非齐次线性方程组解的结构性质
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3-5线性方程组解的结构 -2
cr ,r 1
1
,2
cr,r 0
2
,L
,nr
cr 0
n
12
nr
0
1
0
便是方程组(3-14)
M 0
M 0
M 1
的一个基础解系.
由于初等变换是同解变换，故方程组（3-14）
x1 c1r1xr1 L c1n xn
x2
c2r1 xr1 L LL
c2n xn
量，故有 A1 0, A2 0
于是
A(k11 k22 ) k1 A1 k2 A2 k1 0 k2 0 0
所以 k11 k22 也是（3-2）解向量. 一般地，若 1,2,L ,m 是线性方程组的解 向量，则 k11 k22 L kmm 也是解向量.
3 基础解系 若齐次线性方程组有非零解，则它就有无穷
（3-17）的解，因此存在数 k1, k2 ,L , knr ，使
' k11 +k22 L kn r nr 即 ' k11 +k22 L knr nr
由定理3.18可知，求一个非齐次线性方程组
的通解时，只需求出它的某一个特解和对应的
齐次线性方程组的通解即可.
例3 求下列非齐次线性方程组的通解
且任一基础解系中解向量的个数为 n r.
第一步：对方程组AX=0的系数矩阵A作初等行
变换，化A为行最简形．不妨设
1 0 L 0 c1,r1 L c1n
0
A初等行变换
L 0
L00
1L
LL 0L
0L LL 0L
0
L 1
0 L 0
c2,r1 L LL cr,r1 L 0L LL 0L
c2n L
4-3.非齐次线性方程组PPT
1 1 2 1 1 0 0 2 4 0 0 3 t 5 1 2 3
(k1 , k2 R)
练习 k为何值时，线性方程组
x1 x2 x3 x4 x5 1 3 x1 2 x2 x3 x4 3 x5 0 x2 2 x3 2 x4 6 x5 k
有解，并在有解时求通解.
解
1 A 3 0 1 r2 3r1 0 0
唯一解 x1 d1 , x2 d 2 , xn d n
x1 c1r 1 xr 1 c1n xn d1 x c x c x d 2 2 r 1 r 1 2n n 2 xr crr 1 xr 1 crn xn d r 其中 xr 1 ,, xn 为自由变量，故方程组有依赖于
4-2=2个独立参量的无穷多解
1 1 0 1 1 2 0 0 1 2 1 2 . 0 0 0 0 0
所以方程组的通解为
同解方程组为 x1 x2 x4 1 2 x2 x2 2 x4 1 2 x3 x4 x4
思考题解答
解
2 3 1 1 1 6 1 3 1 3 B 3 1 p 15 3 1 5 10 12 t
2 3 1 1 1 4 2 2 0 2 ~ 0 4 p6 6 0 0 6 12 9 t 1
n-r 个独立参量的无穷多解.
例1 设有线性方程组
(1 ) x1 x2 x3 0, x1 (1 ) x2 x3 3, x x (1 ) x . 3 1 2
问 取何值时，此方程组 （1）无解； （2）有唯一解； （3）有无穷多解.
第三节 非齐次线性方程组 非齐次线性方程组的概念
11
22
nn
问题是：非齐次线性方程组何时是有解的？如果有
解时怎样求出其所有解？
根据齐次线性方程组的不同表示方法，以及矩阵 与其行向量组、列向量组的关系，不难得知如下 等价命题：
二、非齐次线性方程组有解的条件
非齐次线性方程组有解得等价条件
（1）线性方程组 AX b 有解
（2）向量b能由向量组1, 2 ,
例 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩
为3，已知 1 , 2 , 3 是它的三个解向量，且
2
1
1
3 4
,
2
3
2. 3
5
4
求该方程组的通解。
解: 设非齐次线性方程组 Ax b
对应的齐次线性方程组 Ax 0
已知 1,2 ,3 是Ax b的解，
故有 A1 b, A2 b, A3 b 令 21 (2 3 ), 则
解：设有方程 a1 x1 a2 x2 a3 x3 a4 x4 0
a1
由题意应有：
0 3
1 2
2 1
3 0
a2 aa43
0 0
对系数矩阵施行初等行变换，有：
0 1 2 3 1 0 1 2
3 2 1 0 ~ 0 1 2
3
a1
1 0
0 1
1 2
2
3
a2 aa43
0 0
0 , 0 1
从而得到齐次线性方程组的一个基础解系
1 (2,1,1,0,0)T ,2 (2,1,0,1,0)T ,3 (6,5,0,0,1)T
齐次线性方程组通解为 c11 c22 c33 非齐次线性方程组的通解为 c11 c22 c33
其中 c1 , c2 , c3 为任意常数.
非齐次线性方程组解的结构
两个解向量．
原方程组的同解方程组为
x1 x2
x4 x5 1， 6 ，其中， x4 ，x5 为自由未知量．
x3 x4
2，
令自由未知量
x4 x5
1 0
， 10
，得到导出组的一个基础解系为
1 1
1
0
1
，
2
0
0
．
1
0
0
1
非齐次线性方程组解的结构
例题
令自由未知量
x4 x5
0
0
，得到原方程组的一个特解
1
6
2
0
，故原方程组的通解为
0
1 1 1
0
0
6
x
k11
k22
k1
1
k2
0
2
，
1 0 0
0 1 0
其中， k1 ，k2 为任意常数．
非齐次线性方程组解的结构
例题
例3
x1
x3 ，
x4
x5 3，的通解．
x1 3x2 4x3 3x4
x5 11
解：对增广矩阵 A 施行初等行变换，即
2 1 1 1 2 6
1 1 2 1 1 3
A
1
1
2
1 3 4
1 1
3
r2 r1
2
1
1
1
2
6
3 1 11
1 3 4 3 1 11
1 1 2 1 1 3
1 0 1 2 1 3
3x4 x4
13，，的通解．
x1 3x2 3x3 7x4 7
解：对增广矩阵 A 施行初等行变换，即
1 1 1 1 1
3-6 非齐次线性方程组解的结构
T T
(1, b , c ) ， 试 问 ： 当 a , b , c 满 足 什 么 条 件 时 ，
T
(1) 可 由 1 , 2 , 3 线 性 表 示 ， 且 表 示 唯 一 ? (2 ) 不 能 由 1 , 2 , 3 线 性 表 示 ? (3 ) 可 由 1 , 2 , 3 线 性 表 示 , 但 表 示 不 唯 一 ?
2
x x
1
1 1 及 , 0 2 3
1 1 , 0 0 1 0 , 2 1
即得对应的齐次线性方程组的基础解系
1
2
于是所求通解为
x x x x
1
1 1 1 2 1 0 0 2 , k1 k 2 0 2 1 2 3 0 1 0 4
1
3
A ( 1 2 ) A 1 A 2 O
故 1 2 也 是 A X o的 解 .
性质2
若 0方程组（ 3.16）的解， 是其导出组（ 3.17） 的任意一个解，则 0 仍是方程组（ 3.16）的解。
证 因为 A 0 ,
1
5
由性质1 1 0 一定是导出组（3.17）的解 因此必定可由导出组（3.17）的基础解系线性表出 即存在常数
k1 , k 2 , , k n r
，使得
1 0 k 1 1 k 2 2 k n r n r
于是
1 k 1 1 k 2 2 k n r n r＋ 0
由 R A R B ,知 方 程 组 有 解 . 又 R
(1, b , c ) ， 试 问 ： 当 a , b , c 满 足 什 么 条 件 时 ，
T
(1) 可 由 1 , 2 , 3 线 性 表 示 ， 且 表 示 唯 一 ? (2 ) 不 能 由 1 , 2 , 3 线 性 表 示 ? (3 ) 可 由 1 , 2 , 3 线 性 表 示 , 但 表 示 不 唯 一 ?
2
x x
1
1 1 及 , 0 2 3
1 1 , 0 0 1 0 , 2 1
即得对应的齐次线性方程组的基础解系
1
2
于是所求通解为
x x x x
1
1 1 1 2 1 0 0 2 , k1 k 2 0 2 1 2 3 0 1 0 4
1
3
A ( 1 2 ) A 1 A 2 O
故 1 2 也 是 A X o的 解 .
性质2
若 0方程组（ 3.16）的解， 是其导出组（ 3.17） 的任意一个解，则 0 仍是方程组（ 3.16）的解。
证 因为 A 0 ,
1
5
由性质1 1 0 一定是导出组（3.17）的解 因此必定可由导出组（3.17）的基础解系线性表出 即存在常数
k1 , k 2 , , k n r
，使得
1 0 k 1 1 k 2 2 k n r n r
于是
1 k 1 1 k 2 2 k n r n r＋ 0
由 R A R B ,知 方 程 组 有 解 . 又 R
线性方程组解的结构
xr
1
br 1 1
0
xr
2
br 2 0
1
L
xn
br ,nr 0
0
(4)
M
xn
M
0
M
0
M
1
令(4)为 k11 k22 L knr nr
(5)
易知：1,2 ,L ,nr 为齐次线性方程组(1)的一个
基础解系,(5)为方程组 Ax 0的通解.
x1 6 x2 4 x3 x4 4 x5 0
- 1 2 3
- 7 2 1
1
4 1
，
2
4 0
；
0
2
基础解系：
0
1
二、非齐次线性方程组解的性质
非齐次线性方程组
Ax b. (1)
与非齐次方程组 Ax b 对应的齐次方程组 Ax 0 称为该非齐次方程组的导出组.
（２）当 1时，方程组的矩阵为
1 2 2 1 0 0
A
2 3
1 1
1 1
:
0 0
1 0
1 0
所以 R A 2
k1, k2 , , ks ,有k11 k22 kss 也是 Ax 的0解.
齐次线性方程组基础解系的求法
若Ａ的秩为ｒ，则(1)的全部解不妨写成:
x1 b11 xr1 b12 xr2 L b1,nr xn
x2
b21 xr1 b22 xr2 L
b2,nr xn
M
xr
br1 xr1 br 2 xr2 L
br ,nr xn
xr1 xr1
（３）
xr
2
xr2
M
xn
xn
其中 xr1, xr2 ,L , xn 是任意实数.
线性代数 非齐次线性方程组解的结构(1)
⏹非齐次线性方程组解的性质⏹非齐次线性方程组解结构定理设n 元非齐次线性方程组其中A =(a ij )m ×n 为系数矩阵, A X b（1）X = (x 1, x 2, …,x n )T ,b = (b 1,b 2, …,b n )T .在(1)中,令b =0,得到的齐次方程组AX =0称为方程组(1) 的导出组,或称为方程组(1) 的对应齐次线性方程组.性质1设X1,X2是非齐次线性方程组AX=b的任意两个解向量，向量.则X1-X2是其导出组AX=0的解设X1 ，X2为AX=b的两个解向量,则有AX1=b, AX2=b ,因为A(X1−X2)即X1−X2为方程组AX=0的解向量.=AX1−AX2=0，证性质2非齐次线性方程组AX =b 的某一个解向量X 0与其导出组的任意一个解向量a 之和仍为AX =b的解向量.设X 0为AX =b 的一个解向量,则有AX 0=b , A a =0,因为A (X 0+a )即X 0+a 为方程组AX =b 的解向量.=AX 0+A a =b ，证a 为AX =0的一个解向量,定理2量,满足,X 0是它的一个解向设非齐次线性方程组AX =b则方程组AX =b 的通解可表为a 1,a 2, …,a n -r 是它的导出组AX =0的一个基础解系, ()()R A R A r n 其中k 1,k 2, …,k n -r 为任意常数.01122n r n r X X k k k证设X是方程组AX=b的任意一个解向量, 由非齐次线性方程组的解向量的性质1, X−X0是其导出组AX=0的解向量, 于是它可由其基础解系a 1,a 2, …,a n -r 线性表出,即从而有01122n r n rX X k k k 证毕.01122n r n r X X k k k定理2表明,非齐次线性方程组AX =b 通解(也称为全部解或一般时,()()R A R A r n 当解)可以表示为它的某个已知解向量(特解)加上它的导出组AX =0的通解.。
解的结构
A(kξ1 ) = kA(ξ1 ) = k 0 = 0.
二、基础解系及其求法
１．基础解系的定义
η1 ,η 2 ,⋯ ,η t 称为齐次线性方程组 Ax = 0的基础
解系, 如果
(1)η 1 ,η 2 , ⋯ ,η t 是 Ax = 0的一组线性无关 的解 ;
( 2 ) Ax = 0的任一解都可由 η 1 ,η 2 , ⋯ ,η t 线性表 出.
⋯ ⋯
0 1
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
b11 ⋯ b1,n− r x1 ⋯ ⋯ ⋯ x 2 br 1 ⋯ br ,n− r ⋮ = 0 ⋯ ⋯ 0 ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ 0 x n
x1 = − b11 xr +1 − ⋯ − b1 ,n− r xn ⇔ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ x = −b x − ⋯ − b r 1 r +1 r ,n− r xn r
下面证明 ξ1 ,ξ 2 ,⋯ ,ξ n− r 是齐次线性方程组解空 间的一个基． 间的一个基．
(1)证明ξ1,ξ2 ,⋯,ξn 线性无关 .
由于 n − r 个 n − r 维向量
1 0 ⋮ , 0
0 0 1 0 ⋮ , ⋯, ⋮ 0 1
线性无关， 线性无关， 亦线性无关. 所以 n − r 个 n 维向量 ξ1 ,ξ 2 ,⋯ ,ξ n− r 亦线性无关
(2)证明解空间的任一解都 可由 ξ1 ,ξ2 ,⋯,ξn−r − . 线性表示
λ r +1 ⋯ λ n ) 为上述 方程组的一个解 . 再作 ξ1 ,ξ 2 ,⋯ ,ξ n− r 的线性组合 ,
故ξ = η .
4.4_非齐次线性方程组解的结构
X 2 ) 2b b(b 0), 从而( X 1 X 2 )不再是方程组的解
即非齐次线性方程组的解集合不是向量空间
二、非齐次线性方程组的通解
定理4.6 Ax = b 的通解等于齐次方程组 Ax = 0 的通解与 Ax = b 的一个特解之和. 即设 1, 2, …, nr为 Ax = 0 之 基础解系. 为 Ax = b 之特解. 则 Ax = b 的通解可表为
x1 1 1 1 x 2 k 1 1 k 2 3 3 2 , 2 2 1 2 x3
其中k 1 , k 2 为任意实数.
四、思考与练习
法2：利用Cramer法则
k 1 1 D 3 2 k ( k 1)( k 3) 0 1 2
当 D 0 时，即 k 1 且 k 3 时，方程组有唯一解。 当k
1 0 1 3 1 1 1 5 ( A, b ) 3 2 1 13 0 1 2 2 0 0 0 0 0 1 2 2
第4.4节 非齐次线性方程 组解的结构
主要内容：
一、非齐次线性方程组解的性质 二、非齐次线性方程组解的结构 三、思考与练习
一、非齐次线性方程组解的性质
设m n型非齐次线性方程组Amn xn1 bm1
若令b 0, 则得到相应的齐次线性方程组Ax 0, 称
Ax 0为非齐次线性方程组Ax b的 导出方程组
解
1 3 B 0 8
7 1 2 1 3 2 2 1 2 6 23 3 4 3 1 12 1 1 1 1
1 1 1 7 1 1 0 2 1 2 6 23 ~ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3-4 非齐次线性方程组
３－４非齐次线性方程组一、ｎ元非齐次线性方程组的三种形式及相互转化Ｐ１３７（３．１３）代数形式Ｐ１３７（３．１４）矩阵形式（解向量的定义）Ｐ１３７（３．１５）向量形式ｎ元非齐次线性方程组的导出组（对应的齐次线性方程组）。
二、ｍ×ｎ非齐次线性方程组有解判别定理定理3.5ＡＸ＝ｂ有解⇔秩（Ａ）＝秩（A）。
即ＡＸ＝ｂ无解⇔秩（Ａ）≠秩（A）。
证明：设系数矩阵Ａ的列向量为：α１，α２，…，αｎ，那么ＡＸ＝ｂ有解⇔向量方程ｘ１α１＋ｘ２α２＋…＋ｘｎαｎ＝ｂ有解；⇔向量ｂ可由向量组α１，α２，…，αｎ线性表出；⇔向量组｛α１，α２，…，αｎ｝≅｛α１，α２，…，αｎ，ｂ｝；⇔［注释］秩｛α１，α２，…，αｎ｝＝秩｛α１，α２，…，αｎ，ｂ｝；⇔Ａ的列秩＝A的列秩；⇔秩（Ａ）＝秩（A）。
［注释１］等价向量组有相同的秩。
这里是因为：如果秩｛α１，α２，…，αｎ｝＝秩｛α１，α２，…，αｎ，ｂ｝＝ｒ，当ｒ＝０时，α１＝α２＝…＝αｎ＝ｂ＝０，有｛α１，α２，…，αｎ｝≅｛α１，α２，…，αｎ，ｂ｝。
当Ｒ＞０时，取｛α１，α２，…，αｎ｝的最大无关组，不妨设为｛α１，α２，…，αｒ｝。
由于｛α１，α２，…，αｒ｝也是｛α１，α２，…，αｎ，ｂ｝中ｒ个线性无关向量，故｛α１，α２，…，αｒ｝也是｛α１，α２，…，αｎ，ｂ｝的一个最大无关组。
因为｛α１，α２，…，αｎ｝≅｛α１，α２，…，αｒ｝；｛α１，α２，…，αｒ｝≅｛α１，α２，…，αｎ，ｂ｝；所以｛α１，α２，…，αｎ｝≅｛α１，α２，…，αｎ，ｂ｝。
［注释２］等秩的向量组不一定等价。
例如：α１＝（１，０，０，０），α２＝（０，１，０，０）；与向量组β１＝（０，０，１，０），β２＝（０，０，０，１）等秩，但不等价。
作业：Ｐ１４５１３Ｐ１４７１（４）三、非齐次线性方程组解的基本性质：⎩⎨⎧21性质性质［Ｐ１３８ ５——１４行］ 定理［补充］如果η１，η２都是ＡＸ＝ｂ（ｂ≠０）的解，那么ｋ１η１＋ｋ２η２是ＡＸ＝ｂ的解⇔ｋ１＋ｋ２＝１。
线性代数第三章第五节 非齐次线性方程组(2014版)
若R(A)=R(A|b)=r<n,则方程组 Amn x b 有无穷多解；
若R(A) R(A|b),则方程组 Amn x b 无 解；
x1 x2 x3 x4 x5 1
例1 设线性方程组
3x1 2x2 x3 x2 2x3 2x4
x4 3x5 6x5 3
a
5x1 4x2 3x3 3x4 x5 b
由于 1,2 , ,nr 线性无关，故 k1 k2 knr 0
所以 *,1 *,2 *, ,nr * 线性无关。
故 线性*无,1关的*解,。2 *, ,nr * 是Ax=b的n-r+1个
3）设x为方程组Ax=b的任一解，则x可表示为：
x k11 k22 knrnr k1( 1 ) k2( 2 ) knr ( nr ) (1 k1 k2 knr ) k1( 1 ) k2( 2 ) knr ( nr )
个元素 Aij 0 (i, j 1,2, ,n) ，故 r( A*) 1
又 AA* A* A | A | I 0 知 A* 的每列元素均
为齐次方程组 Ax 0 的解，但 r( A) n 1 所
以 Ax 0
r( A*) 1
r( A*) 1
n r( A) 1 的基础解系所含解向量的个数不超
1 2 3
矩阵
B
2 3
4 6
6 k
（k为常数），且AB=0,求线
性方程组Ax=0的通解。 解：由于AB=0 故 r( A) r(B) 3 又由a,b,c 不全为零， 可知 r( A) 1
当 k 9 时，r(B) 2 于是 r( A) 1
证明 A1 b, A2 b
A b b 0.
1
2
即x 1 2满足方程Ax 0.
若R(A) R(A|b),则方程组 Amn x b 无 解；
x1 x2 x3 x4 x5 1
例1 设线性方程组
3x1 2x2 x3 x2 2x3 2x4
x4 3x5 6x5 3
a
5x1 4x2 3x3 3x4 x5 b
由于 1,2 , ,nr 线性无关，故 k1 k2 knr 0
所以 *,1 *,2 *, ,nr * 线性无关。
故 线性*无,1关的*解,。2 *, ,nr * 是Ax=b的n-r+1个
3）设x为方程组Ax=b的任一解，则x可表示为：
x k11 k22 knrnr k1( 1 ) k2( 2 ) knr ( nr ) (1 k1 k2 knr ) k1( 1 ) k2( 2 ) knr ( nr )
个元素 Aij 0 (i, j 1,2, ,n) ，故 r( A*) 1
又 AA* A* A | A | I 0 知 A* 的每列元素均
为齐次方程组 Ax 0 的解，但 r( A) n 1 所
以 Ax 0
r( A*) 1
r( A*) 1
n r( A) 1 的基础解系所含解向量的个数不超
1 2 3
矩阵
B
2 3
4 6
6 k
（k为常数），且AB=0,求线
性方程组Ax=0的通解。 解：由于AB=0 故 r( A) r(B) 3 又由a,b,c 不全为零， 可知 r( A) 1
当 k 9 时，r(B) 2 于是 r( A) 1
证明 A1 b, A2 b
A b b 0.
1
2
即x 1 2满足方程Ax 0.
非齐次线性方程组解的结构
第十三讲 非齐次线性方程组解的结构
主要内容
● 非齐次线性方程组解的结构
● 应用
一、非齐次线性方程组解的结构
1. 非齐次线性方程组解的性质
性质1 设 x1及 x2都是方程组Axb的解 则x12为对应 的齐次线性方程组 Ax0的解 性质2 设 x 是方程组 Axb 的解 x 是方程组 Ax0 的解 则 x 仍是方程组Axb的解
2 1 cR . 基础解系为： 1 1
二、应用--确定化学方程式
在光合作用下，植物利用太阳提供的辐射能，将二氧化碳和水转 化为葡萄糖和氧气，该化学反应的方程式为：
x1CO2 x2 H2O x3O2 x4C6 H12O6 .
为平衡该方程式，需适当选择 x1 , x2 , x3 , x4 , 使得方程式两边的 碳、氢和氧原子数量分别相等.
1 1 0 1 0 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x1 2 1 x 则通解为： 2 1 0 c x3 1 2 x 1 0 4
这是因为
A() AA 0bb
2. 非齐次线性方程组解的结构
若*是方程组Axb的特解 1 2 nr是方程组Ax0 的基础解系 则方程组Axb的通解为 xk11k22 knr nr* (k1 knr R)
10 1 1 1 r1
x1 x2 x4 x 2 x 4 3 令(x2 x4)T(1 0)T (0 1)T 得对 应齐次方程组的基础解系
1(1 1 0 0)T 2(1 0 2 1)T
非齐次方程的通解为 x1 x2 x4 1/ 2 x 2x 1/ 2 xc11c22* 4 3 令x2x40 得非齐次方程组的 其中c1 c2为任意实数
主要内容
● 非齐次线性方程组解的结构
● 应用
一、非齐次线性方程组解的结构
1. 非齐次线性方程组解的性质
性质1 设 x1及 x2都是方程组Axb的解 则x12为对应 的齐次线性方程组 Ax0的解 性质2 设 x 是方程组 Axb 的解 x 是方程组 Ax0 的解 则 x 仍是方程组Axb的解
2 1 cR . 基础解系为： 1 1
二、应用--确定化学方程式
在光合作用下，植物利用太阳提供的辐射能，将二氧化碳和水转 化为葡萄糖和氧气，该化学反应的方程式为：
x1CO2 x2 H2O x3O2 x4C6 H12O6 .
为平衡该方程式，需适当选择 x1 , x2 , x3 , x4 , 使得方程式两边的 碳、氢和氧原子数量分别相等.
1 1 0 1 0 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x1 2 1 x 则通解为： 2 1 0 c x3 1 2 x 1 0 4
这是因为
A() AA 0bb
2. 非齐次线性方程组解的结构
若*是方程组Axb的特解 1 2 nr是方程组Ax0 的基础解系 则方程组Axb的通解为 xk11k22 knr nr* (k1 knr R)
10 1 1 1 r1
x1 x2 x4 x 2 x 4 3 令(x2 x4)T(1 0)T (0 1)T 得对 应齐次方程组的基础解系
1(1 1 0 0)T 2(1 0 2 1)T
非齐次方程的通解为 x1 x2 x4 1/ 2 x 2x 1/ 2 xc11c22* 4 3 令x2x40 得非齐次方程组的 其中c1 c2为任意实数
§4.4非齐次线性方程组解的结构
（2）利用初等行变换
特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有 特点：适用于方程组有唯一解、 无穷多解的各种情形. 无穷多解的各种情形.
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线性方程组解的情况: 线性方程组解的情况
r ( A) = r ( AMb ) = n ⇔ Ax = b有唯一解 . r ( A) = r ( AMb ) < n ⇔ Ax = b有无穷多解 . r ( A) ≠ r ( AMb )
上一页 下一页 退出
k1 , k 2为何值时，方程组无解 ？有唯一解？ 有唯一解？ 为何值时，
有无穷多解？ 有无穷多解？
x1 − x2 − x3 + x4 = 0, 例1 求解方程组 x1 − x2 + x3 − 3 x4 = 1, x − x − 2 x + 3 x = −1 2. 3 4 1 2
解
0 1 − 1 − 1 1 ( AMb ) = 1 − 1 1 − 3 1 1 − 1 − 2 3 − 1 2
故方程组有无穷解； 故方程组有无穷解；
当λ = −2时，
1 1 r ↔r − 2 1 ( Ab) = 1 − 2 1 − 2 1 3 1 1 −2 4 1 − 2 4 r2 −r1 1 1 − 2 4 1 1 − 2 1 − 2 0 − 3 3 − 6 − 2 1 r3 + 2r1 0 3 − 3 9 1 1 1 1 − 2 4 0 − 3 3 − 6 方程组无解. 上一页 0 0 0 3 下一页
1
1
a
1 b b
1 1 = − b ( a − 1) 0
b 1 = 1 2b 1 0
所以，当a ≠ 1且b ≠ 0时，有唯一解，即表示唯一；
线性代数—线性方程组解的结构
0 0 0
0 0 0
1 2 2
1 4 5
1
2 2
1 2 1 1 1 1 2 1 1 1
0 0 0
0 0 0
1 0 0
1 6 7
1
0 0
0
0 0
0 0 0
1 0 0
1 1 0
1
0 0
,
自由未知量取为 x2 , x5 ,
10
1 2 1 1 1
0 0 0
0 0 0
1 0 0
解
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A
3 0 5
2 1 4
1 2 3
1 2 3
3 61
0 0 0
1 1 1
2 ห้องสมุดไป่ตู้ 2
2 2 2
6 66
6
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A
3 0 5
2 1 4
1 2 3
1 2 3
3 61
0 0 0
1 1 1
2 2 2
2
一、齐次线性方程组解的结构
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a21 x1 a22 x2 a2n xn 0 , am1 x1 am2 x2 amn xn 0
Ax ()
a11
A
a21 am1
a12 a22 am2
a1n
a2n amn
1 1 0
1
0 0
,
自由未知量取为 x2 , x5 ,
基础解系:
2
1
1
0
,
0
0
2
0
2
1
.
0
1
11
第二十二讲非齐次线性方程组解的结构
解: 因为R(A)=3， AX= 0的基础解系只含有一个向量，
1
2
3
+
1
3
0 1 2
,
X c 3 , c R.
10
例3 已给方程组
x1
x1
x2 x2
x3 x3
2
,
x1 x2 x3 1
问λ取何值时有唯一解?无穷多解或无解?有无穷
多解时求出通解.
1 1 2
1 1
0
1 1
2
r1 r3 r2 2 r3 r2
1 0
1 0
0 1
1 2
1 2 1 2,
~ 0 0 0 0 0
6
可见R( A) R( A, B) 2,故方程组有解,并有
x1 x2 x4 1 2,
x3
2 x4 1 2.
1 1 0 1 1 2 0 0 1 2 1 2, 0 0 0 0 0
0
0
R A R A,b 1 3, 有无穷多解，这时通解为
1 1 1
x＝
0
k1
1
k2
0
0 0 1
（k1，k2为任意常数）.
13
小结:
1、非齐次线性方程组解的性质 2、非齐次线性方程组的通解的结构 3、非齐次线性方程组的通解的求法.
14
一、非齐次线性方程组解的性质
(1) 设x 1及x 2都是Ax b的解, 则x 1 2
为对应的齐次方程Ax 0的解.
证明 A1 b, A2 b
A1 2 b b 0.
即x 1 2满足方程Ax 0.
1
(2) 设x 是方程Ax b的解, x 是方程 Ax 0的解,则x 仍是方程 Ax b 的解.
大学数学高数微积分第三章线性方程组第六节课堂讲解
a21x1
a22x2 a2nxn
b2
,
(9)
as1x1 as2x2 asnxn bs .
若令 b1 = b2 = … = bs =0，就得到齐次方程组 (1).
方程组 (1) 称为方程组 (9) 的导出组.
2. 非齐次线性方程组的解 与其导出组的解之间的关系
方程组 (9) 的解与它的导出组 (1) 的解之间有密 切的关系：
解时，(10) 就给出 (9) 的全部解.
证明 显然
= 0 + ( - 0 )， 由上面的 1)， - 0 是导出组 (1) 的一个解，令
- 0 = ，
就得到定理的结论.
既然 (9) 的任一个解都能表成
(10) 的形式，由 2) 在 取遍 (1) 的全部解的时候，
= 0 +
就取遍 (9) 的全部解.
是方程组 (1) 的两个解，则有
n
aijkj 0 (i1,2,,s),
j n1
aijlj 0 (i1,2,,s),
j1
把两个解的和
( k1 + l1 , k2 + l2 , … , kn + ln )
(2)
代入方程组，得
n
n
n
aij (k j l j ) aijkj aijlj
j 1
j1
1) 线性方程组 (9) 的两个解的差是它的导出组 (1) 的解.
证明 设 ( k1 , k2 , … , kn ) 与 ( l1 , l2 , … , ln )
是方程组 (9) 的两个解，则有
n
aijkj bi
j1 n
aijlj bi
j1
(i1,2,,s), (i1,2,,s),
4.5 非齐次线性方程组解的结构
二、非齐次线性方程组解的结构
的结构定理） 定理12 （非齐次线性方程组解 的结构定理） 对非齐次线性方程组 Ax = b, 若 R( A) = R( A ) = r , 且已知 η1，η 2， ，η n− r 是导出组 Ax = 0的基础解 ⋯ 的某个已知解， 系，r0是Ax = b的某个已知解，则 Ax = b的通解 为：x = r0 + c1η1 + c2η 2 + ⋯ + cn− rη n− r 其中c1 , c2 ,⋯, cn− r 是任意实数 .
依次得
x1 − 1 = x2 − 1
2 , 2
0 , − 1
2 . − 3
故得基础解系
− 1 2 0 2 − 1 2 − 1 − 3 ξ1 = 1 , ξ 2 = 0 , ξ 3 = 0 . 0 1 0 0 0 1 求特解 9 23 令 x3 = x4 = x5 = 0, 得x1 = − , x2 = . 2 2
证明 A(ξ + η ) = Aξ + Aη = 0 + b = b,
所以 x = ξ + η 是方程 Ax = b的解.
证毕． 证毕． （2）若 x = ξ1 为 Ax = 0的解， k 为实数，则 的解， 为实数， x = kξ1 也是 Ax = 0 的解． 的解． 证明 证毕. 证毕
A(kξ1 ) = kA(ξ1 ) = k 0 = 0.
其中 k1 , k 2 , k 3 为任意常数 .
三、直线、平面的相对位置
设直线 L1 , L2的方程分别为 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 L1 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 A3 x + B3 y + C 3 z + D3 = 0 L2 : A4 x + B4 y + C 4 z + D4 = 0 (5 − 4) (5 − 5)