微分几何曲面的第一基本形式概述

称为第一类基本量。
3、用显函数样 z = z (x , y) 表示的曲面的第一基本形式
r {x, y, z ( x, y )} z z rx {1,0, p}, ry {0,1, q}, p , q . x y 2 E rx rx 1 p , F rx ry pq, G ry ry 1 q 2 (1 p 2 )dx2 2 pqdxdy (1 q 2 )dy2
4、第一基本形式是正定的。
2 2 2 2 2 2 E r r r 0 , G r 0 , EG F r r ( r r ) 0. 事实上， u u u v u v u v
2 也可从 ds 直接得到。
1、把两个向 量 dr ru du rv dv和 r ruu rvv 间的交角 称为方向（ du : dv ）和（ u : v ）间的角。 2、设两方向的夹角为 ，则
2)等距变换：曲面间的一个变换，如果保持曲面上任意对应曲 线的长度不变，则这个变换称为等距变换（保长变换）。
定理：两个曲面之间的一个变换是等距的充要条件 是经过适当的参数选择后，他们具有相同的第一基 本形式。
推论 仅由第一基本形式所确定的曲面的性质（内蕴性 质）在等距变换下是不变的. 注 曲面上曲线的弧长、夹角、曲面域的面积等都是 等距不变的 例：证明平面和圆柱面等距 分析只要找到一个参数变换使第一基本形式相同即可
D D D
其中 D 为相对应的 u,v 平面上的区域，
2 2 2 2 (ru rv ) ru rv (ru rv ) EG F 2 0
从前面的讲解中知道弧长、夹角、曲面域的面积都 与第一类基本量有关，都可以用第一类基本向量E、 F、G 来表示，这类量非常重要，要知道曲面的第一 基本形式，可以不管曲面的形状就可以计算
证：平面和圆柱面的第一基本形式分别为
1 u 作 R 其雅可比行列式不为零有 zv
I平 du2 dv2 , I圆柱 R2d 2 dz 2
dv v dv v E F( ) G 0 du u du u A C AC E F( ) G 0 即 B D BD 若另给出一簇曲线 Adu Bdv 0 ,
或 则另一族与它正交的曲线称为这曲线的正交轨线，它的微分方程 是
即
A v A v E F ( ) G ( ) 0 B u B u v BE AF u BF AG
ds dr (ru du rv dv ) 2 ru ru du 2 2ru rv dudv rv rv dv 2
Edu 2 2 Fdudv Gdv 2
称为曲面的第一基本形式。其中
E ru ru , F ru rv , G rv rv
这种一一对应关系称为曲面 S 到 S1 的变换。
(u1 , v1 )
由于 S1 : r1 r1 (u1 , v1 ) r1 (u1 (u, v), v1 (u, v)) r1 (u, v)
这样两个曲面在对应点就有相同的参数。并且在以后的讨论中 我们总假定在对应点有相同的参数。
给定两曲面： S：r r (u, v)
S1：r1 r1 (u1 , v1 )
如果其对应点的参数之间存在一一对应关系：
u1 u1 (u, v) ， v1 v1 (u, v) (u, v) 0 其中 u1 (u, v), v1 (u, v) 连续，有连续的偏导数，且
第二节 曲面的第一基本形式 1、 给出曲面S：r = r (u ,v) ，曲面曲线 (c)：u = u (t) , v = v (t) , 或 r = r [u (t) ,v (t) ] = r (t)，
du dv r (t ) ru rv 或 dt dt 若 s 表示弧长有 2 2
所以
dr ru du rv dv
2、4
曲面域的面积
rv dv
如图,用坐标曲线把曲面 分成若干小块,每块的面积 为
(u, v dv) (u du, v dv)
ru du
d ru du rv dv (u du, v) P(u, v) ru rv dudv d ru rv dudv EG F 2 dudv
定义 曲面上仅由第一类基本量表示的量称为曲面 的内蕴量,曲面上仅由第一类基本量有关的性质称为 曲面的内蕴性质 一个问题是什么样的曲面具有相同的第一基本形 式，显然不同曲面的表示不同就无法比较其第一 基本形式，为了研究这个问题必须使不同的曲面 有相同的参数表示。也即下节的等距变换。
2、5 等距变换 1) 曲面 S 到 S1 的变换
dr r (ru du rv dv)(ruu rvv) cos dr r dr2 r 2 Eduu F (duv udv) Gdvv Edu2 2 Fdudv Gdv2 Eu 2 2பைடு நூலகம்Fuv Gv 2
（1）
3、特别
(d ) ( ) Eduu F (duv udv) Gdvv 0
（2）对于坐标曲线的交角，有
dr r ru rv F cos dr r ru rv EG
故坐标曲线正交的充要条件为 F = 0 。
2、3
正交曲线簇和正交轨线
设有两曲线 Adu Bdv 0 , C(u, v)u D(u, v)v 0
如果它们正交，则 Eduu F (duv udv) Gdvv 0