自主招生北约数学试题及解答(2010-2014)

2010年“北约”自主招生数学试题及解答1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<． 【解析】 不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02x π<<时，()1cos 0f x x '=->．于是()f x 在02x π<<上单调增．∴()(0)0f x f >=．即有sin x x >． 同理可证()tan 0g x x x =->．(0)0g =，当02x π<<时，21()10cos g x x'=->．于是()g x 在02x π<<上单调增。

∴在02x π<<上有()(0)0g x g >=。

即tan x x >。

注记：也可用三角函数线的方法求解．2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB．（25分） 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1max AB OP PR =<；⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）．不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使AB 最大的B 点必位于线段PQ 上．且当B 从P 向Q 移动时，AB 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或；对于线段PQ 上任意一点B ，都有2BR BA ≥．于是22max AB R P R Q == 由⑴，⑵知2max AB R P =．不妨设为x ．下面研究正五边形对角线的长．I HG FE 1111x x-1如右图．做EFG ∠的角平分线FH 交EG 于H ． 易知5EFH HFG GFI IGF FGH π∠=∠=∠=∠=∠=． 于是四边形HGIF 为平行四边形．∴1HG =． 由角平分线定理知111EFEH x FG x HG ===-．解得x =3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）【解析】 不妨设过A 点的切线交x 轴于点C ，过B 点的切线交x 轴于点D ，直线AC 与直线BD 相交于点E ．如图．设1122(,),(,)B x y A x y ，且有222211121,1,0y x y x x x =-=->>．由于2y x '=-，于是AC 的方程为2222x x y y =--；① BD 的方程为1122x x y y =--． ②联立,AC BD 的方程，解得121221(,1)2()y y E x x x x ---． 对于①，令0y =，得222(,0)2y C x -；对于②，令0y =，得112(,0)2y D x -． 于是221212121222112222y y x x CD x x x x --++=-=-． 121(1)2ECD S CD x x ∆=-．不妨设10x a =>，20x b -=>，则 2222111111()(1)(22)44ECD a b S ab a b a b ab a b a b∆++=++=+++++1111()(2)(2)44a b ab ab ab ab=+++⋅++≥ ③0s >，则有331111111(2)(.....)223399ECD S s s s s s s s s∆=++=++++++ 6个 9个1243691616111116)]8()2393s s s ⋅⋅[⋅(⋅()=⋅≥3218)3=⋅(= ④又由当12x a x b s ===-==∴min ()ECD S ∆ 注记：不妨设311()(2)2g s s s s=++，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解． 由2211()(32)2g s s s'=+-知当2103s <<时()0g s '<；当213s <时()0g s '>．则()g s 在(0,上单调减，在)+∞上单调增．于是当s =时()g s 取得最小值． 4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分） 【解析】 不妨设OA ，OB 夹角为α，则1,2OP t OQ t =-=，令 222()(1)42(1)2cos g t PQ t t t t α==-+-⋅-⋅2(54cos )(24cos )1t t αα=++--+． 其对称轴为12cos 54cos t αα+=+．而12()54x f x x +=+在5(,)4-+∞上单调增，故12cos 1154cos 3αα+-+≤≤． 当12cos 1054cos 3αα++≤≤时，012cos 1(0,)54cos 5t αα+=∈+，解得223αππ<<． 当12cos 1054cos αα+-<+≤时，()g t 在[0,1]上单调增，于是00t =．不合题意． 于是夹角的范围为2[,]23ππ． 5．（仅理科做）存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分） 【解析】 不存在；否则有(cos sin )(cos sin )cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x-+-=-=， 则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x x x x+=．若cos sin 0x x -=，有4x π=1,1不成等差数列；若cos sin 1sin cos x x x x+=，有2(sin cos )12sin cos x x x x =+．解得有sin cos 1x x =． 而11sin cos sin 2(0,]22x x x =∈，矛盾！2011年“北约”自主招生数学试题及解答2012年“北约”自主招生数学试题及解答2013年北约自主招生数学试题与答案1．1A. 2B. 3C. 5D. 6解析：显然，多项式23()(2)(1)2f x x x ⎡⎤=---⎣⎦和11 5. 若存在一个次数不超过4的有理系数多项式432()g x ax bx cx dx e =++++，其两根分别为1,,,,a b c d e 不全为0，则：420(42)(2020a c e ga c eb d b d ++=⎧=++++=⇒⎨+=⎩(1(7)(232(630g a b c d e a b c d a b c =-+----+++++=702320a b c d e a b c d +---=⎧⇒⎨+++=⎩即方程组：420(1)20(2)70(3)2320(4)630(5)a c eb d a bcde a b c d a b c ++=⎧⎪+=⎪⎪+---=⎨⎪+++=⎪++=⎪⎩，有非0有理数解. 由（1）+（3）得：110a b c d ++-= （6） 由（6）+（2）得：1130a b c ++= （7） 由（6）+（4）得：13430a b c ++= （8） 由（7）-（5）得：0a =，代入（7）、（8）得：0b c ==，代入（1）、（2）知：0d e ==.于是知0a b c d e =====，与,,,,a b c d e 不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式()g x11为两根的有理系数多项式的次数最小为5.2． 在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？ A. 720 B. 20 C. 518400 D. 14400解析：先从6行中选取3行停放红色车，有36C 种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。

三辆红色车的位置选定后，黑色车的位置有3！=6种选择。

所以共有36654614400C ⨯⨯⨯⨯=种停放汽车的方法.3． 已知2225,25x y y x =+=+，求32232x x y y -+的值. A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 解析：根据条件知：32232(25)2(25)(25)(25)x x y y x y y x y x -+=+-++++1515450x y xy =---由2225,25x y y x =+=+两式相减得()()22x y x y y x -+=-故y x =或2x y +=-①若x y =则225x x =+，解得1x =于是知1x y ==1x y ==当1x y ==3223222415()50430504(25)3870x x y y xy x y x x x x x -+=-++-=---=-----3870108x =--=--.当1x y ==3223222415()50430504(25)3870x x y y xy x y x x x x -+=--+-=---=-+---22(25)(25)2()2x y y x y x x y +=+-+=-⇒+=-3870108x =--=-+.（2）若x y ≠，则根据条件知：22(25)(25)2()2x y y x y x x y +=+-+=-⇒+=-，于是22(25)(25)2()106x y y x x y +=+-+=++=，进而知222()()12x y x y xy +-+==-. 于是知：32232415()5016x x y y xy x y -+=-+-=-.综上所述知，32232x x y y -+的值为108-±或16-.4． 数列{}n a 满足11a =，前n 项和为1,42n n n S S a +=+，求2013a .A. 3019⨯2 2012B. 3019⨯22013C. 3018⨯22012D.无法确定解析：根据条件知：1221221424244n n n n n n n n n a S a S a a a a a ++++++++==+=++⇒=-.又根据条件知：1212121,425a S a a a a ==+=+⇒=.所以数列{}1221:1,5,44n n n n a a a a a a ++===-.又212114422(2)n n n n n n n a a a a a a a +++++=-⇔-=-.令12n n n b a a +=-， 则11212,23n n b b b a a +==-=，所以132n n b -=⋅.即11232n n n a a -+-=⋅.对11232n n n a a -+-=⋅，两边同除以12n +，有113224n n n n a a ++-=，即113224n n n n a a ++=+.令2nnna c =，则134n n c c +=+，11122a c ==，于是知1331(1)244n n c n -=+-=.所以231,2(31)24nn n n a n --==-⋅.于是知：201120122013(320131)230192a =⨯-⋅=⋅.5．如图，ABC ∆中，AD 为BC 边上中线，,DM DN 分别,ADB ADC ∠∠的角平分线，试比较BM CN +与MN 的大小关系，并说明理由.A. BM+CN>MNB. MN +CN <MNC. BM+CN =MND.无法确定解析：如图，延长ND 到E ，使得DE DN =，连接BE ME 、.易知BDE CDN ∆≅∆，所以CN BE =.又因为,DM DN 分别为,ADB ADC ∠∠的角平分线，所以90MDN ∠=︒，知MD 为线段EN 的垂直平分线，所以MN ME =.所以BM CN BM BE ME MN +=+>=.6.模长为1的复数A B C 、、，满足0A B C ++≠，求AB BC CAA B C++++的模长.A. -1/2B. 1C. 2D.无法确定解析：根据公式z =1,1,1A A B B C C ⋅=⋅=⋅=.于是知：AB BC CA A B C++=++=1==.所以AB BC CAA B C++++的模长为1.7．最多能取多少个两两不等的正整数，使得其中任意三个数之和都为素数. 解析：所有正整数按取模3可分为三类：3k 型、31k +型、32k +型.首先，我们可以证明，所取的数最多只能取到两类.否则，若三类数都有取到，设所取3k 型数为3a ，31k +型数为31b +，32k +型数为32c +，则3(31)(32)3(1)a b c a b c ++++=+++，不可能为素数.所以三类数中，最多能取到两类.其次，我们容易知道，每类数最多只能取两个.否则，若某一类3(012)k r r +=、、型的数至少取到三个，设其中三个分别为333a r b r c r +++、、， 则(3)(3)(3)3()a r b r c r a b c r +++++=+++，不可能为素数.所以每类数最多只能取两个.结合上述两条，我们知道最多只能取224⨯=个数，才有可能满足题设条件. 另一方面，设所取的四个数为1、7、5、11，即满足题设条件. 综上所述，若要满足题设条件，最多能取四个两两不同的正整数.8．已知1232013a a a a R ∈、、、、，满足12320130a a a a ++++=，且122334201220132013122222a a a a a a a a a a -=-=-==-=-，求证：12320130a a a a =====.解析：根据条件知:122334************(2)(2)(2)(2)()0a a a a a a a a a a a a -+-+-++-=-++++=，（1）另一方面，令12233421312222a a a a a a a a m -=-=-==-=，则1223342222a a a a a a a a ----、、、、中每个数或为m ，或为m -.设其中有k 个m ，(2013)k -个m -，则：12233420131(2)(2)(2)(2)(2013)()(22013)a a a a a a a a k m k m k m-+-+-++-=⨯+-⨯-=-（2）由（1）、（2）知：(22013)0k m -= （3）而22013k -为奇数，不可能为0，所以0m =.于是知：12233420122013201312,2,2,,2,2a a a a a a a a a a =====.从而知：2013112a a =⋅，即得10a =.同理可知：2320130a a a ====.命题得证.9．对任意的θ，求632cos cos66cos 415cos 2θθθθ---的值. 解析：根据二倍角和三倍角公式知：632cos cos66cos 415cos 2θθθθ---622232cos (2cos 31)6(2cos 21)15(2cos 1)θθθθ=------63222232cos 2(4cos 3cos )162(2cos 1)115(2cos 1)θθθθθ⎡⎤⎡⎤=--------⎣⎦⎣⎦664242232cos (32cos 48cos 18cos 1)(48cos 48cos 6)(30cos 15)θθθθθθθ=--+---+--10=.10．已知有mn 个实数，排列成m n ⨯阶数阵，记作{}mxnija ，使得数阵中的每一行从左到右都是递增的，即对任意的123i m =、、、、，当12j j <时，都有12ij ij a a ≤.现将{}mxnij a 的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的m n ⨯阶数阵，记作{}mxnija '，即对任意的123j n =、、、、，当12i i <时，都有12i j i j a a ''≤.试判断{}mxnij a '中每一行的n 个数的大小关系，并说明理由.解析：数阵{}mxnija '中每一行的n 个数从左到右都是递增的，理由如下：显然，我们要证数阵{}mxnija '中每一行的n 个数从左到右都是递增的，我们只需证明，对于任意123i m =、、、、，都有(1)ij i j a a +''≤，其中1231j n =-、、、、. 若存在一组(1)pq p q a a +''>.令(1)(1)k k q i q a a ++'=，其中123k m =、、、、，{}{}123,,,,1,2,3,,m i i i i m =.则当t p ≤时，都有(1)(1)(1)t t i q i q t q p q pq a a a a a +++'''≤=≤<.也即在(123iq a i =、、、、m)中，至少有p 个数小于pq a '，也即pq a '在数阵{}mxnij a '的第q 列中，至少排在第1p +行，与pq a '排在第p 行矛盾. 所以对于任意123i m =、、、、，都有(1)ij i j a a +''≤，即数阵{}mxnij a '中每一行的n 个数从左到右都是递增的.2014年北约自主招生数学试题解析1.圆心角为060的扇形面积为π6,求它围成的圆锥的表面积．【解析】由于扇形的半径正是圆锥的母线长，扇形的弧长正是圆锥的底面周长，设扇形的半径为R ,则由R ⨯⨯=3π21π6,得6=R ． 于是，扇形的弧长π221π6==R l ，所以圆锥的底面半径1=r ． 圆锥的表面积为π7ππ62=⋅+r ．2.将10个人分成3组,一组4人,两组各3人,有多少种分法.【解析】先将10个人分成两组,一组4人,另一组6人,有410C 种分法；再将6人小组平均分为两组, 有1236A C 种分法；所以满足题意的分法共有21001236410=⨯A C C 种．3.如果)2lg()(2a ax x x f +-=的值域为R ,求a 的取值范围．【解析】由函数)2lg()(2a ax x x f +-=的值域为R ,可知函数a ax x +-22的值域包含全体正实数集合．于是有0442≥-=∆a a ，解之0≤a 或1≥a ． 4.设3)(2)()32(b f a f b a f +=+,且7)4(,1)1(==f f ,求)2014(f . 【解析】在3)(2)()32(b f a f b a f +=+中，令1=b ，得32)()32(+=+a f a f 在3)(2)()32(b f a f b a f +=+中，令4=b ，得314)()38(+=+a f a f两式相减，得4)32()232(=+-++a f a f ，令n a =+32， 即4)()2(=-+n f n f ． 又因为33)1(2)4()3124()2(=+=⨯+=f f f f ， 故402741006)2()2014(=⨯+=f f ．5.已知1-=+y x 且y x ,都是负数,求xyxy 1+的最值. 【解析】由1-=+y x 且y x ,都是负数，可知41)2()()(2=--≤-⋅-=y x y x xy ， 即410≤<xy ，所以4171≥+xy xy ，即最小值为417，无最大值．6.已知c xxx f +-+=4122arctan)(在)41,41(-上是奇函数,求c .【解析】由)(x f 在)41,41(-上是奇函数，得0)0(=f ．即02arctan )0(=+=c f ，所以2arctan -=c ．7.证明03tan 是无理数．【解析】用反证法．若03tan 为有理数．由02003tan 13tan 26tan -=可知06tan 为有理数，同理012tan ，024tan 均为有理数．再由000006tan 24tan 16tan 24tan )624tan(30tan ⋅-+=+=也是有理数，于是33是有理数，这与33是无理数矛盾，所以03tan 是无理数．8.已知实系数二次函数)(x f 与)(x g 满足0)()(3=+x g x f 和0)()(=-x g x f 都有双重实根,如果已知0)(=x f 有两个不同的实根,求证0)(=x g 没有实根. 【解析】由0)()(3=+x g x f 和0)()(=-x g x f 都有双重实根,设2)()()(3b x a x g x f +=+，2)()()(n x m x g x f +=-，于是4)()()(22n x m b x a x f +++=，已知0)(=x f 有两个不同的实根,及方程0)()(22=+++n x m b x a 有两个不同的实根,那么 方程0)(2)(222=+++++mn ab x mn ab x m a 的判别式大于零，0))((4)(4222>++-+mn ab m a mn ab ，整理得0)(2<-n b am ， 即n b am ≠<,0．于是方程04)(3)()(22=+-+=n x m b x a x g 中，m a 3,-同号， 所以方程0)(=x g 没有实根.9. 1321,,,a a a 是等差数列, {}131≤<<≤++=k j i a a a M k j i ,问: 316,27,0是否可以同时在M 中,并证明你的结论.【解析】设等差数列1321,,,a a a 的公差为d ,于是M 中的元素应满足kd a m +=13,其中333≤≤k ，假设316,27,0同时在M 中,即03111=+=d k a m ；273212=+=d k a m ；3163313=+=d k a m ， 其中333321≤<<≤k k k ，*∈N k k k 321,,．于是有27)(12=-d k k ，316)(13=-d k k ，即21321213=--k k k k ．因为32与21互质，所以21,321213≥-≥-k k k k ，由333321≤<<≤k k k 知3013≤-k k ，所以三个数316,27,0不可以同时在M 中．10.已知+∈R x x x n ,,,21 ,且121=n x x x ,求证:n n x x x )12()2()2)(2(21+≥+++ ． 【解析】用数学归纳法证明： （1）当1=n 时，11=x ，11)12(122+≥+=+x ，不等式成立；（2）假设当*∈=N k k n ,时，有121=k x x x ，且k k x x x )12()2()2)(2(21+≥+++ ， 当1121=+k k x x x x 时，若1121=====+k k x x x x ，则不等式中的等号成立；若这1+k 个正实数不都为1，这必有一个大于1，另一个小于1， 不妨设1,101><<+k k x x ，将1+k k x x 看成一个正实数，即1)(121=+k k x x x xk k k x x x x )12()2()2)(2(121+≥++++ ，由1,11><+k k x x ，得0)1)(1(1<--+k k x x ，即111+>+++k k k k x x x x ，0)12)(2()2)(2(11>++≥++++k k k k x x x x ， 所以≥+++++)2)(2()2)(2(121k k x x x x1121)12()12)(2()2)(2(+++≥++++k k k x x x x ． 即当1+=k n 时，不等式也成立，由（1）（2）可知命题成立．。