试卷九参考答案

试卷九 参考答案

一、 判断题（2*10=20）

1、错

2、错

3、错

4、错

5、错

6、错

7、错

8、错

9、错

10、错

二、填空（2*10=20）

11．（i 32-或23+-i ）.

12．（x v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,）. 13．（i π2或i k π2答案多样）.

14、（01=+πi e 或1-=πi e 或1sin cos -=+=πππi e i 等等答案多样）.

15、(2

1). 16、(1

-=z w 答案多样). 17、 (22224i e z i +-=-=-π或)22,22(-或)1,1(2

2-等等答案多样).

18、 (⎩⎨⎧≥<=--0,0,0)()(0t e t t f t ωβ).已知⎩⎨⎧≥<=-0,0,0)(t e t t f t β是ω

βj +1在傅里叶变换下的原像。 19、 (本质奇点或本性奇点).

20、（-1）.

三、解答题，应用积分变换知识解答下列题目（每题５分，共3５分）

１、解：由023=-z 得23=z ，所以3

12=z （3分） )2,1,0(),3

2sin 32(cos

2)]0sin 0(cos 2[331=+=+=k k i k i z ππ（4分） 所以原方程的三个解为 )2

321(2),2321(2,2333231i z i z z --=+-==（5分） ２、解：因为xy y u y x x u 6,3322-=∂∂-=∂∂；x y

u x x u 6,62222-=∂∂=∂∂ 所以02222=∂∂+∂∂y

u x u ，即()233,xy x y x u -=是z 平面上的调和函数（3分） 由xy y

u x v y x x u y v 6,3322=∂∂-=∂∂-=∂∂=∂∂可以得到 ()C y y x y x v +-=323, 所以())3()3(3223C y y x i xy x z f +-+-=（4分）

因为()i f =0，所以1=C

故()i z y y x i xy x z f +=+-+-=33223)13()3(（5分）

３、解：由014=+z 可以得到被积函数在上半平面有两个孤立奇点

)1(22),1(2221i z i z +-=+=

，都是一阶极点（3分） )],1(Re ),1([Re 121124

214242042z z z s z z z s i dx x x dx x x +++=+=+⎰⎰∞+∞-∞+π（4分） 424)(]11[

4212121πππ=+=+=z z z z i z z i （5分） 4、解：由⎰+∞

=0)(sin )(t f td g ωωω可以得到

⎰+∞

=

0)(2sin )(2t f td g πωωωπ（3分） 利用⎰⎰+∞+∞

=

=00sin )(2)(,sin )()(tdt F t f tdt t f F s s ωωπωω（4分） 可以得到dt t t tdt t tdt t f g ⎰⎰⎰+--===+∞ππ

ωωωππωπω000])1cos()1[cos(2

1sin sin 22sin )(2)(

2

1sin )(ωωπω-=

g （5分） ５、解：对方程两边做拉普拉斯积分变换可以得到

s

s Y s sY s Y s +=-+-11)(3)(21)(2 化简得到 )

3)(1)(1(2)(+-++=s s s s s Y （4分） )3)(1)(1(2)(+-++=

s s s s s Y 有三个一阶极点，计算留数后相加可以得到原方程的解 )23(8

1)(3t t t e e e t y ----=（5分） 6、解：函数在2||=z 内有两个二阶极点：1,0=z （3分）

根据公式有

i e ei i z e i z e i z z dz e z z z z z z )3(226|)(2|])1([2)1(1/0/2

222-=-=+-=-===⎰πππππ（5分） 7、解：1121)2)(1(1)(---=--=

z z z z z f （1分） 在圆环1<|z|<2有1|2

|,1|1|<

11211111)(n n n n n n n n n n z z z z z z z z z f （4分） 在+∞<<||2z 内1|2|,1|1|<

z ∑∑∑∞=-∞=∞=-=-=---=110012112111112111)(n n n n n n n n z z z z z z

z z z z f （5分） 四、答：积分变换是一种将函数变换成函数的变换，是通过积分运算和有参数的核函数的运算，我们学过的有傅里叶积分变换，拉普拉斯积分变换，积分变换在工程实际中有很多应用，断裂力学、信号处理，图像模拟，自动化等领域有很多应用。

给分标准：1、给出积分变换的定义和两种常用变换6分

2、说出积分变换的一些工程应用领域给2分

3、用积分变换解决一些问题给2分

五、实验题（１5分）（参考答案，答案多样，符合要求给分）

1、解：【Matlab源程序】

syms x y;

f=(x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y);

maple(‘mtaylor’,f,‘[x,y]’,4)

2、【Matlab源程序】

z=cplxgrid(20);

w=log(z);

for k=0:3

w=w+i*2*pi;

surf(real(z),imag(z),imag(w),real(w));

hold on

title('Lnz')

end

view(-75,30)

回答：title('字符串')表示（在所画图形的最上端显示说明该图）surf(x,y,z,c);表示（绘制表面图和亮度）

3、解：【Matlab源程序】

syms x w;

syms b positive ;%定义符号参量b

f=exp(-b^2*x^2);

F=simple(fourier(f))

%结果为:

F =1/b*pi^(1/2)*exp(-1/4*w^2/b^2)

4、【Matlab源程序】

syms t s