函数的凹凸性与拐点

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二次函数的拐点与凹凸性判断

二次函数的拐点与凹凸性判断

二次函数的拐点与凹凸性判断二次函数是一种常见的数学函数形式,其一般表示形式为y = ax^2 + bx + c,其中a、b、c为常数,且a ≠ 0。

二次函数的图像通常呈现出抛物线的形状,而拐点和凹凸性是抛物线特征之一。

在本文中,将讨论如何判断二次函数的拐点以及凹凸性。

一、拐点的判断拐点也被称为转折点,是指函数曲线由凸向上转为凸向下,或由凸向下转为凸向上的点。

对于二次函数y = ax^2 + bx + c,其拐点可以通过函数的导数来确定。

首先,我们需要求出二次函数的导数。

二次函数的导数是一次函数,其一般表示形式为y' = 2ax + b。

由于二次函数是曲线而非直线,因此存在拐点的情况。

当导数y' = 0时,表示函数的斜率为零,即函数出现了拐点。

那么我们可以通过求导数y' = 0的解来确定二次函数的拐点。

假设y' = 2ax + b = 0,则有x = -b / (2a)。

这样,我们就获得了二次函数的拐点横坐标x值。

将该x值代入原函数中,即可求得拐点的纵坐标y值。

通过上述步骤,我们可以准确地确定二次函数的拐点坐标。

需要提醒的是,在判断二次函数的拐点时,应先求出导数,再求导数为零时的解,最后代入求得拐点坐标。

二、凹凸性的判断凹凸性是指函数图像曲线的凹凸形状,即函数图像的上凸与下凸。

同样地,二次函数的凹凸性可以通过二次函数的导数来判断。

凹凸性与导数的正负相关。

当导数y' > 0时,函数图像为凸向上的抛物线;当导数y' < 0时,函数图像为凸向下的抛物线。

因此,我们只需求出二次函数的导数,并判断导数的正负性即可确定二次函数的凹凸性。

需要注意的是,二次函数的凹凸性在拐点处发生改变。

在拐点左侧,二次函数的凹凸性与导数的正负性一致;而在拐点右侧,二次函数的凹凸性与导数的正负性相反。

由于凹凸性与导数的正负有关,若要确定二次函数的凹凸性,可按照以下步骤进行:1. 求出二次函数的导数y'。

函数的凹凸性和拐点

函数的凹凸性和拐点

函数的凹凸性和拐点
函数的凹凸性和拐点是微积分中的重要概念,用于研究函数图像的形态和性质。

下面
将分别对凹凸性和拐点进行详细介绍。

一、凹凸性
在数学中,一个函数在某一区间上的凹凸性是指函数图像在该区间上是向上凸或向下凸。

几何上,一个曲线在某点处向上凸表明曲线凹向上方,而向下凸则表明曲线凹向下方。

凹凸性的判断方法是通过函数的二阶导数来进行。

如果函数的二阶导数大于零,则函
数在该点处向上凸;反之,如果函数的二阶导数小于零,则函数在该点处向下凸。

函数的图像如果是向上凸的,则可以将其形容为“形如碗状”,反之则形容为“形如
山状”或“钩状”。

在具体的分析中,凹凸性可作为确定函数的最值和极值的重要参考。

二、拐点
拐点是指函数图像上的一点,该点处曲线的凹凸性发生变化。

在拐点之前,函数图像
呈现一种凹凸性,而在拐点之后,则呈现相反的凹凸性。

因此,拐点也被称为凹凸性变化点。

拐点的判断方法是通过函数的二阶导数进行判断。

如果函数在某一点处的二阶导数发
生了从正数变成负数,或从负数变成正数的变化,则该点即为拐点。

在实际分析中,拐点
可用于确定函数的折线形态,以及确定函数的最值和极值。

综上所述,函数的凹凸性和拐点是微积分中的重要概念,用于研究函数图像的性质和
形态。

凹凸性可以帮助我们更好地理解函数的最值和极值,而拐点则可以帮助我们确定函
数的折线形态,以及确定函数的最值和极值。

在实际运用中,我们应该结合具体问题进行
分析,寻找函数的凹凸性和拐点,以便更好地解决问题。

函数的凹凸性与拐点的定义与求法

函数的凹凸性与拐点的定义与求法

f ′′( x0 ) = 0, 而 f ′′′( x0 ) ≠ 0 , 那末 ( x0 , f ( x0 )) 是曲 线 y = f ( x ) 的拐点.
例3 求曲线 y = sin x + cos x ([0,2π ]内) 的拐点. 解 y′ = cos x − sin x , y′′ = − sin x − cos x ,
注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线 注意 拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 拐点处的切线必在拐点处穿过曲线 2.拐点的求法 2.拐点的求法
( 理2 定 2 如 f (x)在 x0 − δ , x0 + δ )内 在 阶 理 果 存 二 导
( x0 , f ( x0 ))是拐点的必要条件是f "( x0 ) = 0. 数则 , 点
一、曲线凹凸的定义
问题:如何研究曲线的弯曲方向 问题 如何研究曲线的弯曲方向? 如何研究曲线的弯曲方向
y
C
B
A
o
x
y
y = f (x)
y
y = f (x)
o
x1
x2 x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段位 于所张弦的下方
图形上任意弧段位 于所张弦的上方
( 定义 设f ( x)在 a, b)内连续, 如果对(a, b)内任意 x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) )< , 两点x1, x2 , 恒有 f ( 2 2 ( 那末称 f ( x)在 a, b)内的图形是凹的; 如果对 a, b)内任意两点 x1, x2 , 恒有 ( x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) f( )> , 2 2 ( 那末称 f ( x)在 a, b)内的图形是凸的;

函数的凹凸性与拐点的判定

函数的凹凸性与拐点的判定

函数的凹凸性与拐点的判定在微积分中,函数的凹凸性与拐点是非常重要的概念。

凹凸性描述了函数曲线的弯曲情况,而拐点则表示曲线的方向发生改变的点。

凹凸性和拐点的判定对于函数的研究和应用具有重要作用。

本文将介绍函数凹凸性和拐点的概念,并讨论如何判定和应用。

一、函数的凹凸性函数的凹凸性是指函数曲线的弯曲情况。

我们可以通过函数的二阶导数来判断函数的凹凸性。

1. 定义设函数f(x)在区间I上具有二阶导数,如果对于任意x1和x2∈I,有f''(x)>0,则函数f(x)在区间I上是凹函数;如果对于任意x1和x2∈I,有f''(x)<0,则函数f(x)在区间I上是凸函数。

2. 凹凸点根据函数的凹凸性质,我们可以定义凹凸点。

若对于函数f(x)的定义域I上的某一点x0,存在一个区间(x0-δ,x0+δ),在该区间内f(x)是凹函数,那么称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个凹点;若在区间(x0-δ,x0+δ)内f(x)是凸函数,则称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个凸点。

二、拐点的判定拐点表示函数曲线的方向发生改变的点。

我们可以通过函数的二阶导数来判断拐点。

1. 定义设函数f(x)在区间I上具有二阶导数。

如果在某一点x0∈I处,f''(x0)=0,并且f''(x0-)和f''(x0+)的符号相反,则称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个拐点。

2. 拐点的性质拐点具有以下性质:- 在拐点处,函数的凹凸性发生改变,由凸转为凹或由凹转为凸。

- 拐点不一定存在,只有当函数曲线的凹凸性发生改变时,才会有拐点。

- 如果函数曲线有k个拐点,那么至多有k+1个不同的凹凸区间。

三、判定和应用判定函数的凹凸性和拐点的方法可以通过以下步骤进行。

1. 求导数首先,求出函数f(x)的一阶和二阶导数f'(x)和f''(x)。

第三章第三节函数的凹凸性与拐点及函数作图

第三章第三节函数的凹凸性与拐点及函数作图

x
f ( x )
(,0)
0 0


(0,1)
f ( x)
f ( x)

极大值2


0
拐点(1, )
4 3
1
(1,2)
2
(2,)



极小值2 3
0

(4)无渐近线 (5) 与 y 轴交点(0,2) (6) 作图,如右图。
y
2
0
1
2
x
例5 作函数 y e
x2
的图形
(, ) 解 (1)函数定义域:
x
y
y
(,2)


2 0
(2,2) 拐点
(2,ห้องสมุดไป่ตู้)


曲线在区间( ,2) 是凸的,在区间 ( 2,) 内是凹的,拐点 (2,2) ,如下图。
y
0
1 2
x
二、曲线的渐近线
定义3 曲线 y f ( x)上的动点沿曲线无限远离 原点时,如果动点与定直线L的距离趋于零,则称 L为曲线的渐近线。 曲线的渐近线可分为水平、铅直和斜渐近线。 1、水平渐近线
, lim arctan x
x

2
,
及 y

2
y
是曲线的两条水平渐近线。

2
0


2
x
2、铅直渐近线 如果函数 y f ( x) 有 lim f ( x) 或 lim f ( x) , 则称直线 x a是曲线 y f ( x) 的一条铅直渐近线。
1 例3 求曲线 y 的水平和铅直渐近线。 x2
定理 设函数 y f ( x) 在区间[a,b]内具有二阶导 数, (1) 如果在区间[a, b]内 f ( x) 0 ,则曲线在 区间[a, b]内是凹的; (2) 如果在区间[a, b]内 f ( x) 0 ,则曲线在 区间[a, b]内是凸的; 定义2 连续曲线上凹弧和凸弧的分界点称为

函数的凹凸性与拐点

函数的凹凸性与拐点
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课程思政
课程思政:奥运精神 播放视频《谷爱凌自由式滑雪夺冠》
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曲线的凹凸性正如滑雪运动员在跳台上滑过的优美曲线。北京2022 年冬奥会自由式滑雪女子大跳台决赛,中国选手谷爱凌在最后一跳中 首次跳出了1620的超高难度,夺得金牌! 赛后,谷爱凌表示,采取超 高难度动作,想要挑战自己,并不是为了赢对手,展示自己的体育精 神。谷爱凌希望自己的精神,让大家能够体会体育精神,做到打破和 突破,成就最好的自己。我们在学习和生活中也应该向她学习不屈不 挠的奥运精神,突破自己,展现自我。
凹的
99
2凹凸性的定理 练习2 求函数y x4的凹凸性
1100
谢谢观看
2凹凸性的定理
定理 设函数 y f (x) 在 (a,b)内有二阶导数。 那么(1)若在 (a,b) 内 f (x) 0,则曲线在 (a,b) 内上凹。 (2)若在 (a,b) 内 f (x) 0,则曲线在 (a,b)内下凹。
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2凹凸性的定理
拐点:如果点P的两侧,函数的凹凸性不一样,那么 这样的点P叫做函数的拐点。
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2凹凸性的定理
例2 求曲线 y 3x4 4x3 1的拐点及凹、凸的区间
解: D : (,)
y 12x3 令y 0,
12x2 , 得 x1
0,
y x2
36x(x 2. 3
2). 3
x
(,0)
0
(0, 23)
2 3
(
2 3
,)
f (x)
00Biblioteka 拐点拐点f (x)
凹的
0,1 凸的
(2,11) 3 27
曲线的凹凸性与拐点
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函数的凹凸性与拐点

函数的凹凸性与拐点
则 x0 为极大值点;
o
y
x0
x
(2) 若 x ( x0 , x0 ) 时, f ( x) 0 ,

x ( x0 , x0 ) 时, f ( x) 0 , o
x0

x
则 x0 为极小值点;
(3) 如果在上述两个区间内 f ( x) 同号,则x0 不是极值点.
极值点是函数单调性发生改变的点, 即为单调区间 的分界点.
f ( x1 x2 )
凹(上2 凹、下凸)
o x1 x1 x2 x2
2
xo
f ( x1 x2 ) 2
y f (x)
f ( x1 ) f ( x2 ) 2
凸 (下凹、上凸)
x1 x1 x2 x2
x
2
图形上任意弧段位于 所张弦的下方:凹
图形上任意弧段位于 所张弦的上方:凸
f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) . f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) .
令y 0,

x1
0,
x2

2. 3
3
x
(,0)
0
(0, 2 3)
2 3
(23 ,)
f ( x)
0
0

f ( x) 拐点
拐点

f (x)的凹区间为(, 0), ( 2 , +)
凸区间为 [0, 2] 3
3
拐点:(0,1),(2 3 ,1127).
11
例3 求曲线 y (x 1) 3 x2 的凹凸区间与拐点.
y
拐点 非拐点
12
例3 求曲线 y (x 1) 3 x2 的凹凸区间与拐点.

函数的凹凸性与拐点

函数的凹凸性与拐点

图1函数的单调性可用函数的一阶导函数来判定,对于同样的递增函数有着不同的增法,如向上凸的增或凹的增,那么对于这两种不同的增法我们如何刻画呢?一、曲线的凹凸与拐点1.曲线的凹凸定义和判定法从图1可以看出曲线弧ABC 在区间()c a ,内是向下凹入的,此时曲线弧ABC 位于该弧上任一点切线的上方;曲线弧CDE 在区间()b c ,内是向上凸起的,此时曲线弧CDE 位于该弧上任一点切线的下方.关于曲线的弯曲方向,我们给出下面的定义:定义1 如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的上方,那么此曲线弧叫做在该区间内是凹的;如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的下方,那么此曲线弧叫做在该区间内是凸的.例如,图1中曲线弧ABC 在区间()c a ,内是凹的,曲线弧CDE 在区间()b c ,内是凸的. 由图1还可以看出,对于凹的曲线弧,切线的斜率随x 的增大而增大;对于凸的曲线弧,切线的斜率随x 的增大而减小.由于切线的斜率就是函数()x f y =的导数,因此凹的曲线弧,导数是单调增加的,而凸的曲线弧,导数是单调减少的.由此可见,曲线()x f y =的凹凸性可以用导数()x f '的单调性来判定.而()x f '的单调性又可以用它的导数,即()x f y =的二阶导数()x f ''的符号来判定,故曲线()x f y =的凹凸性与()x f ''的符号有关.由此提出了函数曲线的凹凸性判定定理:定理1 设函数()x f y =在()b a ,内具有二阶导数.(1)如果在()b a ,内,()x f ''>0,那么曲线在()b a ,内是凹的;(2)如果在()b a ,内,()x f ''<0,那么曲线在()b a ,内是凸的. x y o ()y f x =A B x yo ()y f x =A B图2例1 判定曲线3x y =的凹凸性.2.拐点的定义和求法定义2 连续曲线上凹的曲线弧和凸的曲线弧的分界点叫做曲线的拐点. 定理2(拐点存在的必要条件) 若函数()x f 在0x 处的二阶导数存在,且点()()00,x f x 为曲线()x f y =的拐点,则().00=''x f我们知道由()x f ''的符号可以判定曲线的凹凸.如果()x f ''连续,那么当()x f ''的符号由正变负或由负变正时,必定有一点0x 使()0x f ''=0.这样,点()()00,x f x 就是曲线的一个拐点.因此,如果()x f y =在区间()b a ,内具有二阶导数,我们就可以按下面的步骤来判定曲线()x f y =的拐点:(1) 确定函数()x f y =的定义域;(2) 求()x f y ''='';令()x f ''=0,解出这个方程在区间()b a ,内的实根;(3) 对解出的每一个实根0x ,考察()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号.如果()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号相反,那么点()()00,x f x 就是一个拐点,如果()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号相同,那么点()()00,x f x 就不是拐点.例2 求曲线233x x y -=的凹凸区间和拐点.解 (1)函数的定义域为()+∞∞-,;(2)()1666,632-=-=''-='x x y x x y ;令0=''y ,得1=x ;(3)列表考察y ''的符号(表中“∪”表示曲线是凹的,“∩” 表示曲线是凸的): x()1,∞- 1 ()+∞,1 y ''- 0 + 曲线y ∩ 拐点 ()2,1- ∪由上表可知,曲线在()1,∞-内是凸的,在()+∞,1内是凹的;曲线的拐点为()2,1-.例3 已知点(1,3)为曲线32y ax bx =+的拐点,求,a b的值。

函数的凹凸性与拐点

函数的凹凸性与拐点

函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性和拐点是数学中的重要概念,它们可以帮助我们了解函数的特性和性质。

本文将介绍函数的凹凸性和拐点,并解释它们的意义和用法。

一、函数的凹凸性函数的凹凸性是指函数图像在某个区间上是否呈凹曲面或凸曲面。

具体来说,对于函数f(x)在区间I上连续二阶可导,若对于任意的x1,x2∈I且x1<x2,有f''(x)>0,则函数在区间I上是凹函数;若对于任意的x1,x2∈I且x1<x2,有f''(x)<0,则函数在区间I上是凸函数。

凹凸性可以从图像上观察得出。

对于凹函数而言,在函数图像的任意两点之间,曲线位于连接两点的弦的上方。

相反,凸函数在任意两点之间,曲线位于连接两点的弦的下方。

函数的凹凸性在数学和经济学中有广泛的应用。

在最优化问题中,我们常常需要求一个函数的极值点,而函数的凹凸性可以帮助我们判断极值点的性质。

此外,在经济学中,凸函数常用于描述生产函数、效用函数等经济关系。

二、拐点拐点是指函数图像由凹转为凸,或由凸转为凹的点。

具体来说,对于函数f(x)在区间I上连续二阶可导,若存在一个点c∈I,使得f在c 的左侧是凹函数,在c的右侧是凸函数(或反过来),则称c是函数f 的一个拐点。

拐点可以用来确定函数曲线上的转折点。

在拐点处,函数曲线的凹凸性发生变化,这也意味着函数的斜率也会发生变化。

拐点的确定可以通过求函数的二阶导数来实现。

当函数的二阶导数存在,且在某个点c处二阶导数为零,此时有可能存在拐点。

拐点的概念在工程、经济学和物理学等领域都有应用。

在工程中,拐点可以帮助我们确定材料的断裂点;在经济学中,拐点可以帮助我们分析市场供需关系的变化;在物理学中,拐点可以帮助我们理解物体的运动和变形特性。

综上所述,函数的凹凸性和拐点是数学中重要的概念,它们可以帮助我们分析函数的特性,并在实际问题中得到应用。

通过研究函数的凹凸性和拐点,我们可以更好地理解和运用数学知识。

高等数学第6章第5节函数的凹凸性个与拐点

高等数学第6章第5节函数的凹凸性个与拐点

§5.函数的凹凸性个与拐点引言上面已经讨论了函数的升降与极值,这对函数性状的了解是有很大作用的.为了更深入和较精确地掌握函数的性状,我们在这里再讲述一下有关函数凸性的概念及其与函数二阶导数的关系.什么叫函数的凸性呢?我们先以两个具体函数为例,从直观上看一看何谓函数的凸性.如函数y 所表示的曲线是向上凸的,而2y x =所表示的曲线是向下凸的,这与我们日常习惯上的称呼是相类似的.或更准确地说:从几何上看,若y =f(x)的图形在区间I 上是凸的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方;若y =f(x)的图形在区间I 上是凹的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方.如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢?在曲线上任取两点A 、B ,设其坐标分别为11(,())x f x 、22(,())x f x ,弦AB 在曲线上方⇔12(,)x x x ∀∈,有211121()()()()()f x f x f x f x x x x x -≤+--,可简化为(0,1)λ∀∈,12,x x I ∀∈都有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-,从而有以下定义:一、 凸(凹)函数的定义及判定1 凸(凹)函数的定义定义1 设函数f 为定义在区间I 上的函数,若对I 上任意两点1x 、2x 和任意实数(0,1)λ∈总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-,则称f 为I 上的凸函数.反之,如果总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≥+-,则称f 为I 上的凹函数.注 易证:若一f 为区间I 上的凸函数,则f 为区间I 上的凹函数,因此,今后只讨论凸函数的性质即可.2、凸函数的判定1引理 f 为I 上的凸函数⇔对于I 上任意三点123x x x <<总有:32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤-- 注 同理可证:有上任意三点对上的凸函数为,321x x x I I f <<⇔232313131212)()()()()()(x x x f x f x x x f x f x x x f x f --≤--≤-- (4) 如果f 是I 上的可导函数,则进一步有:2 定理6.13(可导函数为凸函数的等价命题) 设f 为区间I 上的可导函数,则下述论断互相等价:(1)f 为I 上的凸函数;(2)f '为I 上的增函数;(3)对I 上的任意两点12,x x 总有21121()()()()f x f x f x x x '≥+-如果f 在I 上二阶可导,则进一步有:3定理6.14(凸函数与二阶导数的关系) 设f 为I 上的二阶可导函数,则在I 上f 为凸(凹)函数⇔()0f x ''>(()0f x ''<),x I ∈. 二、 曲线的拐点定义及判定1 定义2 设曲线y =f(x)在点(00,()x f x )处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的,这时称(00,()x f x )为曲线y =f(x)的拐点.注:拐点是严格凸与严格凹的分界点2定理6.15(拐点必要条件) 若f 在0x 二阶可导,则(00,()x f x )为曲线y =f(x)的拐点的必要条件是0()0f x ''=.综上知:(00,()x f x )的拐点,则要么(1)0()0f x ''=;要么(2)f 在0x 点不可导.3定理6.16 设f 在点0x 可导,在某邻域0()U x 内二阶可导,若在0()U x +和0()U x -上()f x ''的符号相反,则(00,()x f x )为曲线y =f(x)的拐点.;注:(00,()x f x )是曲线y=f (x)的一个拐点,但y =f(x)在点0x的导数不一定存在,如y =在x =0的情形.三、应用举例(1)利用上述等价命题验证函数的凹凸性,确定凹凸区间.例1 讨论函数()arctan f x x =的凸(凹)性及拐点.(2)证明不等式例2:(Jensen 不等式)若f 为],[b a 上凸函数,则对任意),,2,1(0],,[n i b a x i i =>∈λ11=∑=n i i λ,有)()(11ini i i n i i x f x f ∑∑==≤λλ 例3 证明均值不等式:,,,21+∈∀R a a a n 有na a a a a a a a a nn n n n +++≤≤+++ 212121111 作业:P153 1(2)(4),2,3,4,5。

19 函数的凹凸性与拐点

19 函数的凹凸性与拐点

H ( p)
p3
p3 (1
p)3
,0
p 1
预示他所在的党在这届众议院里将得到的席位占总席位数的比率。我们分析一下 House 函
数的凹凸性。有 H ( p) 在 (0, 1 ) 内是凹的,在 ( 1 ,1) 内是凸的, p 1 是拐点。
2
2
2
注 House 函数基本反映了美国众议院席位的实际情形。例如在 1936 年的选举中罗斯福赢
ln
x1
x2
xn n
ln x1
ln x2 ln xn n
1
ln(x1 x2 xn ) n
即n
x1 x2 xn
x1
x2
n
xn
例 10.利用函数图形的凹凸性,证明不等式 e x
ey
x y
e 2 ,(x
y)
2
证 因为 f (x) e x 在 R 内为凹。由凹函数的定义即可得。
得 61%的选票,由 House 函数估计民主党在众议院中分得席位的比率是
H (0.61)
0.613 0,613 0.393
0.793(79.3%)
实际上,当年民主党在众议院获得 333 个席位,占总席位的 78.9%,与预测结果相差无 几。当然,它也并不总是非常准确的。最大的差别出现在 1984 年里根连任时。里根得到了 59%的选票,由 House 函数计算共和党在众议院可以得到约 75%的席位,但实际只得到 48% 的席位,相差 25 个百分点。这是由多方面的原因造成的。
列表:
x
(, 1)
1
( 1 , 0)
0
5
5
5
y

0
+

函数的凹凸性与拐点

函数的凹凸性与拐点

函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性以及拐点是微积分中重要的概念,它们能够帮助我们更好地理解函数的性质和行为。

在本文中,我们将详细探讨函数的凹凸性以及如何确定函数的拐点。

一、函数的凹凸性函数的凹凸性描述了函数曲线的弯曲程度。

具体而言,我们可以通过观察函数的二阶导数来确定函数是凹还是凸。

1. 凹函数:如果函数的二阶导数在定义域内恒小于等于零,则该函数被称为凹函数。

凹函数的图像呈现出一种向下的弯曲形状。

举例来说,考虑函数f(x),它在定义域内处处可导。

我们可以检查函数的二阶导数f''(x)是否小于等于零。

如果f''(x) <= 0对于所有x都成立,则函数f(x)是一个凹函数。

2. 凸函数:与凹函数相反,如果函数的二阶导数在定义域内恒大于等于零,则该函数被称为凸函数。

凸函数的图像呈现出一种向上的弯曲形状。

举例来说,考虑函数g(x),它在定义域内处处可导。

我们可以检查函数的二阶导数g''(x)是否大于等于零。

如果g''(x) >= 0对于所有x都成立,则函数g(x)是一个凸函数。

请注意,如果函数的二阶导数既不小于等于零也不大于等于零,那么该函数既不是凹函数也不是凸函数。

二、函数的拐点拐点是函数曲线上的一个特殊点,它代表了函数从凹转为凸或从凸转为凹的位置。

通过找到函数的拐点,我们可以进一步了解函数的曲线的形状。

1. 拐点的判定要确定函数的拐点,我们需要观察函数的二阶导数的变化情况。

首先,我们找到函数f(x)在定义域内的所有驻点,即一阶导数f'(x)等于零的点。

然后,我们计算这些驻点对应的二阶导数f''(x)的值。

- 如果二阶导数f''(x)在某个驻点x处由负转正,那么该点就是函数的拐点。

- 如果二阶导数f''(x)在某个驻点x处由正转负,那么该点也是函数的拐点。

需要注意的是,函数的拐点并不一定都存在。

微分学中函数的凹凸性与拐点

微分学中函数的凹凸性与拐点

微分学中函数的凹凸性与拐点微分学是数学中一个重要的分支,通过研究函数的变化率和曲线的特征,可以帮助我们更好地理解数学和物理问题。

其中,函数的凹凸性和拐点是微分学中的两个重要概念,它们可以帮助我们分析函数的性质和图像的特点。

一、函数的凹凸性函数的凹凸性表示的是函数曲线的弯曲程度。

具体来说,若函数$y=f(x)$在区间$I$上连续且在$I$上有可导的二阶导数,则函数$f(x)$在该区间的凹凸性可通过二阶导数的正负性进行判断。

1. 凹函数与凸函数函数$f(x)$在区间$I$上是凹函数,当且仅当对于区间$I$上的任意两个不同的实数$x_1,x_2$以及介于它们之间的任意实数$t \in (0,1)$,有以下不等式成立:$$f(tx_1 + (1-t)x_2) \ge tf(x_1) + (1-t)f(x_2)$$即曲线的下方比直线连接处更低。

而函数$f(x)$在区间$I$上是凸函数,则是指对于区间$I$上的任意两个不同的实数$x_1,x_2$以及介于它们之间的任意实数$t \in (0,1)$,有以下不等式成立:$$f(tx_1 + (1-t)x_2) \le tf(x_1) + (1-t)f(x_2)$$即曲线的下方比直线连接处更高。

2. 判定凹凸性的方法通过计算函数的二阶导数可以判断函数的凹凸性。

若函数$f(x)$在区间$I$上连续并且两阶可导,且对于区间$I$上任意$x$,有$f''(x)>0$,则函数$f(x)$在区间$I$上是凹的;若对于区间$I$上任意$x$,有$f''(x)<0$,则函数$f(x)$在区间$I$上是凸的。

二、函数的拐点函数的拐点是指函数曲线由凸转为凹,或由凹转为凸的点。

具体来说,若函数$y=f(x)$在区间$I$上连续且在$I$上有可导的二阶导数,则函数$f(x)$在该区间的拐点可以通过二阶导数的变号来判断。

1. 判定拐点的方法通过计算函数的二阶导数的符号变化可以判断函数的拐点。

函数凹凸性和拐点

函数凹凸性和拐点
函数凹凸性和拐点
xxxxxxxxxxx
2
目录
CONTENTS
1
函数的凹凸际应用
3
在数学和优化理论中,函数的凹凸性和 拐点是描述函数形态和变化的重要概念
这些特性对于理解函数的性质,以及寻 找最优解有着至关重要的作用
PART 1
函数的凹凸性
01
在二维平面上,一个函数如果是上凸的(或称为"凹"),那么 它的图形看起来像一个倒置的U型,或者像一个山丘。相反,
PART 3
实际应用
函数的凹凸性和拐点在很多实际应用中都有重要地位。例如,在经济学中,函数的凹凸性可以用来 描述一种商品的需求和价格之间的关系。如果需求对价格是凹的(即需求随着价格的上升而下降得越 来越快),那么我们可能会观察到价格和需求量之间有单向的关系。相反,如果需求对价格是凸的 (即需求随着价格的上升而下降的速度减慢),那么价格和需求量之间可能存在一种"非线性"的关系
此外,函数的凹凸性和拐点在图 形和图像处理中也有着广泛的应 用。例如,在计算机视觉中,图 像的边缘检测和特征提取就涉及 到函数的凹凸性和拐点。通过利 用这些特性,我们可以更好地理 解和描述图像的内容
在机器学习中,函数的凹凸性和 拐点也被广泛使用。例如,在神 经网络训练中,损失函数(或目 标函数)的凹凸性可以帮助我们 理解模型的学习过程。如果损失 函数是凸的,那么我们可以利用 这个特性来优化模型参数。如果 损失函数是凹的,那么我们可能 需要采用更复杂的优化策略,如 梯度下降结合线搜索等
01.
拐点是函数凹凸性发生改变的点。具体来说,如果一个函数在某一点的导数由正变为负, 或者由负变为正,那么这个点就是该函数的拐点。在数学上,我们通常用二阶导数的符 号变化来判断拐点的存在

根据函数的导数像求函数的凹凸性与拐点

根据函数的导数像求函数的凹凸性与拐点

根据函数的导数像求函数的凹凸性与拐点在数学中,函数的导数是研究函数的重要工具之一。

它可以帮助我们确定函数在某一点的斜率和变化率,并且还能提供一些关于函数凹凸性和拐点的信息。

本文将探讨如何通过函数的导数来求函数的凹凸性与拐点。

一、函数的凹凸性函数的凹凸性是指函数图像在某个区间上的弯曲程度。

如果函数图像在某个区间上呈现上凸形状,则函数在该区间上是凹函数;如果函数图像在某个区间上呈现下凸形状,则函数在该区间上是凸函数。

要判断函数在某个区间上的凹凸性,可以通过函数的导数进行分析。

具体步骤如下:1. 求函数的一阶导数。

2. 求出导函数的零点,即解方程f'(x) = 0。

3. 根据导函数的正负情况进行判断:- 当导函数在某点的左侧为正、右侧为负时,函数图像在该点处由上凸变为下凸,该点为拐点,函数在该点的左侧为凹函数,右侧为凸函数。

- 当导函数在某点的左侧为负、右侧为正时,函数图像在该点处由下凸变为上凸,该点为拐点,函数在该点的左侧为凸函数,右侧为凹函数。

- 当导函数在某点的左侧和右侧的正负情况相同,或导函数在某点处不存在时,则该点不是拐点。

二、函数的拐点函数的拐点是指函数图像由凹变凸或由凸变凹的点。

通过求解函数的二阶导数,可以找到函数的拐点。

具体步骤如下:1. 求函数的二阶导数。

2. 求出导函数的零点,即解方程f''(x) = 0。

3. 根据导函数的正负情况进行判断:- 当导函数在某点的左侧为正、右侧为负时,函数图像在该点由凸变凹,该点为拐点。

- 当导函数在某点的左侧为负、右侧为正时,函数图像在该点由凹变凸,该点为拐点。

- 当导函数在某点的左侧和右侧的正负情况相同,或导函数在某点处不存在时,则该点不是拐点。

通过以上步骤,我们可以求得函数的凹凸性和拐点,从而更全面地了解函数的特性。

需要注意的是,函数在某点的凹凸性和拐点的存在与否是相互独立的,即函数可以在某点存在凹凸性但无拐点,或者存在拐点但无凹凸性。

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第16 次理论课教学安排
图1
2.4导数的应用----曲线的凹凸与拐点
课题: 曲线的凹凸与拐点
目的要求:理解曲线凹凸性的概念、掌握判断函数图形的凹凸性、求函数图形
的拐点等方法。

重、难点:判断函数图形的凹凸性、求函数图形的拐点 教学方法:讲练结合 教学时数:1课时 教学进程:
函数的单调性可用函数的一阶到函数来判定,对于同样的递增函数有着不同的增法,如向上凸的增或凹的增,那么对于这两种不同的增法我们如何刻画那?
一、曲线的凹凸与拐点
1.曲线的凹凸定义和判定法
从图1可以看出曲线弧ABC 在区间()c a ,内是向下凹入的,此时曲线弧ABC 位于该弧上任一点切线的上方;曲线弧CDE 在区间()b c ,内是向上凸起的,此时曲线弧CDE 位于该弧上任一点切线的下方.关于曲线的弯曲方向,我们给出下面的定义:
定义1 如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的上方,那么此曲线弧叫做在该区间内是凹的;如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的下方,那么此曲线弧叫做在该区间内是凸的.
例如,图1中曲线弧ABC 在区间()c a ,内是凹的,曲线弧CDE 在区间()b c ,内是凸的.
由图1还可以看出,对于凹的曲线弧,切线的斜率随x 的增大而增大;对于凸
x
y
o
()
y f x =A
B
x
y
o
()
y f x =A
B
的曲线弧,切线的斜率随x 的增大而减小.由于切线的斜率就是函数()x f y =的导数,因此凹的曲线弧,导数是单调增加的,而凸的曲线弧,导数是单调减少的.由此可见,曲线()x f y =的凹凸性可以用导数()x f '的单调性来判定.而()x f '的单调性又可以用它的导数,即()x f y =的二阶导数()x f ''的符号来判定,故曲线
()x f y =的凹凸性与()x f ''的符号有关.由此提出了函数曲线的凹凸性判定定理:
定理1 设函数()x f y =在()b a ,内具有二阶导数.
(1)如果在()b a ,内,()x f ''>0,那么曲线在()b a ,内是凹的; (2)如果在()b a ,内,()x f ''<0,那么曲线在()b a ,内是凸的.
例1 判定曲线3
x y =的凹凸性.
2.拐点的定义和求法
定义2 连续曲线上凹的曲线弧和凸的曲线弧的分界点叫做曲线的拐点.
定理2(拐点存在的必要条件) 若函数()x f 在0x 处的二阶导数存在,且点
()()00,x f x 为曲线()x f y =的拐点,则().00=''x f
我们知道由()x f ''的符号可以判定曲线的凹凸.如果()x f ''连续,那么当()x f ''的符号由正变负或由负变正时,必定有一点0x 使()0x f ''=0.这样,点()()00,x f x 就是曲线的一个拐点.因此,如果()x f y =在区间()b a ,内具有二阶导数,我们就可以按下面的步骤来判定曲线()x f y =的拐点:
(1) 确定函数()x f y =的定义域;
(2) 求()x f y ''='';令()x f ''=0,解出这个方程在区间()b a ,内的实根; (3) 对解出的每一个实根0x ,考察()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号.如果()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号相反,那么点()()00,x f x 就是一个拐点,如果()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号相同,那么点()()00,x f x 就不是拐点.
例2 求曲线2
3
3x x y -=的凹凸区间和拐点. 解 (1)函数的定义域为()+∞∞-,;
(2)()1666,632
-=-=''-='x x y x x y ;令0=''y ,得1=x ;
(3)列表考察y ''的符号(表中“”表示曲线是凹的,“” 表示曲线
是凸的):
x
()1,∞-
1 ()+∞,1
y ''
-
0 +
曲线y
拐点
()2,1-
图2
由上表可知,曲线在()1,∞-内是凸的,在()+∞,1内是凹的;曲线的拐点为()2,1-.
例3 已知点(1,3)为曲线32
y ax bx =+的拐点,求,a b 的值。

要注意的是,如果()x f 在点0x 处的二阶导数不存在,那么点()()00,x f x 也可能是曲线的拐点.例如,函数3x y =在点()0,0处的二阶导数不存在,但是点()0,0是该函数的拐点(图2).
小结本讲内容:1.函数图形凹凸性的判断、函数图形的拐点求法。

2.描绘简单的常用函数的图形(包括水平渐近线和铅直渐近
线)。

作业: 作业册 第二章 单元练习四。

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