第7章 杆件的剪切、挤压与扭转

要使受到扭转的等直圆杆能正常工作，就应使圆杆具有足够
的强度，即使圆杆工作时产生的最大剪应力不超过材料的许
用剪应力
，故强度条件为：
max
Mm WP
强度条件可以进行三方面计算： （1）对等直圆杆进行强度校核。 （2）设计截面。
（3）确定许用载荷。
例7-4 一实心传动轴如下图所示。轴上B为主动轮，A、 C为从动轮。已知轴的直径δ= 90mm，材料的许用剪应 力 = 80MPa。从动轮上的力偶矩 TA ： TC =2：3。试确 定主动轮上能作用的最大力偶矩 TB 。
Mm T
M 0 ，得
等直圆杆受扭转时，横截面上只有扭矩，没有其他内力。 对扭矩 M m 作如下符号规定：以右手四指指向扭矩旋转 方向，当右手大姆指的指向横截面外法线方向时为正， 反之为负，称为右手螺旋法则。
7.4.2 横截面上的剪应力
研究扭转时横截面上应力分布规律，与研究受拉压杆件 时一样，从观察分析杆件变形入手，作如下实验。如图 (a) 所示，在橡胶等直圆杆表面上作许多平行的纵向线 和圆周线，组成许多矩形格子，然后在两端加一对力偶， 圆杆即发生变形，如图(b)所示
第7章 杆件的剪切、挤压与扭转
本章学习要点
知识模块 剪切、挤压与扭转的概念 剪切和挤压强度的实用计算 等直圆杆扭转时的内力与应力 掌握程度 了解 掌握 掌握 知识要点 剪切、挤压、扭转 剪切面、挤压面、名义剪应力、挤压 应力 扭矩、剪应力的计算、等直圆杆扭转 时的强度计算
本章技能要点
技能要点 剪切强度实用计算 挤压强度的实用计算 等直圆杆扭转时的强度条件 掌握程度 了解 了解 掌握 应用方向 受剪切工程构件的强度校核、荷载设 计和截面设计 受挤压构件的强度校核、荷载设计和 截面设计 受扭构件的强度校核、荷载设计和截 面设计
Q A
剪切时的强度条件为 ：
ห้องสมุดไป่ตู้
Q A
7.2.2 挤压强度的实用计算
联接件除承受剪切外，在联接件和被联接件的接触面上 还将承受挤压。 工程上一般把挤压面上的压力称为挤压力，用 P e 表示， 用Ae 表示挤压面面积。挤压面上单位面积内承受的挤压 力称为挤压应力，用 表示，其真实分布情况比较复杂。 e 在工程上常常采用的是类似剪切的实用计算方法，即假 定挤压应力是均匀分布的，则
解：（1）分析等直圆杆的内力 现在AB和BC两段轴内所受的扭矩不同。由静力学力偶系平衡条件：
TB TA TC
可知 ：
3 受扭转后的危险截面在BC段，截面上相应的扭矩为 M m TC TB 5
（2）计算许用扭矩
2 TA TA 5
3 TC TA 5
由强度条件
Mn WP
构件受剪切作用时，其剪切面上将产生内力。应用截面 法假想沿剪切面将铆钉分成两段，任取一段为研究对象， 如图所示。由平衡条件可知，剪切面m-m上必须有一个 与该截面平行的内力存在，这个平行于截面作内力称为 剪力，常用符号Q表示。
剪力的单位是牛顿或千牛（N或kN）
单位面积上剪力大小称为剪应力，用 表示。剪应力在 剪切面上的实际分布状况是很复杂的。 工程上常采用以实际经验为基础的“实用计算法”来计 算。“实用计算法”假设剪应力均匀地分布在剪切面上， 这种方法求得的剪应力又称为名义剪应力。设剪切面的 面积为A，剪力为Q，则名义剪应力的计算公式为
P
IP
D4
对于空心等直圆杆而言
32 ( D4 d 4 ) IP 0.1D 4 (1 4 ) 32
0.1D 4
最大剪应力
在圆周处，即在 max
处。 R为圆截面半径，R=D/2。 max R
于是
max
令
M n max M n R IP IP
根据平面假设可以得到以下结论：
（1）由于直杆扭转后，横截面间距离不变，说明纵向纤维既没有
伸长也没有缩短，纵向应变 0 ，由虎克定律 E 截面正应力 0 。 可知，横
（2）横截面上有剪应力，且其方向与半径垂直，由于扭转变形时， 相邻两横截面相对地转过一个角度，即发生了旋转式的相对滑动， 由此产生了剪切变形。 剪切变形的程度用微元体直角的改变量来度量。微元直角改变量称 为剪应变（或切应变），用 表示，其单位为rad。有剪应变的地 方相应地应有剪应力存在。
在弹性范围内，剪应变
与剪应力
之间也存在直线比例关系，称
为剪切虎克定律，表达为：
G
圆截面上任一点剪应力
的计算公式（推导从略）为
Mm IP
式中 为横截面 m-m上所受扭矩； 为横截面任一点至圆心的距离； Mm
称为横截面对形心的极惯性矩。它是一个只决定于截面尺寸和形 I 状的几何常量。简单图形的极惯性矩可从有关手册中查到。 对于实心等直圆杆而言
3 3 D 有 M m TC TB WP 5 16 3 5 D 得 TB 3 16 5 3.14 (0.09)3 6 T 80 10 19.1kN m T 许用扭矩 B 值为 B 3 16
（1）设计铆钉所需直径d；（2）校核搭接部分的强度。
例7-2 如下图所示，两块钢板平搭焊接在一起，钢板厚 度 =12mm。已知拉力P=140 kN，焊缝许用剪应力 =100MPa，试确定焊缝的长度l 。
7.3 扭转的概念
扭转是工程中常遇到的现象，是构件的基本变形形式之一 。
7.4 等直圆杆扭转时的内力与应力
通过试验，我们可以观察到：
（1）两条圆周线绕轴线相对旋转了一个小角度，但圆周线的长度、
形状和两条圆周线间的距离没有发生变化。
（2）原来的纵向线都倾斜了个角度，原来的纵向线和圆周线形成 的矩形变成了平行四边形，但纵向线仍近似为直线。 （3）轴的长度和直径都没有发生变化。 因此，可作如下假设：等直圆杆在扭转变形时，各个横截面在扭 转变形后仍为相互平行的平面，且形状和大小不变，只是相对 地转过了一个角度。此假设称为等直圆杆扭转时的平面假设。 等直圆杆任意两横截面之间相对转动的角度，称为扭转角，用 来表示。
从受扭弹性体内截取一个微小的正六面体（单元体），若单元体的
四个侧面上只有剪应力而没有正应力的作用，则单元体的变形完
全由于剪切作用而产生。单元体的这种受力情况称为纯剪切应力 状态。在纯剪切的情况下，应用平衡条件很容易证明： xy yx ， 即在单元体的两个相互垂直的截面上，垂直于截面交线的剪应力 数值相等，且均指向或均背向该截面交线，上述结论称为剪应力 互等定理。
在构件受剪切的同时，联接件与所联接的构件因相互接 触而产生挤压。当这种挤压力过大时，在接触面的局部 范围内将产生塑性变形，甚至被压溃，从而导致联接件 与所联接的构件共同失效。这时如果钢板材料比铆钉材 料“软”，钢板接触面就会压溃，反之，铆钉就会压溃。
7.2 剪切和挤压的实用计算
7.2.1 剪切强度的实用计算
本章内容
7.1 剪切与挤压的概念
7.1.1 剪切 7.1.2 挤压
7.2 剪切和挤压的实用计算
7.2.1 剪切强度的实用计算 7.2.2 挤压强度的实用计算
7.3 扭转的概念 7.4 等直圆杆扭转时的内力与应力
7.4.1 内力 7.4.2 横截面上的剪应力
7.5 等直圆杆扭转时的强度条件
7.1 剪切与挤压的概念
7.4.1 内力
如下图(a)所示等直圆杆，在两端垂直于轴线的平面内作 用一对力偶。现在分析m-m截面上的内力，采用截面法， 假想用截面在 m-m 处截开。任取一段左半段 I 为分离体， 如图(b)所示。由静力学中力偶系平衡条件，可知m-m截 面上必然存在一个与外力偶相平衡的内力偶 。
Mm
这个内力偶称为扭矩。其力偶矩大小，由
，称为抗扭截面模量，上式可改写为 WP I P / R Mm max WP 其计算可从有关手册上查到，对直径为D的圆截面
3。它是一个抵抗破坏的参数， 的单位为长度的三次方，常用 mm W P
IP D3 WP 0.2 D3 D / 2 16
7.5 等直圆杆扭转时的强度条件
7.1.1 剪切
工程上常用于联接结构构件的铆钉、销钉和螺栓等称为 联接件。当构件处于工作状态时，联接件两侧面受到一 对大小相等、方向相反且作用线相距很近的外力作用。 在这样的外力作用下，联接件的主要失效形式之一，就 是沿平行于这两个外力且位于该两外力作用线之间的截 面发生相对错动而产生剪切破坏。
7.1.2 挤压
Pe e Ae
挤压时的强度条件为 ：
Pe e e Ae
例7-1 如下图所示，两块钢板用三只铆钉连接，承受拉 力P= 120kN，钢板厚δ=15mm，钢板宽度b=100mm， 钢板的拉伸许用应力 =140MPa，铆钉的许用剪应力
95MPa，许用挤压应力 e =265MPa，求：