江苏省无锡市天一中学2020-2021学年高三下学期4月第四次诊断性测试数学试题
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15．三角形ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，面积为S.
（1）若 ，求A的取值范围；
（2）若 ，且 ，求b.
16．在正三棱柱 中，点 是 的中点.
（1）求证： //面 ；
（2）设 是棱 上的点，且满足 .求证：面 面 .
17．某校在圆心角为直角，半径为 的扇形区域内进行野外生存训练.如图所示，在相距 的 ， 两个位置分别为300,100名学生，在道路 上设置集合地点 ，要求所有学生沿最短路径到 点集合，记所有学生进行的总路程为 .
4．为了解学生在某次比赛中的整体发挥情况，随机抽测了其中 名同学的成绩，所得数据均在区间 上，其频率分布直方图如图所示.则在抽测的 名同学中，成绩不低于 分的学生数为_____.
5．某巡航队有137号，23号等五艘海监船可选派，现计划选派两艘去钓鱼岛巡航执法，其中137号，23号至少有一艘去执法的概率为_______.
5．
【分析】
首先计算出从五艘选两艘的选法，然后计算137号和23号都不去的选法，最后利用间接法计算所求.
经过第三次循环得到的结果为S＝9，n＝7，满足进行循环的条件，
经过第四次循环得到的结果为S＝16，n＝9，满足进行循环的条件，
经过第五次循环得到的结果为S＝25，n＝11，不满足进行循环的条件，
退出循环，故输出的S值为25
故答案为：25
【点睛】
解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
22．如图，在菱形 中， 沿对角线 将△ 折起，使 之间的距离为 若 分别为线段 上的动点
（1）求线段 长度的最小值；
（2）当线段 长度最小时，求直线 与平面 所成角的正弦值
23．已知 .
（1）若 ，求 中含 项的系数；
（2）求： .
24．在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为 ( 为参数)，直线 与抛物线 交于 两点，若 ，求 的取值范围.
江苏省无锡市天一中学2020-2021学年高三下学期4月第四次诊断性测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知集合 ，wk.baidu.com，则 _______.
2．复数 （ 为虚数单位）的模为_______.
3．下图是一个算法流程图，则输出S的值是_______．
6．已知双曲线 一条渐近线上的一点P到双曲线中心的距离为3，则点P到y轴的距离为_______.
7．已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 的值是．
8． 中，“角 成等差数列”是“ ”成立的的条件．
(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)
9．若关于 的不等式 （其中 ）恒成立，则实数 的取值范围是__________．
（1）设 ，写出 关于 的函数表达式；
（2）当 最小时，集合地点 离点 多远？
18．如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 过点 ， ， 分别为椭圆 的右､下顶点，且 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设点 在椭圆 内，满足直线 ， 的斜率乘积为 ，且直线 ， 分别交椭圆 于点 ， .
①若 ， 关于 轴对称，求直线 的斜率；
3．25
【解析】
【分析】
按照程序框图的流程，写出前几次循环的结果，并判断每个结果是否满足判断框中的条件，直到不满足条件，输出结论．
【详解】
S的初值为0，n的初值为1，满足进行循环的条件，
经过第一次循环得到的结果为S＝1，n＝3，满足进行循环的条件，
经过第二次循环得到的结果为S＝4，n＝5，满足进行循环的条件，
4．18
【分析】
根据频率分布直方图计算出成绩不低于 分的学生所占的频率，从而求出在抽测的 名同学中，成绩不低于 分的学生数.
【详解】
解：成绩不低于 分的学生所占的频率为：
则在抽测的 名同学中，成绩不低于 分的学生数为 .
故答案为：18.
【点睛】
本题考查频率分布直方图的基础知识，考查学生的运算求解能力，属于基础题
②若 和 的面积分别为 ，求 .
19．已知函数 (其中 是常数，且 )，曲线 在 处的切线方程为 .
（1）求 的值；
（2）若存在 (其中 是自然对数的底)，使得 成立，求 的取值范围；
（3）设 ，若对任意 ，均存在 ，使得方程 有三个不同的实数解，求实数 的取值范围.
20．已知数列 是等差数列，数列 是等比数列，且 ， 的前n项和为 .若 对任意的 恒成立.
10．设 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,则下列四个命题
①若 则 ，②若 则 ，③ 若 ，则 ④若 ，则 其中正确的命题序号是__________.
11．设α，β∈(0，π)，且sin(α＋β)＝ ，tan ＝ ，则cosβ的值为________．
12．已知 ，点 是以 为直径的半圆上的任意两点，且 ， ，则 =_________.
参考答案
1．
【分析】
利用集合并集的定义即可求出结果.
【详解】
解:集合 , ，则 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查集合并集的定义和运算，属于基础题.
2．
【分析】
由复数代数形式的乘除运算化简，再利用模的公式计算即可．
【详解】
∵ ∴复数 的模为 ．
故答案为 ．
【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，属于基础题．
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）若数列 满足 问：是否存在正整数 ，使得 ，若存在求出 的值，若不存在，说明理由；
（3）若存在各项均为正整数､公差为 的无穷等差数列 ，满足 ，且存在正整数 ，使得 成等比数列，求 的所有可能的值.
21．已知矩阵 ，若点 在矩阵 对应的变换下得到点 ，求 点坐标.
13．已知函数 ，若关于 的方程 在定义域上有四个不同的解，则实数 的取值范围是_______.
14．在平面直角坐标系 中，已知圆C满足：圆心在 轴上，且与圆 相外切.设圆C与 轴的交点为M，N，若圆心C在 轴上运动时，在 轴正半轴上总存在定点 ，使得 为定值，则点 的纵坐标为_________.
二、解答题
（1）若 ，求A的取值范围；
（2）若 ，且 ，求b.
16．在正三棱柱 中，点 是 的中点.
（1）求证： //面 ；
（2）设 是棱 上的点，且满足 .求证：面 面 .
17．某校在圆心角为直角，半径为 的扇形区域内进行野外生存训练.如图所示，在相距 的 ， 两个位置分别为300,100名学生，在道路 上设置集合地点 ，要求所有学生沿最短路径到 点集合，记所有学生进行的总路程为 .
4．为了解学生在某次比赛中的整体发挥情况，随机抽测了其中 名同学的成绩，所得数据均在区间 上，其频率分布直方图如图所示.则在抽测的 名同学中，成绩不低于 分的学生数为_____.
5．某巡航队有137号，23号等五艘海监船可选派，现计划选派两艘去钓鱼岛巡航执法，其中137号，23号至少有一艘去执法的概率为_______.
5．
【分析】
首先计算出从五艘选两艘的选法，然后计算137号和23号都不去的选法，最后利用间接法计算所求.
经过第三次循环得到的结果为S＝9，n＝7，满足进行循环的条件，
经过第四次循环得到的结果为S＝16，n＝9，满足进行循环的条件，
经过第五次循环得到的结果为S＝25，n＝11，不满足进行循环的条件，
退出循环，故输出的S值为25
故答案为：25
【点睛】
解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
22．如图，在菱形 中， 沿对角线 将△ 折起，使 之间的距离为 若 分别为线段 上的动点
（1）求线段 长度的最小值；
（2）当线段 长度最小时，求直线 与平面 所成角的正弦值
23．已知 .
（1）若 ，求 中含 项的系数；
（2）求： .
24．在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为 ( 为参数)，直线 与抛物线 交于 两点，若 ，求 的取值范围.
江苏省无锡市天一中学2020-2021学年高三下学期4月第四次诊断性测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知集合 ，wk.baidu.com，则 _______.
2．复数 （ 为虚数单位）的模为_______.
3．下图是一个算法流程图，则输出S的值是_______．
6．已知双曲线 一条渐近线上的一点P到双曲线中心的距离为3，则点P到y轴的距离为_______.
7．已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 的值是．
8． 中，“角 成等差数列”是“ ”成立的的条件．
(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)
9．若关于 的不等式 （其中 ）恒成立，则实数 的取值范围是__________．
（1）设 ，写出 关于 的函数表达式；
（2）当 最小时，集合地点 离点 多远？
18．如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 过点 ， ， 分别为椭圆 的右､下顶点，且 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设点 在椭圆 内，满足直线 ， 的斜率乘积为 ，且直线 ， 分别交椭圆 于点 ， .
①若 ， 关于 轴对称，求直线 的斜率；
3．25
【解析】
【分析】
按照程序框图的流程，写出前几次循环的结果，并判断每个结果是否满足判断框中的条件，直到不满足条件，输出结论．
【详解】
S的初值为0，n的初值为1，满足进行循环的条件，
经过第一次循环得到的结果为S＝1，n＝3，满足进行循环的条件，
经过第二次循环得到的结果为S＝4，n＝5，满足进行循环的条件，
4．18
【分析】
根据频率分布直方图计算出成绩不低于 分的学生所占的频率，从而求出在抽测的 名同学中，成绩不低于 分的学生数.
【详解】
解：成绩不低于 分的学生所占的频率为：
则在抽测的 名同学中，成绩不低于 分的学生数为 .
故答案为：18.
【点睛】
本题考查频率分布直方图的基础知识，考查学生的运算求解能力，属于基础题
②若 和 的面积分别为 ，求 .
19．已知函数 (其中 是常数，且 )，曲线 在 处的切线方程为 .
（1）求 的值；
（2）若存在 (其中 是自然对数的底)，使得 成立，求 的取值范围；
（3）设 ，若对任意 ，均存在 ，使得方程 有三个不同的实数解，求实数 的取值范围.
20．已知数列 是等差数列，数列 是等比数列，且 ， 的前n项和为 .若 对任意的 恒成立.
10．设 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,则下列四个命题
①若 则 ，②若 则 ，③ 若 ，则 ④若 ，则 其中正确的命题序号是__________.
11．设α，β∈(0，π)，且sin(α＋β)＝ ，tan ＝ ，则cosβ的值为________．
12．已知 ，点 是以 为直径的半圆上的任意两点，且 ， ，则 =_________.
参考答案
1．
【分析】
利用集合并集的定义即可求出结果.
【详解】
解:集合 , ，则 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查集合并集的定义和运算，属于基础题.
2．
【分析】
由复数代数形式的乘除运算化简，再利用模的公式计算即可．
【详解】
∵ ∴复数 的模为 ．
故答案为 ．
【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，属于基础题．
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）若数列 满足 问：是否存在正整数 ，使得 ，若存在求出 的值，若不存在，说明理由；
（3）若存在各项均为正整数､公差为 的无穷等差数列 ，满足 ，且存在正整数 ，使得 成等比数列，求 的所有可能的值.
21．已知矩阵 ，若点 在矩阵 对应的变换下得到点 ，求 点坐标.
13．已知函数 ，若关于 的方程 在定义域上有四个不同的解，则实数 的取值范围是_______.
14．在平面直角坐标系 中，已知圆C满足：圆心在 轴上，且与圆 相外切.设圆C与 轴的交点为M，N，若圆心C在 轴上运动时，在 轴正半轴上总存在定点 ，使得 为定值，则点 的纵坐标为_________.
二、解答题