甘肃交通职业技术学院数学单招试题测试版(附答案解析)

限时：90分钟 满分：122分一、选择题(共8个小题，每小题5分，共40分)1．在数列{a n }中，a 1＝2，当n 为正奇数时，a n ＋1＝a n ＋2，当n 为正偶数时，a n ＋1＝2a n ，则a 6＝( )A ．11B ．17C ．22D ．23解析：选C 逐项计算得该数列的前6项依次为：2,4,8,10,20,22.2．各项均为正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3a 4＋a 2a 6a 2a 6＋a 4a 5＝( )解析：选B 依题意，有a 3＝a 1＋a 2，设公比为q ， 则有q 2－q －1＝0，所以q ＝1＋52(舍去负值)．a 3a 4＋a 2a 6a 2a 6＋a 4a 5＝a 2a 4(q ＋q 2)a 2a 4(q 2＋q 3)＝1q ＝21＋5＝5－12.3．公差不为0的等差数列{a n }中，3a 2 010－a 22 012＋3a 2 014＝0，数列{b n }是等比数列，且b 2 012＝a 2 012，则b 2 011b 2 013＝( )A ．4B ．8C ．16D ．36解析：选D ∵3a 2 010－a 22 012＋3a 2 014＝0，∴6a2 012－a22 012＝0，即a2 012(a2 012－6)＝0，∵数列{b n}是等比数列，∴a2 012＝b2 012≠0，∴b2 012＝a2 012＝6，∴b2 011b2 013＝b22 012＝62＝36.4．公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝() A．4 B．5C．6 D．7解析：选B∵a3·a11＝16，∴a27＝16.又∵等比数列{a n}的各项都是正数，∴a7＝4.又∵a10＝a7q3＝4×23＝25，∴log2a10＝5.5．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S n＝2a n＋1，则S n＝()A．2n－1n－1n－1解析：选B∵S n＝2a n＋1，∴当n≥2时，S n－1＝2a n，∴a n＝S n－S n－1＝2a n＋1－2a n，∴3a n＝2a n＋1，∴a n＋1a n＝32.又∵S1＝2a2，∴a2＝12，∴a2a1＝12，∴{a n}从第二项起是以32为公比的等比数列，∴S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝1＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫32n －11－32＝⎝⎛⎭⎫32n －1.6．在公差为d ，各项均为正整数的等差数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＝51，则n ＋d 的最小值为( )A ．14B ．16C ．18D ．10解析：选B 由题意得a n ＝1＋(n －1)d ＝51，即(n －1)d ＝50，且d >0.由(n －1)＋d ≥2(n －1)d ＝250(当且仅当n －1＝d 时等号成立)，得n ＋d ≥102＋1，因为n ，d 均为正整数，所以n ＋d 的最小值为16.7．定义在R 上的函数f (x )在区间(－∞，2)上是增函数，且f (x ＋2)的图像关于y 轴对称，则( )A ．f (0)>f (3)B ．f (0)＝f (3)C ．f (－1)＝f (3)D ．f (－1)<f (3)解析：选D 函数f (x ＋2)的图像关于y 轴对称，说明这个函数是偶函数，所以f (－x ＋2)＝f (x ＋2)，令x ＝1，得f (1)＝f (3)，因为函数f (x )在(－∞，2)上是增函数，所以f (－1)<f (1)＝f (3)．8．设a n ＝1n sin n π25，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )A ．25B ．50C ．75D ．100解析：选D 由数列通项可知，当1≤n ≤25，n ∈N *时，a n ≥0，当26≤n ≤50，n ∈N *时，a n ≤0，因为a 1＋a 26>0，a 2＋a 27>0，…，所以S 1，S 2，…，S 50都是正数；当51≤n ≤100，n ∈N *时，同理S 51，S 52，…，S 100也都是正数，所以正数的个数是100.二、填空题(共6个小题，每小题5分，共30分)9．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________.解析：设{a n }的公差为d ，由S 2＝a 3知，a 1＋a 2＝a 3，即2a 1＋d ＝a 1＋2d ， 又因为a 1＝12，所以d ＝12，故a 2＝a 1＋d ＝1.答案：110．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________. 解析：依题意得a －c ＝(3－k ，－6),3(3－k )＋6＝0，解得k ＝5. 答案：511．在△ABC 中，∠B ＝π3，三边长a ，b ，c 成等差数列，且ac ＝6，则b 的值是________．解析：由三边长a ，b ，c 成等差数列可得2b ＝a ＋c ，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 60°＝(a ＋c )2－3ac ＝4b 2－18，解得b ＝ 6.答案： 612．如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图像的一部分，A ，B 是图像上的一个最高点和一个最低点，O 为坐标原点，则uuu r OA ·uuu rOB 的值为________．解析：设函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为T .由图知T 4＝5π12－π6＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2πT ＝2，将点⎝⎛⎭⎫－π12，0代入y ＝sin(2x ＋φ)得sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋φ＝0， ∵0<φ<π，∴φ＝π6，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. ∴B ⎝⎛⎭⎫2π3，－1.又A ⎝⎛⎭⎫π6，1，∴uuu r OA ·uuu r OB ＝π29－1. 答案：19π2－113．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________． 解析：由a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1得a n ＋2＝(－1)n a n ＋1＋2n ＋1＝(－1)n [(－1)n －1a n ＋2n －1]＋2n ＋1＝－a n ＋(－1)n (2n －1)＋2n ＋1，即a n ＋2＋a n ＝(－1)n (2n －1)＋2n ＋1， ① 也有a n ＋3＋a n ＋1＝－(－1)n (2n ＋1)＋2n ＋3， ② ①②两式相加得a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝－2(－1)n ＋4n ＋4.设k 为整数，则a 4k ＋1＋a 4k ＋2＋a 4k ＋3＋a 4k ＋4＝－2(－1)4k ＋1＋4(4k ＋1)＋4＝16k ＋10，于是S 60＝∑k ＝014(a 4k ＋1＋a 4k ＋2＋a 4k ＋3＋a 4k ＋4)＝∑k ＝014(16k ＋10)＝1 830.答案：1 83014．数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2＋1，前n 项和为S n ，则S 2 012＝________.解析：∵a n ＝n cos n π2＋1，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝6，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝6，…，a 4k ＋1＋a 4k ＋2＋a 4k ＋3＋a 4k ＋4＝6，k ∈N ，故S 2 012＝503×6＝3 018.答案：3 018三、解答题(共4个小题，每小题13分，共52分)15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式． 解：(1)当n ＝1时，T 1＝2S 1－12.因为T 1＝S 1＝a 1，所以a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1.(2)当n ≥2时，S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2]＝2S n －2S n －1－2n ＋1， 所以S n ＝2S n －1＋2n －1，① 所以S n ＋1＝2S n ＋2n ＋1，② ②－①得a n ＋1＝2a n ＋2. 所以a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，即a n ＋1＋2a n ＋2＝2(n ≥2)． 当n ＝1时，a 1＋2＝3，a 2＋2＝6，则a 2＋2a 1＋2＝2，所以当n ＝1时也满足上式．所以{a n ＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列， 所以a n ＋2＝3·2n －1，所以a n ＝3·2n －1－2.16．设函数f (x )＝x2＋sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n }．(1)求数列{x n }的通项公式；(2)设{x n }的前n 项和为S n ，求sin S n .解：(1)令f ′(x )＝12＋cos x ＝0，所以cos x ＝－12，解得x ＝2k π±23π(k ∈Z)．由x n 是f (x )的第n 个正极小值点知， x n ＝2n π－23π(n ∈N *)．(2)由(1)可知，S n ＝2π(1＋2＋…＋n )－23n π＝n (n ＋1)π－2n π3，所以sin S n ＝sin ⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)π－2n π3.因为n (n ＋1)表示两个连续正整数的乘积，n (n ＋1)一定为偶数，所以sin S n ＝－sin 2n π3.当n ＝3m －2(m ∈N *)时， sin S n ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2m π－43 π＝－32；当n ＝3m －1(m ∈N *)时， sin S n ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2m π－23 π＝32； 当n ＝3m (m ∈N *)时， sin S n ＝－sin 2m π＝0.综上所述，sin S n＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n ＝3m －2(m ∈N *)，32，n ＝3m －1(m ∈N *)，0，n ＝3m (m ∈N *).17．已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos B 2，12与向量n ＝⎝⎛⎭⎫12，cos B2共线，其中A ，B ，C 是△ABC的三个内角．(1)求角B 的大小；(2)求2sin 2A ＋cos(C －A )的取值范围．解：(1)因为向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos B 2，12与向量n ＝12，cos B 2共线，所以cos B 2cos B 2＝14，即cos B 2＝±12，又因为0<B <π，所以cos B 2＝12，所以B 2＝π3，即B ＝2π3. (2)由(1)知A ＋C ＝π3，所以C ＝π3－A ，所以2sin 2A ＋cos (C －A )＝2sin 2A ＋cos ⎝⎛⎭⎫π3－2A ＝1－cos 2A ＋12cos 2A ＋32sin 2A＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6，因为0<A <π3，所以－π6<2A －π6<π2，所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6∈⎝⎛⎭⎫－12，1，所以1＋sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6∈⎝⎛⎭⎫12，2， 故2sin 2A ＋cos(C －A )的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，2. 18．已知各项均为正数的数列{a n }满足2a 2n ＋1＋3a n ＋1·a n －2a 2n ＝0，n 为正整数，且a 3＋132是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若c n ＝－log 12a na n，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，求使T n ＋n ·2n ＋1>125成立的正整数n 的最小值．解：(1)由2a 2n ＋1＋3a n ＋1·a n －2a 2n ＝0， 所以(a n ＋1＋2a n )(2a n ＋1－a n )＝0，即a n ＋1＝12a n ，所以{a n }是以12为公比的等比数列．因为a 3＋132是a 2，a 4的等差中项， 所以a 2＋a 4＝2a 3＋116，即a 1q ＋a 1q 3＝2a 1q 2＋116，即a 1＝12，所以{a n }的通项公式为a n ＝⎝⎛⎭⎫12n.(2)由c n ＝－log 12a na n＝－n ·2n .T n ＝－1×2－2×22－3×23－…－(n －1)·2n －1－n ·2n 2T n ＝－1×22－2×23－…－(n －1)·2n －n ·2n ＋1 相减得－T n ＝－2－22－23－…－2n ＋n ·2n ＋1则T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1 ＝(1－n )·2n ＋1－2要T n ＋n ·2n ＋1>125成立，即2n ＋1－2>125成立，即2n＋1>127，则n≥6，即使T n＋n·2n＋1>125成立的正整数n最小值为6.。