3.4多元函数的偏导数和全微分
微积分教学课件第8章多元函数微积分学第3节偏导数与全微分
xy
x2
y2
,
0,
x2 y2 0 ，
x2 y2 0
求 f x (0,0), f y (0,0).
解
f x (0,0)
lim
x0
f (0 x, 0) x
f (0, 0)
lim 0 0 0， x0 x
同理, f y (0,0) 0 .
8
偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导 连续，
x y ,
(x)2 (y)2
lim
x0 yx
xy /
x2 y2
x2 y2
xx
lim
x0
x
2
x
2
1 2
0，
所以 z [ f x (0,0)x f y (0,0)y] o( ) ，
即 f (x, y) 在(0,0) 处不可微.
13
定理2 如果函数 z f ( x, y) 在点( x0 , y0 ) 可微
分, 则函数在该点连续.
证明 事实上, 若 z Ax By o( ) ,
则 lim z 0 , 即
0
lim
( x ,y )( 0,0 )
f
( x0
x,
y0
y)
lim[
0
f
( x0 ,
y0 )
z]
f ( x0 , y0 )，
故函数 z f ( x, y) 在点( x0 , y0 ) 处连续.
dz z dx z dy x y
可微 可偏导 12
注：可偏导不一定可微,见下面反例.
xy
f
(
x,
y)
x2 y2
0
x2 y2 0 .
多元函数的全微分与偏导数
多元函数的全微分与偏导数多元函数是数学分析中非常重要的一个概念，它描述了多个自变量对应的函数值的变化规律。
全微分和偏导数则是研究多元函数性质的重要工具。
在本文中，我们将探讨多元函数的全微分与偏导数的定义、性质和应用。
一、全微分的概念与性质1.1 全微分的定义设函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 在点$(x_{1_0},x_{2_0},\cdots,x_{n_0})$ 具有一阶连续偏导数，则在该点的全微分为：$$\mathrm{d} f=f_{x_1}\mathrm{d} x_1+f_{x_2}\mathrm{d}x_2+\cdots+f_{x_n}\mathrm{d} x_n$$其中 $f_{x_i}$ 表示 $f$ 对 $x_i$ 的偏导数，$\mathrm{d}x_i$ 表示 $x_i$ 的微小增量。
1.2 全微分的性质全微分具有以下性质：（1）全微分的值与路径无关。
即，从点 $A$ 到点 $B$ 的全微分值相等。
（2）全微分对各变量的求导顺序不影响结果。
（3）全微分的二阶导数与求导顺序无关。
二、偏导数的定义与求解方法2.1 偏导数的定义函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 对自变量 $x_i$ 的偏导数定义为：$$\frac{\partial f}{\partial x_i}=\lim_{\Delta x_i\rightarrow0}\frac{f(x_1,x_2,\cdots,x_{i-1},x_i+\Delta x_i,x_{i+1},\cdots,x_n)-f(x_1,x_2,\cdots,x_n)}{\Delta x_i}$$偏导数表示 $f$ 在某一自变量上的变化率。
2.2 偏导数的求解方法对于多元函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，求偏导数的方法如下：（1）保持其他自变量不变，对于某个自变量求导数。
（2）对于每个自变量都求一遍偏导数。
多元函数的偏导数与全微分的计算及应用
多元函数的偏导数与全微分的计算及应用多元函数是指具有多个自变量的函数，其偏导数与全微分的计算和应用是数学分析中重要的概念和工具。
本文将介绍多元函数的偏导数和全微分的计算方法，并探讨其在实际问题中的应用。
一、多元函数的偏导数计算多元函数的偏导数是指函数对于某个自变量的变化率。
对于一个自变量的偏导数，我们将其他自变量视为常数。
偏导数的计算方法如下：1. 对于一个自变量的偏导数：对于函数f(x1,x2,...,xn)，我们对第i个自变量求偏导数，表示为∂f/∂xi。
2. 对于多个自变量的偏导数：对于函数f(x1,x2,...,xn)，我们对多个自变量同时求偏导数，表示为∂f/∂xi,...,∂f/∂xn。
需要注意的是，多元函数的偏导数存在交换律，即求任意两个自变量的偏导数的次序可以交换。
二、多元函数的全微分计算多元函数的全微分是指函数在某一点附近的线性近似，表示为df = ∂f/∂x1 dx1 + ∂f/∂x2 dx2 + ... + ∂f/∂xn dxn。
全微分可以看作是偏导数的线性组合，其中∂f/∂xi表示函数对第i个自变量的灵敏度，dxi表示自变量的变化量。
三、多元函数的偏导数与全微分的应用1. 最值问题：通过计算偏导数，可以找到函数的局部极大值和极小值。
当偏导数为零或不存在时，可能存在驻点或临界点，进一步分析可以确定最值点。
2. 泰勒展开：通过计算全微分，可以得到函数在某一点附近的二阶导数信息，进而展开为泰勒级数，用于函数的近似计算。
3. 线性化分析：通过计算全微分，可以将非线性问题线性化处理，简化问题的求解过程。
在工程和科学领域中，常常使用这种方法来解决复杂的非线性问题。
4. 向量场与梯度：多元函数的梯度可以看作是一个向量场，表示了函数在各个方向上的变化率。
通过计算梯度，可以揭示函数在不同方向上的变化规律。
5. 链式法则：当函数的自变量是另一个函数的输出时，可以使用链式法则计算偏导数和全微分。
多元函数的偏导数与全微分的关系及计算方法
多元函数的偏导数与全微分的关系及计算方法一、多元函数的偏导数与全微分的定义和关系在多元函数中，每个自变量都可以对应一个偏导数。
偏导数表示在其他自变量保持不变的情况下，函数对某个自变量的变化的敏感程度。
而全微分则是函数在一个点附近的近似变化。
1. 偏导数的定义多元函数$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$关于$x_i$的偏导数，表示在$x_i$方向上的变化率，记作$\frac{\partial f}{\partial x_i}$。
其中，$\frac{\partial}{\partial x_i}$表示对$x_i$求偏导数的运算符。
2. 全微分的定义多元函数$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$在点$(x_1, x_2, \cdots, x_n)$处的全微分，表示函数在此点的一个近似变化，记作$df$。
全微分可以通过各个偏导数的线性组合表示，即$df = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$。
3. 偏导数与全微分的关系根据全微分的定义可以得到以下关系：$$df = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 +\cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$$这说明全微分$df$可以看作各个偏导数乘以相应自变量的微小变化量的累加。
二、多元函数的偏导数与全微分的计算方法计算多元函数的偏导数和全微分需要运用一些特定的计算方法，下面将介绍一些常用的方法。
1. 隐函数求导当多元函数以隐函数的形式给出时，可以通过隐函数求导的方法来计算偏导数。
高中数学备课教案多元函数的偏导数与全微分的计算
高中数学备课教案多元函数的偏导数与全微分的计算高中数学备课教案：多元函数的偏导数与全微分的计算一、引言在微积分中，多元函数的偏导数与全微分是重要的概念和计算方法。
它们在解决实际问题和优化函数时起着关键作用。
本教案将重点介绍多元函数的偏导数和全微分的计算方法，以帮助学生深入理解和掌握这一内容。
二、多元函数的偏导数2.1 一元函数的导数回顾我们首先回顾一下一元函数的导数概念。
对于函数 $y = f(x)$，其在点 $x_0$ 处的导数 $f(x_0)$ 定义为：$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$2.2 多元函数的偏导数定义对于多元函数 $z = f(x, y)$，我们可以将其变为一元函数的形式来定义偏导数。
偏导数是指在某一点上，对其中一个自变量求导时，将其他自变量视为常数。
具体地，对于函数 $z = f(x, y)$，其关于 $x$ 的偏导数记作 $\frac{\partial z}{\partial x}$，表示在点 $(x, y)$ 处，将 $y$ 视为常数，对 $x$ 求导。
$$\frac{\partial z}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x}$$同样地，我们可以定义关于 $y$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial y}$。
偏导数的计算方法与一元函数的导数类似，需要注意将其他自变量视为常数。
2.3 偏导数的求解示例现在我们通过一个实例来计算多元函数的偏导数。
考虑函数 $z =x^2 + 2xy + y^2$，计算其关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数。
对于 $\frac{\partial z}{\partial x}$，我们将 $y$ 视为常数，所以可以直接对 $x$ 求导。
多元函数的偏导数与全微分计算
多元函数的偏导数与全微分计算多元函数在数学领域中起着重要的作用，研究多元函数的性质和变化趋势需要借助于偏导数和全微分的概念和计算方法。
本文将介绍多元函数的偏导数和全微分的定义、性质及其计算方法。
一、偏导数的定义与计算方法偏导数是多元函数对于某个变量的导数，其定义如下：对于函数 $z = f(x_1, x_2, \dots, x_n)$，其中 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 是自变量，$z$ 是函数的因变量。
函数 $f$ 在某一点处对于自变量$x_i$ 的偏导数定义为：$\frac{\partial z}{\partial x_i} = \lim_{\Delta x_i \to 0} \frac{f(x_1, x_2, \dots, x_i + \Delta x_i, \dots, x_n) - f(x_1, x_2, \dots, x_n)}{\Delta x_i}$计算偏导数时，可以将多元函数看作其他变量不变，只对某一变量求导的单变量函数。
常用的计算方法有以下几种：1. 隐函数求导法当多元函数以隐式形式给出时，可以使用隐函数求导法计算偏导数。
通过对方程两边同时求导，并利用链式法则可以得到偏导数的表达式。
2. 显函数求导法当多元函数以显式形式给出时，可以直接对每个变量求导，其他自变量视作常数。
逐个变量求导后得到各个偏导数。
3. 参数方程法对于由参数方程表示的多元函数，在参数的每个分量上分别求导，并利用链式法则计算出各个偏导数。
二、偏导数的性质偏导数具有以下一些性质：1. 交换性对于偏导数来说，次序并不重要，即换序后得到的偏导数结果相同。
$\frac{\partial^2 z}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial^2 z}{\partialx_j \partial x_i}$2. 连续性如果多元函数 $f$ 的偏导函数 $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ 在某一点连续，那么该点处的偏导数存在。
多元函数的微分知识点介绍 整理人王浩
多元函数的微分知识点介绍整理人王浩多元函数的微分是求解多元函数的局部变化率的方法。
在微分学中，多元函数的微分包括偏导数和全微分两个概念。
偏导数是指某一变量在其他变量不变的情况下所产生的变化率，而全微分则是指所有变量同时改变时函数值的变化率。
1. 偏导数偏导数是导数概念在多元函数中的应用。
对于一个多元函数f(x,y)，它的偏导数df/dx和df/dy表示当变量x或y分别增加一个微小的量时，函数f的局部变化率。
它们的定义如下：df/dx = lim(f(x+Δx,y)-f(x,y))/Δx (当Δy=0时)其中，Δx和Δy分别表示x和y的增量。
需要注意的是，偏导数只对某一变量求导，其他变量视作常数，可以将其视为单变量函数的导数。
2. 全微分全微分是将多元函数视为一个整体来求解其局部变化率的方法。
如果函数f(x,y)在某一点(x0,y0)处可微分，那么它的全微分df可以表示为：df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy其中，dx和dy分别表示x和y的增量，∂f/∂x和∂f/∂y分别表示函数f在(x0,y0)处的偏导数。
需要注意的是，全微分只适用于可微分的函数。
如果函数在某些点处不可微分，那么全微分也不存在。
3. 链式法则在多元函数求导中，链式法则是一种常用的方法。
它用于求解由多个函数复合而成的函数的导数。
如果h(x)是一个由f(u)和g(v)复合而成的函数，且u=u(x)和v=v(x)是关于x的函数，那么h(x)在x处的导数可以表示为：4. 梯度梯度是多元函数中的一种重要概念，它表示函数在某一点的最大变化方向。
对于一个多元函数f(x,y)，它在某一点(x0,y0)的梯度grad(f)(x0,y0)可以表示为：可以看出，梯度是一个向量，它的方向是函数在某一点的最大变化方向，大小则表示变化率的大小。
总之，多元函数的微分是一个重要的数学工具，它可以帮助我们研究各种复杂的自然现象和社会现象，如气象学、地质学、金融学等。
多元函数的偏导数与全微分的概念及推导
多元函数的偏导数与全微分的概念及推导多元函数是指含有多个自变量的函数，偏导数是研究这类函数时常用的工具，而全微分则是近似表示函数的变化率。
本文将介绍多元函数的偏导数与全微分的概念，并进行相应的推导。
一、多元函数的偏导数多元函数的偏导数是指对于含有多个自变量的函数，我们在求解函数变化率时，只关注一个自变量的变化而将其他自变量视为常数。
具体而言，对于函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，其关于自变量$x_i$的偏导数表示为$\frac{\partial f}{\partialx_i}$，表示$f$对$x_i$的变化率。
对于二元函数$z=f(x,y)$，其偏导数分为偏导数和混合偏导数两种情况。
偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$表示$z$对$x$的变化率，$\frac{\partial z}{\partialy}$表示$z$对$y$的变化率。
混合偏导数$\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}$表示先对$x$求偏导再对$y$求偏导。
对于多元函数的偏导数计算，可以通过求偏导的方式逐个计算。
具体而言，对于多元函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，求关于$x_i$的偏导数时，将其他自变量视为常数，对$x_i$进行求导即可。
重复这个过程，可以得到所有的偏导数。
二、多元函数的全微分多元函数的全微分是函数的微小变化量。
对于二元函数$z=f(x,y)$，其全微分$\mathrm{d}z$表示$z$的微小变化量。
全微分可以通过偏导数来表示，即$\mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partialy}\mathrm{d}y$。
全微分的求解可以用来计算函数的变化率及其对应的方向，通过对全微分展开可以得到函数的线性逼近形式。
因此，全微分在数学分析和物理学中有着广泛的应用。
多元函数的偏导数与全微分
多元函数的偏导数与全微分多元函数是指含有多个自变量的函数。
在研究多元函数时，我们经常需要考虑函数在各个自变量上的变化情况。
而偏导数就是用来描述多元函数在某个自变量上的变化率。
偏导数的定义如下：对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，在某个点P(x1,x2, ..., xn)处，对第i个自变量求导得到的导数称为偏导数，记作∂f/∂xi。
偏导数表示了函数在某一方向上的变化率。
如果函数f是可微的，那么全微分df可以表示为df = ∂f/∂x1 * dx1 + ∂f/∂x2 * dx2 + ... + ∂f/∂xn * dxn，其中dx1, dx2, ..., dxn是自变量的微小变化量。
偏导数与方向导数之间存在一定的联系。
方向导数表示了函数在某一特定方向上的变化率，偏导数是方向导数在坐标轴方向上的特例。
具体来说，对于函数f(x1, x2, ..., xn)在点P(x1, x2, ..., xn)处的方向向量为d，则方向导数可以表示为Df = ∂f/∂x1 * dx1 + ∂f/∂x2 * dx2 + ... +∂f/∂xn * dxn。
当d为坐标轴方向(例如d = (1, 0, 0, ..., 0))时，方向向量的每个分量只有一个非零分量，其他分量为0，此时方向导数就变成了偏导数。
在求解多元函数的偏导数时，常常使用链式法则和求导法则。
链式法则用于求解复合函数的导数，求导法则则是求解一些特定函数的导数公式。
多元函数偏导数在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在经济学中，我们经常研究生产函数来描述生产过程中的变化率；在物理学中，偏导数可以用来表示速度、加速度等物理量的变化率。
总结一下，多元函数的偏导数是用来描述函数在某个自变量上的变化率。
全微分则是将多个自变量的偏导数通过线性组合得到的。
偏导数与方向导数密切相关，是方向导数在坐标轴方向上的特例。
在实际问题中，偏导数有着重要的应用价值。
以上就是关于多元函数的偏导数与全微分的相关内容，希望能够帮助你更好地理解和应用多元函数的求导方法。
多元函数的偏导数与全微分
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) 如果 lim 存在，则称 x 0 x 此极限为函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 处对 x 的
偏导数，记为
z f ， ，z x x0 x x0 x x x y y y y
一、偏导数的概念 二、偏导数的计算 三、全微分的概念与应用
1、偏导数的定义及其计算法
定义 1 设函数 z f ( x , y )在点 ( x0 , y0 ) 的某一 邻域内有定义，当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增 量 x 时，相应地函数有增量 f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) ，
说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全
微分存在，
定理２（充分条件）
z z 导数 、 都存在，且在点( x , y )可微分．
上述两个定理也完全适用于三元及三元以上的多 元函数.
如果函数 z f ( x , y )的偏
x z arctan 例 5 计算函数 y 的全微分.
f ( x, y ) 可以证明，对本例中的函数f (x,y), ( x , ylim ) ( 0 , 0 ) 不存在，因此它在原点不连续,但在原点的两个偏 函数都存在，这一点和一元函数是不同的.在一元 函数中，我们证明了函数可导则一定连续。
2、高阶偏导数
函数 z f ( x , y ) 的二阶偏导数为
x2 y2 0
2 2
.
x y 0
f x (0,0) f y (0,0) 0
x y z [ f x (0,0) x f y (0,0) y ] , 2 2 ( x ) ( y )
(0,0) ， 如果考虑点 P ( x , y ) 沿着直线y x 趋近于
多元函数的导数与微分
表示 PP0 (关于 l 的方向)的斜率. 当 t ® 0, x ® x0 , 割线转化为切线.
¶f 它关于 l 方向的斜率是方向导数 ¶ l .
x0
目录 上页 下页 返回 结束
例3.1 设二元函数
求 f 在点(0,0)沿方向 解：当cos q ¹ 0 时，有
? f (0,0) f (t cos q, t sin q) f (0,0) = lim t® 0 ¶l t cos q × sin 2 q sin 2 q = lim = ; 2 2 4 t ® 0 cos q + t sin q cos q
是自变量为t 的一元函数，记作
F (t ) = f ( x0 + tel ).
因此，f (x)在x0 处沿方向l 的变化率就是函数F(t)在t=0 处的导数，即
F (t ) - F (0) lim t® 0 t
f ( x0 + tel ) - f ( x0 ) = lim . t® 0 t
目录
上页
下页
目录 上页
y0
( x0 , y0 )
y
在点M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的
下页
返回
结束
注意： 函数在某点各偏导数都存在,
但在该点不一定连续.
xy , x2 y2 0 2 例如, z f ( x, y ) x y 2 2 2 0 , x y 0
显然
的方向导数.
当 cos q = 0 时，由于
f (t cos q, t sin q) - f (0,0) = 0,
¶ f (0,0) = 0. 从而 ¶l
目录 上页 下页 返回 结束
偏导数的定义
多元函数微分学偏导数与全微分
fx 1
x x2 y2
fy 1
y x2 y2
f y (0,2)
fx (0,1) 1, f y (0,2) 0
例2. u zxy 求偏导数
u x
z xy (ln
z) y
u y
z xy (ln z)x
u xyz xy1
z
例3.
f
(x,
y)
求 2z , 2z
yx xy
z x
1
1 ( y )2
(
y x2
)
y , x2 y2
x
z y
1 1 ( y)2
1 x
x x2
y2
,
x
2z yx
y2 x2 (x2 y2)2
2z xy
例6. z x3 y2 3xy3 xy 1
x2
y2 z2
,
u z
3xy2 z 2
sin
x2 y2 z2
2xy2 (x2
y2 ) cos
x2
z2
y2
2.
z
x sin
y x
cos
y x
,求
2z y 2
,
2z xy
z cos y 1 sin y ,
y
xx x
2z y 2
1 x
sin
y x
求 2z , 2z , 2z , 2z , 3z
x2 yx xy y 2 x3
z 3x2 y2 3y3 y, z 2x3 y 9xy2 x
多元函数的偏导数和全微分
多元函数的偏导数和全微分多元函数是数学中非常重要的一类函数，它可以同时依赖于多个变量。
在研究多元函数时，我们需要关注其偏导数和全微分这两个重要概念。
一、偏导数的定义和性质偏导数是指多元函数在某个变量上的导数。
对于二元函数f(x, y)，其偏导数可以定义为在某一点上，分别关于x和y的导数。
记作∂f/∂x 和∂f/∂y。
同样地，在三元函数中，我们可以定义三个偏导数∂f/∂x，∂f/∂y 和∂f/∂z。
偏导数的计算方法和一元函数的导数类似，只需要固定其他变量，将多元函数当作一元函数对某个变量求导即可。
偏导数有很多重要性质，以下是其中的一些：1. 混合偏导数的次序可以颠倒，即∂²f/(∂x∂y) = ∂²f/(∂y∂x)。
这个性质称为克拉默条件。
2. 如果混合偏导数∂²f/(∂x∂y) 和∂²f/(∂y∂x) 在某个点处连续，那么这两个偏导数必然相等。
3. 如果多元函数的所有偏导数都连续，那么它在定义域内必然是光滑的，也就是处处可微的。
二、全微分的概念和计算方式全微分是多元函数在某个点上的线性近似。
对于二元函数f(x, y)，全微分可以表示为df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy。
在三元函数中，全微分可以表示为df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy + ∂f/∂z * dz。
在计算全微分时，我们将偏导数乘以对应的变量的微分，并将它们相加。
全微分可以帮助我们近似计算函数在某个点的微小变化量。
如果一个函数在某点处连续且具有光滑的偏导数，那么全微分也是唯一确定的。
三、应用举例偏导数和全微分在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些例子：1. 梯度下降法：在机器学习中，我们常常需要优化一个目标函数。
通过计算目标函数关于各个变量的偏导数，可以确定梯度的方向，进而采取适当的步长进行迭代，最终找到目标函数的最小值。
2. 经济学中的边际效用：在经济学中，边际效用是指额外增加或减少一单位某种物品所带来的效用变化。
第二章多元函数微分法及其应用第二节偏导数与全微分
函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导
数可以选择方便的求导顺序.
- 21 -
第二节 偏导数与全微分
二 全微分
1 全微分的定义
第
八 函数 z f ( x, y) 在点 P( x, y)的某邻域内有定义，
章并设 P( x x, y y) 为这邻域内的任意一点，则
多
元称这两点的函数值之差
u x
ye xy yz2
元 函 数 的
2u xy
e xy
xye xy z2
微 分 法 及
2u 0 2 yz 2 yz xz
其
应
用
- 20 -
第二节 偏导数与全微分
问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？
第 定理. 若 fx y ( x,y)和 f y x ( x,y)都在点( x0 , y0 )连续, 则
dx
f ( x, y0 )
x
x0
z
M0
元 函 数 的
是曲线
z
f (x, y y0
y)在点
M0 处的切线
Tx
微 分
M 0Tx
对 x 轴的斜率.
o
Ty
y0
y
法 及 其 应
f
d
y
x x0 y y
0
dy
f ( x0, y)
y
y0
x0
x
用 是曲线
在点M0 处的切线 M0Ty 对 y 轴的
分 法
fz(x, y,z) ?
及
其
应
用
x x
x
x
多元函数的偏导数与全微分
多元函数的偏导数与全微分在数学分析中，偏导数与全微分是研究多元函数的重要概念。
本文将从理论和实际的角度探讨多元函数的偏导数与全微分的定义、性质和应用。
一、偏导数的定义与性质偏导数是用来描述多元函数在某一变量上的变化率。
对于一个函数f(x₁, x₂, ..., xn)，偏导数是指在其他变量固定的情况下，关于某一变量的导数。
设有函数f(x₁, x₂, ..., xn)，其中x₁, x₂, ..., xn是变量，对于i = 1,2,...,n，f对xᵢ的偏导数记作∂f/∂xᵢ。
偏导数的计算方法与一元函数类似，可以通过求极限的方式得到。
偏导数具有以下性质：1.线性性质：对于常数α, β和函数f, g，有∂(αf + βg)/∂x = α(∂f/∂x) + β(∂g/∂x)。
2.交换性质：对于任意的i, j，有∂(∂f/∂xᵢ)/∂xⱼ = ∂(∂f/∂xⱼ)/∂xᵢ。
3.对称性质：对于任意的i, j，如果混合偏导数∂²f/(∂xᵢ∂xⱼ)和∂²f/(∂xⱼ∂xᵢ)在某个区域内存在且连续，那么它们相等。
二、全微分的定义与性质全微分是用来描述多元函数在某一点处的增量与变量之间的关系。
对于一个函数f(x₁, x₂, ..., xn)，在某个点(x₁₀, x₂₀, ..., xn₀)处的全微分df记作：df = (∂f/∂x₁)dx₁ + (∂f/∂x₂)dx₂ + ... + (∂f/∂xn)dxn全微分的计算方法与一元函数类似，通过对每个变量求偏导数并乘以对应的微小增量得到。
全微分具有以下性质：1.线性性质：对于常数α, β和函数f，有d(αf + βg) = αdf + βdg。
2.链式法则：对于复合函数z = f(g(x₁, x₂, ..., xn))，其全微分可以表示为dz = (∂z/∂x₁)dx₁ + (∂z/∂x₂)dx₂ + ... + (∂z/∂xn)dxn。
3.二阶全微分：如果函数f具有二阶连续偏导数，那么df的全微分可以进一步求导得到d²f = (∂²f/∂x₁²)dx₁² + 2(∂²f/∂x₁∂x₂)dx₁dx₂ + ... + (∂²f/∂xn²)dxn²。
多元函数的偏导数与全微分论述与应用
多元函数的偏导数与全微分论述与应用一、多元函数的偏导数与全微分的定义多元函数是指具有多个自变量的函数。
对于一个具有n个自变量的函数f(x1,x2, ..., xn)，其中xi表示第i个自变量，其偏导数指的是在每个自变量上分别求导，而将其他自变量视为常数。
偏导数表示函数在某个特定自变量上的变化率。
以二元函数f(x, y)为例，分别对x和y求偏导数，可以得到偏导数表示为∂f/∂x和∂f/∂y。
这表示当y是常数时，函数f关于x的变化率；当x是常数时，函数f关于y的变化率。
全微分是对于多元函数在某一点的线性近似表示。
对于一个二元函数f(x, y)，全微分表示为df=f_x dx + f_y dy，其中f_x和f_y表示分别关于x和y的偏导数。
全微分可以用来描述函数在某一点处的微小变化量。
具体而言，对于自变量的微小变化dx和dy，函数f在该点产生的微小变化df可以通过全微分来表示。
二、多元函数偏导数的计算方法多元函数的偏导数的计算方法与一元函数的导数的计算方法类似，可以使用基本的微分法则进行计算。
对于一个具有n个自变量的函数f(x1, x2, ..., xn)，分别对每个自变量求偏导数，可以按照以下步骤进行计算：1. 将所有与求导无关的自变量视为常数。
2. 对于每个自变量，分别对其求偏导数。
对于每个自变量x_i，偏导数表示为∂f/∂x_i。
3. 求得的偏导数可以用来计算函数在不同自变量上的变化率。
三、多元函数偏导数与全微分的应用1. 最优化问题：多元函数的偏导数可以用于最优化问题的求解。
通过对各个自变量求偏导数，可以找到函数的最大值或最小值。
这在经济学、工程学和物理学等领域有广泛的应用。
2. 偏导数与曲面切平面：偏导数可以用来表示曲面在某一点处的斜率，从而可以求出曲面在该点处的切平面。
这对于三维几何和图形绘制具有重要意义。
3. 方向导数：偏导数可以用来计算函数在给定方向上的变化率。
通过对每个自变量求偏导数，然后将其与给定方向的单位矢量相乘，可以得到函数在该方向上的方向导数。
多元函数偏导数与全微分
多元函数偏导数与全微分多元函数的偏导数和全微分是微积分中非常重要的概念。
在研究多元函数的变化率和近似值时，偏导数和全微分起着至关重要的作用。
本文将对多元函数的偏导数和全微分进行详细讨论。
1. 偏导数偏导数是指多元函数对于其中某个变量的导数，其他变量视为常数。
以二元函数为例，设函数z=f(x,y)，则函数f关于x的偏导数记为∂z/∂x，表示在给定y的值下，函数z对于x的变化率。
类似地，关于y的偏导数记为∂z/∂y。
对于多元函数来说，偏导数有多个，可以依次求取。
2. 偏导数的计算计算偏导数的方法与一元函数类似，将其他变量视为常数，对目标变量求导即可。
例如，对于函数z=x^2+y^2，我们分别求偏导数。
关于x的偏导数为∂z/∂x=2x，关于y的偏导数为∂z/∂y=2y。
求导的过程中，将其他变量视为常数，对目标变量进行求导计算。
3. 偏导数的几何意义偏导数在几何上有着重要的意义。
以二元函数为例，对于函数z=f(x,y)，在点(x0,y0)处的偏导数∂z/∂x表示函数图像在该点处关于x轴的切线斜率，而∂z/∂y则表示关于y轴的切线斜率。
通过偏导数的计算，我们可以了解函数在不同方向上的变化率和趋势。
4. 全微分全微分是用线性逼近来描述函数值的微小变化。
对于函数z=f(x,y)，其全微分可以表示为dz=∂z/∂x*dx+∂z/∂y*dy。
这里的dx和dy分别是自变量x和y的微小变化量。
全微分主要用于函数值的近似计算和误差分析。
5. 全微分与偏导数的关系全微分与偏导数之间存在着密切的关系。
对于二元函数而言，全微分dz可以表示为dz=∂z/∂x*dx+∂z/∂y*dy。
其中，∂z/∂x和∂z/∂y分别是偏导数，dx和dy是自变量的微小变化量。
可以看出，全微分dz与偏导数有着相似的表达形式，但全微分考虑了两个自变量的微小变化。
6. 全微分的应用全微分在实际问题中有着广泛的应用。
通过使用全微分，我们可以对函数值进行近似计算，从而得到函数在某一点的近似值。
多元函数中的偏导数与全微分推导
多元函数中的偏导数与全微分推导在数学中，多元函数是指依赖于多个自变量的函数。
为了研究这样的函数，我们需要引入偏导数和全微分的概念。
本文将从基础概念出发，讲解多元函数中的偏导数和全微分的推导过程。
1. 偏导数的定义和性质偏导数是多元函数在某一点对某一自变量的偏导数，其他自变量保持不变。
对于二元函数 f(x,y)，它的偏导数可以表示为∂f/∂x和∂f/∂y。
偏导数的定义如下：∂f/∂x = lim(h→0) [(f(x+h,y) - f(x,y))/h]∂f/∂y = lim(k→0) [(f(x,y+k) - f(x,y))/k]在计算偏导数时，我们需要先固定其他自变量，然后对目标变量进行求导。
偏导数有以下性质：- 常数的偏导数为零；- 若函数 f 为可微分函数，则对于任意自变量，其偏导数存在。
2. 全微分的定义和性质全微分是多元函数在某一点处的线性逼近，可以用来描述函数的微小变化。
对于二元函数 f(x,y)，其全微分可以表示为df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy。
全微分的定义如下：df = f(x+Δx, y+Δy) - f(x,y)根据全微分的定义，我们可以得到以下性质：- 全微分是对函数变化的一种近似，当自变量的变化趋近于零时，全微分接近于函数的实际变化；- 若函数 f 为可微分函数，则全微分在每一点处存在。
3. 偏导数与全微分的关系偏导数与全微分之间存在一定的关系。
偏导数可以通过全微分进行计算。
对于二元函数 f(x,y)，偏导数与全微分的关系可以表示为：∂f/∂x = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy通过上述公式，我们可以将偏导数转化为全微分的形式。
在实际计算中，我们可以先计算全微分，再根据全微分的形式得到偏导数。
4. 全微分的性质全微分具有以下性质：- 全微分是函数的线性逼近；- 全微分在某一点处的值等于函数在该点局部变化的近似。
全微分的性质使得它成为研究多元函数的重要工具。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2x x ux 2 2 2 2 x y z u
2y y uy 2 2 2 2 x y z u 2z z u z 2 2 2 2 x y z u
例5 已知 f ( x, y ) (1 xy) y , 求 f x(1,1), f y (1,1)
0 0
0
即
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) f x( x0 , y0 ) lim x 0 x
此时也称 f (x, y)在(x0, y0) 处对x 的偏导数存在. 否则
称f (x, y)在y ) f ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) lim y 0 y
由于它们还是 x, y 的函数. 因此, 可继续讨论
( x, y ), f y ( x, y )的偏导数. fx
( x, y) 设 z f ( x, y ) 在区域D内可偏导,若 f x
( x , y ) 偏导． fy
2z f ( x , y ) f xx 2 x x x
解 f x ( x, y ) y(1 xy) y1 y y 2 (1 xy) y1
(1,1) 1 fx
xy e ln(1 xy ) y y ln(1 xy)] ( x, y) (1 xy) [ fy 1 xy y
(1,1) 1 2 ln 2 fy
z 例1. 设z x y x sin y 3, 求全部二阶偏导和 3 . x
3 2 2
z 2 2 xy 1 解: x
z 2 x 2 y cos y y
2 z 2 2 x sin y 2 y
z 4 xy yx
2
z 2 2 y x 2
21
lim f ( X ) f ( X 0 ) 曲面在M 0连续 X X
0
当 X 从任何方向, 沿任何曲线趋于X0时, f (X)
的极限都是 f (X0).
偏导数存在 曲面在M 0连续
曲面在M 0不连续 , 也可能偏导数存在
二、高阶偏导数
( x, y ), f y ( x, y ). 设z f ( x, y )的偏导数为f x
当 k 不同时, 极限也不同. f (x, y) 在 (0, 0)
的极限不存在 . z = f (x, y)在(0, 0)的极限不存在, 因此它
在 (0, 0)不连续.
从几何上看, f 'x (x0, y0)存在. 只保证了一
元函数 f (x, y0)在 x0 连续. 也即 y = y0 与 z = f (x, y)的截线 1 在 M0= (x0, y0 , z0)是连续的.
z x
x 0 y 0
f (0 x,0) f (0,0) (0 x) 2 0 2 0 lim lim x0 x0 x x
(不存在)
x x 2 lim lim x0 x x0 x z (不存在) 同理 x 0 y y 0
注： （1）二元函数的二阶导数一共有四个：
z x2
2
2z xy
2 z yx
2z y 2
二阶混合偏导数
类似, 可得三阶, 四阶, …, n 阶偏导数.
z 如 : 若 2 可偏导, 则记 x
2
2 z z 3 z 2 z , , 等等. 3 2 2 2 x x x x y y x 3
练： 求 u x 的偏导数.
yz
u z y z 1 y x x
u yz x (ln x) zy z 1 y
u yz x (ln x) y z ln y z
15
偏导与连续的关系
在一元函数中, 可导必连续, 但对多元函数 不适用. 即, 对多元函数 f (X)而言, 即使它在 X0 的对各个自变量的偏导数都存在, 也不能保证 f (X)在 X0 连续.
例2 求z x 2 sin 2 y的偏导数. 解
z 2 x sin 2 y x
z x 2 cos 2 y 2 2 x 2 cos 2 y y
例3 设 z x y ( x 0, x 1), 求偏导数. 解
z yx y 1 x
z x y ln x y
三、全微分的概念
复习一元函数的微分：
y f ( x)
y f ( x 0 x ) f ( x 0 )
y Ax o(x )
dy f ( x 0 ) dx
微商
dy Ax
dy f ( x0 )x
f y ( x0 , y0 ) z f 记作 f y ( x0 , y0 ), , 或 y x x y x x y
y y0
0
y y0
0
称为z = f (x, y) 在 (x0, y0) 处对 y 的偏导数.
f ( x x, y ) f ( x, y ) f x( x, y ) lim x 0 x
y 0 0 2 2 f (0,0 y ) f (0,0) y 0 f y (0,0) lim lim =0 y 0 y 0 y y
故 z = f (x, y)在(0, 0)的两个偏导都存在．
kx 2 k lim f ( x , y ) lim 2 2 2 x 0 x (1 k ) x 0 1 k y kx
2.计算 f x x0 , y0
三种方法： (1) 用定义计算.
(2) 先计算 f x x , y , 再代值得 f x x0 , y0 ．
(3) 先计算 f x , y0 , 再计算 f x x , y0 , 再 计算f x x0 , y0 ．
例1 求z x 2 3 xy y 2在(1, 2)处的偏导数. 解
z 2x 3 y x
z 3x 2 y y
z 26 8 1 x x y2
z 34 7 y x 1
y2
或 f (x, 2) = x2 + 6x + 4, f 'x(x, 2) = 2x + 6
故 f 'x(1, 2) = 2+ 6 = 8.
练习 设f ( x, y) e 解
z z f x ( x, y ) 记作 f x( x, y ), , , . x x x
称为z 对自变量 x 的偏导函数(简称偏导数)
注
1.由偏导数定义知, 所谓 f (x, y) 对x 的偏
导数, 就是将 y 看作常数, 将 f (x, y) 看 作 一
元函数来定义的.因此,在实际计算时, 求 f 'x (x, y)时, 只须将 y 看作常数,用一元 函数求导公式求即可. 求 f 'y (x, y)时, 只须将 x 看作常数,用一元 函数求导公式求即可.
偏导数的概念可推广到三元以上函数中去. 比如, 设 u = f (x, y, z) .
f ( x x , y , z ) f ( x , y , z ) u x lim x 0 x
它的求法, 就是将 y, z 均看作常数来求即可.
例4 解
求u
x 2 y 2 z 2的偏导数.
arctan
y x
ln(x 2 y 2 )在(1, 2)处对x的偏导数.
本题实质上是求 f x(1,0)，但如果先求偏导数 f x( x, y)，
运算是比较麻烦的。于 是我们先把 y固定在y 0，则
2 f ( x,0) 2 ln x，则 f x( x,0) 。 于是 f x(1,0) 2. x
2 z a cos 2(ax by ) 2 2 a cos 2(ax by ) 2 a 2 x 2z a cos 2(ax by ) 2b 2ab cos 2(ax by ) xy 2 z b cos 2(ax by ) 2a 2ab cos 2(ax by ) yx 2 z b cos 2(ax by ) 2b 2b 2 cos 2(ax by ) y 2
2z f f ( x , y ) yy 2 y y y 2z f ( x , y ) f yx yx x y
2z f ( x , y ) f xy xy y x
例 设
z f ( x, y )
xy 2 2 , 当 x y 0时, 2 2 x y
0,
当x 2 y 2 0时,
证明：z = f (x, y)在(0, 0)的两个偏导都存在, 但 它在 (0, 0)不连续.
证 z = f (x, y)在(0, 0)的两个偏导都存在.
x 0 0 2 2 f (0 x ,0) f (0,0) lim x 0 =0 f x (0,0) lim x 0 x x 0 x
求导次序无关.
2 z 2 z 即: ＝ xy yx
例2 求 z sin 2 (ax by ) 的二阶偏导数 解:
z 2 sin( ax by ) cos( ax by ) a a sin 2(ax by ) x z 2 sin( ax by ) cos( ax by ) b b sin 2(ax by ) y
同理, f 'y (x0, y0)存在. 只保证了x = x0 与 z
= f (x, y)的截线 2 在 M0连续. 但都不能保证曲面 z = f (x, y)在 M0连续.
在二元函数中，连续不一定能保证偏导数存在，有时某些 不连续的点，偏导数却存在. 例:函数 z x 2 y 2 在点（0,0)连续，但其偏导数不存在.
称为 z 在点 X0 处关于 x 的偏增量.