3.1一维定态的一般性质
一维定态性质
第三章 一维定态问题§3.1 一维定态的一般性质性质1、当)(x V 为实函数时，一维定态波函数可取为实函数。
证明：分能级无简并和有简并两种情况（1） 能级无简并对应能级E ，只有一个独立的本征波函数。
设 )(x ψ为与E 对应的本征波函数)()(ˆx E x Hψψ= 取复共轭，因)()(*x V x V =，则)()(ˆ**x E x Hψψ= )(*x ψ也是与E 对应的本征波函数。
因无简并，则 αψψψψψi e C x C x C x x C x ====)()()()()(2***可取0=α，即)(x ψ可取为实函数。
（2）能级有简并对应某一能级E ，有两个或两个以上独立的本征波函数。
例如氢原子能级：eV 16.132nE n -=，波函数： )(r sl m nlm ψ， 简并度：22n f =.设集合 )}({x i ψ为与E 对应的本征波函数 f i x E x H ii ,,2,1),()(ˆ ==ψψ 取共轭得f i x E x H ii ,,2,1),()(ˆ** ==ψψ 集合 )}({*x i ψ 也是与E 对应的本征波函数。
只要)}({x i ψ中有一个波函数，例如j ψ不是实函数，那么就可用实函数 )(*j j ψψ+或 )]([*j j i ψψ--来取代j ψ，最后总能组合成一组实函数。
所以，当)(x V 为实函数时，一维定态波函数可取为实函数。
下面一条性质涉及空间反射变换和宇称。
空间反射变换：用算符P ˆ代表空间反射变换 )()(ˆx x P-=ψψ 本征方程： )()(ˆx x Pψπψ=可以证明 π为实数。
只有当 π为实数时上述方程才是本征方程。
因为按照基本假定，本征值与测量值相对应，而测量值总是实数。
宇称（parity ）：空间反射变换算符的本征值 π．宇称的可能取值：)()(ˆ)(ˆˆ)(ˆ2x x P x P P x Pψψψψ=-== )()(ˆ)(ˆˆ)(ˆ22x x P x P P x Pψπψπψψ=== )()(2x x ψπψ=211ππ=⇒=±即 ⎩⎨⎧-=负宇称正宇称，)(),()(ˆx x x P ψψψ空间反射不变的波函数具有正宇称。
Chapter 3-1 一维定态问题(上)
当n分别是奇数和偶数时，满足 偶函数 → ψn ( −x) =ψn ( x) (n为奇数) (n为偶数)
奇函数 → ψn ( −x) =−ψn ( x)
即n是奇数时，波函数是x的偶函数，我们称 这时的波函数具有偶宇称；当n为偶数时， 波函数是x的奇函数，我们称这时的波函数具 有奇宇称。本征函数所具有的这种确定的奇 偶性(宇称)是由势函数 对原点的这种对称性 而来的。关于这个问题，后面将就普遍情形 作专门讨论。
a.势U(x)中第一类不连续性的存在并不改 变加于函数的标准条件。事实上, 按Schrodinger 方程 ψ ′′ = (U − ε )ψ 在势的每一个不连续点，U出现一有限量的突 ψ 也如此，但ψ ′′ 的积分在这些点上保 然跳跃， ′′ 持连续: 因此ψ ′及ψ (理由更充足)处处连续。 （证明见：曾《量子力学导论》p53）
节点数 : 按定义，所谓节点，即本征函数 的零点(端点除外)，从图可以看出 ψ n 与x轴相 交(n-1)次，即ψ n 有(n-1)个节点。
§3.2.3 有限深对称方势阱
⎧ ⎪ 0, ⎪ V (x) = ⎨ ⎪V , ⎪ 0 ⎩ a x < 2 a x ≥ 2
(1)
a为阱宽，为势阱高度。 以下讨论束缚态情况 ( 0 < E < V0 ) , 前例可看成 是 V0 ≥ E 的极限情况。
⎧ d 2ψ + α 2ψ = 0 ( x < a) ⎪ 2 ⎨ dx ⎪ ψ =0 ( x ≥ a) ⎩
(3)
在 x < a 区域内的通解是
ψ = A sin α x + B cos α x
(4)
亦可取为ψ = c sin(α x +δ ) ， c 和 δ 待定。
专题-一维薛定谔方程的普遍性质 量子力学
2 η sh 2a
2 2 2 α1 + β1 - β2 =1
-iβ2 e ik l α1 + iβ1 e -ik l
这里 α1 ，β1 ，β2 均为实数。最后得系数递推公式
第一谷 第一垒 第二谷 第二垒
l=2b
l=2(a+ b)
-a 0 a
x
6
设电子总能量 E < V0 ，作为一般考虑，假定第n谷中的波函数为
n ( x ) Ane ik ( x nl ) Bne ik ( x nl ) ,
于是第0至第1谷情况区段中波函数解为
n 1 l a x nl a
ea ea
e a e a
e ik a ik e ik a
A 0 B ik e ik a 0
8
2ik a e ik l , A iη sh 2 a e ik l A1 ch 2 a i sh 2 a e 0 2ik a e ik l B0 ik l , B1 ch 2 a i sh 2 a e i η sh 2 a e
A An An-1 n 0 B = Ω B = Ω B n n-1 0
9
这里 α1 ，β1 ，β2 均为实数。最后得系数递推公式
A An An-1 n 0 B = Ω B = Ω B n n-1 0
1 k 1 k , η 2k 2 k
一维定态的一般性质
得证
对于一维方势场，可证明下列定理：
定理5
对于阶梯方位势
V1 , V ( x) V2 ,
xa
xa (V2 V1 ) 有限，则能量本征函数 ( x) 及其导数必定
是连续的（但如果 (V2 V1 ) ，则定理不成立）。 证明
d2 2m ( x) 2 [ E V ( x)] ( x) 2 dx
[ E V ( x)] ( x)有限， lim
0
a
a
dx[ E V ( x)] ( x) 0
(a 0 ) (a 0 )
( x) ( x)
连续 得证
定理6 对于一维粒子，设 1 ( x) 和 2 ( x) 均为 方程（3）的属于同一能量本征值E的解，则 2 1 常数(与x无关) 1 2
(r 0)
x=0是一个孤立奇点，虽然在x=0点 (不连 x) (0) 0 续，但其基态波函数 ，所以也不是简并的。
2 2 i ( x, t ) [ V ( x)] ( x, t ) 2 t 2m x
（1）
对于定态，即具有一定能量E的状态，波函 i Et 数形式为 （2） ( x, t ) ( x)e
2 d 2 [ V ( x)] ( x) E ( x) 2 2m dx
( x)
( x)
f ( x) ( x ) ( x )
g ( x) ( x) ( x)
f ( x) f ( x) g ( x) g ( x)
1 ( x) ( f ( x) g ( x)), 2
1 ( x) ( f ( x) g ( x)) 2
第一章 薛定谔方程,一维定态问题
第一章薛定谔方程,一维定态问题
薛定谔方程是描述量子力学中微观粒子运动的基本方程，也是研究原子、分子、固体等微观粒子体系行为的重要工具。
在一维定态问题中，我们假设粒子在一个长度为L的有限区域内运动，边界处满足一定的边界条件。
这种假设简化了问题的复杂性，使得我们能够更加深入地研究粒子在有限区域内的定态行为。
一维定态问题的薛定谔方程可以写成如下的形式：
$$-
\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\Psi(x)}{dx^{2}}+V(x)\Psi(x)=E \Psi(x)$$
其中，$\hbar$为约化普朗克常数，m为粒子的质量，V(x)为粒子在x位置处的势能，E为粒子的总能量，$\Psi(x)$为描述粒子波函数的解析函数。
一维定态问题中，由于波函数只与一个坐标x有关，因此我们可以采用分离变量的方法将波函数表示为如下形式：
$$\Psi(x)=\psi(x)e^{ikx}$$
其中，$\psi(x)$为关于x的解析函数，k为波矢。
将上式代入薛定谔方程，可将其简化为如下形式：
$$-\frac{\hbar^{2}}{2m}\psi''(x)+(V(x)-E)\psi(x)=0$$
这个简化后的方程可以通过求解得到波函数的解析表达式及对应的能量。
对于有限区域内的粒子，我们需要根据边界条件来限定波函数的形状，在定态问题中，我们通常采用周期性边界条件或硬壳边界条件。
通过分析一维定态问题的波函数和能谱，我们可以深入理解原子、分子、固体等复杂体系中微观粒子的行为规律，同时也可以为设计新的材料、光电子器件等提供理论基础和指导。
第3章 一维定态问题
2 d ( x) 2mE 2 2 k ( x) 0 令： k 2 则： 2 dx
通解：
x Aeikx Beikx C coskx D sin kx
A, B, C, D 为常数，由标准条件和归一化条件确定。 ka ka a ka ka a C cos D sin 0 x C cos D sin 0 x 2 2 2 2 2 2
（3）能量间隔：
(n 1) 2 2 2 n 2 2 2 2 2 E n E n1 En (2n 1) 2 2 2m a 2m a 2m a2
n一定， a一定，
a En 0
En 2n 1 n En 2 0 En n En
2
V
a 时 2
d 2 ( x) 2 x x ( x ) ( x ) A ' e B ' e dx2
由有限条件，当
x a 2 x
( x) 0
粒子不可以进入Ⅱ区
I区： V 0
2 d 薛定谔方程： ( x) 2m E ( x) 0 dx2 2
( x)
E2
1 ( x)
n 1, 2,
a n sin x n 1, 2,3 2 a
E1
非对称二维无限深势阱
0 0 x a,0 y b V ( x, y) others
2 n12 n2 En ( 2 2) 2m a b 2
( p) ( p)
2
2
4 a
pa cos 2 2 2 2 2 a p
2
3
8.非对称一维无限深势阱
4 ( x)
V ( x)
《一维定态问题》课件
在这个PPT课件中，我们将深入探讨一维定态问题，介绍定态和一维定态问 题的基本概念，并讲解其数学描述、求解方法以及应用领域。
导言
一维定态问题是研究物理学等领域中的一类重要问题。它提供了理解系统行 为和性质的基础，以及解决各种实际问题的方法。
定态和一维定态问题的基本概 念
例题三
借助计算机模拟，展示一维定 态问题的数值解法和仿真结果。
一维定态问题的应用
量子力学
一维定态问题在量子力学 中有广泛的应用，例如描 述电子在一维势场中的行 为。
固态物理学
研究材料中晶格振动、电 子能带等问题时，可以把 复杂的多维系统简化为一 维定态问题。
量子计算
一维定态问题为理解和实 现量子计算提供了基础， 如量子比特的储存和操作 等。
总结和展望
通过本PPT课件，我们对一维定态问题有了更深入的了解。未来，我们可以 进一步研究其在更复杂系统和实际应用中的应用。
定态是指系统在某个特定状态下具有稳定性和不变性。一维定态问题是针对 一维系统中的定态进行研究和求解的问题。
一维定态问题的数学描述
数学上，一维定态问题可以通过使用定态薛定谔方程进行描述。这个方程描述了系统的波函数和能量的 关系，是解决一维定态问题的关键。
一维定态问题的求解方法
1
经典方法
传统的求解一维定态问题的方法，如分离变量法、定态扰动法等。
2
量子力学方法
利用量子力学的基本原理和数学工具，如哈密法
借助计算机和数值计算技术，通过离散化和近似方法求解一维定态问题。
例题演示和讲解
例题一
例题二
通过实际例题，演示和讲解一 维定态问题的求解过程和方法。
通过复杂的数学方程，在黑板 上演示一维定态问题的解析求 解过程。
第三章一维定态问题
(x)
0
其解为 2 (x) Asin kx B coskx
根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得
2 (0) 1(0) B 0
2 (a) 3 (a) Asin ka 0
A0
sin ka 0
ka n (n 1, 2, 3,)
∴
2 (x)
A sin
n a
x
由归一化条件 (x) 2 dx 1 得
9 2
E3
8a 2
0
3
A
cos
3 2a
x
| x | a | x | a
ψ1
-a 0
ψ2
-a 0
ψ3
-a 0
|ψ1|2
a -a
0a
|ψ2|2
a -a
0a
|ψ3 |2
a -a 0 a
由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范 围，在无限远处，ψ = 0 。这样的状态，称为束缚态。一维有限运 动能量本征值是分立能级，组成分立谱。
（3）波函数宇称
n n
( (
x) x)
n n
( (
x) x)
(当n even) (当n odd )
奇宇称 偶宇称
（4）ψn*(x) = ψn(x)
即波函数是实函数。
（
0
| x | a;
5 ）
n ( x, t ) n ( x)e iEnt /
1 si nn
a 2a
xeiEnt /
2
2
2
V (x,
y,
z)
( x,
y,
z)
E
( x,
y,
z)
设：V(x, y, z) V1(x) V2( y) V3(z)
一维定态的一般性质 自由粒子本征函数的规格化和箱归一化.ppt
(x) c (x)
作代换 x ，x则 (x) c (x) c2 (x)
c2 1
c 1
c 1 c 1
定理得证。
(x) (x) (x) (x)
偶宇称； 奇宇称。
定理8：如图所示，在一维情况下，若 在U (x) 点不x连0 续，且 、
有限U1，则U在2 点 及 仍x连0 续。
上式两边取复共轭，且考虑到 U * ，U则
h2
2
d 2 *
dx2
U
*
E
*
定理得证。
定理2：对于一维定态薛定谔方程，如果 和1(x) 是对2 (应x) 于同一 个能量本征值的两个独立的解，则有
1(x) 2 (x) 2 (x)1(x) c （与 x无关的常数）
证明：
1
2
h2
E
U
(
x)1
0
2
2
h2
证明：
h2
2
d2 dx2
U (x)
(x)
E
(x)
作代换 x ，x则
h2
2
d2 dx2
U (x)
(x)
E
(x)
考虑到 U (x) U，(得x)
h2
2
d2 dx2
U (x)
(x)
E
(x)
定理得证。
定理7：对于一维定态问题，假设势能具有空间反演不变性，则 任一个属于能量本征值的束缚态都有确定的宇称。
1
(2)3/ 2
exp
i
p
r
二、本征函数的箱归一化
1．一维情况 若限定粒子在 [的L,范L]围内运动，则它的波函数是归一化的。当 L的值很大时，可作为粒子在无穷大范围内运动的一个近似。
第2章 一维定态问题
即 V0a2 2h2 / 2m
时，才能出现最低的奇宇称能级。
由以上分析可以看出，束缚态能级是分立的，它是束 缚态边界条件下求解定态波动方程的必然结果。
18
➢§2.3 线性谐振子
自然界中广泛碰到简谐运动，任何物体在平衡位 置附近的小振动(如分子的振动、晶格的振动、原 子表面振动及辐射场的振动等)在选择了适当的坐 标之后，往往可以分解成若干个相互独立的谐振 动。另外谐振动又是复杂运动的初步近似。所以 谐振动的研究无论在理论上还是在应用上，都是 极为重要的。谐振子的本征值问题，在历史上 Heisenberg首先用矩阵力学加以解决，后来Dirac 用算子代数的方法给出了极漂亮的解。
Th7：粒子在规则势场（V无奇点）中运动，如存 在束缚态，则必定是不简并的。 1 '2 2 '1 不包含 '1/ 1 '2/ 2 1 c2
说明：对多数常见的不规则势阱，上定理也成立， 但对某些常见的不规则势阱定理不成立。
6
➢§2.2 方位势
1 一维无限深势阱 分立谱
第2章 一维定态问题
本章我们将薛定谔方程应用到几个比较简单 的力学系统中去，求出方程的解和阐明这些 解的物理意义。具体分为如下问题
1 一维定态的一般性质 2 方位势 3 线性谐振子 4 一维散射问题
1
➢§2.1 一维定态的一般性质
一维情况下，定态薛定谔方程为
[
h2 2m
d dx2
(14)
15
据波函数及其导数在|x|=a/2处的连续性，可确定粒子的能量 本征值。若只讨论能量本征值，更方便的方法是利用
'/ 或ln'
一维定态薛定谔方程的一般性质
其中 α 为实数
[e iαψ ( x)]∗ = e iαψ ( x)
可见存在实函数 ϕ ( x) = e
iα
A14
ψ ( x)
它与ψ ( x) 描写同样的物理状态
3
一维束缚态能级分立 束缚态满足ψ ( x → ±∞) → 0 对给定的 E 边界条件 ψ ( x → +∞) → 0 确定一个薛定谔方程 A1 的解 记之为
上式说明
即
ψ ( x) = c ′ϕ ( x)
c ′ 为常数
A7
在 ϕ ( x) 的两个零点之间
ϕ ( x) 和ψ ( x) 只差一个常系数
所以在 ϕ ( x) = 0 的地方
因为 ϕ ( x) 是导数连续的函数 空间为零 根据 A6
ϕ ′( x) 不能为零 否则它在全
在 ϕ ( x) 的零点
ψ ( x) 也等于零
ψ ∗ ( x) 也是对应同样能量的束缚本征态
由结论 1 可知
ψ ∗ ( x) = cψ ( x)
两边取复共轭 得ψ ( x ) = c
∗
A12
ψ ∗ ( x) 因此
A13 代入 A12 式得到
ψ ∗ ( x) =| c | 2 ψ ∗ ( x)
所以
| c | 2 = 1 可令 c = exp(i 2α )
即
2M ( E 2 − E1 )ψϕ h2
A5
d (ψ ′ϕ − ϕ ′ψ ) = 2M ( E 2 − E1 )ψϕ dx h2
若 E1 = E 2 上式为零
ψ ′ϕ − ϕ ′ψ = c
其中 c 为常数 因为有 A3 式 常数 c = 0
(A6) 因此在所有 ϕ ( x) ≠ 0 的地方
chapt3一维定态问题
推论：一维束缚态的波函数必为实函数（当然
可保留一相位因子）。
证
(−
h2 2m
d2 dx2
+
V(x))un (x)
=
Enun (x)
令 un (x) = Rn (x) + iIn (x)（ R n (x), In (x) 都是实函数） 则
x > 0 中。
定义： a. 反射份额 b. 透射份额
R=
jR ji
，现
R=1;
T = jT ji
，现
T=0。
T+R =1
3. 在区域 x > 0 ，概率密度为
ρ = uE(x) 2 = D 2 e−2Κx
在这一区域，经典粒子是不能到达的。这是量 子物理学的结论。它可能带来经典物理学认为 不可能出现的物理现象。
范围内有 n 个节点（即有 n 个 x 点使
un (xi ) = 0，不包括边界点或∞远）。
基态无节点（当然处处不为零的波函数没 有这性质，如 eimφ (它是简并的)，同样， 多体波函数由于反对称性，而可能无这性质）
（4）在无穷大位势处的边条件：根据坐标空 间的自然条件，波函数应单值，连续，平方可积，
所以，
B→0
于是，当 V0 → ∞ , 方程有解
u(x)
=
⎧A ⎨ ⎩
sin 0
kx
x<0 x>0
这表明，在无穷大的位势处，波函数为0， 边界上要求波函数连续，但并不要求再计及导 数的连续性。当然，概率密度和概率通量矢总 是连续的。
§3.2 隧穿效应和扫描隧穿显微镜 (1)阶梯位势：讨论最简单的定态问题
一维运动问题的一般分析
第三章 一维势场中的粒子§3.1 一维运动问题的一般分析一维问题的实际背景是平面型固体器件，“超晶格”，以及从高维问题约化下来的一维问题。
3.1.1 一维定态Schrödinger 方程的解的一般特征一维定态Schrödinger 方程是222(),2d V x E m dx ψψψ-+= 或者写为二阶常微分方程的标准形式 ()2222()0.d m E V x dxψψ+-= 在经典力学的意义上E T V =+，其中T 是动能，永远0≥，因此我们永远有0E V -≥。
而在量子力学里由于有不确定关系的缘故，我们完全谈不上粒子在某点处有多大的动能，因此即使在0E V -<的区域里，波函数仍然有非零解。
然而方程在0E V -<的区域和0E V ->的区域解的特征是完全不同的。
我们把0E V ->的区域称为经典允许区，0E V -<的区域称为经典禁戒区。
把方程重写为22212(),d m E V dxψψ=-- 并假设ψ是实函数。
画出()vs ()x x ψ的曲线，那么我们发现：在经典允许区(0->E V 即>E V )里，()x ψ在横轴上方是向上凸的，在横轴下方是向下凹的；在经典禁戒区(0-<E V 即<E V )里，()x ψ在横轴上方是向下凹的，在横轴下方是向上凸的。
所以，在经典允许区里()x ψ呈现出振荡式的行为，而在经典禁戒区里()x ψ通常是单调变化的。
这样一个直观的图像对于我们理解以后的问题很有帮助。
3.1.2 关于一维定态Schrödinger 方程的解的基本定理朗斯基(Wronski)定理：若势能()V x 在-∞<<+∞x 上没有奇点，ψ1()x 和ψ2()x 都是一维定态Schrödinger 方程的解，而且属于相同的能量，那么12121212ψψψψψψψψ''∆≡≡-=''常数, 其中/d dx ψψ'≡。
一维定态练习题
粒子不能穿过无限高的势 垒。
由于Delta势阱是无限深的， 所有处于该势阱环境下的粒 子不可能存Ｓ－方程的基态是能 量最低的能量本征态。
V ( x ) V0
上面的对称势垒的定态波函数 只能是奇函数或偶函数
V(x)和V(x)+V0两种势场对 应于相同的定态波函数， 但能量相差一个常数。
• V(x)和V(x+a)两种势场对 应于粒子的能量谱相同只 是相应波函数做了一个平 移。相差一个常数。
于其能量本征态的非简并性（本征能量和本征函数一一对 应），每一本征波函数必有确定的宇称（要么奇，要么 偶）。【以上三点也适用于三维情况】
一维定态问题的一般性质
• 如果V(x)存在一个最小值，定态的每一本征能量 必大于该势场的最小值。 • 如果｜x｜趋于无穷大时，粒子总处于经典不允许 区，则该定态必为束缚态。【束缚态的一个判据】 • 一维束缚态必对应着分立的本征能谱。 • 对于规则势场[非奇异V(x)]，一维束缚态必不简 并。
一维线性谐振子的所有定 态波函数都是束缚态
对于一维对称方势阱， 无论势阱多浅多窄，都 有束缚态。
势场具有空间反演对称 性的一维束缚态的基态 必为偶宇称态。
能量本征值的连续谱是指 体系的本征能量可以为任 意数值。
• 在势场V(x)中，束缚态下 粒子能量取值必定在 V min E V 外 mim 范围内 的一组断续值
一维定态问题的一般性质
•若 ( x ) 满足 H ( x ) E ( x ) 则 ( x ) * 也满足此定态 S－方程。 •对于每一个能量本征值，总能找到一实的本征波函数 •如果势场具有空间反演对称性，则 ( x ) 和 ( x ) 都是对应同一本征能量的定态波函数。由此可构建一奇函 数和一偶函数为该本征能量的波函数，但对于束缚态，由
量子力学考试知识点
《量子力学》考试知识点第一章：绪论―经典物理学的困难考核知识点：（一）、经典物理学困难的实例（二）、微观粒子波－粒二象性考核要求：（一）、经典物理困难的实例1.识记：紫外灾难、能量子、光电效应、康普顿效应。
2.领会：微观粒子的波－粒二象性、德布罗意波。
第二章：波函数和薛定谔方程考核知识点：（一）、波函数及波函数的统计解释（二）、含时薛定谔方程（三）、不含时薛定谔方程考核要求：（一）、波函数及波函数的统计解释1.识记：波函数、波函数的自然条件、自由粒子平面波2.领会：微观粒子状态的描述、Born几率解释、几率波、态叠加原理（二）、含时薛定谔方程1.领会：薛定谔方程的建立、几率流密度，粒子数守恒定理2.简明应用：量子力学的初值问题（三）、不含时薛定谔方程1. 领会：定态、定态性质2.简明应用：定态薛定谔方程3.fdfgfdgdfg第三章：一维定态问题一、考核知识点：（一）、一维定态的一般性质（二）、实例二、考核要求：1.领会：一维定态问题的一般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振2.简明应用：定态薛定谔方程的求解、无限深方势阱、线性谐振子第四章量子力学中的力学量一、考核知识点：（一）、表示力学量算符的性质（二）、厄密算符的本征值和本征函数（三）、连续谱本征函数“归一化”（四）、算符的共同本征函数（五）、力学量的平均值随时间的变化二、考核要求：（一）、表示力学量算符的性质1.识记：算符、力学量算符、对易关系2.领会：算符的运算规则、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性质、基本力学量算符的对易关系（二）、厄密算符的本征值和本征函数1.识记：本征方程、本征值、本征函数、正交归一完备性2.领会：厄密算符的本征值和本征函数性质、坐标算符和动量算符的本征值问题、力学量可取值及测量几率、几率振幅。
（三）、连续谱本征函数“归一化”1.领会：连续谱的归一化、箱归一化、本征函数的封闭性关系（四）、力学量的平均值随时间的变化1.识记：好量子数、能量－时间测不准关系2.简明应用：力学量平均值随时间变化第五章态和力学量的表象一、考核知识点：（一）、表象变换，幺正变换（二）、平均值，本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式（三）、量子态的不同描述二、考核要求：（一）、表象变换，幺正变换1.领会：幺正变换及其性质2.简明应用：表象变换（二）、平均值，本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式1.简明应用：平均值、本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式2.综合应用：利用算符矩阵表示求本征值和本征函数（三）、量子态的不同描述第六章：微扰理论一、考核知识点:（一）、定态微扰论（二）、变分法（三）、量子跃迁二、考核要求:（一）、定态微扰论1.识记：微扰2.领会：微扰论的思想3.简明应用：简并态能级的一级，二级修正及零级近似波函数4.综合应用：非简并定态能级的一级，二级修正、波函数的一级修正。
3.1一维定态的一般性质
(x)
V
(x)
(x)
E
(x)
可见， (x)也是属于E的解，即可能有简并。
由此得推论：若V (x) V (x)，且解无简并，则解
必有确定的宇称,即波函数具有奇偶性。
此时， (x)与 (x)表示同一个态（可相差一个
任意常数）
宇称算符一般用P来表 示，其作用是 Pf (r ) f (r )
按照前面的讨论,有
成立）
证明：
[分析]如何证明导数连续？在边界处 导数相等即可，可由Schrodinger方程出发。
由方程
d2 dx2
(
x)
2m 2
[
E
V
(
x)]
(
x)
在V (x)连续区， (x)、 '(x)的连续性是显然的。
在x ~ a邻域，对方程积分并取
a
lim dx （ 0,是个小量）
0 a
得 '(a 0 ) '(a 0 )
即
(x) 1 [ f (x) g(x)]， (x) 1 [ f (x) g(x)]
2
2
则完备得证
该定理告诉我们：在存在着简并时，可以通过 一定组合构造出对应于能量本征值E的确定宇 称解。
定理5：对于阶梯形方位势（在a处跃变）
V (x) VV12
xa xa
V(x) V2 V1 0
ax
若V2 V1 有限，则定态波函数 (x) 及其导数 '(x) 必是连续的（若 |V2 V1 | ，则定理不
一维定态问题数学处理简单，便于得到 严格解。作为量子体系，同样可展现量子 问题的主要特征，因而是处理复杂问题的 基础。 所谓一维运动就是指在某一方向上的运动。
量子力学 曾谨言 第五版 第三章知识点
所以，当 V ( x) 为实函数时，一维定态波函数可取为实函数。 下面一条性质涉及空间反射变换和宇称。 做空间反射变换：
x → −x
ψ ( x) → ψ (− x)
ˆ 代表空间反射变换： P ˆψ ( x= ) ，用算符 P
ψ (− x)
宇称本征方程：
ˆψ ( x) = λψ ( x) P
可证 λ 为实数。只有当 λ 为实数时，该方程才是本征方程。因为按照基本假定，本征值与测量值相对
1
作者：张宏标（任课教师）
东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿 Lectures on Quantum Mechanics for undergraduates of physical major
称为它的简并度。 (ii)、当 V ( x) 为实函数时，一维定态波函数可取为实函数。 [证] 分能级无简并和有简并两种情况来证明 (1)、能级无简并情况：对应能级 E ，只有一个独立的本征波函数。 设ψ ( x) 为能量值为 E 的本征波函数，能量本征方程：
作者：张宏标（任课教师） 2
东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿 Lectures on Quantum Mechanics for undergraduates of physical major
应，而测量值总是实数。
ˆ 的本征值 λ 。 宇称（Parity） ：空间反射变换算符 P
宇称的可能取值：
因此，在 x = x0 点，ψ ′( x) 不连续， 连接条件为：
ψ ′( x0 + ε ) −ψ ′( x0 − ε ) = −
2mV0 ψ ( x0 ) 。 2
′ −ψ 2ψ 1′ = (v)、若ψ 1 ( x) 和ψ 2 ( x) 都是能级本征值 E 所对应的本征波函数，则有ψ 1ψ 2 常数 。 ′ = ψ 2ψ 1′ 。 而对于束缚态（即 lim ψ ( x) → 0 ） ，则为ψ 1ψ 2
03一维定态问题
2 2 2 2 2 (nx ny nz ), nx , ny , nz 1, 2,... 2 2ma
可见简并度取决于(nx,ny,nz)使得nx2+ny2+nz2= n’x2+n’y2+n’z2 的(nx,ny,nz)组个数,基态无简并, 其他例如第一激发态(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1)三 重简并,......
Quantum mechanics
小
结
除了求解束缚态以外,还有一类问题即一维散射问题,束 缚定态的能量本征值一般由方程结合边界条件,波函数 连接条件确定,是分立的,而且束缚态本身满足平方可积 条件,一定是可归一的.散射态则一定不可归一,其能量本 征值是连续的(取决于入射粒子).设粒子从势垒左边入射, 其波函数ψ的渐近行为如下给出:
第三章一维定态问题
12/88
Quantum mechanics
习题解答
0,0 x a V ( x) , x 0, x a
3,设粒子处于一维无限深方势阱中运动,即
对处于第n个定态ψn(x)的粒子计算坐标和动量的期望值x,p以及 相应的涨落⊿x,⊿p.讨论当n→∞的情况,并与经典力学比较.
2
n d n x x2 H n ( x) (1) e e n dx
即H1(x)=1,H2(x)=2x等,能量本征函数ψn(x),的宇称性质 ψn(-x),=(-1)nψn(x),其中基态无节点,必为偶宇称态,又是 最小不确定态.此外,谐振子问题也可在动量表象中求解.
第三章一维定态问题
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2
2
(0)
δ-势阱(γ为负)存在唯一的一个束缚态.δ-势问题的求解也 可在动量表象中进行.另外,如果求解δ-势的散射问题,则 可知其透射振幅在k复平面正虚轴上的极点对应于δ-势 阱的束缚态.其实,束缚态在散射振幅的极点里,这是一个 普遍的事实.
05-一维定态问题的一般性质
且f (t) ~ exp(iEt / ) 。若已知t=0时体系处于某
一个能量本征态： (r ,t 0) En (r ) ，则在t>0 后，体系状态为 (r , t) En (r ) exp(iEnt / ) 通常
称这样的态为定态。（粒子的概率、平均值）
2、简并
如果系统的能级是分立的，即 E En，若对 同一个能级，有两个及其以上的本征函数与
其对应，则称这个能级是简并的。
15
一维无限深方势阱中的能量本征值与本征态为
E En
2 2n2
2ma2
，n=1，2，3
实际中，简并的情 况远比非简并的多，
2 n x
与对称性相关。
n
(
x)
sin( a
a
), 0 x a;
n 1, 2,3,
0,
x 0, x a.
V (x) V *(x)为实数，E也是实数，有
[
2 2m
2 x 2
V (x)]
* ( x)
E
* ( x)
*(x)也是方程解，对应的能量也是E。19
二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(2)
推论1
对应于能量的某个本征值E，能量本征方程的解
(x)不简并，则这个解可取为实函数。 【证】 (x)是能量本征方程对应E的一个解，根据
2 a
cn
n1
sin
n x
a
n1
cn n
(x)
完备
8
一、正交、归一、完备态（3）
数学上， (x)
2 a
cn
n1
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证明：
按照假设
1''2 m 2[E V (x) ]10
2 '' 2 m 2[E V (x )]2 0
2(1)1(2)，得
(1 )
(2 )
21''1 2''0
或
ddx[21'12']0
积分,得 1 2'21'常数 x无 （关 与）
常数由渐近条件来决定 。
对于束x缚 时 态 ， 1、 ， 2 有 0，
V(x) VV12
xa xa
V(x) V2 V1 0
ax
若V2V1有限，则定态 (x波 )及函 其数 导数 '(x)必是连续的 |V2（ V1| 若，则定理不
成立）
证明：
[分析]如何证明导数连续？在边界处 导数相等即可，可由Schrodinger方程出发。
由方程
d d x2 2(x)2 m 2[EV(x) ](x)
个束缚则态 按。 照定6理 ，有
12'21'
在 1(x)和 2(x)不0处 为（1 不 (x)和 包 2(x)节 含点 区域 1 2 ） 除用 上式，则有
1' 2'， 1 2
即ln 12' 0
或[l 2 n ln 1 ] 0 '
对x积分l， n 12常数（ x无与关，常l数 nc） 取 所以2 c1
第三章 一维定态问题
在继续阐述量子力学基本原理之前，先用 Schrodinger 方程来处理一类简单的问题： 一维定态问题。目的有四： （1）有助于具体理解已学过的基本原理； （2）有助于进一步阐明其他基本原理； （3）处理一维问题，数学简单，从而能对 结果进行细致讨论，量子体系的许多特征 都可以在这些一维问题中展现出来； （4）一维问题还是处理各种复杂问题的基 础。
在V(x)连续区 (x， )、'(x)的连续性是显
在x ~ a邻域，对方程积分并取
a
lim dx （ 0,是个小量）
0 a
得 '(a0)'(a0)
2m 2 l i0m a a dx[EV(x)](x)
由于 [EV(x) ](x)有限，积 2分 0， 区故 间
右端 0。 为
可 '( 见 a 0 ) '(a 0 )， '( 即 x)在 a 处连
1 2d 2 1 2d 2 1 2d 2
X 2 d 2 X x V 1 ( x ) Y 2 d 2 Y y V 2 ( y ) Z 2 d 2 Z z V 3 ( z ) E
[
2
2
d2 dx 2
V1 ( x )] X ( x )
代入方程可得 (x)满足方程
2 m 2 ddx22
V(x)(x)E(x)
这是一维粒子的征能值量问本 ,V题 (x)取实,数
即
V *(x)V (x)，
其中
E：本征值
非零解 (x) ：属于本E征 的值 本征函数
由物理边界条件来确解定：E,
现在讨论此本。 征以 值下 方 1定 程 4对 理 于三维问题同样成立。
2 m 2d d x 2 2( x ) V (x )( x ) E ( x )
可见，(x)也是属E于 的解，即可能有简并
由此得推论： 若V(x)V(x)，且解无简并，
必有确定的 ,即宇 波称 函数具有奇偶性。
此时， (x)与(x)表示同一个态一 （个 可相
任意常数）
宇称算符一P般 来用 表 示，其作用是 P (r) f f( r)
2 d 2
2 d 2
Y 2 Z d 2 X x V 1 ( x ) X 2 d Z 2 Y y V 2 ( y ) X 2 d Y 2 Z z V 3 ( z ) E ( x , y , z )
两边除于 （ x ,y ,z ) X ( x ) Y ( y ) Z ( z )
定理 1：
设(x)是方程的一个的 解能 ，量 对本 应征 E,
则*(x)也是方程的一个 应解 的， 能对 量E也 。是
即能量 E 可能是二重简并的。
证明：对原方程复两共边轭取 E（ ,V为实数）
2 m 2 ddx22V(x)*(x)E*(x)
说明* 也是方程的解，征 能值 量还 本E是
据此，设对应量 于本 某征 个 E,方 值 能程的 解无简并，则函 可数 取解 为， 实因为
或者说函数曲 是线 平在 滑 ,故 此 的 (x处 )也是
连续. 的
关于波函数及其导数的问题,还有定理6:
定理 6：
对于一维粒 1(x)和 子 2， (x)均 设为定态方
的属于同 E的 一解 能， 量则
1 2'21'常数x无 （关 与）
[分析 ]见到导数，要S想 ch到 ro用 dirn方 ge程。
按照前面的讨论,有
P (x ) ( x ) c (x )
P2(x)c2(x)
但已经知道
P 2(x )(x )
c2 1 c1
取 c1, P(x)(x)(x) 称为偶宇
取 c1, P(x)(x)(x) 称为奇宇
当能级有简并时，有如下定理
定理4：设V(-x)= V(x)，则对应于任何一个 能量本征值E,总可能找到定态方程的一组完 备解,它们之中的每一个解都有确定的宇称.
当能级有简并时，用定 理2
定理2：对于能量的某个本征值E，总可找到方 程的一组实解，凡是属于 E 的任何解，均可表 成这一组实解的线性叠加。这组实解是完备的。
证明：
设(x)是属于E能 的量 本征函数
它可以是实解，也可以为复解。 如为实解，则把它到 归实 结解集合中去
(注意我们的目的是组 找实 这解集)合 . 现在只需证明如，为则复 可解以表为一实组完备 解的线性叠加。
证明：
设(x)是定态方程的确 解定 ，的 如宇 无称，
定理 3，则 (x)也是方程的一个(x不 )但同 同于
属于能E。 量 因此可构造
f ( x ) ( x ) ( x ), g ( x ) ( x ) ( x )
按照解的叠加f性 (x),质 g(x， )都是定态方程的 同属E于 ，且 f (x)具有偶宇g称 (x)具 ，有奇宇称，
而 (x)、 (x)都可以 f(x表 ),g(x成 )的线性叠
即
(x ) 1 [f(x ) g (x )， ]( x ) 1 [f(x ) g (x )]
2
2
则完备得证
该定理告诉我们：在存在着简并时，可以通过 一定组合构造出对应于能量本征值E的确定宇 称解。
定理5：对于阶梯形方位势（在a处跃变）
ExX (x)
[
2
2
d2 dy 2
V2 ( y )]Y ( y )
E yY ( y)
[
2
2
d2 dz 2
V3 ( z )]Z ( z )
EzZ(z)
其中
EExEyEz
i t(x,t) 2 m 2 x22V(x) (x,t)
对于定态问题，能量E确定，波函数中时空 变量可分离，形如
(x,t) (x)ei Et
为复函数，它(们 x),可 (x表 )的为 线性叠加
即
(x)1(i)
2
*(x)1(i)
实解线性叠加
2
定理3： 设V(x)具有空间反射不变性 V(-x)= V(x)
如ψ(x)是定态方程的属于能量为E的解，则 ψ(-x)也是方程的相应于能量为E的解。 证明： 对方 x 程 x ， 进 按 V ( 行 x ) 假 V (x )， 定
教学要求
• 掌握一维无限深势阱的求解方法及其物理 讨论。
• 掌握一维谐振子的能谱及其定态波函数的 一般特点。
• 掌握一维有限深方势阱问题的处理方法。 • 掌握一维散射问题方法
§3.1 一维定态的一般性质 §3.2 方位势 §3.3 一维散射问题 §3.4 δ势 §3.5 一维谐振子
2 d 2
若(x)是定态方程的解 定， 理 1， 按 *照 (x)
亦为属于E能的量解。 则根据微分方程解的加 叠性质，有 寻找实解
( x ) ( x ) * ( x ),( x ) i [( x ) * ( x )]
也是定态方程的 属解 于 E， ，且 同彼此独立
此时 (x), (x)均为实函数 (x)，而 *(x)均
故2与 1代表同一量子 级态 不， 简其 并
对于不规则势，在 由奇 于点 存，此结论。 不成立
• 束缚态（bound state）指粒子局限在有限 空间中。
(x)与*(x)同样对应 E,因 于无简并，则只能相
一常数因子，即
*(x)c(x) （c为常数）
取复共轭，有
c**|c|2 | c |1
故
cei (为实)数
取 为 0 时 * (x ) (x )征值有多个线性无关本证 函数与之对应，则称本征值是简并的，其 简并度是对应本证函数的个数。如对应于 能量E有三个线性无关的波函数与之对应， 则能级的简并度为3，或称为3重简并。
常数0。
故对两束缚态波函数有，下列关系：
12'21'
关于此定理的应用,有定理7:
定理 7：设粒子在规运 则动 势 V（ (x场 )无中奇点） 如存在束缚态是 ，不 则简 必并 定的。
证明： [分析]证明是否简并，只 E有要两设个态， 看此两态相等即可。
设1(x)和2(x)是定态方程的能 属量 E于 的本 两征