一元二次不等式及其解法(优质课比赛)
一元二次不等式及其解法(优质课比赛)
小于等于型
满足小于等于关系的一元二 次不等式。
大于等于型
满足大于等于关系的一元二 次不等式。
交错型
正负系数交替出现的一元二 次不等式。
双根型
具有两个根的一元二次不等式。
无解型
没有解的一元二次不等式。
一元二次不等式的应用
1
优化问题
利用一元二次不等式解决寻找最优解的问题。
2
求解实际问题
将实际问题转化为一元二次不等式，并找解决方案。一元二次不等式的主要知识点 和解题技巧
总结了一元二次不等式学习中的重点和解题技巧，帮助你更好地掌握这一内 容。
参考文献及推荐读物
提供对一元二次不等式相关参考文献和进一步阅读的推荐。
练习题
巩固所学的一元二次不等式知识的练习题，可供学习者进一步练习和巩固。
1
因式分解法
将不等式转化为因式的乘积形式，并通过零因子法求解。
2
公式法
利用一元二次不等式求解的常用公式。
3
图像法
通过图像的形式辅助解决一元二次不等式。
一元二次不等式的证明和答实例
1 证明法的应用
使用证明方法解决一元二次不等式。
2 实例解答
针对具体一元二次不等式的解题过程和答案。
常见的一元二次不等式及其解法
一元二次不等式及其解法
本演示文稿介绍了一元二次不等式的定义、分类和解法，以及它们在实际问 题中的应用。优雅而具有挑战性的数学课程。
一元二次不等式的形式与分类
标准形式
一元二次不等式的一般表达形式。
双根型
含有两个根的不等式。
交错型
具有正负系数交替出现的不等式。
无解型
不等式无解的情况。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
谢 谢 大 家！ 再 见！
请同学们完毕下表:
方程或不等式 （a>0）
Δ>0
解
集
Δ=0
｛x|x=x1 或 ax2＋bx＋c=0、
x=x2｝
｛－ b ｝
2a
ax2＋bx＋c >0
Δ<0 ф
ax2＋bx＋c <0
一元二次方程、不等式旳解集
方程或不等式
解
集
（a>0）
Δ>0
Δ=0
｛x|x=x1 或 ax2＋bx＋c=0、
参照答案：
(1) {x | 1 x 2}
(2)
{x
3
|x
1
或
x
2}
2
3
(3)
(4) R
本课小节：
解一元二次不等式旳环节: (1)化成原则形式(a>0) (2)解方程ax2+bx+c=0 (3)由图象写解集
小节
解一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0 (a>0) 旳环节是：
x=x2｝
ax2＋bx＋c >0
｛x|x<x1 或 x>x2｝
｛－ b ｝
2a
｛x|x≠－ b｝
2a
ax2＋bx＋c <0 ｛x|x 1 <x <x2｝
ф
Δ<0 ф R ф
⊿=b2-4ac
二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)
旳图象
⊿>0 x1 x2
⊿=0
⊿<0
x1(x2)
方程
ax2+bx+c=0 旳根
一元二次不等式及其解法优质课比赛说课教案 精品
一元二次不等式及其解法【设计思想】新的课程标准指出：数学课程应面向全体学生；促进学生获得数学素养的培养和提高；逐步形成数学观念和数学意识；倡导学生探究性学习.这与建构主义教学观相吻合.本节课正是基于上述理念，通过对已学知识的回忆，引导学生主动探究.强调学习的主体性，使学生实现知识的重构，培养学生“用数学”的意识.本节课的设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开.这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识.【教材分析】本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5第三章《不等式》第二节一元二次不等式及其解法，本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式，并能解一元二次不等式.这一节共分三个课时，本节课属于第一课时，课题为《一元二次不等式及其解法》.学数学的目的在于用数学，除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外，更重要的是要领悟函数、方程、不等式的密切联系，体会数形结合，分类讨论，等价转换等数学思想.【学情分析】学生在初中就开始接触不等式，并会解一元一次不等式.【教学目标】知识目标: 掌握一元二次方程、一元二次不等式和二次函数之间的关系；掌握一元二次不等式的解法；能力目标：培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力.情感目标: 自主探究与讨论交流过程中，培养学生的合作意识和创新精神.【教学重点】一元二次不等式的解法.【教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系.【教学策略】教学策略：探究式教学方法（创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价）教学流程：【课前准备】教具：“几何画板”及PPT课件.多媒体投影仪：主要用于投影自制的课件及学生的作品.彩笔：主要用于投影学生作品时实时修改学生作品中不规范的地方.粉笔：用于板书示范.【教学过程】1.创设情境，提出问题某同学去网吧上网，现有两家网吧A、B可去，上网不足一小时均按1小时计算收费,一次连续上网不得超过17个小时.网吧A每小时收费1.5元；网吧B收费原则如下：问题（1）：网吧B每小时收取费用有什么规律?问题（2）：想一想，一次上网多长时间内能够保证选择去网吧A上网所需费用不大于去网吧B所需费用？设计意图：问题（1）的设置与上一章节数列知识关联，从旧知识中产生新问题.问题（2）的设置是想通过学生感兴趣的上网问题及计时收费问题引入，通过学生比较两种不同的收费方式，抽象出不等关系——一元二次不等式.课件预案（投影）：设上网时间为x，则去网吧A所需费用为1.5x元；去网吧B 所需费用为1.7＋1.6＋1.5＋…＋1.7－0.1（x －1）= 20)35(x x -， 由题意知1.5x ≤20)35(x x -，整理得x 2－5x ≤0. （其解集为｛x | 0≤x ≤5｝所以，当上网时间在5小时以内时选择去网吧A ） 2.明确概念，探究解法由上面的研究，可得出一个不等式x 2－5x ≤0，由此明确概念.一元二次不等式：只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式. 问题(3)：你能够解出这个一元二次不等式吗？请你试一试.教师此时可放手让学生尝试解这个一元二次不等式.设计意图：让学生自己动手尝试解决，形成自己的解决方法，完成对一元二次不等式解法的初步建构.学生情况预案：从以往的经验看，学生一般会有三种解决方式：（1）两边消掉x 得出x ≤5；因为x ≥0，故得0≤x ≤5.（2）将x 2－5 x ≤0转化为⎩⎨⎧≤-≥050x x ，或⎩⎨⎧≥-≤.050x x ，（3）利用一元二次函数图象数形结合解决.课件预案:利用“几何画板”演示二次函数y =x 2－5x 的图象，引导学生观察点在函数图象上变化时横纵坐标的变化. （视情况而定，若有学生是画图象数形结合的话，就投影学生的作品） 问题（4）：通过刚才的探究，大家都解出了上面的不等式，不妨利用你的方法看看能不能解出下列不等式：（1）4 x 2－4x ＋1>0； （2）x 2－x －2 >0； （3）－x 2＋2 x －3<0.设计意图：学生在解不等式时，有不同的方法，各有优劣，此时教师不用直接指出，而是在再尝试中自已体会. 3.观察体会，归纳总结通过上面三个不等式的求解，学生自己可以体会数形结合思想的运用，同时更能感受三个二次之间的关系.此时，教师趁热打铁.问题（5）：试根据刚才解不等式的情况,我们想想看，对于一般的一元二次不等式ax 2+bx +c ＞0（a ＞0）该如何求解呢？学生在思考后提出自己的看法，然后老师引导学生完成下表.课件预案：利用PPT课件投影上表填表结果.设计意图：通过几个具体的不等式的求解，引导学生寻求更一般的解法，使之推广，让学生体会从特殊到一般的认知规律.4.优化思维，形成步骤例题：求不等式的解集：x(1－x) ＞x(2x－3)＋1.板书：解：不等式可化为3x2－4x＋1＜0，因为Δ=4＞0，方程3x2－4x＋1=0有两实数根x1=13，x2=1.所以，原不等式的解集为｛x| 13<x < 1｝.问题（6）：你能总结出解一元二次不等式的一般步骤吗？课件预案：利用PPT课件投影：解一元二次不等式的步骤：①先把不等式中二次项系数化为正数；②计算Δ=b2－4ac，解对应的一元二次方程；③根据对应方程的根的情况，结合不等号的方向，写出不等式的解集.设计意图：对于一元二次不等式的求解，其书写格式也需规范，通过教师板书予以示范.从求解过程中，提炼出解题步骤，形成方法，从感性认识上升到理性认识.解后反思应形成习惯，这对于学生以后的学习也是一种帮助.5.练习反馈，合作检测问题(7)：通过上面的学习，你能写出一个一元二次不等式，并能求出它的解吗？现在每人写一个一元二次不等式，然后同桌互相交换，解出同桌所写出的不等式，我们不妨来比比看，看谁解得又快又好.在学生完成之后，每组各选一个学生的作品予以投影，由学生一起评价，找出有没有错误的或不规范的地方，并同时用彩笔在学生的作品里对错误的地方予以更正.设计意图：在以往的课堂里，为了检验学生知识掌握的情况，必要的练习是少不了的.但是，这些练习常常是教师事先准备好的，学生兴趣不是很高，因而不妨让学生自已出题，对这些新鲜出炉的、自己创造的题目，更能引起学生的学习欲望.学生作品的展示应引起我们的重视，每次我说要展示学生的作品的时候，学生就会做的格外认真，好的作品，通过表扬，能增强学生的信心；有问题的作品，通过大家的分析，找到误因，有利于进一步提高.从实践来看，这个设计的效果很好.6.探究提高，深化理解问题（8）：已知关于x的不等式ax2＋b x＋1＞0的解集为{x|－12<x<13}，你能知道a, b的应满足哪些条件吗？你能求出a ,b的值吗？在学生思考后由学生举手回答，教师予以评价.设计意图：前面一直是给出不等式然后求解，而当我们知道一个不等式的解后，能否知道这个不等式呢？这个问题的设置对于学生进一步理解三个二次之间的关系大有助益.而开放性问题的设置，也使得学生的思维空间更广阔.课件预案：（若时间不够可作为弹性作业）问题（9）：已知关于x的不等式ax2＋b x＋c＞0的解集为{x|－12<x<13}，你能知道a,b,c的应满足哪些条件吗？你能写出一个符合上述条件的一元二次不等式吗？7.课堂小结：（1）通过这堂课，你学到了什么？（2）给你留下印象最深的是什么？（3）你还有一些什么想法？设计意图：可以让学生自己构建自己的知识结构.8.作业：（1）阅读作业：阅读课本87页内容并完成解一元二次不等式程序图的设计.（2）书面作业：质量监控讲义，基础训练（24）.（3）弹性作业：已知关于x的不等式ax2＋b x＋c＞0的解集为{x|－12<x <13}，你能知道a,b,c的应满足哪些条件吗？你能写出一个符合上述条件的一元二次不等式吗？设计意图：弹性作业的设置，让学有余力的学生有了进一步提高的空间.【板书设计】：【问题研讨】：学生作品的利用与评价问题：通过学生作品的投影，有利于学生解题的规范，通过师生的共同分析，有助于学生的进一步提高，但这种场面常常只出现在公开课里，而平时的课堂中却很少见.在平时的课堂里，如何更好地利用学生的作品，值得我们进一步思考.。
一元二次不等式及其解法 优质课
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
1 ．掌握一元二次不等式的概念． 2 ．掌握图象法解一元二次不等式的方法． 3 ．理解三个“ 二次” 之间的关系． 4 ．强化分类讨论、数形结合、方程与函数、
转化与化归的思想方法．
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
分析：
这个不等式有 哪些特点？
√
√
1或5 {x | x 1或x 5} {x | 1 x 5}
x2 6x 5 0 x2 6x 5 0
学பைடு நூலகம்致用
答案： {x | 2 x 3}
一元二次不等式的解集 一元二次函数的图象 一元二次方程的根
Φ
不等式的解集
△<0 y
0
x
没有实根
R
Φ
学以致用
y
-2 0 x
①{x | x 2}
y
0
x
②Φ
y
-2 0 1 x 2
③{x
|
x
2,
或x
1} 2
设矩形的长为x米(x 0)， 由题意得：x(x 6) 40 整理得：x 2 6x 40 0
解得：{x | x 4,或x 10}
故{x | x 10}，即矩形的长大于10时， 准备的树苗会不够用。
知识内容
思想方法
课后作业
一、掌握所学的知识与方法，并完善学案内容 二、完成学案的巩固练习
每一发奋努力的背后，必有加倍的赏赐
每一发奋努力的背后，必有加倍的赏赐
b2 4ac
判别式 △=b2-4ac
△>0
一元二次不等式及其解法(优质课)教案
一元二次不等式及其解法（优质课）教案 教学目标：教学重点： 正确理解一元二次不等式的解法；掌握一元二次不等式的不等式的解法；理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系；教学难点： 理解二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系。
教学过程：1. 一元二次不等式（1） 一元二次不等式的定义：一般地，含有1个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次等式；（2） 一元二次不等式的解集：使某个一元二次不等式成立的未知数的取值集合叫做这个一元二次不等式的解集；（3） 同解不等式：如果两个不等式的解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式。
2. 一元二次不等式与相应的函数、方程之间的关系对于一元二次方程()200ax bx c a ++=>设24b ac ∆=-它的解按0,0,0∆>∆<∆=可分为三种情况，列表如下： 0>∆ 0=∆ 0<∆ c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=23. 一元二次不等式的解法步骤（1） 对不等式进行变形，使一端为0，且二次项系数大于0；（2） 计算相应方程的根的判别式；（3） 当0∆>时，求出相应的一元二次方程的两根；（4） 根据一元二次不等式解集的结构，写出其解集。
注：若不等式左侧可因式分解，则可转化为一元一次不等式组求解。
（一看，二算，三写）4. 含参数的一元二次不等式的解法（1） 二次项系数含参数时，根据一元二次不等式的标准形式需要化二次项系数为正，所以要对参数讨论；（2） 解∆得过程中，若∆表达式含有参数且参数的取值影响∆的符号，这时根据∆的符号确定的需要，对参数进行讨论；（3） 方程的两根表达式中如果有参数，需要对参数讨论才能确定根的大小，这时要对参数进行讨论。
5. 不等式的恒成立问题（1） 结合二次函数的图像和性质用判别式法，当x 的取值为全体实数时，一般用此法；（2） 从函数的最值入手考虑，如大于零恒成立可转化为最小值大于零；（3） 能分离变量的尽量把参数和变量分离出来；（4） 数形结合，结合图形进行分析，从整体上把握图形。
一元二次不等式及其解法优质课(1公开课)ppt课件
(2).当x取 x= -2 或 3 时，y=0？
y
当x取 x<-2 或 x>3 时，y>0？
当x取 -2 < x <3 时，y<0? (3).由图象写出：
不等式x2 -x-6>0 的
y>0 -o2o 0
y>0 3oo x
由已知，A 市受台风影响时，有|AP|≤350， 即(200 3)2＋(40x－200)2≤3502， 整理得 16x2－160x＋375≤0， 解这个不等式得，3.75≤x≤6.25， A 市受台风影响的时间为 6.25－3.75＝2.5. 故在 3.75h 后，A 市会受到台风的影响，时间长达 2.5h.
大于取两边，小于取中间. 9
例1.解不等式 2x2－3x－2 > 0 .
解:因为△ =(-3)2-4×2×(-2)>0,
先求方程的根
方程的解2x2－3x－2 =0的解是 然后想像图象形状
x1
1 2 , x2
2.
所以,原不等式的解集是
-1
2
2
x
|
x
1 2
,或x
2.
注:开口向上,大于0
例3：解不等式- x2 + 2x – 3 >0
解：整理，得 x2 - 2x + 3 < 0 因为△= 4 - 12 = - 8 < 0 方程 2 x2 - 3x – 2 = 0无实数根 所以原不等式的解集为ф
13
总结出： 解一元二次不等式
ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0 的步骤是：
高二数学《一元二次不等式的解法》优秀一等奖说课稿
高二数学《一元二次不等式的解法》优秀一等奖说课稿1、高二数学《一元二次不等式的解法》优秀一等奖说课稿一.教材内容分析：1.本节课内容在整个教材中的地位和作用。
概括地讲，本节课内容的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性。
一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化，对已学习过的集合知识的巩固和运用具有重要的作用，也与后面的函数、数列、三角函数、线形规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关。
许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法。
因此，一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性，体现出很大的工具作用。
2.教学目标定位。
根据教学大纲要求、高考考试大纲说明、新课程标准精神、高一学生已有的知识储备状况和学生心理认知特征，我确定了四个层面的教学目标。
第一层面是面向全体学生的知识目标：熟练掌握一元二次不等式的两种解法，正确理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系。
第二层面是能力目标，培养学生运用数形结合与等价转化等数学思想方法解决问题的能力，提高运算和作图能力。
第三层面是德育目标，通过对解不等式过程中等与不等对立统一关系的认识，向学生逐步渗透辨证唯物主义思想。
第四层面是情感目标，在教师的启发引导下，学生自主探究，交流讨论，培养学生的合作意识和创新精神。
3.教学重点、难点确定。
本节课是在复习了一次不等式的解法之后，利用二次函数的图象研究一元二次不等式的解法。
只要学生能够理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系，并利用其关系解不等式即可。
因此，我确定本节课的教学重点为一元二次不等式的解法，关键是一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系。
二.教法学法分析：数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，使学生在学习中培养坚强的意志品质、形成良好的道德情感。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y
x 0
滨江中学
赖发孝
知识回顾
1.函数 y ax bx c(a 0) 图像有哪些特征？ ①开口方向； ②与x 轴的交点； ③与 y 轴交点；④顶点；⑤对称轴；⑥单调性
2
2.如何求方程 ax2 bx c 0(a 0) 的实数根？ b 2 4ac 0 有两个实数根 2 b 4ac 0 有两个相等实数根 b 2 4ac 0 没有实数根
课堂小结
1.解一元二次不等式步骤是：
(1)化成标准形式 ：ax2+bx+c>0 (a>0) ax2+bx+c<0 (a>0) (2)判定△的符号； (3)求出方程ax2+bx+c=0 的实根;（画出函数图像） (4)（结合函数图象）写出不等式的解集.
简记为：一化—二判—三求—四写
一元二次不等式的解法 二次函数，一元二次方程，一元二次不等式的关系
2
变式:不等式 2x2－3x－2 < 0 .
1 不等式的解集是 x | x 2 2
例2：解不等式4x2+1>4x
解：整理，得 4x2-4x+1>0
1 方程 4 4x +1=0 的解 x1=x2= 2 1 故原不等式的解集为{ x| x ≠ } 2
y
因为△= 16 -16 =0
判别式 △=b2- 4ac
△>0 y x1 O x2 x
△=0
y
△<0
y
y=ax2+bx+c (a>0)的图象
O x1
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
x
O 没有实根
x
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2) {x|x<x1或 x>x2}
有两相等实根 x1=x2= b
2a
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
判别式 △=b2- 4ac
△>0 y x1 O x2 x
△=0
y
△<0
y
y=ax2+bx+c (a>0)的图象
O x1
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
x
O 没有实根
x
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2) {x|x<x1或 x>x2}
有两相等实根 x1=x2= b
2a
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
A: x 4 x 0
C:
x x 4或x 0
B : D :
x 0 x 4
{x | x 0或x 4}
课堂演练 求下列不等式的解集： (1)2x 2＋7x ＋3＞0； (2)x 2－4x －5≤0； 1 2 (3)－ x ＋3x －5＞0； 2
(4)－2x 2＋3x －2＜0.
请问：不等式x2－x－6>0是一元二次不等式吗？ 若是，它的解是什么？解集又是什么？
画出函数y=x2-x-6的图象，并根据图象回答： (1).图象与x轴交点的坐标为 (-2, 0)，(3, 0) , 该坐标与方程 x2 -x-6=0的解有什么关 系： 交点的横坐标即为方程的根 。 (2).当x取 x= -2 或 3 时，y=0？ y 当x取 x<-2 或 x>3 时，y>0？ 当x取 -2 < x <3 时，y<0? y>0 y>0 (3).由图象写出： o o o o 2 x -2 0 3 不等式x -x-6>0 的 y<0 解集为 ﹛x|x<-2或x>3﹜ 。 不等式x2 -x-6<0 的 解集为 ﹛x| -2 <x <3﹜ 。
x2 -
o
1 x1 x2 2
X
y
例3：解不等式- x2 + 2x – 3 >0
解：整理，得 x2 - 2x + 3 < 0 因为△= 4 - 12 = - 8 < 0 方程 2 x2 - 3x – 2 = 0无实数根 所以原不等式的解集为ф
o
X
例4：一元二次不等式的( x 1)(x 2) ( x 2)(2 x 1) 解集为 ( B )
导出新知
1.一元二次不等式：形如 ax2 bx c 0( 0)或
ax bx c 0( 0) a 0 的不等式叫一元二次不等 x 式.（含有一个未知数 ，最高次幂为 2次）
2
2.一元二次不等式的解：使某个一元二次不等式 成立 x 的值。（解是一个确定的值） 3.一元二次不等式的解集：一元二次不等式所有 解组成的集合。（解集是个范围）
b {x|x≠ } 2a
R Φ
{x|x1< x <x2 }
Φ
作 业
P80 习题3.2 A组 第1、2、3、4题
思考：( a 0 )
方程 ax2+bx+c=0
不等式ax2+bx+c>0（或ax2+bx+c<0）
与函数y= ax2+bx+c>0的图象有什么联系？
结论：方程的解即函数图象与x轴交点 的横坐标，不等式的解集即函数图象 在x轴上方或下方图象所对应x的范围。
一元二次不等式的解法 二次函数，一元二次方程，一元二次不等式的关系
b {x|x≠ } 2a
R(恒成立）
Φ
{x|x1< x <x2 }
Φ例Βιβλιοθήκη 讲解例1.解不等式 2x2－3x－2 > 0
解:因为△ =(-3)2-4×2×(-2)>0,
y
.
x
1 方程的解2x2－3x－2 =0的解是 x1 , x2 2 2 1 x | x 或 x 2 所以,原不等式的解集是