§1.9三矢量的混合积
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§1.9三矢量的混合积
一、概念
定义给定空间的三个矢量,如果先做前两个矢量与的矢性积,再做所得的矢量与第三个矢量的数性积,最后得到的这个数叫做三矢量, , 的混合积,记
做 (⨯)⋅或(,,)或().
二、性质
定理1. 三个不共面矢量, , 的混合积的绝对值等于以, ,为棱的平行六面体的体积V,并且当, , 构成右手系时混合积是正数;当, , 构成左手系时,混合积是负数,也就是有
() = εV ,当, , 是右手系时ε=1;当, , 是左手系时ε= -1.
证明:平行六面体的底面是以, 为边的平行四边形,面积为S=∣⨯∣,它的高∣OH∣=h,它的体积
V = S h (如图1-26).
而 () = (⨯)⋅=∣⨯∣∣∣cosθ
= S h =V(, , 构成右手标架),
或 () = (⨯)⋅=∣⨯∣∣∣cos(
-θ)
=-S h=-V(, , 构成右手标架).
定理2. 三矢量, , 共面的充要条件是 (
)=0.
证明:当与共线即⨯=时,或=时,显然, , 共面且有 ()=0.下面假设与不共线且≠:
如果()=0,即(⨯)⋅=0,则(⨯)⊥,又根据矢性积的定义知(⨯)⊥,(⨯)⊥,所以三矢量, , 共面.
反过来,如果, , 共面,那么由(⨯)⊥, (⨯)⊥知(⨯)⊥,于是
(⨯)⋅=0,即()=0.
定理3. 轮换混合积的三个因子,并不改变它的值,对调任何两个因子要改变混合积符号,即
()=()=()= -()= -()= -().
证明:当, , 共面时,显然成立;当, , 不共面时,轮换混合积的三个因子或对调任何两个因子,混合积的绝对值都等于以, ,为棱的平行六面体的体积. 而
轮换, , 的顺序不会改变左(右)手系,因而混合积不变;而对调任何两个因子,将左(右)手系变为右(左)手系,所以混合积要改变符号.
推论.(⨯)⋅= ⋅(⨯).
证明:(⨯)⋅=()=()=(×)⋅=⋅(⨯).
三、坐标运算
1. 如果={X1, Y1, Z1}, ={X2, Y2, Z2}, ={X3, Y3, Z3}, 那么
.
2. 如果={X1, Y1, Z1}, ={X2, Y2, Z2}, ={X3, Y3, Z3}, 那么, , 三个矢量共面的充要条件是
= 0.
例1. 已知三非零矢量, , ,则 |(, , )|≤||||||. 在什么条件下等号成立?并写出坐标表示式.
证明:因为 (, , )=(⨯)⋅=|⨯|||cos∠(⨯, ),
所以 |(, , )|=|(⨯)⋅|=|⨯||||cos∠(⨯, )|
≤|⨯| || =|| || || sin∠(, )
≤|| || ||.
欲使等号成立,则必有sin∠(, )=1, |cos∠(⨯, )|=1同时成立,从而有
∠(, )=且∠(⨯, )=0 或π,
此即⊥,(⨯)//.
所以当, , 两两互相垂直时等号成立.
设={X1, Y1, Z1}, ={X2, Y2, Z2}, ={X3, Y3, Z3}, 则有
≤.
例2. 设径矢, , , 证明=()+
()+()垂直于ABC平面.
证明: 因为=⋅[]
=
=,
所以.
同理可证.
所以⊥平面ABC.
例3. 设, , 为三个非零矢量,证明
(1) (, , +λ+μ) =(, , );
(2) (+, +, +) =2(, , ).
证明:(1) 左端=(⨯)⋅(+λ+μ)
=(⨯)⋅+(⨯)⋅(λ)+(⨯)⋅(μ)
=(⨯)⋅+λ(⨯)⋅+μ(⨯)⋅
=()+λ()+μ()
=()=右端.
(2) 左端=[(+)⨯(+)]⋅(+)
=[⨯+⨯+⨯]⋅(+)
=(⨯)⋅+(⨯)⋅+(⨯)⋅+(⨯)⋅+(⨯)⋅+(⨯)⋅
=()+()=2()=右端.
例4.=++,++, =++,
试证明 ()=(,,).
证明:因为⨯=(⨯)+(⨯)+(⨯)所以 ()=(⨯)⋅
=c3(⨯)⋅+a3(⨯)⋅+b3(⨯)⋅
=(⨯)⋅
=(,,).
作业题:
1. 证明 (λ+μ,,)=λ(,,)+μ(,,).
2. 求下列混合积的值
(1) (,,); (2) (,,);
(3) (,,); (4) (,,).
3. 设=3+4,=-2,=2+3,试证明,,共面.