随机过程在经济学中的应用

随机过程在经济学的应用

一、随机过程概述

随机过程是由一组无限多个随机变量组成的序列，是用来描绘一连串随机事件动态关系的序列。随机过程论语其他数学分支如位势论、微分方程、力学及复变函数论邓有密切的关系，是在自然科学、工程科学及社会科学各领域研究随机现象的重要工具。随机过程论目前已得到广泛的应用，在诸多如天气预报、统计物理、天体物理、运筹决策、经济数学、安全科学、人口理论、可靠性及计算机科学等很多领域都要经常用到随机过程的理论来建立数学模型。随机过程的概念很广泛，其研究几乎包括概率论的全部。

在客观世界中有些随机现象表示的是事物随机变化的过程，不能用随机变量和速记矢量来描绘，需要用一族无限多个随见变量来描述，这就是随机过程。

定义：设（Ω，F，P）是一个概率空间，T是一个实数集。{X（t，w），t∈T，w∈Ω}即为定义在T和Ω上的二元函数，若此函数对任意固定的t∈T，X （w，t）是任意（Ω，F，P）上的随机变量，则称{X（t，w），t∈T，w∈Ω}是随机过程（Stochastic Process）。

在研究随机过程是人们透过表面的偶然性描述出必然的内在规律并以概率的形式来描述这些规律，从偶然中悟出必然正是这一学科的魅力所在。

二、随机过程发展简史

概率论的起源与博弈问题有关，而随机过程这一学科最早是起源于对物理学的研究，如布吉斯、玻尔兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作。气体分子运动是，由于相互碰撞等原因而迅速改变自己的位置与速度，其运动的过程是随机的。人们希望知道，运动的轨道有什么性质（能否连续、可微的等等）；分子从一点出发能达到某区域的概率有多大；如果有两类分子同时运动，由于扩散而互相渗透，那么扩散是如何进行的，要经过多久其混合才会变得均匀......这些实际问题的数学抽象为随机过程论提供了研究的课题。

1900年，Bachelier首次将布朗运动用与股票价格的描述。随后公式化概率论首先使得随机过程的研究获得了新的起点，他是作为随机变化的偶然量的数学模型，是线代概率论研究的主要论题。

1907年前后，A.A.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链。这是一种无后效性随机过程，即在当前状态下，过程未来状态与其过去状态无关。

1923年，N.维纳给出了布朗运动的数学定义（后人也称数学上的布朗运动为维纳过程），这种过程至今仍是重要的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的研究通常认为开始于30年代，维纳还在时间序列和滤波理论的建立做出了贡献。

1931年，A.H.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》；三年后，A.R.辛钦发表了《平稳过程的相关理论》。这两篇重要论文为马尔可夫过程与平稳过程奠定了理论基础。

稍后，P.Levy从1938年开始创立研究随机过程的新方法，即着眼于轨道性质的概率方法，1948年出版了《随机过程与布朗运动》，提出了独立增量的一般理论，并以其为基础极大地促进了对作为一类特殊的Markov过程的布朗运动的研究。

从1942年开始，日本数学家伊藤清引进了随机积分和随机微分方程。1951年，伊藤清建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路。

1953年，J.L杜布的名著《随机过程论》问世，它系统且严格的叙述了随机过程的基本理论。

60年代，法国学派基于马尔可夫过程和位势理论中的一些思想与结果，在相当大的程度上发展了随机过程的一般理论，包括截口定理与过程的投影理论等。

随机过程的发展历史当中，中国学者如江泽培、王梓坤、马志明、李文博等人在平稳过程、马尔可夫过程、极限定理、随机微分方程邓方面也做出了较大的贡献。

研究随机过程的方法多种多样，主要可以分为两大类：一类是概率方法，其中用到轨道性质、停时和随机微分方程邓；另一类是分析的方法，其中用到测度论、微分方程、半群理论、函数堆和希尔伯特空间等。另外组合方法和袋鼠方法在某些特殊随机过程的研究中也有一定的作用。研究的主要内容有：多指标随机过程、无穷质点与马尔可夫过程、概率与位势及各种特殊过程的专题讨论等。

三、随机过程在经济学中的应用

在进行经济管理决策之前，往往存在不确定的一些东西，导致所作出的决策存在一定的风险，只有在做出科学的、正确的决策才能使我们获益最大。因此在做决策之前我们应该充分考虑所要投资的东西所带来的风险程度，才能正确的做出投资决策，才能使我们把风险降到最低。利用随机过程知识就可以为我们做出好的决策，下面将从两个方面来进行说明随机过程论在经济决策中的作用。

3.1最大利润与投资风险（数学期望与方差的应用）

在随机过程中有这样两个我们很熟悉的字眼“数学期望”和“方差”，通过“数学期望”和“方差”可以解决人们在经济中的决策问题，帮助人们选择合适的投资方案降低投资风险，尽可能的获得更高的效益。“数学期望”可以表示收益的大小，“数学期望”越大收益就越大，“方差”代表的是波动性的大小，方差越大波动性越大,人们要获得利益最大，风险最小，就只需求出投资方案的期望与方差，选择期望最大，方差最小的方案，就是最优方案。求“数学期望“的公

式]1[为：若离散型随机变量ξ可能取值为a i （i=1,2,3,4）,其分布列为p i （i=1,2,3…..）则当+∞<∑+∞

=i i i p a 1时，称ξ存在数学期望，并且数学期望为

E ξ=i i i p a ∑+∞

=1；计算方差的公式是D ξ=E(ξ-E ξ)2

下面将以实例来进行说明：

例3.1:现有A 、B 、C 、D 四种证券，它们的收益与概率如下表

表3.1

（1）某人要投资以上四种证券中的一种问如何选择最好？

解：我们先考虑数学期望

10323031-30E(A)=⨯+⨯=

101/2401/2-20E(C)=⨯+⨯=

334/5451/5-15E(D)=⨯+⨯=可见选择B 中证券的平均收益最大，但还要考虑投资风险，其次再来考虑它的方差：