bf x 3a+--=+是奇函数，且a ，b R ∈．(Ⅰ)求a ，b 的值； (Ⅱ)设函数()()2g x 3f x 1=+，若将函数()g x 的图象作关于y 轴的对称图形后得到函数()k x 的图象，再将函数()k x 的图象向右平移一个单位得到函数()h x 的图象，求函数()h x 的解析式． 20．已知集合{|()(1)0}A x x a x a =--+=，{|(2)()0}B x x x b =--=(2)b ≠，{|1235}C x x =<-<.（1）若A B =，求b 的值；（2）若A C C =U ，求a 的取值范围.21．已知圆心为C 的圆过原点()0,0O ，且直线220x y -+=与圆C 相切于点()0,2P . （1）求圆C 的方程；（2）已知过点()0,1Q 的直线l 的斜率为k ，且直线l 与圆C 相交于,A B 两点. ①若2k =，求弦AB 的长；②若圆C 上存在点D ，使得CA CB CD +=u u u r u u u r u u u r成立，求直线l 的斜率k . 22．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足.（1）求值；（2）已知若()f x 的最小值为，求的最大值.【参考答案】*** 一、选择题1314．41,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 15．24516．[)()2,33,4U 三、解答题17．（1）证明略；（2）23. 18．（1）212140820551281410x x x y x x ⎧-++≤≤⎪⎪=⎨⎪+≤⎪⎩，，＜；（2）精加工4吨时，总利润最大为185万元.19．（Ⅰ）3,1a b ==-； （Ⅱ）()()x 1h x 31--=+.20．（1）1或3；（2）()3,421．（1）()()22215x y -+-=；（2）①5AB =，②11k =±. 22．（1）2（2）12019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．若圆22:4C x y +=上恰有3个点到直线:0(0)l x y b b -+=>的距离为1，1:420l x y -+=,则l 与1l 间的距离为（ ）A.1B.2C.2D.32．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为，那么用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值加可表示成（ ）A.B.C.D.3．若向量a r ，b r 满足a b =r r ，当a r ，b r 不共线时，a b +r r 与a b -r r 的关系是( )A ．相等B ．平行C ．垂直D ．相交但不垂直4．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上下底面半径之比为，若截去的圆锥的母线长为，则圆台的母线长为（ ）A ．B ．C ．D ．5．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭若在区间[1,5]-内函数()()log a g x f x x =-有三个零点，则实数a 的取值范围是( )A.1,22⎛⎫⎪⎝⎭B.（1,5）C.（2,3）D.（3,5）6．如图，网格纸上正方形小格边长为1，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积等于（ ）A ．366++B ．8226++C ．6226++D ．6236++7．若2log 3a =，4log 7b =，40.7c =，则实数,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c a b >>C ．b a c >>D ．c b a >>8．已知函数的图象关于直线对称，且，则的最小值为（ ） A.B.C.D.9．若直线y x b =+与曲线234y x x =-b 的取值范围是（ ）A.[122-，122+]B.[12-，3]C.[-1，122+]D.[122-，3];10．设,,x y z 为大于1的正数，且235log log log x y z ==，则12x ，13y ，15z 中最小的是（ ）A.12xB.13yC.15zD.三个数相等11．三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（ ）A.a c b <<B.b a c <<C.a b c <<D.b c a <<12．设在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为 （ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定二、填空题13．在平面直角坐标系xoy 中，角θ的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边过点(1,3)--，则cos 23πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______ 14．已知函数()()2402h x x x =-≤≤的图象与函数()2log f x x =及函数()2xg x =的图象分别交于()()1122,,,A x y B x y 两点，则2212x x +的值为__________．15．已知π,π2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，5sin α=，则tan2α=__________．16．过点(0,0)O 作直线与圆22(45)(8)169x y -+-=相交，则在弦长为整数的所有直线中，等可能的任取一条直线，则弦长长度不超过14的概率为______________. 三、解答题 17．已知函数且．当时，，求实数x 的取值范围． 若在上的最大值大于0，求a 的取值范围．18．已知函数是定义在上的奇函数．（1）求的值； （2）求函数的值域； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围．19．已知函数2()32f x x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n S （*n N ∈）均在函数()f x 的图像上.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设13nn n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n mT <对所有*n N ∈都成立的最小正整数m . 20．已知圆22:2430C x y x y ++-+=.(1)已知不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等，求直线l 的方程； (2)求经过原点且被圆C 截得的线段长为2的直线方程.21．已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意*n ∈N ，它的前n 项和n S 满足，并且2a ，4a ，成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求.22．（本小题满分12分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字，，，这三张卡片除标记的数字外完全相同。
山西省太原市2019-2020学年高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年山西省太原市高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．在等差数列{a n}中，a1＝1，d＝2，则a4＝（）A．5B．7C．8D．162．不等式x（x﹣1）＞0的解集是（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）3．已知向量＝（2，1），＝（﹣1，k），⊥，则实数k的值为（）A．2B．﹣2C．1D．﹣14．在△ABC中，A＝30°，b＝，c＝1，则a＝（）A．2B．C．D．15．已知a＜b，则下列结论正确的是（）A．a2＜b2B．＜1C．＞D．2a＜2b6．在等比数列{a n}中，若a1a3a5＝8，则a2a4＝（）A．2B．4C．±2D．±47．cos45°cos15°+sin15°sin45°的值为（）A．B．C．D．8．若||＝1，||＝2，且，的夹角为120°，则|+|的值（）A．1B．C．D．29．在数列{a n}中，a1＝0，a n+1＝（n∈N*），则a2020＝（）A．0B．C．﹣D．10．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则+的最小值是（）A．+1B．3+2C．﹣1D．3﹣211．若不等式ax2+2ax﹣1＜0对于一切实数x都恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣1，0）C．（﹣1，0]D．[0，+∞）12．已知等差数列{a n}满足a1＞0，a2019+a2020＞0，a2019•a2020＜0．其前n项和为S n，则使S n＞0成立时n最大值为（）A．2020B．2019C．4040D．4038二、填空题：本大题共4个小题，每个小题3分，共12分，把答案填在横线上．13．已知扇形的半径为1，圆心角为45°，则该扇形的弧长为．14．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°处；行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°处．这时船与灯塔的距离为km．15．已知a，b，c成等比数列，a，x，b成等差数列，b，y，c也成等差数列，则+的值为．16．已知数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣l（n∈N*），则该数列的前80项和为．三、解答题（共3小题，满分30分）17．已知等差数列{a n}中，a2＝3，a4＝7．等比数列{b n}满足b1＝a1，b4＝a14．（1）求数列{a n}通项公式a n；（2）求数列{b n}的前n项和S n．18．已知sinα＝，α∈（，π）．（1）求cosα，tanα；（2）求的值．19．已知△ABC中，A＝60°，a＝6，B＝45°．（1）求b；（2）求△ABC的面积．（请同学们在甲，乙两题中任选一题作答）20．已知向量＝（1，cos x），＝（1+sin x，1），x∈R，函数f（x）＝•﹣1，（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；（2）若f（x）≥1，求x的取值范围．选做题21．已知向量＝（1，cos2x），＝（1+sin2x，1），x∈R，函数f（x）＝•．（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；（2）若f（x）≤2，求x的取值范围．（请同学们在甲、乙两题中任选一题作答）22．已知数列{a n}满足a1＝3，（n+2）a n+1＝（n+3）a n+n2+5n+6（n∈N*）．（1）证明：{}为等差数列；（2）设b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．选做题23．已知数列{a n}满足a1＝5，a n+1＝2a n+2n+1﹣1（n∈N*），b n＝（n∈N*）．（1）是否存在实数λ，使得{b n}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．（2）利用（1）的结论，求数列{a n}的前n项和S n．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置.1．在等差数列{a n}中，a1＝1，d＝2，则a4＝（）A．5B．7C．8D．16【分析】由已知直接利用等差数列的通项公式求解．解：在等差数列{a n}中，由a1＝1，d＝2，得a4＝a1+3d＝1+3×2＝7．故选：B．2．不等式x（x﹣1）＞0的解集是（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）【分析】可以先求出方程x（x﹣1）＝0的根，根据一元二次不等式的解法，进行求解；解：x（x﹣1）＝0，可得x＝1或0，不等式x（x﹣1）＞0，解得{x|x＞1或x＜0}，故选：D．3．已知向量＝（2，1），＝（﹣1，k），⊥，则实数k的值为（）A．2B．﹣2C．1D．﹣1【分析】根据条件便有，进行向量数量积的坐标运算便可得出k的值．解：∵；∴；∴k＝2．故选：A．4．在△ABC中，A＝30°，b＝，c＝1，则a＝（）A．2B．C．D．1【分析】利用余弦定理即可求出a的值．解：因为A＝30°，b＝，c＝1，∴a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝＝1，故a＝1．故选：D．5．已知a＜b，则下列结论正确的是（）A．a2＜b2B．＜1C．＞D．2a＜2b【分析】通过举例利用排除法可得ABC不正确，即可得出结论．解：由a＜b，取a＝﹣2，b＝﹣1，可知A，B不正确；取a＝﹣1，b＝1，可得C不正确．故选：D．6．在等比数列{a n}中，若a1a3a5＝8，则a2a4＝（）A．2B．4C．±2D．±4【分析】根据等比数列的性质知：a1a3a5＝（a2q）3＝8，a2q＝a3＝2，a2a4＝a32＝4．解：设等比数列{a n}的公比为q，则a1a3a5＝•a2q•a2q3＝（a2q）3＝8，则a2q＝a3＝2．又a2a4＝•a3q＝a32＝22＝4．故选：B．7．cos45°cos15°+sin15°sin45°的值为（）A．B．C．D．【分析】直接利用两角差的余弦公式，求得所给式子的值．解：cos45°cos15°+sin15°sin45°＝（cos45°﹣15°）＝cos30°＝，故选：B．8．若||＝1，||＝2，且，的夹角为120°，则|+|的值（）A．1B．C．D．2【分析】根据向量的平方等于模的平方，利用数量积定义和数量积的性质即可得出．解：∵||＝1，||＝2，且，的夹角为120°，∴＝1，＝4，•＝﹣1，∴|+|2＝（+）2＝+﹣2•＝1+4﹣2＝3，故|+|＝，故选：B．9．在数列{a n}中，a1＝0，a n+1＝（n∈N*），则a2020＝（）A．0B．C．﹣D．【分析】利用数列{a n}的通项公式求出数列{a n}的前4项，得到{a n}是周期为3的周期数列，从而a2020＝a1，由此能求出结果．解：在数列{a n}中，a1＝0，a n+1＝（n∈N*），∴＝，＝﹣，＝0，∴{a n}是周期为3的周期数列，∵2020＝673×3+1，∴a2020＝a1＝0．故选：A．10．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则+的最小值是（）A．+1B．3+2C．﹣1D．3﹣2【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解：因为x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则+＝（+）（x+2y）＝3+，当且仅当且x+2y＝1即y＝＝，x＝时取等号，故选：B．11．若不等式ax2+2ax﹣1＜0对于一切实数x都恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣1，0）C．（﹣1，0]D．[0，+∞）【分析】由已知对a进行分类讨论，然后结合二次不等式的性质可求．解：当a＝0时，﹣1＜0恒成立，当a≠0时，可得，解可得，﹣1＜a＜0，综上可得，﹣1＜a≤0，故选：C．12．已知等差数列{a n}满足a1＞0，a2019+a2020＞0，a2019•a2020＜0．其前n项和为S n，则使S n＞0成立时n最大值为（）A．2020B．2019C．4040D．4038【分析】差数列{a n}的首项a1＞0，a2019+a2020＞0，a2019•a2020＜0，可得a2019＞0，a2020＜0．再利用求和公式及其性质即可得出．．解：∵等差数列{a n}的首项a1＞0，a2019+a2020＞0，a2019•a2020＜0，∴a2019＞0，a2020＜0．于是S4038＝＝＞0，S4039＝＝4039•a2020＜0．∴使S n＞0成立的最大正整数n是4038．故选：D．二、填空题：本大题共4个小题，每个小题3分，共12分，把答案填在横线上．13．已知扇形的半径为1，圆心角为45°，则该扇形的弧长为．【分析】根据弧长公式进行计算即可．解：由题意得，扇形的半径为8cm，圆心角为45°，故此扇形的弧长为：＝．故答案为：．14．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°处；行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°处．这时船与灯塔的距离为30 km．【分析】根据题意画出相应的图形，求出∠B与∠BAC的度数，再由AC的长，利用正弦定理即可求出BC的长．解：根据题意画出图形，如图所示，可得出∠B＝75°﹣30°＝45°，在△ABC中，根据正弦定理得：＝，即＝，∴BC＝30km，则这时船与灯塔的距离为30km．故答案为：3015．已知a，b，c成等比数列，a，x，b成等差数列，b，y，c也成等差数列，则+的值为2．【分析】由题意可得b2＝ac，2x＝a+b，2y＝b+c，代入要求的式子+，化简求得结果．解：∵已知a，b，c成等比数列，a，x，b成等差数列，b，y，c也成等差数列，可得b2＝ac，2x＝a+b，2y＝b+c，∴+＝+＝＝＝2，故答案为2．16．已知数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣l（n∈N*），则该数列的前80项和为3240．【分析】由数列递推式判断数列的特征，4项一组，求和后得到一个等差数列，然后求和即可．解：设a1＝a，由a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣l，得a2＝a+1，a3＝2﹣a，a4＝7﹣a，a5＝a，a6＝a+9，a7＝2﹣a，a8＝15﹣a，a9＝a，a10＝a+17，a11＝2﹣a，a12＝23﹣a．可知：a1+a2+a3+a4＝10，a5+a6+a7+a8＝26，a9+a10+a11+a12＝42，…10，26，42，…是等差数列，公差为16，∴数列{a n}的前80项和为：20×10+×16＝3240．故答案为：3240．三、解答题（共3小题，满分30分）17．已知等差数列{a n}中，a2＝3，a4＝7．等比数列{b n}满足b1＝a1，b4＝a14．（1）求数列{a n}通项公式a n；（2）求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）设等比数列{b n}的公比为q，运用等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到所求和．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a2＝3，a4＝7，可得a1+d＝3，a1+3d＝7，解得a1＝1，d＝2，则a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*；（2）设等比数列{b n}的公比为q，由b1＝a1＝1，b4＝a14＝q3＝27，解得q＝3，数列{b n}的前n项和S n＝＝（3n﹣1）．18．已知sinα＝，α∈（，π）．（1）求cosα，tanα；（2）求的值．【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得结果．（2）由题意利用诱导公式，求得结果．解：（1）∴已知sinα＝，α∈（，π），∴cosα＝﹣＝﹣，∴tanα＝＝﹣．（2）＝＝﹣cos2α＝﹣．19．已知△ABC中，A＝60°，a＝6，B＝45°．（1）求b；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）由已知利用正弦定理可得b的值．（2）由已知利用两角和的正弦函数公式可求sin C的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．解：（1）∵△ABC中，A＝60°，a＝6，B＝45°．∴由正弦定理，可得b＝＝＝2．（2）∵A+B+C＝180°，A＝60°，B＝45°．∴sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝+＝，∴S△ABC＝ab sin C＝×＝9+3．（请同学们在甲，乙两题中任选一题作答）20．已知向量＝（1，cos x），＝（1+sin x，1），x∈R，函数f（x）＝•﹣1，（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；（2）若f（x）≥1，求x的取值范围．【分析】（1）写出f（x）解析式，根据正弦函数的周期及对称中心可得答案；（2）条件等价于sin（x+）≥，解之即可解：由题可得f（x）＝＝1+sin x+cos x﹣1＝sin（x+），（1）由f（x）解析式可得其最小正周期T＝2π，令x+＝kπ，则x＝kπ﹣，k∈Z，即f（x）的对称中心为（kπ﹣，0），k∈Z；（2）由f（x）≥1得sin（x+）≥，解得2kπ+≤x+≤2kπ+π，k∈Z，则2kπ≤x≤2kπ+，k∈Z，所以x的取值范围为[2kπ，2kπ+]（k∈Z）．选做题21．已知向量＝（1，cos2x），＝（1+sin2x，1），x∈R，函数f（x）＝•．（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；（2）若f（x）≤2，求x的取值范围．【分析】（1）根据平面向量数量积的运算得到f（x）解析式，结合正弦函数性质即可得到答案；（2）由f（x）≤2得到sin（2x+）≤，解之即可解：由题得f（x）＝＝1+sin2x+cos2x＝1+sin（2x+）（1）则函数f（x）的最小正周期为T＝＝π，令2x+＝kπ，解得x＝（k∈Z），即函数的对称中心为（，1）（k∈Z）；（2）当f（x）≤2时，即1+sin（2x+）≤2，所以sin（2x+）≤，则﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤kπ（k∈Z），即x的取值范围是[﹣+kπ，kπ]（k∈Z）（请同学们在甲、乙两题中任选一题作答）22．已知数列{a n}满足a1＝3，（n+2）a n+1＝（n+3）a n+n2+5n+6（n∈N*）．（1）证明：{}为等差数列；（2）设b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）直接利用定义的应用求出结果．（2）利用（1）的应用求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．【解答】证明：（1）数列{a n}满足a1＝3，（n+2）a n+1＝（n+3）a n+n2+5n+6（n∈N*）．整理得：（常数），所以数列{}是以为首项，1为公差的等差数列．解：（2）由（1）得：，解得：a n＝n（n+2）．所以．所以：＝＝选做题23．已知数列{a n}满足a1＝5，a n+1＝2a n+2n+1﹣1（n∈N*），b n＝（n∈N*）．（1）是否存在实数λ，使得{b n}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．（2）利用（1）的结论，求数列{a n}的前n项和S n．【分析】（1）由a n+1＝2a n+2n+1﹣1，得，然后利用累加法求得数列{a n}的通项公式，再由等差数列的定义求使{b n}为等差数列的λ值；（2）由（1）知，，令{（n+1）•2n}的前n项和为T n，利用错位相减法求得T n，进一步求得数列{a n}的前n项和S n．解：由a n+1＝2a n+2n+1﹣1，得，∴，得，，，…（n≥2）．累加得：＝＝．∴（n≥2）．a1＝5适合上式，∴．则b n＝＝．＝．若{b n}为等差数列，则λ﹣1＝0，即λ＝1．故存在实数λ＝1，使得{b n}为等差数列；（2）由（1）知，．令{（n+1）•2n}的前n项和为T n，则，．∴＝，得．∴数列{a n}的前n项和S n＝n•2n+1+n．。
山西省太原市2019-2020学年普通高中学生学业水平测试数学试题-附答案精品
见微知著，闻弦歌而知雅意
2019-2020年备考
2019年山西省太原市普通高中生学业水平考试
数学试题
注意事项：
1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．把复数z 的共轭复数记为z －，i 为虚数单位，若z ＝1＋i ，则(1＋z )·z －＝( )
A ．3－i
B ．3＋1
C ．1＋3i
D ．3
解析：(1＋z )·z －
＝(2＋i)(1－i)＝3－i.
答案：A
2．设U ＝R ，M ＝{x |x 2－2x ＞0}，则∁U M ＝( )
A ．[0，2]
B ．(0，2)
C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)
D ．(－∞，0]∪[2，＋∞) 解析：因为M ＝{x |x 2－2x ＞0}＝{x |x ＞2或x ＜0}，
所以∁U M ＝{x |0≤x ≤2}．。
山西省2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
山西省2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|−1<x <2}，B ={x|1≤x ≤3}，则A ∩B =( )A. (−1,2)B. [1,2)C. [1,3]D. (−1,3]2. 中国传统文化是中化民族智慧的结晶，是中化民族的历史遗产在现实生活中的展现.为弘扬中华民族传统文化，某校学生会为了解本校高一1000名学生的课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查．将数据分组整理后，列表如下：以下四个结论中正确的是( )A. 表中m 的数值为10B. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为180人C. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人D. 若采用系统抽样方法进行调查，从该校高一1000名学生中抽取容量为50的样本，则分段间隔为253. 设函数f (x )={f(2−x),x >2,2−x ,x ≤0,，则f (log 213)+f (3)=( ) A. −1B. 5C. 6D. 114. 既是奇函数又在(0,+∞)上为增函数的是( )A. y =x 2B. g(x)=x−1xC. y =x +1xD. y =x −1x5. 在长为3的线段AB 上任取一点P ，P 到端点A ，B 的距离都大于1的概率为A. 18B. 12C. 14D. 136. 已知a =2,b =log 132,c =log 1215，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a7. 函数f(x)=2x +√x −1的值域是( )A. (−∞,2]B. [2,+∞)C. [0,+∞)D. [0,2]8. 函数f(x)=2+ln|x|x 2的图象大致为( )A. B.C. D.9.中国古代数学著作《算法统综》中有如下问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.某数学爱好者将此问题改编为如下数学问题：有一个人骑行旅游，第一天精神十足，骑行了192里，从第二天起因脚痛每天骑行的路程为前一天的一半，欲使骑行的总路程不低于360里，那么此人至少需要骑行多少天♁若将该问题用以下的程序框图来解决，则输出n的值是()A. 4B. 5C. 6D. 710.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄的分布饼状图、90后从事互联网行业者的岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是(注：90后指1990年及以后出生，80后指1980−1989年之间出生，80前指1979年及以前出生)A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上B. 90后互联网行业者中从事技术岗位的人数超过90后总人数的20%C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多11. 已知函数f(x)=sinx +x ，则不等式f(x −2)+f(x 2−4)<0的解集为( )A. (−1,6)B. (−6,1)C. (−2,3)D. (−3,2)12. 已知函数f(x)={|2x −1|,x <23x−1,x ≥2，若方程f(x)−a =0有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围为( )A. (1,3)B. [1,3)C. (0,1)D. (0,3)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f(x)=lg(1−x)+√x+2的定义域为______ ． 14. log 216−log 24= ________．15. 101111011(2)= ______ (10)；137(10)= ______ (6)． 16. 若f(x)=(x+2)(x+m)x为奇函数，则实数m =____________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知f(x)是一次函数，且f(0)=3，f(1)=4，(1)求函数f(x)的解析式；(2)若g(x)=2f(x)，且g(m +1)<g(7)，求m 的取值范围．18. 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得．1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1000张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求 (1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．19. 某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得表数据．(1)请根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂；(2)判断该高三学生的记忆力x 和判断力是正相关还是负相关：并预测判断力为4的同学的记忆力．(参考公式：b ̂=∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2)20.某企业拟投资A、B两个项目，预计投资A项目m万元可获得利润P=−180(m−20)2+105万元；投资B项目n万元可获得利润Q=−7980(40−n)2+592(40−n)万元．若该企业用40万元来投资这两个项目，则分别投资多少万元能获得最大利润？最大利润是多少？21.一企业从某条生产线上随机抽取100件产品，测量这些产品的某项技术指标值x，得到如下的频率分布表：(Ⅰ)作出样本的频率分布直方图，并估计该技术指标值x的平均数和众数；(Ⅱ)若x<13或x≥21，则该产品不合格．现从不合格的产品中随机抽取2件，求抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有一件的概率．22.已知函数y=f(x)是定义在R上的减函数，若f(x−1)>f(1−3x)，求x的取值范围。
2019-2020学年山西省太原市高一(下)期末数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年山西省太原市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.在等差数列{a n}中，a2015=a2013+6，则公差d等于()A. 2B. 3C. 4D. 62.不等式(x+2)(x−1)>4的解集为()A. (−∞,−2)∪(3,+∞)B. (−∞,−3)∪(2,+∞)C. (−2,3)D. (−3,2)3.已知向量a⃗=(2,−1)，向量b⃗ =(m,7)，向量c⃗=(3,0)，若(2a⃗+c⃗ )⊥b⃗ ，则实数m的值为()A. 2B. −2C. 492D. −4924.已知△ABC中，a=c=√6−√2，且A=15°，则b等于()A. 2B. √6−√2C. 4−2√3D. 4+2√35.已知a，b∈R，下列结论成立的是()A. 若a<b，则ac<bcB. 若a<b，c<d，则ac<bdC. 若a<b<0，则1a >1bD. 若a<b，则a n<b n(n∈N∗,n≥2)6.等比数列{a n}中，a2a4=16，则a1a5=()A. 4B. 16C. −4D. −167.已知角α的终边经过点P(sin47°,cos47°)，则sin(α−13°)=()A. 12B. √32C. −12D. −√328.若|m⃗⃗⃗ |=2，m⃗⃗⃗ ·n⃗=8，m⃗⃗⃗ ，n⃗的夹角为60°，则|n⃗|的值为()A. 5B. 6C. 7D. 89.数列{a n}满足a n+1+a n=2n−3，则a8−a4=()A. 7B. 6C. 5D. 410.已知正数a，b满足a+b=3，则1a +4b+1的最小值为()A. 94B. 3415C. 73D. 9211.若不等式4x2−log a x<0对任意x∈(0,14)恒成立，则实数a的取值范围为()A. [1256,1) B. (1256,1) C. (0,1256) D. (0,1256]12.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若−a2013<a1<−a2014，则必定有()A. S2013>0，且S2014<0B. S2013<0，且S2014>0C. a2013>0，且a2014<0D. a2013<0，且a2014>0二、填空题（本大题共4小题，共12.0分） 13. 弧长为3π，圆心角为135∘的扇形半径为__________．14. 在△ABC 中，A =60°，B =75°，a =10，则c 等于______．15. 已知6，a ，b ，48成等差数列6，c ，d ，48成等比数列，则a +b +c +d 的值为______ ． 16. 数列{a n }满足a n+2=a n+1−a n ，且a 1+a 2+a 3=3，设S n 为{a n }的前n 项和，则S 2019=______． 三、解答题（本大题共7小题，共76.0分）17. 已知等差数列{a n }满足：a 1=1，且a 2+1，a 5−1，a 8+1成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若等差数列{a n }的公差大于0，求数列{(−1)n a n }的前101项和S 101．18. (1)已知tanα=−2，计算：3sinα+2cosα5cosα−sinα(2)已知sinα=2√55，求tan(α+π)+sin(5π2+α)cos(5π2−α)的值．19. 在△ABC 中，a =6，B =30°，C =120°，求△ABC 的面积．20. 已知向量m ⃗⃗⃗ =(cosx,−sinx)，n ⃗ =(cosx,sinx −2√3cosx)，x ∈R ，设f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ (1)求函数f(x)的最小正周期；(2)x ∈[π4,π2]，求函数f(x)的值域．21. 设向量α⃗ =(√3sin2x,cosx +sinx)，β⃗ =(1,cosx −sinx)，其中x ∈R ，函数f(x)=α⃗ ⋅β⃗ ． (1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(θ)=1，其中0<θ<π2，求cos(θ−π6)的值．22. 数列{a n }满足a 1=1，12an+1=12a n+1(n ∈N ∗).(Ⅰ)求证：{1a n}是等差数列；(Ⅱ)若b n =a n ⋅a n+1，求{b n }的前n 项和S n ．23. 数列{a n }满足a 1=2，a n+1=2n+1a n(n+12)an+2n(n ∈N ∗)(1)设b n =2na n，求数列{b n }的通项公式；(2)设c n =1n(n+1)a n+1，数列{c n }的前n 项和为S n ，不等式14m 2−14m >S n 对一切n ∈N ∗成立，求m 得范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查等差数列的通项公式，属于基础题．求得公差．在等差数列中，直接利用d=a n−a mn−m【解答】解：在等差数列{a n}中，由a2015=a2013+6，得2d=a2015−a2013=6，解得d=3．故选：B．2.答案：B解析：【分析】本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．根据题意解不等式即可．【解答】解：原不等式可化为x2+x−6>0，即(x+3)(x−2)>0，所以x>2或x<−3，即原不等式的解集为(−∞,−3)∪(2,+∞).故选B．3.答案：A解析：【分析】本题考查平面向量坐标运算法则、向量垂直的性质，是基础题．利用平面向量坐标运算法则求出2a⃗+c⃗=(7,−2)，再利用向量垂直的性质即可求出m的值．【解答】解：∵a⃗=(2,−1)，b⃗ =(m,7)，c⃗=(3,0)，∴2a⃗+c⃗=(7,−2)，∵(2a⃗+c⃗ )⊥b⃗ ，∴(2a⃗+c⃗ )⋅b⃗ =7m−14=0，解得m=2．故选A．4.答案：A解析：解：∵△ABC中，a=c=√6−√2，且A=15°，即cosA=cos15°=cos(45°−30°)=√22×√32+√2 2×12=√6+√24，∴由余弦定理得：a2=b2+c2−2bccosA，即8−4√3=b2+8−4√3−2(√6−√2)b⋅√6+√24，解得：b=2或b=0(舍去)，则b等于2，故选：A．利用两角和与差的余弦函数公式求出cos A的值，利用余弦定理列出关系式，把a，c，cos A的值代入求出b的值即可．此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5.答案：C解析：解：对于A，当c≤0时，不成立，对于B，当a=−2，b=1，c=−3，d=2，时，则不成立，对于C.根据不等式的性质，a<b<0，两边同时除以ab，即可得到1a >1b，即则成立，对于D，当a=−2，b=1，n=2时，则不成立，故选：C．对于A，B，D举反例即可判断，对于C，根据不等式的性质可判断．本题考查了基本的不等式的性质，排除法是常用的方法，属于基础题．6.答案：B解析：解：根据等比数列的性质得，a2a4=a1a5=16，故选：B．本题考查等比数列的性质，属基础题．7.答案：A解析：【分析】本题主要考查三角函数的化简和求解，利用三角函数的定义结合两角和差的正弦公式是解决本题的关键．根据三角函数的定义求出sinα和cosα，结合两角和差的正弦公式和余弦公式进行化简即可．【解答】解：∵r=|OP|=√sin247°+cos247°=1，∴sinα=cos47°1=cos47°，cosα=sin47°1=sin47°，则sin(α−13°)=sinαcos13°−cosαsin13°=cos47°cos13°−sin47°sin13°=cos(47°+13°)=cos60°=12，故选：A．8.答案：D解析：【分析】本题考查向量数量积的运算，属于基础题.代入向量的数量积公式求解即可．【解答】解：因为，所以．故选D．9.答案：D解析：【分析】本题考查了学生的化简运算能力及整体思想的应用．由a n+1+a n=2n−3得到a n+2−a n=2，从而求出答案，属基础题．【解答】解：依题意得(a n+2+a n+1)−(a n+1+a n)=[2(n+1)−3]−(2n−3)，即a n+2−a n =2，所以a 8−a 4=(a 8−a 6)+(a 6−a 4)=2+2=4． 故选D ．10.答案：A解析： 【分析】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 正数a ，b 满足a +b =3，则a +b +1=4.利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：正数a ，b 满足a +b =3，则a +b +1=4． 则1a +4b+1=14[a +(b +1)](1a +4b+1)=14(1+b +1a +4a b +1+4) =14(5+b +1a +4a b +1) ≥14(5+2√b +1a ·4a b +1) =14(5+4)=94，当且仅当b+1a=4a b+1即a =43，b =53时原式有最小值．故选：A ．11.答案：A解析：解：∵不等式4x 2−log a x <0对任意x ∈(0,14)恒成立，∴x ∈(0,14)时，函数y =4x 2的图象在函数y =log a x 的图象的下方，∴0<a <1．再根据它们的单调性可得4×(14)2≤log a 14，即log a a 14≤log a 14，∴a 14≥14，∴a ≥1256．综上可得，1256≤a <1， 故选：A ．由题意可得，x ∈(0,14)时，函数y =4x 2的图象在函数y =log a x 的图象的下方，可得0<a <1.再根据它们的单调性可得4×(14)2≤log a 14，解此对数不等式求得a 的范围． 本题主要考查对数不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．12.答案：A解析：解：∵−a 2013<a 1<−a 2014， ∴a 2013+a 1>0，a 1+a 2014<0， ∴S 2013=2013(a 1+a 2013)2>0，S 2014=2014(a 1+a 2014)2<0，故选：A ．根据等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式即可得到结论．本题主要考查等差数列的性质的应用，要求熟练掌握等差数列的前n 项和公式以及等差数列的性质．13.答案：4解析： 【分析】本题考查角度制弧度制互化和弧长公式，属于基础题． 根据弧长公式即可求得半径． 【解答】解：因为弧长为3π，圆心角为135°=3π4，所以扇形的半径为：3π3π4=4．故答案为4．14.答案：10√63解析：解：∵在△ABC 中，A =60°，B =75°，即C =45°，a =10， ∴由正弦定理asinA =csinC 得：c =asinC sinA=10×√22√32=10√63．故答案为：10√63由A 与B 的度数求出C 的度数，再由sin A ，sin C 以及a 的值，利用正弦定理求出c 的值即可． 此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．15.答案：90解析：【分析】本题考查了等差数列的性质、等比数列的通项公式和等比数列的性质，先由等差数列的性质得a+b=6+48，再由等比可得(dc )3=486，cd=6×48，得出c和d的值，即可得出结果．【解答】解：由题知a+b=6+48=54，(dc )3=486，cd=6×48，所以c=12，d=24，所以a+b+c+d=54+12+24=90．故答案为90．16.答案：3解析：【解答】解：根据题意，{a n}满足a n+2=a n+1−a n，变形可得a n+2−a n+1=−a n，又由a n+3=a n+2−a n+1，则有a n+3=−a n，则有a n+6=a n，则数列{a n}的周期为6，又由a1+a2+a3=3，则a4+a5+a6=−(a1+a2+a3)=−3，则有a1+a2+a3+a4+a5+a6=0，则S2019=(a1+a2+a3+a4+a5+a6)+(a7+a8+a9+a10+a11+a12)+⋯+(a2011+a2012+ a2013+a2014+a2015+a2016)+(a2017+a2018+a2019)=(a1+a2+a3)=3；故答案为：3．【分析】根据题意，将a n+2=a n+1−a n变形可得a n+2−a n+1=−a n，又由a n+3=a n+2−a n+1，分析可得a n+3=−a n，则有a n+6=a n，分析可得数列{a n}的周期为6；又由a1+a2+a3=3，则a4+a5+a6=−(a1+a2+a3)=−3，进而可得a1+a2+a3+a4+a5+a6=0，则S2019=(a1+a2+a3+a4+ a5+a6)+(a7+a8+a9+a10+a11+a12)+⋯+(a2011+a2012+a2013+a2014+a2015+a2016)+(a2017+a2018+a2019)=(a1+a2+a3)，分析可得答案．本题考查数列的递推公式，关键是分析数列{a n}的周期，属于基础题．17.答案：解：(1)公差为d的等差数列{a n}满足：a1=1，且a2+1，a5−1，a8+1成等比数列，可得(a5−1)2=(a2+1)(a8+1)，即为(4d)2=(2+d)(2+7d)，解得d =2或d =−29，即有a n =1+2(n −1)=2n −1 或a n =1−29(n −1)=11−2n 9；(2)等差数列{a n }的公差大于0，可得d =2， (−1)n a n =(−1)n (2n −1)，可得前101项和S 101=−1+3−5+7−9+11−13+，+199−201 =2+2+⋯+2−201=2×50−201=−101．解析：(1)公差设为d ，由等差数列的通项公式和等比数列中项性质，可得d 的方程，解方程可得d ，进而得到通项公式；(2)由题意可得a n =2n −1，(−1)n a n =(−1)n (2n −1)，运用并项求和，计算可得所求和． 本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项性质的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．18.答案：解：(1)∵tanα=−2，∴3sinα+2cosα5cosα−sinα=3tanα+25−tanα=3(−2)+25−(−2)=−47．(2)∵知sinα=2√55，∴α为第一象限角或第二象限角， 当α为第一象限角时，cosα=√1−sin 2α=√55，tan(α+π)+sin(5π2+α)cos(5π2−α)=tanα+cosαsinα=sinαcosα+cosαsinα=1sinαcosα=52． 当α为第二象限角时，cosα=−√1−sin 2α=−√55，tan(α+π)+sin(5π2+α)cos(5π2−α)=tanα+cosαsinα=sinαcosα+cosαsinα=1sinαcosα=−52．解析：(1)利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．(2)由题意可得α为第一象限角或第二象限角，再利用同角三角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．19.答案：解：∵a =6，B =30°，C =120°，∴在△ABC 中，由内角和定理知A =30°， ∴三角形ABC 为等腰三角形且a =b =6， ∴面积S =12absinC =9√3．解析：由已知利用三角形内角和定理可求A ，进而可求b ，利用三角形面积公式即可计算得解． 本题主要考查了三角形内角和定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．20.答案：解：(1)由已知f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=cos2x−sin2x+2√3sinxcosx=cos2x+√3sin2x=2sin(2x+π6)，所以(1)函数的周期为2π2=π；(2)因为x∈[π4,π2]，所以2x+π6∈[2π3,7π6]，所以函数sin(2x+π6)∈[−12,√32]，函数f(x)的值域为：[−1,√3].解析：(1)首先求出解析式，然后利用三角函数的公式化简为一个角的一个三角函数的形式，再利用正弦函数的性质求周期和值域．本题考查了平面向量的数量积的坐标运算以及三角函数式的化简，正弦函数的周期和值域；关键是正确化简三角函数为最简形式．21.答案：解：(1)由题意得：f(x)=√3sin2x+(cosx+sinx)⋅(cosx−sinx)，=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，故f(x)的最小正周期T=2π2=π(2)由(1)可知，f(θ)=2sin(2θ+π6)若f(θ)=1，则sin(2θ+π6)=12又因为0<θ<π2，所以π6<2θ+π6<7π6，则2θ+π6=5π6，故θ=π3当θ=π3时，cos(θ−π6)=cos(π3−π6)=√32，∴cos(θ−π6)的值√32．解析：(1)根据向量的坐标运算，二倍角公式及辅助角公式，求得f(x)=2sin(2x+π6)，由T=2πω，即可求得f(x)的最小正周期；(2)由f(θ)=1，及0<θ<π2，即可求得θ，代入即可求得答案．本题考查三角恒等变换，正弦函数的性质，特殊角的三角函数值，考查转化思想，属于中档题．22.答案：解：(I)由12a n+1=12a n+1可得：1a n+1=1a n+2，∴数列{1a n }是等差数列，首项1a1=1，公差d=2．∴1a n =1a1+(n−1)d=2n−1．∴a n=12n−1．(II)∵b n=a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，∴S n =a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n a n+1 =12(11−13+13−15+⋯+12n −1−12n +1) =12(1−12n+1)=n2n+1．解析：本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． (I)由12an+1=12a n+1可得：1an+1=1a n+2，利用等差数列的定义即可得证；(II)b n =a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，利用“裂项求和”即可得出．23.答案：解：(1)∵a n+1=2n+1a n(n+12)a n +2n ，∴a n+12n+1=a n(n+12)a n +2n，取倒数得2n+1a n+1=(n+12)a n +2na n =2na n+n +12，即b n+1−b n =n +12， 则b 2−b 1=1+12， b 3−b 2=2+12， …b n −b n−1=(n −1)+12， 累加得b n =n 2+12． (2)c n =(n+1)2+1n(n+1)2n+2=n 2+2(n+1)n(n+1)2n+2=n (n+1)2n+2+1n⋅2n+1=12n+2+(1n⋅2n+1−1(n+1)⋅2n+2)，故S n =c 1+c 2+⋯+c n =18(1−12n )1−12+14−1(n+1)⋅2n+2=12−(12n+2+1(n+1)⋅2n+2)<12，故：14m 2−14m ≥12． 则m ≥2或m ≤−1．解析：(1)根据递推关系求出b n =2na n，即可求数列{b n }的通项公式；(2)求出c n =1n(n+1)an+1，利用累加法，即可求出{c n }的前n 项和为S n ，即可解不等式．本题主要考查递推数列的应用，根据条件构造数列是解决本题的关键．考查学生的运算能力，综合性较强．。
山西省太原市2019-2020学年高三上学期期末数学(理)试题
（1）讨论 的单调性；
（2）设 是 的两个零点，证明： ．
22．在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（Ⅰ）写出直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点 ，直线 与曲线 相交于点 ，求 的值.
连接 ，与 相交于点 ，连接 ，
因为点 是棱 的中点，
所以 ，且 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（Ⅱ）因为 ， ，
所以 ，又因为 底面 ，
建立如图所示空间直面 的一个法向量为 ，
则 ，所以 ，
取 ，则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，所以 ，
取 ，则 ，
因为二面角 的大小为 ，
所以 ，
即 ，
解得 或 (舍去)，
所以存在点 ，有 ，使二面角 的大小为 .
【点睛】
本题主要考查线面平行的判定定理，二面角的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
21．（1）见解析（2）见解析
【解析】
分析：（1）求导，对参数 分 两种情况进行讨论，令 得函数 的单调递增区间，令 得函数 的单调递减区间；（2）令 ，分离参数得 ，令 ，研究函数 的性质，可将证明 转化为证明 ，即证明 成立，令 ，利用导数研究函数 的增减性，可得 ，问题得证.
6．D
【解析】
【分析】
根据程序框图的循环功能，依次循环，直至 ，跳出循环，输出v的值.
【详解】
程序运行过程如下：
，
，
，
，
，
，
，跳出循环，输出v的值为 .
故选：D
【点睛】
本题主要考查程序框图的循环结构，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
山西省六校2019-2020学年年高一上学期期末考试数学试题Word版含解析
山西省六校2019-2020学年年高一上学期期末考试数学试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B.C. D.2. 已知角的终边过点，若，则（）A. -10B. 10C.D.3. 将红、黑、蓝、白5张纸牌（其中白纸牌有2张）随机分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少分得1张，则下列两个事件为互斥事件的是（）A. 事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌”B. 事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌”C. 事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得2张白牌”D. 事件“甲分得2张白牌”与事件“乙分得1张黑牌”4. 已知，，现要将，两个数交换，使，，下面语句正确的是（）A. ，B. ，，C. ，D. ，，5. 甲、乙两人在相同的条件下各打靶6次，每次打靶的情况如下面的折线图所示（虚线为甲的折线图），则以下说法错误的是（）A. 甲、乙两人打靶的平均环数相等B. 甲的环数的中位数比乙的大C. 甲的环数的众数比乙的大D. 甲打靶的成绩比乙的更稳定6. 下列函数中，既是奇函数又在上有零点的是（）A. B.C. D.7. 若函数满足，且，，则（）A. 1B. 3C.D.8. 一名篮球运动员在最近6场比赛中所得分数的茎叶图如图所示，由于疏忽，茎叶图中的两个数据上出现了污点，导致这两个数字无法辨认，但统计员记得除掉污点2处的数字不影响整体中位数，且这六个数据的平均数为17，则污点1，2处的数字分别为（）A. 5，7B. 5，6C. 4，5D. 5，59. 已知，则（）A. -2B. -1C.D. 210. 我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于玉石的问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（176两），问玉、石重各几何？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的，分别为（）A. 90，86B. 94，82C. 98，78D. 102，7411. 某学校在数学联赛成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，统计后得到如图所示的频率分布直方图，这100名学生成绩中位数的估计值为（）A. 80B. 82C. 82.5D. 8412. 在区间上任取一个数，则函数在上的最大值是3的概率为（）A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡中的横线上.13. 已知与之间的一组数据如下，且它们之间存在较好的线性关系.则与的回归直线方程必过定点__________．14. 已知扇形的圆心角为，其弧长是其半径的2倍，则__________．15. 若，则__________．16. 在直角中，三条边恰好为三个连续的自然数，以三个顶点为圆心的扇形的半径为1，若在中随机地选取个点，其中有个点正好在扇形里面，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为__________．（答案用，表示）三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 读下列程序，写出此程序表示的函数，并求当输出的时，输入的的值.18. （1）从区间内任意选取一个实数，求事件“”发生的概率；（2）从区间内任意选取一个整数，求事件“”发生的概率.19. 已知函数（且）.（1）当时，，求的取值范围；（2）若在上的最小值大于1，求的取值范围.20. 某淘宝商城在2017年前7个月的销售额（单位：万元）的数据如下表，已知与具有较好的线性关系.（1）求关于的线性回归方程；（2）分析该淘宝商城2017年前7个月的销售额的变化情况，并预测该商城8月份的销售额.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.21. 某鲜奶店每天以每瓶3元的价格从牧场购进若干瓶鲜牛奶，然后以每瓶7元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的鲜牛奶作垃圾处理.（1）若鲜奶店一天购进30瓶鲜牛奶，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：瓶，）的函数解析式；（2）鲜奶店记录了100天鲜牛奶的日需求量（单位：瓶），绘制出如下的柱形图（例如：日需求量为25瓶时，频数为5）；（i）若该鲜奶店一天购进30瓶鲜牛奶，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；（ii）若该鲜奶店一天购进30瓶鲜牛奶，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于100元的概率.22. 已知函数，若，且，.（1）求与的值；（2）当时，函数的图象与的图象仅有一个交点，求正实数的取值范围.山西省六校2019-2020学年年高一上学期期末考试数学试题参考答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】,所以，故选D.2. 已知角的终边过点，若，则（）A. -10B. 10C.D.【答案】A【解析】因为角的终边过点，所以，得，故选A.3. 将红、黑、蓝、白5张纸牌（其中白纸牌有2张）随机分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少分得1张，则下列两个事件为互斥事件的是（）A. 事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌”B. 事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌”C. 事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得2张白牌”D. 事件“甲分得2张白牌”与事件“乙分得1张黑牌”【答案】C【解析】对于，事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌”可以同时发生，不是互斥事件；对于事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌”可能同时发生，不是互斥事件；对于，事件“甲分得2张白牌”与事件“乙分得1张黑牌”能同时发生，不是互斥事件；但中的两个事件不可能发生，是互斥事件，故选C.4. 已知，，现要将，两个数交换，使，，下面语句正确的是（）A. ，B. ，，C. ，D. ，，【答案】D【解析】通过赋值语句，可得，故选D................5. 甲、乙两人在相同的条件下各打靶6次，每次打靶的情况如下面的折线图所示（虚线为甲的折线图），则以下说法错误的是（）A. 甲、乙两人打靶的平均环数相等B. 甲的环数的中位数比乙的大C. 甲的环数的众数比乙的大D. 甲打靶的成绩比乙的更稳定【答案】C【解析】甲：8,6,8,6,9,8，平均数为7.5，中位数为8，众数为8；乙：4,6,8,7,10,10，平均数为7.5，中位数7.5，众数为10；所以可知错误的是C。
太原市2019届高三数学上学期期末考试试题含答案理
太原市2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A ＝｛x N ∈｜0≤x ≤3｝，B ＝｛x ∈R ｜－2＜x ＜2｝则 A ∩BA 、{0,1}B 、{1}C 、[0,1]D 、[0,2)2.设复数 z 满足(1)1i z i +=-，则 zA 、 1B 、iC 、 1D 、 i3.已知sin α－0，则A 、43 B 、－43 C 、45 D 、－454.函数1()||f x x x=-的大致图像为5.设为两个不同平面，m , n 为两条不同的直线，给出以下命题：（ ）（1） 若 m , n， 则 m n ；（2） 若m ， 则 m ；（3） 若m，n， 则 m n ；（4） 若 mn , m, n， 则；则真命题个数为A 、1B 、2C 、3D 、46.赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元 222 年赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)类比“赵爽弦图”，赵爽弦图可类似地构造如图所示的图形，它是由个3 全等的等边三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形，设 DF 2AF ，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（）A、13 B 、413 C、7 D 、477.将函数2()cos cos f x x x x =+的图象向左平移6π个单位得到函数 g ( x ) 的图象，则函数 g ( x ) 的一个对称中心是（） A 、（4π，12） B 、（－4π，－12） C 、（12π，12） D 、（512π-，－12）8． 设向量 a ，b ，c 都是单位向量， 且2a ＝b， 则a ，b 的夹角为（）A 、6πB 、4πC 、3πD 、23π9.已知实数 x , y 满足50304x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，若不等式 ax y 0恒成立，则实数 a 的取值范围为A 、（－∞，23） B 、（4，＋∞） C 、（43，4） D 、（23，4） 10.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是A 、8B 、4C 、83 D 、16311.已知数列{ a n } 为等差数列，1(*)n a n N ≠∈,12019a a +=1， 若2()1xf x x =-， 则122019()()()f a f a f a ⨯⨯⨯＝（ ）A 、 22019B 、22020C 、 2 2017D 、2201812.已知定义在 R 上的可导函数 f (x ) ，对于任意实数 x 都有()()2f x f x x -=-成立，且当x (－∞,0]时，都有'()21f x x <+成立，若(2)(1)3(1)f m f m m m <-++， 则实数 m的取值范围为（） A 、（－1，13） B 、（－1,0） C 、（－∞，－1） D 、（－13，+∞）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上。
2019年-2020学年高一上学期数学期末模拟考试试题(含答案解析)
2019年-2020 学年高一数学期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．110．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是2512．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．13．函数的递减区间是（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．2019年-2020 学年高一期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]【答案】A【解答】解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝（﹣∞，4）．故选：A．2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）【答案】C【解答】解：∵f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x﹣8存在一个零点该同学在第二次应计算的函数值＝1.25，故选：C．3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由，可知当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，由指数爆炸可知e x＞x3，则→0，排除B．故选：D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由于连续函数满足f（）＝﹣2＜0，f（）＝＞0，且函数在区间（，）上单调递增，故函数函数的零点所在的区间为（，）．故选：C．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解答】解：由于ln|a|＞ln|b|⇔|a|＞|b|＞0，由a＞b推不出ln|a|＞ln|b|，比如a＝1，b＝﹣2，有a＞b，但ln|a|＜ln|b|；反之，由ln|a|＞ln|b|推不出a＞b，比如a＝﹣2，b＝1，有ln|a|＞ln|b|，但a＜b；∴“a＞b”是“ln（a﹣b）＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]【答案】A【解答】解：令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1∵单调递减∴即y≥故选：A．7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c【答案】B【解答】解：因为a＞b＞c＞1，令a＝16，b＝8，c＝2，则log c a＞1＞log a b所以A，C错，则故D错，B对．故选：B．8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）【答案】B【解答】解：函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，设g（x）＝ax2﹣2x+a，则g（x）能取边所有的正数，即（0，+∞）是g（x）值域的子集，当a＝0时，g（x）＝﹣2x的值域为R，满足条件．当a≠0时，要使（0，+∞）是g（x）值域的子集，则满足得，此时0＜a≤1，综上所述，0≤a≤1，故选：B．9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．1【答案】A【解答】解：由于x1和x2是函数y＝e x和函数y＝lnx与函数y＝的图象的公共点A和B的横坐标，而A（），B（）两点关于y＝x对称，可得，因此x1x2＝4，故选：A．10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】设蒲草每天长的高度为数列{a n}，莞草每天长的高度为数列{b n}，由题意得：{a n}为等比数列，求首项为3，公比为，所以通项公式a n＝3•（）n﹣1，前n项和S n＝6[1﹣（）n]，{b n}为等比数列，首项为1，公比为2，所以通项公式b n＝2n﹣1，前n项和T n＝2n﹣1；由题意得设n天莞草是蒲草的二倍，即2n﹣1＝2•6[1﹣（）n]⇒（2n）2﹣13•2n+12＝0⇒2n＝12或1（舍）两边取以10为底的对数，n＝＝＝2+由相关数据可得，n＝4，故选：C．二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是25【答案】25【解答】解：因为x＞0，y＞0，+＝1，所以3x+4y＝（3x+4y）（+）＝13++≥13+2＝25（当且仅当x＝2y 时取等号），所以（3x+4y）min＝25．故答案为：25．12．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．【答案】（4，）；．【解答】解：对于函数（a＞0且a≠1），令2x﹣7＝1，求得x＝4，y＝，可得它的图象恒过定点P（4，）．点P在幂函数g（x）＝xα的图象上，则4α＝，即22α＝2﹣1，∴α＝﹣，g（x）＝＝，故g（9）＝＝，故答案为：（4，）；．13．函数的递减区间是（3，+∞）．【答案】（3，+∞）【解答】解：由2x2﹣5x﹣3＞0得x＞3或x＜﹣，设t＝2x2﹣5x﹣3，则当x＞3时，函数t为增函数，当x＜﹣时，函数t为减函数，∵y＝log0.1t为减函数，∴要求y＝log0.1（2x2﹣5x﹣3）的递减区间，即求函数t＝2x2﹣5x﹣3的递增区间，即（3，+∞），即函数f（x）的单调递减区间为为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．【答案】（，1）．【解答】解：∵函数f（x）＝有3个零点，∴a＞0 且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，∴，解得＜a＜1，故答案为：（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵f（x）＝3x+2m﹣1是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数，∴存在x0∈[﹣1，1]满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），∴3+2m﹣1＝﹣3﹣2m+1，∴4m＝﹣3﹣3+2，构造函数y＝﹣3﹣3+2，x0∈[﹣1，1]，令t＝3，t∈[，3]，y＝﹣﹣t+2，y∈[﹣，0]，∴﹣＜0，∴﹣，故答案为：[﹣，0）．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围【解答】解：（1）∵函数的定义域为集合A，∴A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥2}，∵集合B＝{x|1＜x＜8}，∴集合（∁R A）∪B＝{x|x≤﹣1或x＞1}．（2）∵A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，C＝{x|a＜x＜2a+1}，A∪C＝A，∴C⊆A，当C＝∅时，a≥2a+1，解得a≤﹣1，当C≠∅时，，解得﹣1＜x．综上，a的取值范围是（﹣∞，]．17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．【解答】解：（1）5a＝3，5b＝4，得a＝log53，b＝log54，log2536＝，（2）原式＝﹣1+2＝﹣1﹣2+2＝2.5﹣1＝1.5．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．【解答】解：（1）不等式即为log a（1﹣x）＜log a（x+3），∵0＜a＜1，∴1﹣x＞x+3＞0，得解为﹣3＜x＜﹣1，（2），由﹣x2﹣2x+3＞0解得其定义域为（﹣3，1），∵h（x）＝﹣x2﹣2x+3z在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，∴h（x）max＝h（﹣1）＝4．∵0＜a＜1，且F（x）的最小值为﹣4，∴log a4＝﹣4．得a﹣4＝4，所以a＝＝．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．（1）由题意可知x年的维修，使用x年后的总保养、维修费用为8x+【解答】解：＝2x2+6x．所以盈利总额y关于x的函数为：y＝54x﹣（2x2+6x）﹣128＝﹣2x2+48x﹣128（x∈N×）．（2）由y＞0，得﹣2x2+48x﹣128＞0，即x2﹣24x+64＜0，解得，由x∈N*，得4≤x≤20．答：第4年该设备开始盈利．（3）方案①年平均盈利，当且仅当，即x＝8时取等号，．所以方案①总利润为16×8+42＝170（万元），方案②y＝﹣2（x﹣12）2+160，x＝12时y取得最大值160，所以方案②总利润为160+10＝170（万元），答：选择方案①处理较为合理．。
2019-2020学年山西省太原市高一(上)期末数学模拟试卷
2019-2020 学年山西省太原市高一（上）期末数学模拟试卷一、选择题（本大题共12 小题，共36.0 分）1.下列事件为随机事件的是A.抛一个硬币，落地后正面朝上或反面朝上B.边长为 a， b 的长方形面积为 abC. 从含有次品的100个零件中取出2 个， 2 个都是次品D. 平时的百分制考试中，小强的考试成绩为105 分2.某厂对一批元件的长度单位：进行抽样检测，得到如图所示的频率分布直方图．若长度在区间内的元件为合格品，则估计这批产品的合格率是A. B. C. D.3.某学校高一、高二、高三学生分别有280 人、 320 人、 400人．为了解各年级学生的课余时间安排，拟从全体学生中抽取100人进行调查，则宜采用的抽样方法是A. 抽签法B. 随机数法C. 系统抽样法D. 分层抽样法4.A B是互斥事件，，，则若、A. B. C. D. 15.甲乙两名篮球运动员近几场比赛得分统计成茎叶图如图，甲乙两人的平均数与中位数分别相等，则x： y 为A. 3：2B. 2：3C. 3：1或5：3D. 3：2或7： 56.若函数的零点在区间上，则实数 a 的取值范围是A. B. C. D.7.下列结论正确的是A. 在同一直角坐标系中，函数的图象和函数的图象有三个公共点B. 已知向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“，”C. 在中，的充要条件是D. 从总体中随机抽出一个容量为20的样本，其数据的分组及各组的频数如下表，则估计总体的中位数为 18分组频数48538.我校某高一学生为了获得华师一附中荣誉毕业证书，在“体音美项目”中学习游泳．他每次游泳测试达标的概率都为，现采用随机模拟的方法估计该同学三次测试恰有两次达标的概率：先由计算器产生0 到 9 之间的整数随机数，指定1，2，3，4 表示未达标， 5，6，7，8，9，0 表示达标；再以每三个随机数为一组，代表三次测试的结果，经随机模拟产生了如下20 组随机数：917 966 891 925 271 932 872 458 569683431 257 393 027 556 488 730 113 507989A. B. C. D.9.若函数在内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为，则对区间至少二等分A. 5次B. 6次C.7次D.8 次10.向边长分别为、5、6 的三角形区域内随机投一点D，则该点 D 与三角形三个顶点距离都大于的概率为A. 0B.C.D.11.下列说法正确的是A. 要得到函数的图象，只要将的图象向左平移单位B. “”是“函数在区间上为增函数”的必要不充分条件C. 若定义在上的函数满足，则是周期函数D. 命题“，”是真命题12.已知函数，若关于 x 的方程有 3 个不同的实数根，则实数t 的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共 4小题，共12.0 分）13.转化为十进制数是 ______．14.执行如图所示的程序框图，输出S 的值是 ______ ．15.已知数据 x， y 的取值如表：x12345y m从散点图可知， y 与 x 呈线性相关关系，已知第四组数据在回归直线上，则m的取值为______．16. 已知函数，给出下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则．其中，所有正确命题的序号是______．三、解答题（本大题共7 小题，共80.0 分）17. 甲、乙两名技工在相同的条件下生产某种零件，连续 6 天中，他们日加工的合格零件数的统计数据的茎叶图，如图所示．写出甲、乙的中位数和众数；计算甲、乙的平均数与方差，并依此说明甲、乙两名技工哪名更为优秀．18. 在某中学举行的物理知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩在进行整理后分成 5 组，绘制出如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组．已知第三小组的频数是 15．求成绩在～分的频率是多少；求这三个年级参赛学生的总人数是多少；求成绩在～分的学生人数是多少．19.某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求：Ⅰ 该应聘者用方案一考试通过的概率；Ⅱ 该应聘者用方案二考试通过的概率．20. 公共汽车站每隔有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，求乘客候车不超过的概率．21.甲、乙两人约定在上午700到8：00之间到某站乘公共汽车，在这段时间内有3班公共汽车，它们：开车时刻分别为 7： 20、 7： 40、 8：00，如果他们约定，见车就乘，求甲、乙同乘一班车的概率假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不关联的，且每人在7 时到 8 时的任何时刻到达车站是等可能的22.在区间上恰有一个零点，求实数 a 的取值范围．23. 若函数且有两个零点，求实数 a 的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了随机事件，必然事件，不可能事件的概念，属于概念考查题．应用随机事件，必然事件，不可能事件的概念逐一判断即可．【解答】解：抛一个硬币，落地后正面朝上或反面朝上都有可能，为随机事件， A 正确；长方形面积为长乘宽，边长为 a， b 的长方形面积为 ab，为必然事件， B 错误；100 个零件不知是合格品还是次品，从100 个零件中取出 2 个，不能判断是随机事件，必然事件，还是不可能事件， C 错误；在百分制考试中，考试成绩不可能为105 分，小强的考试成绩为105 分为不可能事件， D 错误．故选 A．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了频率分布直方图，根据频率分布直方图中的数据求解．【解答】解：由频率分步直方图可知在区间内的直方图的面积，故合格率是，故选 C．3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查抽样方法，属于基本题．若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：高一、高二、高三学生分别有 280 人、 320 人、 400 人．为了解各年级学生的课余时间安排，则宜采用的抽样方法是分层抽样法．故选 D．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查互斥事件的概率加法公式，是一个基础题，根据两个事件是互斥事件，得到两个事件的和事件的概率等于两个事件的概率的和，根据所给的两个事件的概率，相减得到要求事件的概率．【解答】解：随机事件A、B是互斥事件，，，故选 A．5.【答案】D【解析】解：甲乙两人的平均数相等，，又甲乙两人的中位数相等，，或，或，或，解得：，，或，，故 x：： 2，或 x：： 5，故选： D．根据甲乙两人的平均数与中位数分别相等，构造方程求出满足条件的x 值，可得答案．本题考查的知识点是茎叶图，平均数与中位数，分类讨论思想，方程思想，难度中档．6.【答案】C【解析】解：函数在上为减函数，若函数的零点在区间上，则，即，即，故选： C．判断平时的定义域和单调性，根据函数零点的意义，建立不等式关系即可．本题主要考查函数零点的判断，根据函数单调性是解决本题的关键．7.【答案】 C【解析】解；对于 A，，，在上，是减函数，即，函数的图象和函数的图象无交点，又是奇函数，上，函数的图象和函数的图象也无交点，在同一直角坐标系中，函数的图象和函数的图象有一个公共点，A 错误；对于 B，向量，为非零向量，当“，的夹角为钝角”时，“，”，当“ ，”时，向量“，的夹角为钝角或的角”，是必要不充分条件， B 错误；对于 C，中，根据三角形的大角对大边和正弦定理得，，的充要条件是，C 正确；估计总体的中位数在内，近似值为18，D错误．综上，正确的命题是C．故选： C．A 同一直角坐标系中，函数的图象和函数的图象有一个公共点；B“，”是向量“，的夹角为钝角的必要不充分条件；C根据三角形的大角对大边以及正弦定理即可判断命题正确；D 根据频数分布表得出总体的中位数在内．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了平面向量的应用问题，正弦定理的应用问题，概率与统计的应用问题，是综合题目．8.【答案】A【解析】解：由题意知模拟三次测试的结果，经随机模拟产生了如下20 组随机数，在 20 组随机数中表示三次测试恰有两次达标的有：917、891、925、872、458、683、027、257、488、730，共 10 组随机数，所求概率为．故选： A．由题意知模拟三次测试的结果，经随机模拟产生了如下20 组随机数，在20 组随机数中表示三次测试恰有两次达标的有可以通过列举得到共10 组随机数，根据概率公式，得到结果．本题考查模拟方法估计概率，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．9.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查用二分法求方程的近似解，注意利用每一次二等分都使区间的长度变为原来的一半，属于基础题．由题意要使零点的近似值满足精确度为，可依题意得，从而解出 n 值．【解答】解：设对区间至少二等分 n 次，此时区间长为 1，第 1 次二等分后区间长为，第 2次二等分后区间长为，第 3次二等分后区间长为，第 n 次二等分后区间长为，依题意得，由于，，即为所求．故选 C．10.【答案】C【解析】解：设，，，则由余弦定理得，则，则三角形的面积，则 M 与三角形三个顶点距离都大于的面积为，则根据几何概型的概率公式可得所求的概率为，故选： C．根据三角形的面积公式求出三角形的面积，以及点M 与三角形三个顶点距离都大于对应的平面区域，利用几何概型的概率公式进行计算即可．本题主要考查几何概型的概率的计算，利用余弦定理求出相应的面积是解决本题的关键．11.【答案】C【解析】解：要得到函数的图象，只要将的图象向左平移单位，不正确；B.“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件，不正确；C.若定义在上的函数满足，则是周期为 2的函数，正确；D.命题“，”是假命题，不正确．故选： C．A.要得到函数的图象，只要将的图象向左平移单位；B.“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件；C.由于是周期为 2 的函数，即可判断出；D.命题“，”是假命题．本题考查了三角函数图象变换法则、对数函数的单调性、函数的周期性、指数函数的图象与单调性、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.【答案】B【解析】【分析】本题考查了方程解与函数图象的关系，属于中档题．画出函数的图象以及的图象，利用数形结合求解即可．【解答】解：由题意，方程有 3 个不同的实数根，即函数的图象与的图象由 3 个交点，画出函数的图象以及的图象，如图所示，，所以，故选： B．13.【答案】21【解析】解：，故答案为：21．本题考查的知识点是算法的概念，由二进制转化为十进制的方法，我们只要依次累加各位数字上的数该数位的权重，即可得到结果．进制转换为十进制的方法是依次累加各位数字上的数该数位的权重，属于基础题．14.【答案】20【解析】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：，不满足条件，执行循环体，，不满足条件，执行循环体，，不满足条件，执行循环体，，不满足条件，执行循环体，，满足条件，退出循环，输出S的值为 20．故答案为：20．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，依次写出每次循环得到的n，S的值，当时满足条件，退出循环，输出S的值为20，即可得解．根据流程图或伪代码写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图或伪代码，从流程图或伪代码中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模．15.【答案】【解析】【分析】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．第四组数据在回归直线上，可得，求出，求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入求出m 的值．【解答】解：第四组数据在回归直线上，可得，，，代入得，解得．故答案为．16.【答案】【解析】解：由于，则，故正确；若令，，满足，但，故错；若令，，满足，但，故错；函数图象如图中所示，对于，则 A、B 两点的纵坐标分别为、．显然，故正确．故答案为．已知函数解析式，结合函数的图象与性质，即可得到正确结论．本题判断命题真假，我们可以根据函数的图象与性质对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结论．17.【答案】解：根据茎叶图知，甲的中位数为，众数为 20；乙的中位数为，众数为23；计算甲的平均数为甲，方差为，甲，乙的平均数是乙方差是，乙，由于甲乙，且甲乙所以甲更为优秀．【解析】根据茎叶图中的数据，计算甲、乙的中位数和众数即可；计算甲、乙的平均数和方差，比较即可得出结论．本题考查了根据茎叶图中的数据，计算中位数、众数、平均数和方差的应用问题，是基础题．18.【答案】解：成绩在分的频率为：第三小组的频率为：频数这三个年级参赛学生的总人数总数为：人频率成绩在分的频率为：则成绩在分的人数为：人【解析】根据频率分布直方图的矩形面积表示频率，求出成绩在分的矩形面积，即为所求；频数求出第三组的频率，然后根据三个年级参赛学生的总人数，可求出所求；频率先求出成绩在分的频率，然后利用频数总数频率可求出成绩在分的学生人数．19.【答案】解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A， B， C，则，，--------------分Ⅰ应聘者用方案一考试通过的概率--------------分Ⅱ应聘者用方案二考试通过的概率--------------分【解析】应聘者用方案一考试通过有四种情况，每种情况又需要分步进行，即两门通过，一门未通过，或三门均通过，分别根据三门指定课程考试及格的概率分别是，，，求出四种情况的概率，再根据互斥事件概率加法公式，即可得到答案．应聘者用方案二考试通过，也包含三种情况，即选中两课均通过，每种情况又需要分步进行，即先选中，再逐门通过，求出三种情况的概率，再根据互斥事件概率加法公式，即可得到答案．本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，解答相互独立事件的概率时，分清是分类事件还是分步事件，分几类，分几步，以选择对应的加法、乘法公式是解答此类问题的关键．20.【答案】略【解析】设事件“侯车时间不超过”表示乘客来到车站的时刻，那么每一个试验结果可表示为x，假定乘客到达车站后一辆公共汽车来到的时刻为t，如图所示，乘客必然在来到车站，，欲使乘客的候车时间不超过，必有，所以．21.x，乙到达汽车站的时刻为y，【答案】解：如图，设甲到达汽车站的时刻为则，，甲、乙两人到达汽车站的时刻所对应的区域在平面直角坐标系中画出如图所示是大正方形．将 3 班车到站的时刻在图形中画出，则甲、乙两人要想乘同一班车，必须满足或或，即必须落在图形中的 3 个带阴影的小正方形内，所以由几何概型的计算公式得，【解析】设甲到达汽车站的时刻为 x，乙到达汽车站的时刻为 y，利用满足条件的不等式，求出对应的平面区域的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论．本题主要考查几何概型的概率计算，求出对应的区域面积是解决本题的关键．22.【答案】略第11 页，共 12页【解析】根据题意，当时，，为减函数；当时，0'/> ，为增函数，若函数再区间上恰有一个零点，则，即；当时，综上或23.【答案】．【解析】且有两个零点，就是函数且与函数有两个交点，由图象可知当时两函数只有一个交点，不符合，当时，因为函数的图象过点，而直线所过的点一定在点的上方，所以一定有两个交点．所以实数 a 的取值范围是．第12 页，共 12页。
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太原市 2017~2018 学年第一学期高一年级期末考试数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.）1.程序框图中的处理框“ ”的功能是（ ）A. 表示一个算法的输入信息B. 赋值、计算C. 表示一个算法结束D.连接程序框2.已知变量 x 和 y 满足关系式 y = 0.2x - 0.1，且变量 y 和 z 负相关，则下列结论正确的是（ ） A ．变量 x 不 y 正相关， x 不 z 负相关 B ．变量 x 不 y 正相关， x 不 z 正相关C ．变量 x 不 y 负相关， x 不 z 正相关D ．变量 x 不 y 负相关， x 不 z 负相关 3.不二进制数1011( 2) 相等的十进制数是（ ） A. 21 B. 13 C.11 D . 104. 为评估一种农作物的产量，选了 n 块地作为试验区。
这 n 块地的亩产量分别为 x 1 , x 2 ⋯, x n ，下面给出的指标中可以用来作为评估这种作物亩产量稳定程度的是（ ）A. x 1 , x 2 ⋯, x n 的中位数B ． x 1 , x 2 ⋯, x n 的平均数C ． x 1 , x 2 ⋯, x n 的最大值D ． x 1 , x 2 ⋯, x n 的标准差5.已知输入的 x = -2 ，运行后面的程序之后得到的 y = （ ）A.4B.-4C.-5D.-66.利用下面随机数表从编号为 01,02,03，...，23,24 的总体中抽取 6 个个体，若选定从第一行第三列的数 字 0 开始，由左向右依次抽取，则抽取的第 4 个个体编号为（ ）63 01 63 78 5916 95 55 67 1998 10 50 71 7512 86 73 58 0744 39 52 38 7933 21 12 34 29 A.1978 64 56 07 82B.1052 42 07 44 38 C.1215 51 00 13 4299 66 02 79 54D.077.从装有 2 个白球和 2 个黑球的口袋内随机抽取 2 个球，下列事件是互斥而丌对立的事件的是（ ）A.至少有 1 个白球，都是白球B.至少有 1 个白球，至少有 1 个黑球C.至少有 1 个白球，都是黑球D.恰有 1 个白球， 恰有 2 个白球8.用秦九韶算法求多项式 f (x ) = x 7+ 2x 6+ 3x 5+ 4x 4+ 5x 3+ 6x 2+ 7x + 8 ，当 x = -2 时的值的过程中，v 3 = （ ）A.-2B.3C.1D.49.为了研究某班学生的脚长 x （单位：厘米）和身高 y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取 10 名学 生 ， 根 据 测 量 数 据 的 散 点 图 可 以 看 出 y 不 x 之 间 具 有 线 性 相 关 关 系 ， 设 其 回 归 直 线 的 方 程 为10yˆ = b ˆx + a ˆ ，已知 ∑ x i i =110= 225, ∑ y i i =1= 1600, b ˆ = 4 ，该班某学生的脚长为 24，据此估计其身高为A. 160B. 163C. 166D. 17010.现有 5 个气球，其颜色分别是红、黄、蓝、绿、紫（仅颜色丌同），若从这 5 个气球中随机抽取 2个，则取出的这两个气球中含有红的气球的概率为3 22 1 A.B.C.D.535311.从某校高一年级期中测评中随机抽取100 名学生的成绩(单位:分)，整理得到如下频率分布直方图，则这100 名学生成绩的中位数的估计值是（ ）A. 75B.222 3C. 78D.235 312.执行如下图所示的程序框图,若输出的 s = 1 ，则输入的 t的所有取值的和为（ ）A. 72 B. 32 C. 214 D. 1342二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分.）1 3 . 42 不 315 的 最 大 公 约 数 为 .14 . 某 工 厂 生 产 甲 、 乙 、 丙 三 种 丌 同 型 号 的 产 品 ， 产 品 分 别 为 3 0 0 , 6 0 0 . 4 5 0 件 ， 为 检 验产 品 的 质 量 问 题 ， 现 用 分 层 抽 样 的 方 法 从 以 上 所 以 产 品 中 抽 取 90 件 进 行 检 验 ， 则 应 该 从 丙 种 型 号 的 产 品 中 抽 取 的 件 数 为.1 5 . 随 着 研 发 资 金 的 持 续 投 入 , 某 公 司 的 收 入 逐 年 增 长 ， 下 表 是 该 公 司 近 四 年 的 息 收 入请况：该 公 司 财 会 人 员 对 上 述 数 据 进 行 了 处 理 ， 令 t = x- 2012 ， z = y - 5 ， 得 到 下 表 ：已知变量 t 不 x 之 闻 具 有 线 性 相 关 关 系 ， 据 此 预 测 该 公 司 2018 年 的 总 收 入 为.n∑ (x i - x )(y i - y )n∑ x i y i - nxy附： bˆ = i =1 = ni =1 n, a ˆ = y - b ˆx ∑ (x i - x )i =1 ∑ x i i =1- nx 21 6 . 执 行 如 下 图 所 示 的 程 序 框 圈 , 若 输 入 的 t ∈ [- 2,2], 则输出的s ∈ [- 2,0]的概率为.三、解答题（本大题共5 小题，共52 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分10 分）17.已知辗转相除法的算法步骤如下：第一步：给定两个正数m ，n ；第二步：计算m 除以n 所得的余数r ；第三步：m =n ，n =r ；第四步：若r =0，则m ，n 的最大公约数等亍m ；否则，迒回第二步.请根据上述算法将右边程序框图补充完整18（本小题满分10 分）某车间共有12 名工人，从中随机抽取6 名，如图是他们某日加工零件个数的茎叶图（其中茎为十位数，叶为个位数）.（1）若日加工零件个数大亍样本平均值的工人为优秀工人，根据茎叶图能推断出该车间12 名工人中优秀工人人数.（2）现从这6 名工人中任取2 名，求至少有1 名优秀工人的概率。
19. 某艺术学校为了解学生的文学素养水平，对600 名在校学生进行了文学综合知识测评，根据男女学生人数比例用分层抽样的方法，从中随机抽取了150 名学生的成绩，整理得到如下频率分布直方图（其中的分组为：[20, 30),[30, 40),...[80, 90]）.（1）若现从600 名学生中随机抽取一人，估计其分数小亍60 的概率；（2）已知样本中分数小于40 的学生有7 人，试估计这600 名学生中分数在[40, 50)内的人数；（3）已知样本中分数不小于70 的男女生人数相同，分数不大于70 的男生人数是女生人数的3 倍，试估计这600 名学生中女生的人数。
20. (本小题10 分)说明：请同学们在(A)(B)两个小题中任选一个作答.(A) 已知某保险公司的某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费不其上年度出现次数的关联如下表1：随机调查了该险种的200 名续保人在一年内的出险情况，得到下表2：(1) 记A 为事件“一续保人本年度保费丌高亍基本保费a ”，求P(A) 的估计值；(3) 若该保险公司这种保险的赔付规定如下表3：据统计今年有100 万投保人进行续保，将所抽样本的频率视为概率，求该公司此险种的纯收益(纯收益=总入保额-总赔付额).纯收益=总入保额-总赔付额=103.5a -94.5a = 9a （万元）(B) 已知某保险公司的某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费不其上年度出现次数的关联如下表1：随机调查了该险种的200 名续保人在一年内的出险情况，得到下表2：(1) 记A 为事件“一续保人本年度保费不高于基本保费a 的200%”，求P(A) 的估计值；(2) 求续保人本年度平均保费的估计值；(3) 若该保险公司这种保险的赔付规定如下表3：据统计今年有100 万投保人进行续保，将所抽样本的频率视为概率，若该公司此险种的纯收益不少于450 万元，求基本保费为a 的最小值(纯收益=总入保额-总赔付额).2 21.(本小题满分 12 分)说明：请考生在(A)、(B)两个小题中任选一题作答.(A)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 11 个零件，测 量其尺寸进行检验，检验规定：若所抽样本的长度都在 ( x - 3s , x + 3s ) 内（其中 x 为样本的平均值， s 为样本的标准差），则认为这条生产线这一天的生产过程正常；否则，认为这条生产线这一天的生产过 程异常，需对当天的生产过程进行检查. 下面是检验员在某天内抽取的 11 个零件的尺寸：4，9，11， 3，2，10，12，1，45，3，5105,= 2535, ≈ 1.732,≈ 2.236, s ≈ 11.805.（1）判断是否需对当天的生产过程进行检查，幵说明理由；（2）剔除在 ( x - 3s , x + 3s ) 之外的数据，求剩余数据的平均值 μ 和标准差 σ （精确到 0.01）； （3）在（2）的条件下，若尺寸在 ( x - μ, x + μ ) 内的零件为优质品，幵以此估计这条生产线当天 优质品率的值.(B)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 11 个零件，测量其尺寸进行检验，检验规定：若所抽样本的长度都在 ( x - 3s , x + 3s ) 内（其中 x 为样本的平均值， s 为样本的标准差），则认为这条生产线这一天的生产过程正常；否则，认为这条生产线这一天的生产过 程异常，需对当天的生产过程进行检查. 下面是检验员在某天内抽取的 11 个零件的尺寸：9.4，9.9， 10.1，9.3，9.2，10.0，10.2，9.1，13.5，9.3，9.51111经计算得∑ xii =1= 109.5, ∑ i =1x i = 3 ≈ 5 ≈ 2.236, s ≈ 1.176.（1）判断是否需对当天的生产过程进行检查，幵说明理由；（2）剔除在(x- 3s, x +3s)之外的数据，求剩余数据的平均值μ和标准差σ（精确到0.01）；（3）在（2）的条件下，若尺寸在(x -μ, x +μ)内的零件为优质品，幵以此估计这条生产线当天优质品率的值.17.18.19.20.A20B。