数学：311-312《空间向量及其加减与数乘运算》课件(新人教B版选修(1)
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复习回顾： 平面向量
这是什么? 向量
1、定义：既有大小又有方向的量。
几何表示法:用有向线段表示
字母表示法： 用小写字母表示，或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。 相等向量：长度相等且方向相同的向量
B
A
D
2、平面向量的加法、减法与数乘运算
b a
向量加法的三角形法则
b
a
向量减法的三角形法则
与平面向量一样,实数 与空间向量 a 的乘积
a 仍然是一个向量.
⑴当 0时, a 与向量 a 的方向相同;
⑵当 0时, a 与向量 a 的方向相反;
⑶当 0 时, a 是零向量.
例如:
3a
a
3a
显然,空间向量的数乘运算满足分
配律及结即合：律(a b) a b
（ ）a a a
(a) ()a 其中、是实数。
类似于平面向量,为了研究的方便起见,我们规定: 零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行
向量、共面向量等概念。（你认为应该怎样规定?）
定义:表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合,则称这些向量叫共线向量.(或平行向量)
思考⑴:对空间任意两个向量 a 与 b ,如果 a b ,那 么 a 与 b 有什么关系?反过来呢? 类似于平面,对于空间任意两个
b
a
向量加法的平行四边形法则
a
k a (k>0)
k a (k<0)
向量的数乘
3、平面向量的加法、减法与数乘运算律
加法交换律： a b b a 加法结合律： (a b) c a (b c) 数乘分配律： k(a b) ka＋kb
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
D A
b
D A
C
Ba
D1 A1
C1 B1
C
D
B
A
C B
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 加法:三角形法则或 减法 平行四边形法则 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
空间向量
具有大小和方向的量
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
c
B 终点
a
起点 A
b
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
空间向量
具有大小和方向的量
加法 加法:三角形法则或 减法 平行四边形法则 数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
加法交换律 a b b a
运 算
加法结合律
律 (a b) c a (b c)
的夹角都为90度,
F3
它们的合力的大小
为多少N?
F1
这需要进一步来认识空间中的向量
空间向量的有关概念：
空间向量：在空间中,具有大小和方向的量. 常用 a 、b 、c ……等小写字母来表示. 1.向量 a 的大小叫做向量的长度或模,记为 a .
2.可用一条有向线段 AB 来表示向量,向量 AB
的模又记为 AB 就是线段 AB 的长度.
O
O
Hale Waihona Puke Baidu
a a
b +c
A
bB
C
c
A
b
C
Bc
(空间向量)
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
加法交换律 a b b a
成立吗？ 加法结合律
数乘分配律 k(a b) ka＋kb
向量加法结合律在空间中仍成立吗?
( a + b )+ c = a +( b + c )
O
O
a
a
A
b +c
CA
C
bB c
bBc
(平面向量)
空间中
向量加法结合律：
( a + b )+ c = a +( b + c )
小结
类比思想 数形结合思想
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 相等向量
具有大小和方向的量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k(a b) ka＋kb
我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算, 其运算律是否也与平面向量完全相同呢?
定义: 数乘空间向量的运算法则
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
C
问题 1: 向 如图:已知 OA=6 米,
上
B
AB=6 米,BC=3 米,
正
O正
北
A
东
F2
问题 2:
? 那么 OC=
已知F1=10N, F2=15N， F3=15N
这三个力两两之间
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 相等向量
具有大小和方向的量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
C
a+b
B
b
O
A
OB OA AB
a CA OA OC
空间向量的加减法
k a (k>0)
空间向量的数乘
k a (k<0)
思考：空间任意两个向量是否可能异面？
B
b
O
A
思考：它们确定的平面是否唯一？
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。
向量 a , b ( b 0 ),
a // b 存在 R , a b . b c
a
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
这是什么? 向量
1、定义：既有大小又有方向的量。
几何表示法:用有向线段表示
字母表示法： 用小写字母表示，或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。 相等向量：长度相等且方向相同的向量
B
A
D
2、平面向量的加法、减法与数乘运算
b a
向量加法的三角形法则
b
a
向量减法的三角形法则
与平面向量一样,实数 与空间向量 a 的乘积
a 仍然是一个向量.
⑴当 0时, a 与向量 a 的方向相同;
⑵当 0时, a 与向量 a 的方向相反;
⑶当 0 时, a 是零向量.
例如:
3a
a
3a
显然,空间向量的数乘运算满足分
配律及结即合：律(a b) a b
（ ）a a a
(a) ()a 其中、是实数。
类似于平面向量,为了研究的方便起见,我们规定: 零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行
向量、共面向量等概念。（你认为应该怎样规定?）
定义:表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合,则称这些向量叫共线向量.(或平行向量)
思考⑴:对空间任意两个向量 a 与 b ,如果 a b ,那 么 a 与 b 有什么关系?反过来呢? 类似于平面,对于空间任意两个
b
a
向量加法的平行四边形法则
a
k a (k>0)
k a (k<0)
向量的数乘
3、平面向量的加法、减法与数乘运算律
加法交换律： a b b a 加法结合律： (a b) c a (b c) 数乘分配律： k(a b) ka＋kb
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
D A
b
D A
C
Ba
D1 A1
C1 B1
C
D
B
A
C B
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 加法:三角形法则或 减法 平行四边形法则 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
空间向量
具有大小和方向的量
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
c
B 终点
a
起点 A
b
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
空间向量
具有大小和方向的量
加法 加法:三角形法则或 减法 平行四边形法则 数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
加法交换律 a b b a
运 算
加法结合律
律 (a b) c a (b c)
的夹角都为90度,
F3
它们的合力的大小
为多少N?
F1
这需要进一步来认识空间中的向量
空间向量的有关概念：
空间向量：在空间中,具有大小和方向的量. 常用 a 、b 、c ……等小写字母来表示. 1.向量 a 的大小叫做向量的长度或模,记为 a .
2.可用一条有向线段 AB 来表示向量,向量 AB
的模又记为 AB 就是线段 AB 的长度.
O
O
Hale Waihona Puke Baidu
a a
b +c
A
bB
C
c
A
b
C
Bc
(空间向量)
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
加法交换律 a b b a
成立吗？ 加法结合律
数乘分配律 k(a b) ka＋kb
向量加法结合律在空间中仍成立吗?
( a + b )+ c = a +( b + c )
O
O
a
a
A
b +c
CA
C
bB c
bBc
(平面向量)
空间中
向量加法结合律：
( a + b )+ c = a +( b + c )
小结
类比思想 数形结合思想
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 相等向量
具有大小和方向的量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k(a b) ka＋kb
我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算, 其运算律是否也与平面向量完全相同呢?
定义: 数乘空间向量的运算法则
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
C
问题 1: 向 如图:已知 OA=6 米,
上
B
AB=6 米,BC=3 米,
正
O正
北
A
东
F2
问题 2:
? 那么 OC=
已知F1=10N, F2=15N， F3=15N
这三个力两两之间
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 相等向量
具有大小和方向的量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
C
a+b
B
b
O
A
OB OA AB
a CA OA OC
空间向量的加减法
k a (k>0)
空间向量的数乘
k a (k<0)
思考：空间任意两个向量是否可能异面？
B
b
O
A
思考：它们确定的平面是否唯一？
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。
向量 a , b ( b 0 ),
a // b 存在 R , a b . b c
a
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)