1.1正弦定理和余弦定理第二课时精品教案

1.1正弦定理和余弦定理

【课题】：1.1.2余弦定理

【教学目标】：

(1)知识与技能:使学生掌握余弦定理及推论，并会初步运用余弦定理及推论解三角形

(2)过程与方法:通过对三角形边角关系的探究，能证明余弦定理，了解从三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途径证明余弦定理

(3)情态与价值：使学生掌握余弦定理及推论，并会初步运用余弦定理及推论解三角形【教学重点】：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；

【教学难点】：余弦定理的探究和证明方法，余弦定理与勾股定理的联系

【课前准备】：多媒体电脑平台.

22

2

2

2

2

2

22222cos c a b a b a b

c a b a b a b ab C

=-=+-⋅=+-⋅⋅+-（）（）

22

2

2

2

2

2

22222cos c a b a b a b

c a b a b a b ab C

=-=+-⋅=+-⋅⋅+-（）（）

BC = a .

2

(sin )a C C

cos A

1.在△ABC 中：

(1)已知b ＝8，c ＝3，A ＝60°，求a ； (2)已知a ＝20，b ＝29，c ＝21，求B ； (3)已知a ＝3 3 ，c ＝2，B ＝150°，求b ； (4)已知a ＝2，b ＝ 2 ，c ＝ 3 ＋1，求A . 解：(1)由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得a 2＝82＋32－2×8×3cos60°＝49，∴a ＝7. (2)由cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca 得cos B ＝202＋212－292

2×20×21

＝0，∴B ＝90°.

(3)由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得b 2＝(3 3 )2＋22－2×3 3 ×2cos150°＝49，∴b ＝7.

(4)由cos A ＝2222

b c a +-得cos A ＝（ 2 ）2＋（ 3 ＋1）2－222 2 （ 3 ＋

1） ＝ 2

2 ，∴A ＝45°

2.在△ABC 中，已知222

a a

b c

b +=-，则内角C 等于 （ ）

A ．90

B ．60

C ．120

D ． 30 解：

222a ab c b +=-，2222cos a b c ab ab C ∴+-=-=,1

cos 2

C ∴=-

0180C <<,120C ∴=

3. 在△ABC 中，其三边长分别为,,a b c ，且三角形面积222

4a b c S +-=，则角

C =_________

解：2222cos cos 1

sin ,tan 1,454422

a b c ab C ab C S ab C C C +-=

===∴=∴= 4.在△ABC 中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，判断△ABC 三角形的形状 解：

sin :sin :sin 2:3:4,::2:3:4A B C a b c =∴=

,2,3,4,a b c a b c ∴<<===设则

222cos 491630,C a b c C ∴=+-=+-=-<∴为钝角

△ABC 为钝角三角形 （中档题）

5. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边, 2,3a b ==， cos C =1

3

，则其外接圆的半径为（ ）

A

．

2 B

．4 C

．8 D

．9

解：

2221

2cos 4922393

c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=,3c ∴=

1cos ,0180,sin 3C C C =<<∴

=

2sin 8

c R C === 6．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，设a +c=2b ，A －C=

3

π

，求sinB 的值。 解：∵B R C R A R sin 22sin 2sin 2⨯=+， ∴2

cos 2sin 22cos

2cos B

B C A B ⋅⋅=-⋅， 故4

3

2sin

=B ， ∴8

39

sin =

B ． （难题）

7．在△ABC 中，已知A ＞B ＞C 且A ＝2C ，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，又2b ＝a ＋c 成等差数列，且b ＝4，求a 、c 的长.

解：由

a sin A ＝c sin C

且A ＝2C 得 a 2sin C cos C ＝c sin C ，cos C ＝a

2c

又∵2b ＝a ＋c 且b ＝4，∴a ＋c ＝2b ＝8，

①

∴cos C ＝a 2＋42－c 28a ＝a ＋2－c a ＝5a －3c 4a ＝a 2c .

∴2a ＝3c

②

由①②解得a ＝245 ，c ＝16

5

.

8．（07高考浙江）已知ABC △

1

，且sin sin A B C +=． （I ）求边AB 的长；

（II ）若ABC △的面积为

1

sin 6

C ，求角C 的度数． 解：（I

）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++，

BC AC +=，

两式相减，得1AB =． （II ）由ABC △的面积

11sin sin 26BC AC C C =，得1

3

BC AC =， 由余弦定理，得222

cos 2AC BC AB C AC BC

+-=