从算术到代数
2023年从《方程》一课谈及“算术”走向“代数” 读《新课程小学数学教学实践研究》有感
从（方程）一课谈及“算术〞走向“代数〞——读（新课程小学数学教学实践研究）有感近日，读了（新课程小学数学教学实践研究）第41——57页的内容，里面谈及方程思想，颇有感触，借我执教过的（方程）一课谈及从“算术〞走向“代数〞。
（方程）这节课是（义务教育课程标准实验教科书数学）四年级下册第七单元第七单元的内容。
新世纪小学数学教材依据“由浅入深、循序渐进、螺旋上升〞的教学原则，设置了“天平称物〞等三个问题情境，让学生经历从具体到抽象的过程，逐渐学会用方程表示简单情境中的等量关系。
作为数学思想之一的方程思想，其核心在于建模、化归。
在教学实施时，我先启发学生用自己的言语对事情进行描述，然后抽象成数学表达，最后用数学符号建立方程，这也正是建模的过程。
来看几个小片段：片段一：师：老师今天还带来了一些糖果，请认真瞧啦，我把这包糖果和一个50克的砝码放在天平左盘，在右盘放一个200克的砝码。
天平怎么样了？生：平衡了。
师：谁能找出其中的相等的数量关系？生：50克砝码的质量+糖果的质量=200克。
师：如果用一个式子表示这组相等的数量关系。
该怎样表示呢？请先独立思考，然后在练习本上写一写。
写好的同学可以小声地和同桌交流一下。
师：谁情愿第—个把你写的说给大家听？生1：200-50=150，150+50=200。
师：哦，你是先把糖果的质量算出来，再用一个式子表示相等关系对吗？有不同的表示方法吗？生2：χ+50=200。
〔板书：χ+50=200〕师：能向大家解释一下你写的式子吗？生：这袋糖果的质量我不了解，所以用χ表示，因为糖果的质量+50克砝码的质量是200克，所以我这样表示。
师：表达很完整！想到用χ表示我们不了解的数，好主意！不了解的数也就是“未知数〞。
〔板书：未知数〕未知数只能用χ表示吗？是的，未知数还可以用别的字母表示，但一般情况下，人们使用χ、Y、Z等字母代表未知数。
现在我们比拟一下两种表示方法，你认为那个式子更简单？生齐答：χ+50=200。
数学入门知识从基本算术到代数与几何
数学入门知识从基本算术到代数与几何数学是一门极其重要的学科，它是科学和技术发展的基础。
想要在数学领域取得成功，掌握一些基本的数学概念和技巧是非常关键的。
本文将介绍从基本算术到代数与几何的数学入门知识。
一、基本算术基本算术是数学的基础，包括加法、减法、乘法和除法。
这些运算是我们日常生活中最常用的数学运算，掌握好基本算术是进行其他数学学习的前提。
1. 加法加法是将两个或多个数值相加的运算。
例如，2 + 3 = 5。
在加法中，有一个重要的性质，即交换律，即a + b = b + a。
2. 减法减法是从一个数中减去另一个数的运算。
例如，5 - 2 = 3。
与加法类似，减法也具有交换律。
3. 乘法乘法是将两个或多个数值相乘的运算。
例如，2 × 3 = 6。
乘法还具有分配律和结合律。
4. 除法除法是将一个数分成若干份的运算。
例如，6 ÷ 2 = 3。
除法也可以表示为乘法的倒数，即a ÷ b = a × (1/b)。
二、代数代数是数学的一个重要分支，它研究数与符号之间的关系。
代数包括有关未知数的运算和关系的表达和处理。
1. 方程方程是等式的一种特殊形式，其中包含一个或多个未知数。
例如，2x + 3 = 7是一个方程，其中x是未知数。
解方程是找到使方程成立的未知数的值。
2. 不等式不等式是由不等于号（<，>，≤或≥）将两个表达式连接起来的数学语句。
例如，x > 3是一个不等式，表示x的值大于3。
解不等式是找到满足不等式的所有可能值。
三、几何几何是研究空间和图形的数学学科。
它涉及点、线、面和体等基本元素的性质和关系。
1. 点、线和面点是空间中不具有维度的对象，线是由一组点组成的对象，面是由一组线组成的对象。
2. 图形图形是由点、线和面组成的几何对象。
常见的图形包括圆、三角形、四边形等。
图形的性质和关系可以通过几何公式和定理来描述和推导。
3. 角度和距离角度是两条线之间的夹角，用度数或弧度来表示。
从算术思维到代数思维
从算术思维到代数思维摘要：算术思维与代数思维之间的承接关系并非藉由经历足够的经验便可跨越，还必须经过思维结构的转化即质的改变，这个过渡也是学生学习代数时必须面对的困难。
笔者就如何启发儿童“符号代数”的意识，帮助他们积累“结构转换”的感性经验，加速从具体演算阶段到形式运算阶段的进展，为他们打开代数思维之门提出自己的看法。
关键词：算数；代数；思维中图分类号：g632 文献标识码：b 文章编号：1002-7661（2013）07-103-01一、多元化表征、建构符号意识“代数”，从字面看就有“以符号代表数”的意思。
学生的学习从具体情境到抽象概念，其思维必须经历从数字到符号的飞跃，因此符号意识的培养对发展小学生代数思维显得尤为重要，然而实际问题情境的复杂性和符号本身的抽象性为学生理解和应用代数符号带来了困难，因此我们一方面要帮助学生从一定程度上摆脱对问题情境的依赖，发现各类问题背后的数学结构，另一方面也要优化学生对符号的认识，帮助学生积累使用代数符号的经验。
换言之，我们可以通过对数学问题的多元表征，逐步发展学生的符号意识。
1、优化对符号的认识数学算式是数学沟通及思考最重要的媒介，而符号表征式的理解与使用更是代数的学习不可或缺的工具，符号化是学生跨入代数思维的第一步，而符号化绝不是学生的自然、直观的想法，因此要过渡到代数思维，首要进行的便是符号的理解与使用。
建立对等号的认识：算式和代数虽共享一些符号如+、-、×、÷、=，有些符号在算术与代数之间的意义并不同，这也使得学生在面对这些符号时，经常产生混淆。
我们在教学中，应针对不同认知层次的学生采用循环、螺旋的方式，引导学生把等号看作是相等和平衡的符号，是一种关系。
拓宽对符号的理解：四年级（下）进行”用字母表示数”的专题学习，字母符号表示数、表示数量关系、表示规律模式以及数学公式，帮助学生建立数感与符号意识。
五年级（上）对符号表征却只字未提，到五年级（下）学习方程，由于教材编排的跳跃性，教学时往往忽略“用字母表示数”作为数学的一种抽象表征方式的重要教学价值，造成了学生符号意识发展中的问题，大多数学生对符号的认识停留在一个未知的确定的数或者一个特定的记号，而没有把符号看作推广的数或者变量，对a+15这样的式子通常认为是一个“过程”，对一些运算律和公式也只是将其作为一种固定的模式记忆。
从算术到代数
从算术向代数过渡，是学生数学学习过程中极为重要的转变阶段．算术中的基本对象是数，包括数的表示、数的意义、数之间的关系、数的运算等，这些知识对学生是基本的，它们将为学生今后的代数学习打下坚实的基础．所不同的是，代数中的基本对象除了数，还出现了更具广泛意义的基本对象??符号，这是代数不同于算术的典型特征．在代数中，用字母表示数，用符号表示运算法则、运算性质、计算公式等，将数的知识提升到一般化的水平．在代数的课程中，学生要学习符号的意义、进行符号之间的运算（形式变换） 和转换、用符号进行表示、用符号解决问题．在此过程中，学生还要学习许多新的概念，如代数式、变量、参数、图像、方程、函数等，而且他们还需要懂得代数的结构．因此，代 数的内容和方法对学生提出了更高的要求，是学生所面对的又一次挑战．学生从算术向代数的过渡，是从对数的思考向对符号的思考的转变，是从算术思维向代数思维的转变，是思维层次从个别到一般、具体到抽象的飞跃．
新的代数课程，从对运算的强调转向更加关注对问题的表示或数学建模，转向关注学生是否能用数学的眼光把实际情境数学化、用数学的方法解决实际问题．因此，帮助学生理解符号表示和符号运算，考虑我们在教学上可以做什么，特别是在算术向代数过渡的阶段，是十分有益的．教师对课程的深刻理解和高水平的教
从表示等量关系、保持等量关系，到求得方程的解，体现了方程的结构特点．用方程的方法解决问题，思考的过程往往是顺向的．
（3）从解决问题方法多样性的角度来看，算术的方法、 列表的方法都不失为解决问题的途径．但是从思维发展的角度来说，代数的思考是在抽象层面上的思考，代数的方法具有一般性，有助于培养高层次的思维．按照维果茨基 （Vygotsky，1962）的说法，代数对算术就像书面语言对口头语言．因此，我们的教学应该引导学生从算术的思考逐步地过渡到代数的思考，逐步地从非形式化的水平上升到形式化的水平．
第2章 数学的应用价值
一只船从甲地到乙地， 往返共用2小时 小时， 一只船从甲地到乙地 ， 往返共用 小时 ， 回来 时是顺水， 比逆水每小时多行8千米 千米， 时是顺水 ， 比逆水每小时多行 千米 ， 第二小 时比第一小时多行6千米 甲乙相距多少千米？ 千米， 时比第一小时多行 千米 ， 甲乙相距多少千米 ？ 兄弟二人各有人民币若干元，哥比弟多50元 兄弟二人各有人民币若干元，哥比弟多 元， 3 1 给弟， 若哥把自己的 7 给弟，弟又把原来自己的 3 给 则弟比哥多10元 哥弟原来各有多少元？ 哥，则弟比哥多 元，哥弟原来各有多少元？ 一辆汽车从甲地到乙地， 一辆汽车从甲地到乙地 ， 若把车速提高到原速 可比原定时间提前1小时到达 的 1.2倍 ,可比原定时间提前 小时到达 若原速 倍 可比原定时间提前 小时到达;若原速 行驶120千米后 再将速度提高到原速的 千米后,再将速度提高到原速的 行驶 千米后 再将速度提高到原速的1.25倍, 倍 则可提前40分钟到达 甲乙两地相距多少千米？ 分钟到达,甲乙两地相距多少千米 则可提前 分钟到达 甲乙两地相距多少千米？ 直观想象线段图、 直观想象线段图、方形图
算术方法：不允许未知数参与运算（ 算术方法：不允许未知数参与运算（未已不 平等-类似种族歧视） 平等-类似种族歧视） 基本特征： 基本特征：算——数（加—减、乘、除） 数 减 基本特征： 基本特征：用“术”——算（有规律地算） 算 有规律地算） 基本特征：不同的算法——不同的计算途径 基本特征：不同的算法 不同的计算途径 或程序 基本特征： 基本特征：解决一个一个的具体问题 通过“ 解决的问题是算术问题。 通过“术”和“算”解决的问题是算术问题。 通过“ 体现逻辑思维 演绎。 逻辑思维—演绎 通过“术”和“算”体现逻辑思维 演绎
算数” 代数： 算字母” 算术： “算数”——代数：“算字母” 代数 算术：解决具体问题—代数：解决一类问题 解决具体问题 代数： 代数
从算术思维到代数思维的转换初探-算术思维和代数思维的特点
从算术思维到代数思维的转换初探算术思维和代数思维的特点一、算术思维和代数思维算术思维侧重于程序思维，强调的是利用数量计算求出答案的过程.这个过程具有情境性、特殊性和计算性的特点，甚至是直观的。
而代数思维的运算过程具有结构性，和算术运算不同的是其侧重将关系符号化，而且不具有直观性。
对于同一个问题，用代数思维和算术思维方式都能求得问题的解，虽然结果是一样的，但是运算和思维的逻辑是不一样的。
例如：盒子中的皮球与外面的6个皮球加起来共有23个，求盒子中一共有多少个皮球？可以列算数式23-6=（）来解答，也可以用代数式6+X=23来解。
我所教的高年级学生中，大部分学生就选择了前一种解题方式来解答，从表达式中，直接展示出题目和答案之间的关系体现了算术思维；还有少部分学生是用后者的方法来解答的。
后一种方法则体现了代数思维，即对具体的情境问题进行分析并转化为方程式，成了一种纯粹的符号运算。
二、在代数学习中可能会遇到的困难从算术思维向代数思维转换的过程中，光有练习是不够的，最重要的是要经历一个质变的过程。
学生在小学阶段已经接触过一些代数思想，例如用“设未知量为X”建立方程的方法解数学应用题，当然，他们对“未知量X”含义的了解是非常肤浅的。
进入初中后，学生要学习比较系统的代数内容，学习中会产生许多困难。
在这个过程中，会遇到的困难有：第一，符号意义的不连续；字母代数是由常量数学到变量数学转变的开端。
通过有关数、式、方程等内容的学习，学生不但要掌握各种概念、运算法则，而且要学习各种代数变形的思想方法；第二，运算客体出现扩充；从运算的角度说，代数运算主要是一种形式化的符号变换，其抽象程度较高；第三，经常会出现程序逆向思维。
当前，学生对概念的发生发展过程、概念的内涵与外延的周密性，特别是对概念间的内在联系的认识水平普遍较低。
鉴于上述的三个方面的困难，如何从算术思维向代数思维过渡呢？三、从算术思维向代数思维的转换的教学策略1.从数字到符号的转换从数字向符号转变，通俗地讲，就是用符号代替数字，使解题的焦点转移。
从算术思维向代数思维过渡
从算术思维向代数思维过渡，是学生认知规律的一次飞跃。
《课程标准》指出“用等式的性质解简单的方程”。
等式的性质反映了方程的本质，将未知数和已知数同等看待。
因此我设计了如下教学环节：
一、创设情境，学生了解等量关系。
我先用了一把1米长粗细均匀的木条横放在手指上，通过这一简单的小游戏使学生明白什么是平衡和不平衡，平衡是左右两边的重量相等。
利用鲜明的直观形象帮助学生理解式子的意思。
二、从日常生活理解等量关系
结合具体情境理解等量关系，会用方程表示简单的等量关系。
此过程实质就是引导学生从算术思维到代数思维的过渡，逐渐把未知的数量当成已知的数量。
三、区分方程和等式。
在学习过程中，展出很多式子，学生通过观察、思考，再在组内交流，发现式子的不同，分类概括。
认识方程的特征，归纳出方程的概念。
四、感受数学与生活的密切联系。
联系生活实际用方程讲故事，感受方程与日常生活的联系，提高对数学的兴趣和应用意识。
五、总结归纳。
引导学生回顾方程建模的过程，进一步帮助学生完成从算术思维到代数思维的过渡。
数学思维训练从算术到代数的过渡
数学思维训练从算术到代数的过渡数学思维在我们的日常生活中扮演着重要的角色，它不仅仅是一门学科，更是一种思维方式。
数学的核心是逻辑思维能力的培养，在学习过程中，从算术到代数的过渡对于锻炼学生的思维能力至关重要。
本文将探讨如何通过算术和代数的过渡来培养学生的数学思维。
1. 算术思维的培养算术是数学学习的基础，也是培养学生数学思维的起点。
在算术学习中，我们可以通过以下几个方面来培养学生的算术思维。
首先，培养学生的数字概念。
数字是算术的基本单位，学生需要理解数字的概念以及数字之间的关系。
通过游戏、实例和实际问题的解决，可以帮助学生更好地理解数字。
其次，培养学生的计算能力。
计算是算术的基本内容，学生需要熟练掌握加减乘除等计算方法。
通过多样化的练习和问题解决，可以提高学生的计算能力。
最后，培养学生的问题解决能力。
算术问题常常涉及实际生活中的情境，学生需要通过数学的思维方式解决实际问题。
教师可以设计一些真实的情境问题，引导学生进行推理和解决。
2. 代数思维的引入代数是算术的延伸和拓展，它在数学学习中起着重要的作用。
代数思维是一种抽象思维能力，通过代数学习可以培养学生的逻辑思维和推理能力。
首先，引入变量的概念。
在代数中，变量是一个重要的概念，它可以表示问题中未知的数或者数之间的关系。
学生需要理解变量的含义和使用方法，通过变量的引入，将问题转化为代数表达式。
其次，培养学生的代数表达能力。
代数表达是将实际问题转化为代数形式的重要方法，学生需要掌握代数式的写法和转化方法。
通过练习和问题解决，可以提高学生的代数表达能力。
最后，培养学生的方程求解能力。
方程求解是代数学习的重点内容，学生需要学会通过方程的设立和运算求解未知数的值。
通过练习和实际问题的解决，可以帮助学生提高方程求解的能力。
3. 从算术到代数的过渡在学习过程中，从算术到代数的过渡是一个逐步深化的过程。
在这个过程中，教师需要通过设计合理的教学内容和方法来帮助学生顺利过渡。
探索数学计算的思维方式从算术到代数的过渡与应用
探索数学计算的思维方式从算术到代数的过渡与应用探索数学计算的思维方式：从算术到代数的过渡与应用数学作为一门普遍存在于我们日常生活中的学科，对我们的学习和思维方式具有深远的影响。
在数学的学习过程中，从算术到代数是一个重要的过渡阶段。
本文将探讨这一过渡阶段及其在实际应用中的思维方式。
一、算术基础：解决实际问题的初始阶段在学习数学的初期，我们首先接触到的是算术运算。
算术以四则运算为基础，通过加减乘除等运算符号对数字进行组合和计算，解决实际生活中的简单问题。
算术习题主要侧重于培养学生的计算能力和逻辑思维，让学生熟悉数的性质和运算法则。
例如，求解一个简单的加法问题：“若小明有3个苹果，小红有4个苹果，那么他们一共有多少个苹果？”这个问题通过算术运算符号“+”来表示，让学生将3和4相加，得出答案7。
这是一道简单的算数题，通过运算可以轻松求解。
二、代数的引入：引发思维方式的转变随着数学的深入学习，我们逐渐引入代数的概念。
代数是一门研究数与运算之间关系的数学分支，它以字母和符号表示未知数，并借助方程式和不等式等来描述数的关系和运算规律。
代数的引入使得数学问题更加抽象和普遍化，需要我们逐渐转变思维方式。
代数中的变量和常数是核心概念。
变量用字母来表示，它可以是任意一个未知的数，如x、y、z等。
而常数则是一个固定的数值。
通过将问题中的未知数用变量表示，我们可以建立数学方程来描述问题，并通过解方程来求解未知数。
例如，解方程“2x + 3 = 8”，我们需要找到一个数x，使得将其代入方程后等式两边相等。
通过逆运算，我们可以将已知的常数3移动到等式的另一边，得到“2x = 8 - 3”，进一步简化为“2x = 5”。
最后，将等式两边都除以常数2，得到最终的解x = 2.5。
代数中的方程求解是一种重要的思维方式，有助于我们解决更加复杂的数学问题。
三、从算术到代数的过渡：思维方式的转变与应用从算术到代数的过渡并不是一个突兀的变化，而是一个逐渐深化的过程。
从“算术”到“代数”的飞跃
Ｃｅ
Ｌ ｕ ｅ
Ｆ ａ ｎ ｇ
Ｆ ａ
策 略 方 ． ， 法
的， 实际 上就 是几个单项式 ， 所以， 同类项 只会 出现在 多项式 中． 需要 注意的 是两 个“ 相 同” 的
条件必须 同时满足 ， 才能确定 为同类项． 二、 掌握思想方法是关键
二 次三项 式 ， 求ｍ， 凡 的值．
是从 小学具体的数 引进抽 象的字母 ， 用字母 『 弋 替数 ， 从特殊 到一般 ， 完成数到式的飞跃 ， 所以 初中数学 的这块 内容可 以简称 为“ 代数” ． 由此 可 以看出 ， 第３ 章《 代数 式》 是／ Ｊ 、 学算术 与 中
代数的分水岭 ， 也是 同学们 在初中代数学 习中
１ ＋ ３ ＋ ５ ＋ ７ ＝ １ ６ ＝ ４ ： １ ＋ ３ ＋ ５ ＋ ７ ＋ ９ ＝ ２ ５ ＝ ５ … 根 据 前 面
通 用的文字语言转化成数学独 有的符 要遵 循 先读 先 写 的原
则， 并且 严格按 照代数 式 的书写规定 进行 ， 此 处 不再举例 ． 第二 类是关于单项式 、 多项式 、 整式、 代数
一
与数 据统计三 方面 的知识 ， 在 教的研究 上 ， 重
点是数 的认识和计算 ， 所以 小学数学 的这块 内 容 可 以简 称 为 “ 算术” ． ｊ 荭人初 中 后 的数 学学
习， 知识板块 由原来 的三个变成代数 、 几何 、 统
计与 概率四个 ， 在数 的研究 上 ， 从 小学 的算术 数上升 到了初 中的代数． 初中代数需要经 历二 次 飞跃 ， 其中． 第 一次是从 ， Ｊ 、 学 的算术数 引进 负数变成 有理数 ， 完成数扩 充 的飞跃 ， 第 二次
５ ｎ ｘ ２ ｙ ＝ Ｏ ， 求（ ２ ｍ一 ５ ｎ ２ ０ １ ８ 的值 ．
从算术思维到代数思维——以《用字母表示数》教学为例
教海探索还愿意给他卖命；从鸿门宴座次的安排可见项羽妄自尊大且行事高调；从项羽对樊哙的态度可见项羽虽爱惜勇士却敌我不分；他最后一败涂地，乌江自刎，也是意料之中。
从这些细节都直指项羽也许勇猛但却没有领导智慧，沽名钓誉，倒行逆施。
所以即便项羽在鸿门宴中杀了刘邦，也会有“李邦”、“张邦”、“某邦”等出现，来阻止他夺取天下。
同时，我们可以以此为契机，探讨“性格与人生”的关系，延伸课堂，深化内容。
如此实施阅读教学，有助于学生深入文本，破除刻板印象，引导学生从“大英雄”项羽被“狡猾小人”刘邦夺取天下的惋惜情绪中上升到理性思考，提升学生的思辨能力。
再如：必修二《最后的常春藤叶》中，在文本教学完后，我们可以探讨，假设贝尔曼知道自己冒雨为琼珊画叶子会付出生命的代价，是否还会义无反顾地去？有学生认为贝尔曼会去，他善良性格使然；但是也有学生认为他不会去，毕竟人都是趋利避害的。
关于这个问题，在阅读教学课上可以展开一场辩论赛。
学生“斗志满满”，会极尽所能去说服对方。
这就会促使他们大范围去收集资料，深入文本去找出支撑自己观点的细节，会认真组织语言去撰写辩论稿，这个过程将非常有助于提升思维的深刻性。
笔者认为，高中语文阅读教学要树立发展学生思维能力和提升学生思维品质的理念，在教学内容选择上可以采用以学生的问题为导向，设置主问题，有的放矢，提高学生思维系统性；在教学方法上，应该尊重学生的主体地位，适当采用“自主学习合作探究”的方式来深入探究，提高学生思维的深刻性；在教学成果反馈方面，要求学生读思结合，甚至要求学生读写结合，以文字形式呈现思维结果等。
通过以上策略，以期望在阅读教学过程中有意识地提升学生思维的系统性、深刻性、灵敏性、独创性和辩证性。
参考文献［1］陈剑峰.真问题：语文高效课堂的基石——以《孔乙己》教学为例［J］.语文知识，2014（4）.［2］李光明.思维发展与提升导向下的高中语文研究性阅读教学探究［D］.黄冈师范学院，2019.［3］姚婧.批判性阅读教学的实施策略［J］.语文教学通讯（D刊），2018（7）.［4］余映潮.我对阅读教学“主问题”的研究与实践［D］.中学语文教学，2007（9）.［5］中华人民共和国教育部.普通高中语文课程标准（2017年版）［S］.北京：人民教育出版社，2018.（作者单位：浙江省杭州市萧山区第六高级中学）从算术思维到代数思维——以《用字母表示数》教学为例■陈雨《用字母表示数》是苏教版小学数学五年级上册第八单元的内容，是数学四大学习领域之一——“数与代数”的一个重要内容，是学生学习代数的基础。
从算术到代数小学生学习数学的过渡
从算术到代数小学生学习数学的过渡数学作为一门重要的学科，对于小学生的学习和发展具有重要意义。
在数学教育的过程中，从简单的算术到复杂的代数是一个重要的过渡阶段。
本文将探讨小学生如何从算术过渡到代数的学习方法和重要性。
一、算术的基础在小学阶段，算术是数学教育的基础。
通过学习算术，孩子们可以掌握基本的计算技能，如加减乘除。
算术教育注重培养孩子们的计算能力、逻辑思维和问题解决能力。
通过大量的练习和实践，孩子们能够熟练地进行各种算式的计算。
算术作为数学的基础，为孩子们将来学习更高级的数学知识打下了坚实的基础。
二、代数的引入当孩子们掌握了基本的算术技能后，他们可以逐渐引入代数的概念。
代数是一门研究数与数之间关系的学科，它不仅仅关注具体的数值，更关注数值之间的规律和模式。
通过代数学习，孩子们可以培养抽象思维、逻辑推理和问题解决的能力。
三、从具体到抽象在教授代数知识时，教师应该采用适合小学生认知发展的方法。
由于小学生对抽象概念的理解能力有限，因此教师应该从具体的例子开始引导学生进入代数的世界。
例如，可以通过使用物体、图形或图表来让学生感知和理解代数符号的含义。
逐渐地，学生可以从具体的例子中提取出一般规律和模式，并将其用代数符号表示。
四、培养问题解决能力代数学习不仅仅是学习一些公式和计算规则，更重要的是培养学生的问题解决能力。
通过解决实际问题和应用代数知识，学生能够发展建模、分析和解决问题的能力。
例如，通过代数方程的解决，学生可以解决关于物体的速度、距离和时间的问题。
在这个过程中，学生需要将问题转化为代数方程，并利用代数方法解决问题。
这种问题解决的过程有助于培养学生的创造力和批判性思维。
五、培养逻辑思维代数学习也有助于培养学生的逻辑思维能力。
代数中的逻辑关系和运算规则可以帮助学生发展逻辑推理的能力。
学生需要理解代数中的等式、不等式、函数等概念，并能够运用它们进行推理和证明。
通过解决代数问题，学生可以逐渐培养出逻辑思维的习惯，提高问题解决的效率和准确性。
专题03 从算术到代数(含答案)
专题03从算术到代数阅读与思考算术与代数是数学中两门不同的分科，它们之间联系紧密，代数是在算术中“数”和“运算”的基础上发展起来的.用字母表示数是代数的一个重要特征，也是代数与算术的最显著的区别.在数学发展史上，从确定的数过渡到用字母表示数经历了一个漫长的过程，是数学发展史上的一个飞跃.用字母表示数有如下特点：1.任意性即字母可以表示任意的数.2.限制性即虽然字母表示任意的数，但字母的取值必须使代数式或实际问题有意义.3.确定性即在用字母表示的数中，如果字母取定某值，那么代数式的值也随之确定.4.抽象性即与具体的数值相比，用字母表示数具有更抽象的意义.例题与求解【例1】研究下列算式，你会发现什么规律：1×3＋1＝4＝222×4＋1＝9＝323×5＋1＝16＝424×6＋1＝25＝52…请将你找到的规律用代数式表示出来：___________________________________(山东菏泽地区中考试题)解题思路：观察给定的几个简单的、特殊的算式，寻找数字间的联系，发现一般规律，然后用代数式表示.【例2】下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是（）A.1627384950B. 2345678910C. 3579111300D. 4692581470（江苏省竞赛试题）解题思路：设自然数从a＋1开始，这100个连续自然数的和为（a＋1）＋(a＋2)＋…＋(a＋100)＝100a＋5050，从揭示和的特征入手.【例3】设A＝221212222323223434＋…＋221003100410031004＋221004100510041005，求A的整数部分.（北京市竞赛试题）解题思路：从分析A 中第n 项22(1)(1)n n n n 的特征入手.【例4】现有a 根长度相同的火柴棒，按如图①摆放时可摆成m 个正方形，按如图②摆放时可摆成2n 个正方形.(1)用含n 的代数式表示m ；(2)当这a 根火柴棒还能摆成如图③所示的形状时，求a 的最小值.（浙江省竞赛试题）解题思路：由图①中有m 个正方形、图②中有2n 个正方形，可设图③中有3p 个正方形，无论怎样摆放，火柴棒的总数相同，可建立含m ，n ，p 的等式.【例5】 化简个个个n n n 9199999999+⨯. （江苏省竞赛试题）解题思路：先考察n ＝1，2，3时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标更明确.【例6】观察按下列规律排成的一列数：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，15，24，33，42，51，16，…，（*） （1）在（*）中，从左起第m 个数记为F (m )＝ 22001时，求m 的值和这m 个数的积.（2）在（*）中，未经约分且分母为2的数记为c ，它后面的一个数记为d ，是否存在这样的两个数c 和d ，使cd ＝2001000，如果存在，求出c 和d ；如果不存在，请说明理由.解题思路：解答此题，需先找到数列的规律，该数列可分组为（11），（12，21），（13，22，31），（14，23，32，41），（15，24，33，42，51），….能力训练A级1.已知等式：2＋23＝22×23，3＋38＝32×38，4＋415＝42×415，…，，10 ＋ab＝102×ab（a，b均为正整数），则a＋b＝___________________.(湖北省武汉市竞赛试题)2.下面每个图案都是若干个棋子围成的正方形图案，它的每边（包括顶点）都有n（n≥2）个棋子，每个图案棋子总数为s，按此规律推断s与n之间的关系是______________.n＝2 n＝3 n＝4s＝4 s＝8 s＝12(山东省青岛市中考试题)3.规定任意两个实数对（a，b）和（c，d），当且仅当a＝c且b＝d时，（a，b）＝（c，d）．定义运算“⊗”：（a，b）⊗（c，d）＝（ac－bd，ad＋bc）．若（1，2）⊗（p，q）＝（5，0），则p＋q＝________．(浙江省湖州市数学竞赛试题)4.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖______块，第n个图形中需要黑色瓷砖______块（含n代数式表示）．（广东省中考试题）-=5.如果a是一个三位数，现在把1放在它的右边得到一个四位数是（）A.1000a＋1B. 100a＋1C. 10a＋1D. a＋1(重庆市竞赛试题)6.一组按规律排列的多项式：a＋b，a2—b3，a3＋b5，a4—b7，…，其中第十个式子是（）A. a10＋b19B. a10-b19C. a10-b17D. a10-b21(四川省眉山市竞赛试题)7.有三组数x1，x2，x3；y1，y2，y3；z1，z2，z3，它们的平均数分别是a，b，c，那么x1＋y1－z1，x2＋y2－z2，x3＋y3－z3的平均数是（）A.3a b c B. 3a b cC. a ＋b －cD. 3(a ＋b －c ) (希望杯邀请赛试题)8.为了绿化环境，美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两块草坪的周长相同，那么它们的面积S 1、S 2的大小关系是（ ）（东方航空杯竞赛试题）A . S 1＞S 2B ．S l ＜S 2C ．S 1＝S 2D ．无法比较9.一个圆形纸板，根据以下操作把它剪成若干个扇形面：第一次将圆纸等分为4个扇形面；第二次将上次得到的一个扇形面再等分成4个小扇形；以后按第二次剪裁法进行下去．（1）请通过操作，猜想将第3、第4次，…，第n 次剪裁后扇形面的总个数填入下表；（2）请你推断，能否按上述操作剪裁出33个扇形面？为什么？（山东省济南市中考试题）10.某玩具工厂有四个车间，某周是质量检查周，现每个都原a （a ＞0）个成品，且每个每天都生产b （b ＞0）个成品，质检科派出若干名检验员星期一、星期二检验其中两个原的和这两天生产的所成品，然后，星期三至星期五检验另两个原的和本生产的所成品，假定每个检验员每天检验的成品数相同． （1）这若干名检验员1天检验多少个成品（用含a 、b 的代数式表示）； （2）试求出用b 表示a 的关系式； （3）若1名质检员1天能检验54b 个成品，则质检科至少要派出多少名检验员？ （广东省广州市中考试题）B 级1. 你能很快算出19952吗？为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成（10·n ＋5）（n 为自然数），即求（10·n ＋5）2的值（n 为自然数），分析n ＝1，n ＝2，n ＝3，…这些简单情况，从中探索其规律，并归纳猜想出结论（在下面的空格内填上你的探索结果）. （1）通过计算，探索规律.152＝225可写成100×1×（1＋1）＋25； 252＝625可写成100×2×（2＋1）＋25； 352＝1225可写成100×3×（3＋1）＋25； 452＝2025可写成100×4×（4＋1）＋25； ...752＝5625可写成______； 852＝7225可写成______；（2）从第（1）题的结果，归纳猜想得（10n ＋5）2＝______； （3）根据上面的归纳猜想，请算出19952＝______.（福建省三明市中考试题）2.已知12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)，计算： （1）112＋122＋…＋192＝_____________________； (2)22＋42＋…＋502＝__________________. 3.已知n 是正整数，a n ＝1×2×3×4×…×n ，则13a a ＋24a a ＋…＋20102012a a ＋20112013a a ＝_______________. (“希望杯”邀请赛训练题)4.已知17个连续整数的和是306，那么，紧接着这17个数后面的那17个整数的和为__________.（重庆市竞赛试题）5.A ，B 两地相距S 千米，甲、乙的速度分别为a 千米/时、b 千米/时（a ＞b ），甲、乙都从A 地到B地去开会，如果甲比乙先出发1小时，那么乙比甲晚到B 地的小时数是（ ）(1)s a b (1)s a (1)s a b (1)sa6.某商店经销一批衬衣，进价为每件m 元，零售价比高a %，后因市场的变化，该店把零售价调整原来零售价的b %出售，那么调价后的零售价是（ ）A ．m （1＋a %）（1－b %）元B ．m a %（1－b %）元C ．m （1＋a %）b %元D ．m （1＋a %b %）元（山东省竞赛试题）7.如果用a 名同学在b 小时内共搬运c 块砖，那么个以同样速度所需要的数是（ ）A ．22c a bB ．2c abC ．2abcD ．22a b c(“希望杯”邀请赛试题)8.甲、乙两班的人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，其中甲班参加天文小组的人数是乙班未参加人数的13，乙班参加天文小组的人数是甲班未参加人数的15．问甲班未参加的人数是乙班未参加人数的几分之几？9.将自然数1，2，3，…，21这21个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有相邻的三个数，它们的和不小于33.（重庆市竞赛试题）10.有四个互不相同的正整数，从中任取两个数组成一组，并在同一组中用较大的数减去较小的数， 再将各组所得的数相加，其和恰好等于18.若这四个数的乘积是23100，求这四个数.（天津市竞赛试题）专题03 从算术到代数例1 2(2)1(1)n n n ++=+ 例2 A例3 原式=1111111112(1)2()2()2()2()223341003100410041005+-++-++-+++-++-=121004(1)1005⨯+-故其整数部分为2008 例4 设图③中含有3p 个正方形.(1) 由3152m n +=+,得513n m +=(2) 由315273,a m n p =+=+=+得325177m n p --==,因,,m n p 均是正整数, 所以当17,10m n ==时,7,p =此时317152a =⨯+=例5解法1:1n = 时,29919811910010⨯+=+==; 2n =时, 49999199(1001)991999900991991000010⨯+=-⨯+=-+==,猜想:2999999199910n n n n ⨯+=个个个个, 计算过程类似于2n =29999991999(101)9991999999000999199910n n n n n n n n n n n ⨯+=-⨯+=-+=个个个个个个个个个解法2: 1n =时,2991999109(999)1091010101010⨯+=⨯++=⨯++=⨯+=⨯=2n =时, 49999199999910099(999999)1009910010010010010⨯+=⨯++=⨯++=⨯+=⨯=猜想: 原式210n = 验证如下: 9999991999999999100099999999999910n n n n n n n n n n n ⨯+=⨯++=⨯++个个个个个个个个个个299910101010n n n n n =⨯=⨯=个反思结论必为一个数的平方形式, 不妨设999n a =个,得另一种解法解法3: 原式22222(1)a 21(1)(10)10n n a a a a a =+++=++=+==例6 (1)(※) 可分组为112123123412345(),(,),(,,),(,,,),(,,,,),,121321432154321可知各组数的个数依次为1,2,3,.按其规律22001应在第2002组1232002(,,,,)2002200120001中, 该组前面共有123420012003001+++++=个数. 故当2()2001F m =时,200300122003003m =+=. 又因各组的数积为1, 故这2003003个数的积为121200220012003001⨯=(2) 依题意,c 为每组倒数第2个数,d 为每组最后一个数,设它们在第n 组, 别1,,21n n c d -==(1)20010002n n -∴=.即(1)400200020012000n n -==⨯,2001,n ∴= 得20011200022c -==,20011d =A 级1. 100 提示:21010a ab b+=⨯ 中, 根据规律可得210,10199,a b ==-=故1099109a b +=+= 2. 4(1)(2)s n n =-≥3.1- 提示: 根据题中定义的运算可列代数式25,20p q q p -=+=,可得1,2,p q ==- 故1p q +=-4. 10 31n +5. C6. B7. B8. B9.(1) 10 13 31n + (2) 不能, 33不符合31n + 10. (1) 2a b +或2(5)3a b +或32b + (2) 由2(2)2(5)23a b a b ++=,得4a b = (3)2(2)47.5825a b b +÷=≈B 级1. (1) 1007(71)25,1008(81)25⨯⨯++⨯⨯++(2) 100(1)25n n ⨯++ (3) 3980025 2. (1) 2085(2) 22100 提示: 原式2224(1225)=⨯+++3. 20114026提示: 由1234n a n =⨯⨯⨯⨯⨯可得,原式111112334452011201220122013=+++++⨯⨯⨯⨯⨯ 111111112011233420122013220134026=-+-++-=-=4. 595 提示: 设17个连续整数为,1,,16,m m m ++且(1)(16)306m m m +++++=,它后面紧接的17个连续自然数应为17,18,19,,33m m m m ++++,可得它们之和为5955. D6. C7. D 提示: 每一名同学每小时所搬砖头为cab块,c 名同学按此速度每小时所搬砖头为2c ab 块.8．用a ，b 分别表示甲、乙两班参加天文小组的人数，m ，n 分别表示甲、乙两班未参加天文小组的人数，由a ＋m ＝b ＋n 得m －b ＝n －a ，又a ＝13n ，b ＝15m ，故m －15m ＝n －13n ，56m n =．9．证明：设任意分法将圆周上的每相邻三个数分为一组，他们三个数的和分别为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7（均为自然数），且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝()211212312⨯+=①．假设a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7中没一个数都小于33，则有a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＜231．与①矛盾，所以a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7中至少有一个不小于33，即一定有相邻的三个数，它们的和不小于33． 10．设四个不同整数为a 1，a 2，a 3，a 4（a 1＞a 2＞a 3＞a 4），则（a 1－a 2）＋（a 1－a 3）＋（a 1－a 4）＋（a 2－a 3）＋（a 2－a 4）＋（a 3－a 4）＝18，即3（a 1－a 4）＋（a 2－a 3）＝18．又因3（a 1－a 4），18均为3的倍数，故a 2－a 3也是3的倍数，a 2－a 3＜a 1－a 4，则a 2－a 3＝3，a 1－a 4＝5，a 1－a 2＝1，a 3－a 4＝1，又a 1a 2a 3a 4＝23100＝2×2×3×5×5×7×11．从而可得a 1＝15，a 2＝14，a 3＝11，a 4＝10．。
学习从算术思维到代数思维过渡的反思
学习从算术思维到代数思维过渡的反思
通过此次对从算术思维到代数思维过渡的学习，我加深了对“从算术思维到代数思维的过渡”的认识，同时也将在今后的教学生活中逐步渗透代数思想。
小学生在相当长的时间中是以算术思维为主的，但伴随着学习的不断深入，从算术思维过渡到代数思维是学生学习数学过程中的一个重要的转变阶段，也是小学与初中数学教学衔接时面临的一个重要问题。
这个过渡对于大多数学生而言都会存在不同程度的困难，教师在教学中首先应该重视对学生代数思维的培养。
在教学中，我们可以先用简单的题目引导学生使用字母表示未知数，列出简单的方程等式，求解未知数，从而让学生对字母代数有了基本的认识和了解。
因此，我们要在教学生活中善于捕捉适当的内容，善于寻找适当的时机，选择适当的方式，及时训练代数思维，让学生在活动中有所感，有所悟，逐步由算术思维向代数思维过渡。
如何帮助学生完成从算术思维向代数思维过渡
如何帮助学生完成从算术思维向代数思维过渡从算术思维向代数思维过渡，是学生认知发展的一次飞跃。
在课堂教学中，需要精心地设计过程，让每个学生都经历、感悟，才可能慢慢地完成从算术思维向代数思维的过渡。
低年级中的２＋（）＝7 10－（）＝３，以及高年级的４＋３Ｘ＝１０，都是先让学生熟悉等号的含义后，再借助天平原理辅助教学。
比如教学４＋３Ｘ＝１０时，首先明白天平是平衡的，即左右两边是相等的，现在开始改变盘中的数值，左边的４不要了，要使天平保持平衡，右边该怎么办，学生立即就会想到右边的１０也该减去４，既得到的是３个Ｘ等于６，再想象一个Ｘ则为把６平均分成３份中的１份即得到２。
再将刚才的思路反映到解题中。
这样，教学可以使抽象的问题形象化，简单化，同时也培养了学生的观察能力和分析、比较能力。
在方程教学中，对不同的学生给予不同的关注和辅导，经历一段时间的学习和积累渐渐达到要求，完成从算术思维向代数思维的过渡。
2.从算术到代数(含答案)-
2.从算术到代数知识纵横“算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”(algebra)•可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”。
著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言。
”用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别。
字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代表式(algebra expression)、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用。
例题求解【例1】(2001年河南省中考题)观察下列等式：9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20,……这些等式反映出自然数间的某种规律,设n表示自然数,用关于n的等式表示出来:____________.思路点拨在观察给定的等式基础上,寻找数字特点,等式的共同特征,•发现一般规律.解:(n+2)2-n2=4(n+1)【例2】(2003年“TRULY信利杯”竞赛题)某商品2000年比1999年涨价5%,2001年又比2000年涨价10%,•2002•年比2001年降价12%,则2002年比1999年( )A.涨价3%B.涨价1.64%C.涨价1.2%D.降价1.2%思路点拨设此商品1999年的价格为a元,把相应年份的价格用a的代数式表示,由计算作出判断.解:选B.【例3】计算：(12+13+…+12002)(1+12+13+…+12001)-(1+12+…+12002)(12+13…+12001)思路点拨直接计算复杂而繁难,注意括号内数式的联系,引入字母,•将复杂的数值计算转化为简单的式的计算.解:1 2002提示：设1+12+13+…+12001=a,12+13+…+12001=b,则a-b=1【例4】(第17届江苏省竞赛题)有一张纸,第1次把它分割成4片,第2次把其中的11319?片分割分4片,•以后每一次都把前面所得的其中一片分割成4片,如此进行下去,试问: (1)经5次分割后,共得到多少张纸片? (2)经n 次分割后,共得到多少张纸片?(3)能否经若干次分割后共得到2003张纸片?为什么?思路点拨 从简单情形入手,发现纸片数的特点是解本例的关键.解:(1)因为每分割1次,就要增加3张纸片,所以经5次分割,共得到1+3×5=16•张纸片.(2)经n 次分割,共得到(1+3n)张纸片.(3)若能分得2003张纸片,则1+3n=2003,3n=2002,无整数解,•所以不可能经若干次分割后得到2003年纸片.【例5】(北京市“迎春杯”竞赛题)在右图中有9个方格,要求每个方格填入不同的数,使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等,问:右图上角的数是多少?思路点拨 虽然要求的只是右上角的数,但是题目的条件还与其他的数有关,因此,需恰当地引进不同的字母表示数,以便充分运用已知条件.解:提示:如图,设相应方格中的数为x 1,x 2,x 3和x 4,问号处填的数为x,由已知条件得:x+x 1+x 2=x+x 3+x 4=x 1+x 3+13=x 2+19+x 4,这样,前面两个式子之和等于后面的两个式子之和,•即 2x+x 1+x 2+x 3+x 4=13+19+x 1+x 2+x 3+x 4,∴2x=13+19,得x=16.1319x 4x 3x 2x 1x学力训练 一、基础夯实：1. (2001年福州市中考题)给出下列算式:12+1=1×2, 22+2=2×3, 32+3=3×4, ……观察上面一列算式,你能发现什么规律,用代数式子表示这个规律:________. 2. (2003年武汉市中考题)已知:2+23=22×23,3+38=32×38,4+415=42×415……,若10+a b =102×ab(a 、b 为正整数),•则a+b=_________. 3. (第15届江苏省竞赛题)若(m+n)人完成一项工程需要m 天,则n 个人完成这项工程需要________天.(假定每个人的工作效率相同)4. (河南省竞赛题)某同学上学时步行,回家时坐车,路上一共要用90分钟,若往返都坐车,全部行程只需30分钟,如果往返都步行,那么,需要的时间是________.5.一项工程,甲建筑队单独承包需要a 天完成,乙建筑队单独承包需要b 天完成,•现两队联合承包,完成这项工程需要( )天. A.1a b + B.1a +1b C.ab a b+ D.1ab6. (2003年河南省中考题)某专卖店在统计2003年第一季度的销售额时发现,二月份比一月份增加10%,•三月份比二月份减少10%,那么三月份比一月份( ) A.增加10% B.减少10% C.不增不减 D.减少1% 7. (2001年河北省中考题)如图,在长方形ABCD中,横向阴影部分是长方形,另一阴影部分是平行四边形,依照图中标注的数据,计算图中空白部分的面积,其面积是( )A.bc-ab+ac+c 2B.ab-bc-ac+c 2C.a 2+ab+bc-acD.b 2-bc+a 2-ab 8.为了绿化环境,美化城市,在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪,•如果两块草坪的周长相同,那么它们的面积S 1、S 2的大小关系是( )A.S 1>S 2B.S 1<S 2C.S 1=S 2D.无法比较 9.从1开始,连续的奇数相加,和的情况如下:1=12, 1+3=4=22, 1+3+5=9=32, 1+3+5+7=16=42,EDBG FCA 1+3+5+7+9=25=52,(1)请你推测出,从1开始,n 个连续的奇数相加,它们的和s 的公式是什么? (2)计算:①1+3+5+7+9+11+13+15+17+19; ②11+13+15+17+19+21+23+25.(3)已知1+3+5+…+(2n-1)=225,求整数n 的值.10. (第17届江苏省竞赛题)从小明的家到学校,是一段长度为a 的上坡路接着一段长度为b 的下坡路(•两段路的长度不等但坡度相同).已知小明骑自行车走上坡路时的速度比走平路时的速度慢20%,走下坡路时的速度比走平路时的速度快20%,又知小明上学途中花10分钟,•放学途中花12分钟.(1)判断a 与b 的大小;(2)求a 与b 的比值.二、能力拓展：11.观察下列各正方形图形,每条边上有n(n ≥2)个圆点,每个图案中圆点的总数是S.按时规律推断出S 与n 的关系式是__________.(2001年广西中考题)n=4,s=12n=3,s=8n=2,s=4.......12. (“希望杯”邀请赛试题)如图,将面积为a 2的小正方形与面积为b 2的大正方形放在一起(b>a>0),用a 、•b 表示三角形ABC 的面积为________.13. (天津市竞赛题)已知17个连续整数的和是306,那么,紧接在这17个数后面的那17个整数的和为_________.14. (2003年南昌市中考题)用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律,拼成若干个图案:(1)第4个图案中有白色地面砖_________块;(2)第n个图案中有白色地面砖_________块.15. (第17届江苏省竞赛题)下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是( )A.1627384950B.2345678910C.3579111300D.469258147016. (2002年重庆市竞赛题)给出两列数:1,3,5,7,9,…2001和1,6,11,16,21,…,2001,•同时出现在这两列数中的数的个数为( )A.199B.200C.201D.20217. (2003年山东泰安市中考题)一种商品每件进价为a元,按进价增加25%定出售价,后因库存积压降价,按售价的九折出售,每件还能盈利( )A.0125aB.0.15aC.0.25aD.1.25a18.如果用a名同学在b小时内共搬运c块砖,那么c名同学以同样的速度搬运a•块砖所需的小时数是( )A.22ca bB.2cabC.2abcD.22a bc19.已知a n+1=111na(n=1,2,3,…,2002),求当a1=1时,a1a2+a2a3+a3a4+…+a2002a2003的值.20. (2002年湖北省黄冈市竞赛题)在一次数学竞赛中,组委会决定用NS公司的赞助款购买一批奖品,•若以1•台NS计算器和3本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买100份奖品；若以1台NS•计算器和5本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买80份奖品。
从算术到代数
整体地把握小学数学课程
首都师范大学 王尚志
鸡兔同笼问题
• 问题：一支铅笔40日元，一支钢笔70日元， 共有460日元买10支笔，应如何购买？ • 有两种方法： 一种算术方法 一种代数方法
圆的面积问题
• 1、会求哪些面积？ • 2、能否把圆的面积转化为其它的 面积？ • 3、在这个过程中，重要的数学思 想是什么？
一节课： × 一节课：23×3=69 • 1、准备 • 2、操作 2 • 3、引导 • 4、总结
图形与加法
• 1、三个图形。 • 2、每一个图形不同的数字特征。 • 3、能拼出多少种不同的结果？ • 4、值得探索的一些问题。
从算术பைடு நூலகம்代数
• 1、加法。 • 2、减法：几种引出减法的方式。 解决问题的方法：算术、代数。 • 3、乘法。 • 4、除法：几种引出减法的方式。 解决问题的方法：算术、代数 • 5、鸡兔同笼问题。
• 举例：
认识分数：瞻前顾后。 认识正比例：瞻前顾后。 在鸡兔同笼问题中，小学阶段的任务是 什么？
整体把握课程：养成好的习惯
• 学习数学有很多好的习惯：
其中整体把握课程是学习数学 的一个重要的好习惯。它也是学好 的一个重要的好习惯 数学的好方法。能够帮助提高学习 数学的效率。
谢 谢!
整体地把握课程
义务教育的课程由四部分组成
• • • • 数与代数 空间与几何 统计与概率 综合与实践
整体地把握课程
• 数与代数
数感 运算与推理 量与模型 估计与近似 符号与符号语言
整体地把握课程
• 空间与几何
图形的分类与性质 变换——图形的运动 图形与位置 几何直观与图形语言
整体地把握课程
跨越从算术思维到代数思维这道鸿沟
跨越从算术思维到代数思维这道鸿沟算术思维到代数思维的过渡绝非是一蹴可及的，无法在缺乏经验下直接灌输，必须经过长适当的、多元的、循环的学习过程，才能顺利的跨越这一道鸿沟。
跨越这一道鸿沟一方面要从具体的数字到抽象的代数符号数学算式是数学沟通及思考最重要的媒介，而符号表征式的理解与使用更是代数的学习不可或缺的工具，因此要过渡到代数思维，首要进行的便是符号的理解与使用，此处的代数符号包含＝、×、+、…、□、甲、乙、x、y、…等等。
从字面上来看，「代数」带有「以符号代表数」的意味，然则教学上所要关心的是：学生为何需要有运用文字符号来代替数字的思维？这种将待求之数以代数（文字）符号之，至少会引出四个不同的功用：（一）改变解题思维动向。
亦即能对「待解的已定数」作运算：例：「某数加5得到8，求该数。
」以算术思维的方法求解时，无论解题思维是「因为某数加5得到8，所以某数是…」或「什么数加5得到8？3加5是8，所以某数是…」，都是以「某数」为解题焦点，所有的运作只能以它为中心。
而当它被文字符号暂代时（如：x+5＝8），焦点已经转移到这个方程式及其解法了。
（二）让解法跳脱题目所给的情境或数字，而聚焦在一般性的解题方法：这个功用对代数的一般性（抽象性）与结构性有直接的影响，因为当解题不会因为题目所给的数字不同而改变作法，其实已经在建立代数的一般性与结构性了。
（三）能保留对运算的程序或结构：例：「边长为2的正方形，得到其面积为4」。
但是得出4之后，就无法得知4究竟是2 、2×2、2+2，还是其它方式而来。
而符号的一个功用就是能保留这些程序或结构，这尤其在多项式、函数、乘法公式、代数论证…上，程序或结构的保留对概念的形式化有不可或缺的地位。
跨越这一道鸿沟另一方面要从特殊化到一般化（抽象化、去情境化）转变。
符号的使用只是进入代数思维的第一步，真正进入代数思维，凭借的是支撑在符号背后的代数想法，也就是一般化的想法。
从算术到代数的知识转变
从算术到代数的知识转变在数学学科中，算术和代数是两个重要的概念和学习内容。
算术是一种基础的数学运算方法，它注重对具体数据的计算和处理；而代数则更注重于符号和未知数之间的关系和运算规律。
从算术到代数的知识转变在数学学习中起着重要的作用，并对学生的数学思维和解决问题的能力产生着积极的影响。
一、算术与代数的定义及特点算术是最早发展起来的数学分支，它主要研究基本的四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。
算术只涉及具体的数字，强调具体计算和问题解决方法。
相比之下，代数则更为抽象和符号化。
它将数学问题中的未知数用字母表示，通过符号和代数运算规律来推导和解决问题。
代数的核心概念是方程和不等式，它们描述了数值之间的关系，并通过解方程和不等式来求得未知数的取值。
二、1. 理解数的本质变化在学习算术时，我们主要关注数字间的计算和问题解决。
而在学习代数时，我们将重点转移到符号和未知数的运算和关系上。
这种转变是数学思维的一个重要标志，要求学生从关注具体数值的计算，转变为关注抽象符号的运算。
2. 掌握代数的基本概念和符号表示学习代数需要掌握一系列基本概念和符号表示方法。
例如，学生需要理解未知数的含义，并学会用字母表示未知数。
此外，学生还需要学习代数中常见的符号和运算规律，如加法、减法、乘法和除法的代数表示方法。
3. 理解方程和不等式的意义与解法方程和不等式是代数学习的核心内容。
学生需要理解方程和不等式的意义，以及它们与实际问题之间的联系。
同时，学生还需要学会解方程和不等式，找到未知数的取值范围，从而解决实际问题。
4. 运用代数解决实际问题代数作为一种数学工具，能够帮助我们解决各种实际问题。
学生需要学会将实际问题转化为代数表达式，并通过代数运算来求解。
这种能力对学生的数学思维和问题解决能力有着重要的影响。
三、从算术到代数的意义和作用1. 培养抽象思维能力从算术到代数的知识转变要求学生从具体数字的计算转向符号和未知数的运算。
这种转变培养了学生的抽象思维能力，使他们能够更灵活地思考和解决问题。
初三数学学习方法：要始终抓住如何“从算术进展到代数”
初三数学学习方法：要始终抓住如何“从算术进展到代数”初三数学学习方法：要始终抓住如何“从算术进展到代数”《初一代数》（上册）的数学内容从整体上看要紧是解决从算术进展到代数那个重要的差不多课题。
我们认为要紧表达在以下两个方面。
一方面是“数集的扩充”，即引进负数，把原有的算术数集合扩充到有理数集合；另一方面是解代数方程的原理和方法，即从用字母表示数，到用“列方程”取代“列算式”解应用问题。
死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。
但随着素养教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力进展的教学方式,慢慢为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。
事实上,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素养并不矛盾。
相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。
数集的每一次扩充差不多上解决实际问题和解决数学自身矛盾的需要。
有理数概念的建立，有理数性质的介绍，有理数运算法则的规定，这一切都为同学们进一步学习代数做了必要的预备。
同学们在学习有理数一章时，期望大伙儿要有意识地培养自己逻辑推理能力，使自己会观看、比较、分析、综合、抽象和概括，会用归纳和类比的方法进行推理。
另外要专门重视提高运算能力，有过硬的运算差不多功。
为此，不仅能依照法则、运算规律、公式等正确地进行运算，而且明白得运算的算理，能够依照题目条件，使运算“合理、简捷、准确”。
为了解决用算术方法解应用题的局限性，人们想出用字母表示未知数，把问题中的相等关系平铺直叙地用代数方程式表达出来。
由于表示未知数的字母也是数，因此，它们也能够按照数的运算的通性、通法进行运算，从而求得未知数所应有的值。
同学们要充分注意这一“历史性”的突破。
为此，不仅要熟练把握含数字的算术的变形和运算，更要切实把握好含字母的代数式（目前要紧是整式）的变形和运算，解方程的差不多方法和步骤，这一切差不多上为列方程解应用题而展开的。
通过列方程解应用题的学习，体会如何把实际问题抽象成数学问题，用方程思想处理数学问题，形成用数学的意识，培养我们自己分析问题和解决问题的能力。