八年级全等三角形(培优篇)(Word版 含解析)
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【答案】
【解析】
【分析】
根据中点的性质及折叠的性质可得DA=DA₁=DB,从而可得∠ADA₁=2∠B,结合折叠的性质可得.，∠ADA₁=2∠ADE,可得∠ADE=∠B,继而判断DE// BC,得出DE是△ABC的中位线，证得AA₁⊥BC,AA₁=2，由此发现规律： 同理 …于是经过第n次操作后得到的折痕Dn-1 En-1到BC的距离 ，据此求得 的值．
【详解】
解：如图连接AA₁,由折叠的性质可得：AA₁⊥DE, DA= DA₁,A₂、A₃…均在AA₁上
故答案为：4．
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的判定及坐标与图形性质的综合运用，注意分类讨论思想的运用是解题关键．
2．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在x轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有_____个．
【答案】4
【解析】
【分析】
以O为圆心，OA为半径画弧交x轴于点P1、P3，以A为圆心，AO为半径画弧交x轴于点P4，作OA的垂直平分线交x轴于P2．
∵点A的坐标是（2，2），
∴∠AOP=45°，
∵AP=OP，
∴∠OAP=∠AOP=45°，
∴∠OPA=90°，
∴OP=2，
∴P点坐标为（2，0）.
（2）当点P在x轴负半轴上，
③以OA为腰时，
∵A的坐标是（2，2），
∴OA＝2 ，
∴OA＝OP＝2 ，
∴P的坐标是（﹣2 ，0）．
综上所述：P的坐标是（2，0）或（4，0）或（2 ，0）或（﹣2 ，0）．
【详解】
解：如图：分别作点P关于OB、AO的对称点P'、P''，分别连OP'、O、P'交OB、OA于M、N，
由轴对称△PMN周长等于PN+NM+MP=P'N+NM+MP"=P'P"
∴由两点之间线段最短可知，此时△PMN周长的最小
∴P'P"=5
由对称OP=OP'=OP"=5
∴△P'OP"为等边三角形
∴∠P'OP"=60
5．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5，M，N分别是射线OA和OB上的动点，若△PMN周长的最小值为5，则∠AOB的度数为_____．
【答案】30°．
【解析】
【分析】
如图：分别作点P关于OB、AO的对称点P'、P''，分别连OP'、O P''、P' P''交OB、OA于M、N，则可证明此时△PMN周长的最小，由轴对称性，可证明△P'O P''为等边三角形，∠AOB= ∠P'O P''=30°.
【详解】
（1）当点P在x轴正半轴上，
①如图，以OA为腰时，
∵A的坐标是（2，2），
∴∠AOP＝45°，OA＝2 ，
当∠AOP为顶角时，OA=OP=2 ，
当∠OAP为顶角时，AO=AP，
∴OPA=∠AOP=45°，
∴∠OAP=90°，
∴OP= OA=4，
∴P的坐标是（4，0）或（2 ，0）.
②以OA为底边时，
【答案】32
【解析】
【分析】
根据底边三角形的性质求出 以及平行线的性质得出 ，以及 ，得出 ， ， 进而得出答案．
【详解】
解： △ 是等边三角形，
， ，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
△ 、△ 是等边三角形，
， ，
，
， ，
， ，
， ，
，
同理可得:百度文库，
△ 的边长为 ，
△ 的边长为 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质以及30°直角三角形的性质，根据已知得出 ， ， 进而发现规律是解题关键．
八年级全等三角形（培优篇）（Word版 含解析）
一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
1．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P有_____个．
【答案】4
【解析】
【分析】
由A点坐标可得OA=2 ，∠AOP＝45°，分别讨论OA为腰和底边，求出点P在x轴正半轴和负半轴时，△APO是等腰三角形的P点坐标即可.
∵∠P'OB=∠POB，∠P"OA=∠POA
∴∠AOB= ∠P'O P''=30°.
故答案为30°.
【点睛】
本题是动点问题的几何探究题，考查最短路径问题，应用了轴对称图形性质和等边三角形性质.
6．如图，己知 ，点 ， ， ，…在射线ON上，点 ， ， ，…在射线OM上， ， ， ，…均为等边三角形，若 ，则 的边长为________.
7．如图，将 沿着过 中点 的直线折叠，使点 落在 边上的 处，称为第1次操作，折痕 到 的距离记为 ，还原纸片后，再将 沿着过 中点 的直线折叠，使点 落在 边上的 处，称为第2次操作，折痕 到 的距离记为 ，按上述方法不断操作下去…经过第2020次操作后得到的折痕 到 的距离记为 ，若 ，则 的值为______．
过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J,证明 ≅ ，再证明 ≅ ，求出 ，然后求出 ，，通过设 求出x，即可求出AF的长.
【详解】
解：过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J
在 和 中
∴ ≅
∴
∴ （8字形）
∴
在 和 中
∴ ≅
∴
∴
在 和 中
∴
设
则
3
【点睛】
此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等，得出相关的边相等，学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点.
4．在锐角三角形ABC中．BC= ，∠ABC=45°，BD平分∠ABC．若M，N分别是边BD，BC上的动点，则CM＋MN的最小值是____．
【答案】4
【解析】
【分析】
过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据BC= ，∠ABC=45°，BD平分∠ABC可知△BCE是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出CE的长．
【详解】
解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，
则CE即为CM+MN的最小值，
∵BC= ，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴CE=BC•cos45°= × =4．
∴CM+MN的最小值为4．
【点睛】
本题考查了轴对称最短路线问题，难度较大,根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．
【详解】
解：如图，使△AOP是等腰三角形的点P有4个．
故答案为4．
【点睛】
本题考查了在平面直角坐标系中寻找等腰三角形，掌握两圆一线找等腰三角形是解题的关键．
3．如图，已知△ABC和△ADE都是正三角形，连接CE、BD、AF，BF=4,CF=7,求AF的长_________.
【答案】3
【解析】
【分析】
【解析】
【分析】
根据中点的性质及折叠的性质可得DA=DA₁=DB,从而可得∠ADA₁=2∠B,结合折叠的性质可得.，∠ADA₁=2∠ADE,可得∠ADE=∠B,继而判断DE// BC,得出DE是△ABC的中位线，证得AA₁⊥BC,AA₁=2，由此发现规律： 同理 …于是经过第n次操作后得到的折痕Dn-1 En-1到BC的距离 ，据此求得 的值．
【详解】
解：如图连接AA₁,由折叠的性质可得：AA₁⊥DE, DA= DA₁,A₂、A₃…均在AA₁上
故答案为：4．
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的判定及坐标与图形性质的综合运用，注意分类讨论思想的运用是解题关键．
2．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在x轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有_____个．
【答案】4
【解析】
【分析】
以O为圆心，OA为半径画弧交x轴于点P1、P3，以A为圆心，AO为半径画弧交x轴于点P4，作OA的垂直平分线交x轴于P2．
∵点A的坐标是（2，2），
∴∠AOP=45°，
∵AP=OP，
∴∠OAP=∠AOP=45°，
∴∠OPA=90°，
∴OP=2，
∴P点坐标为（2，0）.
（2）当点P在x轴负半轴上，
③以OA为腰时，
∵A的坐标是（2，2），
∴OA＝2 ，
∴OA＝OP＝2 ，
∴P的坐标是（﹣2 ，0）．
综上所述：P的坐标是（2，0）或（4，0）或（2 ，0）或（﹣2 ，0）．
【详解】
解：如图：分别作点P关于OB、AO的对称点P'、P''，分别连OP'、O、P'交OB、OA于M、N，
由轴对称△PMN周长等于PN+NM+MP=P'N+NM+MP"=P'P"
∴由两点之间线段最短可知，此时△PMN周长的最小
∴P'P"=5
由对称OP=OP'=OP"=5
∴△P'OP"为等边三角形
∴∠P'OP"=60
5．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5，M，N分别是射线OA和OB上的动点，若△PMN周长的最小值为5，则∠AOB的度数为_____．
【答案】30°．
【解析】
【分析】
如图：分别作点P关于OB、AO的对称点P'、P''，分别连OP'、O P''、P' P''交OB、OA于M、N，则可证明此时△PMN周长的最小，由轴对称性，可证明△P'O P''为等边三角形，∠AOB= ∠P'O P''=30°.
【详解】
（1）当点P在x轴正半轴上，
①如图，以OA为腰时，
∵A的坐标是（2，2），
∴∠AOP＝45°，OA＝2 ，
当∠AOP为顶角时，OA=OP=2 ，
当∠OAP为顶角时，AO=AP，
∴OPA=∠AOP=45°，
∴∠OAP=90°，
∴OP= OA=4，
∴P的坐标是（4，0）或（2 ，0）.
②以OA为底边时，
【答案】32
【解析】
【分析】
根据底边三角形的性质求出 以及平行线的性质得出 ，以及 ，得出 ， ， 进而得出答案．
【详解】
解： △ 是等边三角形，
， ，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
△ 、△ 是等边三角形，
， ，
，
， ，
， ，
， ，
，
同理可得:百度文库，
△ 的边长为 ，
△ 的边长为 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质以及30°直角三角形的性质，根据已知得出 ， ， 进而发现规律是解题关键．
八年级全等三角形（培优篇）（Word版 含解析）
一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
1．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P有_____个．
【答案】4
【解析】
【分析】
由A点坐标可得OA=2 ，∠AOP＝45°，分别讨论OA为腰和底边，求出点P在x轴正半轴和负半轴时，△APO是等腰三角形的P点坐标即可.
∵∠P'OB=∠POB，∠P"OA=∠POA
∴∠AOB= ∠P'O P''=30°.
故答案为30°.
【点睛】
本题是动点问题的几何探究题，考查最短路径问题，应用了轴对称图形性质和等边三角形性质.
6．如图，己知 ，点 ， ， ，…在射线ON上，点 ， ， ，…在射线OM上， ， ， ，…均为等边三角形，若 ，则 的边长为________.
7．如图，将 沿着过 中点 的直线折叠，使点 落在 边上的 处，称为第1次操作，折痕 到 的距离记为 ，还原纸片后，再将 沿着过 中点 的直线折叠，使点 落在 边上的 处，称为第2次操作，折痕 到 的距离记为 ，按上述方法不断操作下去…经过第2020次操作后得到的折痕 到 的距离记为 ，若 ，则 的值为______．
过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J,证明 ≅ ，再证明 ≅ ，求出 ，然后求出 ，，通过设 求出x，即可求出AF的长.
【详解】
解：过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J
在 和 中
∴ ≅
∴
∴ （8字形）
∴
在 和 中
∴ ≅
∴
∴
在 和 中
∴
设
则
3
【点睛】
此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等，得出相关的边相等，学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点.
4．在锐角三角形ABC中．BC= ，∠ABC=45°，BD平分∠ABC．若M，N分别是边BD，BC上的动点，则CM＋MN的最小值是____．
【答案】4
【解析】
【分析】
过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据BC= ，∠ABC=45°，BD平分∠ABC可知△BCE是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出CE的长．
【详解】
解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，
则CE即为CM+MN的最小值，
∵BC= ，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴CE=BC•cos45°= × =4．
∴CM+MN的最小值为4．
【点睛】
本题考查了轴对称最短路线问题，难度较大,根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．
【详解】
解：如图，使△AOP是等腰三角形的点P有4个．
故答案为4．
【点睛】
本题考查了在平面直角坐标系中寻找等腰三角形，掌握两圆一线找等腰三角形是解题的关键．
3．如图，已知△ABC和△ADE都是正三角形，连接CE、BD、AF，BF=4,CF=7,求AF的长_________.
【答案】3
【解析】
【分析】