2 二重积分的计算方法

解：
两曲线的交点
y x2 ( 0,0) , (1,1), 2 x y
0 x 1 ［X－型］ 2 x y
D
x y
2
x y2
y x x2 y
2
x
( x y )dxdy 0 [
2 D
1 2 2
1
x x2
( x 2 y )dy]dx
1 [ x ( x x ) ( x x 4 )]dx 0 2
33 . 140
x y2
［Y－型］
0 y 1 2 y x
y x2
y
y y2
2 ( x y )dxdy D
0 [
1
( x 2 y )dx]dy
33 . 140
x 2 y 2 a 2
2 2 cos( x y )dxdy 等
1 直系与极系下的二重积分关系（如图） （1）面积元素变换为极系下：
r ri ri
i i
r ri
i 1 1 2 2 i ( ri ri ) i ri i

0
f ( r cos , r sin )rdr .
（4）区域如图4
0 2,
0 r ( ).
D
r ( )
o
A
f (r cos , r sin )rdrd
D
图4
d
0
2
( )
0
f ( r cos , r sin )rdr .
三
利用极坐标系计算二重积分
当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比
较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标 系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑 其计算问题。
例
x 2 y 2 a 2
e
x2 y2
dxdy,
x 2 y 2 a 2
2 2 sin( x y )dxdy,
y x
dy
1 4
1 2
y
1 2
e dx dy e dx .
1 2
y x
1
y
y x
y
解 e dx 不能用初等函数表示
先改变积分次序.
原式 I 1dx
2
y x

1
x
2
x
e dy
y x
y x2

1
1 2
3 1 x(e e )dx e e. 8 2
例 2
求 广 义 积 分
0
2

e
x
2
dx .
D2
解 D1 {( x , y ) | x 2 y 2 R 2 }
x y2
x y dy 1 2 y2
y 2
x
-1
1 2 [ y( y 2) 2 y 5 ]dy 2 1 6 1 y4 4 3 y 5 2 2 [ y 2 y ]1 5 2 4 3 6 8
1,1
5、若区域为组 合域，如图则：
a
a
2
a2 y2
f ( x , y )dx
2a 2a
2a
0 dy a
a
2a a y
2 2
f ( x , y )dx a dy y 2 f ( x , y)dx.
2a
例6 计算 y x 2 d . 其中 D : 1 x 1, 0 y 1.
D
原式

2
0
dx 1
3 x x
f ( x , y )dy
2
.
例 5 改变积分 0 dx 的次序 .
2a
2 ax 2 ax x 2
f ( x , y )dy ( a 0 )
解： y 2ax
2a
y 2ax x
2
a
a
2a
x a a2 y2
原式 = dy y 0
a
b
与区域边界的交点不多于两个； b、 1 ( x) 2 ( x).
［X－型］ X型区域的特点：a、平行于y轴且穿过区域的直线
（2）Y-型域：
c y d , 1 ( y) x 2 ( y).
d
d
x 1 ( y )
D
x 2 ( y )
x 1 ( y )
D
x
7.小结 二重积分在直角坐标下的计算公式
f ( x, y )d dx
D a
b
2 ( x )
1 ( x )
f ( x , y )dy. ［X－型］

D
f ( x , y )d dy
c
d
2 ( y )
1 ( y )
f ( x , y )dx［ . Y－型］
（在积分中要正确选择 积分次序）
（2）根据积分域类型, 确定积分次序；
（3）确定积分限，化为二次定积分；
（4）计算两次定积分，即可得出结果.
注意：二重积分转化为二次定积分时，关键 在于正确确定积分限,一定要做到熟练、准确。
D 是由抛物线 例 1 求 ( x 2 y )dxdy，其中
y x 2 和 x y 2 所围平面闭区域.
f(x,y)dxdy
D
A(x)dx
[
a
b
f(x.y)dy]dx
注意: 1）上式说明: 二重积分可化为二次定 积分计算;
2）积分次序: X-型域 3）积分限确定法: 先Y后X;
域中一线插, 内限定上下， 域边两线夹，外限依靠它。
为方便，上式也常记为：

b
a
dx
2(x)
1(x)
解： 先去掉绝对值符号，如图

D
y x 2 d
D3
2

D1 D2
1
( x
0
2
y )d ( y x )d
D3
2 1 1Baidu Nhomakorabea2
D1
D2
dx
1
x2
11 ( x y )dy dx 2 ( y x )dy . 1 x 15
例7
计算积分 I
D
图2
d


2 ( )
1 ( )
f ( r cos , r sin )rdr .
（3）区域如图3
,
0 r ( ).
o
D
r ( )


图3
A

D
f ( r cos , r sin )rdrd
( )
d
c
c
x 2 ( y )
［Y－型］
线与区域边界的交点不多于两个。b、 1 ( y) 2 ( y).
Y型区域的特点：a、穿过区域且平行于x轴的直
2、X-型域下二重积分的
计算: 由几何意义，若 f ( x, y) 0 则
y
z
z f ( x, y)
A( x )
f ( x, y)dxdy V D
f ( x, y)dxdy f ( r cos , r sin )rdrd .
D D
2 极系下的二重积分化为二次积分 将直系下的二重积分化为极系后，极系下的 二重积分仍然需要化为二次积分来计算。
关键是定出 r ,的上下限
定的 上 下 限 ：
用两条过极点的射线夹平面区域， 由两射线的倾角得到其上下限
定r的上下限：
任意作过极点的半射线与平面区域相交， 由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。
具体地（如图）
（1）区域如图1
r 2 ( ) r 1 ( )
,
D
1 ( ) r 2 ( ).

o

f (r cos , r sin )rdrd
1
2y
f ( x , y )dx dy
1
3
3 y
0
f ( x , y )dx
的
y
解：积分区域如图
0 y 1,0 x 2 y
1 y 3,0 x 3 y
1 0 x 2, x y 3 x 2
3 1
x 3 y
x 2y
o
2 x
(曲顶柱体的体积)
y 2 ( x)
a
x
b
x
y 1 ( x)
此为平行截面面积为已知的立体的体积.截面为曲 边梯形面积为：
Z
z f ( x, y )
A( x )
1 ( x ) f ( x , y )dy
y
2 ( x)
所以：
1 ( x )
b a
2 ( x)
2(x)
1(x)
i
lim f ( ri cos i , ri sin i )ri ri i f ( r cos , r sin )rdrd .
0
i D
（3）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下
的二重积分需要进行“三换”：
x r cos y r s i n D xy Dr dxdy rdrd
第二节 二重积分的计算法
一 问题的提出 二 直角坐标计算二重积分利用 三 利用极坐标计算二重积分 四 小结
一、问题的提出
按定义:二重积分是一个特定乘积和式极限

f ( x , y ) d lim
D
0
n
i1
f ( i , i ) i .
然而，用定义来计算二重积分，一般情况 下是非常麻烦的. 那么，有没有简便的计算方法呢?这就是我 们今天所要研究的课题。下面介绍:
例 1
计 算

D
e
x2 y2
dxdy
， 其 中 D 是 由 中 心 在
原 点 ， 半 径 为 R 的 圆 周 所 围 成 的 闭 区 域 .
解
在极坐标系下
D：
0 r R
x2 y2
， 0 2 .
e
D
dxdy 0 d 0 e rdr
r 2
2
R
1 2 R2 (1 e )d (1 e R2 ). 2 0
1 ( 2ri ri )ri i 2 D i ri ( ri ri ) ri i o 2 A ri ri i , （2）二重积分转换公式：
2
2
f ( , ) f ( x, y)dxdy lim
D 0 i i i

D
.
D1 D2 D3
D3
D1
0
6、如果积分区域既是X－型， 又是[Y－型], 则有
D2
f ( x, y)d [
D a
b
2 ( x )
1 ( x)
fdy]dx
[
c
d
2 ( y)
1 ( y)
fdx]dy
例4
改变积分 0 dy 0 积分次序 .
1
2 ( y )
f ( x, y )]dy
注意:
1）积分次序: Y-型域 ,先x后Y;
2）积分限确定法:
“域中一线插”, 穿插区域 。
也可记为 :
D
须用平行于X轴的射线

d
c
dy
2 ( y )
1 ( y )
f ( x , y )dx
4、利用直系计算二重积分的步骤
（1）画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标；
二、利用直角坐标计算二重积分
二重积分仅与被积函数及积分域有 关,为此, 先介绍：
1、积分域 D:
（1）X-型域 如果积分区域为： a x b, 1 ( x ) y 2 ( x ).
y 2 ( x )
y 2 ( x )
D
y 1 ( x )
a
b
D
y 1 ( x )
2 x
x
(x
1
2
3
x )dx

9 . 4
y 2 x及 例3 计 算 xyd , 其 中D是 由 抛 物 线
D
y x 2所 围 成 的 闭 区 域 。
解： （如图）将D作Y型
(先x后y )
y
xyd
D
2
2
1
dy
2
y2 y
2
xydx
2
4,2
x y2
例2 计算
D
x2 1 d . 其中 D 由 y x , y ,x2 2 x y
围成．
解： X-型
1 D : y x , 1 x 2. x
D
左边交点坐标为（ 1， 1）

D
2 2 xx x2 d dx 1 2 dy 2 1 y x y


2
1
x dx y 1
D
图1
A
d


2 ( )
1 ( )
f ( r cos , r sin )rdr .
（2）区域如图2
,
r 1 ( )
D
r 2 ( )
1 ( ) r 2 ( ).

o

A
f (r cos , r sin )rdrd
f(x.y)dy
• 注: 若 ƒ(x,y)≤0 仍然适用。
3、Y-型域下二重积分的计算：
同理：
［Y－型域下］
亦为平行截面面积为已 知的立体体积. 用y 常数截立体，其截面也 为曲边梯形， 面积为： B( y)
2 ( y) 1 ( y)
f ( x, y)dx
d
于是
f ( x, y )d c [ ( y ) D