频率采样法

M
H (e j ) h(0) 2h(n) cosn n1 M a(n) cosn n0
低通滤波器的误差分配
切比雪夫最佳一致逼近
如图，用等波纹逼近法设计滤波器需要确定五个参数：
M、ωc、ωr、δ1、δ2 按上图所示的误差容限设计低通滤波器，就是说要在通带
0 ωωp 内以最大误差 δ1 逼近1，在阻带ωr ω 内 以最大误差δ2逼近零。
2）计算 h(n)
h(n)
1 N
N 1
H (k )e j 2nk / N ,
k 0
n 0,1, , N 1
3）计算 H (Z )
N 1
H (z) h(n)z n n0
三、 约束条件
为了设计线性相位的FIR滤波器，采样值 H（k）要满 足一定的约束条件。
前已指出,具有线性相位的FIR滤波器，其单位脉冲响
n
如果采用矩形窗
h(n) hd0(n)
o n N 1 其它
则有
N 1
2 | hd (n) h(n) |2 | hd (n) h(n) |2
n0
nN
可以证明，这是一个最小均方误差。
所以，矩形窗窗口设计法是一个最小均方误差FIR设计 ，根据前面的讨论，我们知道其优点是过渡带较窄，缺点是 局部点误差大,或者说误差分布不均匀。
对大多数应用场合，阻带衰减如此小的滤波器是不 能令人满意的。
增大阻带衰减三种方法：
1）加宽过渡带宽，以牺牲过渡带换取阻带衰减的增加。
例如在本例中可在k=9和k=24处各增加一个过渡带采 样点H9=H24=0.5，使过渡带宽增加到二个频率采样间隔 4π/33，重新计算的H(ejω)见图4.12(c)，其阻带衰减增加到 约 -40dB。
3）增大N 如果要进一步增加阻带衰减，但又不增加过渡带宽，可增加
采样点数N。 例如，同样边界频率ωc=0.5π , 以N=65采样，并在k=17和k=48
插 入 由 阻 带 衰 减 最 优 化 计 算 得 到 的 采 样 值 H17=H48=0.5886, 在 k=18 、 47 处 插 入 经 阻 带 衰 减 最 优 化 计 算 获 得 的 采 样 值 H17=H48=0.1065 , 这时得到的 H(ejω)， 过渡带为6π/65，而阻带衰 减增加了20多分贝，达-60dB以上，当然，代价是滤波器阶数增 加，运算量增加。
1 N sin
sin(N / 2) 2k / N
j N 1 k
e 2 N /2
为内插函数
令
则
k
(e
j
2 N
i
)
1 0
ik ik
,i 0,1, , N 1
内插公式表明：
在每个采样点上，
逼近误差为零，
频响
严格地与理想频响的采样值 H(k)相等；
在采样点之间，频响由各采样点的内插函数延伸迭 加而形成，因而有一定的逼近误差，误差大小与理想 频率响应的曲线形状有关，理想特性平滑，则误差小； 反之，误差大。在理想频率响应的不连续点附近， 会产生肩峰和波纹。 N增大，则采样点变密，逼近误差减小。
根据指标要求，在0～2π内有33个取样点，所以第k点对
应频率为
而截止频率 0.5π位于
之间
，所以，k=0～8时，取样值为1；根据对称性，
H0 H33
H1 H32
H8 H 25
故 k=25～32时，取样值也为1，因 k=33 为下一周期，所以 0～π区间有9个值为 1的采样点，π～2π区间有8个值为 1 的 采样点，因此：
§8.3 频率采样法
工程上，常给定频域上的技术指标，所以采用频域设计 更直接。 一、基本思想
使所设计的FIR数字滤波器的频率特性在某些离散频率 点上的值准确地等于所需滤波器在这些频率点处的值，在其 它频率处的特性则有较好的逼近。
内插公式
二.设计方法
1）确定 H k、 k
Hd (e j ) 2k H (k) Hke jk , k 0,1, , N 1 N
要同时确定上述五个参数较困难。常用的两种逼近方法： 1）给定M、δ1、δ2，以ωc和ωr为变量。
缺点：边界频率不能精确确定。 2）给定M、ωc和ωr，以δ1和δ2为变量，通过迭代运算
，使逼近误差δ1和δ2 最小，并确定h(n)——切比雪 夫最佳一致逼近。
特点：能准确地指定通带和阻带边界频率。
c r
而
必须取为：
k
N 1
2 2 k
(N
1)k
N
N
k 0,1, , N 1
k 0,1, , N 1
同样，若要设计第二种线性相位FIR滤波器，N为偶数， h(n)偶对称，由于幅度特性是奇对称的，
H H 2
因此，Hk 也必须满足奇对称性：
Hk H Nk
相位关系同上，
k 0,1, N 1
图 频率采样的响应
例：设计一个FIR数字 LP 滤波器，其理想特性为
Hd e j
1 0
0 0.5 0.5
采样点数 N=33，要求线性相位。
解：能设计低通线性相位数字滤波器的只有1、2两种，因N为 奇数，所以只能选择第一种。
即 h(n)=h(N-1-n)， 幅频特性关于π偶对称，也即 HK 偶对称。 利用 HK 的对称性,求π～2π区间的频响采样值。
应h(n)是实序列，且满足 h(n) h(N 1 n) ，由此得
到的幅频和相频特性，就是对H(k)的约束。
例如，要设计第一类线性相位FIR滤波器，即N为奇数，
h(n)偶对称，则
H e j
H ()e
j
N 1 2
பைடு நூலகம்
幅度函数H（ω）应具有偶对称性：
H () H (2 )
令 H (k ) H k e jk 则 H k 必须满足偶对称性：H k H N k
相同指标下，可用最少的阶数达到最佳化。
例如，我们提到的频率采样最优化设计，它是从已知的 采样点数N、预定的一组频率取样和已知的一组可变的频率取 样（即过渡带取样）出发，利用迭代法（或解析法）得到具 有最小的阻带最大逼近误差（即最大的阻带最小衰减）的FIR 滤波器。但它只是通过改变过渡带的一个或几个采样值来调 整滤波器特性。如果所有频率采样值（或FIR时域序列h(m)） 都可调整，显然，滤波器的性能可得到进一步提高。
2) 最大误差最小化准则（也叫最佳一致逼近准则）
表示为
max | E(e j ) | min
F
其中F是根据要求预先给定的一个频率取值范围，可以是 通带，也可以是阻带。最佳一致逼近即选择N个频率采样值 （ 或时域 h(n) 值 ），在给定频带范围内使频响的最大逼近误 差达到最小。也叫等波纹逼近。
优点：可保证局部频率点的性能也是最优的，误差分布均匀，
等波动逼近的低通滤波器
一.误差函数 定义逼近误差函数：
E W Hd () H ()
为所设计的滤波器与理想滤波器的幅频特性在通带和 阻带内的误差值，
小结：
频率采样设计法优点：
① 直接从频域进行设计，物理概念清楚，直观方便；
② 适合于窄带滤波器设计，这时频率响应只有少数几个非 零值。
典型应用：用一串窄带滤波器组成多卜勒雷达接收机，覆 盖不同的频段，多卜勒频偏可反映被测目标的运动速度；
缺点：截止频率难以控制。
因频率取样点都局限在2π/N的整数倍点上，所以在指 定通带和阻带截止频率时，这种方法受到限制，比较死板 。 充分加大N，可以接近任何给定的频率，但计算量和 复杂性增加。
32
33
k
0
Hk sin
sin
33
2
2k
/
k
33
33/ 2
e
j16
考虑到8<k<25时 Hk=0，而其它k时，Hk=1,令 k=33-n，则
32
H
k
sin
33
2
k
33
8
sin
33
2
(33 n)
33
k25 sin 2k / 33 / 2
n1
sin
2
(33 n) / 33
1 k 0 ~ 8;25 ~ 32
Hk 0
k 9 ~ 24
k
N 1 2
2
N
k
32 k
33
0 k 32
将
代入内插公式，求H(ejω)：
H e j 1 N1 Hk sin N / 2
e
j 32k N
e
j16
k N
N k0 sin 2k / N / 2
1
§8.4 FIR数字滤波器的最优化设计 -切比雪夫逼进法
前面介绍了FIR数字滤波器的两种逼近设计方法，即窗口 法（时域逼近法）和频率采样法（频域逼近法），用这两种方 法设计出的滤波器的频率特性都是在不同意义上对给定理想频 率特性Hd(ejω)的逼近。
说到逼近，就有一个逼近得好坏的问题，对“好”“坏 ”的恒量标准不同，也会得出不同的结论，我们前面讲过的窗 口法和频率采样法都是先给出逼近方法，所需变量，然后再讨 论其逼近特性，如果反过来要求在某种准则下设计滤波器各参 数，以获取最优的结果，这就引出了最优化设计的概念，最优 化设计一般需要大量的计算，所以一般需要依靠计算机进行辅 助设计。
8
sin
33
2
n
33
8
s in 33
2
n
33
n1
sin
2
k
33
n1 sin n
2 33
H
(e
j
)
1 33
sin 33
2
sin
2
8 k 1
s in 33
2
k
33
sin k
2 33
sin
33
2
k
33
sin k
2 33
从图上可以看出，其过渡带宽为一个频率采样间隔 2π/33，而最小阻带衰减略小于20dB。
k
(N
1)k
N
,
k 0,1, N 1
其它两种线性相位FIR数字滤波器的设计，同样也要满足
幅度与相位的约束条件。
四、逼近误差
由
或 H（z）。
由上述设计过程得到的
与
，以及
与H（k）的关系？
由
的逼近程度
h(n)
1
N 1
H (k )e j2nk / N , n 0,1,
,N 1
N k0
N1
1
2
E e j
2 d
均方误差最小准则就是选择一组时域采样值，以使均方误
差
，这一方法注重的是在整个-π～π频率区间内总误
差的全局最小，但不能保证局部频率点的性能，有些频率点
可能会有较大的误差，对于窗口法FIR滤波器设计，因采用有
限项的h(n)逼近理想的hd(n)，所以其逼近误差为：
2
hd (n) h(n) 2
N=65;k=0:(N-1)/2; Wm=2*pi*k./N; Ad(1:(N+1)/2)=1; Ad(18)=0.5886;Ad(19)=0.1065;Ad(20:33)=0; Hd=Ad.*exp(-j*0.5*(N-1)*Wm); Hd=[Hd conj(fliplr( Hd(2:(N+1)/2) ) )]; h=real(ifft(Hd)); w=linspace(0,pi-0.1,1000); H=freqz(h,[1],w); plot(w/pi,20*log10(abs(H)));grid;
2）过渡带的优化设计
根据H(ejω)的表达式，H(ejω)是Hk的线性函数，因此还可 以利用线性最优化的方法确定过渡带采样点的值，得到要求 的滤波器的最佳逼近（而不是盲目地设定一个过渡带值）。
例如，本例中可以用简单的梯度搜索法来选择H9、H24,使通 带或阻带内的最大绝对误差最小化。
要求使阻带内最大绝对误差达到最小（也即最小衰减达到 最大），可计算得H9=0.3904。对应的 H(ejω)的幅频特性，比 H9=0.5时 的阻带衰减大大改善,衰减约-50dB。如果还要进一步 改善阻带衰减，可以进一步加宽过渡区，添上第二个甚至第 三个不等于0的频率取样值，当然也可用线性最优化求取这些 取样值。
最优化设计的前提是最优准则的确定，在FIR滤波 器最优化设计中，常用的准则有
①最小均方误差准则
②最大误差最小化准则。
1) 均方误差最小化准则，
若以E(ejω)表示逼近误差，则
E（e j） Hd (e j ) H (e j )
那么均方误差为
2 1 2
Hd
e j
H e j
2
d
单位圆上的频响为：
H e j
1 e jN N
N 1
H (k)
k 0 1 e j 2k / N e j
1 N
N 1 H (k) sinN / 2 k0 sin 2k / N / 2
j N 1 k
e 2
N
N 1
H (k ) k e j
k 0
这是一个内插公式。
式中
k e j
H (z) h(n)z n
N 1
1
N
1
H
(k
)e
j 2nk
/
N
z
n
n0
n0 N k 0
1 N
N 1 k 0
H
(k
) Nn 01
e
j 2nk
/
N
z
n
1 N
N 1 k 0
H
(k
)
1
1 z e j 2k
/
N N
z
1
令 W e j2 / N ，则
H (z) 1 z N
N
N 1 H (k ) k 0 1 W k z 1