多边形内角和与外角和的几个应用

多边形内角和与外角和的几个应用
1．已知边数求内角和与内角度数．
例1．(1)22边形的内角和是多少度？若它的每一个内角都相等，那么它的每个外角度数是多少？(2)几边形的内角和是八边形内角和的2倍？
分析：
①引导学生利用方程的思想，要根据多边形的内角和、外角和的性质及题目中
提供的等量关系得出关于未知数的方程去求解．
②灵活运用“多边形的外角和与边数无关的性质”简化计算．
解:⑴根据n边形的内角和度数(n-2)·180°，得
(22-2)·180°=3600°
由于多边形的外角和度数为360°，所以360180 2211
=
o o
．
⑵设n边形的内角和是八边形内角和的2倍，得
(n-2)·180°=2×(8-2)×180°
∴n=14
答: 14边形的内角和是八边形内角和的2倍．
2．已知内角和求边数．
例2．⑴几边形的内角和是2160︒？是否存在一个多边形的内角和为1000︒？⑵已知一个多边形，它的内角等于外角的2倍，求边数．
分析:
①对于利用多边形内角和公式反求边数的题目，需注意：只有求出的边数n是大于2的正整数时，问题才有解；
③灵活运用“多边形的外角和与边数无关的性质”简化计算．
解: 设该多边形为n边形，依题意得
(n-2)·180°=2160°
∴n=14
不存在这样的多边形，理由如下:
假设存在这样的n边形，依题意得
(n-2)·180°=1000°
∴ n =689
∵ 多边形的边数为正整数
∴不存在这样的多边形．
3． 已知各相等内角与外角度数求多边形边数
例3． ⑴ 已知多边形的每个内角都是135︒，求这个多边形的边数；
⑵ 每个外角都相等的多边形，如果它的一个内角等于一个外角的9倍，求这个多边形的边数．
分析：
① 每个内角或外角都相等的多边形，它的每个内角为(2)180n n -⋅o ，每个外角为360n
o
，利用这两点就可以列出关于边数n 的方程，其中第二种方法较为简单． ② 对于第(1)题，可将“每个内角都135︒”转化为“每个外角都是45︒”，从而利用360n
o
=45︒，得出n 的值为8． ③ 若设边数为n ，则方程为(2)180n n -⋅o =9⨯n ο
360，得出n =20． 解: ⑴ ∵ 多边形的每个内角都是135︒，
∴ 它的每个外角度数为45︒．
根据多边形外角度数为360︒
∴ n =36045
o
o =8 ∴ 这个多边形的边数为8．
⑵ 设该多边形的边树为n ，依题意得
(2)180n n -⋅o =9⨯n ο
360，∴ n =20．。