第7章地球椭球及其数学投影4PPT课件

B 2B 1B d d B S M S d d3B 3 S MS 23 4 3
类似地，有：
L 2L 1L d d S L M S d d3L 3 S M S 23 44 A 2 1A 1 2A d d A S M S d d3A 3 S M S 23 4 5
S2 2
dd3SB 3 0
S3 6
BB2B1 ddB S0Sdd2SB 2 0
S2 2
dd3SB 3 0
S3 6
同样可得到：
LL2L1d dS L 0Sdd2S L 20S22dd3S L 30S63
AA21800A1d d
A S0Sdd2S A 20S22dd3S A 30
S3 6
若能求出各阶导数，便可得正解公式。下面来求各阶导数:
收敛快，精度高。 ② 由于求定中点M很复杂，将M点用大地线两 端点平均纬度及平均方位角相对应的m点来代替，并用迭代计算 实现大地主题正算。 2）公式推导： 设M点是大地线P1P2的中点，P1P2=S则 有：MP2 =S/2，MP1=-S/2仿勒让德级 数，在M点展开得：
1
2
1 与 2 两式相减（偶数项全被抵消），得：
31!dd3SL3 1S3
A211
800
A(0) 1 1!
d d
A S S1
1 2!
dd2SA2 1S2
1 3!
dd3SA3 1S3
又因为当S=0时有：
B(0)=B1 ， L(0)=L1 ， A(0)=A12 可得纬度差、经度差和方位角差展开为大地线长度的级数式：
B2
B1ddB S0Sdd2SB 2 0
第4章 地球椭球及其数学投影 变换的基本理论
4.7 大地测量主题解算概述
4.7.1 大地主题解算的一般说明
大地元素：椭球面上大地经度L、大地纬度B、大地线长S、 正反大地方位角A12与A21。 大地主题解算：已知某些大地元素推求另一些大地元素，分 为正解与反解
1.大地主题正解：已知(L1 ，B1)， A1源自，S12，计算(L2 ，B2)，A21
若找到大地线上某点元素L、B、A、S与球面上大圆弧相应点 的元素φ、λ、α、σ 的关系式，便可实现椭球面向球面的过 渡。一般是通过解下列微分方程得到相应关系式。
dB dL dA dS
df1,df2,df3,df4
基本解算步骤： ① 按椭球面上的已知值计算圆球面上相应值，实现椭球
面向圆球面转换； ② 在球面上解算大地问题； ③ 按球面上的数值计算椭球面的相应数值，实现从圆球
向椭球的过渡。
基本特点：解算精度与距离无关，既适合短距离解算，又适合 长距离解算。
（3）利用地图投影理论进行大地主题解算；
（4）对大地微分方程进行数值积分的大地主题解算方法；
（5）依据大地线外的其它线为基础的大地主题解算方法。
4.7.2 勒让德级数式：
1. 大地主题正解公式
已知P1（L1，B1），则在P1处大地方位角为A12的大地线S上的
若能求得以上各式中的各阶导数，便可得到高斯引平均数正 算公式。下面来讨论相关计算。
先来求 dB 的各阶导数 ： dS M
已知： 1
2
1 与 2 两式相加（奇数项全被抵消）除以2，得：
B 1 2B 2B M B m B M d d2B 2 S M S 8 2
类似地，有：
式中:
Bm 12B1B2
c
可知 dB
Lm
LM
d2L dS 2
M
S2 8
Am
AM
d2A dS 2
M
S2 8
其中：
L m 1 2L 1L 2, A m 1 2A 1A 2
由
dBcoAs V3
dL sinA V
cosA,
secBsinA,
dS M c
dS NcoBs c
dAtaB n
V
sinA taB nsin B
dS N
任意点P2（L2，B2）及其大地方位角A21必是大地线的长度S 的函
数:
B2=B(S）
L2=L(S)
A21=A(S)
在P1处展开为S的级数有：
B2
B(0) 1dB S 1! d S1
1 2!
dd2SB2 1S2
1 3!
dd3SB3 1S3
L2
L(0) 1 1!
dL S d S1
1 2!
dd2SL2 1S2
dB dS
A
d2B dS2
dA dS
其中：
同理，可求出四阶以上的导数。 引用符号
并将上述符号及各阶导数代入级数展开式即可大地正解公式：
因其级数收敛较慢，只适用于边长短于30km的情况。
4.7.3 高斯平均引数公式 1. 高斯平均引数正算公式：
已知(L1,B1)，A12，S12，计算(L2， B2)，A21。 1）基本思想：① 把勒让德级数在大地线中点M展开，以使项数少，
如 果 已 知P1 和P2 点的大 地 坐标 (L1，B1)和(L2，B2)，计算P1至P2 的大地线长S及其正、反方位角 A12，A21，这类问题叫做大地主 题反解。
根据大地线的长短，主题解算可分 为：
短距离(400km以内)， 中距离(400—l000km) 及 长距离(1000km以上) 三种。
已知Pl点的大地坐标(L1，B1)， P1至P2的大地线长S及其大地方位角 A12，计算P2点的大地坐标(L2，B2) 和 大 地 线 S 在 P2 点 的 反 方 位 角 A21 ， 这类问题叫做大地主题正解。
2. 大地主题反解：已知(L1，B1)， (L2， B2)， 计算A12，S12 ，A21
由大地线的微分公式，得其一阶导数为：
dBcoAs V3
dL sin A V
cosA,
secBsinA,
dS M c
dS NcoBs c
dAtaB n
V
sin A taB nsin B
dS N
c
d2B dS2
B
dB dS
dB
dS
A
dB dS
dA dS
d3B dS3
B
d2B dS2
3. 大地主题解算方法：70余种，按基本思想可分为以下几类: （1）以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础：
勒让德级数式，高斯平均引数公式都是以大地线微分方程为基础。 这类方法特点：解算精度与距离有关，距离越长，收敛越慢， 只适用于较短距离。
（2）白塞尔大地主题解算方法
基本思想: 将椭球面上的大地元素按照白塞尔投影条件投影 到辅助球面上,继而在球面上进行大地主题解算,最后再将球上 的计算结果转换到椭球面上。