弦长公式

弦长公式

若直线b kx y l +=:与圆锥曲线相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则 弦长221221)()(y y x x AB -+-= 221221)]([)(b kx b kx x x +-++-= 2121x x k -+= 212212

4)(1x x x x k -++= 同理：|AB|=122121224)(||11y y y y y y k

-+-+ 特殊的，在如果直线AB 经过抛物线的焦点，则|AB|=?

P48第7题

例题1：已知直线1+=x y 与双曲线14

:2

2

=-y x C 交于A 、B 两点，求AB 的弦长 解：设),(),,2211y x B y x A （ 由⎪⎩

⎪⎨⎧=-+=14122y x x y 得224(1)40x x -+-=得23250x x --= 则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+35322121x x x x 得， 23

83209424)(1212212=+=-++=x x x x k AB 练习1：已知椭圆方程为1222=+y x 与直线方程2

1:+=x y l 相交于A 、B 两点，求AB 的弦长

练习2：设抛物线x y 42=截直线m x y +=2所得的弦长AB 长为53，求m 的值

分析：联立直线与抛物线的方程，化简，根据根与系数的关系，求弦长 解：设 ),(),,2211y x B y x A （

联立方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=12

2122y x x y 得03462=-+x x 则⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-=-=+21322121x x x x 3

112)21(4)32(24)(12212212=-⨯--=-++=∴x x x x k AB 解: 设),(),,2211y x B y x A （

联立方程:⎩⎨⎧+==m

x y x y 242得0)44(422=+-+m x m x 则⎪⎩

⎪⎨⎧=-=+412

2121m x x m x x 53)1(54)(122212212=--=-++=m m x x x x k AB

4-=∴m

例题2：已知抛物线32+-=x y 上存在关于直线0=+y x 对称相异的两点A 、B ，求弦长AB

分析：A 、B 两点关于直线0=+y x 对称，则直线AB 的斜率与已知直线斜率的积为1-且AB 的中点在已知直线上

解：B A 、 关于0:=+y x l 对称 1-=⋅∴AB l k k 1-=l k

1=∴AB k

设直线AB 的方程为b x y += ，),(),,2211y x B y x A （

联立方程⎩⎨⎧+-=+=32x y b

x y 化简得032

=-++b x x 121-=+∴x x AB ∴中点)2

1,21(b M +--

在直线0=+y x 上 1=∴b 022=-+∴x x

则 ⎩⎨⎧-=-=+212121x x x x

238)1(24)(12212212=+-=-++=∴x x x x k AB

小结：在求直线与圆锥曲线相交的弦长时一般采用韦达定理设而不求的方法，在求解

过程中一般采取步骤为：设点→联立方程→消元→韦达定理→弦长公式

作业：

（1） 过抛物线24y x =的焦点，作倾斜角为α的直线交抛物线于A ，B 两点，且

316=AB ，

求α的值

（2） 已知椭圆方程12

22

=+y x 及点)2,0(-B ，过左焦点1F 与B 的直线交椭圆于C 、D 两点，2F 为椭圆的右焦点，求2CDF ∆的面积。

弦长公式的应用

1. 弦长问题

例1. 已知点），，（和，03)03(B A -动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为2，

点C 的轨迹与直线y=x-2交于D 、E 两点，求线段DE 的长。

解：设点C x y （，），则

||||CA CB -=±2，

根据双曲线的定义，可知点C 的轨迹是双曲线

x a y b

222

21-= 由，得，222231222a c AB a b =====||

故点C 的轨迹方程是

x y 2

2

21-= 由，得x y y x x x 22

2212460-==-⎧⎨⎪⎩

⎪+-= 因为∆>0，所以直线与双曲线有两个交点。

设D x y E x y ()()1122，，，，则

[]

x x x x DE x x x x x x 12122121221246112445+=-=-=+-=+-=，故,

||||()

2. 求曲线的方程

例2. 已知点A ()--14，，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上，直线l y x ：=-22与抛物线C 交于M M 12、两点，若||||||AM M M AM 1122、、成等比数列，求抛物线C 的方程。

解：设抛物线C y px p M x y M x y ：，，，，，2

11122220=>()()()

显然点A 在直线l 上，

由，得y px y x 2222

==-⎧⎨⎩ y px p 220--=，

所以y y p 12+=，

y y p 122=-

由图1，知y y 1244>->-，，

图1

又|||||

|M M AM AM 12212=⋅，即 11211241124441682416282122212212212

12122+-⎛⎝

⎫⎭⎪=+++++-=++++=-++==-||()()()()y y y y y y y y y y y y p p p p p p ，亦即，

，

解得或（舍去）

故抛物线C 的方程为y x 24=。

例3. 已知F 是定点，l 是定直线，点F 到直线l 的距离为p p ()>0，点M 在直线l 上滑动，动点N 在MF 延长线上，且满足||||||

FN MN MF =1，求动点N 的轨迹方程。 解：如图2所示，以点F 为原点，过点F 垂直于l 的直线为x 轴建立直角坐标系。