宁夏银川市第一中学2014高三下第一次模拟考试数学(理)试卷

绝密★启用前
2014年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）
(银川一中第一次模拟考试)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．设集合M={x|
1
242
x ≤≤}，N={x|x-k>0},若M∩N=φ，则k 的取值范围为 A. [)2,+∞ B.（2，+∞） C.（-∞，-1） D.(],1-∞- 2．复数
()
2
1i 1i
+-等于
A ．-1-i
B ．1+i
C ．1-i
D ．-1+i
3．下列说法正确的是
A ．命题“R x ∈∃使得0322
<++x x ”的否定是：“032,2>++∈∀x x R x ” B ．a ∈R,“
1
a
<1”是“a>1”的必要不充分条件 C ．“p q ∧为真命题”是“q p ∨为真命题”的必要不充分条件
理科数学试卷 第1页(共6页)
D ．命题p ：“2cos sin ,≤+∈∀x x R x ”，则⌝p 是真命题
4．等差数列{}n a 中，564a a +=，则10122log (222)a
a
a
⋅⋅⋅⋅= A ．10
B ．20
C ．40
D ．2+log 25
5．如图，长方形的四个顶点为)2,0(),2,4(),0,4(),0,0(C B A O ，曲线x y =经过点B ．现将一质点随机投入
长方形OABC 中，则质点落在图中阴影区域的概率是 A ．
125 B ．21
C ．
32 D ．4
3 6．要从10名女生和5名男生中选出6名学生组成课外兴趣 小组学习，则按分层抽样组成此课外兴趣小组的概率为
A ．42
1056
15
A A C ⋅
B ．615
615C A
C ．331056
15
C C C ⋅
D ．421056
15
C C C ⋅ 7．执行如图的程序框图，那么输出S 的值是 A ．2 B ．
2
1
C ．-1
D ．1
8．已知y x z c y x y x x y x +=⎪⎩
⎪
⎨⎧≥++-≤+≥302,
42,且目标函数满足的最小值是5，则z 的最大值是
A ．10
B ．12
C ．14
D ．15
9．若c b a ,,均为单位向量，b a ∙2
1
-=，b y a x c +=，),(R y x ∈，则y x +的最大值是 A ． 2
B. C
D. 1
10．将函数f （x ）＝3sin （4x ＋
6π）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移6π
个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象．则y ＝g （x ）图象的一条对称轴是 A ．x ＝
12
π B ．x ＝6
π
C ．x ＝3
π
D ．x ＝
23
π 11．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边
长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为
A ．
34π
B ．π3
C ．π
D ．
π2
3 12．在直线2-=y 上任取一点Q ，过Q 作抛物线y x 42
=的切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 恒过的点是
A ．（0，1）
B ．（0，2）
C ．（2，0）
D ．（1，0）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．若二项式22n
x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式共7项，则该展开式中的常数项为___________.
14．在△ABC 中，AB
，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于 .
15．设双曲线22
143
x y -=的左、
右焦点分别为12,F F ,过1F 的直线l 交双曲线左支于,A B 两点,则22BF AF +的最小值为____________.
16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12(2)n n a S n -=≥，则n a = .
三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17．(本题满分12分)
设函数2
()sin(π)2cos 1(0).6
2
f x x x ωω
ω=--+>
直线y =()y f x =图象相邻两交点的距离为π.
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若点（,02
B
）是函数()y f x =图象的一个对称中心，且3b =，求△ABC 周长的取值范围.
18．(本题满分12分)
如图，在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,a CB DC AD ===, 60=∠ABC ,平面⊥ACFE 平面ABCD ,四边形ACFE 是矩形,
a AE =,点M 在线段EF 上.
(1)求证:⊥BC 平面ACFE ;
(2)当EM 为何值时,AM ∥平面BDF ?证明你的结论; (3)求二面角D EF B --的平面角的余弦值.
M
F
E
C
D B
A
理科数学试卷 第3页(共6页)
19.（本小题满分12分）
为迎接2012年伦敦奥运会,在著名的海滨城市青岛举行了一场奥运选拔赛,其中甲、乙两名运动员为争取最后一个参赛名额进行的7轮比赛的得分如茎叶图所示：
（1）若从甲运动员的每轮比赛的得分中任选3个不低于80且不高于90的得分，求甲的三个得分与其每轮比赛的平均得分的差的绝对值都不超过2的概率；
（2）若分别从甲、乙两名运动员的每轮比赛不低于80且不高于90的得分中任选1个，求甲、乙两名运动员得分之差的绝对值ξ的分布列与期望.
20. （本小题满分12分）
已知函数()f x 是奇函数，()f x 的定义域为(,)-∞+∞．当0x <时，()f x ln()
ex x
-=．(e 为自然对数的底数)．
(1)若函数()f x 在区间1(,)(0)3
a a a +>上存在极值点，求实数a 的取值范围； (2)如果当x ≥1时，不等式()1
k
f x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围.
21．（本小题满分12分）
如图，椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的一个焦点是
F （1，0），O 为坐标原点.
（1）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成 、正三角形，求椭圆的方程；
（2）设过点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点.若直线l 绕点F 任意转动，则有|OA |2+|OB |2<|AB |2,求a 的取值范围.
8
甲
乙
7 9
5 4 5 4 1
8 4 4 6 7 4 1
9
1
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题
卡上把所选题目的题号涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲．
如图，圆1O 与圆2O 相交于A 、B 两点，AB 是圆2O 的直径，过A 点作圆1O 的切线交圆2O 于点E ，并与BO 1的延长线交于点P ，PB 分别与 圆1O 、圆2O 交于C ，D 两点。

求证：(Ⅰ)PA ·PD =PE ·PC ；
(Ⅱ)AD=AE .
23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．
已知圆锥曲线C ：⎩⎨
⎧==θ
θsin 3cos 2y x θ(为参数）和定点)3,0(A ,21,F F 是此圆锥曲线的左、右焦点。

(Ⅰ)以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线2AF 的极坐标方程； (Ⅱ)经过点1F ，且与直线2AF 垂直的直线l 交此圆锥曲线于M 、N 两点，求||||||11NF MF -的值.
24．（本小题满分10分）选修4—5: 不等式选讲．
已知函数()|1|f x x =-。

(Ⅰ)解不等式()(4)8f x f x ++≥；
(Ⅱ)若||1,||1a b <<，且0a ≠，求证：()||()b
f ab a f a
>.
理科数学试卷 第5页(共6页)
一、选择题：
1.A.
2. D.
3. B. 4B ．5. C 6． D ．7. B ． 8．A ．9. A ． 10． C ． 11．D ．12． B ． 二．填空题：
13．答案：60 14、
15、11 16．答案：2
1(1)23(2)
n n n -=⎧⎨⋅≥⎩ 三．简答题
17、
ABC ∆周长为
a+b+c=)3
2
0)(6sin(63)sin (sin 323ππ
<<++=++A A C A ]9,6(∈………12分 18．(本题满分12分) ===a
CB DC AD （Ⅰ
）在梯
形
ABCD 中，CD
AB // ，四边
形
ABCD
是
等
腰
梯
形
，
且
︒︒=∠=∠=∠120,30DCB DAC DCA ︒=∠-∠=∠∴90DCA DCB ACB BC AC ⊥∴ 又 平面⊥
ACFE 平面ABCD ，交线为AC ，⊥∴BC 平面ACFE ………4分
（Ⅱ）解法一、当a EM 3
3
=时，//AM 平面BDF ， 在梯形ABCD 中，设N BD AC =⋂，连接FN ，则2:1:=NA CN
B
银川一中2014届高三第一次模拟数学（理科）试卷参考答案
a EM 3
3
=
，而a AC EF 3==2:1:=∴MF EM ， AN MF //∴，∴四边形ANFM 是平行四边形，NF AM //∴又⊂NF 平面BDF ，⊄AM 平面BDF //AM ∴平面BDF ………8分
解法二：当a EM 3
3
=时，//AM 平面BDF ，由（Ⅰ）知，以点C 为原点，CF CB CA ,,所在直线为坐标轴，
建立空间直角坐标系， 则)0,0,0(C ，)0,,0(a B ，)0,0,3(a A ，)0,2
1
,23(a a D -，
),0,0(a F ，),0,3(a a E ⊄AM 平面BDF ， ∴//AM 平面BDF ⇔ →AM 与→FB 、→
FD 共面，也等价于存在实数m 、n ，
使→
→→+=FD n FB m AM ，
设→→=EF t EM .)0,0,3(a EF -=→
，)0,0,3(at EM -=→
),0,3(a at EM AE AM -=+=∴→
→
→
又),2
1
,23(a a a FD --=→
，),,0(a a FB -=→
，
从而要使得：),21,23(),,0(),0,3(a a a n a a m a at --+-=-成立，需⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨⎧--=-==-an am a an ma an at 210233，解得31=t
∴当a EM 3
3
=
时，//AM 平面BDF ……8分 （Ⅲ）解法一、取EF 中点G ，EB 中点H ，连结DG ，GH ，DH
EF DG DF DE ⊥∴=,
⊥BC 平面ACFE EF BC ⊥∴
又FC EF ⊥ ，FB EF ⊥∴，又FB GH // ，GH EF ⊥∴
222DB DE BE +=∴
DGH ∠∴是二面角D EF B --的平面角. 在BDE
∆中,a AB AE BE a DB a DE 5,3,222=+=
==
︒=∠∴90EDB ,a DH 25=∴.又a GH a DG 2
2,25==.∴在DGH ∆中，由余弦定理得10
10
cos =
∠DGH , 即二面角D EF B --的平面角的余弦值为
10
10
.………12分
)0,0,0(C ,)0,,0(a B ，)0,0,3(a A ， )0,2
1
,23(
a a D -，),0,0(a F ，),0,3(a a E 过D 作EF DG ⊥,垂足为G . 令)0,0,3()0,0,3(a a FE FG λλλ===→
→
),0,3(a a FG CF CG λ=+=→→→, ),2
1
,233(a a a a CD CG DG -
=-=→
→→λ 由→
→
⊥EF DG 得,0=⋅→
→
EF DG ,21=∴λ),2
1
,0(a a DG =∴→,
即),2
1
,0(a a GD --=→ ,//,EF AC AC BC ⊥ EF BC ⊥∴,EF BF ⊥∴
∴二面角D EF B --的大小就是向量→GD 与向量→FB 所夹的角. ),,0(a a FB -=→
→
→
→
→→
→
⋅⋅>=
<FB
GD FB GD FB GD ,cos 1010=
即二面角D EF B --的平面角的余弦值为10
10. ………12分 19.（本小题满分12分）
【解析】（1）有茎叶图可知，甲运动员七轮比赛的得分情况为：78，81，84，85，84，85，91．所以甲每轮比赛的平均得分为
178818485848591
847
x ++++++=
=-，显然甲运动员每轮比赛得分中不低于80且不高于90的得分共
有5个，分别为81，84，85，84，85，其中81分与平均得分的绝对值大于2，所求概率34352
5C P C ==。

(6)
分
（2）设甲、乙两名运动员的得分分别为,x y ，则得分之差的绝对值为x y ξ=-。

显然，由茎叶图可知，ξ的可能取值为0，1，2，3，5，6．
当ξ=0时，84x y ==，故()112311556
0;25
C C P C C ξ=== 当ξ=1时，85,84x y ==或86y =，故()11
2411
558
1;25C C P C C ξ=== 当ξ=2时，84,86x y ==或85,87x y ==，故()1121115524
2;25C C P C C ξ===
当ξ=3时，81,84x y ==或84,87x y ==，故()1111132111
551
3;5C C C C P C C ξ+=== 当ξ=5时，81,86x y ==，故()11
1111551
5;25
C C P C C ξ=== 当ξ=6时，81,87x y ==，故()111111
1
6;25
C C P C C ξ===所以ξ的分布列为：
012356.2525255252525
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=………12分
20. （本小题满分12分）
解：x>0时，ln()1ln ()()ex x f x f x x
x
+=--== ………3分
（1）当x>0时，有
22
1
(1ln )1
ln ()x x x
x f x x x
⋅-+⋅'==-，
()0ln 001f x x x '>⇔<⇔<<；
()0ln 01f x x x '<⇔>⇔>
所以()f x 在（0，1）上单调递增，在(1,)∞上单调递减，函数()f x 在1x =处取得唯一的极值．由题意0a >，且113a a <<+，解得所求实数a 的取值范围为213
a << …6分
（2）当1x ≥时，1ln (1)(1ln )()11k x k x x f x k x x x x
+++≥⇔≥⇔≤++
令(1)(1ln )()(1)x x g x x x
++=≥，由题意，()k g x ≤在[)1,+∞上恒成立 ……8分
[]22
(1)(1ln )(1)(1ln )ln ()x x x x x x x x g x x x ''
++⋅-++⋅-'==
令()ln (1)h x x x x =-≥，则1()10h x x
'=-≥，当且仅当1x =时取等号．
所以()ln h x x x =-在[)1,+∞上单调递增，()(1)10h x h ≥=>
因此，2
()()0h x g x x '=> ()g x 在[)1,+∞上单调递增，min ()(1)2g x g ==．……10分
所以2k ≤．所求实数k 的取值范围为(],2-∞ ………12分
21、（本小题满分12分） 解：(Ⅰ)设M ，N
为短轴的两个三等分点，△MNF 为正三角形，所以
OF =
,21,23b
b =
解得2214,a b =+= 椭圆方程为22
1.43
x y +=………6分 (Ⅱ) 设1122(,),(,).A x y B x y (ⅰ)当直线 AB 与x 轴重合时，
222
2222
2
2
2,4(1),.
OA OB a AB a a OA OB AB +==>+<因此，恒有………8分
(ⅱ)当直线AB 不与x 轴重合时，设直线AB 的方程为：22
221,1,x y x my a b
=++=代入整理得
2
2
2
2
2
2
22
()20,a b m y b my b a b +++-=2222
12122222
22
2,b m b a b y y y y a b m a b m
-+=-=++因恒有
222
OA OB AB +<，所以∠AOB 恒为钝角.即11221212(,)(,)0OA OB x y x y x x y y ==+<
恒成立.
2121212121212(1)(1)(1)()1x x y y my my y y m y y m y y +=+++=++++
222222222222
2222222222
(1)()21
0.m b a b b m a b m a b m m a b b a b a a b m
+-=-+++-+-+=<+………10分
又2220a b m +>，所以22222220m a b b a b a -+-+<对m R ∈恒成立，即2222222m a b a b a b >+-对m R ∈恒
成立,当m R ∈时，222m a b 最小值为0，所以2222
0a b a b +-<， 2224(1)a b a b <-=,
因为2
2
0,0,1a b a b a >><=-∵∴，即2
10a a -->,
解得12a +>
或12a -<(舍去)
，即12
a +>, 综合（i ）(ii)，a
的取值范围为1(
)2
++∞.………12分 22.(本题满分10分)选修4—1几何证明选讲:
22. （Ⅰ）PE 、PB 分别是⊙2O 的割线，
PB PD PE PA ⋅=⋅∴① …………2分 又PA 、PB 分别是⊙1O 的切线与割线，
PB PC PA ⋅=∴2② …………4分 由①，②得PC PE PD PA ⋅=⋅∴ …………5分 （Ⅱ）连接DE AC 、，设DE 与AB 相交与点F BC 是⊙1O 的直径，∴∠ 90=CAB
AC ∴是⊙2O 的切线. …………6分
由（Ⅰ）知，
ADE CAD DE AB ED AC PD
PC
PE PA ∠=∠⊥∴∴=,//, …………8分 AC 是⊙2O 的切线. AED CAD ∠=∠∴ AE AD =∴ …………10分
23.(本题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
23．（Ⅰ）C ：13
42
2=+y x ，轨迹为椭圆，其焦点)0,1(),0,1(21F F -，32-=AF k ，)1(3:2--=x y AF 即3cos 3sin :2=+θρθρAF ，即23
)3sin(=+πθρ …………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）32-=AF k ，⊥l 2AF ,∴l 的斜率为3
3
，倾斜角为 30，
所以l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 21231（t 为参数） 代入椭圆C 的方程中，得：
036312132=--t t
因为M 、N 在1F 的异侧 13
312||||||||2111=+=-t t NF MF …………10分 24．(本题满分10分)选修4—5:不等式选讲
24.（Ⅰ）f (x )＋f (x ＋4)＝|x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，x ＜－3，
4，
－3≤x ≤1，2x ＋2，x ＞1．
当x ＜－3时，由－2x －2≥8，解得x ≤－5；
当－3≤x ≤1时，f (x )≤8不成立；
当x ＞1时，由2x ＋2≥8，解得x ≥3．
所以不等式f (x )≤4的解集为{x |x ≤－5，或x ≥3}． …………5分
（Ⅱ）f (ab )＞|a |f ( b a
)即|ab －1|＞|a －b |． ……………6分 因为|a |＜1，|b |＜1，
所以|ab －1|2－|a －b |2＝(a 2b 2－2ab ＋1)－(a 2－2ab ＋b 2)＝(a 2－1)(b 2－1)＞0，
所以|ab －1|＞|a －b |．
故所证不等式成立． ……………10分。