§1.9三矢量的混合积

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

§1.9三矢量的混合积

一、概念

定义给定空间的三个矢量,如果先做前两个矢量与的矢性积,再做所得的矢量与第三个矢量的数性积,最后得到的这个数叫做三矢量, , 的混合积,记

做 (⨯)⋅或(,,)或().

二、性质

定理1. 三个不共面矢量, , 的混合积的绝对值等于以, ,为棱的平行六面体的体积V,并且当, , 构成右手系时混合积是正数;当, , 构成左手系时,混合积是负数,也就是有

() = εV ,当, , 是右手系时ε=1;当, , 是左手系时ε= -1.

证明:平行六面体的底面是以, 为边的平行四边形,面积为S=∣⨯∣,它的高∣OH∣=h,它的体积

V = S h (如图1-26).

而 () = (⨯)⋅=∣⨯∣∣∣cosθ

= S h =V(, , 构成右手标架),

或 () = (⨯)⋅=∣⨯∣∣∣cos(

-θ)

=-S h=-V(, , 构成右手标架).

定理2. 三矢量, , 共面的充要条件是 (

)=0.

证明:当与共线即⨯=时,或=时,显然, , 共面且有 ()=0.下面假设与不共线且≠:

如果()=0,即(⨯)⋅=0,则(⨯)⊥,又根据矢性积的定义知(⨯)⊥,(⨯)⊥,所以三矢量, , 共面.

反过来,如果, , 共面,那么由(⨯)⊥, (⨯)⊥知(⨯)⊥,于是

(⨯)⋅=0,即()=0.

定理3. 轮换混合积的三个因子,并不改变它的值,对调任何两个因子要改变混合积符号,即

()=()=()= -()= -()= -().

证明:当, , 共面时,显然成立;当, , 不共面时,轮换混合积的三个因子或对调任何两个因子,混合积的绝对值都等于以, ,为棱的平行六面体的体积. 而

轮换, , 的顺序不会改变左(右)手系,因而混合积不变;而对调任何两个因子,将左(右)手系变为右(左)手系,所以混合积要改变符号.

推论.(⨯)⋅= ⋅(⨯).

证明:(⨯)⋅=()=()=(×)⋅=⋅(⨯).

三、坐标运算

1. 如果={X1, Y1, Z1}, ={X2, Y2, Z2}, ={X3, Y3, Z3}, 那么

.

2. 如果={X1, Y1, Z1}, ={X2, Y2, Z2}, ={X3, Y3, Z3}, 那么, , 三个矢量共面的充要条件是

= 0.

例1. 已知三非零矢量, , ,则 |(, , )|≤||||||. 在什么条件下等号成立?并写出坐标表示式.

证明:因为 (, , )=(⨯)⋅=|⨯|||cos∠(⨯, ),

所以 |(, , )|=|(⨯)⋅|=|⨯||||cos∠(⨯, )|

≤|⨯| || =|| || || sin∠(, )

≤|| || ||.

欲使等号成立,则必有sin∠(, )=1, |cos∠(⨯, )|=1同时成立,从而有

∠(, )=且∠(⨯, )=0 或π,

此即⊥,(⨯)//.

所以当, , 两两互相垂直时等号成立.

设={X1, Y1, Z1}, ={X2, Y2, Z2}, ={X3, Y3, Z3}, 则有

≤.

例2. 设径矢, , , 证明=()+

()+()垂直于ABC平面.

证明: 因为=⋅[]

=

=,

所以.

同理可证.

所以⊥平面ABC.

例3. 设, , 为三个非零矢量,证明

(1) (, , +λ+μ) =(, , );

(2) (+, +, +) =2(, , ).

证明:(1) 左端=(⨯)⋅(+λ+μ)

=(⨯)⋅+(⨯)⋅(λ)+(⨯)⋅(μ)

=(⨯)⋅+λ(⨯)⋅+μ(⨯)⋅

=()+λ()+μ()

=()=右端.

(2) 左端=[(+)⨯(+)]⋅(+)

=[⨯+⨯+⨯]⋅(+)

=(⨯)⋅+(⨯)⋅+(⨯)⋅+(⨯)⋅+(⨯)⋅+(⨯)⋅

=()+()=2()=右端.

例4.=++,++, =++,

试证明 ()=(,,).

证明:因为⨯=(⨯)+(⨯)+(⨯)所以 ()=(⨯)⋅

=c3(⨯)⋅+a3(⨯)⋅+b3(⨯)⋅

=(⨯)⋅

=(,,).

作业题:

1. 证明 (λ+μ,,)=λ(,,)+μ(,,).

2. 求下列混合积的值

(1) (,,); (2) (,,);

(3) (,,); (4) (,,).

3. 设=3+4,=-2,=2+3,试证明,,共面.

相关文档
最新文档