含有耦合电感的电路

Z1 R1 jω( L1 M )
•
I
Z
+ U -
Z2 R2 jω(L2 M )
Z Z1 Z2 ( R1 R2 ) jω( L1 L2 2M )
例10－3 图示电路中，正弦电压的U 50V, R1 3Ω,L1 7.5Ω R2 5Ω,L2 12.5Ω,M 8Ω。求耦合因数k和各支路吸收的S1和S2。
L1
L2
21
N1
N2
i1
i2
+ u11 – + u21 –
当交链自身的线圈时产生的磁通链称为自感磁通链，当线
圈周围空间是各向同性的线性磁介质时，每一种磁通链都与
产生它的施感电流成正比,自感磁通链为：
11 L1i1
22 L2i2
称L1, L2为自感系数，单位亨(H)。
互感磁通链
11
L1
L2
21
N1
U (R1 jL1 )I1 jMI2 U jMI1 (R2 jL2 )I2
I3 I1 I2
U Z1I1 Z M I2 U Z M I1 Z2 I2 I3 I1 I2
I1
Z2 ZM
Z1Z2
Z
2 M
U
I2
Z1 ZM
Z1Z2
Z
2 M
U
例10－4 图示电路中，正弦电压的U 50V, R1 3Ω,L1 7.5Ω
令U＝500o V，I
U Z
500o 8.9426.57o
5.95 26.57o A
Z1 3.04 9.46o Ω, Z2 6.7342o Ω
i R1
M
+
u1 L1 •- +
+
u
Z Z1 Z2 5.95 26.57o A
I 5.95 26.57o A
R2
•
u2
L2
-
-
计算复功率
def
k
M
1
L1 L2
k≈1 称为全耦合 k≈0 无耦合
4. 耦合电感上的电压、电流关系
1
L1
L2
2
N1
N2
i1 •
i2 •
+ u1 – + u2 –
1 11 12 L1i1 Mi 2 2 22 21 L2i2 Mi1
当耦合电感L1和L2中有变动的电流时，耦合电感磁通链 也将随电流变动，根据电磁感应定律从而在线圈两端产生感 应电压。
i
i R1
M
+
u1 L1
•
-
+
+
u
R2
•
u2
L2
-
-
+ R
u L
–
u1
Baidu Nhomakorabea
R1i
L1
di dt
M
di dt
R1i
(L1
M
)
di dt
u2
R2i
L2
di dt
M
di dt
R2i
(L2
M
)
di dt
u
u1
u2
( R1
R2 )i
( L1
L2
2M
)
di dt
Ri
L
di dt
R R1 R2
L L1 L2 2M
M
+ R1 * u_1 i1 L1
* R2 +
L2
u2
_
i1/A
10
0 1 2 t/s
解
100 t 50V
u1
R1i1
L di1 dt
100 t 0
150V
0 t 1s 1 t 2s 2t
10V
u2
M
di1 dt
10V 0
0 t 1s 1 t 2s 2t
10t
0 t 1s
+
I1
U j(L1 M )
R1 -
I2
j(L2 M )
R2
例10－5
图示电路中L1 L2 10Ω,M 5Ω, R1 R2 6Ω
US
12V。求Z
最佳
L
匹配
时获
得的
功率P。
解：写端口1-1’特性方程（VCR）
(R1 R2 jL1)I1 (R2 jM )I US (R2 jL2 )I (R2 jM )I1 U11
21
N1
N2
i1
i2
+ u11 – + u21 –
当两个线圈（电感）耦合时，耦合电感中的磁通链为 自感磁通链与互感磁通链的代数和：
1 11 12 L1i1 Mi 2 2 22 21 L2i2 Mi1
同名端
11
L1
L2
21
N1
i1 *•
i2
N2
*•
+ u11 – + u21 –
1 11 12 L1i1 Mi2 2 22 21 L2i2 Mi1
例i 1*
1'
2
*
1•*
2
3
2' 1'
2'*
•
3'
(2) 当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将 会引起另一线圈相应同名端的电位升高。
同名端的实验测定：
R S1i *
1'
*2
+ V
–
2'
如图电路，当闭合开关 S 时，i 增加，
di dt
0,
u22'
M
di dt
0
电压表正偏。
当两组线圈装在盒里，只引出四个端线组， 要确定其同名端，就可以利用上面的结论来加以 判断。
M前的“＋”表示互感磁通链与自感磁通链方向一致， 自感方向的磁场得到加强（增磁），称为同向耦合。工程 上将同向耦合状态下的一对施感电流(i1、i2)的入端(或出端) 定义为耦合电感的同名端。
异名端
11
L1
L2
21
N1 i1 •
+ u11 –
• N2 i2 + u21 –
1 11 12 L1i1 Mi2
互感电压
当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均
包含自感电压和互感电压：
u1
u11
u12
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
u21
u22
M
d i1 dt
L2
di2 dt
在正弦交流电路中，其相量形式的方程为
•
•
•
U 1 jL1 I 1 jM I 2
•
•
•
U 2 jM I 1 jL2 I 2
jM
● I1 ● I2 jL1 jL2
R1 R2
如R1 R2 0,
Zi
jX
(jL1 )(jL2 ) ( jM )2 (jL1 ) (jL2 ) 2( jM )
L1 L2 L1 L2
M2 2M
j7.44Ω
3.去耦等效电路
U Z1I1 Z M I2
(1)
U Z M I1 Z2 I2
N2
i1
i2
+ u11 – + u21 –
线圈1的磁通中的一部分或全部交链线圈2时产生的磁通链
称为互感磁通链，互感磁通链为：
12 M12i2
21 M21i1
称M12, M21为互感系数，单位亨(H)。
当只有两个线圈（电感）耦合时，可以略去M的下标，互
感磁通链为： M＝M12＝M21
11
L1
L2
1. 互感
11
L1
L2
21
N1
N2
i1
+ u11 – + u21 –
载流线圈之间通过彼此的磁场相互联系的物理现象称为
磁耦合。线圈1中通入电流i1时，在线圈1中产生磁通11称为
自感磁通，同时，有部分磁通穿过临近线圈2，这部分磁通
21称为互感磁通。两线圈间有磁耦合。
：磁通链 ， =N
自感磁通链
11
耦合电感中的磁通链1、2，不仅与施感电流i1、i2有关，
还与由线圈的结构、相互位置和磁介质所决定的线圈耦合的紧 疏程度有关，工程上通过耦合电感中互感磁通链与自感磁通链 的比值来衡量耦合的紧疏程度：
12 Mi 2 11 L1i1
(线圈1),
12 Mi1 22 L2i2
(线圈2)
工程上取两个比值的几何平均值定义为耦合电感的耦合系数k
•
I1
R1
jL1● jM ● jL2
1
•
+
I
- US
R2
ZL
外特性：U11
1 2
US
(3
j7.5)I
1’
戴维宁等效电路参数：UOC
ISC
1 2
US
,
(3 j7.5)
1 2
US
60o V,
Zeq (3 j7.5)Ω
最佳匹配时
ZL＝Zeq (3 j7.5)Ω, 功率:
P
U
2 OC
＝3W
4 Req
ddii22 ddtt
i1 M i2
+* u_1 L1
+
L2 *
_u2
u1 L1L1dddidt1it1MMddddit2it2
uu22
MM
ddii11 ddtt
LL22
ddii22 ddtt
i1 M i2
+* u_1 L1
_
L2 u2 *+
例 已知 R1 10, L1 5H, L2 2H, M 1H,求u1和u2
I3
+
U
-
jM
I3 I1 I2
● I1 ●
I2
jL1 jL2
令
Z1 R1 jL1 , Z2 R2 jL2
Z M jM
R1 R2
得 U Z1I1 Z M I2
U Z M I1 Z2 I2
I3 I1 I2
（2） 异侧并联
I3
+
U
-
jM
● I1
I2
jL1 jL2
●
R1 R2
U Z1I1 Z M I2 U Z M I1 Z2 I2 I3 I1 I2
2 22 21 L2i2 Mi1
M前的“－”表示互感磁通链与自感磁通链方向相反，
使自感方向的磁场削弱，称为反向耦合。一对施感电流(i1、 i2)的入端(或出端)定义为耦合电感的异名端。
注意：线圈的同名端必须两两确定
确定同名端的方法：
(1) 当两个线圈中电流同时由同名端流入(或流出)时，两 个电流产生的磁场相互增强。
1. 耦合电感的串联 （1） 同向串联
i R1
M
+
•
u1
L1
-
+
+
u
R2
•
u2
L2
-
-
u
R1i
L1
di dt
M
di dt
L2
di dt
M
di dt
R2i
i
(
R1
R2
)i
(
L1
L2
2M
)
di dt
Ri
L
di dt
+ R
u L
–
R R1 R2
L L1 L2 2M
去耦等效电路
（2） 反向串联
电路模型
11
L1
L2
N1
N2
i1 •
i2 •
+ u11 – + u21 –
i1 M i2
21 + • • +
u_1 L1
L2 _u2
引入同名端的概念后，可以用带有互感M和同名端标记 的电感元件L1和L2表示耦合电感。只要参考方向确定了， 其数学描述便可容易地写出，可不用考虑线圈绕向。
3. 耦合系数
S1 I 2Z1 (93.75 j15.63)V A S2 I 2Z2 (156.25 j140.63)V A S UI (250 j125)V A S1 S2
2. 耦合电感的并联
U ( R1 jL1 )I1 jMI2
（1） 同侧并联
U jMI1 ( R2 jL2 )I2
i1 20 10t 1 t 2s
0
2t
10.2 含有耦合电感电路的计算
含有耦合电感（简称互感）电路的计算要注意： (1) 在正弦稳态情况下，有互感的电路的计算仍可 应用前面介绍的相量分析方法。
(2) 注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应包 含互感电压。
(3) 一般采用支路法和回路法计算。因为耦合电感 支路的电压不仅与本支路电流有关，还与其他某些 支路电流有关，若列结点电压方程会遇到困难，要 另行处理。
解： k
M
L1L2
M
0.826
(L1)(L2 )
i R1
M
+
u1 L1 •- +
+
u
R2
•
u2
L2
-
-
Z1 R1 jω( L1 M ) 3 j0.5 3.04 9.46o Ω
Z2 R2 jω(L2 M ) 5 j4.5 6.7342o Ω
Z Z1 Z2 8 j4 5.95 26.57o A
jL1
jMI2
-+
I1
jL2
jMI1
-+
I2
-
1’
U1
+-
1 2’
U2
+
2
用CCVS表示互感电压
例 写出图示电路电压、电流关系式
i1 M i2
+* u_1 L1
*+ L2 _u2
i1 M i2
+* u_1 L1
+
L2 *
_u2
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
uu22
MMddi1i1 ddtt
LL22
R2 5Ω,L2 12.5Ω,M 8Ω。求电路的输入阻抗及支路1、2的电流。
I1
Z2 ZM
Z1Z2
Z
2 M
U
4.40 59.14o A
I3
+
I2
Z1 ZM
Z1Z2
Z
2 M
U 1.99 110.59o A
U
-
Zi
U (I1 I2 )
Z1Z 2
Z
2 M
Z1 Z2 2ZM
8.5574.56o Ω
1
L1
L2
N1
N2
i1 •
i2 •
+ u1 – + u2 –
在关联参考方向下有
i1 M i2
2
+• u_1 L1
•+ L2 _u2
1 11 12 L1i1 Mi 2 2 21 22 Mi1 L2i2
u1
d 1
dt
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
d2
dt
M
di1 dt
L2
di2 dt
自感电压
(2)
I3 I1 I2
将 I2 I3 I1代入(1)
将 I1 I3 I2代入(2)
•
•
•
U jM I 3 [R1 j(L1 M )] I 1
•
•
•
U jM I 3 [R2 j(L2 M )] I 2
I3
+
U
-
jM
● I1 ● I2 jL1 jL2
R1 R2
I3 jM
在正弦激励下：
•
j M
I R1 j L1 R2 j L2
+ +
U1 [ R1 jω( L1 M )]I
••
U1
–+ •
U
••
U2
–
–
U2 [R2 jω(L2 M )]I
U U1 U2 [ R1 R2 jω( L1 L2 2M )]I
I
U
R1 R2 jω( L1 L2 2M )
第10章 含有耦合电感的电路
重点 1.互感和互感电压 2.有互感电路的计算 3.变压器和理想变压器
10.1 互感
耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中， 如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流 电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟悉这 类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件的电路 问题的分析方法是非常必要的。