2018年高中数学联赛(四川预赛)试题和参考答案及评分细则

合集下载

2018年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)

a 2018年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2018B1、设集合{}8,1,0,2=A ，集合{}A a a B ∈=|2，则集合B A 的所有元素之和是 ◆答案： 31★解析:易知{}16,2,0,4=B ，所以{}16,8,4,2,1,0=B A ，元素之和为31.2018B 2、已知圆锥的顶点为P ，底面半径长为2，高为1．在圆锥底面上取一点Q ，使得直线PQ 与底面所成角不大于045，则满足条件的点Q 所构成的区域的面积为 ◆答案： π3★解析:记圆锥的顶点P 在底面的投影为O ，则O 为底面中心，且1tan ≤=∠OQOPOQP ，即1≥OQ ，故所以区域的面积为πππ31222=⨯-⨯。

2018B 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是奇数的概率为 ◆答案：101 ★解析：由def abc +为奇数时，abc ，def 一奇一偶，①若abc 为奇数，则c b a ,,为5,3,1的排列，进而f e d ,,为6,4,2的排列，这样共有3666=⨯种；②若abc 为偶数，由对称性得，也有3666=⨯种，从而def abc +为奇数的概率为101!672=。

2018B 4、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 通过原点，)1,3(=n 是l 的一个法向量．已知数列{}n a 满足：对任意正整数n ，点),(1n n a a +均在l 上．若62=a ，则54321a a a a a 的值为 ◆答案： 32-★解析:易知直线l 的方程为x y 3-=，因此对任意正整数n ，有n n a a 311-=+，故{}n a 是以31-为a 公比的等比数列.于是23123-=-=a a ，由等比数列的性质知325354321-==a a a a a a2018B 5、设βα,满足3)3tan(-=+πα，5)6tan(=-πβ，则)tan(βα-的值为◆答案： 47-★解析:由两角差的正切公式可知7463tan =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+πβπα，即可得47)tan(-=-βα2018B 6、设抛物线x y C 2:2=的准线与x 轴交于点A ，过点)0,1(-B 作一直线l 与抛物线C 相切于点K ,过点A 作l 的平行线，与抛物线C 交于点N M ,，则KMN ∆的面积为为 ◆答案：21★解析:设直线l 与MN 的斜率为k ，:l 11-=y k x ，:MN 211-=y k x 分别联立抛物线方程得到：0222=+-y k y （*），和0122=+-y ky （**）对（*）由0=∆得22±=k ；对（**）得2442=-=-k y y NM所以2121=-⋅⋅=-==∆∆∆∆N M KBAN BAM BMN KMN y y AB S S S S2018B 7、设)(x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]2,1上严格递减，且满足1)(=πf ，0)2(=πf ，则不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤1)(010x f x 的解集为◆答案：[]ππ--4,62★解析：由)(x f 为偶函数及在区间[]2,1上严格递减知，)(x f 在[]1,2--上递增，结合周期性知，)(x f 在[]1,0上递增，又1)()4(==-ππf f ，0)2()62(==-ππf f ，所以不等式等价于)4()()62(ππ-≤≤-f x f f ，又14620<-<-<ππ，即不等式的解集为a[]ππ--4,622018B 8、已知复数321,,z z z 满足1321===z z z ，r z z z =++321，其中r 是给定的实数，则133221z z z z z z ++的实部是（用含有r 的式子表示） ◆答案： 232-r★解析:记133221z z z z z z w ++=，由复数的模的性质可知：111z z =，221z z =，331z z =，因此 133221z z z z z z w ++=。

导数与极限第二辑(解析版)-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题13导数与极限第二辑1．【2018年广东预赛】设函数.f (x )=e x‒1‒x ⑴求在区间（n 为正整数）上的最大值；f (x )[0,1n ]b n ⑵令（n 、k 为正整数）.求证：.a n =e 1n‒1‒b n ，p k =a 2a 4⋯a 2ka 1a 3⋯a 2k ‒1p 1+p 2+⋯+p n <2a n+1‒1【答案】（1）（2）见解析b n =e 1n‒1‒1n 【解析】⑴因为，所以当时，，即上是增函数，故上的最大值为f'(x )=e x‒1x ∈[0,1n ]f'(x )≥0f (x )在[0,1n ]f (x )在[0,1n ].b n =e 1n‒1‒1n ⑵由⑴知.因为，a n =e 1n‒1‒b n =1n (2k ‒1)(2k +1)(2k )2=4k 2‒14k 2<1所以.[1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2k ‒1)2⋅4⋅⋯⋅(2k )]2=1⋅322⋅3⋅542⋅5⋅762⋅⋯⋅(2k ‒1)(2k +1)(2k )2⋅12k +1<12k +1又容易证明.12k +1<2k +1‒2k ‒1所以p k =a 2a 4⋯a 2ka 1a 3⋯a 2k ‒1=1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2k ‒1)2⋅4⋅⋯⋅(2k )<12k +1<2k +1‒2k ‒1所以.p 1+p 2+⋯+p n <(3‒1)+(5‒3)+⋯+(2n +1‒2n ‒1) =2n +1‒1=2a n+1‒1即.p 1+p 2+⋯+p n <2a n+1‒12．【2018年甘肃预赛】设函数）．f (x )=x ‒2x ‒a ln x （a ∈R ,a >0（1）讨论的单调性；f (x )（2）如果有两个极值点，我们记过点的直线斜率为．问：是否存在，f (x )x 1和x 2A (x 1,f (x 1)),B (x 2,f (x 2))k a 使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．k =2‒a a 【答案】（1）见解析（2）不存在【解析】（1）f(x)的定义域为，(0,+∞)。

2020年全国高中数学联赛(四川预赛)试题及参考答案

a3 (b c)2
b3 (c a)2
c3 (a b)2
(a
b c) .
求的最大值.
解：取 a 1 ,b 1 , c 2 ，其中 0 1 .
2
2
6
（1 +）3 则 2
(1 )3 2
(2 )3
（1 +）3 2
1 2
（1 3 )2 ( 1)2 (2 )2 （1 3 )2 2
2
2
2
对任意的（0 1）成立. 6
注意到当
0+
（1 +）3 时， 2
（1 3 )2
1 2
2
1，
2
所以， 1 .
......5 分
另一方面，下证： =1成立，即证
a3 (b c)2
b3 (c a)2
c3 (a b)2
(a b c)
.
不妨设 a b c ，则可令 a=c x,b c y ，其中 x y 0 .
设 A(x1 ,y1) ， B(x2 ,y2 ) ，则 x1 x2 k ， x1x2 1.
过点 A(x1 ,y1) 的抛物线 y x2 的切线方程是 y y1 2x1(x x1) ，
由 y1 x12 ，代入可得 y 2x1x x12 .
过点 B(x2 ,y2 ) 的抛物线 y x2 的切线方程是 y 2x2 x x22 ，
所以，问题得证.
......15 分 ......20 分
参考答案及评分标准（第 4 页，共 4 页）
令
k2
1 t ( t ≥1 )，则 d
| t2 1 2|
2
t
3
≥2
3
3
t
2 2t

2018年全国高中数学联赛四川赛区预赛试题+答案

评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.
2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参
考本评分标准适当划分档次评分，5 分一个档次，不要再增加其它中间档次.
一、选择题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）
1、A
2、B
3、B
4、D
………………………………………………………密……………………封……………………线………………………………………………………
2018 年全国高中数学联合竞赛（四川预赛）
（5 月 20 日下午 14：30——16：30）
题目
一
二
13
得分
评卷人
复核人
三
14
15
总成绩 16
考生注意：1．本试卷共有三大题（16 个小题），全卷满分 140 分. 2．用黑（蓝）色圆珠笔或钢笔作答. 3．计算器、通讯工具不准带入考场. 4．解题书写不要超过密封线.
k 1
……5 分
若 m 2 ，注意到 n 时， (m 2)(n 1) ，
因此，存在充分大的 n ，使得1 (m 2)(n 1) 4 ，即 an 4 ，矛盾！
参考答案及评分标准（第 3 页共 5 页）第7页
所以， m 2 . 又当 m 2 时，可证：对任意的正整数 n ，都有 0 an 4 .
……5 分
参考答案及评分标准（第 4 页共 5 页）第8页
当 0＜p＜1 时，由 x[1,e]，得 x 1 ≥0， x
故 f(x)p(x 1 )2lnx＜x 1 2lnx＜2，不合题意.
学校：
5. 已知方程1 x x2 x3 x4 x2018 0 的所有实数根都在区间[a, b] 内

谈谈赫尔德不等式

6中等数学谈谈赫尔德不等式中图分类号:0122.3王永中（四川省绵阳中学,621000）文献标识码：A 文章编号:1005 - 6416（2019）08 - 0006 - 07（本讲适合高中）1知识介绍赫尔德（Holder ）不等式若5 0GR +（i = 1 ,2,…，n ） ,p ＞0,pMl , — + — = 1,则p q丄丄S 5® V创）（p ＞ 1）；①i = l' i = l ' \ i = 1 '\_ 丄空恥禺空引"（空汀（0＜卩＜1）.②i\ i =1/' i =1'p p p当且仅当善=菩=…=詈时，以上两式等号成立.常见的资料中只介绍了不等式①，当P=g=2时,式①即为柯西不等式，可以认为它是柯西不等式的推广，故也称为柯西一赫尔德不等式.1. 1赫尔德不等式的证明取幕函数/（%）=%"（% G （0, +00））.因为r （x ）=p （P -i ）^-2,所以，当卩＞1 时,r （%）＞o,/（%）为下凸函数.对于任意的 Pi 、叫 W R + （i = 1,2,-",n ）,由琴生不等式得Pl +P2 + …+P ”IPl X l +P2%2 + *■ +Pn X A'Pl +P2 + •-• +Pn)一 P i 琲 +p 2x^ +…+p X当且仅当衍=勺=…=%”时，上式等号成立. 显然，收稿日期:2019-01 -31式③1 = 1 ' I = 1 ' \ i = 1记q =』7，贝』+丄=1.令p -1 p qPi = b ：,叫=a ：b 訐（i = 1 ,2,…，zz ；5、®W R + ）.故Pi 叫=bgb 户=a 屈（心）=ab,Pi 减=b ：a ：b 「q =af.将以上各式代入式④得丄丄i = l\ i = 1 / ' i = 1 /当且仅当a®芦=a 2b^ =…=a ”b 拦,即訂訂…主时，上式等号成立，这样便证明了不等式①.又当o＜p＜i 时,r （x ）＜o,/（%）为上凸函数，不等式③反向，从而，相应地有不等式②.上述证明表明，赫尔德不等式本质上是幕函数的凸性；不等式③是加权的幕平均不等式的一种特殊情况.当Pl =P2 =…=Pn = 1时,式③成为幕平均不等式勺+%2 +…+ 乂” 一/姊+舄+…+犹Vn ）'当p=2时，上式即不等式A5）WQ5）（算2019年第8期7术平均值W 平方平均值).关于赫尔德不等式①，常见的证法是引用如下不等式：几何不等式若％、y 、a 、0 € R+,a +0=1,则x a )fi W ox + 0y ,当且仅当％ =y 时，上式等号成立.事实上，因为对数函数/(%)=ln%是上凸函数，所以，由琴生不等式得a +0=aln x + 01n y = In x a y^,当且仅当咒二y 时，上式等号成立.1? 1另证记4 = »?,B =工那.i=\i=\由几何不等式得丄上式取i = 1,2,…，ti 1 /笙I)7B后，对n 个不等式p q£qn 浜g 叽①引］宜计.i =1\ i =1 ' 'i=l >若记 a =-,/3 =-,WJp qa 〉O,0>O,a+0 = l.令 a> =%：,仇=於(咎、%W R+ ).易知,赫尔德不等式①可表示为y xi = lBS W i = l1.2赫尔德不等式①的推论及推广(1)权方和不等式若 a,A 6, 6 R + (/ = 1 ,2,---,n) ,m >0 或m < 一 1 ,则m +1nm + 1/ J im-**~i = lb i存J(SM m ，当且仅当#亡=••煜时，上式等号成立.证明当m>0时,由赫尔德不等式①有m + 1 )—m _ J_ 'm +1 q上式两端zn + 1次方即导出所需的不等式.当mV -1,即-(m + l)>0时，对数组(“，篦，…爲)及(© ,。

各省高中数学竞赛试题汇编——函数小题目

各省数学竞赛试题汇编——函数小题目1．【2018年湖南预赛】函数的定义城为_________.【答案】【解析】由得，所以函数的定义城为.故答案为2．【2018年湖南预赛】已知函数对任意的实数满足：，且当时，，当时，，则象与的图象的交点个数为___________。

【答案】10【解析】由题意知，f（x）=且周期是6，，且此函数是偶函数，在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象如下图所示：由图可得，两个函数图象的交点个数是10个．3．【2018年陕西预赛】已知函数，若存在，使得，则正整数的最大值是________.【答案】6【解析】由题意得.故尽可能大时的情形为，此时. 4．【2018年陕西预赛】已知函数，若存在，使得，则正整数的最大值是________.【答案】6【解析】由题意得.故尽可能大时的情形为，此时. 5．【2018年陕西预赛】已知函数，若存在，使得，则正整数的最大值是________.【答案】6【解析】由题意得.故尽可能大时的情形为，此时. 6．【2018年贵州预赛】若方程有两个不等实根，则实数的取值范围是_____________. 【答案】【解析】由知x＞0，故.令，则.当时，；当时，.所以在（0，e）上递增，在（e，+）上递减.故，即.7．【2018年安徽预赛】设点P、Q分别在函数的图象上，则的最小值=_________. 【答案】【解析】设P（），Q（）使最小.由互为反函数，知点P、Q处的切线斜率都是1，直线PQ的斜率都是-1.故.故答案为：8．【2018年广东预赛】函数的值域为_____________.【答案】当时，的值域为（）；当时，的值域为（）.【解析】，因为，所以当时，的值域为（）；当时，的值域为（）.故答案为：当时，的值域为（）；当时，的值域为（）.9．【2018年广东预赛】已知方程在区间（-2，2）内恰有两个实根，则k的取值范围是__________. 【答案】【解析】记，令，得.当时，在（）上为增函数.当时，在（）上为减函数.所以在点处取得最大值，当且仅当时，在区间（-2，2）内恰有两个实根，故k的取值范围是.故答案为：10．【2018年贵州预赛】方程组的实数解为___________.【答案】【解析】因为，所以，即，代入，得.由.11．【2018年湖北预赛】设是定义在上的单调函数，若对任意的，都有，则不等式的解集为______.【答案】【解析】由题设，存在正常数，使得，且对任意的，有.当时，有，由单调性知此方程只有唯一解.所以.不等式，即，解得.故不等式的解集为.12．【2018年甘肃预赛】关于的方程有唯一实数解，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】解法一原方程化为．（1）．（2）时，的两根分别为1、3，不符合题意．（3）时，的两根分别为2，．因此，符合题意要求．（4），即时，若，不符合要求；若，因此，符合要求．解法二，因为，所以．上单调递增，在上单调递减．又，所以的取值范围是．13．【2018年吉林预赛】函数的定义域为__________.【答案】（1，2）（4，5）【解析】由题得，解之得x∈（1，2）（4，5）.故答案为：（1，2）（4，5）14．【2018年山东预赛】对任意的实数的最小值为______．【答案】【解析】设，则①＋②＋③得．解得．又当时，有解．故当时，取到最小值．15．【2018年山东预赛】已知，且为方程的一个根，则的最大可能值为______．【答案】9【解析】由题设，则．因为，则必为完全平方数．设，则．所以．解得，8，,0．所以的最大可能值为9.16．【2018年山东预赛】设为最接近的整数，则______．【答案】【解析】设，则，即．而，因此满足个．注意到，从而或7．由于，所以．因此．17．【2018年天津预赛】已知函数的定义域都是，它们的图象围成的区域面积是_____________【答案】【解析】将的图象补充为完整的圆，则由中心对称性易知答案是圆面积的一半，为.故答案为：18．【2018年天津预赛】若为正实数，且是奇函数，则不等式的解集是_____________【答案】【解析】由可得即也即，所以.由于在（0，+）上递增，所以在（0，+）上是增函数，结合是奇函数可知在R上是增函数.解不等式，只需找到的解.方程等价于也即两边平方，解得.因此，不等式的解集是.故答案为：19．【2018年河南预赛】已知函数，若的定义域为，值域为，则的值为______．【答案】0【解析】因为，所以有，得，故上是增函数，进而．解得（舍）或．故填0．20．【2018年河北预赛】若，且满足那么. 【答案】1【解析】把已知条件变形为函数上为增函数且是奇函数，另，故，所以.21．【2018年四川预赛】设函数上的最大值为，最小值为，那么的值为______. 【答案】4【解析】因为上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为.又的最大值为故故答案为：422．【2018年四川预赛】的值为______.【答案】1【解析】令，则从而，化简为.所以，原式故答案为：123．【2018年浙江预赛】已知a为正实数，且是奇函数，则的值域为________.【答案】【解析】由为奇函数可知，解得a= 2，即，由此得的值域为.24．【2018年浙江预赛】设，则有________个不同的解. 【答案】3【解析】因为由得到，或.由，得一个解；由得两个解，共3个解.25．【2018年浙江预赛】设满足，则x的取值范围为________. 【答案】【解析】由.令，，所以.26．【2018年江西预赛】函数的值域是区间______．【答案】【解析】显然函数定义域为，在此区间内，由于，即，故有角使得．于是，因为，则．在此范围内，则有．因此．（当时，；当时，）故答案为：27．【2018年山西预赛】函数的值域为________.【答案】【解析】由条件知.令.则，，，因为，所以，.28．【2018年湖南预赛】如图，A与P分别是单位圆O上的定点与动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数，则=__________.【答案】【解析】对角度x进行简单的分类，然后根据三角函数的定义得到利用函数的周期性得到.故答案为：29．【2018年湖南预赛】如图放置的边长为1的正方形ABCD沿x轴正向滚动，即先以A为中心顺时针旋转，当B落在x轴上时，再以B为中心顺时针旋转，如此继续，设顶点C滚动时的轨迹方程为，则上的表达式为__________.【答案】【解析】①由于是以4为周期的周期函数，所以当时此时由周期性及①式的结果得到故答案为：30．【2018年湖南预赛】设，函数（其中表示对于，当时表达式的最大值），则的最小值为_____.【答案】【解析】对于每一个，函数是线性函数.因此，在任意有限闭区间上，函数的最大值与最小值均在区间端点处达到，从而有由于函数图像交点的横坐标c满足，得到其图像为两条折线组成，且故答案为：31．【2018年福建预赛】已知定义在上的奇函数，它的图象关于直线对称．当时，，则______．【答案】2【解析】由为奇函数，且其图象关于直线对称，知，且，所以．是以8为周期的周期函数．又，所以．32．【2018年福建预赛】已知整系数多项式，若，则______．【答案】24【解析】设，则，于是．所以．所以是多项式的一个根．又不可能是三次整系数多项式、二次整系数多项式的零点．所以整除．故为整数．所以．由，得．所以．33．【2018年福建预赛】已知函数满足：对任意实数，都有成立，且，则______．【答案】【解析】在中，令，得．令，得．又，所以，即．又，，所以．故．34．【2016年上海预赛】若x∈(-1,1)时，恒为正值，则实数a的取值范围是____________。

2018 年全国高中数学联合竞赛A 卷试题及解析(含一试及加试)

I� f(x ）三 2 钟！（宵－ 2）三／（x）�／（ 8-2 叶，
而I＜π － 2 < 8-2r. < 2 ，故原不等式组成立当且仅当xE［肯－ 2, 8-2肯｝． 6.设复数z满足l= I=I ，使得关于，y的方程 x' + 2:x+2 =0有实根，则这样
＝
的复数z的和为答案：
分别是F；、凡，椭l2ll c 的弦 ST 与 UV 分别－＇￥· 行于 x 剿l与y轴，且相交子点P. 己知线段PU,PS ‘ PV 、 PT 的长分另lj为L 2. 3. 6 ，则 MF., 凡的朋积为答案： -Jl5. 解：由对称性，不妨设 P （，飞·，，， )'p ）在第一象限，则由条件知
主．
解：设们在平面。上的射影为。白条件知，立＝ tanLOQP ｜丘♂ I ' OQ I 3
ε
i己为 a, b,c, d, e,f ，则。be ÷d吃f ；是偶数的
概率为答案：解：先考虑。 bc+def ：为奇数的俏况，此时 abc、 d吃f 一奇一｛间，若 abc 为奇敛，
10
则。， b,c 为l, 3, 5 的排列，避而 d‘ e,f 为2,4,6的排列，这样有3！×31=36种情况，由对称性可知，使 abc+def 为奇数的情况数为 36 × 2 =72 种．从而 abc+d，电f 为偶 72 72 9 ＝I－一一＝一．数的概率为I－一 ' 6 720 JO
1. 设织合 A= {I, 2, 3、
2018年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）参考答案及评分标准
,99｝‘B={2xjxE A}, C={xl2xε斗，则B门C的元

2021年四川预赛(参考答案及评分细则)

a b
2
cyc
a.
注意到由均值不等式，
2b
b
a
4( b
b
b
a
)
1 4
4b ，
a c d aacd
2b
b
c
4( b
b
b
c1 )4
4b ，
c a d ccad
上两式相加得： 3 b 3 b c a 8b . c add
对（*）轮换求和即得：
3 b 3 b c a 8 b
cyc c cyc a cyc d cyc d
n i1
ai ai 1
n i 1
ai +1 ai
n
2
i1
ai
79 124 127 2 0 .
故 n 6 均不满足条件. 所以， n 4 .
……10 分
另一方面，再证： n 4 满足条件.
将
a1, a2, a3, a4
分别记为 a, b, c, d
，则 abcd
1，即证
cyc
b a
cyc
所以，点 Q 的轨迹方程为 (x 1)2 4 y2 1 （ y 0 ）． 3
解法二：易求得椭圆的方程是 x2 y2 1 ． 43
因为直线 BQE 截△ADP，由梅涅劳斯定理，得 AB DE PQ 1 ． BD EP QA
因为 AB 2 ， DE 3 ， BD 3 EP 2
……4 分
2, a6
an
1，
n
则
ai
2 1 1 64 2 (n 6) 16 78 n 1 79 n ，
a i1 i1
64 64
32
及 n ai1 1 64 64 1 1 (n 6) 1 124 n ，

2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)_PDF压缩

证明：存在 x0 ∈[1, 9] ，使得 f (x0 ) ≥ 2 ．证法 1：只需证明存在 u, v ∈[1, 9] ，满足 f (u) − f (v) ≥ 4 ，进而由绝对值不
等式得
f (u) + f (v) ≥ f (u) − f (v) ≥ 4 ，
故 f (u) ≥ 2 与 f (v) ≥ 2 中至少有一个成立．
注意到 f (4 ) f ( 4) f () 1, f (2 6) f (2) 0 ，
所以
0 f (x) 1 f (2 6) f (x) f (4 ) ，
而 0 2 6 4 1 ，故原不等式组成立当且仅当 x [2 6, 4 ] ．

4 7
，即
tan

2

4 7
，从而
tan(

)

cot

2

7 4
．
6. 设抛物线 C : y2 2x 的准线与 x 轴交于点 A ，过点 B (1, 0) 作一直线 l 与
抛物线 C 相切于点 K ，过点 A 作 l 的平行线，与抛物线 C 交于点 M , N ，则 KMN
…………………5 分
由 f (a) f (b) 得 1 log3 a log3 b 1，
即 log3 a log3 b 2 ，因此 ab 32 9 ．于是 abc 9c ．又
…………………10 分
0 f (c) 4 c 1，
…………………15 分
故 c (9, 16) ．进而 abc 9c (81, 144) ．

2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)

说明： 1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分． 2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10 分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一、（本题满分 40 分）设 a, b 是实数，函数 f (x) = ax + b + 9 ． x
知，满足条件的情况数为 36 × 2 =72 种．从而所求概率为= 72 7= 2 1 ． 6! 720 10
4. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 通过原点， n (3, 1) 是 l 的一个法向
量．已知数列{an}满足：对任意正整数 n ，点 (an1, an ) 均在 l 上．若 a2 6 ，则
11.（本题满分 20 分）如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中， A 、 B 与 C 、 D 分别是椭圆
x2 y2 : a2 b2 1 (a b 0) 的左、右顶点与上、下顶 A 点．设 P, Q 是上且位于第一象限的两点，满足
y
R
P
C
M
Q
O
Bx
OQ ∥ AP ， M 是线段 AP 的中点，射线 OM 与椭
是 0 1 2 4 8 16 31 ．
2. 已知圆锥的顶点为 P ，底面半径长为 2 ，高为1．在圆锥底面上取一点 Q ，
使得直线 PQ 与底面所成角不大于 45 ，则满足条件的点 Q 所构成的区域的面积
为
．
答案： 3 ．
解：圆锥顶点 P 在底面上的投影即为底面中心，记之为 O ．由条件知， OP tan OQP 1 ，即 OQ 1 ，故所求的区域面积为 22 12 3 ． OQ

2018年高中数学联赛(四川预赛)参考答案及评分细则

2018年全国高中数学联赛（四川预赛）试题参考答案及评分标准说明：1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分一个档次，不要再增加其它中间档次. 一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、A2、B3、B4、D5、C6、D 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、4 8、5 9、1 10、326+ 11、1 12、6050 三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13. 已知双曲线22143x y ，设其实轴端点为1A 、2A ，点P 是双曲线上不同于1A 、2A 的一个动点，直线1PA 、2PA 分别与直线1x 交于1M 、2M 两点.证明：以线段12M M 为直径的圆必经过定点.证明：由已知可设1(2,0)A ，2(2,0)A ，双曲线上动点P 的坐标为00(,)x y 且y 0≠0，则2200143x y .因为直线P A 1的方程为00(2)2y y x x =++，直线2PA 的方程为00(2)2y y x x =--，所以M 1(1,032y x +)，020(1,)2y M x --)， ……5分设以线段12M M 为直径的圆C 上任意一点Q (x ,y )，则由120M Q M Q ⋅=得圆C 的方程为00003(1)(1)()()022y y x x y y x x ---+--=+-.…10分令y =0，代入上述圆方程，得22203(1)04y x x --=-， ……15分由2200143x y 可得2020344y x =-，因此有29(1)04x --=，解得52x =或12x =-. 所以，以线段12M M 为直径的圆必经过两定点1(,0)2 ，5(,0)2. ……20分14. 设x ，y ，z 为正实数，求111(x y z y z x的最小值.解：记111(T x y z y z x,当1x y z 时，T 有最小值3(220 ……5分下证：20T .解法一：1111()T xyz xy yz zx xyz xy yz zx1113()2(x y zx y z x y z z x y……10分23……15分236320 ……20分当1x y z 时，可取到等号.所以，T 的最小值为20解法二：T ……10分884 ……15分834320 . ……20分当1x y z 时，可取到等号.所以，T的最小值为201x11x y……10分1(y.……15分111((x y z111x z y111((((((yzx1 .故3111((2x y z y z x. ……20分当1x y z 时，可取到等号.所以，T的最小值为3(220 .15. 已知数列{}n a 满足：11a ，2*11()8n n a a m nN ，若对任意正整数n ，都有4n a ，求实数m 的最大值.解：因为22111(4)2288n n n n n a a a a m a m m ， ……5分故1111()1(2)(1)n n k k k a a aa m n.若2m ，注意到n 时，(2)(1)m n ，因此，存在充分大的n ，使得1(2)(1)4m n ，即4n a ，矛盾！所以，2m . ……10分又当2m 时，可证：对任意的正整数n ，都有04n a . 当1n ，114a ，结论成立；假设(1)n k k 时，结论成立，即04k a ，则221110224488k k a a，即结论对1n k 也成立.由归纳原理知，对任意的正整数n ，都有04n a .综上可知，所求实数m 的最大值为2. ……20分16. 设函数()2ln pf x px x x. （1）若()f x 在其定义域内为单调递增函数，求实数p 的取值范围；（2）设2()eg x x，且0p ，若在[1,]e 上至少存在一点0x ，使得00()()f x g x 成立，求实数p 的取值范围；（3）求证：对任意的正整数n ，都有212ln (1)3nk k 成立. 解：（1）函数()f x 的定义域为(|0}x x . 由()2ln p f x px x x知 22()p f x p x x, 要使()f x 在其定义域(0,+∞)内为单调递增函数，只须()0f x ，即220px x p 在(0,+∞)内恒成立. 于是221x p x，注意到：222121x x xx ，等号在1x 时成立，即221xx 在1x 时有最大值1. 从而1p . ……5分（2）解法一：注意到2()eg x x在[1,e ]上是减函数，所以min ()()2g x g e ，max ()(1)2g x g e ，即()[2,2]g x e .当0＜p ＜1时，由x ∈[1,e ]，得1x x-≥0，故f (x )=p (x -1x )-2ln x ＜x -1x-2ln x ＜2，不合题意. 当p ≥1时，由（1）知f (x )在[1,e ]上是增函数，f (1)=0＜2，又g (x )在[1,e ]上是减函数，所以原命题等价于f (x )max ＞g (x )min =2，x ∈[1,e ]，由f (x )max = f (e ) = p (e -1e )-2ln e ＞2，解得p ＞241ee -.综上，p 的取值范围是(241ee -,+∞). ……10分解法二：原命题等价于f (x ) -g (x )＞0在[1,e ]上有解，设F (x )=f (x )-g (x ) = px -p x -2ln x -2e x. 因为F′(x )= p +2p x -2x +22e x =222()px p e x x ++-＞0，所以F (x )是增函数，所以F (x ) max = F (e )＞0，解得p ＞241ee -. 故p 的取值范围是(241ee -,+∞). ……10分（3）令1()2ln g x x x x，则由（1）知()g x 在(0,+∞)内为单调减函数. 由于(1)0g ，故当1x 时，有()0g x ，即102ln x x x.因此，，即2ln(1)k……15分故224ln (1)(2)k k k于是21112411ln (12()(2)2nn nk k k k k k kk1112(13212n n . ……20分。

2018年全国高中数学联赛四川赛区预赛

＝２＋
－
于是仅在时ｔ为素数ｍ＝２
＝３
．
，
，
〇
ｍ
此所求整数因
正
ｍ２＝
．
，
２Ｂ．
．
设ＰＦ
Ｉ
丨
则
丨
＋２ｍ
ｎ
＝
ａ，
２４４ｍ
．
２２
ｎ＝
２
ｃ＝
２
２
（ａ６－
），
３１
２：．
２
及式得由以上三
即２
ＦＦ
ｉ、
２
圆
＝１
ａ〇
的左右焦点为椭圆上点（ａ＞６＞０）
、
Ｐ
，
一，
满足Ｚ若厶，的面积为Ａ
ＰＦ０°
＝２
９
．
即２
２，
则的值为６
（
）？
Ａ（
）ｌ
＂
＂
４＾Ｂ（
）
Ｃ（
）
（Ｄ）２
３．函数
ｙ
：
（

其
为实数则的值为中，ａ、６
？
６
？
（
）
（Ａ）０
Ｂ（
）ｌ
（Ｃ）２
Ｄ３
（
）
５．设方程
４
ＸＸｘ
＋１
１
Ｘ￣
＋
￣
＋
ＪＪ２
２０１８
ＪＣ
＝０

2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)

2,
4,
6,,
48
，
故 B C 的元素个数为 24 ． 2. 设点 P 到平面的距离为 3 ，点 Q 在平面上，使得直线 PQ 与所成
角不小于 30 且不大于 60 ，则这样的点 Q 所构成的区域的面积为
．
答案：8 ．
解：设点 P 在平面上的射影为 O ．由条件知，OP OQ

tan
OQP

3, 3求的区域面积为 32 12 8 ．
3. 将1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行，记为 a, b, c, d , e, f ，则 abc + def 是偶数的
概率为
．
答案： 9 ． 10
在[9,) 上严格递减，且 f (3) 0, f (9) 1，故结合图像可知
a (0, 3) ， b (3, 9) ， c (9, ) ，
并且 f (a) f (b) f (c) (0, 1) ．
…………………4 分
由 f (a) f (b) 得 1 log3 a log3 b 1，
注意到 f ( 2) f () 1, f (8 2) f (2) f (2) 2 ，
所以 1 f (x) 2 f ( 2) f (x) f (8 2) ，
而1 2 8 2 2 ，故原不等式组成立当且仅当 x [ 2, 8 2] ． 6. 设复数 z 满足 z 1，使得关于 x 的方程 zx2 2zx 2 0 有实根，则这样
证明： (1) 约定 S0 0 ．由条件知，对任意正整数 n ，有
1

an
(2Sn

2024年全国高中数学联赛(四川预赛)试题与答案

2024年全国高中数学联赛（四川预赛）试题（考试时间：2024年5月19日 9:00~11:00）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.1.设函数()ln ||||2f x x x =+-的零点都在区间[,](,,)a b a b a b ∈<Z 内，则b a -的最小值为 .2.已知1a b >>，若5log log 2a b b a +=，则4b a +的最大值为 . 3.设a ∈R ，若函数()2ln af x ax x x=--在其定义域内为单调递增函数，则实数a 的最小值为 .4.用(,)f X Γ表示点X 与曲线Γ上任意一点距离的最小值.已知O ：221x y +=及1O ：22(4)4x y -+=，设P 为O 上的动点，则1(,)f P O 的最大值为 .5.设ABC ∆中，2AC =，2ABC BAC ∠=∠，则ABC ∆面积的最大值为 .6.将边长为1的正方体1111ABCD A B C D -的上底面1111A B C D 绕着其中心旋转45︒得到一个十面体ABCD EFGH -（如图），则该十面体的体积为 .7.若10099101123kk k T +-==⋅∑，则T 的末尾数字0的个数为 .8.记{1,4,5,6}I =，{1,2,3,,25}U = ，集合U 的子集12345{,,,,}A a a a a a =，满足||i j a a I -∉(15)i j ∀≤<≤，则符合条件的集合A 的个数为 .（用具体数字作答）二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）已知t 为正实数，若曲线e xy t =⋅与椭圆22:12x C y +=交于A 、B两个不同的点，求证：直线AB 的斜率2k <. 10.（本题满分20分）设复数,,x y z 满足：|23|1x y z ++=. 求222222||||||||x y z x y z +++++的最小值.11.（本题满分20分）给定正整数2n ≥，数组12(,,,)n a a a 称为“好数组”是指：12,,,n a a a 均不为0，11a =，且对任意的11k n ≤≤-，均有11()(1)0k k k k a a a a +++--=.求“好数组”12(,,,)n a a a 的组数.2024年全国高中数学联赛（四川预赛）试题参考答案及评分标准说明：1、本试卷满分120，其中填空题64分，解答题56分.2、评阅试卷时，请依据评分标准.填空题只设8分和0分两档；第9题4分一个档次、第10题和第11题均为5分一个档次.请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.3、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准评分.一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分. 1、4 2、143、14、3 56、23 7、3 8、717.二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9、（本题满分16分）已知t 为正实数，若曲线e xy t =⋅与椭圆22:12x C y +=交于A 、B 两个不同的点，求证：直线AB的斜率2k <. 证明：设11(,)A x y , 22(,)B x y ，其中12x x <. 注意到对数不等式：若,0a b >，a b ≠，则ln ln 2a b a ba b -+<-.取1e x a =，2e x b =，得121212e e e e 2x x x x x x -+<-. ∴121212121212(e e )(e e ).22x x x x y y t t y y k x x x x --++==<=--∴122y y k +>. ① ……4分将221112x y += 和222212x y += 相减，得12121212()()()()02x x x x y y y y +-++-=，∴12122()x x k y y +=-+. ② ……8分再将221112x y +=和222212x y +=相加，得2222121222x x y y ++=+. ③注意到：12x x ≠时，由2212122x x x x +>知2221212()24x x x x ++>，结合①、②、③，知22222212121212()()2242x x x x y y y y +++=++>+22212124()()42k y y y y ++=+4242k k >+， ……12分 ∴42210k k +-<，即22(21)(1)0k k -+<，解得2k <. ……16分 10、（本题满分20分）设复数,,x y z 满足：|23|1x y z ++=. 求222222||||||||x y z x y z +++++的最小值.解：一方面，113,,14714x y z ===时， 2222221||||||||7x y z x y z +++++=； ……5分另一方面，下证：2222221||||||||7x y z x y z +++++≥.由于,,x y z 旋转同一个角度，已知和结论不变.因此，不妨设222x y z ++为实数.设11i x x y =+，22i y x y =+，33i z x y =+，其中123123,,,,,x x x y y y ∈R ，则条件变为：22123123(23)(23)1x x x y y y +++++=，且1122330x y x y x y ++=.①待证式变为：3333222211111||7kkkkk k k k x y x y ====++-≥∑∑∑∑，即33221112max{,}7k k k k x y ==≥∑∑.因此，只需证明：3322111max{,}14k k k k x y ==≥∑∑.② ……10分（反证法）假设结论不成立，即3322111max{,}14kk k k x y ==<∑∑，从而321114k k x =<∑，321114k k y =<∑，在空间直角坐标系中，设(0,0,0)O ，123(,,)A x x x ，123(,,)B y y y ，(1,2,3)P ，则32211||14k k OA x ==<∑ ，32211||14k k OB y ==<∑ ，由1122330x y x y x y ++=知OA OB ⊥，记P 在面OAB 上的投影为P '，则||||OP OP '≤=，∴ 222222123(23)()()||||cos x x x OP OA OP OA OP OA θ''++=⋅=⋅=⋅⋅2221cos cos 14θθ<⋅⋅=， ……15分这里θ为向量OA 与OP '的夹角.类似可知，222123(23)cos (90)sin y y y θθ++<-= ， ∴ 2222123123(23)(23)cos sin 1x x x y y y θθ+++++<+=，这与22123123(23)(23)1x x x y y y +++++=，矛盾！所以，假设不成立，即有3322111max{,}14k k k k x y ==≥∑∑成立. 综上所述，222222||||||||x y z x y z +++++的最小值为17. ……20分注：猜出答案17，并指出一组取到最小值的,,x y z ，可以给5分. 11、（本题满分20分）给定正整数2n ≥，数组12(,,,)n a a a 称为“好数组”是指：12,,,n a a a 均不为0，11a =，且对任意的11k n ≤≤-，均有11()(1)0k k k k a a a a +++--=.求“好数组”12(,,,)n a a a 的组数.解：引理1：对任意正整数k ，若0k a >时，则k a k ≤，且k a 和k 同奇偶；若0k a <时，则1k a k ≥-+，且k a 和k 不同奇偶.引理1的证明：对k 进行归纳. 当1k =时，由11a =知结论成立；当2k =时，注意到22a =或者21a =-，从而结论也成立. 假设结论对(2)k k ≥时成立，下面考虑1k a +：情形1：若0k a >.由归纳假设知，k a k ≤，且k a 和k 同奇偶，于是k a 和1k +不同奇偶.由11k k a a +=+或者1k k a a +=-，知101k a k +<≤+，且和1k +同奇偶；或者10k a k +>≥-(1)1k =-++，且1k a +和1k +不同奇偶.情形2：若0k a <. 由归纳假设知，1k a k ≥-+，且k a 和k 不同奇偶，于是k a 和1k +同奇偶.由11k k a a +=+或者1k k a a +=-，知1021(1)k a k k +≥≥-≥-+，且和1k +不同奇偶；或者1011k a k k +<≤-<+，且1k a +和1k +同奇偶.因此，结论对1k +也成立.由归纳原理知，对任意的正整数k ，结论均成立.引理1得证. ……5分记,n k x 为12,,,n a a a 中n a k =的数组的个数，注意[1,]k n n ∈-. 约定,00(1)t x t n =≤≤，由题可知1,,1,n k n k n k x x x +--=+.（注意由引理1可知n 是偶数时,10n x =，n 是奇数时,10n x -=，所以上式对1k =成立.）引理2：对任意的正整数2n ≥，有1,211C C k k n n k n n x ----=-， ① 这里0,1,2,,[]2n k = 且1,1211C C k k n n k n n x --+--=- ，② 这里20,1,2,,[2n k -= ，注意这里的120n k -+≤. 补充定义1C 0n -=. 注意①蕴含着2,00k x =，这和题意一致.引理2的证明：对(2)n n ≥进行归纳，当2n =时，对①：0k =或1，注意到：012,2111C C x -==-，102,0110C C x ==-；对②：0k =，注意到：012,1111C C x --==-. 从而2n =时，结论①、②成立. 当3n =时，对①：0k =或1，注意到：013,3221C C x -==-，103,1221C C x ==-；对②：0k =，注意到：013,2221C C x --==-. 从而3n =时，结论①、②成立. 假设结论①、②对(3)n n ≥时成立，考察1n +的情形：对于①，分情况讨论：对任意10,1,2,,[]2n k += ，（1-1）0k =.易知011,1(1)1(1)11C C n n n n x -+++-+-==-，此时结论①成立.（1-2）对任意1,2,,[2n k = ，注意此时21{0,1,2,,[2n k --∈ ， 1121,12,2,12(1)1111(C C )(C C )k k k k n n k n n k n n k n n n n x x x ---++---+-----=+=-+- 1121111(C C )(C C )k k k k n n n n -------=+-+1C C k k n n -=-，（1-3）1[][]22n n k +=>，此时21n k =-，11,122,00C C k k n n k k n nx x -++-===-成立. 所以结论①对任意10,1,2,,[2n k += 成立. ……10分对于②，分情况讨论：对任意10,1,2,,[2n k -= ，（1-1）若0k =.易知011,(1)(1)1C C n n n n n nx -+-+-+-==-，此时结论①成立. （1-2）对任意11,2,,[]2n k -= ，注意此时21{0,1,2,,[2n k --∈ ， 1211,1(1)2,12(1),21111(C C )(C C )k k k k n n k n n k n n k n n n n x x x ---+-++-+------=+=-+- 12111111(C C )(C C )C C k k k k k k n n n n n n --------=+-+=-.所以结论②对任意10,1,2,,[2n k -= 成立. 由归纳原理知，对任意的正整数2n ≥，结论①、②都成立.引理2得证. ……15分回到原题：注意到：所求的组数为[][]122,2,1200n n n n n kn n kk k S xx---+===+∑∑，∴11112121,21221,22222200(C C )(C C )nn nn kk k k n n n kn n k nnn n k k k k S xx ----+++-+-+=====+=-+-∑∑∑∑111122222221(C C )(C C )C C C nn n n nn n n n n n n ----+=-+-=+=，及111122,222,122212121210(CC)(C C )nn nn k k k k n n n kn n k n n n n k k k k S xx ------+----=====+=-+-∑∑∑∑. 11112121212121212(C C )(C C )C C C n n n n nn n n n n n n ----------=-+-=+=.综上可知，所求的组数为[]2Cnn nS =*(,2)n n ∈≥N . ……20分注：猜出答案所求的组数为[]2Cn n nS =*(,2)n n ∈≥N ，可以得5分.。