椭圆弦长的求法练习

高中数学椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用

椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用摘要：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即12AB x -或者12AB y -，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公式：22222cos ab AB a c θ=-，如果记住公式，可以给我们解题带来方便.下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用.解法一：根据弦长公式直接带入解决.题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .椭圆方程12222=+by a x 可化为0222222=-+b a y a x b ……①，直线l 过右焦点，则可以假设直线为：x my c =+(斜率不存在即为0m =时)，代入①得：222222222()20b m a y mcb y b c a b +++-=，整理得，222224()20b m a y mcb y b ++-=∴2412122222222,mcb b y y y y b m a b m a +=-=-++，∴12AB y -==∴()2222221ab AB m b m a=++ （1）若直线l 的倾斜角为θ，且不为90,则1tan m θ=，则有： ()2222222222221111tan tan ab ab AB m b m a b a θθ⎛⎫=+=+ ⎪+⎝⎭+,由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为22222cos ab AB a c θ=-……②. （2）若=90θ，则0m =，带入()2222221ab AB m b m a =++,得通径长为22b a ，同样满足②式.并且由()222232222222222222222222()222()2()21=22ab a b m a a ab a a b a a b b AB m a a b m a b m a b m a a a +-+--=+=-≥-=+++,当且仅当0=m 即斜率不存在的时候，过焦点弦长最短为a b 22，故可知通径是最短的焦点弦，.综上，焦点弦长公式为22222cos ab AB a c θ=-.解法二：根据余弦定理解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：如右图所示，连结11,F A F B ，设22=,F A x F B y =，假设直线的倾斜角为θ，则由椭圆定义可得11=2,2F A a x F B a y -=-，在12AF F ∆中，由余弦定理得222(2)(2)cos()4c x a x cx πθ+---=，化简可得2cos b x a c θ=-，在12BF F ∆中，由余弦定理同理可得2cos b y a c θ=+，则弦长2222222=cos cos cos b b ab AB x y a c a c a c θθθ=+=+-+-.解法三：利用焦半径公式解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：由解法一知22212121222222222=()22m cb a cx x my c my c m y y c c b m a b m a ++++=++=-+=++.由椭圆的第二定义可得焦半径公式，那么2122,F A a ex F B a ex =-=-故222221212222222222(1)=2()ab m ab ab m AB a ex a ex a e x x b m a b m a ++-+-=-+==++后面分析同解法一.解法四：利用仿射性解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：利用仿射性，可做如下变换''x xa y yb =⎧⎪⎨=⎪⎩，则原椭圆变为222(')(')x y a +=，这是一个以原点为圆心，a 为半径的圆.假设原直线的斜率为k ，则变换后斜率为ak b.椭圆中弦长212=1AB k x x +-，经过变换后变为212''1()a A B k x x b=+-，带入，得变换前后弦长关系为22221=''b k AB A B b a k++……③而我们知道圆的弦长可以用垂径定理求得.如图所示，假设直线为()ay k x c b=-，圆心到直线的距离为21()a kc bd a k b=+，根据半径为a ，勾股定理求得弦长为222222222()(1)''=221()akc a b k b A B a ak b a k b+-=++，将此结果带入③中，得222222222222222222211(1)2(1)=''=2=b k b k a b k ab k AB A B b a k b a k b a k b a k++++++++，由tan k θ=，带入得 22222cos ab AB a c θ=-.上面我们分别用了四种不同的方法，求出了椭圆中过焦点的弦长公式为：22222cos ab AB a c θ=-，记住这个公式，可以帮助我们快速解决一些题目，下面我们举例说明.例1已知椭圆2212521x y +=的直线交椭圆于,A B 两点，求AB . 分析：如果直接用弦长公式解决，因为有根号，特别繁琐，利用公式则迎刃而解.解：由题，225,21,4=3a b c πθ===，,带入22222cos ab AB a c θ=-得=10AB . 例2已知点3(1,)2P -在椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>上，过椭圆C 的右焦点2(1,0)F 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点. （1）求椭圆的标准方程；（2）若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，且MNAB ，2ABW MN=,试判断W 是否为定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.分析：因为l 过焦点，故弦长可以用过焦点的弦长公式解决，显得十分简洁简单. 解：（1）由题知1c =，将点P 带入得221914a b+=，又222a b c =+，解得224,3a b ==，故椭圆方程为22143x y +=. （2）假设(,)A m n，则AB =，设倾斜角为θ，则cos θ=，根据过焦点的弦长公式则2222222222221234cos 12()4abm n MN m a c m n m n θ+===-+-+，故222=443ABm n W MN =+（）=4. 例3如图，已知椭圆22143x y +=的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线1l 交椭圆于,A C 两点，过1F 的直线2l 交椭圆于,B D 两点，12,l l 交于点P (P 在x 轴下方)，且1234F PF π∠=，求四边形ABCD 的面积的最大值.分析：注意到以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆没有交点，故形成1234F PF π∠=的点P 在圆内，先可以用焦点弦长公式表示出面积，再利用换元求出其最大值.解：假设1l 的倾斜角为θ,则2l 的倾斜角为3+4πθ，由椭圆的焦点弦长公式得：2124cos AC θ=-, 2124cos ()4BD πθ=--，221221212=2244cos 4cos ()4S AC BD πθθ⋅⋅⋅=⋅⋅---, 设22()(4cos )(4cos ())4f πθθθ=---71714971(cos 2)(sin 2)sin 2+cos 2+sin 42222448θθθθθ=--=-（）设sin 2cos 2(2,2)t t θθ⎡⎤+=∈-⎣⎦，则2sin 41t θ=-,带入得24971()+(1)448f t t t =-- 即21797()848f t t t =-+ min 99142()8f t -=,此时2t =，即sin 2cos 22θθ+=，得到=8πθ.综上，四边形ABCD 的最大值为2882=5.1499142S ≈-.此时=8πθ，得到2l 的倾斜角为78π,刚好两直线关于y 轴对称，如右图所示.。

椭圆中弦长问题

(2)斜率为－1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求
△AOB面积的最大值.
c 2
e＝＝，
a 2

由题意得 4 ＋ 1 ＝1，
a2 b2

a2＝b2＋c2，
a＝ 6，
x2 y2
∴椭圆 C 的方程为 6 ＋ 3 ＝1.
∴
b＝ 3，
设直线AB的方程为y＝－x＋m，
y＝－x＋m，
9
2
2 t2·t2＋6
所以|AB|的最大值为 2.
你还能想到其他做法吗？
三、定值、定点问题
【例 3】设
y2 x2
A(x1，y1)、B(x2，y2)是椭圆 a 2 b 2 1(a b 0)
x1 y1
x2 y2
上的两点，已知 m ( b , a ), n ( b , a ) ，若 m n 0 且
a b
1(a>b>0)的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)时，
|AB|＝
或|AB|＝
1＋k x1＋x2 －4x1x2
2
2
1
2
1＋k2 y1＋y2 －4y1y2
k存在
k存在且k≠0
.
注意点：
(1)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解
的情况下进行的，不要忽略判别式.
(2)不确定直线斜率的情况下，要分类讨论.
2 ，
1＋2k
|k| 4＋6k2 10
10
由
＝ 3 ，得 k＝±1，满足 Δ>0. 所以当△AMN 的面积为时，k＝±1.
2
3
1＋2k
二、与弦长有关的最值、范围问题
2
2
x
y

椭圆练习题带答案,知识点总结(基础版)

椭圆练习题带答案,知识点总结(基础版)椭圆是平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a （其中2a>F1F2）的点的轨迹。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

当椭圆焦点在x轴上时，标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）。

当椭圆焦点在y轴上时，标准方程为x^2/b^2+y^2/a^2=1（a>b>0）。

椭圆的范围为-a≤x≤a，-b≤y≤b。

椭圆有x轴和y轴两条对称轴，对称中心为坐标原点O(0,0)。

椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b。

椭圆的顶点坐标为(±a,0)，(0,±b)。

椭圆的焦点坐标为(±c,0)，其中c^2=a^2-b^2.椭圆的离心率为e=c/a（其中0<e<1）。

a、b、c、e的几何意义：a叫做长半轴长；b叫做短半轴长；c叫做半焦距；a、b、c之间满足a^2=b^2+c^2.e叫做椭圆的离心率，e可以刻画椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁，e 越小，椭圆越圆。

对于椭圆上任一点P和椭圆的一个焦点F，PF_max=a+c，PF_min=a-c。

当点P在短轴端点位置时，∠F1PF2取最大值（余弦定理）。

椭圆方程常用三角换元为x=acosθ，y=bsinθ。

弦长公式为：设直线y=kx+b交椭圆于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，则|P1P2|=√(1+k^2(x1-x2)^2)或|P1P2|=√(1+(y1-y2)^2/k^2)（k≠0）。

判断点P(x,y)是否在椭圆内，当且仅当x^2/a^2+y^2/b^21.若椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的离心率为c/a，短轴长为4√2，则它的长轴长为2a=6.1.在椭圆$x^2/a^2+y^2=1$的内部，点$A(a,1)$，则$a$的取值范围是$-2<a<2$。

2.已知椭圆方程$x^2/16+y^2/8=1$，焦点为$F_1,F_2$，点$P$在椭圆上且$\angle F_1PF_2=\pi/3$。

直线与椭圆的位置关系、弦长公式

解：
3、弦中点问题
例：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解：
韦达定理→斜率
韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
3、弦中点问题
例：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．
2.2.2 椭圆的简单几何性质
1-----直线与椭圆的位置关系 2-----弦长公式
高二数学熊超进
直线与椭圆的位置关系
种类: 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
1直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
例：已知斜率为1的直线L过椭圆交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
练习：已知椭C x2 y2 1斜率为1的直线 l 与椭圆交
3
于 A, B 两点，且 AB 3 2求直线 l 的方程
2
3.若P(x,y)满足 x2 y2 1( y 0) ,求 y 3 的
4
x4
最大值、最小值.
( x1
x2 )2
4 x1
x2
6 5
2
2、弦长公式
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
弦长公式：
弦长的计算方法：弦长公式：
|AB|= 1 k 2 ·（x1 x2）2 4x1 x2
=
1
1 k2
·（y1
y2）
4 y1

专题22 椭圆(解答题压轴题)(教师版)-2024年高考数学压轴专题复习

专题22 椭圆（解答题压轴题）目录①椭圆的弦长（焦点弦）问题 (1)②椭圆的中点弦问题 (10)③椭圆中的面积问题 (15)④椭圆中的参数和范围问题 (22)⑤椭圆中的最值问题 (28)⑥椭圆中定点、定值、定直线问题 (35)⑦椭圆中向量问题 (42)⑧椭圆综合问题 (48)所以()2216432224m m ∆=-⨯⨯-=解得33m -<<．设()11,A x y ，()22,B x y ，则1243m x x +=-，212223m x x -=2．（2023春·甘肃白银·高二统考开学考试）已知椭圆C上一点．(1)求C的方程；(2)设M，N是C上两点，若线段MN3．（2023秋·湖北武汉·高二武汉市第十七中学校联考期末）已知椭圆椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l与C交于A，B两点，且线段则2211222211641164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得(x 所以()()(1212124x x x x y y +-++又因为P 是DE 中点，所以1x +3．（2023秋·安徽亳州·高三校考阶段练习）令21230t k=->，故24k=当且仅当12tt=，即23,t k=故AOBV面积的最大值为3.）由题意得，四边形ABCD为菱形，则菱形ABCD的面积1S AC=⋅令235t n -=，得2716970n n -+=，解得7n =或977n =，从而2t =±或11621t =±.故直线l 的方程为23x y =±-，或116x =±④椭圆中的参数和范围问题1．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知动点）显然直线l 的斜率存在，设直线:1l y kx =+，1,1)y ，2(B x ,2)y ，则2(D x λ,2)y λ，四边形OAED 为平行四边形，AE =，12(E x x λ+,12)y y λ+，A ，B ，E 均在椭圆C 上，2114y +=，2222194x y +=，221212()()194x x y y λλ+++=，0，2129180x y y λ++=，依题意，设直线l 的方程为(1)(y k x =-易得12x x <．联立方程组()221,1,4y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 并整理得则2122814k x x k +=+，()21224114k x x k -=+，）得()20A ，，设直线l 的方程为x =2214x my tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2242m y mty ++()()()222Δ244416mt m t m =-+-=2mt 24t -）C 短轴顶点时，PAB V 的面积取最大值222a b c =+，解得2,a b =的标准方程为2214x y += .）1122(,),(,)P x y Q x y ，若直线PQ 的斜率为零，由对称性知1111022y y x x -==++，222y k x -=-设直线PQ 的方程为x ty n =+由()2224y k x x y ⎧=+⎨+=⎩，得(2k +()()(22121k x k x ⎡⎤++-+⎣⎦解得()22211k x k -=+或x =-）)()0011,,,x y A x y ，()22,B x y ，则可设直线PA 的方程为1x my =-，其中221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得(234m +）为椭圆C 的左顶点，又由（1）可知：(2,0)M -，设直线联立方程可得：222(44x ty mt x y =+⎧⇒+⎨+=⎩()()22224(4)40mt t m =-+->，即设直线:l y kx m =+交该椭圆220x +将y kx m =+代入221205x y +=得()2221484200k x kmx m +++-=设()11,D x y ，()22,E x y ，则21221621k x x k +=+，12x x ∴()1212542x x x x =+-，又()2,0A -，()2,0B ，∴直线AD 的方程为()1122y y x x =++，直线BE 的方程为1．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）椭圆且垂直于长轴的弦长度为1．(1)求椭圆C的标准方程；2．（2023秋·北京海淀·高三清华附中校考开学考试）已知椭圆长轴长为6．(1)求椭圆E的标准方程；(2)椭圆E的上下顶点分别为,A B，右顶点为C，过点于x轴对称，直线AP交BC于M，直线AQ交BC于点【答案】(1)221 94x y+=(2)证明见解析【详解】（1）根据题意可知26a=，可得3a=；联立直线与椭圆方程221942x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去设(),P P P x y ，易知P x 和0是方程的两根，由韦达定理可得又2P P y kx =+，所以2218894P k y k -=+，即1．（2023秋·辽宁·高二校联考阶段练习）已知椭圆3。

圆锥曲线大题—弦长问题-含解析

第02章弦长问题经过第一章的学习, 本章部分题目会跳步(实际考试一定要把完整过程写上去), 对于不知道硬解公式的人来说是跟不上的, 但是对于掌握硬解公式的人来说解题效率会有很大提升！通过前面的学习, 相信你已经对硬解定理有了一定的了解和掌握, 在圆雉曲线中弦长问题的计算也是比较烦琐的, 本章目的是通过练习能够熟练使用弦长公式, 并不要求死记硬背, 跟随着我们的脚步, 慢慢熟练掌握这个公式即可, 相信掌握之后能够大大减少你的计算时间!首先推导一下弦长公式. 由{x2a2+y2b2=1Ax+By+C=0ε=a2A2+b2B2消y得(a2A2+b2B2)x2+(2a2AC)x+a2(C2−b2B2)=0εx2+βx+μ=0Δx=β2−4εμ=4a2b2B2(ε−C2)由弦长公式AB=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2有AB =√1+A2B2√β2ε2−4εμε⋅ε=√1+A2B2√β2−4εμε2=√1+A2B2√Δxε2=√1+A2B2√4a2b2B2|ε−C2|ε2=√A2+B22ab√∣ε−C2Φ|ε|=2ab⋅√A2+B2⋅√∣ε−C2T|ε|所以【注】这个公式的绝对值对于椭圆来说是不必要的,对于双曲线来说是必要的. 在练习题中如果急需弦长, 只需看着上面的方程组来默写弦长即可. 我们先借助一些简单的题目来熟悉一下弦长公式.【例 1】过椭圆 x 26+y 22=1 的布焦点且斜率为 1 的直线 l 与椭圆交于 A 、B 两点, 求线段 AB 的长度.解 :法一:一般解法.吻知右焦点坐标为 (2,0), 设直线 l 的方程为 y =x −2, 联立方程组有{x 26+y 22=1x −y −2=0消去 y 并整理得 2x 2−6x +3=0.设 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 故x 1+x 2=3, x 1x 2=32则|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√6法二: 套公式解法.公式: AB =2ab⋅√A 2+B 2⋅√|ε−C 2||ε| (对照使用,熟悉该式, 建议保留原始数据去计算).这里说明一下:并不是让大家做题直接套公式,首先联立方程的标准书写流程大家都是会的,当熟悉了硬解定理之后,联立方程的步骤就相当于默写,弦长公式也是可以跳过前面的流程邺写的,这对提高解题效率是很有帮助的.其实圆雉曲线联立的计算流程都是千篇一律的,当熟悉了硬解公式后,解题的重心就偏向于分析解题思路而不是限于计算,也就是节省计算时间来分析题日思路.下面的解题过程会适当跳步.【例2】已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦距为2,离心率为√22.(1)求椭圆C 的标准方程.(2)经过椭圆的左焦点F 1作倾斜角为60∘的直线l ,直线l 与椭圆交于A 、B 两点,求线段AB 的长.解:(1){2c =2c a =√22⇒x 22+y 2=1.a 2=b 2+c 2(2)过椭圆的左焦点F 1(−1,0),倾斜角为60∘的直线l 的方程为y =√3(x +1).公式:AB =2ab⋅√Λ2+B 2⋅√|ε−C 2||ε|.{x 22+y 21=1√3x −y +√3=0AB =2√2×√1×√√32+12√7−√322×√32+1=8√27例1、例2正常计算也是十分简单的,因为不含用字母表示的末知量,接下来我们看看带用字母表示的末知量的情况.【例3】已知椭圆G:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32,长轴长为4,过点(m,0)作圆x 2+y 2=1的切线l 交椭圆G 于A 、B 两点.(1)求椭圆G 的方程.(2)将|AB|表示为m 的函数,并求|AB|的最大值.解:(1)由题意可得{c a =√322a =4a 2=c 2+b 2⇒x 24+y 2=1. (2)法一:设切线l 的方程为ty =x −m,|m|⩾1. 由√t 2+1=1,得m 2=t 2+1.联立{ιy =x −m x 2+4y 2=4,得 (t 2+1)y 2+2tmy +m 2−4=0由Δ>0,可得4+t 2>m 2,所以y 1+y 2=−2tm t 2+4,y 1y 2=m 2−4t 2+4|AB|=√(1+t 2)[(y 1+y 2)2−4y 1y 2]=1√3|m|m 2+3=1√3|m|+3|m|⩽2 当务仅当|m|=√3时取等号.此时|AB|取得最大值2.法二:使用公式计算.公式:AB =2ab⋅√A 2+B 2⋅√|ε−C 2||ε|. 由{x 24+y 21=1x −ty −m =0,得 AB =2√4×√1×√1+t 2√4+ι2−m 24+t 2由相切可得|m|√1+t 2=1⇒t 2=m 2−1所以 AB =2√4×√1×√1+t 2√4+t 2−m 24+t 2=4√3|m|m 2+3=4√3|m|+3|m|后面同法一一样,不再慗述.【例4】设椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过M(2,√2)、N(√6,1)两点,O 为坐标原点.(1)求椭圆E 的方程.(2)是否存在圆心在原点的圆,使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A 、B ,且OΛ⊥OB , 若存在,写出该圆的方程,并求出|AB|的范围;若不存在,说明理由.解:(1)因为椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过M(2,√2)、N(√6,1)两点,所以{4a 2+2b 2=16a 2+1b 2=1 解得a 2=8,b 2=4所以椭圆E 的方程:x 28+y 24=1.(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A 、B ,且OA ⊥OB ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),该圆的切线方程为x =ky +m .由{x 28+y 24=1x −ky −m =0消x 得,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,；消y 得,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.所以x 1x 2=,,,,,,,,,,,,,,；,y 1y 2= ,,,,,,,,,,,,,,；Δ>0⇒,,,,,,,,,,,,,.因为OA ⊥OB ,所以x 1x 2+y 1y 2=8(m 2−4k 2)+4(m 2−8)8+4k 2=0 所以(8+4)m 2=8×4(1+k 2)⇒m 2=83(1+k 2) 因为直线y =kx +m 为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为r =√1+k 2=√8×48+4=2√63（应用公式r =√a 2b 2a 2+b 2) 所以所求的圆为x 2+y 2=83. 由弦长公式有。

椭圆求弦长两种解题方法

椭圆求弦长两种解题方法
椭圆的弦长问题通常可以通过两种主要方法来解决：几何法和代数法。

方法一：几何法
1.首先，确定椭圆的标准方程，例如 a2x2+b2y2=1，其中 a 和
b 是椭圆的半长轴和半短轴。

2.确定直线方程，例如 y=kx+m。

3.联立椭圆方程和直线方程，消去 y 或 x，得到一个关于 x 或
y 的二次方程。

4.利用韦达定理，求出这个二次方程的根的和与积，即弦的两个
端点的 x 或 y 坐标的和与积。

5.利用弦长公式，如 d=1+k2⋅(x1+x2)2−4x1x2，其中 k 是直线
的斜率，x1 和 x2 是二次方程的根，求出弦长。

方法二：代数法
1.同样首先确定椭圆和直线的方程。

2.联立椭圆方程和直线方程，消去 y 或 x，得到一个关于 x 或
y 的二次方程。

3.利用求根公式求出这个二次方程的根，即弦的两个端点的 x
或 y 坐标。

4.直接计算这两个端点之间的距离，即弦长。

这两种方法的主要区别在于如何计算弦长。

几何法利用弦长公式和韦达定理，而代数法则直接计算两个端点之间的距离。

在实际应用中，可以根据具体情况选择适合的方法。

《椭圆中的弦长问题》进阶练习(三)-1

《椭圆中的弦长问题》进阶练习一、选择题.已知直线，当变化时，此直线被椭圆截得的最大弦长是（）. . ..若直线过抛物线的焦点，与抛物线交于、两点，且线段中点的横坐标为，则弦的长为（）.设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且：：，则△的面积为(). .二、解答题. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上．上一点到两焦点、的距离之和为，且该椭圆的离心率为．（）求椭圆的标准方程；（）若直线：交椭圆于不同两点、，且满足（为原点），求直线的方程．.设椭圆的中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，一个顶点为（，），右焦点到点的距离为．（）求椭圆的方程；（Ⅱ）设经过点（，）的直线与椭圆相交于不同两点，满足，试求直线的方程．参考答案.解：（），（）.解：（Ⅰ）依题意，设椭圆方程为，则其右焦点坐标为，由，得，即，故．又∵，∴，∴所求椭圆方程为．（Ⅱ）由题意可设直线的方程为（≠），由，知点在线段的垂直平分线上，由得（）即（）①△（）（）×＞即时方程①有两个不相等的实数根设（，），（，），线段的中点（，）则，是方程①的两个不等的实根，故有从而有，于是，可得线段的中点的坐标为又由于≠，因此直线的斜率为由⊥，得即，解得，∴，∴所求直线的方程为：．. 本题主要考查直线与椭圆的位置关系.解：直线恒过定点(，)，且是椭圆的短轴上顶点，因而此直线被椭圆截得的弦长，即为点与椭圆上任意一点的距离，设椭圆上任意一点(θ，θ)∴(θ)(θ)θθ∴当θ时，∴，故选.. 解：因为抛物线为，所以设、两点横坐标分别为，，因为线段中点的横坐标为，则，即，故．. 解：∵：：，∴可设，，由题意可知，∴，∴，，∵，∴△是直角三角形，其面积．故选．. 本题主要考查椭圆的应用，熟悉直线与椭圆的关系是解答本题的关键，是高考中常见的题型，属于中档题.（）由题意得，直接运用椭圆的标准方程的应用即可求解；（）由题意得，直接运用直线与椭圆的关系即可求出答案..（Ⅰ）设出椭圆的标准方程，由右焦点到点的距离为列式求出的值，结合和求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设出直线的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系求出两交点、的坐标和，从而求出线段的中点的坐标，由，知点在线段的垂直平分线上，由两点式写出的斜率，利用和垂直，斜率之积等于求直线的斜率，则方程可求．本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，运用了设而不求的解题思想，训练了两直线垂直的条件，是难题．。

椭圆专题(二)弦长、面积与范围

已知椭圆上两个不同的点A,B关于直线y=mx+ 对称．
(1)求实数m的取值范围；
(2)求 AOB面积的最大值（O为坐标原点）．
19.(1) 或 (2)
解析:(1)由题意知 ,可设直线的方程为 ,由 ,消去 ,得 ,因直线与椭圆有两个不同的交点,所以 .将的中点代入直线方程解得代入上式得或 ;
(2)令 ,则 ,且点O到直线的距离 ,设的,面积为 ,所以 ,当且仅当时,等号成立,故面积的最大值为
石室中学高2020届解析几何专题
(弦长、面积与范围)
一、典型例题:
1.如图，直线y＝kx＋b与椭圆交于A、B两点，记△AOB的面积为S．
(I)求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；
（Ⅱ)当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．
因为AC与BD相交于点P，且AC的斜率为，
所以，
四边形ABCD的面积
当k2=1时，上式取等号。
（ii）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4.
综上，四边形ABCD的面积的最小值为
（Ⅰ）设P点的坐标为，证明：；
（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）四边形ABCD的面积的最小值为
【解析】证明：
（Ⅰ）椭圆的半焦距 .
由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，
故，
所以，
（Ⅱ）（i）当BD的斜率k存在且k≠0时，BD的方程为代入椭圆方程
，并化简得
设，则
A． B． C． D．
【答案】D
2．设A，B是抛物线y2＝2x上异于原点的不同两点，则的最小值为( )
A．1B．－1C．－2D．－4

2020年高考数学一轮复习专题10.8椭圆双曲线抛物线的弦长练习(含解析)

第八讲椭圆双曲线抛物线的弦长1.圆锥曲线的弦长公式设斜率为k（k≠0）的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A（x1，y1），B（x2，y2），则1212AB x y y=-==-=2.求解弦长的四种方法（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．（2）联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解．（3）联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系得到（x1－x2）2或（y1－y2）2，代入两点间的距离公式．（4）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．【注意】利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不存在，可直接求交点坐标再求弦长．涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用．考向一直线与椭圆的弦长【例1】（1）如图，已知斜率为1的直线l过椭圆C：22184y x+=的下焦点，交椭圆C于A，B两点，求弦AB的长．（2）已知点P(4,2)是直线l被椭圆x236＋y29＝1所截得的线段的中点．(1)求直线l的方程．(2)求直线l被椭圆截得的弦长．【答案】见解析【解析】（1）设A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) 由椭圆方程知28a =，24b =，所以222c a b =-=所以椭圆的下焦点F 的坐标为F (0，－2)，故直线l 的方程为y ＝x －2将其代入22184y x +=，化简整理得23440x x --=，所以1243x x +=，1243x x =-所以2222212121211282()()2()2()43AB x x y y x x x x x x -+-=-=+-=＝ (2)解法一根与系数关系法由题意可设直线l 的方程为y －2＝k (x －4)，而椭圆的方程可以化为x 2＋4y 2－36＝0．将直线方程代入椭圆方程有(4k 2＋1)x 2－8k (4k －2)x ＋4(4k －2)2－36＝0．所以x 1＋x 2＝8k4k －24k 2＋1＝8，解得k ＝－12．所以直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)即x ＋2y －8＝0．解法二：点差法设直线l 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋4y 21－36＝0，x 22＋4y 22－36＝0.两式相减，有(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝0．又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12，即k ＝－12．所以直线l 的方程为x ＋2y －8＝0．【举一反三】1.椭圆x 236+x29=1和点x(4,2)，直线x经过点x且与椭圆交于x,x两点．（1）当直线x的斜率为12时，求线段xx的长度；（2）当x点恰好为线段xx的中点时，求x的方程．【答案】(1)3√10;(2)x+2x−8=0.【解析】(1)直线l的方程为x−2=12(x−4)，即为x=12x，代入椭圆方程x2+4x2=36，可得x=±3√2，x=±3√22．即有|xx|=√(6√2)2+(3√2)2=3√10；(2)由P 的坐标，可得1636+49<1，可得P 在椭圆内，设x (x 1,x 1)，x (x 2,x 2)，则x 1236+x 129=1，①x 2236+x 229=1，②由中点坐标公式可得x 1+x 2=8，x 1+x 2=4，③ 由①−②可得，(x 1−x 2)(x 1+x 2)36+(x 1−x 2)(x 1+x 2)9=0，④将③代入④，可得x xx =x 1−x2x 1−x 2=−12，则所求直线的方程为x −2=−12(x −4)，即为x +2x −8=0． 2．已知椭圆x :x 23+x 2=1内有一条以点x (1,13)为中点的弦xx ，则直线xx 的方程为 .【答案】3x +3x −4=0【解析】设x (x 1，x 1)，x (x 2，x 2)，则x 1+x 22=1，x 1+x 22=1由x ，x 在椭圆上可得x 123+x 12=1，x 223+x 22=1,两式相减可得，(x 1−x 2)(x 1+x 2)3+(x 1−x 2)(x 1+x 2)1=0∴x xx =x 1−x 2x 1−x 2=−(x 1+x 2)3（x 1+x 2）=−23⋅23=−1直线xx 的方程为x −13=−1(x −1)即3x +3x −4=0.考向二直线与双曲线的弦长【例2】已知双曲线C ： 2212x y -=. （1）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点,A B，且AB =m 的值；（2）过点()1,2P 作直线l 与双曲线C 交于不同的两点,M N ，若弦MN 恰被点P 平分，求直线l 的方程. 【答案】(1) m=±2 (2) 4x ﹣y ﹣2=0【解析】（Ⅰ）分别设A ，B 的坐标为（x 1，y 1），（x 2，y 2）由22120x y x y m ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩，消y 可得，x 2﹣4mx+2（m 2﹣1）=0， ∴x 1+x 2=4m ，x 1•x 2=2（m 2﹣1），∴|x 1﹣x 2|2=（x 1+x 2）2﹣4x 1•x 2=16m 2﹣8（m 2﹣1）=8（m 2+1），∴|AB|=43，解得m=±2，（Ⅱ）分别设M ，N 的坐标为（x 3，y 3），（x 4，y 4），可得y 32﹣12x 32=1，y 42﹣12x 42=1，两式相减，可得（y 3﹣y 4）（y 3+y 4）=12（x 3﹣x 4）（x 3+x 4），由点P （1，2）为MN 的中点，可得x 3+x 4=2，y 3+y 4=4，∴4（y 3﹣y 4）=12×2（x 3﹣x 4），∴k MN =4 经检验0∆>即直线l 的方程为y ﹣2=4（x ﹣1），即为4x ﹣y ﹣2=0 【举一反三】1.已知双曲线x 24－y 2＝1，求过点A (3，－1)且被点A 平分的弦MN 所在直线的方程.【答案】3x ＋4y －5＝0.【解析】解法一：由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y ＋1＝k (x －3)，即y ＝kx －3k －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3k －1，x 24－y 2＝1，消去y ，整理得(1－4k 2)x 2＋8k (3k ＋1)x －36k 2－24k －8＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝8k 3k ＋14k 2－1. ∵A (3，－1)为MN 的中点，∴x 1＋x 22＝3，即8k 3k ＋124k 2－1＝3，解得k ＝－34. 当k ＝－34时，满足Δ>0，符合题意，∴所求直线MN 的方程为y ＝－34x ＋54，即3x ＋4y －5＝0.解法二：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∵M ，N 均在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 214－y 21＝1，x 224－y 22＝1，两式相减，得x 22－x 214＝y 22－y 21，∴y 2－y 1x 2－x 1＝x 2＋x 14y 2＋y 1. ∵点A 平分弦MN ，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－2.∴k MN ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 2＋x 14y 2＋y 1＝－34. 经验证，该直线MN 存在．∴所求直线MN 的方程为y ＋1＝－34(x －3)，即3x ＋4y －5＝0.2.过双曲线x 2−x 23=1的左焦点x 1，作倾斜角为x6的直线xx ，其中x ,x 分别为直线与双曲线的交点，则|xx |的长为________．【答案】3【解析】因为双曲线方程为x 2−x 23=1，所以左焦点x 1（−2，0），因为直线xx 的倾斜角为x 6，所以直线斜率为√33，直线xx 的方程为x =√33(x +2)，代入x 2−x 23=1可得8x 2−4x −13=0,x 1+x 2=12,x 1x 2=−138所以|xx |=√1+13|x 1−x 2|=2√33√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√33√(12)2−4(−138)=3，故答案为3.3．已知双曲线2x 2−x 2=2，则以点x (2,3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为______. 【答案】4x −3x +1=0【解析】设以A （2，3）为中点的弦两端点为P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），则x 1+x 2＝4，y 1+y 2＝6．又2x 12−x 12=2，①2x 22−x 22=2，②①﹣②得：2（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）＝（y 1+y 2）（y 1﹣y 2），又由对称性知x 1≠x 2，∴A （2，3）为中点的弦所在直线的斜率k =x 1−x 2x 1−x 2=2（x 1+x 2）x 1+x 2=2×46=43，所以中点弦所在直线方程为y ﹣3＝43（x ﹣2），即4x −3x +1=0．故答案为：4x −3x +1=0．考向三抛物线与直线的弦长【例3】（1）斜率为12的直线经过抛物线28x y =的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则||AB =_______；（2）过抛物线22y x =的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若2512AB =，AF BF <，则AF =____．【答案】（1）10；（2）56【解析】（1）设A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2),则对于抛物线x 2=8y,焦点弦长12()AB p y y =++因为抛物线的焦点坐标为（0,2），12AB k =，所以直线AB 的方程为12,242即y x x y =+=- 将24x y =-代入抛物线方程，得212640,6,4610从而所以=+=y y y y AB -+=+=（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x <，显然直线AB 的斜率存在，设为1()(0)2y k x k =-≠将直线方程与抛物线方程联立，消去y 得22221(2)04k x k x k -++=①，则21222=k x x k ++因为2122225||()112k AB p x x k +=++=+=，所以224k =，方程①即2121330x x -+= 解得113x =，234x =，故11152326p AF x =+=+= 【举一反三】1．已知抛物线y 2＝6x ，过点P (4，1)引一条弦P 1P 2使它恰好被点P 平分，求这条弦所在的直线方程及|P 1P 2|. 【答案】3x －y －11＝0 22303【解析】设直线上任意一点坐标为(x ，y )，弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．∵P 1，P 2在抛物线上，∴y 21＝6x 1，y 22＝6x 2. 两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)． ∵y 1＋y 2＝2，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6y 1＋y 2＝3， ∴直线的方程为y －1＝3(x －4)，即3x －y －11＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3x －11得y 2－2y －22＝0， ∴y 1＋y 2＝2，y 1·y 2＝－22. ∴|P 1P 2|＝ 1＋19·22－4×（－22）＝22303.2．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点．(1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值； (2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．【答案】（1）8 （2）92【解析】(1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0. 所以直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，消去y ，得x 2－5x ＋94＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝5，而|AB |＝|AF |＋|BF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p .∴|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知，|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3＝9，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3，又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.1. 若椭圆x 2+4x 2=36的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线方程为。

高中数学椭圆与直线各种题型与解法_1

本套习题涵盖了椭圆与直线的各种题型，特别适用于初次接触该部分内容的同学。

本套讲义将分几部分上传，有需要的同学可持续关注。

已知椭圆方程为141222=+y x ，O 为坐标原点，左右焦点分别为21,F F 。

（此条件通用）题型一、弦长公式（一）知识点讲解及审题依据1.公式介绍直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。

根据联立时消去未知量的不同，可以分为X--型，Y--型两种（二）例题分析（三）练习题1.过1F 作倾斜角为︒45的直线交椭圆于A 、B 两点，求弦长|AB|及三角形2ABF 的面积。

2222222y 3(12120,x 30(32)4136||F 4142ABF xAB AB d S++=++=++==-⋅⋅======⋅=解：设直线与椭圆联立，得x 化简得：4x 即下面计算到的距离： 2.过1F 作直线交椭圆于A 、B 两点，若弦长32=AB ，求直线方程。

2222222222222y 3(12,24120,(122)4(2412)4848||k 1k x k x k k k k k AB k ++=++-==-⋅⋅-=+===±解：(1)设直线=k(x+与椭圆联立，得x 化简得：(1+3)x (1+3)1+3解得：3.若直线m x y +=交椭圆于A 、B 两点。

求：(1)m 的取值范围(2) 求线段AB 中点M 的取值范围(3)若弦长32=AB ，求直线方程。

22222221212y ,3()12,63120,(6)44(312)121920443(2),23,24,:,43M()44-4<m<4 y (3)|M M M M M m x m mx m m m m m m x x m x m x y x m y m m x ++=++-==-⋅⋅-=-+>∴-<<+=-+∴==-=+=-∈∈解：(1)设直线=x+与椭圆联立，得x 化简得：4x 由（1）知，x x 将代入得于是，，又因为所以：（-3，3），（-1，1）|m AB ===±解得：。

数学-椭圆大题专题及解析

椭圆大题习题及答案解析1已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点()2,0A，且离心率为2．(I)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线y kx =+与椭圆C 交于,M N 两点．若直线3x =上存在点P ，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值．（（（由题意得 2a =（2c e a ==（所以c = 因为 222a b c =+（所以 1b =所以椭圆C 的方程为 2214x y +=（（（（若四边形PAMN 是平行四边形，则 //PA MN ，且 PA MN =. 所以直线PA 的方程为()2y k x =-，所以 ()3,P k，PA =（设()11,M x y ，()22,N x y （由2244,y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 得()224180k x +++=，由0∆>，得 212k >（且12241x x k +=-+，122841x x k =+（所以MN ==因为 PA MN =，所以=整理得 421656330k k -+=，解得k =±，或 k =±经检验均符合0∆>，但2k =-时不满足PAMN 是平行四边形，舍去（所以 k =k =± 2已知椭圆()2222:10x y C a b a b =>>+的左、右焦点分别为12,F F ，124F F =，过2F的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点，1PQF ∆的周长为（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，点A ,1F 分别是椭圆C 的左顶点、左焦点，直线m 与椭圆C 交于不同的两点M 、N （M 、N 都在x 轴上方）．且11AF M OF N ∠=∠．证明：直线m 过定点，并求出该定点的坐标.】（1）设椭圆C 的焦距为2c ，由题意，知1224F F c ==，可知2c =，由椭圆的定义知,1PQF ∆的周长为4a =，∴a =24b =∴椭圆C 的方程为22184x y += （2）由题意知，直线的斜率存在且不为0．设直线:l y kx m =+ 设()()1122,,,M x y N x y ，把直线l 代入椭圆方程，整理可得()222124280k x kmx m +++-=,()228840k m ∆=-+>，即22840k m -+>∴122412km x x k +=-+，21222812m x x k -=+，∵111212,22F M F N y y k k x x ==++， ∵M 、N 都x 轴上方．且11AF M OF N ∠=∠，∴11F M F N k k =-，∴121222y y x x =-++，即()()122122y x y x +=-+,代入1122,y kx m y kx m =+=+ 整理可得()()12122240kx x k m x x m ++++=，2121222284,1212m kmx x x x k k -=+=-++ 即222241684840km k k m km k m m ---++=，整理可得4m k =， ∴直线l ()44y kx m kx k k x =+=+=+，∴直线l 过定点()4,0-3已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 、Q 、R分别是椭圆C 的上、右、左顶点，且3PQ PR ⋅=-，点S 是2PF 的中点，且1OS =. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点()1,0T -的直线与椭圆C 相交于点M 、N ，若QMN △的面积是125，求直线MN 的方程.解：（Ⅰ）由题意知(),PQ a b =-，(),PR a b =--，∴223PQ PR a b ⋅=-+=-， ∵点S 是2PF 的中点，且1OS =，∴211122OS PF a ===，∴2a =，1b =，故所求椭圆方程为2214x y +=.（Ⅱ）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN ：1x ty =-，联立方程组22114x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()224230t y ty +--=， ∴12224t y y t +=+，12234y y t=-+，12y y -==24t =+，∴1211123225QMNS TQ y y =⋅⋅-=⨯=△， ∴1t =±.∴直线MN 的方程为1y x =+或1y x =--.（解法2：求出弦长12N M y =-=点Q 到直线MN 的距离d =11225QMNS MN d ===△， ∴1t =±.∴直线MN 的方程为1y x =+或1y x =--.4如图，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>内切于矩形ABCD ，其中AB ，CD 与x 轴平行，直线AC ，BD 的斜率之积为12-，椭圆的焦距为2.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）椭圆上的点P ，Q 满足直线OP ，OQ 的斜率之积为12-，其中O 为坐标原点.若M 为线段PQ 的中点，则22MO MQ +是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由. 【小问1详解】由题意，1c =，则()()()(),,,,,,,A a b B a b C a b D a b ----，所以22AC b bk a a==，22BDb b k a a ==--，所以B AC D k k ⋅=2212b a -=-，解得：a =1=，（椭圆的标准方程为2212x y +=.【小问2详解】（方法一）设()11,P x y ，()22,Q x y ，则1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭. 设直线PQ ：y kx t =+，由2212y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：()222124220k x ktx t +++-=， 12221224122212kt x x k t x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，由12OP OQ k k ⋅=-，得()()2212121212212220x x y y k x x kt x x t +=++++=，代入化简得：22212t k =+.（22221212121211222222x x y y x x y y x MO M y Q ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+2222121222x x y y ++=+，又点P ，Q 在椭圆上，（221112x y +=，222212x y +=，即22221212142x x y y +++=，（()222221212122242222222kt t x x x x x x t t --⎛⎫+=+-=-⋅= ⎪⎝⎭，（2212142x x +=.（2222222212121234242x x y y x x MO MQ ⎛⎫++++=++= ⎪⎝⎭.即2232MO MQ +=为定值. （方法二）由P ，Q 是椭圆C 上的点，可得221122222222x y x y ⎧+=⎨+=⎩，把12122x x y y =-代入上式，化简22122x y =，得22121y y +=，22122x x +=， ()22221222121322x x y y MO MQ ++==++. 5已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的中心是坐标原点O ，左右焦点分别为12,F F ，设P 是椭圆C 上一点，满足2PF x ⊥轴，212PF =，椭圆C的离心率为2（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 左焦点1F 且不与x 轴重合的直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求2ABF 内切圆半径的最大值.【小问1详解】以2214x y +=．【小问2详解】解：由（1）可知()1F ，222112248ABF CAB AF BF AF BF AF BF a =++=+++==，设直线l为x my =-2214x my x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()22410m y +--=，设()11,A x y ，()22,B x y，则1224y y m +=+，12214y y m -=+ 所以1224y y m -===+所以2121212ABF SF F y y =⋅-=，令内切圆的半径为R ，则2182ABF SR =⨯⨯，即24R m =+，令t =，则12t R t==≤=+，当且仅当3t t=，t =，即m =时等号成立，所以当m =R 取得最大值12； 6已知直线220x y 经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线,AS BS 与直线10:3l x =分别交于,M N 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）求线段MN 的长度的最小值；（3）当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这样的点T ，使得TSB △的面积为15，若存在，确定点T 的个数，若不存在，说明理由．【小问1详解】220x y ，令0x =得：1y =，令0y =得：2x =-，所以椭圆C 的左顶点为()2,0A -，上顶点为()0,1D ，所以2,1a b ==，故椭圆方程为2214x y +=.【小问2详解】直线AS 的斜率k 显然存在，且k >0，故可设直线AS 的方程为()2y k x =+，从而1016,33k M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由()22214y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，联立得：()222214161640k x k x k +++-=，设()11,S x y ，则212164214k x k --=+，解得：2122814k x k -=+，从而12414k y k =+，即222284,1414k k S k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又()2,0B ，由()124103y x k x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：13103y kx ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以101,33N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故16133k MN k =+，又0k >，所以1618333k MN k =+≥=，当且仅当16133k k =即14k =时等号成立，故线段MN 的长度的最小值为83.【小问3详解】由第二问得：14k =，此时64,55S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故5SB ==，要使椭圆C 上存在点T ，使得TSB △的面积等于15，只须T 到直线BS的距离等于24S SB =．其中直线SB ：4056225y x -=--，即20x y +-=，设平行于AB 的直线为0x y t ++=4=解得：32t =-或52t =-，当32t =-时，302x y +-=，联立椭圆方程2214x y +=得：275304y y --=，由9350∆=+>得：302x y +-=与椭圆方程有两个交点；当52t =-时，502x y +-=，联立椭圆方程2214x y +=得：295504y y -+=，由25450∆=-<，此时直线与椭圆方程无交点，综上：点T 的个数为2．满足题意. 所以原题得证，即直线2l 过定点10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭7己知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别为,A B ，点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭该椭圆上，且该椭圆的右焦点F 与抛物线24y x =的焦点重合. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，过点F 且斜率为k 的直线l 与椭圆交于,M N 两点，记直线AM 的斜率为k ，直线BN 的斜率为2k ，直线AN 的斜率3k ，求证：_____________.在以下三个结论中选择一个填在横线处进行证明. （直线AM 与BN 的交点在定直线4x =上；（1213k k =；（1314k k =-..解（因为抛物线24y x =的焦点为(1,0).所以椭圆的右焦点用(1,0)又点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在该椭圆上，所以221914a b += 又22221a b c b =+=+，所以224,3a b ==椭圆C 的标准方程为22143x y +=（2）选（设()()1122,,,M x y N x y 22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 联立得：()22223484120k x k x k +-+-=法一：直线11(2),(2)y k x y k x =+=+的交点的横坐标为()12212k k x k k +=-()2121212122212112162442233422481234234k x k k x x x x k x k k k x x x k --+-++==⋅=⋅=--+--+所以直线AM 与BN 的交点在定直线4x =上法二：要证直线AM 与BN 的交点在定直线4x =上，即()122124k k k k +=-，即证1213k k =即证12121232y y x x =+-，即证2212121292y y x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，即证1212221292x x x x -+=+- 即证()12122580x x x x -++=因为()2212122282482585803434k k x x x x k k ⎛⎫--++=-+= ⎪++⎝⎭所以直线AM 与BN 的交点在定直线4x =上.选（设()()1122,,,M x y N x y ，22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩联立得：()22223484120k x k x k +-+-=所以221212228412,3434k k x x x x k k -+==++ 法一：()()()()()()1212112122121212122122222122y x x x k x x x x k x y x x x x x x -----+===++--+- 222112212222221122412846223434134121834128322343434k k k x x x k k k k k k x x x k k k ⎛⎫-----+ ⎪-++⎝⎭+===-⎛⎫---+-- ⎪+++⎝⎭法二：()()12121222y x k k x y -=+ 所以()()()()()()()()222121212121222121212122222422242y x x x x x x x k k x x x x x x x y ----++⎛⎫=== ⎪++++++⎝⎭22222222224121644134344121636943434k k k k k k k k k k--+++===-++++因为12,k k 也同号，所以1213k k =法三：要证1213k k =，即证12121232y y x x =+-，即证2212121292y y x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭即证1212221292x x x x -+=+-，即证()12122580x x x x -++= 因为()2212122282482585803434k k x x x x k k ⎛⎫--++=-+= ⎪++⎝⎭ 所以1213k k =法四：由122(2)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222111341616120k x k x k +++-=得21122116812,3434k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭ 同理22222228612,3434k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ 因为,,M N F 为三点共线，所以12221222122212121234346886113434k k k k k k k k -++=----++即()()12214330k k k k +-= 因为12,k k 同号，所以1213k k = 选（设()()1122,,,M x y N x y ，22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩联立得：()22223484120k x k x k +-+-=所以221212228412,3434k k x x x x k k -+==++.()()21212121312121212224k x x x x y y k k x x x x x x ⎡⎤-++⎣⎦=⋅=+++++ ()2222222222222222412814128343434141241216121641634434k k k k k k k k k k k k k k k k ⎛⎫--+ ⎪--++++⎝⎭===---+++++++.所以1314k k =-8设椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为A ，B ，AB 4=．过点(0,1)E ，且斜率为k 的直线l 与x 轴相交于点F ，与椭圆相交于C ，D 两点．（1）求椭圆的方程；（2）若FC DE =，求k 的值；（3）是否存在实数k ，使直线AC 平行于直线BD ？证明你的结论．【小问1详解】由题意22224b c e a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪-=⎪⎩，解得2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩22164x y +=；【小问2详解】由题意知，0k ≠，直线l 的方程为1y kx =+，则1(,0)F k -，联立221641x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得()2223690k x kx ++-=，()223636230k k ∆=++>，设1122(,),(,)C x y D x y ，有12122269,2323k x x x x k k --+==++，则CD 中点横坐标为1223223x x kk+-=+，又,(0,1),1(0)F k E -，则EF 中点横坐标为12k-，又因为FC DE =，且,,,C E F D 四点共线，取EF 中点H ，则FH HE =，所以H F HE C DE F =--，即HC DH =，所以H 是CD 的中点，即,CD EF 的中点重合，即231232k k k -=-+，解得k = 【小问3详解】不存在实数k ，使直线AC 平行于直线BD ，证明如下：由题意，(0,2),(0,2)A B -，则()()1122,2,,2AC x y BD x y =-=+，若AC BD ，则AC BD ∥，所以()()122122x y x y +=-，即()12211220x y x y x x -++=，即()()()1221121120x kx x kx x x +-+++=，化简得()121220x x x x -++=，213x x =-，由（2）得，12112266,32323k k x x x x k k --+=-=++，解得12323kx k=+， ()12112299,32323x x x x k k --=⋅-=++解得212323x k =+，所以222332323k k k ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，整理得22233k k +=，无解，所以不存实数k ，使直线AC 平行于直线BD .9已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 且不与x 轴垂直的动直线l 与椭圆交于,M N 两点，点P 是椭圆C 右准线上一点，连结,PM PN ，当点P 为右准线与x 轴交点时，有2122PF F F =.（1）求椭圆C 的离心率；（2）当点P 的坐标为(2,1)时，求直线PM 与直线PN 的斜率之和. 【详解】解（1）由已知当P 为右准线与x 轴交点时，有2122PF F F =∴222a c c c ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴222c a =∴212e =又(0,1)e ∈，∴2e =. （2）∵(2,1)P ，∴22a c =又222a c =，∴2221a c ⎧=⎨=⎩，∴21b =∴椭圆22:12x C y +=.设直线l ：(1)y k x =-，()()1122,,,M x y N x y联立22(1)22y k x x y =-⎧⎨+=⎩，得()2222124220k x k x k +-+-= 则22121222422,1212k k x x x x k k-+==++， ∴()()121212121111112222PM PN k x k x y y k k x x x x ------++=+----=()()1212212122k x k k x k x x --+--+=+--121211112(1)2222k k k k k k x x x x ⎛⎫--=+++=+-+ ⎪----⎝⎭()()121242(1)22x x k k x x ⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪--⎝⎭()12121242(1)24x x k k x x x x ⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪-++⎝⎭将22121222422,1212k k x x x x k k-+==++代入得 ()12121242(1)2(1)(2)224PM PN x x k k k k k k x x x x ⎛⎫+-+=+-=+-⨯-= ⎪ ⎪-++⎝⎭.∴直线PM 与直线PN 的斜率之和为2.10已知椭圆22143x y +=，动直线l 与椭圆交于B ，C 两点（B 在第一象限）．（1）若点B 的坐标为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，求△OBC 面积的最大值；（2）设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），且3y 1+y 2=0，求当△OBC 面积最大时，直线l 的方程．【小问1详解】直线OB 的方程为32y x =，即3x -2y =0，设过点C 且平行于OB 的直线l '的方程为32y x b =+，则当l '与椭圆只有一个公共点时，△OBC 的面积最大．联立221,433,2x y y x b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 并整理，得3x 2+3bx +b 2-3=0，此时Δ=9b 2-12（b 2-3），令Δ=0，解得b =±当b =C ⎛ ⎝⎭；当b =-时，C ⎭，∴ △OBC=．【小问2详解】显然可知直线l 与y 轴不垂直，设直线l 的方程为x =my +n ，联立221,43,x y x my n ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 并整理，得（3m 2+4）y 2+6mnx +3n 2-12=0， ∴12221226,34312,34nm y y m n y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩∵ 3y 1+y 2=0，∴ 1222123,344,34nm y m n y m ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩ 从而()222222943434n m n m m -=++，即2223431m n m +=+， ∴21212216||6||||2||23431OBCm n m Sn y y n y m m =⋅-=⋅==++． ∵ B 在第一象限，∴ 21123034m nx my n n m =+=+>+，∴ n ＞0．∵ y 1＞0，∴ m ＞0，∴2661313OBCm Sm m m==≤=++当且仅当31m m =，即m =时取等号），此时2n =，∴ 直线l的方程为x y =+，即20y -=．11椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点为1F ，2F ，过椭圆右焦点2F 的直线l和椭圆C 相交于E 、F 两点，1EFF △的周长为8，若P 是椭圆上一个动点，且12PF PF ⋅的最大值为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）四边形MNAB 的四个顶点均在椭圆C 上，且//MB NA ，MB x ⊥轴，若直线MN 和直线AB 交于点()4,0S ，问：四边形MNAB 的对角线交点D 是否是定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．【详解】（1）解：1EFF △的周长为48a =∴2a =，令222c a b =-设()00,p x y ，1(,0)F c -，2(,0)F c()()20000,,PF PF c x y c x y ⋅=---⋅--2220x c y =-+2222021b x b c a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭当220x a =时，()22212max3PF PF a c b ⋅=-==∴21c =，∴23b =∴方程为22143x y += （2）解：设 :AM y kx b =+（k 一定存在）与椭圆联知：()2223484120kxkbx b +++-=设()11,A x y ，()22,M x y ，()11,N x y -，()22,B x y -，122834kb x x k +=-+，212241234b x x k -=+ ，∵M 、N 、S 共线∴2121044y y x x +=-- 得()12122(4)80kx x b k x x b +-+-=，即()222412824803434b kb k b k b k k--⋅+-⋅-=++，整理可得0k b +=∴:(1)AM y k x =-过点()1,0Q 下证：BN 也过()1,0Q 212111BQ NQ y y k k x x -=---()()()()()()2112211111011k x x k x x x x ----=--=-∴BN 和AM 相交于()1,0()1,0即为定点D .。

弦长公式(高二版椭圆)

圆锥曲线综合问题1. 直线方程的处理：若直线方程未给出，应先假设。

（1）若已知直线过点00(,)x y ，则假设方程为00()y y k x x ；（2）若已知直线的斜率k ，则假设方程为y kx m ；（3）若仅仅知道是直线，则假设方程为ykx m【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论；（4）若已知直线恒过x 轴上一点(,0)t ，且水平线不满足条件（斜率为0），可以假设直线为xmy t 。

【反斜截式，1m k】不含垂直于y 轴的情况（水平线） 2.弦长公式：若直线:l y kx m =+与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于,P Q 两点，求弦长||PQ 的步骤：设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立方程组（将直线方程代入椭圆方程）：222222,,y kx m b x a y a b =+⎧⎨+=⎩消去y 整理成关于x 的一元二次方程：20Ax Bx C ++=，则12,x x 是上式的两个根，240B AC ∆=->；由韦达定理得：12,B x x A +=-12,C x x A= 又,P Q 两点在直线l 上，故1122,y kx m y kx m =+=+，则2121()y y k x x -=-，从而||PQ ====【注意：如果联立方程组消去x 整理成关于y 的一元二次方程：20Ay By C，则||PQ ==反斜截式22(1)m A 】3、其他常见问题处理（1）等腰（使用垂直平分）,平行四边形（使用向量的平行四边形法则或者对角线中点重合）（2）直径（圆周角为直角，向量垂直或斜率乘积等于1），其次考虑是否需要求圆的方程。

（3）锐角和钝角使用数量积正负求解；涉及到其它角的问题使用正切值，转化为斜率求解；（4）三角形内切圆的半径与三角形面积的关系：,()2a b cSrp p这里；（5）圆的弦长用垂径定理；（6）涉及到焦点要联想到定义；（7）三点共线，长度之比尽量使用相似三角形转化为坐标之比，利用韦达定理。

弦长公式(高二版椭圆)

圆锥曲线综合问题1. 直线方程的处理：若直线方程未给出，应先假设。

（1）若已知直线过点00(,)x y ，则假设方程为00()y y k x x ；（2）若已知直线的斜率k ，则假设方程为y kx m ；（3）若仅仅知道是直线，则假设方程为ykx m【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论；（4）若已知直线恒过x 轴上一点(,0)t ，且水平线不满足条件（斜率为0），可以假设直线为xmy t 。

【反斜截式，1m k】不含垂直于y 轴的情况（水平线） 2.弦长公式：若直线:l y kx m =+与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于,P Q 两点，求弦长||PQ 的步骤：设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立方程组（将直线方程代入椭圆方程）：222222,,y kx m b x a y a b =+⎧⎨+=⎩消去y 整理成关于x 的一元二次方程：20Ax Bx C ++=，则12,x x 是上式的两个根，240B AC ∆=->；由韦达定理得：12,B x x A +=-12,C x x A= 又,P Q 两点在直线l 上，故1122,y kx m y kx m =+=+，则2121()y y k x x -=-，从而||PQ ====【注意：如果联立方程组消去x 整理成关于y 的一元二次方程：20Ay By C，则||PQ ==反斜截式22(1)m A 】3、其他常见问题处理（1）等腰（使用垂直平分）,平行四边形（使用向量的平行四边形法则或者对角线中点重合）（2）直径（圆周角为直角，向量垂直或斜率乘积等于1），其次考虑是否需要求圆的方程。

（3）锐角和钝角使用数量积正负求解；涉及到其它角的问题使用正切值，转化为斜率求解；（4）三角形内切圆的半径与三角形面积的关系：,()2a b cSrp p这里；（5）圆的弦长用垂径定理；（6）涉及到焦点要联想到定义；（7）三点共线，长度之比尽量使用相似三角形转化为坐标之比，利用韦达定理。

椭圆练习题(经典归纳)

初步圆锥曲线感受：已知圆O 以坐标原点为圆心且过点1,22⎛ ⎝⎭,,M N 为平面上关于原点对称的两点，已知N 的坐标为0,3⎛- ⎝⎭，过N 作直线交圆于,A B 两点（1）求圆O 的方程; （2）求ABM ∆面积的取值范围二. 曲线方程和方程曲线（1）曲线上点的坐标都是方程的解；（2）方程的解为坐标的点都在曲线上。

三. 轨迹方程例题:教材P 。

37 A 组.T3 T4 B 组 T2练习1。

设一动点P 到直线:3l x =的距离到它到点()1,0A 的距离之比为3，则动点P 的轨迹方程是____练习 2.已知两定点的坐标分别为()()1,0,2,0A B -,动点满足条件2MBA MAB ∠=∠，则动点M 的轨迹方程为___________ 总结:求点轨迹方程的步骤： (1)建立直角坐标系（2）设点:将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化(未知的暂用参数表示）(3)列式：从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程（4)化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围四. 设直线方程设直线方程：若直线方程未给出，应先假设。

(1）若已知直线过点00(,)x y ,则假设方程为00()yy k x x ;(2）若已知直线恒过y 轴上一点()t ，0,则假设方程为t kx y +=; （3)若仅仅知道是直线，则假设方程为b kx y +=【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论;(4）若已知直线恒过x 轴上一点(,0)t ，且水平线不满足条件（斜率为0），可以假设直线为x my t 。

【反斜截式,1m k】不含垂直于y 轴的情况(水平线）例题：圆C 的方程为：.0222=-+y x（1）若直线过点）（4,0且与圆C 相交于A ，B 两点，且2=AB ,求直线方程. （2）若直线过点）（3,1且与圆C 相切，求直线方程.（3）若直线过点）（0,4且与圆C 相切，求直线方程. 附加：4)4(3:22=-+-y x C ）（。

高中数学椭圆专题弦长、面积与范围

(2)令 ,则 ,且点O到直线的距离 ,设的,面积为 ,所以 ,当且仅当时,等号成立,故面积的最大值为
石室中学高2020届解析几何专题
(弦长、面积与范围)
一、典型例题:
1.如图，直线y＝kx＋b与椭圆交于A、B两点，记△AOB的面积为S．
(I)求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；
（Ⅱ)当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.
【答案】（1）（2）或．
5、已知某椭圆的焦点是．，过点并垂直于轴的直线与椭圆的一个交点为，且，椭圆上不同的两点 , 满足条件：
成等差数列．
（Ⅰ）设P点的坐标为，证明：；
（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值.
7. (选做).如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.
5、已知某椭圆的焦点是．，过点并垂直于轴的直线与椭圆的一个交点为，且，椭圆上不同的两点 , 满足条件：
成等差数列．
(I)求该椭圆方程；
(II)求弦中点的横坐标；
(III)设弦的垂直平分线的方程为，求的取值范围．
6.已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2.过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P.
因为AC与BD相交于点P，且AC的斜率为，

椭圆的弦长中点弦

椭圆弦长中点弦问题
1．已知椭圆2222b
y a x +（a ＞b ＞0）的离心率36=e ，焦距是22．（1）求椭圆的方程；
（2）若直线2(0)y kx k =+≠与椭圆交于C 、D 两点,5
26=
CD ，求k 的值．
2．椭圆C:12222=+b
y a x )0(>>b a 的离心率为36，短轴的一个端点到右焦点的距离为3．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线y=x+1与椭圆C 交于A ，B 两点，求A ，B 两点间的距离．
3．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b
y a x C 的离心率为36，椭圆C 上任意一点到椭圆两焦点的距离之和为6．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线2:-=x y l 与椭圆C 交于N M ,两点，O 是原点，求OMN ∆的面积．
4．已知椭圆2222x 1(0)y a b a b +=>>经过点A （0，4），离心率为5
3；（1）求椭圆C 的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为
5
4的直线被C 所截线段的中点坐标．
5．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为）（03,F -,且过点
）
（02,D . （1）求该椭圆的标准方程；
（2）设点）
，（2
11A ，若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程.
6．已知椭圆5x 2+9y 2=45，椭圆的右焦点为F ，
（1）求过点F 且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长．
（2）求以M （1，1）为中点的椭圆的弦所在的直线方程．
（3）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆于A ，B ，求弦AB 的中点P 的轨迹方程．。