国内学者对凸函数理论的若干研究成果介绍

全国第七届初等数学研究学术交流会大会报告论文

国内学者对凸函数理论的若干研究成果介绍

张小明1

石焕南2

1.浙江广播电视大学海宁学院 浙江海宁 314400 2．北京联合大学师范学院电气信息系, 北京, 100011

一、国内学者对凸函数的一些研究

一百多年来，凸函数及其推广是分析不等式研究中的一个热点，参考文献也难于统计.近十年来，国内对实的凸函数的研究也是很多的（不过其中的一部分是重复研究），主要学者有胡克、石焕南、王挽澜、祁锋、文家金、张小明、杨镇杭、王良成、吴善和、刘证、于永新、李世杰和于小平等.本文把其中的一部分列为参考文献，读者可从其中了解我国学者在此方面一些研究.下面我们仅介绍让初学者容易理解的一些结果.

1、凸函数和S-凸函数的定义及微分判别定理

我国现行分析教材中，凸（凹）函数的定义是比较混乱.但国际通用的为如下定义1.

定义1 设D 是()1,n

n n ≥∈ 上的凸集，:f D → ，

若任取,x y D ∈，01λ≤≤，有()()()()()11f

x y f x f y λλλλ+-≤+-成立，则称f 为D 上的凸函数.当f -为凸函

数时，称f 为凹函数.

定义2 设D 是()1,n

n n ≥∈

上的凸集，

:f D → ，若任取,x y D ∈，有

()()11222

x y f f x f

y +⎛⎫≤

+

⎪⎝⎭

成立，则称f 为D 上的中点凸函数.当f -为中点凸函数，

称f 为中点凹函数.

从定义中可以看出，凸函数一定是中点凸函数，反之则不然，其实开区间内的可测的或有界的中点凸函数为凸函数.其实Jensen 在1905年也是把定义2作为凸函数的定义.

定义3([4][5]) 设,n

x y R ∈满足

(ⅰ) [][]1

1

, 1, 2,... , 1k

k

i i i i x y k n ==≤

=-∑∑

, (ⅱ) ∑

∑===

n

i i n i i y x 1

1

则称x 被y 所控制, 记作y x . 其中[][][]12n x x x ≥≥≥ 是x 的分量的递减重排. 例1 设()14,12,14x =，()13,13,13y =，则y x ,的重排分别为()12,14,14和

()13,13,13，且有

,3121≥

,31314121+≥+

,313131414121++=++

成立，所以y x .

定义 4([4][5]) 设 ,:n

R R ϕΩ⊂Ω→. 若在Ω上()()x y x y ϕϕ⇒≤ , 则称ϕ

为Ω上的Schur 凸函数，简称S-凸函数; 若ϕ-是Ω上Schur 凸函数, 则称ϕ为Ω上Schur 凹函数，简称S-凹函数.

定理A 设函数φ在开区间I ⊆ 上一次可微，则φ在I 上为凸函数当且仅当()'t φ在区间I 为单调增加．

定理B 设函数φ在开区间I ⊆ 上二次可微，则φ在I 上为凸函数当且仅当()''0t φ≥对I t ∈恒成立．

定理C 设n

H ⊆ 为开凸集，φ在H 上二次可微，则φ在H 上为凸函数当且仅当

()111212122212

n n

n

n nn

L x φφφφφφφφφ''''''⎛⎫

⎪

'''''' ⎪= ⎪ ⎪''''''⎝⎭

在H 上半正定． 定理D 设集合n

H ⊆ 是有内点的对称凸集，:H φ→ 连续，且在H 中的内点都可

微，则φ为S-凸函数的充分必要条件是φ在H 上对称且对H 的任意内点x ，都有

()12120x x x x φφ⎛⎫

∂∂--≥ ⎪∂∂⎝⎭

．

2、关于凸函数的一些研究结果

定理1（[6]） 设[]():,f x a b f x ∈→为凸函数，数列{}[]1,k k x a b +∞

=⊆，又{}1k k p +∞

=为任一非负数列，定义()()11

1

1n

n n

k k k k k k n

k k k k p x F n p f

x p f p ====⎛⎫

⎪=-⋅ ⎪⎝

⎭

∑∑

∑∑

.则(){}1

n F n +∞

=为单

调增加数列.

定理1推广了凸函数的Jensen 不等式：

()

1

111n

n

k k k k k k n

n

k k k k p f

x p x f p p ====⎛

⎫

⎪≥ ⎪⎝

⎭

∑∑∑∑

.关于此类不等式的推广的研究在国外研究也很多，比如对于非凸函数但可微的函数f ，如何用

[]

(),m a x |'|x a b f x ∈或[]

(),m ax |''|x a b f

x ∈来表示()

1

11

1n n

k k k k k k n n

k

k k k p f

x p x f p p ====⎛⎫

⎪- ⎪⎝

⎭

∑∑∑

∑

的上下界；如何继续加细

()

1

11

1n n k k k k k k n n

k

k k k p f

x p x f p p ====⎛

⎫

⎪≥ ⎪⎝⎭

∑∑

∑

∑

等等.这些研究较多地集中澳大利亚不等式研究小组的网站.au/RGMIA/issues.asp 上.

定理2（[32]） 设(),f x y 是定义在D 上的一次齐次函数且两阶可微,则(),f x y 是严格凸的充要条件是:()

2

,0f

x y xy x y

∂⋅

<∂∂.

定理3（[32]） 设()2

0,D ⊂+∞,(),f x y 是定义在D 上的正n 次齐次函数且两阶可微,则()(),ln ,u

v

g u v f e e

=严格凸的充要条件是

()()

2

ln ,0f x y x y

∂

<∂∂.

定理4（[32]） 设()2

0,D ⊂+∞,(),f x y 是D 上的0 次齐次函数且二阶可微,则

(),u

v

f e e

为严格凸的充要条件是

()

2

,0f

x y x y

∂<∂∂.

凸函数的Hadamard 不等式（又称Hermite-Hadamard 不等式）指的是

()()()122b a f a f b a b f f x dx b a

++⎛⎫

≤≤ ⎪-⎝⎭⎰,