弹塑性力学第11章—变分原理及其应用

复合函数的高阶变分定义为
δ 2 F = δ (δ F ) , , δ n F = δ (δ n −1F )
11.1 基本概念 若把复合函数在定义域内积分，从而定义一个依赖于自变 函数 y ( x )的泛函
J = ∫ F x, y , y ′,
a b
(
, y ( n ) dx
)
该泛函的一阶变分为
⎡ ∂F ∂F ∂F (n ) ⎤ δJ = ∫ ⎢ δ y+ δ y ′ + + ( n ) δ y ⎥ dx a ∂y ′ ∂y ⎣ ∂y ⎦ 上式利用了变分和积分可以互换顺序的性质。
变分原理中的泛函往往与系统的能量有关，可变形体在弹塑 性变形过程中，必定遵守能量守恒定律，即
δEk + δU = δW + δQ
其中δE k为动能的改变量， δU 为势能（应变能）的改变量，δW 为 外力所做的功，δQ 为物体从周围介质中吸收（发散）的热量。能 量守恒定律表明，可变形体动能和势能的改变量之和等于外力 做功与物体吸收外界热量之和。 对于没有与外界热量交换的绝热过程来说，能量守恒定律简 化为
σx
′ σx
dσx
U0
′ U0
O
dεx
′ εx
εx
11.2 基于位移的变分原理
11.2.1 虚位移原理
图示变形体处于平衡状态，当给该变形体 微小的虚位移时，外力的所作的总虚功等于物 体内部产生的总虚应变能，这就是虚位移原 理，也称为虚功原理，
V Sσ V
Su
V
Sσ
δ W = ∫∫∫ Fbiδ ui dV + ∫∫ piδ ui dS = ∫∫∫ σ ijδε ij dV = δ U
δσ ij
根据这一定义，虚应力也要满足以下平衡微分方程
⎫ ∂ (δσ x ) ∂ (δτ yx ) ∂ (δτ zx ) + + = 0⎪ ∂x ∂y ∂z ⎪ ⎪ ∂ (δτ xy ) ∂ (δσ y ) ∂ (δτ zy ) ⎪ + + = 0⎬ ∂x ∂y ∂z ⎪ ⎪ ∂ (δτ xz ) ∂ (δτ yz ) ∂ (δσ z ) + + = 0⎪ ∂x ∂y ∂z ⎪ ⎭
该增量称为函数的一阶变分，简称变分，记为 δ y
11.1 基本概念 对于具有 n 阶连续导数的函数，变分和求导的顺序可以交 换，即
⎛ ∂n y ⎞ ∂n ∂ nη δ ⎜ n ⎟ = n (δ y ) = ε n ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂x
即 上式也可以推广为
δy
(n)
= (δ y )
(n)
δ ( L ( y ) ) = L (δ y )
σx
′ σx
dσx
U0
′ U0
O
dεx
′ εx
εx
11.1 基本概念 余能是一个与应变能互补的能量概念，其定义为
′dV U ′ = ∫ U0
V
其中 U 0′ 称为余能密度，与应变能密度互补，定义为
′ = ∫ ε ij dσ ij U0
0
σ ij
σx
′ σx
dσx
U0
在一维应力状态下，余能密度等于应 力－应变关系曲线上方的阴影面积。对线 弹性材料，则与应变能密度相等。
其中L ( i )表示某一线性微分算子
11.1 基本概念
（3）复合函数的变分
当函数为复合函数时
F = F x, y , y ′,
函数的一阶变分
∂F ∂F δF = δy+ δ y′ + ∂y ∂y ′
(
, y(
n)
)
自变函数的变分 δ y引起的函数增量 ΔF的线性主部，就称为复合
∂F n + (n) δ y ( ) ∂y
11.1 基本概念
例11.1 二维空间中两个点A和B的坐标分别为( x1 , y1 ) 和( x2 , y2 )， 求连接A、B两点最短的曲线方程。
解：连接A、B两点的曲线长度为
L = ∫ ds = ∫
A B B A
( dx )
2
+ ( dy ) = ∫
2
x2 x1
1+ ⎡ ⎣ y′ ( x )⎤ ⎦ dx = L ( y ( x ) )
b
类似可得各阶泛函的变分为
δ J = ∫ δ k Fdx
k a
b
11.1 基本概念
（4）变分法
0 的自变函数 y ( x )，定义
在满足约束条件的容许函数中，求使泛函 J ( y ( x ) ) 取极值
ΔJ = J ( y ( x ) ) − J ( y 0 ( x ) )
J ( y 0 ( x ) ) 为极小值
0 若 y ( x ) 为 y ( x ) 邻域内的任意函数
ΔJ > 0
ΔJ < 0
J ( y 0 ( x ) ) 为极大值
与函数极值类似，泛函取极值的必要条件是其一阶变分为零
δJ =0
当δ 2 J > 0 时，泛函取极小值；当 δ 2 J < 0时，为极大值。
11.1 基本概念
11.1.3 能量守恒定律
2
显然，曲线长度 L 与曲线方程 y(x) 有关，即依赖于自变函数 y(x) ，所以L是一个泛函。本问题即为y(x)满足以下约束条件 下，求泛函L的极值（最小值）问题
y ( x1 ) = y1 ⎫ ⎪ ⎬ y ( x2 ) = y 2 ⎪ ⎭
11.1 基本概念
（2）泛函的变分
设y(x)是自变量x的函数，由自变量增量dx所引起的函数增 量的线性主部为 dy称为函数的微分。 当y(x)是自变函数时，它相邻的容许函数是
（1）泛函的定义
当一个变量y以确定的关系依赖于另一个变量x时，x称为 自变量，y则称为x的函数，即
y = y ( x)
在数学物理问题中，还会遇到另一类变量J，它依赖于在 一定约束条件下函数关系可以任意变化的函数y(x)，此时y(x) 称为自变函数，变量J称为泛函，记为
J = J ( y ( x))
所以泛函是依赖于自变函数的量，可以称为函数的函 数。与函数一样，泛函也有极值问题，以下举例说明其概念
弹性与塑性力学引论
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弹性与塑性力学引论
第11章 变分原理及其应用
11.1 基本概念
弹塑性力学问题的求解，可以归结为求解偏微分方程的边 值问题，当所研究的物体形状或边界条件比较复杂时，求得精 确解答是非常困难的，甚至是不可能的。 因此，对实际工程中复杂结构的弹塑性力学问题，有必要 寻求适应性强的近似解法，而变分原理与相应的近似解法是其 中的最有效的方法之一，而且它还是有限元法等数值方法的理 论基础。这种方法的本质是把弹性力学方程的定解问题，转换 为求泛函的极值（或驻值）问题。而在求问题的近似解时，泛 函的极值（或驻值）问题，又进而变成函数的极值（或边值） 问题，最后把问题归结为求解线性代数方程组。 由于变分原理中泛函与系统的能量有关，所以变分原理又 称为能量原理，对应的各种变分解法又称为能量法。
简写为 δσ ij , j = 0
11.1 基本概念 此外，虚应力还需要满足应力边界条件 δσ x n x + δτ yx n y + δτ zx nz = 0 ⎫ ⎪ δτ xy n x + δσ y n y + δτ zy nz = 0 ⎬ ⎪ δτ xz n x + δτ yz n y + δσ z nz = 0 ⎭ 标轴方向的三个分量。上式可简写为
1 ′ = σ ij ε ij U0 2
∂U 0 = σ ij ∂ε ij
′ U0
O
dεx
′ εx
εx
应变能密度和余能密度的一阶导数分别为
′ ∂U 0 = ε ij ∂σ ij
11.1 基本概念 以上分别介绍了应变能与余能的概念。在变分原理中， 应变能对应的是基于位移的变分原理，而余能对应于基于应 力的变分原理，以下分别进行介绍。
证明： 变形体满足平衡方程
σ ij , j + Fbi = 0
当它在平衡位置发生一个虚位移时，外力的总虚功 δW = ∫∫∫ Fbiδui dV + ∫∫ piδui dS
V Sσ
11.2 基于位移的变分原理 考虑到给定面力边界 Sσ 上 pi = σ ij l j，给定位移边界 S u 上 δui = 0
V V V V
⎞ + δ u δ u 根据平衡方程和σ ijδui , j = σ ij ⎛ ⎜ i, j j , i ⎟ = σ ijδε ij ，虚功简化为 1 ⎝2 1 2 ⎠
δ W = ∫∫∫ σ ijδε ij dV = δ U
V
δ W = ∫∫∫ Fbiδ ui dV + ∫∫ piδ ui dS = ∫∫∫ σ ijδε ij dV = δ U
1 上式简写为 δε ij = (δ ui , j + δ u j ,i ) 2
虚位移还要满足位移边界条件
δu = 0 δv = 0 δ w = 0
（在Su上）
简写为 δ ui = 0
11.1 基本概念 由静力可能状态出发，我们可以得到虚应力的概念。所谓 虚应力，是指某一静力可能的应力状态变化到无限临近的另一 静力可能的应力状态，期间发生的微小应力变化，记作
（在 Sσ 上）
n x , n y , nz 分别为表面上一点的外法线方向单位矢量在直角坐
δσ ij n j = 0
（在 Sσ 上）
可能状态的引入给变分原理中带来了极大的灵活性，变 分原理中选择了不同的自变函数、不同的泛函，实际上就是 不同的可能状态。
11.1 基本概念
11.1.2 泛函、变分与变分法的概念
δE k + δU = δW
11.1 基本概念 对于静力平衡问题，则有
δU = δW
因此，在静力变形计算时，弹性体应变能等于外力做功储存 在变形体中的能量。 弹性体内应变能的计算公式如下
U = ∫ U 0 dV
V
其中U 0是应变能密度
U 0 = ∫ σ ij dε ij
0
Leabharlann Baidu
ε ij
在一维应力状态下，应变能密度等 于应力－应变关系曲线下方的阴影部分 面积。对线弹性材料，则有 1 U 0 = σ ijε ij 2
V Sσ V
即外力的所作的总虚功等于物体内部产生的总虚应变能
11.2 基于位移的变分原理 虚位移原理的特点： （1）位移变分方程由平衡方程和静力边界条件推导得到；反 之，也可由位移变分方程得到静力平衡方程和边界条件。因 此，位移变分方程等价于平衡微分方程和静力边界条件。 （2）虚位移原理求解时，所选取的位移函数，只需要满足变 形几何方程和位移边界条件。 （3）虚位移原理证明中，我们只用到线性的几何关系，此时 需要满足小变形条件。因此，在小变形的前提下，虚位移原 理适用于弹性和塑性材料。
δW = ∫∫∫ Fbiδui dV + ∫∫ σ ij l jδui dS
V S
根据散度定理，上式中的面积分可以转换为体积分
δ W = ∫∫∫ Fbiδ ui dV + ∫∫∫ (σ ijδ ui ) , j dV = ∫∫∫ ( Fbi + σ ij , j ) δ ui dV + ∫∫∫ σ ijδ ui , j dV
y ( x ) = y ( x ) + εη ( x )
dy = y ′ ( x ) dx
η ( x )是与 y ( x )具有相同光滑程度的同类函数。 其中ε 是无穷小量，
这种因函数的直接变化（非自变量x的变化）引起的增量为
δ y ( x ) = y ( x ) − y ( x ) = εη ( x )
δu
11.1 基本概念 虚位移对应的应变为 ⎛ ∂u ∂v ⎞ ⎫ ∂ ∂ ∂ ⎛ ∂u ⎞ δε x = (δ u ) = δ ⎜ ⎟ δγ xy = (δ u ) + (δ v ) = δ ⎜ + ⎟ ⎪ ∂x ∂y ∂x ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ∂x ⎠ ⎪ ⎛ ∂v ⎞ ⎛ ∂w ∂v ⎞ ⎪ ∂ ∂ ∂ ⎪ + ⎟⎬ δε y = (δ v ) = δ ⎜ ⎟ δγ yz = (δ w ) + (δ v ) = δ ⎜ ∂y ∂y ∂z ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂y ∂z ⎠ ⎪ ∂ ∂ ∂ ⎛ ∂w ⎞ ⎛ ∂w ∂u ⎞ ⎪ + ⎟⎪ δε z = (δ w ) = δ ⎜ ⎟ δγ zx = (δ w ) + (δ u ) = δ ⎜ ∂z ∂x ∂z ⎝ ∂z ⎠ ⎝ ∂x ∂z ⎠ ⎪ ⎭
11.1 基本概念
11.1.1 真实状态与可能状态
在变分原理中，把同时满足弹塑性力学全部基本方程的 应力或应变状态，称为真实状态；把已知满足部分基本方程 的应力或应变状态，称为可能状态。 可能状态又可以分为变形可能状态和静力可能状态，变 形可能状态要求满足几何方程和位移边界条件，静力可能状 态要求满足平衡方程和应力边界条件。 由变形可能状态出发，我们可以得到虚位移的概念。所 谓虚位移，是指从某一几何可能的位移状态变化到无限临近 的另一几何可能的位移状态，期间发生的微小位移，记作