海南大学高数A下试卷及答案

海南大学2008-2009学年度第2
学期试卷
科目：《高等数学A》（下）试题(A 卷)
姓名： 怪哥 学 号： 学院： 专业班级： 08国酒
成绩登记表（由阅卷教师用红色笔填写）
大题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分
阅卷教师： 200 9 年 月 日
考试说明：本课程为闭卷考试，可携带 计算器 。

一、填空题：（每题3分，共15分）在以下各小题中画有_______
处填上答案。

1、设向量()()121112αβαβ=-=⨯=，，，，，，则向量积531--（，，）；
2、曲线23,,(1,1,1)x t y t z t ===在点处的切线方程为__
111
123
x y z ---==
； 3,222,L
Y R +=⎰
设L为圆周X 则积分22R π；
4、设log y z x = ，则22z x ∂=∂21
ln x y
-；
5、将函数1()f x x =展开成()1x +的幂级数为()0
1,(2,0)n
n x x ∞=-+∈-∑；
二、选择题（每题3分，共15分 选择正确答案的编号，填在各题
前的括号内）
（ B ）1、已知
22
xdx aydy x y -+是某函数的全微分，则a =
(A) 1 ; (B) –1 ; (C) –2 ; (D) 2。

（ A ）2、设曲面∑是下半球面z =则曲面积分()222x y z dxdy ∑
++=⎰⎰
（ B ）3、设()f x 为续函数, ()()()'1
,2t t
y
F t dy f x dx F ==⎰⎰则
(A) 2()2f ; (B) ()2f ; (C) 0 ; (D) -()2f .
（ B ）4、 幂级数n n n x 2
1
(0∑∞
=的收敛半径是（ ）
(A) 3; (B) 2 ;(C) 21;(D) 3
1
（ C ）5
、交换积分次序
1
1
(,)x dx f x y dy -+=⎰
1
1
()(,)x A f x y dx +-⎰;
11
()(,)x B dy f x y dx -+⎰
11
()(,)y C dy f x y dx -⎰⎰
1
10
()(,)y D dy f x y dx -⎰
三 、计算题（每小题6分，共48分）
1、设2
2y x e
+=Z ，求d Z 。

解 ： d ()()ydy xdx e y x d e y x
y x 222
2
2
2
22+=+=Z ++…………(6分)
2、一平面过点(1,0,-1)且平行于向量(2,1,1)(1,1,0),a b ==-和求这平面方程.
解：设平面的法向量为n ,则 ()2111,1,3110i j k
n a b =⨯==--…………(2分)
所求平面方程为()()()1010x y z -+--+=…………(4分)
即 340x y z +--=…………(6分)
3、设22(,)x y t y
f x y e dt +=⎰
，求()()()''"
1,2,1,21,2x y xy f f f 及和(,)df x y 。

解：()()()2
2
2
2
2
2
''"
,2,,2,,4x
y x
y y x
y x y xy f x y xe f x y ye e f x y xye +++==-=…………（2分）
因此，()()()'5'52"
51,22,1,24,1,28x y xy f e f e e f e ==-=…………（4分）
()(
)
(
)
2
2
2
2
,22x
y x
y y df x y xe dx ye e dy ++=+-…………（6分）
4、计算D
xyd σ⎰⎰，其中D 是由抛物线2y x =及直线2y x =-所围成的闭区域.
解：求出交点（1，-1），（4，2）以及画图…………（2分）
2
221
y y D
xyd dy xydx σ+-=⎰⎰⎰⎰
…………（4分）
222
2225111()|[(2)]22y y x y dy y y y dy +--==+-⎰⎰=5
5.8…………（6分）
5、化二次积分(
)220a
a y
dy f x y dx +⎰⎰
为极坐标下的二次积分
解：因为在极坐标下积分域表示为0,02cos 4
r a π
θθ≤≤
≤≤…………（3分）
所以，原积分化为极坐标下的二次积分为 ()4
2cos 20
a d f r rdr π
θ
θ⎰
⎰
…………（6分）
6、计算三重积分zdv Ω
⎰⎰⎰，其中Ω为曲面22z x y =+与平面4z =围成的空间闭区域
解： 利用拄面坐标，得2224
r
zdv d rdr zdz πθΩ
→=⎰⎰⎰⎰⎰⎰…………（3分）
=()2
4
16421623
r
r dr ππ-=⎰…………（6分）
7、利用格林公式计算曲线积分()()sin 22cos 2100x x l
e y y dx e y dy -+-⎰
，其中l ，A
（1，0）到点B （-1，0）的一段弧。

解： 作辅助线()1:0,l y x =→从-11，则由格林公式，得
原积分
1
1
l
l l l +=
-⎰
⎰⎰
=()()1
sin 22cos 2100x x
D l Q P dxdy e y y dx e y dy x y ⎛⎫∂∂---+- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰…………（3分） =0D
dxdy -⎰⎰，其中22:1,0D x y y +≤≥
=2
π
…………（6分）
8 、求幂级数20
21!n
n n x n ∞
=+∑的收敛域与和函数()s x . 解： 求得幂级数的收敛域是：(,)-∞+∞…………（2分）
221
0(21)()!
!
x
n n x
n n n x dx
x s x dx n n +∞
∞
==+==⎰
∑
∑⎰
…………（4分） 220
()()!n
x
x n x s x dx x xe n ∞
===∑⎰
， 222()2x x s x e x e =+…………（6分）
四、证明题（每小题6分，共12分）
1、设(),z xy xF u =+而,()y u F u x =
为可导函数，验证.z z
x y z xy x y
∂∂+=+∂∂ 证明：
()()()''21,z y z y F u xF u x xF u x x y x ∂∂⎛⎫⎛⎫
=++-=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭…………（3分） 因此，().z z F F
x y xy xF u y xy y z xy x y u u
∂∂∂∂+=+-++=+∂∂∂∂…………（6分）
2、证明：= (a>0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a 。

证明：记(),,0F x y z =-=，
则在任一点M （000,,x y z ）处的法向量为n ⎛⎫
= M )))0000x x y y z z -+--=……（3分） 1+= a ==…………（6分）
五、应用题：（10分）
求底圆半经相等的两个直交圆拄面222222
x y r x z r
+=+=
及所围几何体的体积及其表面积。

解：由对称性知，所求体积V为第一卦限体积
1
V的8倍，即
10
888r
D
V V dx
σ⎡⎤
====
⎢⎥
⎣⎦
⎰32
8
3
r
⨯3
16
3
r
=…………（5分）
由对称性知，所求面积S为第一卦限表面积()
121
2
s s s
+=的8倍，即
1
161616
D D
s s dA dxdy
===
⎰⎰……（7分）
=2
00
1616
r
r
=
⎰……（10分）。