2018年高中数学联赛(四川预赛)试题和参考答案及评分细则

xyz
xy yz zx
3(x y z 1 1 1) 2( x y z ) 5 2
xyz
zxy
……10 分
2 2 66 xy yz zx 1 1 1 xy yz zx
36 6 x y z 1 1 1 2 33 x y z 5 2
所以，T 的最小值为 20 14 2 .
x 1 2
y
解法三：注意到：
2 2
1 2
2
x

2
1
2

1 y

2
2
2
1

1
x 2
2

(
1
)
1 2
2
2
12 2
.
y
(x 1 2)( y 1 2）(z 1 2)
y
z
x
于是，
(2 2)3
……10 分 ……15 分
【】
A、2
B、3
C、5
D、7
2.
x2 设 F1 、F2 分别是椭圆 a2

y2 b2
1 (a b 0) 的左、右焦点，P 为该椭圆上一点，
满足F1PF2 90 . 若 PF1F2 的面积为 2， 则 b 的值为【 】
则由 M1Q

M2Q

0
得圆
C
的方程为 (x
1)(x
1)

(y

3y0 )( y x0 2

y0 ) x0 2

0 .…10
分
令
y0，代入上述圆方程，得
(x
1)2

3 y02 x02 4

0
，
由 x02 4

y02 3

1可得
y02 x02
4
x1 y
2 y1 z
2 z1 x
2
2 2
2 2
2 2

1
(x 2
2

(
1
)
1 2
2
2
12 2
1
) ( y2
2

(
1
)
1 2
2
2
12 2
1
) (z 2
2

(
1
)
1 2
2
2
12 2
)
y
z
x
1 .
故 (x 1 2)( y 1 2)(z 1 2) (2 2)3 .
准考证号：
性别 ：
姓名：
年级 ：
得 分 评卷人 一、单项选择题（本大题共 6 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ小题，每小题 5 分，共 30 分）
1. 设 Sn 、 Tn 分别是等差数列 {an } 与 {bn } 的前 n 项和，对任意的正整数 n ，都有
Sn Tn

2n 6 n1 .
若 am bm
为质数，则正整数 m 的值为
an

1 8
an2
an
m

1 8 (an
4)2

m

2

m

2
，
n1
故 an a1 (ak1 ak ) 1 (m 2)(n 1) .
k 1
……5 分
若 m 2 ，注意到 n 时， (m 2)(n 1) ，
因此，存在充分大的 n ，使得1 (m 2)(n 1) 4 ，即 an 4 ，矛盾！
y
z
x
……20 分
当 x y z 1时，可取到等号.
所以，T 的最小值为 (2 2)3 20 14 2 .
15.
已知数列{an } 满足：a1
1 ，an1

1 8
an2
m
(n N* ) ，若对任意正整数 n ，都有
an 4 ，求实数 m 的最大值.
解：因为 an1
考本评分标准适当划分档次评分，5 分一个档次，不要再增加其它中间档次.
一、选择题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）
1、A
2、B
3、B
4、D
5、C
6、D
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）
7、4
2 15
8、
9、1
10、 3 6
11、1
12、6050
5
xyz
zxy
2 6 2 36 2 3 5 2 20 14 2 . 当 x y z 1时，可取到等号.
……15 分 ……20 分
所以，T 的最小值为 20 14 2 .
解法二：T (2 x 2)(2 y 2)(2 z 2)
y
z
x
……10 分
8 4 2( x z y ) 4( x y z ) 2 2
zyx
yzx
8 4 2 33 x z y 433 x y z 2 2 ……15 分
zyx
yzx
8 4 2 3 43 2 2 20 14 2 .
……20 分
参考答案及评分标准 （第 2 页 共 5 页）
当 x y z 1时，可取到等号.
y
z
x
2018 年全国高中数学联赛(四川预赛) 第 3 页 (共 4 页)
15.
已知数列{an } 满足：a1
1 ， an1

1 8
an2
m
(n N* ) ，若对任意正整数 n ，都
有 an 4 ，求实数 m 的最大值.
16. 设函数 f (x) px p 2 ln x . x
234
2018
（其中 a ， b Z ，且 a b ），则 b a 的最小值为
【】
A、1
B、2
C、3
D、4
6. 对任意正整数 n，定义 Z(n)为使得1 2 m 是 n 的倍数的最小的正整数 m ．关
于下列三个命题：
①若 p 为奇质数，则 Z ( p) p 1；
②对任意正整数 a ，都有 Z (2a ) 2a ；
A2 ，点 P 是双曲线上不同于 A1 、
A2 的一个动点，直线 PA1 、 PA2 分别与直线 x 1交于 M1 、 M 2 两点.
证明：以线段 M1M 2 为直径的圆必经过定点.
14. 设 x ， y ， z 为正实数，求 (x 1 2)( y 1 2)(z 1 2) 的最小值.
（1）若 f (x) 在其定义域内为单调递增函数，求实数 p 的取值范围；
（2）设
g(x)

2e x
，且
p

0 ，若在[1,
e] 上至少存在一点
x0
，使得
f
( x0
)

g ( x0
)
成
立， 求实数 p 的取值范围；
（3）求证：对任意的正整数 n ，都有 n ln2 (1 2) 3 成立.
k 1
则 x02 y02 1. 43
因为直线
PA1 的方程为
y

y0 x0
2
(x

2)
，直线
PA2 的方程为
y

y0 x0
(x 2

2)
，
所以 M1(1,
3y0 x0 2
)，
M2
(1,
y0 ) x0 2
)，
……5 分
设以线段 M1M 2 为直径的圆 C 上任意一点 Q(x,y)，
k
2018 年全国高中数学联赛(四川预赛) 第 4 页 (共 4 页)
2018 年全国高中数学联赛（四川预赛）试题
参考答案及评分标准
说明：
1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设 5 分和 0 分两档；其它各题的
评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.
2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参
（2）设
g(x)

2e x
，且
p

0 ，若在[1,
e] 上至少存在一点
x0
参考答案及评分标准 （第 3 页 共 5 页）
所以， m 2 . 又当 m 2 时，可证：对任意的正整数 n ，都有 0 an 4 .
当 n 1， a1 1 4 ，结论成立；
假设 n k (k 1) 时，结论成立，即 0 ak 4 ，
则0

ak 1

2
3， 4
……15 分
参考答案及评分标准 （第 1 页 共 5 页）
因此有 (x 1)2 9 0 ，解得 x 5 或 x 1 .
4
2
2
所以，以线段
M1
M
2
为直径的圆必经过两定点
(
1 2
,
0)
，
(
5 2
,
0)
.
……20 分
14. 设 x ， y ， z 为正实数，求 (x 1 2)( y 1 2)(z 1 2) 的最小值.
序集合对 ( A, B) 为 I 的“隔离集合对”，则集合 I 的“隔离集合对”的个数为
.
（用具体数字作答）
2018 年全国高中数学联赛(四川预赛) 第 2 页 (共 4 页)
得 分 评卷人 三、解答题（本大题共 4 个小题，每小题 20 分，共 80 分）
13.
已知双曲线
x2 4

y2 3
1，设其实轴端点为 A1 、
为
.
8.
在 ABC 中， cos B
1
，则
1

1
的最小值为
.
4 tan A tan C
9.
log6
5
1 2 log6 5 log10 3 log15 2 log10 3 log10 3 log15 2 log15
2

log6
5
的值为
.
10. 在三棱锥 P ABC 中，三条棱 PA 、 PB 、 PC 两两垂直，且 PA 1， PB 2 ，
A、1
B、 2
C、 3
D、2
3.
函数
y

(sin
x 1)(cos x 2 sin 2x
1)（x

R)
的最大值为
【】
2
A、
2
B、1
C、 1 2 22
D、 2
4. 设多项式 f (x) x12 x6 1除以 x2 1的商式为 q(x) ，余式 r(x) ax b ，其
y
z
x
解：记T (x 1 2)( y 1 2)(z 1 2) ,
y
z
x
当 x y z 1时， T 有最小值 (2 2)3 20 14 2 .
下证： T 20 14 2 .
……5 分
解法一：T (xyz 1 ) 2(xy yz zx 1 1 1 )

1 8
ak2

2

1 8
42

4
，
即结论对 n k 1也成立.
由归纳原理知，对任意的正整数 n ，都有 0 an 4 .
综上可知，所求实数 m 的最大值为 2.
……10 分 ……20 分
16. 设函数 f (x) px p 2 ln x . x
（1）若 f (x) 在其定义域内为单调递增函数，求实数 p 的取值范围；
③对任意正整数 a ，都有 Z (3a ) 3a 1.
其中所有真命题的序号为
A、 ①②
B、 ①③
C、 ②③
【】 D、①②③
得 分 评卷人 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）
7. 设函数 f (x) x 9 在 [1, 4] 的最大值为 M ，最小值为 m ，则 M m 的值 x
中 a ， b 为实数，则 b 的值为【 】
A、0
B、1
C、2
D、3
2018 年全国高中数学联赛(四川预赛) 第 1 页 (共 4 页)
学校：
5. 已知方程1 x x2 x3 x4 x2018 0 的所有实数根都在区间[a, b] 内
………………………………………………………密……………………封……………………线………………………………………………………
2018 年全国高中数学联合竞赛（四川预赛）
（5 月 20 日下午 14：30——16：30）
题目
一
二
13
得分
评卷人
复核人
三
14
15
总成绩 16
考生注意：1．本试卷共有三大题（16 个小题），全卷满分 140 分. 2．用黑（蓝）色圆珠笔或钢笔作答. 3．计算器、通讯工具不准带入考场. 4．解题书写不要超过密封线.
PC 2 ，若点 Q 为三棱锥 P ABC 外接球的球面上任一点，则 Q 到面 ABC 距离的最大
值为
.
11. 设直线 y kx b 与曲线 y x3 x 有三个不同的交点 A 、 B 、 C ，
且| AB || BC | 2 ，则 k 的值为
.
12. 设集合 I {1, 2,3, 4,5,6, 7,8}， 若 I 的非空子集 A 、B 满足 A B ,就称有
26
三、解答题（本大题共 4 个小题，每小题 20 分，共 80 分）
13.
已知双曲线
x2 4

y2 3
1，设其实轴端点为 A1 、
A2 ，点 P 是双曲线上不同于 A1 、
A2 的一个动点，直线 PA1 、 PA2 分别与直线 x 1交于 M1 、 M 2 两点.
证明：以线段 M1M 2 为直径的圆必经过定点. 证明：由已知可设 A1 (2, 0) ， A2 (2, 0) ，双曲线上动点 P 的坐标为 (x0 , y0 ) 且 y0≠0，