§1.9三矢量的混合积

§1.9三矢量的混合积

一、概念

定义给定空间的三个矢量，如果先做前两个矢量与的矢性积，再做所得的矢量与第三个矢量的数性积，最后得到的这个数叫做三矢量, , 的混合积，记

做 (⨯)⋅或(,,)或().

二、性质

定理1. 三个不共面矢量, , 的混合积的绝对值等于以, ,为棱的平行六面体的体积V，并且当, , 构成右手系时混合积是正数；当, , 构成左手系时，混合积是负数，也就是有

() = εV ，当, , 是右手系时ε=1；当, , 是左手系时ε= -1.

证明：平行六面体的底面是以, 为边的平行四边形，面积为S=∣⨯∣，它的高∣OH∣=h,它的体积

V = S h （如图1-26）.

而 () = (⨯)⋅=∣⨯∣∣∣cosθ

= S h =V（, , 构成右手标架），

或 () = (⨯)⋅=∣⨯∣∣∣cos（

－θ）

=－S h=－V（, , 构成右手标架）.

定理2. 三矢量, , 共面的充要条件是 (

)=0.

证明：当与共线即⨯=时，或=时，显然, , 共面且有 ()=0.下面假设与不共线且≠：

如果()=0，即(⨯)⋅=0，则(⨯)⊥，又根据矢性积的定义知(⨯)⊥，(⨯)⊥，所以三矢量, , 共面.

反过来，如果, , 共面，那么由(⨯)⊥， (⨯)⊥知(⨯)⊥，于是

(⨯)⋅=0，即()=0.

定理3. 轮换混合积的三个因子，并不改变它的值，对调任何两个因子要改变混合积符号，即

()=()=()= -()= -()= -().

证明：当, , 共面时，显然成立；当, , 不共面时，轮换混合积的三个因子或对调任何两个因子，混合积的绝对值都等于以, ,为棱的平行六面体的体积. 而

轮换, , 的顺序不会改变左（右）手系，因而混合积不变；而对调任何两个因子，将左（右）手系变为右（左）手系，所以混合积要改变符号.

推论.(⨯)⋅= ⋅(⨯).

证明：(⨯)⋅=()=()=(×)⋅=⋅(⨯).

三、坐标运算

1. 如果={X1, Y1, Z1}, ={X2, Y2, Z2}, ={X3, Y3, Z3}, 那么

.

2. 如果={X1, Y1, Z1}, ={X2, Y2, Z2}, ={X3, Y3, Z3}, 那么, , 三个矢量共面的充要条件是

= 0.

例1. 已知三非零矢量, , ，则 |(, , )|≤||||||. 在什么条件下等号成立？并写出坐标表示式.

证明：因为 (, , )=(⨯)⋅=|⨯|||cos∠(⨯, ),

所以 |(, , )|=|(⨯)⋅|=|⨯||||cos∠(⨯, )|

≤|⨯| || =|| || || sin∠(, )

≤|| || ||.

欲使等号成立，则必有sin∠(, )=1, |cos∠(⨯, )|=1同时成立，从而有

∠(, )=且∠(⨯, )=0 或π,

此即⊥，(⨯)//.

所以当, , 两两互相垂直时等号成立.

设={X1, Y1, Z1}, ={X2, Y2, Z2}, ={X3, Y3, Z3}, 则有

≤.

例2. 设径矢, , , 证明＝()＋

()＋()垂直于ABC平面.

证明: 因为=⋅[]

=

=,

所以.

同理可证.

所以⊥平面ABC.

例3. 设, , 为三个非零矢量，证明

(1) (, , +λ+μ) =(, , );

(2) (＋, ＋, ＋) =2(, , ).

证明：(1) 左端=(⨯)⋅(+λ+μ)

=(⨯)⋅+(⨯)⋅(λ)+(⨯)⋅(μ)

=(⨯)⋅+λ(⨯)⋅+μ(⨯)⋅

=()+λ()+μ()

=()=右端.

(2) 左端=[(+)⨯(+)]⋅(+)

=[⨯+⨯+⨯]⋅(+)

=(⨯)⋅+(⨯)⋅+(⨯)⋅+(⨯)⋅+(⨯)⋅+(⨯)⋅

=()+()=2()=右端.

例4．=++,++, =++,

试证明 ()=(,,).

证明：因为⨯=(⨯)+(⨯)+(⨯)所以 ()=(⨯)⋅

=c3(⨯)⋅+a3(⨯)⋅+b3(⨯)⋅

=(⨯)⋅

=(,,).

作业题：

1. 证明 (λ+μ,,)=λ(,,)+μ(,,).

2. 求下列混合积的值

(1) (,,); (2) (,,);

(3) (,,); (4) (,,).

3. 设=3+4,=－2，＝2＋3，试证明,,共面.