一元二次不等式及其解法(优质课比赛)

判别式 △=b2- 4ac
△>0 y x1 O x2 x
△=0
y
△<0
y
y=ax2+bx+c (a>0)的图象
O x1
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
x
O 没有实根
x
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2) {x|x<x1或 x>x2}
有两相等实根 x1=x2= b
2a
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
导出新知
1.一元二次不等式：形如 ax2 bx c 0( 0)或
ax bx c 0( 0) a 0 的不等式叫一元二次不等 x 式.（含有一个未知数 ，最高次幂为 2次）
2
2.一元二次不等式的解：使某个一元二次不等式 成立 x 的值。（解是一个确定的值） 3.一元二次不等式的解集：一元二次不等式所有 解组成的集合。（解集是个范围）
b {x|x≠ } 2a
R Φ
{x|x1< x <x2 }
Φ
作 业
P80 习题3.2 A组 第1、2、3、4题
思考：( a 0 )
方程 ax2+bx+c=0
不等式ax2+bx+c>0（或ax2+bx+c<0）
与函数y= ax2+bx+c>0的图象有什么联系？
结论：方程的解即函数图象与x轴交点 的横坐标，不等式的解集即函数图象 在x轴上方或下方图象所对应x的范围。
一元二次不等式的解法 二次函数，一元二次方程，一元二次不等式的关系
课堂小结
1.解一元二次不等式步骤是：
(1)化成标准形式 ：ax2+bx+c>0 (a>0) ax2+bx+c<0 (a>0) (2)判定△的符号； (3)求出方程ax2+bx+c=0 的实根;（画出函数图像） (4)（结合函数图象）写出不等式的解集.
简记为：一化—二判—三求—四写
一元二次不等式的解法 二次函数，一元二次方程，一元二次不等式的关系
A: x 4 x 0

C:
x x 4或x 0
B : D :
x 0 x 4
{x | x 0或x 4}
课堂演练 求下列不等式的解集： (1)2x 2＋7x ＋3＞0； (2)x 2－4x －5≤0； 1 2 (3)－ x ＋3x －5＞0； 2
(4)－2x 2＋3x －2＜0.
判别式 △=b2- 4ac
△>0 y x1 O x2 x
△=0
y
△<0
y
y=ax2+bx+c (a>0)的图象
O x1
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
x
O 没有实根
x
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2) {x|x<x1或 x>x2}
有两相等实根 x1=x2= b
2a
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
请问：不等式x2－x－6>0是一元二次不等式吗？ 若是，它的解是什么？解集又是什么？
画出函数y=x2-x-6的图象，并根据图象回答： (1).图象与x轴交点的坐标为 (-2, 0)，(3, 0) , 该坐标与方程 x2 -x-6=0的解有什么关 系： 交点的横坐标即为方程的根 。 (2).当x取 x= -2 或 3 时，y=0？ y 当x取 x<-2 或 x>3 时，y>0？ 当x取 -2 < x <3 时，y<0? y>0 y>0 (3).由图象写出： o o o o 2 x -2 0 3 不等式x -x-6>0 的 y<0 解集为 ﹛x|x<-2或x>3﹜ 。 不等式x2 -x-6<0 的 解集为 ﹛x| -2 <x <3﹜ 。
2
变式:不等式 2x2－3x－2 < 0 .
1 不等式的解集是 x | x 2 2
例2：解不等式4x2+1>4x
解：整理，得 4x2-4x+1>0
1 方程 4 4x +1=0 的解 x1=x2= 2 1 故原不等式的解集为{ x| x ≠ } 2
y
因为△= 16 -16 =0
Fra Baidu bibliotek
b {x|x≠ } 2a
R(恒成立）
Φ
{x|x1< x <x2 }
Φ
例题讲解
例1.解不等式 2x2－3x－2 > 0
解:因为△ =(-3)2-4×2×(-2)>0,
y
.
x
1 方程的解2x2－3x－2 =0的解是 x1 , x2 2 2 1 x | x 或 x 2 所以,原不等式的解集是
一元二次不等式及其解法(一)
y
x 0
滨江中学
赖发孝
知识回顾
1.函数 y ax bx c(a 0) 图像有哪些特征？ ①开口方向； ②与x 轴的交点； ③与 y 轴交点；④顶点；⑤对称轴；⑥单调性
2
2.如何求方程 ax2 bx c 0(a 0) 的实数根？ b 2 4ac 0 有两个实数根 2 b 4ac 0 有两个相等实数根 b 2 4ac 0 没有实数根
x2 -
o
1 x1 x2 2
X
y
例3：解不等式- x2 + 2x – 3 >0
解：整理，得 x2 - 2x + 3 < 0 因为△= 4 - 12 = - 8 < 0 方程 2 x2 - 3x – 2 = 0无实数根 所以原不等式的解集为ф
o
X
例4：一元二次不等式的( x 1)(x 2) ( x 2)(2 x 1) 解集为 ( B )