中北大学精品课程-1-信号与系统概述

1 信号与系统概述
1.3.3 矩形脉冲和三角脉冲
矩形脉冲信号的表示式为 三角脉冲信号的表示式为
1 f (t ) 0
2t 1 f (t ) 0
t /2 t /2
t / 2 t / 2
(a) 矩形脉冲
(b) 三角脉冲信号
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一个连续信号 ，若对所有t均有
则称为连续周期信号。 如果两个周期信号 和 的周期具有公倍数，则 它们的和 仍然是一个周期信号，其周期是 和 周期的最小公倍数。
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1.2.ห้องสมุดไป่ตู้ 能量信号与功率信号
若将信号 设为电压或电流，则加载在单位电阻 上产生的瞬时功率为 ，在一定的时间区间 内会消耗一定的能量,如果将时间区间无限扩展，那么 信号 的能量定义为
1 信号与系统概述 连续信号与离散信号可以互相转换:
1.2.3 实信号和复信号
用物理方法可实现的信号都是时间的实函数，即在 各时刻的函数值均为实数，统称为实信号。 复信号由实部和虚部组成，虽然在实际中不能产生 复信号，但是为了便于理论分析，有时采用复信号来代 表某些物理量。
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1.2.4 周期信号与非周期信号
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本章是全书的基础，概括介绍有关信号与系统 的基本概念和基本理论。有关信号方面概要介绍了 信号的描述、分类、分解、基本运算和波形变换， 详细阐述了常用的典型信号、奇异信号的概念及其 基本性质，重点描述了冲激信号的物理意义、定义 和性质。有关系统方面概要介绍了系统的概念和分 析方法，详细阐述了系统的模型及其划分，重点描 述了线性时不变系统的性质。
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§1.1 信息、信号和系统
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所谓信息，是指存在于客观世界的一种事物形象， 一般泛指消息、情报、指令、数据和信号等有关周围环
境的知识。凡是物质的形态、特性在时间或空间上的变
化，以及人类社会的各种活动都会产生信息。 消息是指用来表达信息的某种客观对象，如电报中 的电文、电话中的声音、电视中的图像和雷达探测的目 标距离等等都是消息。
(4)
0
sin t π dt , t 2
sin t t d t π

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(5) lim Sa(t ) 0
t
(6) sinc( t ) sin π t π t
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1.3.5 钟形脉冲信号(高斯信号)
E
f t
0.78 E
1.3.4 抽样信号(Sampling Signal)
sin t Sa( t ) t
1 Sat
2π πO
t
π
3π
性质: (1) Sa t Sat ，偶函数
(2)t 0, Sa(t ) 1，即lim Sa(t ) 1 t 0 (3) Sa(t ) 0, t nπ，n 1,2,3
f ( t ) Ee
t
2
E e O 2
t
参数 是 由最大值 下降为 时所占据 的时间宽度。 钟形脉冲（高斯）信号最重要的性质是其傅立 叶变换也是钟形脉冲（高斯）信号，在信号分析中 占有重要地位。
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§1.4 奇异信号及其基本特性
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K e t sin t f (t ) 0 t0 t0
其中 0
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1.3.2 指数信号
连续时间指数信号一般形式为 根据式中A和S的不同取值，有下面三种形式： (1)若 和 均为实常数，则 f (t ) 为实 指数信号 f t
0 0 0
1 信号与系统概述 信号是指消息的表现形式，是带有信息的某种物 理量，如电信号、光信号和声信号等等。 系统是由若干相互作用和相互依赖的事物组合而 成的具有特定功能的整体。系统是由各个不同单元按 照一定的方式组成并完成某种任务的整体的总称。系 统所完成的任务就是处理、传输和储存信号，以达到 自然界、人类社会、生产设备按照对人类有利的规律 运动的目的，所以系统的组成、特性应由信息和信号 决定的。从上述可知，信息、信号与系统是不可分割 的整体。
σ=0
指数信号的一个重要特性是其对时间的微分和积 分仍然是指数形式。在连续信号中最常用的复信号是 复指数信号，即
f (t ) Kest ( t )
上式可展开为
f (t ) e( j )t et cos t jet sin t
1 信号与系统概述 可见一个复指数信号可分解为实、虚两部分，它 们分别是增长（或衰减）的余弦、正弦信号。指数因 子的实部σ表征了余弦和正弦函数的振幅随时间变化 的情况。 当σ=0，ω=0时，函数表现为直流； 当σ>0，ω=0时，函数表现为升指数信号； 当σ<0，ω=0时，函数表现为衰减指数信号； 当σ=0，ω≠0时,函数表现为等幅振荡； 当σ>0，ω≠0时,函数表现为增幅振荡； 当σ<0，ω≠0时,函数表现为衰减振荡。


又因为 (t )只在t 0有值，故 (t ) (t ).
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（3）尺度特性
(4) 冲激函数与普通函数相乘
上式表明冲激函数与普通函数相乘，其乘积仍为 该时刻的冲激，但冲激的强度为冲激出现时刻的普通 函数的函数值。
1 信号与系统概述 3 冲激函数和阶跃函数的关系 冲激函数的积分是阶跃函数 阶跃函数的微分为冲激函数
1 信号与系统概述 由矩形脉冲演变为冲激函数的定义方式是：设有 矩形脉冲族，面积为1,脉宽为 ,幅值为 ， 当 时 ，其脉冲的幅值 ，我 们将这种极限状态下的函数定义为冲激函数.
(t ) lim
1 u (t ) u (t ) 0 2 2
1 信号与系统概述 冲激函数还可以利用三角形脉冲、双边指数脉冲、 钟形脉冲和抽样函数等形式通过求取极限来定义。它 们的表示式如下：
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第1章 信号与系统概述
1.1 信息、信号和系统 1.2 信号的分类与描述 1.3 常用的典型信号及其基本特性 1.4 奇异信号及其基本特性 1.5 信号的基本运算及波形变换 1.6 信号的分解
1.7 系统模型、特性及分类 1.8 线性时不变系统的性质 1.9 线性时不变系统的分析方法概述
相对
时, 压缩 倍.
相对
展宽 倍;当
时,
1 信号与系统概述 的波形如图所示,试画出信号
【例】 已知信号
的波形。
可分解为
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1.2.2 连续时间信号与离散时间信号
按照信号在时间轴上取值是否连续，可将信号分成 连续时间信号与离散时间信号。 连续时间信号最明显的特点是自变量在其定义域上 除有限个间断点外，其余是连续可变的。 离散时间信号是指时间（其定义域为一个整数集） 是离散的，只在某些不连续的时刻给出函数值，在其它 时间没有定义的信号（或称序列）。
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【例】 画出信号
的波形。
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【例】 计算
的值。
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§1.5 信号的基本运算及波形变换
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1.5.1 相加和相乘
如果两个信号相加，则其和信号在任意时刻的幅 值等于两信号在该时刻的幅值之和。 假如两个信号相乘，其积信号在任意时刻的幅值 等于两信号在该时刻的幅值之积。
1 信号与系统概述 (2) 奇偶性
(t ) (t )
证明:



(t ) f (t ) d t f (0)
t
(t ) f (t ) d t




( ) f ( ) d( )
( ) f ( ) d f (0)
1.5.2 信号的时移
平移（移位） . 若 , 右移 ,表征滞后 时 间； , 左移∣ ∣,表征超前 时间 。
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1.5.3 反褶
反转（反褶） 对称. ：函数 与 以纵轴镜像
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1.5.4 尺度变换
若将连续信号 中的变量 以 代替可 得 ，它是 沿时间轴展缩(尺度变换)而成的一 个新的信号，信号波形的时间尺度也相应的改变。 设 当
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信号功率等于所有时间段上信号能量的时间平均值， 即
如果在无限大时间区间内信号的能量为有限值，且 平均功率 ，这类信号称为能量有限信号，简称 能量信号。如果在无限大时间区间内，信号的总能量为 无穷大，平均功率为有限值，则称此信号为功率有限信 号，简称功率信号。
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(a) 能量信号
t
O
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(2)若A=1和S=jω,则 f (t ) 为虚指数信号
根据欧拉公式，虚指数信号可以表示为
e
设
jt
cos t j sin t
S j
(3)若A和S均为复数时,则 f (t ) 为复指数信号。 则 f (t ) 可表示为
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σ>0
σ<0
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§1.2 信号的分类与描述
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信号的分类方法很多，可以从不同的角度对信号进 行分类。
1.2.1 确定性信号与随机信号
确定性信号是对于指定的某一时刻，可确定相应的 函数值与之对应（有限个不连续点除外）。 具有未可预知的不确定性的信号通常称为随机信号 或不确定的信号。
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§1.3 常用的典型信号及其基本特性
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1.3.1 正弦型信号
余弦信号和正弦信号统称为正弦型信号
f t K
T
2π

O

2π

t
1 信号与系统概述 正弦型信号性质： （1）两个频率相同的正弦型信号相加，即使其振 幅和相位各不相同，但相加后结果是原频率的正弦信 号。 （2）若一个正弦型信号的频率是另一个信号频率 的整数倍时，则合成信号是一个非正弦型周期信号， 其周期等于基波的周期。 （3）正弦型信号的微分或积分仍然是同频率的正 弦型信号。 衰减正弦信号：
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2 冲激函数的性质
(1) 抽样性 如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有




(t ) f (t ) d t f (0)
对于移位情况：

(t t0 ) f (t ) d t f (t0 )
以上两式表明冲激函数通过与普通函数乘积的积 分可将普通函数在冲激出现时刻的函数值抽取出来， 具有抽样性质.
(b)功率信号
(c) 非功率、非能量信号
1.2.6 普通信号和奇异信号
在信号与系统分析中,经常会遇到一类信号,它 本身包含不连续点,或者其导数与积分不存在不连续 点,不能以普通函数的概念来定义,只能用“广义函
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数”的概念来研究，此类信号称为奇异信号。
1.2.7 一维信号和多维信号
一维信号是由一个自变量描述的信号，多维信号是 由多个自变量描述的信号，例如语音信号就是一维信号； 静止平面图像信号为平面坐标的函数，称为二维信号； 运动的平面图像信号是立体坐标的函数，称为三维信号。
1.4.1 单位斜变信号
斜变信号也称斜坡信号或斜升信号，它是指从某 一时刻开始随时间正比例增长的信号。如果增长的变 化率是1，就称作单位斜变信号。
0 t 0 f (t ) t t 0
在实际应用中，经常遇到截平的斜变信号，在时 间 以后斜变波形被切平.
1 信号与系统概述 表示式为
1.4.2 单位阶跃信号
0 u (t ) 1 (t 0) (t 0)
阶跃信号是一种在t=0点跳变的信号，它在t=0 点处不连续点，故是一种奇异信号。
1 信号与系统概述 符号函数定义如下
阶跃信号可用来表示符号函数，即
1.4.3 单位冲激信号
1．冲激函数的定义 狄拉克(Dirac)对单位冲激函数的定义是在函数出 现的时刻0取不定值，其它时刻取零值，其面积为1。 即
1.4.4 冲激偶函数
冲激函数的微分为具有正、负极性的一对冲激 （其强度无穷大），称作冲激偶函数.
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冲激偶的形成:
1 信号与系统概述 性质：
(1)
' (t ) f (t )dt f ' (0)


( 2)

(t ) dt
0
(3) f (t ) (t ) f (0) (t ) f (0) (t )