函数的单调性与奇偶性综合应用

例 ３ 下 列 函数 中， 既是偶函数又在 区
间（ ０ ，４ －ｏ ｏ ） 上 单 调 递 减 的 是
Ａ． 一
Ｚ
（
）
Ｄ 一 １ ） ＞ 厂 （ 一 兀 ） ＞ 厂 （ 号 ）
分 析 由 函数 一 － 厂 （ ． ｚ ）为偶 函数 ， 可
得 － 厂 （ 一 ） 一 ｆ（ ｚ） ， 从 而 有 厂（ 一１ ） 一 ｆ（ １ ） ，
解 （ １ ）设 ＜ ０ ， 则 一ｚ＞ ０ ，
厂 （ 一 ｚ ）一 一 （ 一 ｚ） 。 ＋２ （ 一 ｚ） 一 一 一 ２ ｘ．
ｚ ∈ （ ｏ ， ） ｕ （ １ ０ ｏ ， ＋ 。 。 ） ．
例５ 已知 奇 函数 厂（ ｚ） 是 定 义在 ［ 一１ ， １ ］ 上 的减 函数 ， 则满 足 厂（ １～ ｚ）十 ｆ（ ３ ｘ一
ｇ ＞ ２ ， 则有 ０ ＜ ＜ 或 ｚ＞ １ ０ ０ ， 即
分 析 （ １ ） 根据函数奇偶性的对称性 ，
即可 求 函数 厂（ ） 在 Ｒ上 的解析 式 ；
（ ２ ）根 据 函数 奇 偶 性 和 单 调 性 的 关 系 ， 利用 数形 结合 即可 求 出 口的取值 范 围．
二 、函 数 的 单 调 性 与 奇 偶 性 的 判 断 与证 明
例２ 已知 函数 Ｙ一 － 厂 （ ｚ）在 Ｒ 上是 奇
一
、
利 用 函 数 的 单 调 性 与 奇 偶 性 的性 质 比较 数 的大 小
函数 ， 而且在 （ ０，４ － 。 。） 上 是 增 函数 ， 证 明：
一
ｆ（ Ｉ ｚ） 在（ 一。 。 ，０ ） 上 也是 增 函数．
函数 的 单调 性 与 奇偶 性 综合 应 用
河 北 省 大城 县 第 一 中学 杜 金 燕
函数 的单 调 性 、 奇 偶 性 是 高 考 的 重 点 内 容 之一 ， 考 查形 式灵 活 多样 ． 特 别是 两 性 质 的 综 合应 用更 加 突 出． 本 文 主要 谈 论 如 何 利 用 两 性质 解题 ， 掌 握基 本 方法 ， 形成 应 用意 识．
Ｂ． ＝ ＝ ＝ ｅ
Ｃ ． —ｌ ｇ ｌ ｚ Ｉ
Ｄ．Ｙ ＝ ＝ ＝ 一 ｚ。４ － １
－ 厂 （ 一 ７ 【 ）一 ｆ（ ７ ｃ ） ，结 合 函 数 ｙ — ｆ（ ｘ）在 ［ ０ ，４ ］ 上 的单调 性 可 比较 大 小．
分析 利 用 基 本 函数 的 奇偶 性 、 单 调
证 明 设 ｚ ＜ ｚ ＜ ０ ，则 一
例 １ 偶 函数 一 ＿ 厂 （ ｚ）在 区 间Ｅ ０ ，４ １ 上 单调 递减 ， 则有 （ ）
一
＞
ｚ ＞ ０ ， 因为 厂（ ｚ） 在（ Ｏ ，４ －ｃ 。 ） 上是 增 函 数， 所 以 厂（ 一－ ｚ ）＞ ｆ（ 一 。 ） ， 又＿ 厂 （ ） 在 Ｒ
数， 且在 区 间 （ 一。 。 ，０ ］ 上 单 调递 减 ， 所 以 厂 （ ｚ） 在 区间 （ ０ ，＋ｃ × ３ ） 上 为增 函数 ， 则 不 等式 ｆ（ １ ｇ ｚ） ＞ ｆ （ －２ ）可 等 价 为 厂（ ｆ ｌ ｇ ｚ Ｉ ）＞ － 厂 （ ２ ） ， 故 Ｉ ｌ ｇ ｚ ｌ ＞ ２ ， 所以ｌ ｇ ｚ ＜一 ２或
Ａ 一 １ ） ＞ 厂 （ 号 ） ＞ （ 一 兀
Ｂ ． 厂 （ 詈 ） ＞ （ 一 １ ） ＞ 厂 （ 一 兀 ） ｃ 一 兀 ） ＞ 厂 （ 一 １ ） ＞ 厂 （ 詈 ）
上是 奇 函数 ， 所以 一＿ 厂 （ ｚ ）＞一 （ 。 ） ， 即
ｆ（ ｘ ） ＜ ｆ（ ｘ ｚ ） ， 所以， Ｙ一＿ ， （ ｚ）在 （ 一。 。 ， ０ ） 上 也是 增 函数 ．
四、利用单调性和奇偶性的性
后 弯 暑 节 网 的 问 颢
☆
例４ 已知 厂（ ） 是 定 义在 Ｒ上 的偶 函 数， 且 ｆ（ ｘ） 在（ 一Ｃ × ３ ，Ｏ ］ 上单 调递 减 ， 则 不等
式 ｆ（ １ ｇ ）＞ ｆ（ 一２ ）的 解 集 是 ．
例 ６ 已知 定 义在 Ｒ 上 的奇 函数ｆ（ ｘ） ，
因 为 １ ＜ 号 ＜ 兀 ， 所 以 （ １ ） ＞ ， （ 詈 ） ＞ ４ －ｏ ｏ ）时 ， 单 调递 增 ， 故排 除 Ｃ；
诜 Ａ．
ｐ （ 一 １ ） ＞ 厂 （ 詈 ） ＞ 厂 （ 一 故 称 ， 故 为偶 函数 ， 且在（ ０ ，＋。 。 ） 上 单 调递 减 ，
当 ｚ ＞ ０时 ，厂 （ ｚ）一 一 Ｘ ＋ ２ ｘ，
分析 根据 函数奇偶性和单调性之间
的关 系 ， 将 ） 在 Ｒ上 的解析 式 ；
（ ２ ）若 函数 厂（ ｚ） 在 区 间［ 一１ ， ｎ一２ － １ 上
解 因为 厂 （ ｚ ） 是定义在 Ｒ上 的偶 函 单 调递 增 ， 求 实数 日的取值 范 围．
故 选 Ｄ．
３ ６ Ｎ ｅ ｗ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ Ｅ ｎ ｔ ｒ ａ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｘ ａ ｍｉ ｎ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
Ｄ 中 一一 。 － １的 图象 关 于 轴 对 ４
☆ 三、利用单调性和奇偶性的性
后 锯 不 等 式
即 不 等 式 成 立 的 ｚ 的 范 围 是 （ 丢 ， １ ］ ．
解 因为 函数 Ｙ＝ ＝ ＝ － 厂 （ ｚ）为偶 函数 ， 且 性定 义逐 项判 断 即可． 在［ ０ ， ４ ］ 上单 调 递减 ，
所 以 厂（ 一 ｚ）一 （ ｚ） ， 且有 － 厂 （ 一 １ ）一
ｆ（ １ ），ｆ（ 一 丌）一 ｆ（ ７ ｃ ） ．
解 Ａ 中 一 为 奇 函数 ， 故 排 除 Ａ； Ｂ中 Ｙ—ｅ 为非 奇非 偶 函数 ， 故排 除 Ｂ； Ｃ中 Ｙ—ｌ ｇ Ｉ １ 为偶 函数 ， 在 ∈ （ ０ ，