弦长公式
圆弦长公式计算公式初中
圆弦长公式计算公式初中
圆弦长公式是初中数学中的一个重要概念，它可以帮助我们计算圆的弦长。
在这个公式中，我们需要知道弦的长度、弦与圆心连线的夹角以及圆的半径。
具体来说，圆弦长公式可以表示为：
弦长 = 2 × 半径 × sin(夹角/2)
其中，弦长是指弦的长度，半径是指圆的半径，夹角是指弦与圆心连线之间的夹角。
这个公式的推导过程比较复杂，我们在这里就不做详细解释了。
但是，通过这个公式，我们可以很方便地计算出圆的弦长，而不用测量实际长度或者进行复杂的几何运算。
使用圆弦长公式的时候，我们需要注意一些事项。
首先，弦长的单位要与半径的单位保持一致。
其次，夹角的单位要使用弧度制，而不是角度制。
如果我们所给的夹角是角度制的话，我们需要先将其转换为弧度制，然后再代入公式进行计算。
圆弦长公式还可以用来解决一些与弦长相关的问题。
比如，如果我们知道了圆的半径和弦长，我们可以通过这个公式计算出夹角的大小。
同样地，如果我们知道了圆的半径和夹角，我们也可以计算出弦长。
圆弦长公式是初中数学中一个很实用的工具，它可以帮助我们计算圆的弦长，并解决一些与弦长相关的问题。
通过掌握这个公式，我们可以更好地理解圆的性质，并在解题中得心应手。
希望大家在学习数学的过程中能够充分利用这个公式，取得更好的成绩！。
弦长公式
弦长公式弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]其中k为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点,"││"为绝对值符号,"√"为根号证明方法如下：假设直线为:Y=kx+b圆的方程为：(x-a)^2+(y-u)^2=r^2假设相交弦为AB，点A为（点B为则有AB=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^把y1=kx1+b.y2=kx2+b分别带入,则有：AB=√（x1-x2)^2+(kx1-kx2)^2=√(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2=√1+k^2*│x1-x2│证明ABy1-y2│√[(1/k^2)+1]的方法也是一样的证明方法二d=√(x1-x2}^2+(y1-y2)^2这是两点间距离公式因为直线y=kx+b所以y1-y2=kx1+b-(kx2+b)=k(x1-x2)将其带入d=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2得到d=√(x1-x2)^2+[k(x1-x2)]^2=√(1+k^2)(x1-x2)^2=√(1+k^2)*√(x1-x2)^2=√(1+k^2)*√(x1+x2)^2-4x1x2公式二抛物线y2=2px，过焦点直线交抛物抛物线线于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点，则AB弦长：d=p+x1+x2 y2=-2px,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙x1+x2﹚x2=2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p+y1+y2 x2=-2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙y1+y2﹚公式三d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)[(x1+x2)^2 - 4x1x2] = √(1+1/k^2)|y1-y2| =√(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2]关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为关于x(或关于y)的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式√(1+k^2)[(x1+x2)^2 - 4x1x2]求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。
弦长公式高中数学
弦长公式高中数学
数学是有趣而复杂的学科，一种含有多种元素的知识。
合理应用数学知识，可以让人们在生活工作中获益。
在高中数学学习中，学习弦长公式是一项必备的知识。
弦长公式是由古希腊数学家勒弗什提出的，它的用处是计算多边形的周长，也可以计算圆的面积。
这个公式也被称为勒弗什弦长公式。
弦长公式首先应用于多边形，多边形由一系列无限小的线段弦组成。
每条弦都有一个长度，多边形的周长就是这些弦的总和。
公式表示为“C=a+b+c+d+…”，其中C为多边形的周长，a、b、c、d等为每条弦长度。
此外，弦长公式也可以用来计算圆的面积。
圆的面积可以用半圆的周长乘以半圆的半径来计算，这里的周长就是弦长公式的一种特殊情况。
公式表示为“S=πr^2”，其中S为圆的面积，π为圆周率，r 为圆的半径。
弦长公式在数学学习中是一项必学的知识，它可以很好地帮助学生理解多边形和圆形的特性，计算出多边形的周长和圆的面积。
学生在学习弦长公式时，可以多做相关的练习，实践应用，从而熟练掌握这一重要的知识。
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求圆的弦长公式
求圆的弦长公式
圆的弦长公式是指连接圆上任意两点的线段长度，它是圆的基本性质之一。
公式：在圆上任意两点间所构成的弦长等于直径长度的一半，即弦长l= d/2，其中d为圆的直径。
下面我们来看看弦长公式的具体应用：
一、计算圆的弦长
首先，我们需要确定圆上两点的坐标，然后应用勾股定理计算出这两点之间的距离，即弦长。
比如，假设圆心坐标为（a,b），弦端点坐标分别为（x1,y1）和
（x2,y2），则弦长公式可表示为：
l=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]
二、计算弦的中点坐标
圆弦中点是指圆弦上的线段中点，它与圆心连线垂直，且距离圆心的距离等于圆的半径长度。
可以通过弦长公式计算出弦上任意一点的坐
标，然后计算出该点与圆心连线的中点坐标。
比如，假设圆心坐标为（a,b），弦端点坐标分别为（x1,y1）和
（x2,y2），则弦的中点坐标可表示为：
((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)
三、应用弦长公式解决实际问题
弦长公式是很多实际问题的基础，比如在地理勘测中，可以应用弦长公式计算两个点之间的距离；在建筑设计中，可以利用弦长公式计算建筑物圆形门、窗的设计长宽等。
总之，弦长公式是数学和物理学重要的工具，它不仅有实际应用，而且有着深刻的理论意义。
弦心距和弦长公式
弦心距和弦长公式
弦心距和弦长公式是圆的基本性质之一，它们描述了从圆心到圆上任意一点的距离（即半径）与圆上两点之间的线段（即弦）之间的关系。
1.弦心距公式：
弦心距是指从圆心到弦的垂直距离，记作d。
如果弦长为L，半径为r，那么弦心距d可以通过以下公式计算：
d=r2−(2L)2
这个公式基于勾股定理，其中r是半径，L是弦长，d是弦心距。
2.弦长公式：
弦长公式用于计算给定弦心距和半径的弦的长度。
如果弦心距为d，半径为r，那么弦长L可以通过以下公式计算：
L=2r2−d2
这个公式也是基于勾股定理，其中r是半径，d是弦心距，L是弦长。
这两个公式在解决与圆相关的问题时非常有用，特别是在几何和三角函数中。
它们允许我们根据已知信息计算未知量，或者验证给定的信息是否准确。
弦长公式圆与直线
弦长公式圆与直线弦长公式是数学中一个重要的公式，它用于计算圆与直线之间的弦长。
在本文档中，我们将详细介绍弦长公式以及应用实例。
一、什么是弦长公式弦长公式是一种用于计算弦长的数学公式。
它描述了圆与直线之间的关系，并可以通过给定的半径、角度或其他相关信息来计算弦长。
二、弦长公式的推导我们以一个简单的圆为例，假设半径为r，圆心角为θ，弦长为s。
根据几何关系，圆心角与弦之间的关系可以表示为θ = s/r，其中r是圆的半径，s是弦的长度。
通过对等腰三角形的分析，我们可以得到三角函数的关系sin(θ/2) = (s/2)/r，进一步计算得到s = 2r*sin(θ/2)。
这就是弦长公式，它表达了弦长与半径和圆心角之间的关系。
三、弦长公式的应用实例1. 计算圆上两点之间的弦长假设我们有一个半径为10cm的圆，圆心角为60度，我们想要计算圆上两个点A和B之间的弦长。
根据弦长公式，我们可以计算得到弧AB的弦长s =2*10*sin(60/2) = 20*sin(30) ≈ 10cm。
通过这个实例，我们可以看到弦长公式在计算圆上两点之间的距离时非常有用。
2. 计算圆上弦的长度假设我们有一个圆的半径为8cm，圆心角为45度，我们想要计算从圆的边缘到弦的垂直距离（弦的高度）。
根据弦长公式，我们可以计算得到弦的长度s = 2*8*sin(45/2) = 16*sin(22.5) ≈ 5.66cm。
这个实例展示了弦长公式在计算圆上弦的长度时的应用。
四、结论弦长公式是一种用于计算圆与直线之间关系的数学工具。
通过这个公式，我们可以轻松地计算圆上的弦长，从而解决一系列与弦和圆相关的问题。
无论是计算圆上两点之间的弦长，还是计算弦的高度，弦长公式都为我们提供了一种简洁而有效的计算方法。
希望通过本文档的介绍，您对弦长公式有了更深入的理解，并能够在实际问题中灵活运用。
编写完毕。
弦长公式的推导
弦长公式的推导
弦长公式是指在一个圆上，连接两个弧上的端点所形成的弦的长度。
推导弦长公式的过程如下：
假设一个圆的半径为r，圆心角θ，弦的长度为l，弦中点到圆心的距离为d。
则有以下关系式：
1.根据勾股定理，可以得到弦中点到圆心的距离d的计算公式：
d = r - (l/2)。
即 d = √(r - (l/2))。
2.由于弦中点到圆心的距离d，可以作为一个直角三角形的斜边长度，因此可以使用正弦函数来计算圆心角θ的一半，即sin(θ/2) = (l/2)/d。
3.根据正弦函数的定义，可以得到弦长l的计算公式：l = 2d sin(θ/2) = 2√(r - (l/2)) sin(θ/2)。
因此，弦长公式的推导就完成了。
可以看出，弦长公式与圆心角θ的大小有关，而不同的圆心角θ对应着不同的弦长l。
在实际应用中，弦长公式常用于计算圆形物体上弦的长度。
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弦长公式是什么？分享数学知识讲解
弦长公式是什么？分享数学知识讲解最近有些朋友在网上看到了这个弦长公式，但是自己对于这方面知识完全没有印象，想知道这个弦长公式到底是什么来的?今天就让给大家详细的介绍一下弦长公式是什么。
什么是弦长公式弦长为连接圆上任意两点的线段的长度。
弦长公式，在这里指直线与圆锥曲线相交所得弦长的公式。
圆锥曲线，是数学、几何学中通过平切圆锥(严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切)得到的一些曲线，如：椭圆，双曲线，抛物线等。
直线与圆锥曲线的位置关系是平面解析几何的重要内容之一，也是高考的热点，反复考查。
考查的主要内容包括：直线与圆锥曲线公共点的个数问题;弦的相关问题(弦长问题、中点弦问题、垂直问题、定比分点问题等);对称问题;最值问题、轨迹问题和圆锥曲线的标准方程问题等。
关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为关于x(或关于y)的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长。
在三角形ABC中，它的外接圆半径为R，则正弦定理可表述为：a/sinA=b/si nB=c/sinC=2R，即a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC;(x-4) ^2+y 2=16被直线y= (根号3) x所截得弦长圆(x-4) ^2+y . 2=16与直线y= (根号3)x的一个交点恰为原点0(0,0)，另一个交点记为A，则OA就是圆(x-4) ^2+y 2=16被直线y= (根号3) x 所截得的弦，若记圆与x轴的另一个交点为B，则三角形OAB就是一个直角三角形，其中∠A0B=60° ，∠0AB=90° ，0B=2R，所以0A=2Rcos∠A0B=2Rcos60° =R。
又圆的半径为4，所以圆(x-4) ^2+y 2=16被直线y= (根号3) x所截得的弦长为4。
什么是弦长公式?以上就是给大家带来了关于弦长公式的大概含义，还想知道更多有用知识的朋友，记得关注一下本网站。
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弦长公式
若直线b kx y l +=:与圆锥曲线相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则 弦长221221)()(y y x x AB -+-= 221221)]([)(b kx b kx x x +-++-= 2121x x k -+= 212212
4)(1x x x x k -++= 同理：|AB|=122121224)(||11y y y y y y k
-+-+ 特殊的，在如果直线AB 经过抛物线的焦点，则|AB|=?
P48第7题
例题1：已知直线1+=x y 与双曲线14
:2
2
=-y x C 交于A 、B 两点，求AB 的弦长 解：设),(),,2211y x B y x A （ 由⎪⎩
⎪⎨⎧=-+=14122y x x y 得224(1)40x x -+-=得23250x x --= 则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+35322121x x x x 得， 23
83209424)(1212212=+=-++=x x x x k AB 练习1：已知椭圆方程为1222=+y x 与直线方程2
1:+=x y l 相交于A 、B 两点，求AB 的弦长
练习2：设抛物线x y 42=截直线m x y +=2所得的弦长AB 长为53，求m 的值
分析：联立直线与抛物线的方程，化简，根据根与系数的关系，求弦长 解：设 ),(),,2211y x B y x A （
联立方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=12
2122y x x y 得03462=-+x x 则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-=+21322121x x x x 3
112)21(4)32(24)(12212212=-⨯--=-++=∴x x x x k AB 解: 设),(),,2211y x B y x A （
联立方程:⎩⎨⎧+==m
x y x y 242得0)44(422=+-+m x m x 则⎪⎩
⎪⎨⎧=-=+412
2121m x x m x x 53)1(54)(122212212=--=-++=m m x x x x k AB
4-=∴m
例题2：已知抛物线32+-=x y 上存在关于直线0=+y x 对称相异的两点A 、B ，求弦长AB
分析：A 、B 两点关于直线0=+y x 对称，则直线AB 的斜率与已知直线斜率的积为1-且AB 的中点在已知直线上
解：B A 、 关于0:=+y x l 对称 1-=⋅∴AB l k k 1-=l k
1=∴AB k
设直线AB 的方程为b x y += ，),(),,2211y x B y x A （
联立方程⎩⎨⎧+-=+=32x y b
x y 化简得032
=-++b x x 121-=+∴x x AB ∴中点)2
1,21(b M +--
在直线0=+y x 上 1=∴b 022=-+∴x x
则 ⎩⎨⎧-=-=+212121x x x x
238)1(24)(12212212=+-=-++=∴x x x x k AB
小结：在求直线与圆锥曲线相交的弦长时一般采用韦达定理设而不求的方法，在求解
过程中一般采取步骤为：设点→联立方程→消元→韦达定理→弦长公式
作业：
（1） 过抛物线24y x =的焦点，作倾斜角为α的直线交抛物线于A ，B 两点，且
316=AB ，
求α的值
（2） 已知椭圆方程12
22
=+y x 及点)2,0(-B ，过左焦点1F 与B 的直线交椭圆于C 、D 两点，2F 为椭圆的右焦点，求2CDF ∆的面积。
弦长公式的应用
1. 弦长问题
例1. 已知点），，（和，03)03(B A -动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为2，
点C 的轨迹与直线y=x-2交于D 、E 两点，求线段DE 的长。
解：设点C x y （，），则
||||CA CB -=±2，
根据双曲线的定义，可知点C 的轨迹是双曲线
x a y b
222
21-= 由，得，222231222a c AB a b =====||
故点C 的轨迹方程是
x y 2
2
21-= 由，得x y y x x x 22
2212460-==-⎧⎨⎪⎩
⎪+-= 因为∆>0，所以直线与双曲线有两个交点。
设D x y E x y ()()1122，，，，则
[]
x x x x DE x x x x x x 12122121221246112445+=-=-=+-=+-=，故,
||||()
2. 求曲线的方程
例2. 已知点A ()--14，，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上，直线l y x ：=-22与抛物线C 交于M M 12、两点，若||||||AM M M AM 1122、、成等比数列，求抛物线C 的方程。
解：设抛物线C y px p M x y M x y ：，，，，，2
11122220=>()()()
显然点A 在直线l 上，
由，得y px y x 2222
==-⎧⎨⎩ y px p 220--=，
所以y y p 12+=，
y y p 122=-
由图1，知y y 1244>->-，，
图1
又|||||
|M M AM AM 12212=⋅，即 11211241124441682416282122212212212
12122+-⎛⎝
⎫⎭⎪=+++++-=++++=-++==-||()()()()y y y y y y y y y y y y p p p p p p ，亦即，
，
解得或（舍去）
故抛物线C 的方程为y x 24=。
例3. 已知F 是定点，l 是定直线，点F 到直线l 的距离为p p ()>0，点M 在直线l 上滑动，动点N 在MF 延长线上，且满足||||||
FN MN MF =1，求动点N 的轨迹方程。
解：如图2所示，以点F 为原点，过点F 垂直于l 的直线为x 轴建立直角坐标系。
图2
设N x y x k y x FN ()().，，则>=0 由于|||||
|MN MF NF =⋅， 根据公式，得
111022222
222++=+⋅++=+>y x x p y x p y x
x p x y x p x ()()，化简，得，
平方整理，得点N 的轨迹方程为
()()p x p y px p x 22222
1200-+--=>.
3. 范围问题 例
4. 过椭圆x m y m m 21
125+-=≤≤2
()的左焦点F 且倾斜角为45°的直线l 与椭圆及其准线的交点从左至右依次为A 、B 、C 、D ，记f m AB CD ()||||||=-，求f m ()的取值范围。
图3
解：由条件，知直线l y x x m ：，椭圆准线：=+=±1，
A m m D m m ()().--++，，，11
设B x y C x y ()()1122，，，，
其中-<<<m x x m 12，则
|||()|()||||()()||||||||..().
AB x m x m CD m x m x f m AB CD x x y x x m y m m x mx m m m =
+--=
+=+-=-=-=
+=++-=⎧⎨⎪⎩⎪-+-+=≤≤11211221112122025
2112221222
22，，
由得因为 所以，f m m m m m m ()=
--=-=
+-⎛⎝ ⎫⎭⎪∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥22212221211211029
423
练习： 设双曲线x a y b
a b 222
2100-=>>()，的右顶点为A ，P 是双曲线上的一个动点（异于顶点）。
从A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP 分别交于Q 和R 两点。
图4
（1）证明无论P 点在什么位置，总有||||||OP OQ OR 2
=⋅（O 为坐标原点）； （2）求T AP AQ AR =⋅||||||
2
的取值范围。
（答案：T b a b
T >+≠2
221且）。