自主招生北约数学试题及解答(2010-2014)

2010年“北约”自主招生数学试题及解答

1．（仅文科做）02

απ<<，求证：sin tan ααα<<． 【解析】 不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02x π<<

时，()1cos 0f x x '=->．于是()f x 在02

x π<<上单调增．∴()(0)0f x f >=．即有sin x x >． 同理可证()tan 0g x x x =->．

(0)0g =，当02x π<<时，21()10cos g x x

'=->．于是()g x 在02x π<<上单调增。 ∴在02

x π<<

上有()(0)0g x g >=。即tan x x >。 注记：也可用三角函数线的方法求解．

2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB

．（25分） 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面

直角坐标系．

⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1max AB OP PR =<；

⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）．

不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是

合理的），则使AB 最大的B 点必位于线段PQ 上．

且当B 从P 向Q 移动时，AB 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或；

对于线段PQ 上任意一点B ，都有2BR BA ≥．于是22max AB R P R Q == 由⑴，⑵知2max AB R P =．不妨设为x ．

下面研究正五边形对角线的长．

I H

G F

E 1

111x x-1

如右图．做EFG ∠的角平分线FH 交EG 于H ． 易知5EFH HFG GFI IGF FGH π∠=∠=∠=∠=∠=

． 于是四边形HGIF 为平行四边形．∴1HG =． 由角平分线定理知

111EF

EH x FG x HG =

==-

．解得x =

3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）

【解析】 不妨设过A 点的切线交x 轴于点C ，过B 点的切线交x 轴于点D ，直线AC 与直线

BD 相交于点E ．如图．设1122(,),(,)B x y A x y ，

且有222211121,1,0y x y x x x =-=->>．

由于2y x '=-，

于是AC 的方程为2222x x y y =--；① BD 的方程为1122x x y y =--． ②

联立,AC BD 的方程，解得1

21221(,1)2()

y y E x x x x ---． 对于①，令0y =，得22

2(,0)2y C x -；

对于②，令0y =，得112(,0)2y D x -． 于是2212121212

22112222y y x x CD x x x x --++=-=-． 121(1)2

ECD S CD x x ∆=-．不妨设10x a =>，20x b -=>，则 2222111111()(1)(22)44ECD a b S ab a b a b ab a b a b

∆++=++=+++++

1111()(2)(2)44a b ab ab ab ab

=+++⋅++≥ ③

0s >，则有

331111111(2)(.....)223399ECD S s s s s s s s s

∆=++=++++++ 6个 9个

1243691616111116)]8()2393

s s s ⋅⋅[⋅(⋅()=⋅

≥3218)3=⋅(= ④

又由当12x a x b s ===-==

∴min ()ECD S ∆ 注记：不妨设311()(2)2g s s s s

=++，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解． 由2211()(32)2g s s s

'=+-知当2103s <<时()0g s '<；当213s <时()0g s '>．

则()g s 在(0,上单调减，在)+∞上单调增．于是当s =时()g s 取得最小值． 4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ

在0t 时取得最小值，问当0105

t <<时，夹角的取值范围．（25分） 【解析】 不妨设OA ，OB 夹角为α，则1,2OP t OQ t =-=，令 2

22()(1)42(1)2cos g t PQ t t t t α==-+-⋅-⋅2(54cos )(24cos )1t t αα=++--+． 其对称轴为12cos 54cos t αα+=

+．而12()54x f x x +=+在5(,)4-+∞上单调增，故12cos 1154cos 3αα+-+≤≤． 当12cos 1054cos 3αα++≤≤时，012cos 1(0,)54cos 5t αα+=∈+，解得223αππ<<． 当12cos 1054cos αα

+-<+≤

时，()g t 在[0,1]上单调增，于是00t =．不合题意． 于是夹角的范围为2[,]23

ππ． 5．（仅理科做）存不存在02

x π<<

，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分） 【解析】 不存在；否则有(cos sin )(cos sin )cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x

-+-=-=， 则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x x x x

+=．

若cos sin 0x x -=，有4

x π=1,1不成等差数列；

若cos sin 1sin cos x x x x

+=，有2(sin cos )12sin cos x x x x =+．解得有sin cos 1x x =． 而11sin cos sin 2(0,]22

x x x =∈，矛盾！