2020年湖南省长郡中学高三三模数学(理)试题(含答案和解析)教学文稿
2020届长郡中学高三第3次月考试卷-理数答案
取'#0"&则#0 !$&"&!""!
所以=79,"&#-0
"# " #
0 $ 0$& 槡%槡#
所以平面<), 与平面<-6 所成二面角是+$A! !"#分"
"+!$解析%!""由题得脐橙质量在 *%'$&&$$"和 *&$$&&'$"的比例为%B#!
"
0#$#$&解得%"0!#$"*&故选
/2
"$!,!$解析%把语文和英语看作一个复合元素和数学全排&形成了三个空&把音乐和体育插入到其中#个空 中&故有 -##-# #-#%0#&种&若第"节排数学&第%&&节只能排语文和英语&第#&'节只能排音乐和体育&故有 -##-##0& 种&故第"节不排数学&语文和英语相邻&且音乐和体育不相邻&则不同的排课方式有#&!&0#$ 种&故选 ,2
整理得&)+*,)+*-0$&则)+*,,)+*-&
5,+*--+*)0 !)+*-!)+*,"-+*)0)+*--+*)!)+*,-+*)0!)+*-#0!"(&
设向量,+*-与-+*)的夹角为&
2020届湖南省长郡中学高三第三次诊断考试数学(理)试题
2020届湖南省长郡中学高三第三次诊断考试理科数学 ★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|230}, {|21}x P x x x Q x =--<=>，则P Q =( )A. {|1}x x >-B. {|1}x x <-C. {|03}x x <<D. {|10}x x -<<2. “00m n >>且”是“0mn >”成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.不充分不必要条件3. 已知0.230.3log 0.3, log 0.2, 0.3a b c ===，则( )A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. c a b <<4. 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部 分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )5. 函数33()cos ||x x f x x x -=+在[],ππ-的图像大致为A. B. C. D.6. 已知非零向量a,b 满足1,==a b (2()-⊥+a b)a b ，则a 与b 的夹角为A. 6πB. 4πC. 3πD. 2π7. 已知函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=-，则 A.()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 B.()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 C.()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 D.()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 8. 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若已知391, 9a S =-=，则A. 310n a n =-B. 2n a n =-C. 21722n S n n =- D. 28n S n n =-9. 关于函数f (x )＝tan|x |+|tan x |有下述四个结论：① f (x )是偶函数; ② f (x )在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减;③ f (x )是周期函数; ④ f (x )图象关于⎪⎭⎫⎝⎛0,2π对称 其中所有正确结论的编号是( )A. ①③B. ②③C.①②D. ③④10. 2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就, 实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系。
2020届长郡中学高三第3次月考试卷-理数答案
/)
#0"%!
+!/!$解析%由题意得&根据等差数列的前( 项和0(0(!%"#4%( "&
#$#$!%"4%#$#$" #$!%"4%#$"
可得
# #$#$
!
# #$
0#$$$&即%#$#$ !%#$ 0&$$$&即 #$$$10&$$$&解 得 10#&又 由 0#$#$ 0
#$#$&即#$#$!%"#4%#$#$
+ + /%4&4:0#"&
"&!&!$解析%根据题意可得).%&:0(&& 解得)&0&&则 0%:0&#&
%%:40:"0("&)&且%':&解得):%00""(&&所以;0%& 0&!
"
0#$#$&解得%"0!#$"*&故选
/2
"$!,!$解析%把语文和英语看作一个复合元素和数学全排&形成了三个空&把音乐和体育插入到其中#个空 中&故有 -##-##-#%0#&种&若第"节排数学&第%&&节只能排语文和英语&第#&'节只能排音乐和体育&故有 -# #-##0& 种&故第"节不排数学&语文和英语相邻&且音乐和体育不相邻&则不同的排课方式有#&!&0#$ 种&故选 ,2
2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期4月第三次适应性考试数学(文)试题(解析版)
2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期4月第三次适应性考试数学（文）试题一、单选题1．设集合(),2y x M x y y x ⎧⎫=⎧⎪⎪=⎨⎨⎬=-+⎩⎪⎪⎩⎭，{}2320N x x x =-+≤，则M N =I （ ）A ．∅B ．{}2C ．{}1D ．{}1,2【答案】A【解析】根据集合中元素的意义判断即可. 【详解】由题,集合M 为点的集合,N 为数的集合.故M N ⋂=∅. 故选：A 【点睛】本题主要考查了集合的元素意义与交集运算,属于基础题.2．已知单位向量a r 满足等式2a b =r r ，2a b +=r r a r 与b r的夹角为（ ）A ．30°B ．60︒C ．90︒D ．120︒【答案】D【解析】根据单位向量定义可先求得a r ，b r，结合平面向量的数量积定义将2a b +r r 平方展开化简，即可求得cos θ，进而确定a r 与b r的夹角. 【详解】设a r 与b r的夹角为θ，由2a b =r r ，2a b +=r r 可得1a =r ，2b =r，平方化简可得224413a a b b +⋅+=r r r r ，设a r 与b r 的夹角为θ，则1cos 2θ=-，即120θ=o ，故选：D. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义及运算，平面向量夹角的求法，属于基础题. 3．已知0a >，函数2()f x ax bx c =++，若0x 满足关于x 的方程20ax b +=，则下列选项的命题中为假命题的是 A ．0,()()x R f x f x ∃∈≤ B ．0,()()x R f x f x ∃∈≥ C ．0,()()x R f x f x ∀∈≤ D ．0,()()x R f x f x ∀∈≥【答案】C【解析】试题分析：因为，0x 满足关于x 的方程20ax b +=，所以，02bx a=-，使2()f x ax bx c =++取得最小值，因此，0,()()x R f x f x ∀∈≤是假命题，选C ．【考点】方程的根，二次函数的图象和性质，全称命题、存在性命题． 点评：小综合题，二次函数，当a>0时，2bx a=-使函数取得最小值．4．已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（ ）A ．||sin ()ex xf x =B ．||2()e x f x x =-C ．||()e ||x f x x =-D ．||2()e 2x f x x =-【答案】D【解析】根据图象所反应的性质，结合四个选项的函数求导数判断单调性，逐一判断即可. 【详解】对于A ：函数||sin ()e x xf x =是奇函数，不满足题意； 对于B ：当0x ≥时，||2'2(e ()2)x xxe f x e x x f x x =-=⇒-=-，令'()2()2x x g x e x g x e -⇒=-=，当ln 2x >时，'()0g x >，()g x 单调递增，当0ln 2x <<时，'()0g x <，()g x 单调递减，因此()g x 的最小值为：(ln 2)22ln 22(1ln 2)0g =-=->，所以()0>g x ，即'()0f x >，()f x 单调递增，不满足题意；对于C ：当0x ≥时，||'()e ||()1x x x f x x e x f x e =-=-⇒=-，当0x ≥时，'()0f x ≥，函数()f x 单调递增，不满足题意；对于D ：函数||2()e 2x f x x =-为偶函数，且当0x ≥时，||2'224()e 2()x x x e f x e x x f x x =-=⇒-=-，令'()4()4x x g x e x g x e -⇒=-=，当ln 4x >时，'()0g x >，()g x 单调递增，当0ln 4x <<时，'()0g x <，()g x 单调递减，因此()g x 的最小值为：(ln 4)24ln 22(12ln 2)0g =-=-<，当x →+∞时，()+g x →∞，当0x →时，()1g x →，因此函数()g x 有两个零点，设为1212,(0ln 4)x x x x <<<，显然当1(0,)x 时，()0>g x ，即'()0f x >，函数()f x 单调递增，当12(,)x x 时，()0<g x ，即'()0f x <，函数()f x 单调递减，当2(,)x +∞时，()0>g x ，即'()0f x >，函数()f x 单调递增，满足题意.故选：D 【点睛】本题考查了已知函数的图象判断函数的解析式，考查了偶函数的性质，考查了导数的应用.5．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然领先他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然领先他1米……，所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若乌龟恰好领先阿基里斯210-米时，乌龟爬行的总距离为（ ）A ．410190-B ．4101900-C ．510190-D ．5101900- 【答案】D【解析】由题意可知乌龟每次爬行的距离为等比数列，利用等比数列前n 项和公式即可得解. 【详解】由题意，乌龟每次爬行的距离组成等比数列{}n a ，且1100a =，210n a -=，∴()3511110010101111900110n n n a q a a q S qq ---⋅--====---. 故选：D.【点睛】本题考查了等比数列前n 项和公式的应用，考查了转化化归思想，属于基础题. 6．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1(1)2nn n n S a =-+，则135S S S ++=（ ） A ．0 B ．1764C ．564D ．2164 【答案】D【解析】直接利用2n ≥时,1n n n a S S -=-化简已知条件, 当n 为偶数时，112n n n nS S S -=-+,求得112n n S -=,代值即可求得结果. 【详解】数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足1(1)2nn n n S a =-+, 当n 为偶数时，112n n n n S S S -=-+，即有112n n S -=所以13511121+4166464S S S ++=+= 故选:D. 【点睛】本题考查利用n a 与n S 的关系求得n S ,考查数列求和问题,难度一般.7．已知数据1，2，3，4，(05)x x <<的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为（ ） A ．25B ．12C ．35D ．710【答案】B【解析】分析：由题意首先求得实数x 的值，然后列出所有可能的结果，从中挑选满足题意的结果结合古典概型计算公式即可求得最终结果. 详解：由数据1，2，3，4，x （0<x <5）的平均数()123422,355x x++++=+∈，可得2+5x=x ，所以x =52，从这5个数中任取2个，结果有： ()()()()()()51,2,1,,1,3,1,4,252,,2,3,2,4,255,3,,4,3,422⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭共10种，这2个数字之积大于5的结果有：()()()552,3,2,4,,3,,4,3,422⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，共5种， 所以所求概率为51102p ==. 本题选择B 选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 8．某几何体由一个棱柱与一个棱锥组合而成，其三视图如图所示，其中俯视图和侧视图中的正方形的边长为2，正视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的体积为（ ）A ．163B ．163或203C ．203D ．203或6 【答案】B【解析】由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，左边为直三棱柱ABC EFG -，右边为四棱锥P BCGF -（或三棱锥P CFG -或三棱锥)P BCF -，再由棱柱与棱锥的体积公式求解． 【详解】该几何体为组合体，左边为直三棱柱ABC EFG -，右边为四棱锥P BCGF -（或三棱锥P CFG -或三棱锥)P BCF -，则1120222222233⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=或111162222222323⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=． 故选：B ． 【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．9．已知函数12212()ln (52)2,()21x x m f x m x g x x x +=-++-=-，若对任意121,[,1]2x x ∈的不等式12()()f x g x <恒成立，则正数m 的取值范围是（ ）A ．()0,1ln 2-B ．50,ln 28⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭C ．()ln 2,+∞D ．53ln,84⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】通过解析式化简可得1()ln 22ln (52)2f x x xm x =--++-，2()221xmg x m =+-通过求导可判断()f x 的单调性,通过观察可判断()g x 的单调性, 若对任意121,[,1]2x x ∈的不等式12()()f x g x <恒成立等价于max min ()()f x g x <,代入求最值即可得出结果. 【详解】当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时, 1()ln 22ln (52)2f x x xm x =--++-所以22211()521510f x m m x x x ⎛⎫'=-+++=-++> ⎪⎝⎭,所以()f x 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以max ()(1)ln 251f x f m ==+-.由题可得2()221xmg x m =+-,易知()g x 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,所以min ()(1)4g x g m ==.由题意得max min ()()f x g x <，即ln 2514m m +-<,又0m >,所以01ln 2m <<-.故选:A. 【点睛】本题考查函数的单调性和最值问题,考查在给定区间恒成立问题,难度较难.10．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,,2sin 22sin cos a b c c b A a A B =+，点D 在ABC ∆内部，且满足23ADB BDC CDA π∠=∠=∠=，若2,3a ABC π=∠=，则AD BD CD ++=（ ） A ．3 B ．6C ．7D ．7【答案】D【解析】由已知利用正弦定理及逆用和角公式可求得2A π=,设DAB θ∠=,可证得ADBC BDC V V ∽由对应边成比例可得2,24BD AD CD BD AD ===,在ABD ∆中,利用余弦定理得: 2222(2)22cos 13AD AD AD AD AB π+-⋅==,可解得7AD =,即可求得结果. 【详解】Q 2sin 22sin cos c b A a A B =+,∴ 2sin sin 2sin cos 2sin sin cos C B A A A A B =⋅+,即()2sin sin sin cos sin cos =sin sin cos sin cos =sin sin C B A A A B A B A A B A C=⋅++⋅,∴sin 1A =,2A π=,由2,3a ABC π=∠=.得1c =.设DAB θ∠=,则33DBA DBC ABC ππθθθ⎛⎫∠=-∴∠=∠--= ⎪⎝⎭，， ADBC BDC ∴V V ∽，2BD CD BC AD BD AB∴=== 2,24BD AD CD BD AD ∴===在ABD ∆中,利用余弦定理得: 2222(2)22cos13AD AD AD AD AB π+-⋅==, 解得7AD =,则2747,BD CD ==, 7AD BD CD ∴++=. 故选:D.【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用,考查学生的逻辑推理能力和计算能力,难度一般.11．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积，将Gini aS=称为基尼系数.对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x >； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则1Gini 4=； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则1Gini 2=. 其中正确的是：（ ） A ．①④ B ．②③ C ．①③④ D ．①②④【答案】A【解析】Gini 越小，不平等区域越小，可知①正确，结合劳伦茨曲线的特点，可知(0,1)x ∀∈，均有()f x x <，可知②错误，结合定积分公式，可求出a 的值，即可判断出③④是否正确，从而可选出答案. 【详解】对于①，根据基尼系数公式Gini aS=，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a 越小，国民分配越公平，所以①正确；对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，可知(0,1)x ∀∈，均有()f x x <，可得()1f x x<，所以②错误；对于③，因为1223100111()d ()|236a xx x x x =-=-=⎰，所以116Gini 132a S ===，所以③错误； 对于④，因为1324100111()d ()|244a x x x x x =-=-=⎰，所以114Gini 122a S ===，所以④正确.故选：A. 【点睛】本题考查不等式恒成立，考查定积分的应用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.12．我们把形如(0,0)by a b x a=>>-的函数因其图像类似汉字“囧”字，故生动地称为“囧函数”，并把其与y 轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点” 为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称为“囧圆”，则当1,1a b ==时，所有的“囧圆”中面积的最小值为（ ） A ．2π B ．3πC ．4πD ．12π【答案】B【解析】根据已知中关于“囧函数”、“囧点”、“囧圆”的定义及1,1a b ==我们易求出“囧点“坐标,根据求出圆心到“囧函数“图象上的最小距离,即可得到结论. 【详解】如图,当1,1a b ==时,则函数11y x =-与y 轴交于()0-1，点，则“囧点”的坐标为()01，，它们之间的距离为2.取囧函数在第一象限图像上任一点(),x y , 其到囧点的距离为2222211(1)13311d x y x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=+-=-+≥ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭.当且仅当15+时,上式等号成立,故所有的“囧圆”中,面积的最小值为3π. 故选:B. 【点睛】本题考查的知识点是抽象函数及其应用,其中根据“囧圆”的圆心坐标及“囧函数”的解析式,求出“囧圆”的圆心到函数图象距离的最小值是解答本题的关键,属中档题.二、填空题13．已知复数21i z i=+（i 为虚数单位），则z =________；【答案】1122i -- 【解析】根据复数乘法运算化简,再利用共轭复数的定义即可求得结果. 【详解】()2-11--1+==122i i iz i =+Q , -1-11=222i z i ∴=--. 故答案为: 1122i --.【点睛】本题考查复数的乘法运算,考查共轭复数的定义,难度容易.14．如图，函数()2sin()f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）的图象与坐标轴交于点A ，B ，C ，直线BC 交()f x 的图象于点D ，O （坐标原点）为ABD ∆的重心，(,0)A π-，则点C 的坐标为______，(0)f =______.【答案】,02π⎛⎫⎪⎝⎭【解析】根据O （坐标原点）为ABD ∆的重心，(,0)A π-，则有d 23OA AC π==，32AC π=，得到(,0)2C π，同时，32AC π=是半个周期，可求得ω，再代入一个零点，求得ϕ即可. 【详解】因为O （坐标原点）为ABD ∆的重心，(,0)A π-，所以23OA AC π==， 所以32AC π=，所以(,0)2C π.所以322T ππω==，23ω=， 因为()23k πϕπ⨯-+=，23k πϕπ=+， 所以22()2sin()33f x x π=+.所以22(0)2sin(0)33f π=⨯+=故答案为：①. ,02π⎛⎫⎪⎝⎭②.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.15．若函数满足：定义域,()()R f x a f x a --=-，且()()f x f x -=，在称函数()f x 为“双对称a 函数”，已知函数()f x 为“双对称1函数”，且当[0,1]x ∈时3()f x x =，记函数()()(1)3(56)g x f x f x x x =+--≤≤，则函数()g x 的最小值为___________ 【答案】17-【解析】由已知可得函数()f x 是周期为2的周期函数，求出()f x 一个周期的解析式，进而求出()g x 即可求解. 【详解】因为函数(1)=-y f x 的图象关于直线1x =对称,所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，即为偶函数,所以(1)(1)(1)f x f x f x --=+=-,则有(2)()f x f x +=成立,即函数()y f x =是周期为2的周期函数. 所以当0 1 x ≤≤时,3()f x x =,当310,()x f x x -≤≤=-,当356,160,()(6)(6)x x f x f x x ≤≤-≤-≤=-=--,当356,415,051,(1)(5)x x x f x x ≤≤≤-≤≤-≤-=-,当3356,()()(1)(6)(5)3x g x f x f x x x x ≤≤=+-=--+--22336913(6)17x x x =-+=--,当6x =时,()g x 取最小值(6)17g =-. 故答案为:-17. 【点睛】本题考查函数的性质，注意利用周期求函数解析式，解题的关键要理解函数对称与周期关系，属于较难题.16．已知南北回归线的纬度为2326'︒，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，ϕ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是90θϕδ=︒--.当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值，如果在北半球某地（纬度为0ϕ）的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离应不小于______（结果用含有0h 和0ϕ的式子表示）. 【答案】()00tan 2326'h ϕ︒+【解析】根据题意，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线时的情况考虑，此时的太阳直射纬度为2326'-︒，依题意两楼的间距不小于MC ，根据太阳高度角的定义，以及题设条件，解三角形，即得解. 【详解】 如图：设点A ，B ，C 分别为太阳直射北回归线，赤道，南回归线时楼顶在地面上得投射点，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线时的情况考虑，此时的太阳直射纬度为2326'-︒，依题意两楼的间距不小于MC ，根据太阳高度角的定义得：90|(2326')|90(2326')o o o o o o C ϕϕ∠=---=-+0|MC|=tan(2326')tan tan(90(2326'))o o oo o oo h h h C ϕϕ∴==+-+ 故答案为：()00tan 2326'h ϕ︒+ 【点睛】本题考查了解三角形在实际问题中的应用，考查了学生综合分析，数学建模，数学运算的能力，属于较难题.三、解答题17．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AD ，PB 的中点，PA ＝AB ＝1.(1)证明：EF ∥平面PDC ； (2)求点F 到平面PDC 的距离. 【答案】（1）证明见解析（2）24【解析】（1）把EF 向上平移，E 与D 重合，则F 应在PC 上，因此得辅助线作法，取PC 中点M ，连接,DM FM ，只要证明//EF DM 即可证线面平行；（2）由（1）只要求E 到平面PDC 的距离即可，这可用体积法求解，即E PDC P EDC V V --=． 【详解】(1)证明取PC 的中点M ，连接DM ，MF ，∵M ，F 分别是PC ，PB 的中点，∴MF ∥CB ，MF ＝12CB ， ∵E 为DA 的中点，四边形ABCD 为正方形， ∴DE ∥CB ，DE ＝12CB ， ∴MF ∥DE ，MF ＝DE ，∴四边形DEFM 为平行四边形，∴EF ∥DM ，∵EF ⊄平面PDC ，DM ⊂平面PDC ， ∴EF ∥平面PDC .(2)解∵EF ∥平面PDC ，∴点F 到平面PDC 的距离等于点E 到平面PDC 的距离. ∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥DA ，在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝1，∴DP. ∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥CB ，∵CB ⊥AB ，P A ∩AB ＝A ，∴CB ⊥平面P AB ， ∴CB ⊥PB ，则PC，∴PD 2＋DC 2＝PC 2， ∴△PDC 为直角三角形， ∴S △PDC＝1122⨯=. 连接EP ，EC ，易知V E －PDC ＝V C －PDE ，设E 到平面PDC 的距离为h ， ∵CD ⊥AD ，CD ⊥P A ，AD ∩P A ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ， 则13×h＝13×1×12×12×1，∴h，∴点F 到平面PDC的距离为4. 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查求点到平面的距离．要证线面平行，只要找到线线平行即可，为此可把平面外的直线平移到平面上，从而可得辅助线的作法．而求点到平面的距离，这个距离可由平行进行转化，可看作是一个三棱锥的高，从而用体积法求解． 18．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且()()()212n n 2n 1a 1a 2S 1S 1S 1++==++=+，，． （1）求S n ；（2）记数列n 1a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，证明：1≤T n ＜2．【答案】（1）21nn S =-；（2）见解析【解析】（1）利用迭代法证得{}1n S +是等比数列，由此求得1n S +的表达式，进而求得n S 的表达式.（2）根据（1）求得的n S 的表达式.利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a 的表达式，再求得n T 的表达式，由此证得不等式成立. 【详解】()1由题意有21211111···111n n n n S S S S S S ++++++===+++，所以数列{}1n S +是等比数列.又11212112,114S a S a a +=+=+=++=，所以21121S S +=+，数列{}1n S +是首项为2，公比为2的等比数列.所以11222n n n S -+=⨯=，所以2 1.n n S =-()2由 ()1知，2n ≥时，1121,21n n n n S S --=-=-.两式相减得12n n a -=，1n =时，11a =也满足12n n a -=，所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=.当1n =时，11,T =当2n ≥时，显然1n T >且21111111121?··2 2.1222212n n n n T ---=++++==-<- 所以1 2.n T ≤< 【点睛】本小题主要考查递推数列求通项公式，考查数列求和的方法，属于中档题.19．某企业积极响应国家“科技创新”的号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(),(1,2,3,4,5,6)i i x y i = 如下表所示：（1）求P 的值；（2）已知变量,x y 具有线性相关关系，求产品销量y （件）关于试销单价x （百元）的线性回归方程（计算结果精确到整数位）（3）用µi y 表示用正确的线性回归方程得到的与i x 对应的产品销量的估计值，当销量数据(),i i x y 的残差的绝对值$1i i y y -<时，则将销售数据称为一个“有效数据”现从这6组数据中任取2组，求抽出的2组销售数据都是“有效数据”的概率附参考公式：6662111180,1606,916i i i i i i i y y x y x =======∑∑∑，66116622211()()()iii ii i iii i x x y y x y nx ybx x xnx====---==--∑∑∑∑$，a y bx =-【答案】（1）82p =（2）495y x =-+或494y x =-+（3）25【解析】(1)由已知数据利用公式611806i i y y ===∑,即可求得82p =;(2)根据平均数定义求出x ,再利用已知即可求得b$,$a ,即可求得线性回归直线方程; (3)根据“有效数据”即可求得符合条件的基本事件有4个,利用列举法,借助古典概型的概率公式即可求得. 【详解】（1）由611806i i y y ===∑得9186787370806p +++++=. 求得82p =.（2） 3.5x =Q ，6662111180,1606,916i i i i i i i y y x y x =======∑∑∑216066 3.580-744916 3.517.5b-⨯⨯∴==≈--⨯$，$804 3.594a =+⨯=（或$7480 3.595175a ⎛⎫=--⨯≈ ⎪⎝⎭） 所以回归方程为495y x =-+或494y x =-+.（3）当11ˆ1,90x y==，当22ˆ2,86x y ==，当33ˆ3,82x y ==,当44x =，4ˆ78y =;当55x =，5ˆ74y=；当66x =，6ˆ70y =，根据题意则“有效数据”有()()()()2,86,3,82,4,78,6,704个,从6组销售数据中任意抽取2组的所有可能结果有2615C =种，抽取的2组销售数据都是“有效数据”的有246C =种,所以抽取的2组销售数据都是“有效数据”的概率为62155=. 【点睛】本题考查了平均数的定义,考查了线性回归方程的求法,考查古典概型的概率求法,考查学生的计算能力和应用能力.20．已知椭圆2211612x y Ω+=：.双曲线Γ的实轴顶点就是椭圆Ω的焦点，双曲线Γ的焦距等于椭圆Ω的长轴长. （1）求双曲线的标准方程；（2）设直线l 经过点(3,0)E 与椭圆Ω交于A B 、两点，求OAB ∆的面积的最大值； （3）设直线:l y kx m =+（其中为,k m 整数）与椭圆Ω交于不同两点A B 、，与双曲线Γ交于不同两点C D 、，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=u u u r u u u r r，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.【答案】（1） 221412x y -= （2） （3）存在，9【解析】（1）根据椭圆方程可以得到双曲线的焦距和顶点坐标，从而直接写出双曲线方程即可；（2）设出直线方程，将三角形面积拆分为2个三角形的面积，从而利用韦达定理进行处理；（3）根据直线与两个曲线相交，通过n 夹逼出,k m 的取值范围，再结合向量相加为零转化出的条件，得到,k m 之间的关系，从而利用,k m 是整数，对结果进行取舍即可. 【详解】（1）对椭圆2211612x y Ω+=：，因为22222116,124a b c a b ===-=，，故其焦点为()2,0±，椭圆的长轴长为28a =.设双曲线方程为22221x y m n-=，由题可知：28m a ===，解得212n =.故双曲线的方程为：221412x y -=.（2）因为直线AB 的斜率显然不为零，故设直线方程为3x my =+，联立椭圆方程2211612x y +=可得()223418210m y my ++-=设交点()()1122,,,A x y B x y ， 则1212221821,3434m y y y y m m +=-=-++ 则1212y y y y +=-===== 又1212OAB S OE y y =⨯⨯+n故132OABS =⨯⨯n=(,t t =≥，解得2217344m t =-故211199344442OABt S t t t ==≤=++n 当且仅当944t t =时，即3,6t m ==±时，取得最大值. 故OAB ∆的面积的最大值为（3）联立直线y kx m =+与椭圆方程2211612x y +=可得()2223484480kxkmx m +++-=()()2222644344480k m k m =-+->n整理得2216120k m -+> ①设直线与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y故可得122834kmx x k +=-+ ②同理：联立直线y kx m =+与双曲线方程221412x y -=可得()22232120kxkmx m ----=()()2222443120k m k m =+-+>n整理得224120k m --< ③设直线与双曲线的交点为()()3344,,,C x y D x y 故可得34223kmx x k +=- ④ 要使得0AC BD +=u u u r u u u r即可得()()31314244,,x x y y x x y x --=-- 故可得1234x x x x +=+ 将②④代入可得2282343km kmk k-=+- 解得0km =.综上所述，要满足题意，只需使得：2222412041200,k m k m km k Z m Z⎧--<⎪--<⎪⎨=⎪⎪∈∈⎩ 故当0k =时，m 可以取得0,1,2,3±±±满足题意； 即直线方程可以为0,1,2,3y y y y ==±=±=± 当0m =时，k 可以取1±满足题意. 即直线方程可以为y x =±故存在这样的直线有9条，能够使得0AC BD +=u u u r u u u r. 【点睛】本题考查椭圆方程和双曲线方程，涉及椭圆中三角形面积的最大值，以及圆锥曲线中的直线的存在性问题，属综合性困难题；其中解决第三问的关键是要把握住“整数”这一个关键词，同时也要对向量进行合理的转化.21．已知函数ln ()xf x x=（1）若直线32:2l y kx e -=+与()y f x =的图像相切，求实数k 的值；（2）设322a e -≥，求证：对0k ∀<，直线y kx a =+与()y f x =的图像有唯一公共点.【答案】（1）312k e=-（2）见解析 【解析】(1)利用导数的几何意义以及导数与函数单调性、极值的关系求解; (2) 构造函数,利用导数与函数的单调性、极值的关系,结合零点存在性定理证明. 【详解】 .(1)设切点为0020ln 1ln ,,()x xx f x x x⎛⎫-'= ⎪⎝⎭ 则切线方程为000200ln 1ln ()x x y x x x x --=- 因为322y kx e -=+与()y f x =相切，所以330220002ln 12,2ln 210x e x e x x ---=--= 令32()2ln 21h t t e t -=--,33222()20,0h t e t e t-'=->∴<<，此时为增函数，33222()20,h t e t e t-'=-<∴>，此时为减函数， 即当32t e =时有极大值，32()3210h e =--= ，33220()0,,,h t t e x e ===所以3202233302311ln 1ln 122x e k x e e e ---=====-⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）令23ln 1ln 2ln 3(),(),()x x x g x kx a g x k g x x x x--'''=--=-=, 当320x e <<时()0,()g x g x '''<递减 当32x e >时，()0,()g x g x '''>递增 所以3231()()2g x g e k e''≥=-- 当312k e≤-时()0,()g x g x '≥单调递增，()()0k k k k k k g e ke a k e e e-=--<-< 当1x ≥时ln 0x x ≥；当a x k≥-时, 0kx a --≥， 取11ln1max{1,},()()01a a x g x k a k k =-≥---= ∴()g x 有唯一的零点 ； 当3102k e <<时，323ln 1()22x g x x e x e-=+-单调递增， 33322233232202e g e e e e -⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭Q 320x e ∴<≤时，323ln 122x x e kx a x e-≤--<+， 故()0,()g x g x <∴在320,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦上没有零点； 当32x e >时()g x '在32[,)e +∞单调递增， 3231()02g e k e'=--<， 22111ln()1()011k k g k k kk k --'-=->-= 所以存在3322(,),,()0,()t e e x t g x g x '∈+∞<<<单调递减，当,()0,()x t g x g x '>>单调递增， 又3333322223332223112=-0,()()0222ke g e ke a ke g t g e e e e ⎛⎫+=--≤--<<< ⎪⎝⎭ 取22max{1,},()0a x g x k=-> 所以()=0g x 有唯一的零点. 综上所述322a e -≥，对0k ∀<，直线y kx a =+与()y f x =的图像有唯一公共点.【点睛】本题考查导数与函数、不等式的综合,考查考生的运算求解能力及等价转化思想难度困难.22．已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是:22{22x m t y t =+=（t 是参数）.（1）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且||14AB =,试求实数m 值.（2）设为曲线上任意一点，求2x y +的取值范围. 【答案】（1）或；（2）[225,225]-+.【解析】（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，在直角坐标条件下求出曲线的圆心坐标和半径，将直线的参数方程化为普通方程，由勾股定理列出等式可求的值；（2）将圆化为参数方程形式，代入由三角公式化简可求其取值范围．【详解】 （1）曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=化为直角坐标方程为：直线的直角坐标方程为：圆心到直线l 的距离（弦心距）圆心(2,0)到直线的距离为 ： 或（2）曲线的方程可化为222)4x y -+=（，其参数方程为：22cos {2sin x y θθ=+=(θ为参数）(),M x y Q 为曲线上任意一点，2225sin()x y θα+=++2x y ∴+的取值范围是[225,225]-+23．已知函数．（1）求不等式()4f x ≤的解集；（2）设函数()f x 的最小值为m ，当a ，b ，c +∈R ，且a b c m ++=时，求的最大值．【答案】（1）223x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）【解析】（1）根据x 的不同范围，去掉绝对值，然后求解不等式（2）利用基本不等式的合理利用求最大值【详解】（1）①当12x <时，()324f x x =-+≤ 2132x ∴-≤< ②当112x ≤<时，()4f x x =≤ 112x ∴≤< ③当1x ≥时，()324f x x =-≤ 12x ∴≤≤综上：()4f x ≤的解集为223x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）法一：由（1）可知()132,21,1232,1x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩()min 12f x ∴=即12m = 又*,,a b c R ∈且12a b c ++= 则2221a b c ++=，设x y z ===222x y xy +≥Q 2222121222xy x y a b a b ∴≤+=+++=++ 同理：2222yz b c ≤++，2222zx c a ≤++2222222222228xy yz zx a b b c c a ∴++≤++++++++=()2222222212121812x y z x y z xy yz zx a b c ∴++=+++++≤++++++=x y z ∴++≤当且仅当16a b c ===时取得最大值法二：由（1）可知()132,21,1232,1x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩()min 12f x ∴=即12m = 又*,,a b c R ∈且12a b c ++=2=4442121213332222a b c ⎛⎫++++++ ⎪≤++ ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当16a b c ===时取得最大值法三：由（1）可知()132,21,1232,1x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩()min 12f x ∴=即12m = 12a b c ∴++= 2121214a b c ∴+++++=由柯西不等式可知：()())2222222111111++⨯++≥++即：)211121≤≤ 当且仅当212121a b c +=+=+即16a b c ===时，取得最大值【点睛】考核绝对值不等式的解法，以及基本不等式的运用。
2020年湖南省普通高中学业水平合格性考试模拟试卷三数学（长郡版）
机密★启用前2020年湖南省普通高中学业水平合格性考试模拟试卷三(长郡版)数学本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分.共4页。
时量90分钟，满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。
1. 下列几何体中，正视图、侧视图和俯视图都相同的是A.圆柱B.圆锥C.球D.三棱柱2. 己知集合 M = {0, 1, 2), N={1, x},若 MCN = {1, 2},则 x 的值为A3 B.2 C.l D.03. 已知向量a=(l, 2), b=(x, 4).若Mb,则实数x 的值为A.8B.2C.-2D.-84. 己知a>b・ c>d.则下列不等式恒成立的是A・a+c>b+d B.a+d>b+c Ca —c>b —d Da —b>c —d 5. 从一个装有3个红球A ” A 2, Aa 和2个白球B i ，Bz 的盒子中，随机取出2个球，取出的2个球都是红 球的概率为3 5 2 3A.- B.—— C. — D.——5 10 5 106. 己知函数y=x(x-a)的图象如图所示，则不等式x(x-a)<0的解集为A 」xl0WxW2}B (xl0<x<2| CJxlxWO 或 xN2] D.(xlx<0 或 x>2}7. 为了得到函数y=sin(x-：)的图象，只需将y=sinx 的图象A.向左平移!个单位长度B.向左平移;个单位长度C .向右平移［个单位长度D .向右平移生个单位长度3 38. 已知函数f(x)=ag 0且a#l), f(l)=2,则函数f(x)的解析式是1 1A・f(x)=4* Bf(x)=(-尸 C・f(x)=2， D.f(x)=(-尸4 29. 如图，长方形的而积为2,将50颗豆子随机地撒在长方形内，其中恰好有30颗豆子落在阴影部分内，则用随机模拟的方法可以估计图中阴影部分的而积为10.己知点P是圆Cl：（x-l）2+y2=l上的动点,点Q是圆C2：x?+（y-3）2=l上的动点，则线段IPQI长的最小值为A.应一2B710-1 C.710+1D>/10二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。
2020年湖南省长沙市长郡中学高考数学模拟试卷(理科)(二) (含解析)
2020年湖南省长沙市长郡中学高考数学模拟试卷(理科)(二)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={y|y =x 2+2,x ∈R}，B ={y|y =4−x,x ∈R}，则A ∩B =( )A. {3,6}B. {−2,1}C. {y|y ≥2}D. R2. 下面是关于复数z =2−1+i 的四个命题：其中的真命题为( )，p 1：|z|=2， p 2：z 2=2i ，p 3：z 的共轭复数为1+i ， p 4：z 的虚部为−1．A. p 2，p 3B. p 1，p 2C. p 2，p 4D. p 3，p 43. 如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断错误的是( )A. 1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了13B. 1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势C. 2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例D. 2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率 4. 数列{2an+1}是等差数列，且a 1=1，a 3=−13，那么a 2020=( ) A. 10091010B. −10091010C. 20192020D. −201920205. (√x 3−2x )8二项展开式中的常数项为( )A. 56B. −56C. 112D. −1126. 已知a =(12)0.3,b =log 120.3,c =a b，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a <b <cB. c <a <bC. a <c <bD. b <c <a7. 已知，则sin2α=( )A. 12B. √32C. −12D. −√328. 2019年4月25日−27日，北京召开第二届“一带一路”国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为( )A. 198B. 268C. 306D. 3789. 在不等式组{x +y −2⩾0,x −y −2⩽0,y ⩽2,，所确定的三角形域内随机取一点，则该点到此三角形的三个顶点的距离均大于1的概率是( )A. π8B. 4−π2C. 1−π8D. 1−π410. 已知圆x 2+y 2=r 2(r >0)与抛物线y 2=2x 交于A,B 两点，与抛物线的准线交于C,D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则r 等于( )A. √22B. √2C. √52D. √511. 已知长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =2，AA 1=4，M 是BB 1的中点，点P 在长方体内部或表面上，且平面AB 1D 1，则动点P 的轨迹所形成的区域面积是( )A. 6B. 4√2C. 4√6D. 912. 已知圆C 1：x 2+2cx +y 2=0，圆C 2：x 2−2cx +y 2=0，椭圆C ：x 2a +y 2b=1(a >b >0)，若圆C 1，C 2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是( )A. [12,1)B. (0,12]C. [√22,1) D. (0,√22] 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设函数f(x)在(0,+∞)内可导，且f(e x )=x +e x ，则f′(1)=________． 14. 已知|a ⃗ |=1，b ⃗ =(1,√3)，(b ⃗ −a ⃗ )⊥a ⃗ ，则向量a ⃗ 与向量b ⃗ 的夹角为______．15. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示事件从甲罐取出的球是红球，白球和黑球;再从乙罐中随机取出1个球，以B表示事件从乙罐取出的球是红球.则下列结论中正确的是(写出所有正确结论的编号)． ①P(B)=25; ②P(B|A1)=511; ③事件B与事件A1相互独立; ④A1，A2，A3是两两互斥的事件．16.已知数列{a n}满足a1=0，a n+1=a n+n，则a2013=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C的所对边分别为a，b，c.已知a2+b2+5abcosC=0，sin2C=72sinAsinB．(Ⅰ)求角C的大小；(Ⅱ)若a=1，求△ABC面积．18.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=60°，∠PAD=45°，点E在线段AB上，PE⊥AD且AB=3，AD=PE=AE=2．(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD．(2)求直线PA与平面PDE所成角的正弦值．19.设椭圆x2a +y2b=1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为12，已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为12．(Ⅰ)求椭圆的方程和抛物线的方程；(Ⅱ)设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A)，直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为√62，求直线AP的方程．20.已知函数f(x)=m(x2−1)x−2lnx．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若m=12，证明f(x)有且只有三个零点．21. [某商场以分期付款方式销售某种商品，根据以往资料統计，顾客购买该商品选择分期付款的期数ξ的分布列为其中0<a <1，0<b <1(1)求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；(2)商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得的利润为200元；若顾客选择分3期付款，则商场获得的利润为250元；若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为300元．商场销售两件该商品所获得的利润记为X(单位：元) ①求X 的分布列；②若P(X ≤500)≥0.8，求X 的数学期望EX 的最大值．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−1−√22ty =2+√22t，(t 为参数)，以坐标原点为极点x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ=sinθ． (1)求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，P(−1,2)，求|PA|⋅|PB|．23.已知函数f(x)=|x+1|．(I)求不等式f(x)<|2x+1|−1的解集M；(Ⅱ)设a，b∈M，证明：f(ab)>f(a)−f(−b)．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：根据集合的基本运算即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．解：A={y|y=x2+2,x∈R}={y|y≥2}，B={y|y=4−x,x∈R}=R，则A∩B={y|y≥2}，故选：C2.答案：C解析：解：∵z=2−1+i =2(−1−i)(−1+i)(−1−i)=−1−i，∴p1：|z|=√2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为−1+i，p4：z的虚部为−1，故选：C．由z=2−1+i =2(−1−i)(−1+i)(−1−i)=−1−i，知p1：|z|=√2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为−1+i，p4：z的虚部为−1，由此能求出结果．本题考查复数的基本概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.答案：D解析：解析：本题主要考查学生的数据分析能力和图形阅读理解能力，属于基础题．根据图表中包含的信息对照选项分析即可判断真假．解：对于A，1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例，其中西安32例．所以西安所占比例为3287>13，故A 正确，对于B ，由曲线图可知.1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势，故B 正确，对于C ，2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了213−116−97例，故C 正确， 对于D ，2月8日到2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了98−8888=544，2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了88−7474=737，显然737>544，故D 错误．故选：D ．4.答案：B解析：解：设等差数列{2a n+1}的公差为d ，且a 1=1，a 3=−13，∴2a 1+1=1，2a 3+1=3，∴3=1+2d ，解得d =1． ∴2a n +1=1+n −1=n ，∴a n =2n−1．那么a 2020=22020−1=−10091010． 故选：B ． 设等差数列{2an+1}的公差为d ，且a 1=1，a 3=−13，可得2a 1+1=1，2a 3+1=3，3=1+2d ，解得d.可得通项公式，进而得出结论．本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：C解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项． 解：(√x 3−2x )8二项展开式的通项公式为T r+1=C 8r⋅x8−r3⋅(−2)r ⋅x −r =(−2)r ⋅C 8r⋅x8−4r3，令8−4r 3=0，求得r =2，可得展开式的常数项为4C 82=112，故选C ．6.答案：B解析：解：b =log 120.3>log 1212=1>a =(12)0.3，c =a b <a ．∴c <a <b ． 故选：B ．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：A解析：本题考查二倍角公式以及诱导公式，属于基础题． 由，得，再运用二倍角公式以及诱导公式计算，即可得到答案．解：由，得，=−[1−2sin 2(π4+α)]=−(1−2×34)=12． 故选A ．8.答案：A解析：由排列组合及计数问题分类讨论：①若选两个国内媒体一个国外媒体，②若选两个外国媒体一个国内媒体，可得解．本题考查了排列组合及计数问题，属中档题．。
2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期4月第三次适应性考试数学(理)试题(解析版)
2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期4月第三次适应性考试数学（理）试题一、单选题1．集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．12【答案】B【解析】解：因为*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选B2．设,,a b R i ∈是虚数单位，则“复数z a bi =+为纯虚数”是“0ab =”的（ ） A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充分不必要条件【答案】D【解析】结合纯虚数的概念，可得0,0a b =≠，再结合充分条件和必要条件的定义即可判定选项. 【详解】若复数z a bi =+为纯虚数，则0,0a b =≠，所以0ab =，若0ab =，不妨设1,0a b ==，此时复数1z a bi =+=，不是纯虚数，所以“复数z a bi =+为纯虚数”是“0ab =”的充分不必要条件. 故选：D 【点睛】本题考查充分条件和必要条件，考查了纯虚数的概念，理解充分必要条件的逻辑关系是解题的关键，属于基础题.3．2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行.这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异.今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵.他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建．若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位.现知道：①甲不是军事科学院的；②来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④乙不是博士学位；⑤国防科技大学的是研究生．则丙是来自哪个院校的，学位是什么( ) A ．国防大学，研究生 B ．国防大学，博士 C ．军事科学院，学士 D ．国防科技大学，研究生【答案】C【解析】根据①③可判断丙的院校；由②和⑤可判断丙的学位. 【详解】由题意①甲不是军事科学院的，③乙不是军事科学院的； 则丙来自军事科学院；由②来自军事科学院的不是博士，则丙不是博士； 由⑤国防科技大学的是研究生，可知丙不是研究生， 故丙为学士.综上可知，丙来自军事科学院，学位是学士. 故选：C. 【点睛】本题考查了合情推理的简单应用，由条件的相互牵制判断符合要求的情况，属于基础题.4．821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中12x y -的系数是（ ）A ．160B ．240C ．280D ．320【答案】C 【解析】首先把1x x+看作为一个整体，进而利用二项展开式求得2y 的系数，再求71x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中1x -的系数，二者相乘即可求解. 【详解】由二项展开式的通项公式可得821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的第1r +项为82181rr r r T C x y x -+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令1r =，则712281T C x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又71x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的第1r +为7271771rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令3r =，则3735C =，所以12x y -的系数是358280⨯=.故选：C 【点睛】本题考查二项展开式指定项的系数，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题. 5．已知3ln 3,log ,log a b e c e π===，则下列关系正确的是（ ） A ．c b a << B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A【解析】首先判断,,a b c 和1的大小关系，再由换底公式和对数函数ln y x =的单调性判断,b c 的大小即可. 【详解】因为ln3ln 1a e =>>，311log ,log ln 3ln b e c e ππ====，1ln3ln π<<，所以1c b <<，综上可得c b a <<.故选：A 【点睛】本题考查了换底公式和对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．函数2()ln(1)x xe ef x x --=+在[3,3]-的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】先根据函数奇偶性排除B ，再根据函数极值排除A ；结合特殊值即可排除D ，即可得解. 【详解】函数2()ln(1)x xe ef x x --=+，则2()()ln(1)x xe ef x f x x ---==-+，所以()f x 为奇函数，排除B 选项； 当x →+∞时，2()ln xe f x x≈→+∞，所以排除A 选项； 当1x =时，11 2.720.37(1) 3.4ln(11)ln 20.69e e e ef -----==≈≈+，排除D 选项； 综上可知，C 为正确选项， 故选：C. 【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图像，注意奇偶性、单调性、极值与特殊值的使用，属于基础题.7．一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是 （ ）A ．16216πB ．1628πC ．8216πD ．828π 【答案】D 【解析】【详解】由三视图可知该几何体的直观图是轴截面在水平面上的半个圆锥，表面积为2111442226828222πππ⋅⋅+⋅⋅=,故选D ．8．已知(0,),(,0)22ππαβ∈∈-，1cos(),cos()43423ππβα+=-=，则cos()2βα+=（ ）A ．B ．-C D ． 【答案】C【解析】首先判断3,444απππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，,4242πβππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，再由同角三角函数之间的关系求得sin()4πα+和sin()42πβ-的值，再运用配角2442βππβαα⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用两角差的余弦公式即可求得cos()2βα+的值.【详解】因为(0,),(,0)22ππαβ∈∈-，所以3,444απππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，,4242πβππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，又1cos()043πα+=>，所以,442πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，sin()4πα+===sin()423πβ-===， cos()cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos cos sin sin 442442442ππβππβππβααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦133=+=. 故选：C 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系以及两角差的余弦公式，考查了配角的应用技巧，()()2ααβαβ=++-是常见的配角，考查了运算能力，属于中档题.9．已知12,F F 是双曲线222:1(0)x C y a a-=>的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于,A B 两点，若2AB =，则2ABF ∆的内切圆半径为（）A ．23B ．3 C ．323D ．23【答案】B【解析】首先由2AB =求得双曲线的方程，进而求得三角形的面积，再由三角形的面积等于周长乘以内切圆的半径即可求解. 【详解】由题意1b =将x c =-代入双曲线C 的方程,得1y a =±则22,2,3a c a===,由2121222AF AF BF BF a -=-==,得2ABF ∆的周长为2211||22||42||62AF BF AB a AF a BF AB a AB ++=++++=+=,设2ABF ∆的内切圆的半径为r ,则11362232,223r r ⨯=⨯⨯=, 故选：B【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查了转化的思想，属于中档题.10．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．10102021【答案】D【解析】由题意，设每一行的和为i c ，可得11...(21)i i i n i c a a a n n i ++-=+++=++，继而可求解212...2(1)n n b c c c n n =+++=+，表示12(1)n n b n n =+，裂项相消即可求解. 【详解】由题意，设每一行的和为i c 故111()...(21)2i n i i i i n i a a nc a a a n n i +-++-+=+++==++因此：212...[(3)(5)...(21)]2(1)n n b c c c n n n n n n n =+++=+++++++=+1111()2(1)21n n b n n n n ==-++ 故202011111111(1...)(1)22232020202122021S =-+-++-=-=10102021故选：D 【点睛】本题考查了等差数列型数阵的求和，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.11．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.4440.4500.4550.461年代 公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年 D ．早于公元前6000年【答案】D【解析】先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确选项． 【详解】解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为α，春秋分日光与垂直线夹角为β， 则αβ-即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角， 将图3近似画出如下平面几何图形：则16tan 1.610α==，169.4tan 0.6610β-==， tan tan 1.60.66tan()0.4571tan tan 1 1.60.66αβαβαβ---==≈++⨯g ．0.4550.4570.461<<Q ，∴估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．故选：D ． 【点睛】本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及数学运算能力，属中档题．12．在满足04i i x y <<≤，i i y xi i x y =的实数对(),i i x y (1,2,,,)i n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，使得1213n n x x x x -++⋅⋅⋅+<成立的正整数n 的最大值为( )A ．5B ．6C ．7D ．9【答案】A【解析】由题可知：04i i x y <<≤，且i i y xi i x y =可得ln ln i ii ix y x y =，构造函数()()ln 04th t t t=<≤求导，通过导函数求出()h t 的单调性，结合图像得出min 2t =，即2i x e ≤<得出33n x e <， 从而得出n 的最大值. 【详解】因为04i i x y <<≤，i i y xi i x y = 则ln ln yi xii i x y =，即ln ln i i i i y x x y =整理得ln ln i ii ix y x y =，令i i t x y ==， 设()()ln 04th t t t =<≤， 则()2211ln 1ln t tt t h t t t ⋅-⋅-'==， 令()0h t '>,则0t e <<，令()0h t '<，则4e t <≤， 故()h t 在()0,e 上单调递增，在(),4e 上单调递减，则()1h e e=， 因为i i x y <，()()i i h x h y =， 由题可知：()1ln 44h t =时，则min 2t =，所以2t e ≤<， 所以24i i e x y ≤<<≤，当n x 无限接近e 时，满足条件，所以2n x e ≤<，所以要使得121338.154n n x x x x e -+++<<≈L故当12342x x x x ====时，可有123488.154x x x x +++=<， 故14n -≤，即5n ≤， 所以：n 最大值为5. 故选：A. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数单调性、极值和最值，以及运用构造函数法和放缩法，同时考查转化思想和解题能力.二、填空题13．近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为______. 【答案】717【解析】记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A ，“他的车能够充电2500次”为事件B ，即求条件概率：(|)P B A ，由条件概率公式即得解. 【详解】记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A ，“他的车能够充电2500次”为事件B ，即求条件概率：()35%7(|)()85%17P A B P B A P A ===I故答案为：717【点睛】本题考查了条件概率的应用，考查了学生概念理解，数学应用，数学运算的能力，属于基础题.14．动点P 到直线1x =-的距离和他到点(1,0)F 距离相等，直线AB 过(4,0)且交点P 的轨迹于,A B 两点，则以AB 为直径的圆必过_________.【答案】()0,0【解析】利用动点P 到直线1x =-的距离和他到点(1,0)F 距离相等，,可知动点P 的轨迹是以()1,0F 为焦点的抛物线,从而可求曲线的方程,将(4)y k x =- ,代入24y x =,利用韦达定理,可得12120x x y y ∴+= ,从而可知以AB 为直径的圆经过原点O. 【详解】设点(),P x y ，由题意可得1x +=222(1)(1)x x y +=-+，2222121x x x x y ++=-++，可得24y x =，设直线AB 的方程为(4)y k x =-，代入抛物线可得()2222421160k x k x k -++=，()()()2112212122421,,,16,k A x y B x y x x x x k +∴=+=，()()2121244,y y k x x ∴=--()()222121212121416x x y y k x x k x x k ∴+=+-++ ()22222841614160k k k k k+=+-+=， 0OA OB ∴⋅=u u u r u u u r，以AB 为直径的圆经过原点O .故答案为：（0,0） 【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了直线和抛物线的交汇问题，同时考查了方程的思想和韦达定理，考查了运算能力，属于中档题.15．已知224()ln ,()()e f x x g x x a ==-，如果函数()()()h x f x g x =-有三个零点，则实数a 的取值范围是____________ 【答案】()3,e +∞【解析】首先把零点问题转化为方程问题，等价于224ln ()e x x a =-有三个零点，两侧开方，可得x a =±a x =即可求出参数的取值范围. 【详解】若函数()()()h x f x g x =-有三个零点，即224ln ()e x x a =-零点有，显然1x >，则有224()ln e a x x-=，可得x a =±a x =±()g x x =±对于()g x x =-函数单调递增，0g =<，()220g ee e =->，所以函数在区间()1,+∞上只有一解，对于函数()g x x =+()()32'ln 10x g x ex-=-=，解得x e =，()'0g x <，解得1x e <<，()'0g x >，解得x e >，所以函数在区间()1,e 上单调递减，在区间(),e +∞上单调递增，()23g e e e e =+=，当1x →时，()g x →+∞，当x →+∞时，()g x →+∞，此时函数若有两个零点，则有3a e >，综上可知，若函数()()()h x f x g x =-有三个零点，则实数a 的取值范围是()3,e +∞. 故答案为：()3,e +∞ 【点睛】本题考查了函数零点的零点，恰当的开方，转化为函数有零点问题，注意恰有三个零点条件的应用，根据函数的最值求解参数的范围，属于难题.16．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,M N E 分别为棱1,,AA AB AD的中点，以 A 为圆心，1为半径，分别在面11 ABB A 和面 ABCD 内作弧MN 和 NE ，并将两弧各五等分，分点依次为 M 、1P 、2P 、3P 、4P 、N 以及 N 、1Q 、2 Q 、3Q 、4Q 、E ．一只蚂蚁欲从点1P 出发，沿正方体的表面爬行至4 Q ，则其爬行的最短距离为________．参考数据：cos90.9877︒=； cos180.9511 ︒=；cos270.8910︒=）【答案】1.7820【解析】根据空间位置关系，将平面旋转后使得各点在同一平面内，结合角的关系即可求得两点间距离的三角函数表达式.根据所给参考数据即可得解. 【详解】棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,M N E 分别为棱1,,AA AB AD 的中点，以 A 为圆心，1为半径，分别在面11 ABB A 和面 ABCD 内作弧MN 和 NE .将平面ABCD 绕AB 旋转至与平面11ABB A 共面的位置，如下图所示：则14180814410P AQ ∠=⨯=o o ，所以142sin 72PQ =o ； 将平面ABCD 绕AD 旋转至与平面11ADD A 共面的位置，将11ABB A 绕1AA 旋转至与平面11ADD A 共面的位置，如下图所示：则14902901265P AQ ∠=⨯+=o o ，所以142sin 63PQ =o ； 因为sin 63sin 72<o o ，且由诱导公式可得sin 63cos 27=o o ，所以最短距离为142sin 6320.8910 1.7820PQ ==⨯=o ， 故答案为：1.7820. 【点睛】本题考查了空间几何体中最短距离的求法，注意将空间几何体展开至同一平面内求解的方法，三角函数诱导公式的应用，综合性强，属于难题.三、解答题17．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆同时满足下列四个条件中的三个：①2633()b a ac c a b -+=+；②2cos 22cos 12A A +=；③6a =④22b =（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应ABC ∆的面积. （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分） 【答案】（1）①，③，④或②，③，④；（23.【解析】（1）由①可求得cos B 的值，由②可求出角A 的值，结合题意得出A B π+>，推出矛盾，可得出①②不能同时成为ABC ∆的条件，由此可得出结论；（2）在符合条件的两组三角形中利用余弦定理和正弦定理求出对应的边和角，然后利用三角形的面积公式可求出ABC ∆的面积. 【详解】（1）由①b ac -=()2223a c b +-=-，所以222cos 2a c b B ac +-==， 由②2cos 22cos 12AA +=得，22cos cos 10A A +-=， 解得1cos 2A =或cos 1A =-（舍），所以3A π=，因为1cos 32B =-<-，且()0,B π∈，所以23B π>，所以A B π+>，矛盾.所以ABC ∆不能同时满足①，②. 故ABC ∆满足①，③，④或②，③，④； （2）若ABC ∆满足①，③，④，因为2222cos b a c ac B =+-，所以2862c c =++2420c c +-=.解得2c =.所以ABC ∆的面积1sin 2S ac B ==若ABC ∆满足②，③，④由正弦定理sin sin a b A B=sin B =，解得sin 1B =，所以c =ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==【点睛】本题考查三角形能否成立的判断，同时也考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角形面积的计算，要结合三角形已知元素类型合理选择正弦定理或余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题.18．为提供市民的健身素质，某市把,,,A B C D 四个篮球馆全部转为免费民用 （1）在一次全民健身活动中，四个篮球馆的使用场数如图，用分层抽样的方法从,,,A B C D 四场馆的使用场数中依次抽取1234,,,a a a a 共25场，在1234,,,a a a a 中随机取两数，求这两数和ξ的分布列和数学期望；（2）设四个篮球馆一个月内各馆使用次数之和为x ，其相应维修费用为y 元，根据统计，得到如下表的数据： x 10 15 20 25 30 35 40 y1000011761 13010 13980 14771 15440 16020 43430.12y z e=+ 2.993.494.054.504.995.495.99①用最小二乘法求z 与x 的回归直线方程； ②40yx +叫做篮球馆月惠值，根据①的结论，试估计这四个篮球馆月惠值最大时x 的值参考数据和公式：7723114.5,()700,()()70,20i i i i i z x x x x z z e ===-=--==∑∑71721()()()iii ii x x zz bx x ==--=-∑∑$，$az bx =- 【答案】（1）见解析，12.5（2）①0.12z x =+$②20【解析】(1) 运用分层抽样，结合总场次为100，可求得1234,,,a a a a 的值，再运用古典概型的概率计算公式可求解果; (2) ①由公式可计算77211(),()()iiii i x x x x zz ==---∑∑的值，进而可求z 与x 的回归直线方程；②求出()g x ，再对函数求导，结合单调性，可估计这四个篮球馆月惠值最大时x 的值. 【详解】 解：（1）抽样比为2511004=，所以1234,,,a a a a 分别是，6，7，8，5所以两数之和所有可能取值是：10，12，13，15()1106p ξ==，()1123p ξ==，()1133p ξ==，()1156p ξ== 所以分布列为期望为1111()1012131512.56336E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= （2）因为77211()700,()()70,ii i i i x x x x z z ==-=--=∑∑所以71721()()()iii ii x x zz bx x ==--=-∑∑$，$701, 4.50.125270010a ===-⨯=， 0.12zx ∴=+$； ②43430.12y z e=+0.12x =+，设2401ln 4343ln (),()43434040(40)xy x x g x g x x x x +-'===+++， 所以当[0,20],()0,()x g x g x '∈>递增，当[20,),()0,()x g x g x '∈+∞<递减 所以约惠值最大值时的x 值为20 【点睛】本题考查直方图的实际应用，涉及求概率，平均数、拟合直线和导数等问题，关键是要读懂题意，属于中档题.19．如图，三棱台111.ABC A B C -中， 侧面11A B BA 与侧面12AC CA 是全等的梯形，若1111,A A AB A A AC ⊥⊥，且11124AB A B A A ==.（Ⅰ）若12CD DA =u u u v u u u u v ，2AE EB =u u u v u u u v，证明：∥平面11BCC B ；（Ⅱ）若二面角11C AA B --为3π，求平面11A B BA 与平面11C B BC 所成的锐二面角的余弦值.【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)14. 【解析】试题分析：(Ⅰ) 连接11,AC BC ，由比例可得DE ∥1BC ，进而得线面平行； （Ⅱ）过点A 作AC 的垂线，建立空间直角坐标系，不妨设11AA =，则11112,A B AC ==求得平面11A B BA 的法向量为m v ，设平面11C B BC 的法向量为n v ，由cos ,m n m n m n⋅=v vv v u u vu u v 求二面角余弦即可. 试题解析：（Ⅰ）证明：连接11,AC BC ，梯形11A C CA ，112AC A C =,易知：111,2AC AC D AD DC ⋂==u u u v u u u u v；又2AE EB =u u u v u u u v，则DE ∥1BC ；1BC ⊂平面11BCC B ，DE ⊄平面11BCC B ，可得：DE ∥平面11BCC B ；（Ⅱ）侧面11A C CA 是梯形，111A A AC ⊥，1AA AC ⇒⊥,1A A AB ⊥,则BAC ∠为二面角11C AA B --的平面角， BAC ∠=3π；111,ABC A B C ⇒∆∆均为正三角形，在平面ABC 内，过点A 作AC 的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设11AA =，则11112,A B AC ==4AC AC ==,故点()10,0,1A ，()0,4,0,C())1,B B ；设平面11A B BA 的法向量为()111,,m x y z =v，则有：()111111001,00y m AB m m AB y z ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⇒=⎨⋅=⎪++=⎩u u u v v vu u u vv ； 设平面11C B BC 的法向量为()222,,n x y z =v，则有：(22122200030y m CB n m CB y z ⎧⎧-=⋅=⎪⎪⇒⇒=⎨⋅=⎪-+=⎩u u u v v vu u u v v ； 1cos ,4m nm n m n⋅==-v vv v u uvu u v ， 故平面11A B BA 与平面11C B BC 所成的锐二面角的余弦值为14. 20．已知函数21()(1)ln (,0)2f x ax a x x a R a =---∈≠ （1）求函数()f x 的单调递增区间（2）记函数()y F x =的图象为曲线C ，设点1122(,),(,)A x y B x y 是曲线C 上不同两点，如果在曲线C 上存在点00(,)M x y ，使得①1202x x x +=；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数存在“中值和谐切线”，当2a =时，函数()f x 是否存在“中值和谐切线”请说明理由【答案】（1）见解析（2）不存在，见解析【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围求出函数的单调区间即可； （2）求出函数的导数，结合导数的几何意义，再令21x t x =，转化为方程有解问题，即可说明. 【详解】(1)函数的定义域为()0,∞+，所以1(1)()()a x x a f x x-+'=当0a >时，()0,1f x x '>>；()0,01f x x '<<<，所以函数()f x 在()1,+∞上单调递增 当0a <时， ①当111,1,()0,1a f x x a a '-<<->-<<时，函数在1,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增 ②11,1a a-==-，显然无增区间； ③当11,10a a ->-<<时， 1()0,1f x x a '><<-，函数在11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增， 综上当0,a >函数在1,1a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增. 当1a <-时函数在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 当1a =-时函数无单调递增区间当10a -<<时函数在11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增(2)假设函数存在“中值相依切线”设1122(,),(,)A x y B x y 是曲线()y f x =上不同的两个点，且120x x << 则1111222ln ,ln y x x x y x x x =--=--2121212121ln ln 1AB y y x x k x x x x x x --==+----曲线在点00(,)M x y 处的切线的斜率为012122()1k f x x x x x '==+--+，2121122112ln ln 21x x x x x x x x x x -+--=+--+2212122112112(1)ln ln 2,ln 01x x x x x x x x x x x x --∴=∴-=-++.令21x t x =，则222(1)(1)()ln ,()01(1)t t h t t h t t t t --'=-=>++， ()h t ∴单调递增，()(1)0h t h ∴>=，故()0h t =无解，假设不成立综上，假设不成立，所以不存在“中值相依切线”【点睛】本题考查了函数的单调性，导数的几何意义，考查导数的应用以及分类讨论和转化思想，属于中档题．21．已知抛物线2:2G y px =，焦点为F ，直线l 交抛物线G 于,A B 两点，交抛物线G 的准线于点C ，如图所示，当直线l 经过焦点F 时，点F 恰好是AC 的中点，且83BC =.（1）求抛物线G 的方程；（2）点O 是原点，设直线,OA OB 的斜率分别是12,k k ，当直线l 的纵截距为1时，有数列{}n a 满足()2112n 1,16,42n a k a k a -==-=+，设数列1n n a a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n S ，已知存在正整数m 使得20201m S m ≤<+，求m 的值.【答案】（1）24y x =（2）2019m =【解析】(1) 设出直线的方程，再与抛物线联立方程组，进而求得点,A B 的坐标，结合弦长即可求得抛物线的方程；(2) 设直线的方程，运用韦达定理可得214k k +=，可得1,n n a a +之间的关系，再运用11111n n n a a a +=-+进行裂项，可求得2020S ，解不等式求得m 的值. 【详解】解：（1）设过抛物线焦点的直线方程为()2p y k x =-， 与抛物线方程联立得：22222(2)04k p k x k p p x -++=，设2112221(,),(,),4p A x y B x y y y =，所以2223(,),(),326P P A kP B k P p =，83k BC ∴===， 2P =∴，所以抛物线方程为24y x = （2）设直线方程为()2(1)1,4x m y x m y y x =-⎧=-∴⎨=⎩， 21212440,4,4y my m y y m y y m ∴-+==+=，1221124y y k k x x +=+=， 221116(42)4,(1)n n n n n n n a a a a a a a ++∴-++=-+=+，11111(1)1n n n n n a a a a a +∴==-++， 111()11n n n n a a a a ∴=--++， 2020122320202021202111111112020(...)20201S a a a a a a a =-+-++-=-+ 由111,(1)1n n n a a a a +==+>得2019m =.【点睛】本题考查了直线与抛物线的关系，考查了韦达定理和运用裂项法求数列的和，考查了运算能力，属于中档题.22．已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是:2{2x m t y =+=（t 是参数）.（1）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且||AB =试求实数m 值.（2）设为曲线上任意一点，求2x y +的取值范围. 【答案】（1）或；（2）[225,225]-+.【解析】（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，在直角坐标条件下求出曲线的圆心坐标和半径，将直线的参数方程化为普通方程，由勾股定理列出等式可求的值；（2）将圆化为参数方程形式，代入由三角公式化简可求其取值范围．【详解】 （1）曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=化为直角坐标方程为：直线的直角坐标方程为： 圆心到直线l 的距离（弦心距） 圆心(2,0)到直线的距离为 ： 或（2）曲线的方程可化为222)4x y -+=（，其参数方程为：22cos {2sin x y θθ=+=(θ为参数）(),M x y Q 为曲线上任意一点，225)x y θα+=++2x y ∴+的取值范围是[25,25]-+23．已知函数()|1|||f x x x a =+-+.（1）若1a =-，求不等式()1f x -…的解集；（2）若“x R ∀∈，()|21|f x a <+”为假命题，求a 的取值范围.【答案】（1）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭（2）[]2,0-【解析】（1））当1a =-时，将函数()f x 写成分段函数，即可求得不等式的解集. （2）根据原命题是假命题，这命题的否定为真命题，即“x R ∃∈，()21f x a +…”为真命题，只需满足()max |21|f x a +…即可.【详解】解：（1）当1a =-时，()2,1,112,11,2, 1.x f x x x x x x -≤-⎧⎪=+--=-<<⎨⎪≥⎩由()1f x -…，得12x -…. 故不等式()1f x -…的解集为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. （2）因为“x R ∀∈，()21f x a <+”为假命题，所以“x R ∃∈，()21f x a +…”为真命题，所以()max |21|f x a +….因为()|1||||(1)()||1|f x x x a x x a a =+-++-+=-„， 所以()max |1|f x a =-，则|1||21|a a -+…，所以()()22121a a -+…， 即220a a +≤，解得20a -剟，即a 的取值范围为[]2,0-. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式，属于基础题.。
湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高三数学理测试题含解析
湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为A.2B.4C.D.参考答案：【知识点】抛物线及其几何性质H7【答案解析】D抛物线y2=16x的焦点F的坐标为（4，0）；双曲线=1的一条渐近线方程为x-y=0，∴抛物线y2=16x的焦点到双曲线=1的一条渐近线的距离为=2，故选：D．【思路点拨】确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标；求出双曲线渐近线方程，利用点到直线的距离公式可得结论．2. 在等差数列{a n}中，S n为前n项和，，则A.33B.11C. 50D.60参考答案：A由. 故选A.3. 若关于x的不等式的解集为，且函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.参考答案：A略4. 若函数在其定义域的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围（）A． B． C． D．参考答案：A5. 已知圆经过两点,圆心在轴上,则圆的方程是（）A．B．C．D．参考答案：D6. 已知i为虚数单位，复数z满足，则复数z的虚部为（）A. B. C. D.参考答案：D化简复数可得所以虚部为所以选D7. 袋中有形状、大小都相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，其中1个白球，2个红球，2个黄球．从中一次随机取出2个球，则这2个球颜色不同的概率为A．B．C．D．参考答案：D8. 对于下列四个命题p1：?x∈（0，+∞），（）x＜（）xp2：?x∈（0，1），log x＞log xp3：?x∈（0，+∞），（）x＞log xp4：?x∈（0，），（）x＜log x．其中的真命题是（）A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4参考答案：D【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】根据幂函数的单调性，我们可以判断p1的真假，根据对数函数的单调性，及指数函数的单调性，我们可以判断p2，p3，p4的真假，进而得到答案【解答】解：p1：?x0∈（0，+∞），（）x0＜（）x0，是假命题，原因是当x0∈（0，+∞），幂函数在第一象限为增函数；p2：?x0∈（0，1），log x0＞log x0，是真命题，如；p3：?x∈（0，+∞），（）x＞log x，是假命题，如x=时，；p4：?x∈（0，），＜＜1，，是真命题．故选：D．9. 双曲线C的左，右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），抛物线y2=4x与双曲线C的一个交点为P，若（+）?（﹣）=0，则C的离心率为（）A．B．1+C．1+D．2+参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点和准线，运用向量的平方即为模的平方，可得|PF2|=2，由抛物线的定义，可得P的横坐标，可得P的坐标，运用双曲线的定义和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），准线为x=﹣1，设P（m，n），若（+）?（﹣）=0，则2﹣2=0，由F1（﹣1，0），F2（1，0），可得|F1F2|=2，即有|PF2|=2，由抛物线的定义可得x P+1=2，即有x P=1，可得P（1，±2），由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=﹣=2﹣2，可得双曲线的a=﹣1，c=1，可得e==1+．故选：B．10. 若x，y满足约束条件，设x2+y2+4x的最大值点为A，则经过点A和B（﹣2，﹣3）的直线方程为（）A．3x﹣5y﹣9=0 B．x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．5x﹣3y+9=0参考答案：A【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出约束条件表示的平面区域，根据目标函数z求出最优解，写出直线AB的方程即可．【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；则z=x2+y2+4x=（x+2）2+y2﹣4，表示平面区域（阴影部分）内的点P（x，y）到点C（﹣2，0）的距离的平方减去4，所以它的最大值点为A，由解得A（3，0），所以经过点A和B（﹣2，﹣3）的直线方程为=，化为一般形式为3x﹣5y﹣9=0．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 命题“若x>y，则x2>y2-1”的否命题是。
2020届长郡中学高三第3次月考试卷-理数试卷及答案
' ( "
"
!!已知集合 "' # ##(!#$ &集合 $''# ##)*$$(&则!%""&$'
密!!封!!线!!内!!不!!要!!答!!题
" " "
) " ! " ! * ) * +,(*#&!
-, (*#&!
., (*#&!
/, (*#&!
" "
#!设复数%'&)'0!&'&''"&则在复平面内满足 % (槡*的复数%有
理科数学试题!长郡版"第!2 页!共"页"
!1!!本题满分!#分" 十九大提出#坚决打赢脱贫攻坚战&做到精准扶贫&我省某帮扶单位为帮 助定点扶贫村真正脱贫&坚持扶贫同扶智相结合&帮助贫困村种植脐橙& 并利用互联网电商 进 行 销 售&为 了 更 好 销 售&现 从 该 村 的 脐 橙 树 上 随 机 摘下!$$个脐橙进行测重&其质量分布在区间)#$$&%$$*!单位#克"&统计 质量的数据作出其频率分布直方图如图所示#
-,&2("
.,&2(!&*
选择题答题卡
/,&2("*
题!号 ! # * 2 % & 6 " 1 !$ !! !# 得分 答!案
理科数学试题!长郡版"第!# 页!共"页"
2019-2020学年湖南省长沙市长郡双语实验中学高三数学理模拟试卷含解析
2019-2020学年湖南省长沙市长郡双语实验中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，将终边按逆时针方向旋转后，终边经过点，则（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】先建立角和旋转之后得所到的角之间的联系，再根据诱导公式和二倍角公式进行计算可得。
【详解】设旋转之后的角为，由题得，，，又因为，所以得，故选B。
【点睛】本题考查任意角的三角函数和三角函数的性质，是基础题。
2. 函数f(x)＝a| x－b |＋2在[0, ＋∞)上为增函数，的充分必要条件是（）A．a＝1且b＝0 B．a＜0且b＞0 C．a＞0且b≤0 D．a＞0且b<0参考答案：C3. 函数f（x）=2x﹣4sinx，x∈[﹣，]的图象大致是（）A． B． C． D．参考答案：D考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：先验证函数是否满足奇偶性，由f（﹣x）=﹣2x﹣4sin（﹣x）=﹣（2x﹣4sinx）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除AB，再由函数的极值确定答案．解答：解：∵函数f（x）=2x﹣4sinx，∴f（﹣x）=﹣2x﹣4sin（﹣x）=﹣（2x﹣4sinx）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，所以函数f（x）=2x﹣4sinx的图象关于原点对称，排除AB，函数f′（x）=2﹣4cosx，由f′（x）=0得cosx=，故x=2k（k∈Z），所以x=±时函数取极值，排除C，故选：D．点评：本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解决函数图象选择题常用的方法．4. 已知x，y满足约束条件，则z=3x+y的取值范围为（）A．[6，10] B．（6，10] C．（﹣2，10] D．[﹣2，10）参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数为y=﹣3x+z，由图可知，当直线y=﹣3x+z过A时，z取最大值，由，得A（4，﹣2），此时z max=3×4﹣2=10；当直线y=﹣3x+z过点B时，由，解得B（0，﹣2），故z＞3×0﹣2=﹣2．综上，z=3x+y的取值范围为（﹣2，10]．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5. 下图给出4个幂函数的图像，则图像与函数对应的是（）(A) ①，②，③，④(B) ①，②，③，④(C) ①，②，③，④(D) ①，②，③，④参考答案：B略6. 当实数x，y满足不等式组时，恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：D7. 点是曲线上的一个动点，曲线在点处的切线与轴、轴分别交于两点，点是坐标原点. 给出三个命题：①；②的周长有最小值；③曲线上存在两点，使得为等腰直角三角形．其中真命题的个数是（）A.１B.２C.３ D.０C8. 已知，则的值为（）A．2B．－2 C．D．参考答案：B9. 设f(x)是R上的任意函数，给出下列四个函数：①f(x)f(－x)；②f(x)|f(－x)|；③f(x)－f(－x)；④f(x)＋f(－x)．则其中是偶函数的为()A．①② B．②③ C．③④ D．①④参考答案：D10. 若两条异面直线所成的角为，则称这对异面直线为“理想异面直线对”，在连结正方体各顶点的所有直线中，“理想异面直线对”的对数为A．24 B．48 C. 72 D．78参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若定义域为R的偶函数f（x）在［0，＋∞）上是增函数，且f（）＝0，则不等式f（log4x）＞0的解集是______________．因为偶函数f（x）在［0，＋∞）上是增函数，且f（）＝0，所以当时,.所以所求不等式的解集为.12. 设，，若是的真子集，则的取值范围是．参考答案：试题分析：如图，作直线，直线，显然集合表示的平面区域在内部（含边界），而集合是以原点为圆心，5为半径的圆，直线过原点，要满足题意，它与直线的交点必在点上方（可重合），同样它与直线的交点必在点上方（不可重合），所以，即．考点：二元一次不等式组表示的平面区域．【名师点睛】求解平面区域与函数图象、曲线方程等一些综合问题时,要以数形结合思想方法为核心,充分利用函数图象与曲线方程的特征(增减性、对称性、经过的定点、变化趋势等),与平面区域的位置和形状联系起来,对参数的取值情况分析讨论,进行求解.13. 如图所示，△ABC内接于⊙O，PA是⊙O的切线，PB⊥PA，BE=PE=2PD=4，则PA= ，AC= ．参考答案：4；5．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；推理和证明．【分析】利用切割线定理求PA，利用相交弦定理求出CE，即可求出AC．【解答】解：由题意，PD=DE=2，∵PA是⊙O的切线，∴由切割线定理可得PA2=PD?PB=2×8=16，∴PA=4，∵PB⊥PA，∴AE=4，由相交弦定理可得CE===，∴AC=AE+CE=5．故答案为：4；5．【点评】本题考查切割线定理、相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．14. 已知，，且，则与夹角的余弦值为___________.参考答案：，，．15. 已知向量，满足＝3，＝2，＝5，则在方向上的投影是______。