海南大学高数A下试卷及答案

海南大学2008-2009学年度第2

学期试卷

科目：《高等数学A》（下）试题(A 卷)

姓名： 怪哥 学 号： 学院： 专业班级： 08国酒

成绩登记表（由阅卷教师用红色笔填写）

大题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分

阅卷教师： 200 9 年 月 日

考试说明：本课程为闭卷考试，可携带 计算器 。

一、填空题：（每题3分，共15分）在以下各小题中画有_______

处填上答案。

1、设向量()()121112αβαβ=-=⨯=，，，，，，则向量积531--（，，）；

2、曲线23,,(1,1,1)x t y t z t ===在点处的切线方程为__

111

123

x y z ---==

； 3,222,L

Y R +=⎰

设L为圆周X 则积分22R π；

4、设log y z x = ，则22z x ∂=∂21

ln x y

-；

5、将函数1()f x x =展开成()1x +的幂级数为()0

1,(2,0)n

n x x ∞=-+∈-∑；

二、选择题（每题3分，共15分 选择正确答案的编号，填在各题

前的括号内）

（ B ）1、已知

22

xdx aydy x y -+是某函数的全微分，则a =

(A) 1 ; (B) –1 ; (C) –2 ; (D) 2。

（ A ）2、设曲面∑是下半球面z =则曲面积分()222x y z dxdy ∑

++=⎰⎰

（ B ）3、设()f x 为续函数, ()()()'1

,2t t

y

F t dy f x dx F ==⎰⎰则

(A) 2()2f ; (B) ()2f ; (C) 0 ; (D) -()2f .

（ B ）4、 幂级数n n n x 2

1

(0∑∞

=的收敛半径是（ ）

(A) 3; (B) 2 ;(C) 21;(D) 3

1

（ C ）5

、交换积分次序

1

1

(,)x dx f x y dy -+=⎰

1

1

()(,)x A f x y dx +-⎰;

11

()(,)x B dy f x y dx -+⎰

11

()(,)y C dy f x y dx -⎰⎰

1

10

()(,)y D dy f x y dx -⎰

三 、计算题（每小题6分，共48分）

1、设2

2y x e

+=Z ，求d Z 。

解 ： d ()()ydy xdx e y x d e y x

y x 222

2

2

2

22+=+=Z ++…………(6分)

2、一平面过点(1,0,-1)且平行于向量(2,1,1)(1,1,0),a b ==-和求这平面方程.

解：设平面的法向量为n ,则 ()2111,1,3110i j k

n a b =⨯==--…………(2分)

所求平面方程为()()()1010x y z -+--+=…………(4分)

即 340x y z +--=…………(6分)

3、设22(,)x y t y

f x y e dt +=⎰

，求()()()''"

1,2,1,21,2x y xy f f f 及和(,)df x y 。

解：()()()2

2

2

2

2

2

''"

,2,,2,,4x

y x

y y x

y x y xy f x y xe f x y ye e f x y xye +++==-=…………（2分）

因此，()()()'5'52"

51,22,1,24,1,28x y xy f e f e e f e ==-=…………（4分）

()(

)

(

)

2

2

2

2

,22x

y x

y y df x y xe dx ye e dy ++=+-…………（6分）

4、计算D

xyd σ⎰⎰，其中D 是由抛物线2y x =及直线2y x =-所围成的闭区域.

解：求出交点（1，-1），（4，2）以及画图…………（2分）

2

221

y y D

xyd dy xydx σ+-=⎰⎰⎰⎰

…………（4分）

222

2225111()|[(2)]22y y x y dy y y y dy +--==+-⎰⎰=5

5.8…………（6分）

5、化二次积分(

)220a

a y

dy f x y dx +⎰⎰

为极坐标下的二次积分

解：因为在极坐标下积分域表示为0,02cos 4

r a π

θθ≤≤

≤≤…………（3分）

所以，原积分化为极坐标下的二次积分为 ()4

2cos 20

a d f r rdr π

θ

θ⎰

⎰

…………（6分）

6、计算三重积分zdv Ω

⎰⎰⎰，其中Ω为曲面22z x y =+与平面4z =围成的空间闭区域

解： 利用拄面坐标，得2224

r

zdv d rdr zdz πθΩ

→=⎰⎰⎰⎰⎰⎰…………（3分）

=()2

4

16421623

r

r dr ππ-=⎰…………（6分）

7、利用格林公式计算曲线积分()()sin 22cos 2100x x l

e y y dx e y dy -+-⎰

，其中l ，A

（1，0）到点B （-1，0）的一段弧。

解： 作辅助线()1:0,l y x =→从-11，则由格林公式，得

原积分

1

1

l

l l l +=

-⎰

⎰⎰

=()()1

sin 22cos 2100x x

D l Q P dxdy e y y dx e y dy x y ⎛⎫∂∂---+- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰…………（3分） =0D

dxdy -⎰⎰，其中22:1,0D x y y +≤≥

=2

π

…………（6分）