2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及标准方程学案新人教B版选修1-1.doc
2020高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2. 双曲线 2..1 双曲线及其标准方程讲义 2-1
2．3。
1 双曲线及其标准方程1．双曲线（1）定义错误!平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于｜F1F2|且大于零）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．（2)双曲线的集合描述设点M是双曲线上任意一点，点F1，F2是双曲线的焦点，则由错误!P＝{M｜｜|MF1|－｜MF2｜｜＝2a，0〈2a〈|F1F2｜}．2．双曲线的标准方程1．判一判(正确的打“√"，错误的打“×")（1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离）的点的轨迹是双曲线．( )（2）在双曲线标准方程错误!－错误!＝1中，a〉0,b>0且a≠b.( ) (3）双曲线的标准方程可以统一为Ax2＋By2＝1(其中AB 〈0)．（）答案（1）×(2)×（3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上）(1)若双曲线错误!－错误!＝1上一点M到左焦点的距离为8,则点M 到右焦点的距离为________．（2）双曲线x2－4y2＝1的焦距为________．(3)（教材改编P55T1)已知双曲线a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为________．(4)下列方程表示焦点在y轴上的双曲线的有________(把序号填在横线上)．①x2－错误!＝1；②错误!＋错误!＝1(a<0)；③y2－3x2＝1；④x2cosα＋y2sinα＝1错误!.答案(1)4或12 （2) 5 （3）错误!－错误!＝1或错误!－错误!＝1（4)②③④解析(3）∵a＝5，c＝7,∴b＝错误!＝错误!＝2错误!。
当焦点在x轴上时，双曲线方程为错误!－错误!＝1；当焦点在y轴上时，双曲线方程为错误!－错误!＝1。
探究1 双曲线标准方程的认识例1 若θ是第三象限角，则方程x2＋y2sinθ＝cosθ表示的曲线是（)A ．焦点在y 轴上的双曲线B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在x 轴上的椭圆[解析］ 曲线方程可化为错误!＋错误!＝1，θ是第三象限角，则cos θ<0，错误!〉0，所以该曲线是焦点在y 轴上的双曲线．故选A.[答案］ A拓展提升双曲线方程的认识方法将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为错误!＋y 2n＝1，则当mn 〈0时，方程表示双曲线．若错误!则方程表示焦点在x 轴上的双曲线；若⎩⎪⎨⎪⎧m <0，n 〉0则方程表示焦点在y 轴上的双曲线． 【跟踪训练1】 若k >1,则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在y轴上的双曲线D．焦点在x轴上的双曲线答案C解析原方程化为错误!－错误!＝1，∵k>1，∴k2－1>0，k＋1>0。
人教版高中数学第二章2.2-2.2.1双曲线及其标准方程
[变式训练] 根据下列条件，求双曲线的标准方程： 过点 P3，145，Q－136，5，且焦点在坐标轴上．
解：设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)， 9m＋21265n＝1，
因为双曲线经过点 P，Q，所以2596m＋25n＝1，解
m＝－116， 得n＝19. 所以双曲线的标准方程为y92－1x62 ＝1.
第二章 圆锥曲线与方程
2．2 双曲线 2．2.1 双曲线及其标准方程
[学习目标] 1.了解双曲线的定义及标准方程的推导 过程(难点)． 2.会求双曲线的标准方程(重点)． 3.会利 用双曲线的定义和标准方程去解决简单的问题(重点、难 点)．
[知识提炼·梳理]
1．双曲线的定义 把平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等 于常数(小于 |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点 叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
防范措施：在求解与双曲线有关的轨迹问题时，准确
理解双曲线的定义，才能保证解题的正确性．当||PF1|－ |PF2||＝2a＜|F1F2|(a＞0)，即|PF1|－|PF2|＝±2a(0＜2a＜ |F1F2|)时， P 点的轨迹是双曲线，其中取正号时为双曲 线的右支，取负号时为双曲线的左支．
解：设 M(x，y)，设动圆与圆 C 的切点为 B，|BC|＝ 4，则|MC|＝|MB|＋|BC|，|MA|＝|MB|，所以|MC|＝|MA| ＋|BC|，即|MC|－|MA|＝|BC|＝4＜|AC|.所以由双曲线的定 义知，M 点轨迹是以 A，C 为焦点的双曲线的左支，且 a ＝2，c＝3，所以 b2＝5.
1．双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|)不要 漏了绝对值符号，当 2a＝|F1F2|时意与椭圆中 a，b，c 的区别，在椭圆中 a2＝b2＋c2，在双 曲线中 c2＝a2＋b2.
原创2：2.2.1 双曲线及其标准方程
6角形．
S ＝ △PF1F2
1 2
6
4＝12.
答案：12
2.设C点的坐标为C（x,y)，则AC的斜率为
k AC
x
y
， 5
BC的斜率为 y y m(y 0)
x5 x5
依题意有
k BC
x
y
， 5
化简得mx2-y2=25m(y≠0)
因为m≠0， 所以原方程可化为 x2 y2 1(y 0) ①
（2）当双曲线的焦点位置不确定时,求双曲线的标准方程有两 种思路:一是分别讨论焦点在x轴，y轴的情况，求解时要注意 检验；二是设为一般形式Ax2+By2=1(A·B＜0)，这样求解 时既避免了分类讨论，又简化了运算过程.
题目类型三、双曲线定义及标准方程的应用 【技法点拨】
1.双曲线的定义对于解题的主要作用 双曲线的定义对于解题具有双向作用： (1)可用来判断平面内动点的轨迹是否为双曲线(或双曲线的一 支)； (2)可以用来解决焦点三角形和焦点弦的有关问题.
25 25m
由题知方程①表示的轨迹是焦点在x轴上的双曲线（去掉两个
顶点）,所以m＞0.
所以所求m的取值范围是(0,+∞)．
【想一想】题1中能确定点P是在双曲线的哪一支上吗？ 提示：根据|PF1|∶|PF2|＝3∶2知|PF1|>|PF2|,所以点P在双 曲线靠近F2点的右支上.
【易错误区】双曲线定义运用中的误区 【典例】设F1，F2是双曲线 x2 －y2 ＝1的焦点，点P在双曲线
题目类型一、双曲线的定义 【技法点拨】
双曲线定义中的限制条件 （1）动点到两定点的距离之差； （2）强调差的绝对值是常数； （3）常数小于两定点间的距离. 只要上述三个条件有一个不满足，动点的轨迹就不是双曲线.
2019-2020学年高中数学选修2-1人教A版课件：第2章 圆锥曲线与方程 2.2 2.2.2 第二课时
2．2 椭 圆 2．2.2 椭圆的简单几何性质 第二课时 直线与椭圆的位置关系
自主学习导航
梳理知识 夯实基础
目标导学
1．掌握点与椭圆、直线与椭圆的位置关系及其研究方法， 并能利用相关性质解决一些实际问题．
2．通过全面理解椭圆的几何性质，培养学生综合利用知识、 灵活解决问题的能力．
)切
D．不确定
解析：∵直线 l：kx－y－k＝0 过点(1,0)，而点(1,0)在椭圆x42 ＋y22＝1 的内部，∴直线 l 与椭圆相交．
答案：A
3．以椭圆x42＋y32＝1 内一点 P(1,1)为中点的弦所在的直线方
程是( )
A．3x－4y＋2＝0
B．3x＋4y－7＝0
C．3x－4y＋7＝0
直线 y＝x＋2 与椭圆xm2＋y32＝1 有两个公
共点，则 m 的取值范围是( )
A．m＞1
B．m＞1 且 m≠3
C．m＞3
D．m＞0 且 m≠3
y＝x＋2， 解析：由xm2＋y32＝1，
得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.
Δ＝16m2－4m3＋m＞0， 由 题 意 ， 得m＞0， m≠3，
解得 m＞1 且
y＝－x＋m， 4x1x2＝9，联立1x22 ＋y42＝1，
得 4x2－6mx＋3m2－12＝0，∴x1
＋x2＝32m，x1x2＝3m24－12，∴94m2－4·3m24－12＝9，得 m2＝4， ∴m＝±2.又(P→A＋P→B)·A→B＝0 等价于 P 与 AB 中点连线与 AB 垂
直，设 AB 中点为 Q，则 kPQ＝1，即xy11＋＋22 xy22－－x20＝1，代入得 x0 ＝m2 ＋2，∴x0＝3 或 1.
位置关系
2019-2020年高中数学 2.2 圆锥曲线的参数方程教案 新人教A版选修4-4
2019-2020年高中数学 2.2 圆锥曲线的参数方程教案 新人教A 版选修4-41．椭圆的参数方程(1)抛物线y 2＝2px 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt (t ∈R ，t 为参数)．(2)参数t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．1．椭圆的参数方程中，参数φ是OM 的旋转角吗？【提示】 椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)中的参数φ不是动点M (x ，y )的旋转角，它是点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角，称为离心角，不是OM 的旋转角．2．双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数sec φ的意义是什么？【提示】 sec φ＝1cos φ，其中φ∈[0,2π)且φ≠π2，φ≠32π.3．类比y 2＝2px (p >0)，你能得到x 2＝2py (p >0)的参数方程吗？【提示】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt ，y ＝2pt 2.(p >0，t 为参数，t ∈R )椭圆的参数方程及应用将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝3sin θ(θ为参数)化为普通方程，并判断方程表示曲线的焦点坐标．【思路探究】 根据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质．【自主解答】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝3sin θ得⎩⎨⎧cos θ＝x 5，sin θ＝y 3，两式平方相加，得x 252＋y 232＝1.∴a ＝5，b ＝3，c ＝4.因此方程表示焦点在x 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(4,0)和F 2(－4,0)．椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ，(θ为参数，a ，b 为常数，且a >b >0)中，常数a 、b 分别是椭圆的长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上．若本例的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝5sin θ，(θ为参数)，则如何求椭圆的普通方程和焦点坐标？【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝5sin θ，化为⎩⎨⎧x3＝cos θ，y5＝sin θ，两式平方相加，得x 232＋y 252＝1.其中a ＝5，b ＝3，c ＝4.所以方程的曲线表示焦点在y 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(0，－4)与F 2(0,4)．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t y ＝3＋sin t ，(t 为参数)，曲线C 2：x 264＋y 29＝1.(1)化C 1为普通方程，C 2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：x －2y －7＝0距离的最小值．【思路探究】 (1)参数方程与普通方程互化；(2)由中点坐标公式，用参数θ表示出点M 的坐标，根据点到直线的距离公式得到关于θ的函数，转化为求函数的最值．【自主解答】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos t ＝x ＋4，sin t ＝y －3. ∴曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆．曲线C 2：x 264＋y 29＝1表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)(2)依题设，当t ＝π2时，P (－4,4)；且Q (8cos θ，3sin θ)，故M (－2＋4cos θ，2＋32sin θ)．又C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝55|5cos(θ＋φ)－13|， 从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，(其中φ由sin φ＝35，cos φ＝45确定)cos(θ＋φ)＝1，d 取得最小值855.1．从第(2)问可以看出椭圆的参数方程在解题中的优越性．2．第(2)问设计十分新颖，题目的要求就是求动点M 的轨迹上的点到直线C 3距离的最小值，这个最小值归结为求关于参数θ的函数的最小值．(xx·开封质检)已知点P 是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，求点P 到直线l ：x ＋2y ＝0的距离的最大值．【解】 因为P 为椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，故可设P (2cos θ，sin θ)，其中θ∈[0,2π)． 又直线l ：x ＋2y ＝0.因此点P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22＝22|sin θ＋π4|5.所以，当sin(θ＋π4)＝1，即θ＝π4时，d 取得最大值2105.双曲线参数方程的应用 求证：双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．【思路探究】 设出双曲线上任一点的坐标，可利用双曲线的参数方程简化运算．【自主解答】 由双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，得两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0，bx －ay ＝0， 设双曲线上任一点的坐标为(a sec φ，b tan φ)， 它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2，则d 1·d 2＝|ab sec φ＋ab tan φ|b 2＋a 2·|ab sec φ－ab tan φ|b 2＋－a 2＝|a 2b 2sec 2 φ－tan 2 φ|a 2＋b 2＝a 2b 2a 2＋b2(定值)．在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec 2 φ－tan 2 φ＝1的应用．如图2－2－1，设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是两个焦点，证明：|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.图2－2－1【证明】 设P (sec φ，tan φ)，∵F 1(－2，0)，F 2(2，0)， ∴|PF 1|＝sec φ＋22＋tan 2φ＝2sec 2φ＋22sec φ＋1，|PF 2|＝sec φ－22＋tan 2φ＝2sec 2φ－22sec φ＋1， |PF 1|·|PF 2|＝2sec 2φ＋12－8sec 2φ＝2sec 2φ－1. ∵|OP |2＝sec 2φ＋tan 2φ＝2sec 2φ－1， ∴|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.抛物线的参数方程设抛物线y 2＝2px 的准线为l ，焦点为F ，顶点为O ，P 为抛物线上任一点，PQ ⊥l 于Q ，求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程．【思路探究】 解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．【自主解答】 设P 点的坐标为(2pt 2,2pt )(t 为参数)，当t ≠0时，直线OP 的方程为y ＝1tx ，QF 的方程为y ＝－2t (x －p2)，它们的交点M (x ，y )由方程组⎩⎨⎧y ＝1txy ＝－2t x －p2确定， 两式相乘，消去t ，得y 2＝－2x (x －p2)，∴点M 的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0(x ≠0)．当t ＝0时，M (0,0)满足题意，且适合方程2x 2－px ＋y 2＝0. 故所求的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0.1．抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，参数t 为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．2．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．(xx·天津高考)已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ，若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.【解析】 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y 2＝2px ，所以y 2M ＝6p ，所以E (－p 2，±6p )，F (p 2，0)，所以p2＋3＝p 2＋6p ，所以p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2(负值舍去)．【答案】 2(教材第34页习题2.2，第5题)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上任意一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1，B 2的连线分别与x轴交于P 、Q 两点，O 为椭圆的中心．求证：|OP |·|OQ |为定值．(xx·徐州模拟)如图2－2－2，已知椭圆x24＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B1、B2的连线分别交x轴于P、Q两点．图2－2－2求证：|OP |·|OQ |为定值． 【命题意图】 本题主要考查椭圆的参数方程的简单应用，考查学生推理与数学计算能力．【证明】 设M (2cos φ，sin φ)(φ为参数)， B 1(0，－1)，B 2(0,1)．则MB 1的方程：y ＋1＝sin φ＋12cos φ·x ，令y ＝0，则x ＝2cos φsin φ＋1，即|OP |＝|2cos φ1＋sin φ|.MB 2的方程：y －1＝sin φ－12cos φx ，∴|OQ |＝|2cos φ1－sin φ|.∴|OP |·|OQ |＝|2cos φ1＋sin φ|·|2cos φ1－sin φ|＝4.因此|OP |·|OQ |＝4(定值).1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝2sin θ，(θ为参数)化为普通方程为( )A ．x 2＋y 24＝1 B ．x 2＋y 22＝1C ．y 2＋x 24＝1D ．y 2＋x24＝1【解析】 易知cos θ＝x ，sin θ＝y2，∴x 2＋y24＝1，故选A.【答案】 A2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x cos θ＝a ，y ＝b cos θ，(θ为参数，ab ≠0)表示的曲线是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．双曲线的一部分【解析】 由x cos θ＝a ，∴cos θ＝ax，代入y ＝b cos θ，得xy ＝ab ，又由y ＝b cos θ知，y ∈[－|b |，|b |]， ∴曲线应为双曲线的一部分． 【答案】 D3．(xx·陕西高考)圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．【解析】 将参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4⇒p ＝2，则焦点坐标为(1,0)．【答案】 (1,0)4．(xx·湖南高考)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________. 【解析】 将曲线C 1与C 2的方程化为普通方程求解．∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1，y ＝1－2t ，消去参数t 得2x ＋y －3＝0. 又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，消去参数θ得x 2a 2＋y 29＝1.方程2x ＋y －3＝0中，令y ＝0得x ＝32，将(32，0)代入x 2a 2＋y 29＝1，得94a 2＝1.又a >0，∴a＝32. 【答案】32(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φy ＝5sin φ，(φ为参数)的离心率为( )A.23B.35C.32D.53【解析】 由题设，得x 29＋y 25＝1，∴a 2＝9，b 2＝5，c 2＝4，因此e ＝c a ＝23.【答案】 A2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2y ＝2＋sin α，(α为参数)的普通方程是( )A ．y 2－x 2＝1B ．x 2－y 2＝1C ．y 2－x 2＝1(1≤y ≤3)D ．y 2－x 2＝1(|x |≤2)【解析】 因为x 2＝1＋sin α，所以sin α＝x 2－1. 又因为y 2＝2＋sin α＝2＋(x 2－1)， 所以y 2－x 2＝1.∵－1≤sin α≤1，y ＝2＋sin α， ∴1≤y ≤ 3.∴普通方程为y 2－x 2＝1，y ∈[1，3]． 【答案】 C3．点P (1,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝2t (参数t ∈R )上的点的最短距离为( )A ．0B ．1 C. 2 D ．2【解析】 d 2＝(x －1)2＋y 2＝(t 2－1)2＋4t 2＝(t 2＋1)2， 由t 2≥0得d 2≥1，故d min ＝1. 【答案】 B4．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝4sin θ，(θ为参数，0≤θ≤π)上的一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π4，则P 点的坐标是( ) A ．(3,4) B ．(322，22) C ．(－3，－4) D ．(125，125) 【解析】 由题意知，3cos θ＝4sin θ， ∴tan θ＝34，又0≤θ≤π，则sin θ＝35，cos θ＝45，∴x ＝3×cos θ＝3×45＝125， y ＝4sin θ＝4×35＝125， 因此点P 的坐标为(125，125)． 【答案】 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos t y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为________．【解析】 由⎩⎨⎧x ＝2cos π3＝1，y ＝4sin π3＝2 3. 得点M 的坐标为(1,23)．直线OM 的斜率k ＝231＝2 3. 【答案】 236．(xx·江西高考)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2化为普通方程为y ＝x 2，由于ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以化为极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos 2θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.【答案】 ρcos 2θ－sin θ＝0三、解答题(每小题10分，共30分)7．(xx·平顶山质检)如图2－2－3所示，连接原点O 和抛物线y ＝12x 2上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明是什么曲线？图2－2－3【解】 抛物线标准方程为x 2＝2y ，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t ，y ＝2t 2.得M (2t,2t 2)．设P (x ，y )，则M 是OP 中点．∴⎩⎨⎧2t ＝x ＋02，2t 2＝y ＋02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t y ＝4t 2(t 为参数)， 消去t 得y ＝14x 2，是以y 轴对称轴，焦点为(0,1)的抛物线．8．(xx·龙岩模拟)已知直线l 的极坐标方程是ρcos θ＋ρsin θ－1＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，椭圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝sin θ(θ为参数)，求直线l 和椭圆C 相交所成弦的弦长．【解】 由题意知直线和椭圆方程可化为：x ＋y －1＝0，①x 24＋y 2＝1，② ①②联立，消去y 得：5x 2－8x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝85. 设直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 两点直角坐标分别为(0,1)，(85，－35)，则|AB |＝－35－12＋852＝825. 故所求的弦长为825. 9．(xx·漯河调研)在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3cos αy ＝sin α (α为参数)． (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为(4，π2)，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．【解】 (1)把极坐标系下的点P (4，π2)化为直角坐标，得点(0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos α＋π6＋42＝2cos(α＋π6)＋22，由此得，当cos(α＋π6)＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2. 教师备选10．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P (0，32)到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标．【解】 设椭圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝b sin θ，其中，a >b >0,0≤θ<2π. 由e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－(b a )2可得b a ＝1－e 2＝12即a ＝2b . 设椭圆上的点(x ，y )到点P 的距离为d ，则d 2＝x 2＋(y －32)2＝a 2cos 2θ＋(b sin θ－32)2 ＝a 2－(a 2－b 2)sin 2θ－3b sin θ＋94＝4b 2－3b 2sin 2θ－3b sin θ＋94＝－3b 2(sin θ＋12b)2＋4b 2＋3， 如果12b >1即b <12，即当sin θ＝－1时，d 2有最大值，由题设得(7)2＝(b ＋32)2，由此得b ＝7－32>12，与b <12矛盾． 因此必有12b≤1成立， 于是当sin θ＝－12b时，d 2有最大值， 由题设得(7)2＝4b 2＋3，由此可得b ＝1，a ＝2.所求椭圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ.由sin θ＝－12，cos θ＝±32可得，椭圆上的点(－3，－12)，点(3，－12)到点P 的距离都是7..。
新教材北师大版高中数学选择性必修第一册第二章圆锥曲线第二节双曲线-教学课件全篇
由正弦定理得 sin A＝|B2RC|，sin B＝|A2RC|，sin C＝|A2RB|(R 为△ABC 的外接圆半径)．
∵2sin A＋sin C＝2sin B，∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|， 从而有|AC|－|BC|＝12|AB|＝2 2<|AB|．
由双曲线的定义知，点 C 的轨迹为双曲线的右支(除去与 x 轴的 交点)．
由双曲线的定义知，F 点在以 A，B 为焦点，2 为实轴长的双曲 线的下半支上．
所以点 F 的轨迹方程是 y2－4x82 ＝1(y≤－1)．
1．利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意||PF1| －|PF2||＝2a 的变形使用，特别是与|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|·|PF2|间的关 系．
2．利用双曲线的定义求曲线的轨迹方程， 其基本步骤为 ①寻求动点 M 与定点 F1，F2 之间的关系； ②根据题目的条件计算是否满足||MF1|－|MF2||＝2a(常数，a>0)； ③判断：若 2a<2c＝|F1F2|，满足定义，则动点 M 的轨迹就是双 曲线，且 2c＝|F1F2|，b2＝c2－a2，进而求出相应 a，b，c； ④根据 F1，F2 所在的坐标轴写出双曲线的标准方程．
§2 双曲线
2.1 双曲线及其标准方程 2.2 双曲线的简单几何性质 P51
取一条长拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上，一条边选择 其端点，另一条边选择中间的一点，分别固定到 F1、F2 上，F1 到 F2 的长为 2a(a>0)，把笔尖放在 M 处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔 尖就画出一条曲线，如图所示．
(2)双曲线定义的应用： ①若||MF1|－|MF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)，则动点 M 的轨迹为双曲线． ②若动点 M 在双曲线上，则||MF1|－|MF2||＝2a．
2019年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2双曲线2.2.1双曲线的定义与标准方程讲义含解析湘教版选修2_1
2．2.1 双曲线的定义与标准方程[读教材·填要点]1．双曲线的定义的点的轨迹叫|)2F 1F |小于(的定值0的绝对值为大于距离之差的2F ，1F 平面上到两个定点焦距．叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的2F ，1F 定点作双曲线．这两个2．双曲线的标准方程[小问题·大思维]1．双曲线的定义中，为什么要规定定值小于|F 1F 2|？若定值等于|F 1F 2|或等于0或大于|F 1F 2|，点的轨迹又是怎样的曲线？提示：(1)如果定义中定值改为等于|F 1F 2|，此时动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线(包括端点)．(2)如果定义中定值为0，此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线．(3)如果定义中定值改为大于|F 1F 2|，此时动点轨迹不存在．2．在双曲线的定义中，如果将“差的绝对值”改为“差”，那么点的轨迹还是双曲线吗？提示：不是．是双曲线的一支．3．若方程x2m －y2n＝1表示双曲线，m ，n 应满足什么条件？提示：若方程x2m －y2n＝1表示双曲线，则m ·n >0.在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足sin B －sin A ＝12sin C ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程，并指明表示什么曲线．[自主解答] 如图所示，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理得sin A ＝a2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .∵sin B －sin A ＝12sin C ，∴b －a ＝c2.从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22＜|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支． ∵a ＝2，c ＝22， ∴b 2＝c 2－a 2＝6.∴顶点C 的轨迹方程为x22－y26＝1(x ＞2)．故C 点的轨迹为双曲线的右支且除去点(2，0)．解答此类问题要注意定义中的两个关键性条件：(1)差的绝对值是定值，(2)常数大于0小于两定点间的距离．同时具备这两个条件才是双曲线．1．已知F 1，F 2分别是双曲线x29－y216＝1的左、右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32.试求△F 1PF 2的面积．解：因为P 是双曲线左支上的点，所以|PF 2|－|PF 1|＝6，两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝100－1002|PF1|·|PF2|＝0，所以∠F 1PF 2＝90°，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上；(2)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5且焦点在坐标轴上．[自主解答] (1)∵焦点在x 轴上，c ＝6， ∴设所求双曲线方程为x2λ－y26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1. ∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线方程是x25－y 2＝1.(2)设双曲线的标准方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，∵双曲线过P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－116，n ＝19.∴所求双曲线方程为y29－x216＝1.1．双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a ，b ，c ，再写出双曲线的标准方程．(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程y2a2－x2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a ，b 均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可． 2．求双曲线标准方程的两个关注点(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)定量：“定量”是指确定a 2，b 2的具体数值，常根据条件列方程求解．2．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)a ＝4，经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4103；(2)经过点(3,0)，(－6，－3)．解：(1)当焦点在x 轴上时，设所求标准方程为x216－y2b2＝1(b >0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝－1615×1609<0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求标准方程为y216－x2b2＝1(b >0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝9，∴所求双曲线的标准方程为y216－x29＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋0＝1，36m ＋9n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝－13，∴所求双曲线的标准方程为x29－y23＝1.设P 为双曲线x 2－y212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．24[自主解答] 如图所示，∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝4. 又∵|F 1F 2|＝2c ＝213， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6×4＝12.[答案] B在解决与焦点三角形有关的问题的时候，首先要注意定义条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用．其次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算．在运算过程中要注意整体思想的应用和一些变形技巧的应用．若本例中的|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2改为PF ―→1·PF ―→2＝0，求△PF 1F 2的面积．解：由题意PF ―→1·PF ―→2＝0，则PF 1⊥PF 2，∴△PF 1F 2为直角三角形． ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2，又∵||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，|F 1F 2|2＝4c 2＝4(a 2＋b 2)＝4(1＋12)＝52，∴4＋2|PF 1|·|PF 2|＝52，∴|PF 1|·|PF 2|＝24，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12.3．双曲线x29－y216＝1的两个焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，求点P 的坐标．解：由双曲线的方程知：a ＝3，b ＝4，c ＝5，不妨设点P 在第一象限，坐标为(x ，y )，F 1为左焦点，那么：⎩⎪⎨⎪⎧|PF1|－|PF2|＝6， ①|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100. ②由①得：(|PF 1|－|PF 2|)2＝36.所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝36.∴|PF 1||PF 2|＝32.在直角三角形PF 1F 2中，|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|·y ＝32，所以y ＝165，代入双曲线的方程得：x ＝3415，即点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫3415，165，再根据双曲线的对称性得点P 的坐标还可以是⎝⎛⎭⎪⎫－3415，165，⎝ ⎛⎭⎪⎫3415，－165，⎝⎛⎭⎪⎫－3415，－165.解题高手多解题条条大路通罗马，换一个思路试一试设双曲线与椭圆x227＋y236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的方程．[解] 法一：∵椭圆的焦点在y 轴上，由题意可设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意知c 2＝36－27＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有⎩⎪⎨⎪⎧42a2－15b2＝1，a2＋b2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝4，b2＝5.所以双曲线方程为y24－x25＝1.法二：将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A (±15，4)， 又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)．所以2a ＝|15－＋＋－15－＋－|＝4，a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线方程为y24－x25＝1.法三：由题意设双曲线方程为x227－λ＋y236－λ＝1(27＜λ＜36)，将A (±15，4)代入得1527－λ＋1636－λ＝1.解得λ＝32或λ＝0(舍去)．∴所求双曲线的方程为y24－x25＝1.1．若双曲线E ：x29－y216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3解析：由双曲线的定义有||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6，∴|PF 2|＝9或|PF 2|＝－3(舍去)． 答案：B2．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0B.⎝⎛⎭⎪⎫52，0C.⎝⎛⎭⎪⎫62，0 D.()3，0解析：将双曲线方程化为标准方程为x 2－y212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12.∴c ＝a2＋b2＝62，故右焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0.答案：C3．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( )A.x216－y29＝1(x ≤－4) B.x29－y216＝1(x ≤－3)C.x216－y29＝1(x ≥4) D.x29－y216＝1(x ≥3)解析：由题意，得c ＝5，a ＝3，∴b ＝4， ∴P 点的轨迹方程是x29－y216＝1(x ≥3)．答案：D4．若方程x21＋k －y21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________． 解析：由题意知，(1＋k )(1－k )>0，即－1<k <1.答案：(－1,1)5．若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3)，则实数k 的值为________．解析：由8kx 2－ky 2＝8，得x21k －y28k＝1.又∵焦点在y 轴上，∴a 2＝－8k ，b 2＝－1k.∵c ＝3，由c 2＝a 2＋b 2得9＝－8k －1k，∴k ＝－1.答案：－16．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a ＝5，c ＝7；(2)以椭圆x225＋y29＝1的长轴端点为焦点，且经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，94.解：(1)由题设知a ＝5，c ＝7，则b 2＝c 2－a 2＝24.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程是x225－y224＝1 或y225－x224＝1.(2)因为椭圆x225＋y29＝1的长轴端点为A 1(－5,0)，A 2(5，0)，所以所求双曲线的焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．由双曲线的定义知，||PF 1|－|PF 2||＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ＋＋⎝ ⎛⎭⎪⎫94－02－ －＋⎝ ⎛⎭⎪⎫94－02＝8，即2a ＝8，则a ＝4.又c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝9，故所求双曲线的标准方程为x216－y29＝1.一、选择题1．双曲线x2m2＋12－y24－m2＝1的焦距是( )A ．4B ．22C ．8D ．与m 有关解析：c 2＝m 2＋12＋4－m 2＝16，∴c ＝4,2c ＝8.答案：C2．已知方程x2m2＋n －y23m2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)解析：由题意得(m 2＋n )(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1<n <3.答案：A3．已知点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2.当点P 的纵坐标是12时，点P 到坐标原点的距离是( )A.62B.32C.3D ．2解析：因为动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2为定值，又2<22，所以P 点的轨迹为双曲线的一支．因为2a ＝2，所以a ＝1.又因为c ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝1.所以P 点轨迹为x 2－y 2＝1的一支．当y ＝12时，x 2＝1＋y 2＝54，则P 点到原点的距离为|PO |＝x2＋y2＝54＋14＝62.答案：A4．已知双曲线C ：x29－y216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 右支上的一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 1的面积等于( )A ．24B ．36C ．48D ．96解析：依题意得|PF 2|＝|F 1F 2|＝10，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝6，|PF 1|＝16，因此△PF 1F 2的面积等于12×16×102－⎝ ⎛⎭⎪⎫1622＝48.答案：C 二、填空题5．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y2m －x29＝1的一个焦点，则m ＝________.解析：由点F (0,5)可知该双曲线y2m －x29＝1的焦点落在y 轴上，所以m >0，且m ＋9＝52，解得m ＝16. 答案：166．已知双曲线的两个焦点分别为F 1(－3,0)和F 2(3,0)，且P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，1在双曲线右支上，则该双曲线的方程是______________． 解析：法一：利用双曲线定义．2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝1214＋1－ 14＋1＝552－52＝25，∴a ＝5，b 2＝c 2－a 2＝4. 故所求方程为x25－y24＝1.法二：待定系数法．设双曲线方程为x2a2－y29－a2＝1，则有254a2－19－a2＝1，∴4a 4－65a 2＋225＝0.∴a 2＝5或a 2＝454>9(舍去)．∴双曲线方程为x25－y24＝1.答案：x25－y24＝17．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x24－y212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.答案：48．已知F 是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．解析：设右焦点为F 1，依题意，|PF |＝|PF 1|＋4，∴|PF |＋|PA |＝|PF 1|＋4＋|PA |＝|PF 1|＋|PA |＋4≥|AF 1|＋4＝5＋4＝9.答案：9三、解答题9．若方程x25－m ＋y2m2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，求实数m 的取值范围．解：∵方程x25－m ＋y2m2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，∴⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＜0，m2－2m －3＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞5，m ＞3或m ＜－1.∴m ＞5.即m 的取值范围是(5，＋∞)．10．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状．解：(1)椭圆的方程可化为x29＋y24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝ 5.故可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧9a2－4b2＝1，a2＋b2＝5.解得a 2＝3，b 2＝2.故双曲线的标准方程为x23－y22＝1.(2)不妨设M 在双曲线的右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2 3.又|MF1|＋|MF2|＝63，解得|MF1|＝43，|MF2|＝2 3.又|F1F2|＝2c＝25，因此在△MF1F2中，|MF1|边最长，由余弦定理可得cos∠MF2F1＝|MF2|2＋|F1F2|2－|MF1|2 2|MF2|·|F1F2|＝3＋5－32×23×25＝－215<0.所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2是钝角三角形．。
高中数学新人教B版选修1-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.2.1双曲线及其标准方程
1.请说出下列方程所表示曲线的焦点位置及 a ，b
x2 y2
x2 y2
x2 y2
(1) 1 (2) 1 (3) 1
94
49
49
(4)4x2 y2 64
（六）例题讲解，巩固强化
已知双曲线两个焦点分别为F1（-5，0），F2(5,0), 双曲线上一点P到F1，F2距离差的绝对值等于6，
F1 o F2
注意
（1）2a<2c ； （2）2a >0 ；问 是题 什1么：?若2a = 0,则图形
问题2:定义中为什么要强调差的绝对值？
1.若 MF1 MF2 2a 0 2a F1F2
则图形为 ___双__曲__线__右__支___________
F1
F2
2.若 MF1 MF2 2a 0 2a F1F2
F1 O F2 x
(c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 )
y M
x2 a2
c2
y2 a2
1
c2 a2
b2
F2
x
O
F1
x2 y2 1(a 0,b 0)
a2 b2
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
y2 a2
x2 b2
1(a 0, b 0)
(2)双曲线方程中 a 0,b 0 ,但 a 不一定椭大圆于中:b用；“+”相连
(3)双曲线标准方程中左边用“-确”定相焦连点，位右置边: 为1.
椭圆看分母的大小,焦点跟着大的跑；
(4)如果 x2 的系数是正的，那么双焦曲点线在看系x数轴的上正，负,焦点跟着正的去.
如 果 y2 的系数是正的，那么焦点在 y 轴上.
一个动点
笔尖滑动 图钉不动
高二数学(人教B版)选修1-1全册课件1、2-2-1双曲线及其标准方程
2．在双曲线的定义中，条件0<2a<|F1F2|不应忽视，若
2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是 两条射线 ； 若 2a>|F1F2| ，
则动点的轨迹是 不存在 ． 3．双曲线定义中应注意关键词“ 绝对值 ”，若去掉 定义中“绝对值”三个字，动点轨迹只能是 双曲线一支 ．
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
(选修1-1)
本节重点：双曲线的定义及其标准方程． 本节难点：双曲线标准方程的推导．
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第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
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第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
1．对于双曲线定义的理解，要抓住双曲线上的点所要 满足的条件，即双曲线上点的几何性质，可以类比椭圆的
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，
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
1 1 a2＝－16 解得 12＝－1 9 b
(不合题意，舍去)．
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y x 当双曲线的焦点在 y 轴上时， 设双曲线的方程为a2－b2 ＝1(a>0，b>0)． 3 ( 5)2 4 2 a2 －b2＝1 ∵P1、P2 在双曲线上，∴ 2 (4 7)2 3 4 a2－ b2 ＝1
2
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
2
当 k>0 时，k＝6.
[辨析] 因为不能确定k的正负，需讨论．
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[正解]
x2 y2 当 k>0 时，方程化为标准形式： k － k ＝1 2
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k 3k ∵c ＝2＋k＝ 2 ，
2
2019-2020学年浙江高二人A数学选修2-1第二章 圆锥曲线与方程_2.3.1 双曲线及其标准方程(讲义)
2.3.1 双曲线及其标准方程课标要求:1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.2.双曲线定义的集合表示设点M是双曲线上任意一点,点F1,F2是双曲线的焦点,则由双曲线的定义可知,双曲线可以视为动点M的集合,即点集P={M|||MF1|-|MF2||=常数,常数大于0且小于|F1F2|}.注意:(1)距离的差要加绝对值,否则只是双曲线的一支,若F1,F2表示双曲线的左、右焦点,有两种情形:①若点P满足|PF2|-|PF1|=2a(a>0),则点P在左支上.如图①所示.②若点P满足|PF1|-|PF2|=2a(a>0),则点P在右支上.如图②所示.(2)注意定义中的“小于|F1F2|”这一限制条件,其根据是“三角形两边之差小于第三边”.①若2a=2c,即||PF1|-|PF2||=|F1F2|,根据平面几何知识,当|PF1|-|PF2|=|F1F2|时,动点轨迹是以F2为端点向右延伸的一条射线;当|PF2|-|PF1|=|F1F2|时,动点轨迹是以F1为端点向左延伸的一条射线.②若2a>2c,即||PF1|-|PF2||>|F1F2|,根据平面几何知识,动点轨迹不存在.3.双曲线的标准方程注意:(1)标准方程中的两个参数a和b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,这里b2=c2-a2,它们恰好为一个直角三角形的三条边,其中c为斜边.注意与椭圆中b2=a2-c2相区别,在椭圆中a>b>0,而双曲线中,a,b大小则不确定.(2)焦点F1,F2的位置,是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.可以根据项的正负来判断焦点所在的位置,即x2项的系数是正的,那么焦点在x轴上;y2项的系数是正的,那么焦点在y轴上.简言之,“焦点跟着正项走”.4.双曲线的一般方程当ABC ≠0时,方程Ax 2+By 2=C 可以变形为2x C A +2y C B=1,由此可以看出方程Ax 2+By 2=C 表示双曲线的充要条件是ABC ≠0,且A,B 异号.此时称方程Ax 2+By 2=C 为双曲线的一般方程.利用一般方程求双曲线的标准方程时,可以将其设为Ax 2+By 2=1(AB<0),将其化为标准方程,即21x A +21y B=1.因此,当A>0时,表示焦点在x 轴上的双曲线;当B>0时,表示焦点在y 轴上的双曲线. 5.共焦点的双曲线系方程 与双曲线22x a -22y b =1(a >0,b >0)有公共焦点的双曲线的方程为22x a λ+-22y b λ-= 1(a>0,b>0,-a 2<λ<b 2);与双曲线22y a -22x b =1(a>0,b>0)有公共焦点的双曲线的方程为22x a λ+-22y b λ-=1(a>0,b>0,-a 2<λ<b 2).6.双曲线的焦点三角形问题如图,P 是双曲线22x a -22yb =1上任意一点,当点P,F 1,F 2不在同一条直线上时,它们构成一个三角形——焦点三角形.设∠F 1PF 2=θ,则由双曲线的定义及余弦定理得, ||PF 1|-|PF 2||=2a ⇔|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|=4a 2,① |PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|·cos θ=|F 1F 2|2=4c 2,② 由②-①得2|PF 1|·|PF 2|·(1-cos θ)=4c 2-4a 2,则|PF 1|·|PF 2|=221cos bθ-. 又12PF F S=12|PF 1|·|PF 2|·sin θ, 从而12PF F S =b2·sin 1cos θθ-=2tan2b θ.1.已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=4,则动点P 的轨迹是( A ) (A)一条射线 (B)双曲线 (C)双曲线左支 (D)双曲线右支解析:如果是双曲线,那么|PM|-|PN|=4=2a, a=2.而两个定点M(-2,0),N(2,0)为双曲线的焦点, c=2.而在双曲线中c>a,所以把后三个关于双曲线的答案全部排除. 故选A.2.(2018·和平区三模)设F 1和F 2分别为双曲线22x a -22y b =1(a>0,b>0)的左、右焦点,若F 1,F 2,P(0,2b)为等边三角形的三个顶点,且双曲线经过点则该双曲线的方程为(D)(A)x 2-23y =1 (B)22x -22y =1(C)23x -29y =1 (D)24x -212y=1解析:F 1和F 2分别为曲线22x a -22y b =1(a>0,b>0)的左、右焦点,F 1,F 2,P(0,2b)构成正三角形, 所以c,即有3c 2=4b 2=3(a 2+b 2), 所以b 2=3a 2.双曲线22x a -22y b =1过点),所以25a -233a=1,解得a 2=4, 所以b 2=12, 所以双曲线方程为24x -212y =1.故选D.3.(2018·肇庆三模)已知定点F 1(-2,0),F 2(2,0),N 是圆O:x 2+y 2=1上任意一点,点F 1关于点N 的对称点为M,线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P,则点P 的轨迹是( B ) (A)椭圆 (B)双曲线 (C)抛物线 (D)圆解析:连接ON,由题意可得ON=1,且N 为MF 1的中点, 所以MF 2=2.因为点F 1关于点N 的对称点为M,线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P,由垂直平分线的性质可得PM=PF 1,所以|PF 2-PF 1|=|PF 2-PM|=MF 2=2<F 1F 2,由双曲线的定义可得点P 的轨迹是以F 1,F 2为焦点的双曲线. 故选B.4.若双曲线2x m -23y =1的右焦点坐标为(3,0),则m= . 解析:由已知a 2=m,b 2=3, 所以m+3=9,所以m=6. 答案:65.一动圆过定点A(-4,0),且与定圆B:(x-4)2+y 2=16相外切,则动圆圆心的轨迹方程为 .解析:设动圆圆心为点P,则|PB|=|PA|+4即|PB|-|PA|=4<|AB|=8. 所以点P 的轨迹是以A,B 为焦点,且2a=4,a=2的双曲线的左支. 又因为2c=8,所以c=4. 所以b 2=c 2-a 2=12, 所以动圆圆心的轨迹方程为24x -212y =1(x ≤-2).答案:24x -212y =1(x ≤-2)题型一 双曲线定义的理解及应用[例1] (1)已知F 1(-8,3),F 2(2,3),动点P 满足|PF 1|-|PF 2|=10,则P 点的轨迹是( )(A)双曲线 (B)双曲线的一支(C)直线 (D)一条射线 (2)如图,若F 1,F 2是双曲线29x -216y =1的两个焦点,P 是双曲线左支上的点,且|PF 1|·|PF 2|=32,则△F 1PF 2的面积为 .解析:(1)F 1,F 2是定点,且|F 1F 2|=10,所以满足条件|PF 1|-|PF 2|=10的点P 的轨迹应为一条射线.故选D.(2)由双曲线方程29x -216y=1,可知=5.因为P 是双曲线左支上的点, |PF 2|-|PF 1|=2a=6, (*) 将(*)式两边平方,得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|=36, 所以|PF 1|2+|PF 2|2 =36+2|PF 1|·|PF 2| =36+2×32 =100.在△F 1PF 2中,由余弦定理,得cos ∠F 1PF 2=22121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-⋅=121001002||||PF PF -⋅ =0,所以∠F 1PF 2=90°,所以12F PF S=12|PF 1|·|PF 2|=12×32=16.答案:(1)D (2)16变式探究:若将例中的条件“|PF 1|·|PF 2|=32”改为“1PF ·2PF =0”,其他条件不变,则|PF 1|·|PF 2|的值为 .解析:由双曲线方程29x -216y=1,可知=5.由题意得,|PF 2|-|PF 1|=2a=6,所以|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|=36. ① 又1PF ·2PF =0,所以PF 1⊥PF 2.在Rt △PF 1F 2中,由勾股定理得|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=100. ② 将②代入①式,得2|PF 1|·|PF 2|=64, 所以|PF 1|·|PF 2|=32. 答案:32(1)在解决与双曲线有关的焦点三角形问题时,应注意双曲线定义条件||PF 1|-|PF 2||=2a 的应用.(2)解题的关键是“|PF 1|·|PF 2|”形式的“配凑”,将双曲线定义及图形的平面几何性质(结合正、余弦定理)“和谐”地结合起来,注意整体思想的应用,从而达到简化运算的目的. 即时训练1-1:(1)设P 为双曲线x2-212y =1上的一点,F 1,F 2是该双曲线的两个焦点,若|PF 1|∶|PF 2|=3∶2,求△PF 1F 2的面积;(2)已知一个动点P(x,y)到两个定点F 1(-1,0),F 2(1,0)的距离差的绝对值为定值a(a ≥0),求点P 的轨迹. 解:(1)因为|PF 1|-|PF 2|=2a=2, 且|PF 1|∶|PF 2|=3∶2, 所以|PF 1|=6,|PF 2|=4. 又因为|F1F 2所以|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2, 所以12PF F S=12|PF 1|·|PF 2|=12×6×4=12. (2)因为|F 1F 2|=2,①当a=2时,轨迹是两条射线y=0(x ≥1)或y=0(x ≤-1); ②当a=0时,轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线,即y 轴,方程x=0; ③当0<a<2时,轨迹是以F 1,F 2为焦点的双曲线; ④当a>2时,轨迹不存在. 题型二 双曲线标准方程的求法[例2] 根据下列条件,求双曲线的标准方程:(1)与双曲线216x -24y =1有相同的焦点,且经过点(2)过点P(3,154),Q(-163,5)且焦点在坐标轴上. 解:(1)法一 因为焦点相同,所以设所求标准方程为22x a -22y b =1(a>0,b>0),所以c 2=16+4=20,即a 2+b 2=20,① 因为双曲线经过点所以218a -24b =1,②由①②得a 2=12,b 2=8,所以双曲线的标准方程为212x-28y =1.法二 设所求双曲线方程为216x λ--24y λ+=1(-4<λ<16). 因为双曲线过点所以1816λ--44λ+=1, 解得λ=4,或λ=-14(舍去).所以双曲线的标准方程为212x-28y =1.(2)法一 当焦点在x轴上时,设标准方程为22x a -22y b =1(a>0,b>0),因为点P,Q 在双曲线上,所以222292251,16256251,9a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩此方程组无解.当焦点在y 轴上时,设标准方程为22y a -22x b =1(a>0,b>0),因为点P,Q 在双曲线上,所以222222591,16252561,9a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得229,16.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以双曲线的标准方程为29y -216x =1.法二 设双曲线方程为2x m+2yn =1,mn<0. 因为点P,Q 在双曲线上,所以92251,16256251,9m nm n⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得16,9.m n =-⎧⎨=⎩ 所以双曲线的标准方程为29y -216x=1.利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤:即时训练2-1:(1)(2018·天心区校级月考)如图,已知双曲线以矩形ABCD 的顶点A,B 为左、右焦点,且过C,D 两点,若|AB|=4,|BC|=3,则此双曲线的标准方程为 .(2)写出下列条件的双曲线的标准方程.①a=4,c=5,焦点在x 轴上,则标准方程为 ;②a=4,经过点),则标准方程为 . 解析:(1)连接BD(图略),由题意知c=2, |DB|=5,|DA|=|BC|=3, 2a=|DB|-|DA|=5-3=2, 所以故双曲线的标准方程为x 2-23y =1. (2)①设双曲线方程为22x a -22y b =1(a>0,b>0). 因为a=4,c=5,所以b 2=c 2-a 2=25-16=9.所以双曲线的标准方程为216x -29y =1.②若所求的双曲线标准方程为22x a -22y b =1(a>0,b>0),则将a=4代入得216x -22yb =1.因为点)在双曲线上,所以116-21609b =1,由此得b 2<0,不合题意舍去. 若所求的双曲线标准方程为22y a -22x b =1(a>0,b>0),同理解得b 2=9.所以双曲线的标准方程为216y -29x =1.答案:(1)x 2-23y =1(2)①216x -29y =1 ②216y -29x =1题型三 双曲线标准方程的理解[例3] (1)若θ是第三象限角,则方程x 2+y 2sin θ=cos θ表示的曲线是( )(A)焦点在y 轴上的双曲线 (B)焦点在x 轴上的双曲线 (C)焦点在y 轴上的椭圆 (D)焦点在x 轴上的椭圆(2)已知21x k--2||3y k -=-1,当k 为何值时,①方程表示双曲线?②方程表示焦点在x 轴上的双曲线? ③方程表示焦点在y 轴上的双曲线?(1)解析:曲线方程可化为2cos x θ+2cos sin y θθ=1,θ是第三象限角,则cos θ<0,cos sin θθ>0,所以该曲线是焦点在y 轴上的双曲线.故选A. (2)解:①若方程表示双曲线,则10,||30k k ->⎧⎨->⎩或10,||30,k k -<⎧⎨-<⎩ 解得k<-3或1<k<3.②若方程表示焦点在x 轴上的双曲线,则10,||30,k k -<⎧⎨-<⎩ 解得1<k<3.③若方程表示焦点在y 轴上的双曲线,则10,||30k k ->⎧⎨->⎩ 解得k<-3.名师点评:(2)中对于①,只要两分母同号,就可以化成双曲线的标准方程;对于②,标准方程为21x k --23||y k -=1;对于③,标准方程为2||3y k --21x k-=1.即时训练3-1:(1)(2018·东湖区校级期中)若曲线24x k ++21y k -=1表示双曲线,则k 的取值范围是( ) (A)[-4,1](B)(-∞,-4)∪(1,+∞) (C)(-4,1)(D)(-∞,4]∪[1,+∞)(2)已知m,n 为两个不相等的非零实数,则方程mx-y+n=0与nx 2+my 2=mn 所表示的曲线可能是( )解析:(1)根据题意,若曲线24x k ++21y k -=1表示双曲线,则有(k+4)(k-1)<0,解得-4<k<1. 即k 的取值范围是(-4,1). 故选C.(2)A 中,由直线位置可知,m>0,n<0,曲线应为双曲线,故A 错;B 中,由直线位置可知,m<0,n>0,曲线应为双曲线,故B 错;C 中,由直线位置可知,m>0,n<0,曲线为焦点在x 轴上的双曲线,故C 正确;D 中,由直线位置可知,m>0,n>0,曲线应为椭圆,故D 错.故选C.。
2019_2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程课件新人教A版
[解] 圆 F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心 F1(－5，0)，半径 r1＝1. 圆 F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心 F2(5，0)，半径 r2＝4. 设动圆 M 的半径为 R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4， ∴|MF2|－|MF1|＝3<10＝|F1F2|.
∴点 M 的轨迹是以 F1，F2 为焦点的双曲线的左支，且 a＝32，c
1．(1)已知定点 F1(－2，0)，F2(2，0)，在平面内满足下列条件 的动点 P 的轨迹中为双曲线的是( )
A．|PF1|－|PF2|＝±3 B．|PF1|－|PF2|＝±4 C．|PF1|－|PF2|＝±5 D．|PF1|2－|PF2|2＝±4 A [|F1F2|＝4，根据双曲线的定义知选 A.]
由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°， ∴102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， ∴|PF1|·|PF2|＝64， ∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2 ＝12×64× 23＝16 3.
(2)法一：∵焦点相同， ∴设所求双曲线的标准方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)， ∴c2＝16＋4＝20，即 a2＋b2＝20.① ∵双曲线经过点(3 2，2)，∴1a82－b42＝1.② 由①②得 a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为1x22 －y82＝1.
法二：设所求双曲线的方程为16x－2 λ－4＋y2 λ＝1(－4<λ<16)． ∵双曲线过点(3 2，2)，∴161－8 λ－4＋4 λ＝1， 解得 λ＝4 或 λ＝－14(舍去)． ∴双曲线的标准方程为1x22 －y82＝1.
高中数学第二单元圆锥曲线与方程2.2.1双曲线及其标准方程课件新人教B版选修1_
答案
||MF1| － |MF2|| ＝常数 ( 常数 |F1F| 或 |F2F|) 且常数
思考2
若||MF1|－|MF2||＝|F1F2|，则动点M的轨迹是什么？
答案
以F2为端点的一条射线.
梳理
把平面内到两个定点F1，F2的距离的 差的绝对值 等于定值 2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点 双曲线的焦 叫做___________ 点 两焦点间的距离 ___， 叫做双曲线的焦距.
Ax2＋By2＝1(AB<0).
x2 y2 ②与双曲线 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线的标准方程可设为 a b x2 y2 2 2 － ＝ 1( － b ＜ k ＜ a ). 2 2 a －k b ＋k
(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值. (4)结论：写出双曲线的标准方程.
2 2
2
2
y x 故双曲线的方程为 － ＝1. 4 5
2
2
类型二 双曲线的定义及应用
命题角度 1 双曲线的焦点三角形 x y 例 2 (1)如图，已知双曲线的方程为 2－ 2＝1(a>0， a b b>0)，点 A，B 均在双曲线的右支上，线段 AB 经过双 曲线的右焦点 F2，|AB|＝m，F1 为双曲线的左焦点，
4a＋2m 则△ABF1 的周长为________.
答案
2 2
解析
x y (2)已知双曲线 － ＝1 的左、右焦点分别是 F1、F2，若双曲线上一点 P 9 16
2
2
16 3 使得∠F1PF2＝60° ，则△F1PF2 的面积为______.
答案
解析
引申探究 本例 (2) 中若 ∠ F1PF2 ＝ 90°，其他条件不变，求△ F1PF2 的面 积.
课件3：2.2.1 双曲线及其标准方程
记不清 a、b、c 的关系致误
双曲线 8kx2－ky2＝8 的一个焦点为(0,3)，则 k＝( )
A．1
B．－1
7 C.9
D．－79
【错解一】 将双曲线化为标准方程为x12－y82＝1，
kk
∵焦点在 y 轴上，且 c＝3，∴a2＝－8k，b2＝－1k，∴－8k
(2)由已知可设所求双曲线方程为ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)，
则23aa5222 － －b19826＝1b2＝1，
解得a2＝b21＝69，
∴双曲线的标准方程为1y62 －x92＝1.
已知 B(－5,0)，C(5,0)是△ABC 的两个顶点，且 sin B－sin C＝35sin A，求顶点 A 的轨迹方程．
(2)设所求双曲线方程为16x－2 λ－4＋y2 λ＝1(－4＜λ＜16)． ∵双曲线过点(3 2，2)， ∴161－8 λ－4＋4 λ＝1， ∴λ＝4 或 λ＝－14(舍去)． ∴所求双曲线方程为1x22 －y82＝1.
【规律方法】 1．求双曲线标准方程一般有两种方法：一是定义法，二 是待定系数法． 2．用待定系数法求双曲线标准方程的步骤： (1)定位：确定双曲线的焦点位置，如果题目没有建立坐 标系，一般把焦点放在 x 轴上； (2)设方程：根据焦点的位置设相应的双曲线标准方程(当 焦点在两个坐标轴上都有可能时，一般设为 Ax2＋By2＝1(AB ＜0))；
2．求双曲线的标准方程包括“定位”和 “定量”两个过程．“定位”指确定焦点在哪 个坐标轴上，“定量”是指确定 a2，b2 的大小．
1．到两定点 F1(－3,0)、F2(3,0)的距离之差的绝对值等于 6 的点 M 的轨迹是( )
2019-2020学年高中数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》：2.2.1椭圆及其标准方程(二)
2019-2020学年高中数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》2.2.1 椭圆及其标准方程(二)学习目标 加深理解椭圆定义及标准方程，能熟练求解与椭圆有关的轨迹问题．知识点一 椭圆标准方程的推导思考 观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程． 答案 (1)如图所示，以经过椭圆两焦点F 1，F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy .(2)设点：设点M (x ，y )是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．(3)列式：依据椭圆的定义式|MF 1|＋|MF 2|＝2a 列方程，并将其坐标化为(x ＋c )2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＝2a .①(4)化简：通过移项、两次平方后得到：(a 2－c 2)x 2＋a 2y 2＝a 2(a 2－c 2)，为使方程简单、对称、和谐，引入字母b ，令b 2＝a 2－c 2，可得椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．②(5)从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解(x ，y )为坐标的点到椭圆的两个焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)的距离之和为2a ，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上．由曲线与方程的关系可知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程． 梳理 (1)椭圆的标准方程的形式(2)方程Ax 2＋By 2＝1表示椭圆的充要条件是A >0，B >0且A ≠B . 知识点二 椭圆的焦点位置确定思考1 已知椭圆的标准方程，怎样判定椭圆焦点在哪个坐标轴上？答案 看x 2，y 2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．较大的分母是a 2，较小的分母是b 2.如果x 2项的分母大，焦点就在x 轴上，如果y 2项的分母大，则焦点就在y 轴上．思考2 椭圆方程中的a 、b 以及参数c 有什么意义，它们满足什么关系？答案 椭圆方程中，a 表示椭圆上的点到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆，a 、b 、c (都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，c 是焦距的一半，叫半焦距． a 、b 、c 始终满足关系式a 2＝b 2＋c 2.梳理 (1)椭圆的焦点位置确定是由x 2，y 2的系数大小决定的． (2)当求解椭圆标准方程，遇到其焦点位置不定时，需分类讨论．类型一 椭圆标准方程的确定例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P 到两焦点的距离之和等于10； (2)经过点P (－23，1)，Q (3，－2)． 解 (1)∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由题意得c ＝4,2a ＝10， ∴a ＝5，b 2＝a 2－c 2＝9.∴所求的椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )， ∵点P (－23，1)，Q (3，－2)在椭圆上，∴代入得⎩⎪⎨⎪⎧12m ＋n ＝1，3m ＋4n ＝1，∴⎩⎨⎧m ＝115，n ＝15.∴椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.反思与感悟 求解椭圆的标准方程，可以利用定义，也可以利用待定系数法，选择求解方法时，一定要结合题目条件，其次需注意椭圆的焦点位置． 跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点(－32，52)；(2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)． 解 (1)∵椭圆的焦点在y 轴上， ∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义知： 2a ＝(－32)2＋(52＋2)2＋ (－32)2＋(52－2)2 ＝210，即a ＝10.又c ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝6.∴所求的椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴所求的椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.类型二 相关点法在求解椭圆方程中的应用例2 如图，在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹．。
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2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及
标准方程学案新人教B 版选修1-1
【疑点荟萃】
【合作释疑】
【巩固提升】
一、求双曲线方程：
例1、（1）已知双曲线过1(P -和2P 两点，求双曲线方程；
（2）已知两圆221:(4)2C x y ++=，222:(4)2C x y -+=，动圆与两圆均相切，求动圆圆心M
的轨迹；
（3）设双曲线与椭圆22
12736x y +=有相同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点A 的纵坐标为4，求双曲线方程。
二、双曲线定义的应用：
例2、在平面直角坐标系xoy中，已知ABC
∆的顶点A（-6，0）、C（6，0），顶点B在双曲
线
22
1
2511
x y
-=的左支上，求
sin sin
sin
A C
B
-
的值。
变式：将题目中“左支上”改为“双曲线上”再解此题。
三、焦点三角形：
例3、（1）双曲线
22
1
169
x y
-=上一点P，F1、F2是焦点，且
123
F PF
π
∠=，求2
1
F
PF
∆的面积。
（2）双曲线
2
21
12
y
x-=上一点P，F1、F2是焦点，且|PF1|：|PF2|=3：2，求2
1
F
PF
∆的
面积。
（3）已知动点P 与双曲线12
2=-y x 的两个焦点F 1、F 2之和为定值，且2
1cos PF F ∠的最小值为13-，求动点P 的轨迹方程。
【提升训练】见同步练习。