3.4多元函数的偏导数和全微分
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*3.4
多元函数的偏导数和全微分
一、 偏导数的概念
二、高阶偏导数
三、可微与偏导数的关系
四、全微分
一、偏导数的定义
在二元函数 z = f (x, y)中, 有两个自变量 x, y, 但
若固定其中一个自变量, 比如, 令y = y0, 而让 x 变化.
则 z 成为一元函数 z = f (x, y0), 我们可用讨论一元
z z f x ( x, y ) 记作 f x( x, y ), , , . x x x
称为z 对自变量 x 的偏导函数(简称偏导数)
注
1.由偏导数定义知, 所谓 f (x, y) 对x 的偏
导数, 就是将 y 看作常数, 将 f (x, y) 看 作 一
元函数来定义的.因此,在实际计算时, 求 f 'x (x, y)时, 只须将 y 看作常数,用一元 函数求导公式求即可. 求 f 'y (x, y)时, 只须将 x 看作常数,用一元 函数求导公式求即可.
z 例1. 设z x y x sin y 3, 求全部二阶偏导和 3 . x
3 2 2
z 2 2 xy 1 解: x
z 2 x 2 y cos y y
2 z 2 2 x sin y 2 y
z 4 xy yx
2
z 2 2 y x 2
求导次序无关.
2 z 2 z 即: ＝ xy yx
例2 求 z sin 2 (ax by ) 的二阶偏导数 解:
z 2 sin( ax by ) cos( ax by ) a a sin 2(ax by ) x z 2 sin( ax by ) cos( ax by ) b b sin 2(ax by ) y
当 k 不同时, 极限也不同. f (x, y) 在 (0, 0)
的极限不存在 . z = f (x, y)在(0, 0)的极限不存在, 因此它
在 (0, 0)不连续.
从几何上看, f 'x (x0, y0)存在. 只保证了一
元函数 f (x, y0)在 x0 连续. 也即 y = y0 与 z = f (x, y)的截线 1 在 M0= (x0, y0 , z0)是连续的.
注： （1）二元函数的二阶导数一共有四个：
z x2
2
2z xy
2 z yx
2z y 2
二阶混合偏导数
类似, 可得三阶, 四阶, …, n 阶偏导数.
z 如 : 若 2 可偏导, 则记 x
2
2 z z 3 z 2 z , , 等等. 3 2 2 2 x x x x y y x 3
arctan
y x
ln(x 2 y 2 )在(1, 2)处对x的偏导数.
本题实质上是求 f x(1,0)，但如果先求偏导数 f x( x, y)，
运算是比较麻烦的。于 是我们先把 y固定在y 0，则
2 f ( x,0) 2 ln x，则 f x( x,0) 。 于是 f x(1,0) 2. x
例 设
z f ( x, y )
xy 2 2 , 当 x y 0时, 2 2 x y
0,
当x 2 y 2 0时,
证明：z = f (x, y)在(0, 0)的两个偏导都存在, 但 它在 (0, 0)不连续.
证 z = f (x, y)在(0, 0)的两个偏导都存在.
x 0 0 2 2 f (0 x ,0) f (0,0) lim x 0 =0 f x (0,0) lim x 0 x x 0 x
0 0
0
即
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) f x( x0 , y0 ) lim x 0 x
此时也称 f (x, y)在(x0, y0) 处对x 的偏导数存在. 否则
称f (x, y)在(x0, y0) 处对x的偏导数不存在.
f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) lim y 0 y
偏导数的概念可推广到三元以上函数中去. 比如, 设 u = f (x, y, z) .
f ( x x , y , z ) f ( x , y , z ) u x lim x 0 x
它的求法, 就是将 y, z 均看作常数来求即可.
例4 解
求u
x 2 y 2 z 2的偏导数.
三、全微分的概念
复习一元函数的微分：
y f ( x)
y f ( x 0 x ) f ( x 0 )
y Ax o(x )
dy f ( x 0 ) dx
微商
dy Ax
dy f ( x0 )x
21
lim f ( X ) f ( X 0 ) 曲面在M 0连续 X X
0
当 X 从任何方向, 沿任何曲线趋于X0时, f (X)
的极限都是 f (X0).
偏导数存在 曲面在M 0连续
曲面在M 0不连续 , 也可能偏导数Fra Baidu bibliotek在
二、高阶偏导数
( x, y ), f y ( x, y ). 设z f ( x, y )的偏导数为f x
例2 求z x 2 sin 2 y的偏导数. 解
z 2 x sin 2 y x
z x 2 cos 2 y 2 2 x 2 cos 2 y y
例3 设 z x y ( x 0, x 1), 求偏导数. 解
z yx y 1 x
z x y ln x y
2x x ux 2 2 2 2 x y z u
2y y uy 2 2 2 2 x y z u 2z z u z 2 2 2 2 x y z u
例5 已知 f ( x, y ) (1 xy) y , 求 f x(1,1), f y (1,1)
f y ( x0 , y0 ) z f 记作 f y ( x0 , y0 ), , 或 y x x y x x y
y y0
0
y y0
0
称为z = f (x, y) 在 (x0, y0) 处对 y 的偏导数.
f ( x x, y ) f ( x, y ) f x( x, y ) lim x 0 x
z x
x 0 y 0
f (0 x,0) f (0,0) (0 x) 2 0 2 0 lim lim x0 x0 x x
(不存在)
x x 2 lim lim x0 x x0 x z (不存在) 同理 x 0 y y 0
练： 求 u x 的偏导数.
yz
u z y z 1 y x x
u yz x (ln x) zy z 1 y
u yz x (ln x) y z ln y z
15
偏导与连续的关系
在一元函数中, 可导必连续, 但对多元函数 不适用. 即, 对多元函数 f (X)而言, 即使它在 X0 的对各个自变量的偏导数都存在, 也不能保证 f (X)在 X0 连续.
y 0 0 2 2 f (0,0 y ) f (0,0) y 0 f y (0,0) lim lim =0 y 0 y 0 y y
故 z = f (x, y)在(0, 0)的两个偏导都存在．
kx 2 k lim f ( x , y ) lim 2 2 2 x 0 x (1 k ) x 0 1 k y kx
2
z 4 xy xy
2
z 0 3 x
3
2 z 2 z 观察 与 有什么关系？ xy yx
2 z 2 z 在例1中, 有 . xy yx
问题:
是否任何函数的二阶混合偏导数都相等? 若不是, 那么满足什么条件时, 二阶混合 偏导数才相等呢?
定理1 若二阶混合偏导数连续，则它们与
解 f x ( x, y ) y(1 xy) y1 y y 2 (1 xy) y1
(1,1) 1 fx
xy e ln(1 xy ) y y ln(1 xy)] ( x, y) (1 xy) [ fy 1 xy y
(1,1) 1 2 ln 2 fy
2.计算 f x x0 , y0
三种方法： (1) 用定义计算.
(2) 先计算 f x x , y , 再代值得 f x x0 , y0 ．
(3) 先计算 f x , y0 , 再计算 f x x , y0 , 再 计算f x x0 , y0 ．
例1 求z x 2 3 xy y 2在(1, 2)处的偏导数. 解
由于它们还是 x, y 的函数. 因此, 可继续讨论
( x, y ), f y ( x, y )的偏导数. fx
( x, y) 设 z f ( x, y ) 在区域D内可偏导,若 f x
( x , y ) 偏导． fy
2z f ( x , y ) f xx 2 x x x
2 z a cos 2(ax by ) 2 2 a cos 2(ax by ) 2 a 2 x 2z a cos 2(ax by ) 2b 2ab cos 2(ax by ) xy 2 z b cos 2(ax by ) 2a 2ab cos 2(ax by ) yx 2 z b cos 2(ax by ) 2b 2b 2 cos 2(ax by ) y 2
函数的方法来讨论它的导数, 称为偏导数.
定 义
设 z = f (X) = f (x, y) 在 X0 = (x0, y0) 的某邻域 U(X0)内有定义. 固定 y = y0, 在 x0 给 x 以增量 x . 相应函数增量记作
z x f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
称为 z 在点 X0 处关于 x 的偏增量.
z x f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) 如果极限 lim lim 存在 . x 0 x x 0 x
则称这个极限值为 z = f (x, y) 在 (x0, y0) 处对 x 的偏
f ( x0 , y0 ) f z 导数. 记作 f x( x0 , y0 ), 或 , x x x x0 x x x y y y y
同理, f 'y (x0, y0)存在. 只保证了x = x0 与 z
= f (x, y)的截线 2 在 M0连续. 但都不能保证曲面 z = f (x, y)在 M0连续.
在二元函数中，连续不一定能保证偏导数存在，有时某些 不连续的点，偏导数却存在. 例:函数 z x 2 y 2 在点（0,0)连续，但其偏导数不存在.
z 2x 3 y x
z 3x 2 y y
z 26 8 1 x x y2
z 34 7 y x 1
y2
或 f (x, 2) = x2 + 6x + 4, f 'x(x, 2) = 2x + 6
故 f 'x(1, 2) = 2+ 6 = 8.
练习 设f ( x, y) e 解
2z f f ( x , y ) yy 2 y y y 2z f ( x , y ) f yx yx x y
2z f ( x , y ) f xy xy y x
多元函数的偏导数和全微分
一、 偏导数的概念
二、高阶偏导数
三、可微与偏导数的关系
四、全微分
一、偏导数的定义
在二元函数 z = f (x, y)中, 有两个自变量 x, y, 但
若固定其中一个自变量, 比如, 令y = y0, 而让 x 变化.
则 z 成为一元函数 z = f (x, y0), 我们可用讨论一元
z z f x ( x, y ) 记作 f x( x, y ), , , . x x x
称为z 对自变量 x 的偏导函数(简称偏导数)
注
1.由偏导数定义知, 所谓 f (x, y) 对x 的偏
导数, 就是将 y 看作常数, 将 f (x, y) 看 作 一
元函数来定义的.因此,在实际计算时, 求 f 'x (x, y)时, 只须将 y 看作常数,用一元 函数求导公式求即可. 求 f 'y (x, y)时, 只须将 x 看作常数,用一元 函数求导公式求即可.
z 例1. 设z x y x sin y 3, 求全部二阶偏导和 3 . x
3 2 2
z 2 2 xy 1 解: x
z 2 x 2 y cos y y
2 z 2 2 x sin y 2 y
z 4 xy yx
2
z 2 2 y x 2
求导次序无关.
2 z 2 z 即: ＝ xy yx
例2 求 z sin 2 (ax by ) 的二阶偏导数 解:
z 2 sin( ax by ) cos( ax by ) a a sin 2(ax by ) x z 2 sin( ax by ) cos( ax by ) b b sin 2(ax by ) y
当 k 不同时, 极限也不同. f (x, y) 在 (0, 0)
的极限不存在 . z = f (x, y)在(0, 0)的极限不存在, 因此它
在 (0, 0)不连续.
从几何上看, f 'x (x0, y0)存在. 只保证了一
元函数 f (x, y0)在 x0 连续. 也即 y = y0 与 z = f (x, y)的截线 1 在 M0= (x0, y0 , z0)是连续的.
注： （1）二元函数的二阶导数一共有四个：
z x2
2
2z xy
2 z yx
2z y 2
二阶混合偏导数
类似, 可得三阶, 四阶, …, n 阶偏导数.
z 如 : 若 2 可偏导, 则记 x
2
2 z z 3 z 2 z , , 等等. 3 2 2 2 x x x x y y x 3
arctan
y x
ln(x 2 y 2 )在(1, 2)处对x的偏导数.
本题实质上是求 f x(1,0)，但如果先求偏导数 f x( x, y)，
运算是比较麻烦的。于 是我们先把 y固定在y 0，则
2 f ( x,0) 2 ln x，则 f x( x,0) 。 于是 f x(1,0) 2. x
例 设
z f ( x, y )
xy 2 2 , 当 x y 0时, 2 2 x y
0,
当x 2 y 2 0时,
证明：z = f (x, y)在(0, 0)的两个偏导都存在, 但 它在 (0, 0)不连续.
证 z = f (x, y)在(0, 0)的两个偏导都存在.
x 0 0 2 2 f (0 x ,0) f (0,0) lim x 0 =0 f x (0,0) lim x 0 x x 0 x
0 0
0
即
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) f x( x0 , y0 ) lim x 0 x
此时也称 f (x, y)在(x0, y0) 处对x 的偏导数存在. 否则
称f (x, y)在(x0, y0) 处对x的偏导数不存在.
f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) lim y 0 y
偏导数的概念可推广到三元以上函数中去. 比如, 设 u = f (x, y, z) .
f ( x x , y , z ) f ( x , y , z ) u x lim x 0 x
它的求法, 就是将 y, z 均看作常数来求即可.
例4 解
求u
x 2 y 2 z 2的偏导数.
三、全微分的概念
复习一元函数的微分：
y f ( x)
y f ( x 0 x ) f ( x 0 )
y Ax o(x )
dy f ( x 0 ) dx
微商
dy Ax
dy f ( x0 )x
21
lim f ( X ) f ( X 0 ) 曲面在M 0连续 X X
0
当 X 从任何方向, 沿任何曲线趋于X0时, f (X)
的极限都是 f (X0).
偏导数存在 曲面在M 0连续
曲面在M 0不连续 , 也可能偏导数Fra Baidu bibliotek在
二、高阶偏导数
( x, y ), f y ( x, y ). 设z f ( x, y )的偏导数为f x
例2 求z x 2 sin 2 y的偏导数. 解
z 2 x sin 2 y x
z x 2 cos 2 y 2 2 x 2 cos 2 y y
例3 设 z x y ( x 0, x 1), 求偏导数. 解
z yx y 1 x
z x y ln x y
2x x ux 2 2 2 2 x y z u
2y y uy 2 2 2 2 x y z u 2z z u z 2 2 2 2 x y z u
例5 已知 f ( x, y ) (1 xy) y , 求 f x(1,1), f y (1,1)
f y ( x0 , y0 ) z f 记作 f y ( x0 , y0 ), , 或 y x x y x x y
y y0
0
y y0
0
称为z = f (x, y) 在 (x0, y0) 处对 y 的偏导数.
f ( x x, y ) f ( x, y ) f x( x, y ) lim x 0 x
z x
x 0 y 0
f (0 x,0) f (0,0) (0 x) 2 0 2 0 lim lim x0 x0 x x
(不存在)
x x 2 lim lim x0 x x0 x z (不存在) 同理 x 0 y y 0
练： 求 u x 的偏导数.
yz
u z y z 1 y x x
u yz x (ln x) zy z 1 y
u yz x (ln x) y z ln y z
15
偏导与连续的关系
在一元函数中, 可导必连续, 但对多元函数 不适用. 即, 对多元函数 f (X)而言, 即使它在 X0 的对各个自变量的偏导数都存在, 也不能保证 f (X)在 X0 连续.
y 0 0 2 2 f (0,0 y ) f (0,0) y 0 f y (0,0) lim lim =0 y 0 y 0 y y
故 z = f (x, y)在(0, 0)的两个偏导都存在．
kx 2 k lim f ( x , y ) lim 2 2 2 x 0 x (1 k ) x 0 1 k y kx
2
z 4 xy xy
2
z 0 3 x
3
2 z 2 z 观察 与 有什么关系？ xy yx
2 z 2 z 在例1中, 有 . xy yx
问题:
是否任何函数的二阶混合偏导数都相等? 若不是, 那么满足什么条件时, 二阶混合 偏导数才相等呢?
定理1 若二阶混合偏导数连续，则它们与
解 f x ( x, y ) y(1 xy) y1 y y 2 (1 xy) y1
(1,1) 1 fx
xy e ln(1 xy ) y y ln(1 xy)] ( x, y) (1 xy) [ fy 1 xy y
(1,1) 1 2 ln 2 fy
2.计算 f x x0 , y0
三种方法： (1) 用定义计算.
(2) 先计算 f x x , y , 再代值得 f x x0 , y0 ．
(3) 先计算 f x , y0 , 再计算 f x x , y0 , 再 计算f x x0 , y0 ．
例1 求z x 2 3 xy y 2在(1, 2)处的偏导数. 解
由于它们还是 x, y 的函数. 因此, 可继续讨论
( x, y ), f y ( x, y )的偏导数. fx
( x, y) 设 z f ( x, y ) 在区域D内可偏导,若 f x
( x , y ) 偏导． fy
2z f ( x , y ) f xx 2 x x x
2 z a cos 2(ax by ) 2 2 a cos 2(ax by ) 2 a 2 x 2z a cos 2(ax by ) 2b 2ab cos 2(ax by ) xy 2 z b cos 2(ax by ) 2a 2ab cos 2(ax by ) yx 2 z b cos 2(ax by ) 2b 2b 2 cos 2(ax by ) y 2
函数的方法来讨论它的导数, 称为偏导数.
定 义
设 z = f (X) = f (x, y) 在 X0 = (x0, y0) 的某邻域 U(X0)内有定义. 固定 y = y0, 在 x0 给 x 以增量 x . 相应函数增量记作
z x f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
称为 z 在点 X0 处关于 x 的偏增量.
z x f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) 如果极限 lim lim 存在 . x 0 x x 0 x
则称这个极限值为 z = f (x, y) 在 (x0, y0) 处对 x 的偏
f ( x0 , y0 ) f z 导数. 记作 f x( x0 , y0 ), 或 , x x x x0 x x x y y y y
同理, f 'y (x0, y0)存在. 只保证了x = x0 与 z
= f (x, y)的截线 2 在 M0连续. 但都不能保证曲面 z = f (x, y)在 M0连续.
在二元函数中，连续不一定能保证偏导数存在，有时某些 不连续的点，偏导数却存在. 例:函数 z x 2 y 2 在点（0,0)连续，但其偏导数不存在.
z 2x 3 y x
z 3x 2 y y
z 26 8 1 x x y2
z 34 7 y x 1
y2
或 f (x, 2) = x2 + 6x + 4, f 'x(x, 2) = 2x + 6
故 f 'x(1, 2) = 2+ 6 = 8.
练习 设f ( x, y) e 解
2z f f ( x , y ) yy 2 y y y 2z f ( x , y ) f yx yx x y
2z f ( x , y ) f xy xy y x