江苏省无锡市天一中学2020-2021学年高三下学期4月第四次诊断性测试数学试题

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2019届江苏省无锡市天一中学高三下学期4月第四次诊断性测试数学试题(解析版)

2019届江苏省无锡市天一中学高三下学期4月第四次诊断性测试数学试题一、填空题1．已知集合{}0A x x =≥，{}1B x x =<，则A B =U _______. 【答案】(,)-∞+∞【解析】利用集合并集的定义即可求出结果. 【详解】解: 集合{}0A x x =≥,{}1B x x =<，则A B =U (,)-∞+∞. 故答案为：(,)-∞+∞. 【点睛】本题考查集合并集的定义和运算，属于基础题. 2．复数21ii +-（i 为虚数单位）的模为_______.【解析】由复数代数形式的乘除运算化简，再利用模的公式计算即可．【详解】∵()()()()2121313111222i i i i i i i i ++++===+-+-∴复数21i i +-= ．．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，属于基础题． 3．下图是一个算法流程图，则输出S 的值是_______．【答案】25【解析】按照程序框图的流程，写出前几次循环的结果，并判断每个结果是否满足判断框中的条件，直到不满足条件，输出结论．【详解】S的初值为0，n的初值为1，满足进行循环的条件，经过第一次循环得到的结果为S＝1，n＝3，满足进行循环的条件，经过第二次循环得到的结果为S＝4，n＝5，满足进行循环的条件，经过第三次循环得到的结果为S＝9，n＝7，满足进行循环的条件，经过第四次循环得到的结果为S＝16，n＝9，满足进行循环的条件，经过第五次循环得到的结果为S＝25，n＝11，不满足进行循环的条件，退出循环，故输出的S值为25故答案为：25【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4．为了解学生在某次比赛中的整体发挥情况，随机抽测了其中100名同学的成绩，所60,100上，其频率分布直方图如图所示.则在抽测的100名同学中，得数据均在区间[]成绩不低于85分的学生数为_____.【答案】18【解析】根据频率分布直方图计算出成绩不低于85分的学生所占的频率，从而求出在抽测的100名同学中，成绩不低于85分的学生数.【详解】解：成绩不低于85分的学生所占的频率为：()0.024+0.008+0.0045=0.18⨯则在抽测的100名同学中，成绩不低于85分的学生数为1000.18=18⨯.故答案为：18.【点睛】本题考查频率分布直方图的基础知识，考查学生的运算求解能力，属于基础题5．某巡航队有137号，23号等五艘海监船可选派，现计划选派两艘去钓鱼岛巡航执法，其中137号，23号至少有一艘去执法的概率为_______.【答案】7 10【解析】首先计算出从五艘选两艘的选法，然后计算137号和23号都不去的选法，最后利用间接法计算所求.【详解】解：从五艘船中选两艘船去执法的选法为：25C=10.137和23号都不被选上的方法种数为23C=3种，所以137号，23号至少有一艘去执法的概率为37 1-= 1010.故答案为：7 10.【点睛】本题考查组合的简单应用，考查组合数的计算，属于基础题.6．已知双曲线22142x y -=一条渐近线上的一点P 到双曲线中心的距离为3，则点P 到y 轴的距离为_______. 【答案】6【解析】设P 点的坐标为(),P x y ，根据双曲线渐近线方程可知点P 坐标满足22y x=±，由P 到原点的距离可知,x y 满足222392x y x +==，进而可求出6x =，从而求出点P 到y 轴的距离.【详解】解：设P 点的坐标为(),P x y由题意可知，双曲线的渐近线方程为：22y x =±. 因为P 到双曲线中心的距离为3，则有229x y +=，即222392x y x +==解得：6x =，所以点P 到y 轴的距离为6.故答案为：6. 【点睛】本题考查已知双曲线方程求渐近线方程，考查两点距离公式，考查学生问题的转化能力，属于基础题. 7．已知等比数列的前项和为，若，则的值是．【答案】-2 【解析】试题分析：，【考点】等比数列性质及求和公式8．ABC ∆中，“角,,A B C 成等差数列”是“sin 3sin )cos C A A B =+”成立的的条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一) 【答案】充分不必要【解析】【详解】试题分析：条件“ABC ∆中角,,A B C 成等差数列”⇔3B π=；结论“sin sin )cos C A A B =+”⇔sin()cos sin cos A B A B A B +=+⇔cos sin cos A B A B =⇔cos 0A =或sin B B =⇔2A π=或3B π=．所以条件是结论的充分不必要条件．9．若关于x 的不等式1log (2)log (6)log a a m x x a-+-≤（其中1a >）恒成立，则实数m 的取值范围是__________．【答案】[4，)+∞【解析】不等式化为不等式(2)(6)m x x --…恒成立，其中()2,6x ∈；设()(2)(6)f x x x =--，求出()f x 的最大值，即可得出m 的取值范围．【详解】关于x 的不等式1log (2)log (6)log a a m x x a-+-„（其中1)a >恒成立，即不等式log (2)(6)log a a x x m --„在()2,6x ∈上恒成立；即不等式(2)(6)m x x --…恒成立，其中()2,6x ∈；设2()(2)(6)812f x x x x x =--=-+-，其中()2,6x ∈，则函数()f x 的最大值为f （4）4=；所以实数m 的取值范围是[4，)+∞．故答案为：[4，)+∞．【点睛】本题考查了对数函数的性质与应用问题，也考查了转化思想与应用问题，是基础题． 10．设,a b 是两条不同的直线, ,αβ是两个不同的平面,则下列四个命题①若,,a b a b αβ⊥⊥⊥则αβ⊥，②若,a b a α⊥⊥则//b α，③ 若,a βαβ⊥⊥，则//a α④若//,a a αβ⊥，则αβ⊥其中正确的命题序号是__________. 【答案】①④【解析】①a b ⊥r r，不妨设,a b 相交（如异面平移到相交位置），确定一个平面γ，设平面γ与平面β的交线为c ，则由b β⊥，得b c ⊥，从而//a c ，于是有c α⊥，所以βα⊥，①正确；②若,a b a α⊥⊥，b 可能在α内，②错；③若,a βαβ⊥⊥，a 可能在α内，③错；④若//a α，则由线面平行的性质定理，在α内有直线b 与a 平行，又a β⊥，则b β⊥，从而αβ⊥，④正确．故答案为①④． 11．设α，β∈(0，π)，且sin(α＋β)＝513，tan 2α＝12，则cosβ的值为________．【答案】1665－【解析】【详解】试题分析：因为22tan42tan 031tan2ααα==>-，所以0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，43sin ,cos 55αα==，因为sin sin()0ααβ>+>而,(0,)αβπ∈，所以,2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又5sin()13αβ+=，所以12cos()13αβ+=-，因此16cos cos[()]cos()cos sin()sin 65βαββαββαββ=+-=+++=-，答案为1665-. 【考点】和（差）角公式12．已知4AB =，点,M N 是以AB 为直径的半圆上的任意两点，且2MN =，1AM BN ⋅=u u u u r u u u r ，则AB NM ⋅u u u r u u u u r= _________.【答案】6-【解析】由2MN =可得2ON OM ⋅=u u u r u u u u r，又由()()1AM BN OM OA ON OB ⋅=-⋅-=u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r ，可知3OM OB OA ON ⋅+⋅=-u u u u r u u u r u u u r u u u r ，即3OB NM ⋅=-u u u r u u u u r，从而求出结果. 【详解】解：设点O 为半圆的圆心，因为2MN =，4AB =，所以圆的半径为2.Q MN ON OM =-u u u u r u u u r u u u u r，∴ 2222()24424MN ON OM ON OM ON OM ON OM =-=+-⋅=+-⋅=u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u ru u u u r ，则2ON OM ⋅=u u u r u u u u r()()AM BN OM OA ON OB OM ON OM OB OA ON OA OB ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+⋅u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r=241OM OB OA ON -⋅-⋅-=u u u u r u u u r u u u r u u u r， 3OM OB OA ON ∴⋅+⋅=-u u u u r u u u r u u u r u u u rOB OA =-u Q u u r u u u r ，()3OM OB OA ON OM OB OB ON OB OM ON OB NM ⋅+⋅=⋅-⋅=⋅-=⋅=-∴u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r，26AB NM OB NM ⋅=⋅=-u u u r u u u u r u u u r u u u u r故答案为：-6. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算和平面向量的数量积运算，考查学生对问题的转化能力和计算能力，属于中档题.13．已知函数211,0()62ln ,0a x x f x x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩，若关于x 的方程()()0f x f x +-=在定义域上有四个不同的解，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由题意可()()0f x f x +-=在定义域上有四个不同的解等价于21162a y x x =++关于原点对称的函数21162a y x x =-+-与函数()()ln 0f x x x x =->的图象有两个交点，运用参变分离和构造函数，进而借助导数分析单调性与极值，画出函数图象，即可得到所求范围. 【详解】已知定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数211,0()62ln ,0a x x f x x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩ 若()()0f x f x +-=在定义域上有四个不同的解等价于21162a y x x =++关于原点对称的函数21162a y x x =-+-与函数f (x )=lnx -x (x >0)的图象有两个交点，联立可得211ln 062a x x x x -++=-有两个解，即2311ln 62a x x x x x =-++ 可设()2311ln 62g x x x x x x =-++，则()21ln 2232g x x x x '=-++，进而()120g x x x''=+-≥且不恒为零，可得()g x '在()0,∞+单调递增.由()10g '=可得01x <<时，()0,()g x g x '<单调递减；1x >时，()0,()'>g x g x 单调递增，即()g x 在1x =处取得极小值且为13- 作出()y g x =的图象，可得103-<<a 时，211ln 062a x x x x -++=-有两个解. 故答案为：1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用利用导数解决方程的根的问题，还考查了等价转化思想与函数对称性的应用，属于难题.14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 满足：圆心在x 轴上，且与圆22(2)1x y +-=相外切.设圆C 与x 轴的交点为M ，N ，若圆心C 在x 轴上运动时，在y 轴正半轴上总存在定点P ，使得MPN ∠为定值，则点P 的纵坐标为_________.【解析】设C （c ，0），P （0，p ），（p ＞0），圆C 半径为r ，用c 、p 、r 表示∠OPM ，∠OPN 的正切值，再利用两角差的正切公式表示∠MPN 的正切值，分析该值为定值的条件可确定P 的坐标．【详解】解：如图，设C （c ，0），P （0，p ），（p ＞0）圆C 半径为r ，则OM ＝c ﹣r ，ON ＝c +r ，OP ＝p ， ∴tan ∠OPM ＝rOM OP c p=-，tan ∠OPN ＝ON c rOP p+=， ∴tan ∠MPN ＝tan （∠OPN ﹣∠OPM ）＝1c r c r p pc r c r p p+--+-+⨯＝2222rpp c r +-，由两圆外切可知，r +1＝24c +，得c 2＝r 2+2r ﹣3， ∴tan ∠MPN ＝22rpp 2r 3+-＝2232p p r-+，∵上式为与r 无关的定值， ∴p 2﹣3＝0， ∴p ＝3．故答案为：3【点睛】此题考查了两圆相切，三角公式的综合运用等，难度较大．二、解答题15．三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，面积为S .（1）若23AB AC S ⋅≤u u u r u u u r，求A 的取值范围；（2）若tan :tan :tan 1:2:3A B C =，且1c =，求b .【答案】（1）,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭;（2）3.【解析】（1）用平面向量的数量积公式和三角形的面积公式将AB AC=⋅u u u r u u u r转化为cos sin bc A A ≤，从而转化为2sin()06A π-≥，结合三角形内角的范围，可求出A 的取值范围. （2）设tan A m =，根据两角和的正切可以计算tan 2B =和tan 3C =，从而求出sin ,B sin C ，然后利用正弦定理可以求出b . 【详解】（1）由题意知，1cos ,sin 2AB AC bc A S bc A ⋅==u u u r u u u r ，所以cos sin bc A A ≤，即cos A A ≤， (或也可根据cos A 的正负，转化为关于tan A 的不等式).cos 0,2sin()06A A π-≥-≥.因为A 为三角形内角，则5,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以5066A ππ≤-≤，从而,6A ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. （2）设tan ,tan 2,tan 3A m B m C m ===，由题意知，0m >. 因为tan tan tan tan(A )1tan tan A B C B A B +=-+=--⋅，则23312mm m =--，解得1m =，则tan 2,tan 3B C ==，从而sin B =sin C =，所以sin =sin b B c C ，则3b =. 【点睛】本题考查平面向量数量积公式和三角形面积公式，考查两角和的正切，考查正弦定理解三角形，考查学生的转化能力，是解三角形的综合题，属于中档题. 16．在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 的中点.（1）求证：1A C //面1AB D ；（2）设M 是棱1CC 上的点，且满足1BM B D ⊥.求证：面1AB D ⊥面ABM . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）记1A B 与1B A 交于O ，先证明OD //1A C ，根据线面平行的判定定理即可证明A 1C ∥平面AB 1D ；（2）先证明BM ⊥面1AB D ，即可根据面面垂直的判定定理进行证明即可．【详解】（1）设11A B AB O ⋂=，连OD .因为四边形11AA B B 是矩形，∴O 是1A B 的中点. 又D 是BC 的中点，∴1A C //OD .又1AC ⊄面1AB D ，OD ⊂面1AB D ， ∴1A C //面1AB D .（2）因为ABC ∆是正三角形，D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥.∵平面ABC ⊥面11BB C C ，又平面ABC ⊥面11BB C C BC =，AD ⊂面ABC .∴AD ⊥面11BB C C ，∵BM ⊂面11BB C C ，∴AD BM ⊥. 又∵1BM B D ⊥，1AD B D D ⋂=，AD ，1B D ⊂面1AB D ， ∴BM ⊥面1AB D ，又BM ⊂面ABM ， ∴面1AB D ⊥面ABM . 【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.17．某校在圆心角为直角，半径为1km 的扇形区域内进行野外生存训练.如图所示，在相距1km 的A ，B 两个位置分别为300,100名学生，在道路OB 上设置集合地点D ，要求所有学生沿最短路径到D 点集合，记所有学生进行的总路程为()S km .（1）设ADO θ∠=，写出S 关于θ的函数表达式；（2）当S 最小时，集合地点D 离点A 多远？【答案】（1）3cos 50350sin S θθ-=+，2,33ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）集合地点D 离出发点A 的距离为368时，总路程最短，其最短总路程为100650km . 【解析】（1）先通过正弦定理将AD ，BD 用θ的三角函数表示出来，则S 300AD 100BD =+，代入即可得到S 关于θ的函数表达式．（2）令3cos sin y θθ-=,对y 求导有23cos 1sin y θθ-+'=求得y 的最小值当且仅当1cos 3θ=时，y 有极小值也是最小值为22AD ．【详解】（1）因为在OAD △中，ADO θ∠=，1OA =，所以由正弦定理可知1sin sinsin 33AD OD ππθθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，解得3AD =，sin 3sin OD πθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，且2,33ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故S 300AD 100BD =+ sin 33310012sin sin πθθθ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦3cos 50350sin θθ-=⋅+，2,33ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（2）令3cos sin y θθ-=，则有23cos 1sin y θθ-+'=，令0y '=得1cos 3θ= 记01cos 3θ=，02,33ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，列表得 θ0,3πθ⎛⎫ ⎪⎝⎭0θ02,3πθ⎛⎫ ⎪⎝⎭y '-0 +y ↘极小值↗可知，当且仅当1cos 3θ=时，y 有极小值也是最小值为22，当36AD km 8=时，此时总路程有最小值650km . 答：当集合点D 离出发点A 的距离为36km 8时，总路程最短，其最短总路程为650km . 【点睛】此题考查实际问题中的解三角形，一般取值范围的题目都是将边长转化为三角函数，通过三角函数再求范围即可，属于一般性题目．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22 22:1(0)x yC a ba b+=>>过点(2,22)，A，B分别为椭圆C的右､下顶点，且2OA OB=.（1）求椭圆C的方程；（2）设点P在椭圆C内，满足直线PA，PB的斜率乘积为14-，且直线PA，PB分别交椭圆C于点M，N.①若M，N关于y轴对称，求直线PA的斜率；②若PMNV和PAB△的面积分别为12,S S，求12SS.【答案】（1）221369x y+=.（2）①122，②1.【解析】（1）由2OA OB=知，2a b=，又椭圆C过点(2,22)，所以将点代入椭圆方程求解即可. （2）①设直线PA的斜率为k，则直线PA的方程为(6)y k x=-，与椭圆联立可求出M点坐标；又直线PA，PB的斜率乘积为14-，可知直线PB的方程134y xk=--，从而可求出N点坐标，利用M，N关于y轴对称，列出等式M Nx x=，从而解出k的值. （2）②利用三角形面积公式，将12SS转化为12()()||()()P M N PA P P Bx x x xSS x x x x-⋅-=-⋅-，代入点坐标计算可求出结果.【详解】（1）由2OA OB=知，2a b=，又椭圆C过点(2,22)，所以22222(22)1a b+=，解得6,3.ab=⎧⎨=⎩所以椭圆C的方程为221369x y+=.（2）设直线PA 的斜率为k ，则直线PA 的方程为(6)y k x =-.联立22(6),436,y k x x y =-⎧⎨+=⎩ 消去y 并整理得，2222(14)48144360k x k x k +-+-=，解得16x =，22224614k x k-=+，所以22224612(,)1414k k M k k --++. 因为直线PA ，PB 的斜率乘积为14-，所以直线PB 的方程134y x k =--. 联立2213,4436,y x kx y ⎧=--⎪⎨⎪+=⎩ 消去y 并整理得，22(14)240k x kx ++=，解得10x =，222414k x k =-+，所以22224312(,)1414k k N k k--++. ①因为M ，N 关于y 轴对称，所以2222462401414k kk k --=++，即24410k k --=，解得12k =当12k =3(1(3,)2P -在椭圆C 外，不满足题意.所以直线PA的斜率为12-. ②联立(6),13,4y k x y x k =-⎧⎪⎨=--⎪⎩解得22241214P k k x k -=+. 所以121sin ()()2||1()()sin 2P M N PA P PB PM PN MPN x x x x S S x x x x PA PB APB ⋅∠-⋅-==-⋅-⋅∠ 222222222222412246242412()()14141414||24122412(6)(0)1414k k k k k k k k k k k k k k k k------++++=----++ 22(126)(2412)||(126)(2412)k k k k k k -+--=+-22(21)(2)||(21)(2)k k k k k k -+--=+-(21)(21)||1(21)(21)k k k k -+--==+-.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查设而要求法求点的坐标，考查三角形面积公式，考查了学生的转化能力和计算能力，属于难题.19．已知函数()ln f x a x c =-(其中,,a b c 是常数，且,,a b c ∈R )，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为1122b b y x ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求,a c 的值；（2）若存在20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦(其中e 是自然对数的底)，使得()00f x x -＞成立，求b 的取值范围；（3）设()()g x f x mx =+，若对任意[)4,b ∈+∞，均存在t ∈R ，使得方程()g x t =有三个不同的实数解，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1,0a c ==.（2）2b e e+＜.（3）()0,1【解析】（1）求出()y f x =在1x =处的导数，利用斜率和函数值建立等式关系，则可求出,a c 的值. （2）由条件可知，0b +＞在2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦上有解，设()h x b =，即()max 0h x ＞，求导求函数的最值，从而求出b 的取值范围. （3）通过求导分析()g x 的单调性和最值，分类讨论求出m 的取值范围. 【详解】（1）()'a f x x =-，由题知()1f b c b =-+=-，且()'1122b b f a =-=-，解得1,0ac ==；（2）由（1）知()ln f x x =-20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使得()00f x x -＞，0b ＞，设()h x b =，则需()max 0h x ＞， ()'h x =()2ln H x x x =+-，则()1'10H x x=-＞在2,e e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，即()H x 单调递增，又因为()10H e e =+＞，所以()0H x ＞在2,e e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，即()h x 单调递增，所以()()2max 2h x h e e b e==+-，令()max 20h x e b e =+-＞，解得2b e e+＜；（3）()ln g x x mx =-，()22222'22mmx g x x x--+==，①当0m ≤时，对任意[)4,b ∈+∞，易知方程2220m-=均仅有唯一解0x x =，且当()00,x x ∈时，()'0g x ＞，()g x 单调递增，当()0,x x ∈+∞时，()'0g x ＜，()g x 单调递减，故方程()g x t =最多有两个不同的实数解，所以0m ≤不符合题意；② 当0m ＞时，若2160b m ∆=-≤，则()'0g x ≥恒成立，()g x 单调递增，方程()g x t =最多只有一个实数解，不符题意，所以对任意[)4,b ∈+∞，应有2160b m ∆=-＞，即()0,1m ∈，此时，易知方程2220m -=在()0,∞+上有两个不同的实数根12,x x ，因为()22'10m bg +-=＜，不妨取12x x ＜，则有11x ＜，列表如下：由表可知，()g x 的极大值为()111ln g x x mx =-，因为1220mx -=，所以()11111ln ln 20g x x mx x mx =-=--＜，又因为221b m ＞，且222222'02b mb m g m b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭＞，所以222b x m ＞，因为()22122ln 0b b g x m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭＞＞g ，所以必然存在()()121max ,g ,g 2x t g x x ⎛⎫⎧⎫⎛⎫∈⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎩⎭⎝⎭，使得方程()g x t =在区间()2111222,,,,,2x b x x x x m ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上均有一个实数解，符合题意；综上所述，实数m 的取值范围为()0,1. 【点睛】本题考查利用导数求函数的切线，考查存在性问题的转化，考查分类讨论求函数的最值，考查学生问题的转化能力和计算能力，属于难题.20．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，且11a =，n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S .若1222n n n S n +=--对任意的*n N ∈恒成立.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足,,,.n n n b n c a n ⎧=⎨⎩是奇数是偶数问：是否存在正整数m ，使得1187m m m c c c ++=，若存在求出m 的值，若不存在，说明理由；（3）若存在各项均为正整数､公差为d '的无穷等差数列{}n d ，满足152018d a =，且存在正整数k ，使得115,,k d d d 成等比数列，求d '的所有可能的值.【答案】（1）n a n =，2nn b =.（2）存在，m 的值为5和1862 .（3）0d '=或144d '=.【解析】（1）由题意可知222n n n S +=-，从而有11122n n n S --+=-，做差得到(2)2n n n a nn b =≥，代入基本量计算可求出数列{}n a ，{}n b 的通项公式. （2）讨论m 为奇数和偶数两种情况，分别代入求解计算. （3）设{}n d 的公差为d '，则0d '≥且d Z '∈，若1520182018d a ==，则0d '=肯定成立，只需讨论0d '>时的情况即可.【详解】（1）当1n =时，1121a b =，由11a =，得12b =；由1222n n n S n +=--得222n n n S +=-①，当2n ≥时有：11122n n n S --+=- ②，由②-①得(2)2n nn a nn b =≥.分别令2,3n =可得：2212a b =，3338a b =.设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则211,22123.28d q d q+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 解得1,2,d q =⎧⎨=⎩或1,32.3d q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 经检验1,2,d q =⎧⎨=⎩符合条件，1,32.3d q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩不合题意，舍去.故n a n =，2nn b =.（2）2,,,.n n n c n n ⎧=⎨⎩是奇数是偶数当m 是奇数时，由1187m m m c c c ++=，可得2(1)187mm m +=+，即18721m m m +=+，所以186211mm =++，解得5m =，考虑到1862,11mm ++在正整数集上分别单调递增和递减，故不存在其他解，即5m =是惟一解.当m 是偶数时，由1187m m m c c c ++=可得：118722m m m ++⋅=，即1862m =，1862是偶数符合条件. 综上m 的值为5和1862.（3）由（1）1520182018d a ==，设{}n d 的公差为d '，则0d '≥且d Z '∈，当0d '=时，显然成立；当0d '>时，151142018,d d d '=+=所以1201814d d '=-，15(15)2018(15)k d d k d k d ''=+-=+-，由2151k d d d =⋅，得22018(201814)[2018(15)]d k d ''=-+-，即222201820182018(15)14201814(15)k d d k d '''=+--⨯--，所以22018(15)14201814(15)k d d k d '''-=⨯+-，因为0d '>，所以2018(15)14201814(15)k k d '-=⨯+-，即2018201815142018141415k kd d ''-⨯=⨯+-⨯，所以(201814)1420182018151415d k d ''-=⨯+⨯-⨯ 故1420182018151415201814d k d '⨯+⨯-⨯='-15(201814)1420187210091520181410097d d d '-+⨯⨯⨯==+''--，由0d '>，得100971009d '-<，从而要使k *∈N ，只要100971,2,7,14d '-=，又100971,144d d d *'''∈∴-==N ，综上，0144d d ''==或. 【点睛】本题考查已知前n 项和求数列的通项，考查用基本量求数列的通项公式，考查分类讨论的思想，同时涉及数的整除问题，属于难题.21．已知矩阵2111,3124-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A B =，若点M 在矩阵AB 对应的变换下得到点()'6,1M -，求M 点坐标.【答案】()0,1【解析】首先根据矩阵的二阶行列式计算出矩阵AB ，然后再根据矩阵的线性运算可求出M 点坐标. 【详解】211106312451AB -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦，设(),M x y ，则06665151x y y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以6651y x y =⎧⎨--=-⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，所以M 点坐标为()0,1.【点睛】本题考查矩阵的二阶行列式运算和矩阵的线性代数运算，属于基础题.22．如图，在菱形ABCD 中，2,AB =60,BAD ∠=︒沿对角线BD 将△ABD 折起，使,A C若,P Q 分别为线段,BD CA 上的动点（1）求线段PQ 长度的最小值；（2）当线段PQ 长度最小时，求直线PQ 与平面ACD 所成角的正弦值【答案】（1）62；（2）105．【解析】试题分析：取BD 中点E ，连结AE ，CE ，则AE BD ⊥，CE BD ⊥，3AE CE ==因为6AC =，所以222AE CE AC +=，所以ACE V 为直角三角形所以AE CE ⊥，所以AE ⊥平面BCD ．以,,EB EC EA 分别为,,x y z 轴（1）设出点P 的坐标，由空间向量计算求出PQ ，由二次函数性质求最小值即可．（2）由空间向量求出平面ACD 的法向量与向量PQ uuu r，即可求之．试题解析：取BD 中点E ，连结AE ，CE ，则AE BD ⊥， CE BD ⊥，3AE CE ==，因为6AC =，所以222AE CE AC +=，所以ACE V 为直角三角形所以AE CE ⊥，所以AE ⊥平面BCD ． 2分以,,EB EC EA 分别为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则()()(1,0,0,,B C A ， 3分（1）设(),0,0,Pa ()=0,CQ CA λ=u u u r u u u r ，则()()0,PQ PC CQ a =+=-+u u u r u u u r u u u r()a =-PQ ==u u u r= 5分当10,2a λ==时，PQ 6分（2）由（1）知PQ ⎛= ⎝⎭u u u r ，设平面AE ⊥的一个法向量为(),,n x y z r =，由n r BCD ，n r DA ⊥u u u r 得()(()(),,0{,,0x y z x y z ⋅=⋅=，化简得0{0x x +=+=，取n r )1,1=--，设PQ 与平面AE ⊥所成角为θ，则sin cos ,PQ n θ===u u u r r ．故直线PQ 与平面ACD 所成角的正弦值为5． 10分【考点】空间向量的应用．23．已知*0()()n k k n n k f x Cx n N ==∈∑.（1）若456()()2()3()g x f x f x f x =++，求()g x 中含4x 项的系数；（2）求：012112323n m m m m n C C C nC -++++++++L .【答案】（1）56.（2）21(2)1[]3m m n m n C m ++++++ 【解析】（1）根据题意将()n f x 展开，可得0011()(1)n n n n n n n f x C x C x C x x =+++=+L ，代入()g x ，求出()g x 中的4x 系数的表达式，利用组合数公式可计算结果. （2）利用组合数的性质，将所求转化为111112323m m m m m m m m n C C C nC ++++++++++++L ，根据二项式定理展开式可以转化为求12()(1)2(1)(1)m m m n h x x x n x +++=++++++L 中含1m x +项的系数，用错位相减法计算求得结果.【详解】（1）00110()(1)nk k n n nn n n n n k f x C x C x C x C x x ===+++=+∑L 456456()()2()3()(1)2(1)3(1)g x f x f x f x x x x =++=+++++()g x 中4x 项的系数为4444562356C C C ++=；（2） 012111111231232323n m m m m m m m m n m m m m n C C C nC C C C nC -++++++++++++++++=++++L L设12()(1)2(1)(1)m m m n h x x x n x +++=++++++L ①则函数()h x 中含1m x +项的系数为111112323m m m m m m m m n C C C nC ++++++++++++L由错位相减法得：1231()(1)(1)(1)(1)(1)m m m m n m n xh x x x x x n x ++++++-=++++++++-+L ②11(1)1(1)()(1)1(1)m n m n x x xh x n x x +++⎡⎤+-+⎣⎦-=-+-+2111()(1)(1)(1)m m n m n x h x x x n x +++++=+-+++，()h x 中含1m x +项的系数，即是等式左边含3m x +项的系数，等式右边含3m x +项的系数为3211m m m n m n C nC ++++++-+3211m m m n m n C nC ++++++-+21(1)!(3)!(2)!m m n m n nC m n +++++=-++-221113m m m n m n n C nC m ++++++-=-++ 21(3)(1)3m m n m n n C m ++++--=+21(2)13m m n m n C m +++++=+ 所以012121231(2)123[]3n m m m m m n m n m n C C C nC C m -+++++++++++++=+L 【点睛】本题考查组合数的公式，考查二项式定理的应用，考查错位相减法求和，考查的方法比较新颖，比较综合，属于难题.24．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为21x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，直线l 与抛物线()220y px p =＞交于,A B两点，若AB ≤p 的取值范围.【答案】02p ≤＜【解析】【详解】将直线的参数方程21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入()220y px p =＞，得2122p ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()245200t t p ++-=，解得1,2x =，所以12AB xx =-=AB ≤，解得02p ≤＜.。

江苏省G4南师附中、海门中学、天一中学、海安中学2021届高三下学期4月联考数学试题(含答案解析)

C．直线与直线所成角为 D．四棱锥的体积为
10．函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（）
A．当时，
B．关于的不等式的解集为
C．关于的方程有三个实数解
D．、，
11．已知，下列说法成立的是（）
A． B．
C．若，则 D．存在使得
12．随着高三毕业日期的逐渐临近，有 ( )个同学组成的学习小组，每人写了一个祝福的卡片准备送给其他同学，小组长收齐所有卡片后让每个人从中随机抽一张作为祝福卡片，则（）
所以展开式中的一次项为，二次项为，三次项为，
由于，
所以展开式中含的项为：，
故
故选：A.
【点睛】
本题考查二项式定理求特定项的系数，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于先求解出展开式中的一次项，二次项，三次项，进而求解.
6．D
【分析】
先通过切化弦后再通分，再用二倍角公式、和差化积后即可.
（1）把不等式转化为；
（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“ ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.
11．AC
【分析】
用不等式性质及基本不等式，或取反例否定.
【详解】
，所以A正确；
取时，，，所以B错误；
，，，所以C正确；
，，所以D错误.
故选:AC
当时，由，可得（舍去）.
又满足方程 .
综上所述，关于的方程只有一个实根，C选项错误；
对于D选项，当时，，
当时，，
又，所以，，，
因此，、，，D选项正确.
故选：BD.
【点睛】

江苏省天一中学2019届高三第四次阶段性检测(4月)数学试题

江苏省天一中学2019届高三第四次诊断性测试数学 Ⅰ2019.04命题：高三数学备课组一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 1．已知集合{}0A x x =≥，{}1B x x =<，则AB = ▲ ．2．复数21i i+-（i 为虚数单位）的模为 ▲ ．3．如图是一个算法流程图，则输出S 的值是 ▲ ．4．为了解学生在某次比赛中的整体发挥情况，随机抽测了其中100名同学的成绩，所得数据均在区间[]60,100上，其频率分布直方图如图所示.则在抽测的100名同学中，成绩不低于85分的学生数为 ▲ ．5．某巡航队有137号，23号等五艘海监船可选派，现计划选派两艘去钓鱼岛巡航执法，其中137号，23号至少有一艘去执法的概率为 ▲ .6．已知双曲线12422=-y x 一条渐近线上的一点P 到双曲线中心的距离为3，则点P 到y 轴的距离为 ▲ ．7．已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若28362a a a a =，562S =-，则1a = ▲ .8．ABC ∆中，“角,,A B C 成等差数列”是“sin sin )cos C A A B =+”成立的的 ▲ 条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)（第3题）9．若关于x 的不等式1log (2)log (6)log a a m x x a-+-≤（其中1>a ）恒成立，则实数m 的取值范围是 ▲ ．10．设a b 、是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列四个命题 ①若,a b a α⊥⊥,则//b α, ②若,a βαβ⊥⊥,则//a α, ③若βαβα⊥⊥则,,//a a④若,,a b a b αβ⊥⊥⊥,则αβ⊥,其中正确的命题序号是 ▲ .11．设()αβ∈0π，，，且5sin()13αβ+=, 1tan 22α=．则cos β的值为 ▲ ．12．已知4AB =，点,M N 是以AB 为直径的半圆上的任意两点，且2MN =，1AM BN ⋅=，则NM AB ⋅= ▲ ．13．已知函数211,0()62ln ,0a x x f x x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩，若关于x 的方程()()0f x f x +-=在定义域上有四个不同的解，则a 的取值范围是 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中已知圆C 满足：圆心在x 轴上，且与圆22(2)1x y +-=相外切.设圆C 与x 轴的交点为M,N ，若圆心C 在x 轴上运动时，在y 轴正半轴上总存在定点P ，使得MPN ∠为定值，则点P 的纵坐标．．．为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，面积为S ．（1）若AB →·AC →≤23S ，求A 的取值范围；（2）若tan A ∶tan B ∶tan C ＝1∶2∶3，且c ＝1，求b ．ABNM16．（本小题满分14分）在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 是BC 的中点．（1）求证：A 1C ∥平面AB 1D ；（2）设M 为棱CC 1的点，且满足BM ⊥B 1D ，求证：平面AB 1D ⊥平面ABM ． 17．（本小题满分14分）某校在圆心角为直角，半径为1km 的扇形区域内进行野外生存训练．如图所示，在相距1km 的A ，B 两个位置分别有300，100名学生，在道路OB 上设置集合地点D ，要求所有学生沿最短路径到D 点集合，记所有学生行进的总路程为S （km ）．（1）设ADO θ∠=，写出S 关于θ的函数表达式；（2）当S 最小时，集合地点D 离点A 多远？18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点，A ，B 分别为椭圆C 的右、下顶点，且2OA OB =．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点P 在椭圆C 内，满足直线PA ，PB 的斜率乘积为14-，且直线PA ，PB 分别交椭圆C 于点M ，N ．①若M ，N 关于y 轴对称，求直线PA 的斜率；②若PMN △和PAB △的面积分别为12,S S ，求12SS ．（第17题）ABDMC1A 1B 1C19.（本小题满分16分）已知函数()ln f x a x c =-（其中,,a b c 是常数，且,,a b c ∈R ），曲线()y f x =在1x =处的切线方程为1122b b y x ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求,a c 的值；（2）若存在20e,e x ⎡⎤∈⎣⎦（其中e 是自然对数的底），使得()00f x x -＞成立，求b 的取值范围；（3）设()()g x f x mx =+，若对任意[)4,b ∈+∞，均存在t ∈R ，使得方程()g x t =有三个不同的实数解，求实数m 的取值范围.20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，且11a =，n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ．若1222n n n S n +=--对任意的*n ∈N 恒成立．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足n n nb nc a n ⎧=⎨⎩是奇数是偶数,,,.问：是否存在正整数m ，使得1187m m m c c c ++=，若存在求出m 的值，若不存在，说明理由；（3）若存在各项均为正整数、公差为d '的无穷等差数列{}n d ，满足152018d a =，且存在正整数k ，使得115,,k d d d 成等比数列，求d '的所有可能的值．江苏省天一中学2019届高三第四次诊断性测试数学 Ⅰ参考答案及评分标准一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．）1、+∞∞（-，）2 3、25 4、18 5、7106 7、2- 8、充分不必要 9、 [)4,+∞ 10、③④ 11、1665- 12、6-13、），（031- 14、3 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.解：（1）由题意知，AB →·AC →＝bc cos A ，S ＝12bc sin A ，所以bc cos A ≤3bc sin A ，即cos A ≤3sin A ，………2分（或也可根据cos A 的正负，转化为关于tan A 的不等式）．即3sin A －cos A ≥0，2sin(A －π6)≥0．………4分因为A 为三角形内角，则A －π6∈(－π6，5π6)，所以0≤A －π6＜5π6，从而A ∈[π6，π)．6分（2）设tan A ＝m ，tan B ＝2m ，tan C ＝3m ，由题意知，m ＞0．因为tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B ，则3m ＝－ 3m1－2m 2，………8分解得m ＝1，则tan B ＝2，tan C ＝3，………10分从而sin B ＝255，sin C ＝31010，………12分所以AC AB ＝sin B sin C ＝22 3，则AC ＝223．………14分16．证明：(1) 记A 1B ∩AB 1＝O ，连接OD . ∵四边形AA 1B 1B 为矩形，∴O 是A 1B 的中点，又∵D 是BC 的中点，∴A 1C ∥OD . ………2分又∵A 1C ⊂∕平面AB 1D ，OD ⊂平面AB 1D ，∴A 1C ∥平面AB 1D . ………6分注意：条件“A 1C ⊂∕平面AB 1D ，OD ⊂平面AB 1D ”少写一个扣除2分，两个都不写本小步4分扣完！(2)∵△ABC 是正三角形，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC . ………8分 ∵平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，平面ABC ∩平面BB 1C 1C ＝BC ，AD ⊂平面ABC ， ∴AD ⊥平面BB 1C 1C .【或利用CC 1⊥平面ABC 证明AD ⊥平面BB 1C 1C .】 ………10分 ∵BM ⊂平面BB 1C 1C ，∴AD ⊥BM . ………12分又∵BM ⊥B 1D ，AD ∩B 1D ＝D ，AD ,B 1D ⊂平面AB 1D ， ∴BM ⊥平面AB 1D .又∵BM ⊂平面ABM ，∴平面AB 1D ⊥平面ABM ． ………14分17. 解（1）因为在△OAD 中，θ=∠ADO ，1OA =，所以由正弦定理可知1ππsin sin sin 33AD ODθθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，解得πsin 3sin AD OD θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，且π2π(,)33θ∈， ………4分故πsin 33001001001sin S AD BD θθ⎤⎛⎫+ ⎪⎥⎝⎭⎥=+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦3cos 50sin θθ-=+，π2π(,)33θ∈， ………8分（2）令3cos sin y θθ-=，则有23cos 1sin y θθ-+'= ，当1cos 3θ>时，0y '<；当1cos 3θ<时，0y '>；可知，当且仅当1cos 3θ=时，y 有最小值22， ………12分当AD =时，此时总路程S有最小值50km ．答：当集合点D 离出发点A 的距离为km 时，总路程最短，其最短总路程为50km ． ………14分18．解：（1）由2OA OB =知，2a b =，又椭圆C过点，所以2221a +=，解得6,3.a b =⎧⎨=⎩所以椭圆C 的方程为221369x y +=．…………4分（2）设直线PA 的斜率为k ，则直线PA 的方程为(6)y k x =-．联立22(6),436,y k x x y =-⎧⎨+=⎩ 消去y 并整理得，2222(14)48144360k x k x k +-+-=，解得16x =，22224614k x k -=+，所以22224612(,)1414k k M k k --++．…………………6分因为直线PA ，PB 的斜率乘积为14-，所以直线PB 的方程134y x k=--．联立2213,4436,y x kx y ⎧=--⎪⎨⎪+=⎩消去y 并整理得，22(14)240k x kx ++=，解得10x =，222414k x k =-+，所以22224312(,)1414k k N k k --++．…………………8分(i) 因为M ，N 关于y 轴对称，所以2222462401414k kk k --=++，即24410k k --=，解得k ．…………………………………………10分当k时，点(3,P 在椭圆C 外，不满足题意．所以直线PA 的斜率为12． ………………………………………………12分(ii) 联立(6),13,4y k x y x k =-⎧⎪⎨=--⎪⎩解得22241214P k k x k -=+．所以121sin ()()2||1()()sin 2P M N P A P P B PM PN MPNx x x x S S x x x x PA PB APB ⋅∠-⋅-==-⋅-⋅∠ …………………14分222222222222412246242412()()14141414||24122412(6)(0)1414k k k k k k k k k k k k k k k k ------++++=----++ 22(126)(2412)||(126)(2412)k k k k k k -+--=+-22(21)(2)||(21)(2)k k k k k k -+--=+-(21)(21)||1(21)(21)k k k k -+--==+-．………16分19、解：（1）()'a f x x =()1f b c b =-+=-，且()'1122b bf a =-=-，解得1,0a c ==；………………………………………………（3分）（2）由（1）知()ln f x x =-20e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，使得()00f x x -＞，0b +＞，设()h x b =，则需()max 0h x ＞， ()'h x =()2ln H x x x =+-，则()1'10H x x =-＞在2e,e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，即()H x 单调递增，又因为()e e 10H =+＞，所以()0H x ＞在2e,e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，即()h x 单调递增，所以()()2max 2e e eh x h b ==+-，令()max 2e 0e h x b =+-＞，解得2e eb +＜；………………（8分）（3）()ln g x x mx =-，()22222'22mmx g x xx--+==，① 当0m ≤时，对任意[)4,b ∈+∞，易知方程2220m-=均仅有唯一解0x x =，且当()00,x x ∈时，()'0g x ＞，()g x 单调递增，当()0,x x ∈+∞时，()'0g x ＜，()g x 单调递减，故方程()g x t =最多有两个不同的实数解，所以0m ≤不符合题意；② 当0m ＞时，若2160b m ∆=-≤，则()'0g x ≥恒成立，()g x 单调递增，方程()g x t =最多只有一个实数解，不符题意，所以对任意[)4,b ∈+∞，应有2160b m ∆=-＞，即()0,1m ∈，此时，易知方程2220m -=在()0,+∞上有两个不同的实数根12,x x ，因为()22'102m bg +-=＜，不妨取12x x ＜，则有11x ＜，列表如下：由表可知，()g x 的极大值为()111ln g x x mx =-，因为1220mx -=，所以()11111ln ln 20g x x mx x mx =-=--＜，又因为221b m ＞，且222222'02b mb m g m b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭＞，所以222b x m ＞，因为()22122ln 0b b g x m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭＞＞g ，所以必然存在()()121max ,g ,g 2x t g x x ⎛⎫⎧⎫⎛⎫∈⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎩⎭⎝⎭，使得方程()g x t =在区间()2111222,,,,,2x b x x x x m ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上均有一个实数解，符合题意；综上所述，实数m 的取值范围为()0,1.………………………（16分）20. 解（1）当1n =时，1121a b =，由11a =，得12b =；由1222n n n S n +=--得222n n n S +=-①，当2n ≥时有：11122n n n S --+=- ②，由②－①得(2)2n n n a nn b =≥．分别令2,3n =可得：2212a b =，3338a b =．设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则211,22123.82d q d q+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 解得1,2,d q =⎧⎨=⎩或1,32.3d q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩经检验1,2,d q =⎧⎨=⎩符合条件，1,32.3d q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩不合题意，舍去．故n a n =，2nn b =． ………3分（2）2n n n c n n ⎧⎪=⎨⎪⎩,是奇数,,是偶数.当m 是奇数时，由1187m m m c c c ++=，可得2(1)187mm m +=+，即18721m m m +=+，所以186211m m =++，解得5m =，考虑到1862,11m m ++在正整数集上分别单调递增和递减，故不存在其他解，即5m =是惟一解．当m 是偶数时，由1187m m m c c c ++=可得：118722m m m ++⋅=，即1862m =，1862是偶数符合条件．综上m 的值为5和1862． ………8分（3）由（1）1520182018==d a ，设{}n d 的公差为'd ，则0d '≥且'∈d Z ，当0'=d 时，显然成立；当0'>d 时，151142018,'=+=d d d所以1201814d d '=-，15(15)2018(15)k d d k d k d ''=+-=+-，由2151=⋅k d d d ，得22018(201814)[2018(15)]''=-+-d k d ，即222201820182018(15)14201814(15)k d d k d '''=+--⨯--，所以22018(15)14201814(15)k d d k d '''-=⨯+-，因为0d '>，所以2018(15)14201814(15)k k d '-=⨯+-，即2018201815142018141415k kd d ''-⨯=⨯+-⨯，所以(201814)1420182018151415d k d ''-=⨯+⨯-⨯故1420182018151415201814d k d '⨯+⨯-⨯='-15(201814)1420187210091520181410097'-+⨯⨯⨯==+''--d d d ，由0d '>，得100971009d '-<，从而要使k *∈N ，只要100971,2,7,14'-=d ，又100971,144d d d *'''∈∴-==N ，综上，0144''==d d 或. ………16分。

2024届江苏省无锡市四校高三下学期学情调研数学试卷及答案

2023-2024学年春学期期初学情调研试卷高三数学命题人：复核人：注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|22}M x x =-<<，{0,1,2,3}N =，则M N = （）A. {|22}x x -<<B. {01}，C. {012}，，D. {|02}x x <<2．已知a ,b ,c 是空间的一个基底，则可以与向量p =a +b ，q =a−b 构成基底的向量是( )3．若直线l :ax +(1−a)y−3=0与直线l :(a−1)x +(2a +3)y−2=0互相垂直，则a 的值为( )5．如图，一个底面边长为23π3cm 的正四棱柱形状的容器内装有部分水，现将一个底面半径为1cm 的铁制实心圆锥放入容器，圆锥放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm ．若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（）的面积等于( )二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的是( )10．设a 为常数，1(0)2f =，()()()()()f x y f x f a y f y f a x +=-+-，则( )A. 1()2f a =B. 1()2f x =恒成立C. ()2()()f x y f x f y += D. 满足条件的()f x 不止一个11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 上的动点，F 为棱1B B 的中点，则下列选项正确的是()A ．直线11A D 与直线EF 相交B ．当E 为棱BC 上的中点时，则点E 在平面1AD F 的射影是点F C ．不存在点E ，使得直线1AD 与直线EF 所成角为30 D ．三棱锥E ADF -的体积为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．13．若直线()0y kx b b =+<是曲线2e x y -=的切线，也是曲线ln y x =的切线，则b =．14.“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则A ，B 两点间的曼哈顿距离d(A,B)=|x 1−x 2|+|y 1−y 2|.已知M(4,6)，点N 在圆C:x 2+y 2+6x +4y =0上运动，若点P 满足d(M,P)=2，则|PN|的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知该三角形的面积2221()sin 2S b c a A=+-17．（15分）如图，在三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面 ABC,AC ⊥BC,AC =BC =2，CC 1=3，点D, E 分别在棱AA 1和棱 CC 1上，且AD =1 CE =2, M 为棱A 1B 1的中点．（Ⅰ）求证：C 1M ⊥B 1D ；（Ⅱ）求二面角B−B1E−D的正弦值；（Ⅲ）求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值．18．（17分）已知M，N为椭圆C1:x2a2+y2=1(a>0)和双曲线C2:x2a2−y2=1的公共左、右顶点，e1，e2分别为C1和C2的离心率．(1)若e1e2=154．(ⅰ)求C2的渐近线方程;(ⅱ)过点G(4,0)的直线l交C2的右支于A，B两点，直线MA，MB与直线x=1相交于A1，B1两点，记A，B，A1，B1的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，(x4,y4)，求证：1y1+1y2=1y3+1y4;(2)从C2上的动点P(x0,y0)(x0≠±a)引C1的两条切线，经过两个切点的直线与C2的两条渐近线围成三角形的面积为S，试判断S是否为定值?若是，请求出该定值;若不是，请说明理由．19．（17分）已知A m=a1,1a1,2⋯a1,ma2,1a2,2⋯a2,m⋮⋮⋱⋮a m,1a⋯a m,m(m≥2)是m2个正整数组成的m行m列的数表，当1≤i<s≤m,1≤j<t≤m时，记d(a i,j,a s,t)=|a i,j−a s,j|+|a s,j−a s,t|.设n∈N∗，若A m满足如下两个性质：①a i,j∈{1,2,3;⋯,n}(i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,m)；②对任意k∈{1,2,3,⋯,n}，存在i∈{1,2,⋯,m},j∈{1,2,⋯,m}使得a i,j=k，则称A m为Γn数表．(1)判断A3=123231312是否为Γ3数表，并求d(a1,1,a2,2)+d(a2,2,a3,3)的值；(2)若Γ2数表A4满足d(a i,j,a i+1,j+1)=1(i=1,2,3;j=1,2,3)，求A4中各数之和的最小值；(3)证明：对任意Γ4数表A10，存在1≤i<s≤10,1≤j<t≤10，使得d(a i,j,a s,t)=0．2023-2024学年春学期期初学情调研试卷参考答案1．B [试题解析]{|22}M x x =-<<，{0,1,2,3}N =，M N = {01}，故选：B 2．D [试题解析]因为a ，p =a +b ，q =a−b ，为共面向量，所以不能构成基底，故A 错误；因为b ，p =a +b ，q =a−b ，为共面向量，所以不能构成基底，故B 错误；因为a +2b ，p =a +b ，q =a−b ，为共面向量，所以不能构成基底，故C 错误；因为a +2c ，p =a +b ，q =a−b ，为不共面向量，所以能构成基底，故D 正确；故选：D3．D [试题解析]∵l 1⊥l 2，∴a(a−1)+(1−a)×(2a +3)=0，即(a−1)(a +3)=0，解得a =1或a =−3.故选：D ．4．B [试题解析]奇数项共有(n +1)项，其和为a 1+a 2n +12⋅(n +1)=2a n +12⋅(n +1)=290，∴(n +1)a n +1=290．偶数项共有n 项，其和为a 2+a 2n2⋅n =2a n +12⋅n =na n +1=261，∴a n +1=290−261=29．故选：B ．5．C [试题解析]依题意可得圆锥的体积V =1×=4π3cm 3，又V =13π×12×ℎ(cm 3)（其中h 为圆锥的高），则ℎ=4cm ，则圆锥的母线长为12+42=17cm ，故圆锥的侧面积为17πcm 3．故选：A ．6．B [试题解析]因为A 在B 的前面出场，且A ，B 都不在3号位置，则情况如下：①A 在1号位置，B 有2,4,5号三种选择，有3A 3＝18；②A 在2号位置，B 有4,5号两种选择，有2A 3＝12种出场次序；③A 在4号位置，B 有5号一种选择，有A 3＝6种出场次序，故不同的出场次序共有18＋12＋6＝36种．故选B.7．A [试题解析]解：由题意，作图如下：设圆I 与x 轴、P F 2、P F 1分别切于点E 、H 、F ，因为双曲线C 的右顶点为A (3,0)，F 1(−5,0)，F 2(5,0)，所以|AF 1|−|AF 2|=(3+5)−(5−3)=6，因为|PF 1|−|PF 2|=6，所以|PF 1|−|PF 2|=(|PF |+|FF 1|)−(|PH |+|HF 2|)=|FF 1|−|HF 2|=|F 1E |−|EF 2|=6，因此切点E 与A 重合．又因为内切圆I 的半径为1，所以I (3,1)，又F 1(−5,0)，F 2(5,0)，|IF 1|= 65,|IF 2|= 5,cos ∠F 1IF 2=65+5−1002 65× 5=−313,所以tan ∠F 1IF 2=−23,解得tan∠F 1PF 22=32,所以S △F 1PF 2=b 2tan ∠F 1PF 22=323，所以△PF 1F 2面积为323．8．C [试题解析]解：在同一坐标系中作y =f(x)，y =12的图象，若由图象观察可知，0<x 1<1<x 2<2<x 3<3<x 4<4，当f(f(x))=12时，由f(x)=x 1，0<x 1<1存在4个不同根，f(x)=x 2，1<x 2<2存在2f(x)=x 3，2<x 3<3存在2个不根，f(x)=x 4，3<x 4<4，存在2个不根，综上f(f(x))=12的实根个数为10．9．ACD [试题解析]A ：由asin A =bsin B =csin C ，根据等比的性质有bsin B =a +b +csin A +sin B +sin C ，正确；B ：当A =π3,B =π6时，有sin 2A =sin 2B ，错误；C ：sin B cos C +sin C cos B =sin (B +C)，而B +C =π−A ，即sin B cos C +sin C cos B =sin A ，由正弦定理易得a =b cos C +c cos B ，正确；D ：如图，AE AB |AB |,AF AC |AC |是单位向量，则AB |AB |AC |AC |=AE +AF =AG ，即AG ⋅BC =0、AE ⋅AF =12，则AG ⊥BC 且AG 平分∠BAC ，AE ,AF 的夹角为π3，易知△ABC 为等边三角形，正确.故选：ACD10．ABC [试题解析]令0x y ==，可得(0)2(0)()f f f a =，因为1(0)2f =，所以1().2f a A =正确.令0y =，可得()()()(0)()f x f x f a f f a x =+-，代入1()2f a =，1(0)2f =，可得()().f a x f x -=同理，令0x =，可得()(0)()()()f y f f a y f y f a =-+，代入1()2f a =，1(0)2f =，可得()().f a y f y -=即原等式变形为()2()()f x y f x f y +=，C 正确.令y x =可得2(2)2[()]0f x f x =…，即函数取值非负.令y a x =-可得2()2[()]f a f x =，即21[()]4f x =，解得1()2f x =，B 正确.因此仅有一个函数关系式1()2f x =满足条件，故D 错误.故选ABC 11．CD [试题解析【详解】A ：由题意知，1111//A D B C ，11B C ⊂平面11B C CB ，11A D ⊄平面11B C CB 所以11//A D 平面11B C CB ，又EF ⊂平面11B C CB ，所以11A D 与EF 不相交，故A 错误；B ：连接111AD D F AF AE CB 、、、、，如图，当点E 为BC 的中点时，1//EF CB ，又11AD CB ⊥，所以1EF AD ⊥，若点E 在平面1AD F 的射影为F ，则EF ⊥平面1AD F ，垂足为F ，所以EF AF ⊥，设正方体的棱长为2，则AE AF EF ===在AEF 中，222AF EF AE +≠，所以90AFE ︒∠≠，即EF AF ⊥不成立，故B 错误；C ：建立如图空间直角坐标系D xyz -，连接1BC ，则11//AD BC ，所以异面直线EF 与1AD 所成角为直线EF 与1BC 所成角，设正方体的棱长为2，若存在点(,2,0)(02)E a a ≤≤使得EF 与1BC 所成角为30︒，则1(2,2,0)(2,2,1)(0,2,2)B F C ，，，所以1(2,0,1)(2,0,2)EF a BC =-=-，，所以122EF BC a ⋅=- ，又11cos30EF BC EF BC ︒⋅= ，得22a -=，解得4a =±，符合题意，故不存在点E 使得EF 与1AD 所成角为30︒，故C 错误；D ：如图，由等体积法可知E ADF F ADE V V --=，又111332F ADE ADE V S BF AD AB BF -=⋅=⨯⨯⨯⨯ ，AD AB BF 、、为定值，所以F ADE V -为定值，所以三棱锥E ADF -的体积为定值，故D 正确.故选：C D .12．−429[试题解析]因为sinα−=13，α∈(0,π)，α−π6∈−π6又因为sinα−=13<sin5π6=12，所以α−π6∈0,所以cos22 3,所以sin2=2sinα−α−=429,cos2α=cos2α−+=cos2α−=−sin2α−=−429. 故答案为：−429.解：由题意得，圆C:(x+3)2+(y+2)2=13，圆心C(−3,−2)设点P(x0,y0)，则|x0−4|+|y0−6|=2，故点P的轨迹为如下所示的正方形，其中A(4,8)，B(6,6)，则|AC|=149，|BC|=145，则|PN|≤|AC|+r=149+13，，即17．（15分）解：依题意，以C为原点，分别以CA、CB、CC1的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得C(0,0,0)、A(2,0,0)、B(0,2,0)、C1(0,0,3)、A1(2,0,3)、B1(0,2,3)、D(2,0,1)、E(0,0,2)、M(1,1,3).（Ⅰ）依题意，CM=(1,1,0)，B1D=(2,−2,−2)，1从而C 1M ⋅B 1D =2−2+0=0，所以C 1M ⊥B 1D ；（Ⅱ）依题意，CA =(2,0,0)是平面BB 1E 的一个法向量，EB 1=(0,2,1)，ED =(2,0,−1)．设n =(x,y,z)为平面DB 1E 的法向量，则{n ⋅EB 1=0n ⋅ED =0，即{2y +z =02x−z =0，不妨设x =1，可得n =(1,−1,2)．cos <CA ,n CA n 22×6=66，∴sin <CA ,n =306．所以，二面角B−B 1E−D 的正弦值为306；（Ⅲ）依题意，AB =(−2,2,0)．由（Ⅱ）知n =(1,−1,2)为平面DB 1E 的一个法向量，于是cos <AB ,n >=AB n=−422×6=−33．所以，直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值为33.18．（17分）解：(1)由题意得e 1=a 2−1a，e 2=a 2+1a，所以e 1e 2=a 4−1a 2=154，又a >0，解得a 2=4，(i)故双曲线C 2的渐近线方程为y =±2x ；(ii)设直线AB 的方程为x =ty +4，ty +4,y 2=1,消元得：(t 2−4)y 2+8ty +12=0，Δ>0且t ≠±2，所以y 1+y 2=−8tt 2−4,y 1y 2=12t 2−4,故1y 1+1y 2=y 1+y 2y 1y 2=−2t3，又直线A A 1的方程为y =y 1x 1+2(x +2)，所以y 3=3y 1x 1+2，同理y 4=3y 2x 2+2，所以1y 3+1y 4=13(x 1+2y 1+x 2+2y 2)=13(ty 1+6y 1+ty 2+6y 2)=2ty 1y 2+6(y 1+y 2)3y 1y 2=23t +2(y 1+y 2)y 1y 2=23t +2(1y 1+1y 2)=23t−43t =−23t ，故1y 1+1y 2=1y 3+1y 4．(2)设两个切点为P 1(x 5,y 5)，P 2(x 6,y 6)，由题意知P P 1，P P 2斜率存在，直线P P 1方程为l 1:y =k 1(x−x 5)+y 5，y 2=1,k 1(x−x 5)+y 5,由Δ=0得k 1=−x 5a 2y 5，所以l 1:x 5x a 2+y 5y =1，同理直线P P 2方程为l 2:x 6x a 2+y 6y =1，由l 1，l 2过P +y 5y 0=1,+y 6y 0=1可得直线P 1P 2的方程为x 0x a 2+y 0y =1，不妨设，直线P 1P 2与双曲线两渐近线y =±1a x 交于两点P 1′(a 2x 0+ay 0,a x 0+ay 0)，P 2′(a 2x 0−ay 0,−a x 0−ay 0)，则围成三角形的面积S =12|a 2x 0+ay 0⋅−a x 0−ay 0−a x 0+ay 0⋅a 2x 0−ay 0|=|a 3x 20−a 2y 20|.因P 在双曲线C 2上，x 20−a 2y 20=a 2，则S =a 3a 2=a 为定值．19．（17分）解：(1) A 3=123231312是 Γ3 数表，d(a 1,1,a 2,2)+d(a 2,2,a 3,3)=2+3=5.(2)由题可知 d(a i,j ,a i+1,j+1)=|a i,j −a i+1,j |+|a i+1,j −a i+1,j+1|=1 (i =1,2,3;j =1,2,3) ．当 a i+1,j =1 时，有 d(a i,j ,a i+1,j+1)=|a i,j −1|+|a i+1,j+1−1|=1 ，所以 a i,j +a i+1,j+1=3 ．当 a i+1,j =2 时，有 d(a i,j ,a i+1,j+1)=|a i,j −2|+|a i+1,j+1−2|=1 ，所以 a i,j +a i+1,j+1=3 ．所以a i,j+a i+1,j+1=3(i=1,2,3;j=1,2,3).所以a1,1+a2,2+a3,3+a4,4=3+3=6, a1,3+a2,4=3,a3,1+a4,2=3. a1,2+a2,3+a3,4=3+1=4 或者a1,2+a2,3+a3,4=3+2=5 ，a2,1+a3,2+a4,3=3+1=4 或者a2,1+a3,2+a4,3=3+2=5 ，a1,4=1 或a1,4=2 ，a4,1=1 或a4,1=2 ，故各数之和⩾6+3+3+4+4+1+1=22 ，当A4=1111122212111212时，各数之和取得最小值 22 ．(3)由于Γ4数表A10中共 100 个数字，必然存在 k∈{1,2,3,4}，使得数表中 k 的个数满足 T≥25.设第 i 行中 k 的个数为r i(i=1,2,⋅⋅⋅,10).当r i≥2 时，将横向相邻两个 k 用从左向右的有向线段连接，则该行有r i−1条有向线段，所以横向有向线段的起点总数 R=∑r i⩾2(r i−1)⩾i=1∑10(r i−1)=T−10.设第 j 列中 k 的个数为c j(j=1,2,⋅⋅⋅,10) ．当c j≥2 时，将纵向相邻两个 k 用从上到下的有向线段连接，则该列有c j−1条有向线段，所以纵向有向线段的起点总数 C=∑c j⩾2(c j −1)⩾j=1∑10(c j−1)=T−10.所以 R+C≥2T−20，因为 T≥25 ，所以 R+C−T⩾2T−20−T=T−20>0 ．所以必存在某个 k 既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的终点，即存在 1<u<v⩽10,1<p<q⩽10,使得a u,p=a v,p=a v,q=k ，所以 d(a u,p,a v,q)=|a u,p−a v,p|+|a v,p−a v,q|=0 ，则命题得证．。

江苏省无锡市天一中学2025届高三第四次模拟考试数学试卷含解析

江苏省无锡市天一中学2025届高三第四次模拟考试数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．使得()3nx n N+⎛+∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．72．若集合M ＝{1，3}，N ＝{1，3，5}，则满足M ∪X ＝N 的集合X 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．43．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab +=B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-< D ．228a b +>4．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“UA B =∅”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数2()(2)g x f x x =+为奇函数，且(2)3f =，则(2)f -=（）A ．2B ．5C ．1D ．36．已知函数()()2sin 1f x x ωϕ=+-（0>ω，0ϕπ<<）的一个零点是3π，函数()y f x =图象的一条对称轴是直线6x π=-，则当ω取得最小值时，函数()f x 的单调递增区间是（）A ．3,336k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） B ．53,336k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） C ．22,236k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） D ．2,236k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） 7．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知23C π=，1c =．当,a b 变化时，若z b a λ=+存在最大值，则正数λ的取值范围为A ．(0,1)B ．(0,2)C ．1(,2)2D ．(1,3)8．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为 A ．96B ．84C ．120D ．3609．设{1,0,1,2}U =-，集合2{|1,}A x x x U =<∈，则U C A =（）A ．{0,1,2}B ．{1,1,2}-C ．{1,0,2}-D ．{1,0,1}-10．已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（）A ．43B ．53C ．54D ．3211．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（）A ．1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个B ．第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了C ．8月是空气质量最好的一个月D ．6月份的空气质量最差.12．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC 的面积为21)，则b c +=（） A ．5B ．22C ．4D ．16二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

全国中考附加题答案

江苏省天一中学2021届高三第四次诊断性测试数学 Ⅱ（加试）参考答案及评分标准21.B 解：211106312451AB -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦，设(),M x y ，则06665151x y y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以6651y x y =⎧⎨--=-⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，所以M 点坐标为()0,1.…………………（10分）21.C 解：将直线的参数方程251x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入()220y px p =＞，得212255p ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()245200t t p ++-=，解得1,2x =，所以12ABx x =-=AB，02p ＜≤.………………………（10分） 22. 解：取BD 中点E ，连结AE ，CE ，则AE ⊥BD ，CE ⊥BD ，AE ＝CE ＝ 3. ∵ AC ＝6，∴ AE 2＋CE 2＝AC 2，∴ △ACE 为直角三角形，∴ AE ⊥CE ，∴ AE ⊥平面BCD.(2分)以EB ，EC ，EA 分别为x ，y ，z 轴，建立如图空间直角坐标系，则B(1，0，0)，C(0，3，0)，A(0，0，3)．(3分) (1) 设P(a ，0，0)，CQ →＝λCA →＝(0，－3λ，3λ)，则PQ →＝PC →＋CQ →＝()－a ，3，0＋(0，－3λ，3λ)＝(－a ，3－3λ，3λ)，||PQ →＝a 2＋()3－3λ2＋3λ2＝a 2＋6λ2－6λ＋3＝a 2＋6⎝⎛⎭⎫λ－122＋32，(5分) 当a ＝0，λ＝12时，PQ 长度最小值为62. (6分) (2) 由(1)知PQ →＝⎝⎛⎭⎫0，32，32，设平面ACD 的一个法向量为n ＝()x ，y ，z . 由n ⊥DA ，n ⊥DC ，得⎩⎨⎧()x ，y ，z ·()1，0，3＝0，()x ，y ，z ·()1，3，0＝0，化简得⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，x ＋3y ＝0，取n ＝()3，－1，－1.(8分) 设PQ 与平面ACD 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈PQ →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－362×5＝105. 故直线PQ 与平面ACD 所成角的正弦值为105. (10分)23．解：（1）00110()(1)n k k n n n n n n n n k f x C x C x C x C x x ===+++=+∑…………………………1分456456()()2()3()(1)2(1)3(1)g x f x f x f x x x x =++=+++++()g x 中4x 项的系数为4444562356C C C ++=； …………………………3分（2） 012111111231232323n m m m m m m m m n m m m m nC C C nC C C C nC -++++++++++++++++=++++设12()(1)2(1)(1)m m m n h x x x n x +++=++++++ ①则函数()h x 中含1m x +项的系数为111112323m m m m m m m m n C C C nC ++++++++++++ ……5分由错位相减法得：1231()(1)(1)(1)(1)(1)m m m m n m n xh x x x x x n x ++++++-=++++++++-+② 11(1)1(1)()(1)1(1)m n m n x x xh x n x x +++⎡⎤+-+⎣⎦-=-+-+2111()(1)(1)(1)m m n m n x h x x x n x +++++=+-+++，()h x 中含1m x +项的系数，即是等式左边含3m x +项的系数，等式右边含3m x +项的系数为3211m m m n m n C nC ++++++-+ …………………………7分 3211m m m n m n C nC ++++++-+21(1)!(3)!(2)!m m n m n nC m n +++++=-++-221113m m m n m n n C nC m ++++++-=-++ 21(3)(1)3m m n m n n C m ++++--=+21(2)13m m n m n C m +++++=+ 所以012121231(2)123[]3n m m m m m n m n m n C C C nC C m -+++++++++++++=+………………10分。

天一大联考2020届高三阶段性测试(四)数学试题(理)

天一大联考2020届高三阶段性测试（四）（文）考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.回答选择题时，选出每小题『答案』后，用铅笔把答题卡对应题目的『答案』标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他『答案』标号。

回答非选择题时，将『答案』写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M ＝{x|(x －1)(x －4)≥0}，N ＝{x|y ＝ln(2－x)}，则M∩N ＝A.(1，2)B.[1，2]C.(－∞，1]D.(2，4]2.复数z 满足1212i i z+=-，则z 的共轭复数z ＝ A.－3＋4i B.－3－4i C.3455i -+ D.3455i -- 3.已知两个平面α，β，直线l ⊂α，则“l //β”是“α//β”的A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 4.42)1(x x+-展开式中的常数项为 A.－11 B.11 C.70 D.－70 5.已知正实数a ，b ，c 满足(12)a ＝log 3a ，(14)b ＝log 3b ，c ＝log 32，则 A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.c<a<b6.已知向量a ，b 的夹角为135°，|a|＝|b|＝3，且a ＋λb 与a －b 垂直，则λ＝ A.1415 B.56 C.23 D.167.设不等式组21022020x y x y x y +-≥-+≥+-≤⎧⎪⎨⎪⎩，表示的平面区域为D ，命题p ：点(2，1)在区域D 内，命题q ：点(1，1)在区域D 内。

则下列命题中，真命题是A.(⌝p)∨qB.p ∨(⌝q)C.(⌝p)∧(⌝q)D.p ∧q8.函数f(x)＝333x x x --+的图象大致是9.已知F 1，F 2为双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点M 为E 右支上一点。

2020年江苏高三四模数学试卷(百校联考)答案

此时
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2020/4/27
2020年江苏高三四模数学试卷（百校联考）
设为的中点，
，
即
，
即
，
，
，
设
，则
，
取
得
，
“获
所以
，
器
∴
．
神
课
二、解答题
“授
15. （ 1 ）证明见解析．
时，的最大值为
有最大值，．
更多 17. （ 1 ）
．
（2）
或
．
【解析】（ 1 ）∵离心率为，设焦距为，
的周长为，
则
，解得
，
∴椭圆方程为
．
（ 2 ）设为
，则
，且
，
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2020/4/27
当
时，有
综上，
，无解20，20年江苏高三四模数学试卷（百校联考）
的解集为
．
11. 【解析】设容器底面半径为，原水面所在半径为，母线长为，

江苏省2022-2021年高三下学期第四次诊断考试数学(理)

高三二轮复习第四次诊断考试试卷（数学理）一．选择题（共12小题，每小题5分）1.集合{|2}M x x =≥-，{|12}N x x =<<，则MN =（）A ．{|22}x x -≤<B ．{|2}x x ≥-C ．{|12}x x <<D ．{|2}x x <2．若复数满足32i -1i)z 1(=+，则z 等于（）A.210B.23C.22D.213．已知向量)()()(.2,,4,3,12,a k c b ===若()c b //a 3-，则实数的值为（）A.-8B.-6C.-1D.64．公元263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出n 的值为（） (参考数据:sin15°=0.2588,sin7.5°=0.1305) A.6 B.12 C.24 D.485.定义运算：4321a a a a =3241a a a a -,将函数)(x f =x xωωcos 1sin 3)0(>ω的图象向左平移32π个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则ω的最小值是（）A.54 B.43 C.47 D.146．设b a ,是两条不同的直线，βα,是不重合的两个平面，则下列命题中正确的是（）A ．若a b ⊥，a α⊥，则//b αB ．若//a α，αβ⊥，则//a βC ．若//a α，//a β，则//αβD ．若//a b ，a α⊥，b β⊥，则//αβ7.若6)(x a x -的展开式中含23x 项的系数为160，则实数a 的值为 ( )A.2B.2-C.22D.22-8.已知等差数列{}n a 的各项都为整数,且,1,5431-=⋅-=a a a 则=+⋅⋅⋅++1021a a a （）A.70B.58C.51D.409.一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A.π24B ．π48C ．π96D ．π38410.函数2)(2-+-=-x x e e x f xx 的部分图象大致是（）A. B. C. D.11．过双曲线 )0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A,B 两点,D 为虚轴上的一个端点,且ABD ∆为钝角三角形,则此双曲线离心率的取值范围为（）A.)2,1(B. )22,2(+C.)2,2(D.),22()2,1(+∞+12．已知函数,2ln 21)(,)(32x x g e x f x +==-若()()f m g n =成立,则m n -的最小值为（）A.2ln 21+ B.2ln C.2ln 221+ D.2ln 2二．填空题（共4小题，每小题5分）13．ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若,cos cos cos 2A c C a B b +=则=B14.在(0,8)上随机取一个数m ，则事件“直线01=-+y x 与圆()()22243m y x =-+-没有公共点”发生的概率为 .15. 生产一台甲型机器需A 材料2吨,B 材料3吨,生产一台乙型机器需A 材料3吨,B 材料2吨,仓库存有A 、B 两种材料各60吨.一台甲型机器可获利3000元,一台乙型机器可获利4 000元,则以仓库现有材料生产甲、乙两种型号的机器所获最大利润为元.16．已知数列{}n a 满足211=a , 且对任意n n n a a a N n +=∈+21,，则111111201821++⋅⋅⋅++++a a a 的整数部分为 __________.三．解答题（共6小题.按题目要求写出解答过程.共70分）17.(12分)设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-,其中.已知()06f π=.(I)求ω的值；(Ⅱ)将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移4π个单位,得到函数()y g x =的图象,求()g x 在[-4π,43π]上的最小值.（12分）如图所示，矩形ABCD 中，AC ∩BD=G ,AD ⊥平面 ABE,AE=BE=BC=2,F 为CE 上一点，且BF ⊥平面ACE 。

江苏省2020届高三四校联考(淮中、天一、海门、南师附中)4月调研测试数学试卷(含答案)

16．（本小题满分 14 分）
第 15 题图
在平面直角坐标系 xOy 中，已知角 α 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边
经过一点 P(3,t) ．
（1）若 t 4 ，求 sin(＋ ) 的值； 4
（2）若 t 3 且 (0, 2 ) ，求 f (x) sin(x ) cos x 的单调增区间．
数学Ⅰ 第 1页（共 10 页）
10．已知函数
f
(x)
2cos(x )
(
0, 0
) 的图象过点 (0，2)
，且在区间[0,
]上单调递
2
2
减，则的最大值为 ▲ ．
11. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C : (x 2)2 y2 4 ，点 A 是直线 x y 2 0 上的一个动点，
16t2 (t 1)2 16t(t 2)(t2 4) 0
y1
+y2
4t(t 1) t2 4
0
8 t 2 3
y1 y2
4t2 8t t2 4
0
………………4 分
S1
S2
y1 +y2
4t2 4t t2 4
1
3t 2
4t
4
0
t
2
或t
2 3
………………6
分
这与 8 t 2 不符，所以不存在满足条件的直线 l． 3
数学Ⅰ 第 3页（共 10 页）
第 18 题图
19．（本小题满分 16 分）
已知数列 {an} ( n N
)的前 n
项和为
Sn
，Sn
n 2
(an
)
(
为常数)对于任意的 n N 恒成立．

2020届高三数学天一大联考阶段性测试试题(四)理

2020届高三数学天一大联考阶段性测试试题（四）理考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M ＝{x|(x －1)(x －4)≥0}，N ＝{x|y ＝ln(2－x)}，则M ∩N ＝A.(1，2)B.[1，2]C.(－∞，1]D.(2，4]2.复数z 满足1212i i z+=-，则z 的共轭复数z ＝ A.－3＋4i B.－3－4i C.3455i -+ D.3455i -- 3.已知两个平面α，β，直线l ⊂α，则“l //β”是“α//β”的A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 4.42)1(x x+-展开式中的常数项为 A.－11 B.11 C.70 D.－70 5.已知正实数a ，b ，c 满足(12)a ＝log 3a ，(14)b ＝log 3b ，c ＝log 32，则 A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.c<a<b6.已知向量a ，b 的夹角为135°，|a|＝，|b|＝3，且a ＋λb 与a －b 垂直，则λ＝ A.1415 B.56 C.23 D.167.设不等式组21022020x y x y x y +-≥-+≥+-≤⎧⎪⎨⎪⎩，表示的平面区域为D ，命题p ：点(2，1)在区域D 内，命题q ：点(1，1)在区域D 内。

则下列命题中，真命题是A.(⌝p)∨qB.p ∨(⌝q)C.(⌝p)∧(⌝q)D.p ∧q8.函数f(x)＝333x xx --+的图象大致是9.已知F 1，F 2为双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点M 为E 右支上一点。

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