函数的凹凸性与拐点

第16 次理论课教学安排

图1

2.4导数的应用----曲线的凹凸与拐点

课题： 曲线的凹凸与拐点

目的要求：理解曲线凹凸性的概念、掌握判断函数图形的凹凸性、求函数图形

的拐点等方法。

重、难点：判断函数图形的凹凸性、求函数图形的拐点 教学方法：讲练结合 教学时数：1课时 教学进程：

函数的单调性可用函数的一阶到函数来判定，对于同样的递增函数有着不同的增法，如向上凸的增或凹的增，那么对于这两种不同的增法我们如何刻画那？

一、曲线的凹凸与拐点

1．曲线的凹凸定义和判定法

从图1可以看出曲线弧ABC 在区间()c a ,内是向下凹入的，此时曲线弧ABC 位于该弧上任一点切线的上方；曲线弧CDE 在区间()b c ,内是向上凸起的，此时曲线弧CDE 位于该弧上任一点切线的下方．关于曲线的弯曲方向，我们给出下面的定义：

定义1 如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的上方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的下方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凸的．

例如，图1中曲线弧ABC 在区间()c a ,内是凹的，曲线弧CDE 在区间()b c ,内是凸的．

由图1还可以看出，对于凹的曲线弧，切线的斜率随x 的增大而增大；对于凸

x

y

o

()

y f x =A

B

x

y

o

()

y f x =A

B

的曲线弧，切线的斜率随x 的增大而减小．由于切线的斜率就是函数()x f y =的导数，因此凹的曲线弧，导数是单调增加的，而凸的曲线弧，导数是单调减少的．由此可见，曲线()x f y =的凹凸性可以用导数()x f '的单调性来判定．而()x f '的单调性又可以用它的导数，即()x f y =的二阶导数()x f ''的符号来判定，故曲线

()x f y =的凹凸性与()x f ''的符号有关．由此提出了函数曲线的凹凸性判定定理：

定理1 设函数()x f y =在()b a ,内具有二阶导数．

（1）如果在()b a ,内，()x f ''＞0，那么曲线在()b a ,内是凹的； （2）如果在()b a ,内，()x f ''＜0，那么曲线在()b a ,内是凸的．

例１ 判定曲线3

x y =的凹凸性．

2．拐点的定义和求法

定义2 连续曲线上凹的曲线弧和凸的曲线弧的分界点叫做曲线的拐点．

定理2(拐点存在的必要条件) 若函数()x f 在0x 处的二阶导数存在,且点

()()00,x f x 为曲线()x f y =的拐点,则().00=''x f

我们知道由()x f ''的符号可以判定曲线的凹凸．如果()x f ''连续，那么当()x f ''的符号由正变负或由负变正时，必定有一点0x 使()0x f ''＝0．这样，点()()00,x f x 就是曲线的一个拐点．因此，如果()x f y =在区间()b a ,内具有二阶导数，我们就可以按下面的步骤来判定曲线()x f y =的拐点:

(1) 确定函数()x f y =的定义域；

(2) 求()x f y ''=''；令()x f ''＝0，解出这个方程在区间()b a ,内的实根； (3) 对解出的每一个实根0x ，考察()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号．如果()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号相反，那么点()()00,x f x 就是一个拐点，如果()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号相同，那么点()()00,x f x 就不是拐点．

例２ 求曲线2

3

3x x y -=的凹凸区间和拐点． 解 （1）函数的定义域为()+∞∞-,；

（2）()1666,632

-=-=''-='x x y x x y ；令0=''y ，得1=x ；

（3）列表考察y ''的符号（表中“”表示曲线是凹的，“” 表示曲线

是凸的）：

x

()1,∞-

1 ()+∞,1

y ''

-

0 +

曲线y

拐点

()2,1-

图2

由上表可知，曲线在()1,∞-内是凸的，在()+∞,1内是凹的；曲线的拐点为()2,1-．

例３ 已知点(1,3)为曲线32

y ax bx =+的拐点，求,a b 的值。

要注意的是，如果()x f 在点0x 处的二阶导数不存在，那么点()()00,x f x 也可能是曲线的拐点．例如，函数3x y =在点()0,0处的二阶导数不存在，但是点()0,0是该函数的拐点(图2)．

小结本讲内容：１．函数图形凹凸性的判断、函数图形的拐点求法。

２．描绘简单的常用函数的图形（包括水平渐近线和铅直渐近

线）。

作业： 作业册 第二章 单元练习四