教书育人故事笔记

教书育人故事（1）

---关于教学的小故事

我们不妨留意一下，最多十多年来，省级以上的教育报刊载所刊载的数学教育论文当中已经很少见到教学心理学的核心词儿了。偶然也还会有，但也还是很成问题的。比如表象这个词，居然得出表面现象这个意思。表象是心理学的概念，它是客观事物经过主体感知以后留在脑子里的形象。

今天我作为一个客观事物呈现在你们的视线之中，你们对我进行感知，以后你们听到张兴华，或者在杂志看到张兴华这三个字，脑海中就浮现出我的样子了，这就是我在你们脑海中留下的表象。所以表象怎么会是表面现象呢？还有一个词——变式，变化的式子？人们就喜欢这种简单地、望文生义地去理解心理学概念。变式哪是变化的式子呢？稍后我会专门讲解。有的老师认为这套数字变式了就是变式。比如45/9=45*3/9*3，这么一变化，后面的数字就是前面这个数字的变式。那是乱弹琴！又如每个杯子18元，买5个杯子共需多少元？那么就是5个18，18*5或者5*18。或者一支笔是12元，买8支笔需多少钱？8*12。都是用乘法解决问题。因此老师在后半课时，设计了一个题种，这个题种两道题非常相似，但实际上是不同的。第一题：小朋友种树，分成了4组，每组种5棵。一共种了多少棵？第二题：小朋友种树，一组种4棵，另一组种5棵，一共种了多少棵？这组题目出得非常好，打破了那种原来不动脑筋运算的定式。介那位

老师把它归为变式。那就错了，那是对比，不是变式。

但是耐人寻味的是，每每经典的、引人注目的精彩教学片段、教学设计后面都会有一个教学心理的理论支撑着。我们不妨一起看看张齐华老师上认识分数，三年级第一学期，认识分数的一个片段。一开始，通过分蛋糕和简短的讨论，让学生知道把一个蛋糕平均分成两份，每份是它的1/2。接着，他就让学生拿起课前发给每个学生一张长方形纸，让他们动手折一折，涂出它的1/2。学生又折又涂，交流的时候，有的学生横着对折，涂出了它的1/2；有的学生竖着对折，涂出了它的1/2；还有的学生斜着把它平均分成了2份，涂出了它的1/2。这时候，张老师指着这些不同形状的阴影部分，问学生，这些阴影部分的形状都不同，怎么就都是这张纸的1/2呢？学生一一回答。有学生说把这张纸对折，就是把这张纸平均分成了2份，那么一份当然是它的1/2 ；有学生说把这张纸竖着对折，就是把这张纸平均分成了2份，每份当然是它的1/2；斜着折的并涂出了1/2的学生说，我虽然是斜着折的，涂出来的阴影部分跟他们也不同，但是我也是把这张平均分成了2份，每一份当然是它的1/2。形式不同，但是本质都指向了1/2。最后老师总结：不管怎么折，不管这个阴影形状是什么样，只要把这张纸平均分成了2份，每一份就是它的1/2。

通过这样的教学，学生对1/2这个分数的理解就达到了入木三分的程度，非常深刻。学习1/4亦是如此。学生对1/4这教材里的规定认识的第二个分数的理解达到了越来越高的概括化程度，这已经设计到心理学了，越来越高的概括化的程度就是理解地特别深刻。那学

生为什么理解得这么好？就是老师教学的精彩，精彩在哪儿？老师运用了变式原理。何为变式？

这个企划是在参加全国比赛得一等奖的一些课，当时和老师们交流时发现他们对这个环节比较关注，当时很时髦、很时新地叫作学习方式的变化、变更，或者改善，有的老师说学生动手实践能力挺强，动手折出那么多的1/2、1/4。这没有涉及到它的理性背景。还有的老师说这是因为老师组织学生自主探究得好，真是办法多样化、涂法多样化、折法多样化啊。这也是很牵强。还有的老师说这是老师组织小组合作学习得充分。他们的关注点放在折得多，就不知道变式。可见这几年老师的数学教学心理素养已相当贫乏了。四五年前，我在人民教育发了一篇文章《重启数学教学心理》。数学教学心理可真是个宝，几十年前好多老师都是因为它的引领使教学风声水起的。当年这篇文章影响挺大，唐彩斌老师还总结了这是当年的十大教育的实践之一。但过了不久，氛围又淡下去了，毕竟教学心理比较抽象，形成不了气候。今天我借此机会，再提一下数学教学心理，想说几个心理学问题，就讲讲变式。

什么是变式呢？瑞士著名心理学家皮亚杰，把7-11岁的孩子称作为具体运算阶段的孩子。他指出，具体运算阶段的儿童，“他们缺乏抽象思维，他们的思维带着很大的具体形象性。但是，他们也不是非常被动地停留在具体形象的思维上，他们能够凭借具体形象的支撑，进行抽象思维，进行逻辑推理。”既然他们能够在具体形象的支撑下进行抽象思维的话，那么我们要让他们理解抽象数学推理的话，

就应该为他们多提供一些具体形象的感性材料，帮助他们获得数学概念。这就是根据他们的思维特点而进行的教学。但是我们提供的材料也不是多多益善，越多越好。要提供广泛众多的视频，学生凭借这些事物感知到一定的数量，感知到一定的程度，他们的抽象思维就开始了，抽象概念就理解了。那么变式就是提供感性事物的有效方式。“变式就是变换事物的非本质特征，从不同的角度来组织感性材料，在事物的各种表现形式中来突出事物的本质特征”。拿张齐华老师认识分数那个案例来说，变换事物的非本质特征就是，纸张1/4的纸不同，折法不同，涂出的阴影也有大小、形状不同。但是本质特征有没有变？平均分成了4份，是它的1/4，它是从不同的角度来组织这些感性材料，然后在事物的各种表现形式中突出事物的本质特征，这就是变式的心理学。那么，理论的光芒是普照的，这个变式理论可以普遍地用于我们每一位老师的教学中。例如，教垂直这这一课时，老师开始就提供了垂直的标准图形，而后让学生观察这个图形得出：相交成直角的两条直线互相垂直。这个概念有问题吗？相交成直角的两条直线互相垂直？确实有点问题。凭着这个标准的垂直图形，孩子们观察图形时容易使概念增加内涵。学生会觉得原来垂直是相交成直角的竖直的水平的两条直线互相垂直。会不会这样理解？老师当然不会这样理解。但孩子们会不会这样想：相交成直角的，水平的竖直的两条直线，互相垂直。那么这时候你建立的这个垂直概念显然是有失偏颇的，他们对碰到斜方向的两条直线相交成直角的就不认为是垂直，因为老师教学时的那个图形，水平的竖直的两条直线才是互相垂直。而且这也会

影响到过直线外一点或者过直线上一点画垂线，他们只知道给水平和竖直方向的直线画垂直，这直线一斜怎么画？进而影响到以后认识三角形、平形四边形、梯形的高，和画它们的高，特别是钝角三角形外面的高，肯定会手足无措。懂得变式理论的老师就不是这么回事了，而是一下子出示了三种直线。请同学们自己观察，这三种相交的直线，看看它们有什么共同的特点？每组的两条直线都相交成直角，相交成直角的两条直线不管是水平竖直的还是斜着的，只要相交成直角的两条直线就是互相垂直，这个概念就建立得比较准确，内涵也不多不少。所以这个概念教学当中，一般我们都要提供变式，帮助学生深刻地理解。

我在实验小学做校长的时候，学校里举行了一次竞赛，内容是三角形的内角和，老师通过各种手段，证明了三角形的内角和是180度。接着老师问三角形内角和多少度？学生一起回答是180度。老师又问现在把这个三角形缩小10倍，那这个三角形的内角和是多少度？有好几个学生马上说18度。有的老师脸上的表情马上变了，学生最信老师，看到这个表情那就是答错了，自己也不思考，连忙说不对。而有的老师很沉着，面无表情，这在心理学上叫做延迟评价。延迟评价就是不马上做出评价，留下时间不表态，留下空间给孩子们思考。老师退一步，学生就能进三步；老师马上表态了，就等于取消了孩子的思维。这样延迟评价，此时无声胜有声，学生心理是翻江倒海，有学生就领悟到缩小后的三角形虽小，但每个角的开口度跟黑板上的内角开口度是一样的。这时老师也依着学生的意见，把这个角跟