北师大版八年级下册数学第一章《证明(二)》知识点及习题

1等腰三角形 知识点1 等腰三角形的性质定理

等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等(简述为等边对等角）.

用符号语言表示为:如图１-１所示,在△ＡBC 中,∵AB =A Ｃ，∴∠B =∠C ．

定理的证明:

取BC 的中点D ,连接AD .

∵(),()()AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩

已知中点定义，公共边，∴△ABD ≌△A ＣD (SSS)．

∴∠B ＝∠C (全等三角形的对应角相等).

定理的作用:证明同一个三角形中的两个内角相等.

拓展 等腰三角形还具有其他性质.

(1）等腰直角三角形的两个底角相等,都等于4５°．

（2)等腰三角形的底角只能是锐角，不能是钝角或直角,但顶角可以是锐角、钝角或直角.

（３）等腰三角形的三边关系：设腰长为ａ，底边长为b ，则2

b <ａ. (4)等腰三角形的三角关系：设顶角为∠A ,底角为∠B ，∠C ，则∠A =１80°-∠B -∠Ｃ＝180°-2∠B ＝180°－２∠C ．

知识点2 等腰三角形的性质定理的推论

推论1:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”)． (１)用符号语言表示为:如图１-3所示,

①在△AB Ｃ中，∵AB =A Ｃ,∠１＝∠2，∴A Ｄ⊥B Ｃ.ＢD ＝ＤC ;

②在△ABC 中,∵AB =A Ｃ,ＡD ⊥BC ,∴∠1=∠2，BD ＝ＤC ；

③在△ＡBC 中,∵AB =ＡC ,BD =DC ,∴∠1=∠２，ＡD ⊥BC .

（2）推论１的证明．

①在△A ＢC 中,∵A Ｂ＝AC ，∠1＝∠2,AD =ＡD ，

∴△ABD ≌△ＡＣD (ＳAS)．

∴BD ＝ＤＣ，∠ADB ＝∠ADC ＝90°．∴ＡD ⊥B Ｃ.

②在△ABC 中,∵AD ⊥B Ｃ,∴∠ＡDB ＝∠ADC =90°.

∵ＡB＝ＡC，∴∠Ｂ=∠C．又AＤ＝AＤ，∴Rt△ADB≌Rt△ADC(ＡAS).

∴∠１=∠２，BＤ=CD.

③在△ABC中，∵AB=AC,AD=ＡD,BD=ＣD，

∴△ＡＢD≌△ACD（SSS)

∴∠１＝∠2，∠ADB＝∠ADＣ=90°,∴AＤ⊥BC．

(3)推论1的作用:证明角相等、线段相等或垂直.

推论２:等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于6０°．

(1)用符号语言表示为:如图1-4所示,

在△ABC中,∵AB＝BC=ＡC,∴∠A=∠Ｂ＝∠Ｃ＝60°.

(2)推论2的证明：

∵ＡB＝AC,∴∠B=∠Ｃ.

∵AB＝ＢC，∴∠A＝∠C．

∴∠A＝∠B＝∠C．

又∵∠A+∠B+∠C=180°,即3∠Ａ=180°，

∴∠Ａ=∠B=∠C＝60°.

知识点3 等腰三角形的判定定理

等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简述为等角对等边）.

用符号语言表示为：如图1－6所示，在△ABC中,

∵∠B＝∠C，∴ＡＢ＝AC

判定定理的证明：如图1－6所示．

过A作AD⊥BC于D，则∠ADＢ＝∠ADC=9０°.

∵∠Ｂ=∠C，ＡD＝AＤ,∴△ABD≌△ＡCD(AAS)，

∴AB＝AC.

√判定定理的作用：证明同一个三角形中的边相等.

拓展如图1-6所示，在△ABＣ中,

(1)如果AD⊥BC,∠1=∠2,那么AB＝ＡC；

（2)如果AD⊥BＣ,BD=DＣ,那么ＡB＝AＣ;

(3)如果∠1－∠2,BD＝DC,那么AB＝AC．

知识点4 等腰三角形的判定定理的推论

推论１．

（1)推论１的内容：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.

(2)用符号语言表示为:如图１-8所示,在△ABＣ中,∵AＢ＝AC，∠A=6０°(或∠B=60°或∠C＝60°)，∴AB=AC=BC．

(3）推论1的证明：

在△ABC中，∵AB＝AC,∴∠B=∠C．

又∵∠A＝60°，∴∠B＝∠C＝

180

2

A

-∠

＝60°

∴ＡB＝AC＝BC.

(或∵∠Ｂ=６0°，∴∠A=1８0°-2∠Ｂ＝60°.∴AＢ=AC=ＢＣ.或∵∠C=60°，∴∠A=１80°-2∠C=６0°．∴AB=AC=BC.）

√推论2.

（1)推论２的内容：三个角都相等的三角形是等边三角形.

（2）用符号语言表示为：如图1－8所示,在△ＡBC中，∵∠A＝∠B=∠C，∴AB＝AC=BC.

（3)推论2的证明：

在△ABC中，∵∠Ａ＝∠B，∴BＣ=ＡＣ(等角对等边)．

又∵∠B＝∠C，∴AB=AC(等角对等边）．∴AＢ＝AＣ=BC.

(4)推论1和推论２的作用:证明一个三角形是等边三角形.

拓展判定一个三角形是等边三角形主要有以下三种方法:

（１)根据等边三角形的定义,证明三条边相等;

（2)根据推论1,证明两条边相等，有一个角是60°；

（３)根据推论2，证明三个角都相等.

√推论３．

(1)推论3的内容:在直角三角形中,如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

(2）用符号语言表示为:如图１-9所示,在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°,∠A =30°，∴BC =21A Ｂ．

(３）推论3的作用：证明一条线段是另一条线段的一半或2倍．

知识点5 反证法

先假设命题的结论不成立,然后从假设出发,推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果,从而否定假设,证明命题的结论一定成立,这种证明方法称为反证法．

拓展 反证法是一种常用的间接证明方法，用反证法的一般步骤是：

(1）假设命题不成立；

(2)从假设出发推导出矛盾;

(3）否定假设,从而肯定命题的结论.

规律方法小结

1．转化思想：在等腰三角形的性质定理和判定定理的证明过程中,都是通过构造全等三角形,转化为全等得以证明的.

2．类比思想：采用类比思想,把等腰三角形的性质和判定对照着学习.

3.用反证法进行证明时，注意推理的规范性和逻辑的严密性,不能忽略任何一种可能的情况.

探究交流

想一想:还有其他方法证明等腰三角形的性质定理吗?

解析 有,作等腰三角形ＡＢC 的顶角平分线ＡD ,如图1－2所示. ∵⎪⎩

⎪⎨⎧=∠=∠=,)(),(21,)(公共边角平分线定义已知AD AD AC AB

∴△AB Ｄ≌△ＡCD (SAS ）.

∴∠B ＝∠C (全等三角形的对应角相等)

课堂检测

1、如图1-１0所示，在△AB Ｃ中,ＡB =A Ｃ，AD =

32AC ,AE ＝3

2AB ．求证BD ＝ＣE ．