初中数学竞赛代数部分

乘法： a c ac ; b d bd
除法： a c ad ; b d bc
n
乘方： a b
a n (n 为正整数） bn
二次根式：
a2 a 若ab c0 ，则a0,b0 若ab ca'b' c ,则aa',bb' (a、b、a'、b' 是有理数，c 是无理数）
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代数式的求值与代数式的恒等变形关系 十分密切．许多代数式是先化简再求值， 特别是有附加条件的代数式求值问题，往 往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的 性质、分式的基本性质、通分、约分、根 式的性质等等，经过恒等变形，把代数式 中隐含的条件显现出来，化简，进而求 值．因此，求值中的方法技巧主要是代数 式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结 合例题逐一介绍．
思路1：证方程有实根，即证：0 ；证两根为α、
β， α>1， β<1，即α-1>0， β-1<0从而利用韦达定 理证（α-1）（β-1）<0。
思路2：直接将原方程转为 y2yk2 0 ，证两
根之积小于0 思路3：用图像法。
解1（1）因 9 4 （ 2 k 2 ） 1 4 k 2 0 所以方程有两个不相等的实根；
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不等式（组）的考点：
1.考察不等式组的解法 2.不等式组的整数解问题 3.不等式中字母范围的确定 4.带绝对值的不等式解答 5.利用不等式解决实际问题
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二次函数考点：
1、二次函数的性质 2、二次函数的表达式 3、二次函数与一元二次方程的关系 4、根与系数的关系
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有关知识拓展：
整式：1、高次二项式的变形：
初中数学竞赛代数部分
内容主要分为四部分：
• 代数式的求值问题 • 方程与方程组的求解问题及其应用 • 一元一次不等式（组）及二元一次不
等式（组）的求解及应用 • 二次函数问题
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代数式的求值的相关考点：
• 关于整式的求值问题 • 关于分式的求值 • 二次根式
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方程与方程组相关考点：
• 一、一元一次方程与多元一次方程组； • 二、一元二次方程； • 三、可化为一元二次方程的方程； • 四、列方程组解应用题。
得 x y 2 .5 , xy 1 .5 .
将它们代入①，得 7 2 .5 1 .5 a b 49
a b 21 .
1995 x y 6 xy 17 a b
2 1995 2 .5 6 1 .5 17 21 4800
2
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五、考虑数的性质
若所给条件限制于整数、有理数，或涉及到质数， 奇偶数，整除性等，把握住这方面的性质，有利于寻 到突破口。
例3 已知 x3x2x10，那么 1 xx2x3 x19 95
（第八届“祖冲之”杯竞赛试题）
分析：1 xx 2x 3 x 19 共9有51996项，将每 四项分成一组，共499组，每组中都有因 式 x3x2x10，因此结果为0.
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解：方法1一 x： x2 x3 x1995
1x x2 x3 x4 x5x6 x7 x x x x 1992 1993 1994 1995 1x x2 x3 x41x x2 x3 x19921x x2 x3
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一、灵活运用乘法公式和运算法则
代数式的变形化简，离不开乘法公式、各种运算法则及它们的 变形用法。有些条件求值问题，条件与结论间存在明显的结构 联系。利用乘法公式或适合的运算性质就能解。
例1 若m2 m1,n2 n1,且mn,求m5n5的值。
解：由已知条件m得 、n是方程x2 x10的两个不相等的根
2 (m 4 )2 4 m (m 12 ) 0, 解得 m 4
m 是整数 m 的值可能是： 1、2、3、4 当 m 1时， x 2 10 x 13 0, 方程无整数根； 当 m 2时，2 x 2 12 x 14 0, 方程无整数根； 当 m 3时，3 x 2 14 x 15 0，方程有整数根， x 3; 当 m 4时，4 x 2 16 x 16 0, , 方程有整数根， , x 2 所以当 m 为3或 4时，方程有整数根。
ax
3.
ax 4 133
x bxy
3 , by 4 133
y ayx
3
.
ax 4 by 4 133 x y xy ax 2 by 2 .
ax 2 by 2 49 , 133 x y 49 xy 406 .
即 19 x y 7 xy 58 ③
解②③组成的方程组，
u v w 1,①
1 1 1 0 .② uvw 由②有
uv vw wu 0 , uvw
所以 uv vw wu 0 .
把①两边平方得
u 2 v 2 w 2 2 uv vw wu 1
所以 u 2 v 2 w 2 1
即
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
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三、将已知条件整体代入求值（整体法）
mn 1,mn 1
m2n2 mn 22mn3 m3n3 mn m2mnn2 4 m5n5 m3n3m2n2mn2mn11
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二、设参数法与换元法求值
如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参 数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．有时也可把代 数式中某一部分式子，用另外的一个字母来替换，这叫换元法．
（1992年全国联赛试题）
解1 ： 1由 1 0 ,得 1 11 aba b aba b
a b a b 1 ,1 b a 1 1 . b a 1
a b ab
ab
2
2
ba ba 45
a b a b
a、b是正实数 b，a 5 ab
3
b
a
3
a b
ba ab
baba2
p、q是有理数。 pp22q04. 0 qp1.2pq 1.故选A。
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方程与方程组
一、一元一次方程与多元一次方程组； 二、一元二次方程； 三、可化为一元二次方程的方程； 四、列方程组解应用题。
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考点： 1.解含绝对值的方程 2.利用含字母系数的一次方程求字母的值； 3.含字母一元二次方程的整数根； 4.一元二次方程的根的相关问题； 5.解高次方程； 6.含字母无理方程的根的相关问题； 7.方程（组）的实际应用；
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一、一元一次方程
1.关于x的方程ax=b的解得情况： aa00且时，b 方0程时有，唯方一程解有x无 穷ba 多；个解;
a0 且 b0 时，方程无解。
2.关于x的方程 x a 的解得情况：
a0 时， xa ；
a0 时， x0
；
a0 时， 方程无解。
3.对于多元方程可以用消元法、参数法等；
1.解方程组 x 1 2 y 1 x 3 y 1
（2）设方程的两根为α、β，则：
3, 2k2, ( 1)( 1) ( ）1 k2 0
用）;因式分解、开平方法、配方法（据方 程的自身特点）； 4.有理系数一元二次方程有整数根（有理根） 则有判别式为一个完全开平方数。
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1.是否存在正整数m，使关于x的方程
m 2 x 2 (m 4 )xm 1 2 0有整数根，若存在， 请求出m的值。
解：若存在正整数 m ，依题意得： 若 m 0, 方程为： 8 x 12 , 方程无整数根； 若 m 0, 则：
0
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方法二：（这道题也可以从已知条件入手）
x3 x2 x10,x1 x210
x2 10 ,x1 当x1时， 1x x2x3 x1995中，
x的偶次方为 1，x奇次方为1，共998个1, 998个1，结果为0。
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例4 若a、b都是正实数，且
则
3
3
b a
a b
11 1 0 ，
a b ab
ax
3
49
x bxy
2 , by
3
49
y ayx
2
.
ax 3 by 3 49 x y xy ax by .
ax by 7 , 49 x y 7 xy 133 .
即 7 x y xy 19 ②
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又由
ax
3 by
3
133
,得
ax
3 133
by
3 , by
3
133
8 s 1,2 ,4 ,8 或 8 s 1,2 ,4 ,8
当 8 s 1 , 2 时，解得 m 都不符合题意；
当 8 s 4 ,8 时，解得 m 3 和 m 4（ 8 s 同理）
所以当 m 3 或 4 , 方程有整数根。
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2.已知方程 x23x2k20，k为实数且，
证明方程有两个实数根，其中一根大于1，另 一根小于1。
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解：由 ax by 7 , 得 ax 7 by , by 7 ax .
ax 2 7 x bxy , by 2 7 y axy .
ax 2 by 2 7 x y a b xy 49 ①
同样的
由 ax 2 by 2 49 , 得 ax 2 49 by 2 , by 2 49 ax 2 .
x5y5x3y3x2y2x2y2 xy
x6y6 x3y322x3y3
x7y7x4y4x3y3x3y3 xy
2、 a 2b 2c2a b c的a变形：
a2b2c2abbcca
1
2
ab2bc2ca2
3、a3 b3 的变形：
a 3 b 3 a b a 2 a b 2 a b b 3 3 a a b b
思路：两个方程消去x，可得：3y2y12 为了解y，需要去掉绝对值，所以需要明确绝对
值里代数式的符号，即考虑y的范围，从而在每个范 围中由式子解得y,从而解得x。
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2.已知关于x的方程 m xnxkm2k ，无论k
3
4
为何值，总有根 x2 ，求m,n的值。
思路：方程总有根表示 x2满足方程，将-2代
例 2已x知 yz1 ,abc0 ，x求 2y2z2的值
abc x y z
a2 b2 c2
分析：若从求
x2 y2 z2 a2 b2 c2
的值入手，可考虑到
应把条件 x y z 1两边平方，在平方之后，
abc
虽然会出现一些交叉项，但能从另一个已知条
件给予解决。采用换元法求解。
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解： 令 x u , y v , z w , 于是条件变为 abc
4、 abc2公式：
a b c 2 a 2 b 2 c 2 2 a b b c c a
5、带余除：
若关于x的多项式A与B相除，商式为f(x),余式为Q(x), 则
A=f(x)B+Q(x)
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分式：运算法则： 加减法： a b a b ; a c ad bc ;
c c c b d bd
3
5532 5
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四、构造方程的求解
例5 已知 a x b y 7 ,a2 x b2 y 4,a 9 3 b x3 1 y ,33
a4 x b4 y 40 ,试 1 6求 9 x 9 y 5 6 x y 1 2a 7 b 的值
分析：如果把所给的条件看成是方程组，那么它是四 元五次方程组，要求解这样的高次方程组是无能为力 的。观察待求值的多项式，它是关于x=y、xy、a+b的 多项式，如果能通过已知条件的变形，求出x+y、xy、 a+b，问题就解决了。或者构造出关于x+y、 xy、 a+b, 且易求解的方程组，问题也解决了。
入方程并化简，可得有关k的一次方程，又因“无 论k为何值”都成立，所以 有关k的方程为0k=0
解：将x=-2代入方程并化简为：
(3 m 2)k 4 8 m 4 n 6
因为对任何k都成立 所以： 3m240
8m4n60 解得：
m 2
n
29 2
二、一元二次方程
1.利用判别式判断一元二次方程有无实根； 2.韦达定理； 3.解一元二次方程的方法：求根公式（通
1
解2：若 m 0 , 同上；若 m 0 , 则： 64 16 m
又因方程有整数根，以
为一个开平方数
令 64 16 m s 2 , ( s ), 则： m 4 s 2 16
x
1
8 s 8 s2
, 即：
x1
1
8
8
s
, x2
1
8
8
s
,
8
因 x 1为整数根或
x 2 为整数根，则：
例6 已知p、q是有理数，x 5 1 满足x3pxq0， 2
则p+q的值是（ ）。 （A）-1 （B）1 （C）-3 （D）3
（1997年安徽省竞赛试题）
1
解：将 x
5 1 代入 2
x3
px
q0
,得
3
5 1 2
p
5 1 2
q
0
5 2 p
5 2
1
q
Hale Waihona Puke Baidu
0
p 2q 4 5p 2 0