3.1一维定态的一般性质

当能级有简并时，用定 理2
定理2：对于能量的某个本征值E，总可找到方 程的一组实解，凡是属于 E 的任何解，均可表 成这一组实解的线性叠加。这组实解是完备的。
证明：
设(x)是属于E能 的量 本征函数
它可以是实解，也可以为复解。 如为实解，则把它到 归实 结解集合中去
(注意我们的目的是组 找实 这解集)合 . 现在只需证明如，为则复 可解以表为一实组完备 解的线性叠加。
代入方程可得 (x)满足方程
2 m 2 ddx22
V(x)(x)E(x)
这是一维粒子的征能值量问本 ,V题 (x)取实,数
即
V *(x)V (x)，
其中
E：本征值
非零解 (x) ：属于本E征 的值 本征函数
由物理边界条件来确解定：E,
现在讨论此本。 征以 值下 方 1定 程 4对 理 于三维问题同样成立。
V(x) VV12
xa xa
V(x) V2 V1 0
ax
若V2V1有限，则定态 (x波 )及函 其数 导数 '(x)必是连续的 |V2（ V1| 若，则定理不
成立）
证明：
[分析]如何证明导数连续？在边界处 导数相等即可，可由Schrodinger方程出发。
由方程
d d x2 2(x)2 m 2[EV(x) ](x)
在V(x)连续区 (x， )、'(x)的连续性是显
在x ~ a邻域，对方程积分并取
a
lim dx （ 0,是个小量）
0 a
得 '(a0)'(a0)
2m 2 l i0m a a dx[EV(x)](x)
由于 [EV(x) ](x)有限，积 2分 0， 区故 间
右端 0。 为
可 '( 见 a 0 ) '(a 0 )， '( 即 x)在 a 处连
若(x)是定态方程的解 定， 理 1， 按 *照 (x)
亦为属于E能的量解。 则根据微分方程解的加 叠性质，有 寻找实解
( x ) ( x ) * ( x ),( x ) i [( x ) * ( x )]
也是定态方程的 属解 于 E， ，且 同彼此独立
此时 (x), (x)均为实函数 (x)，而 *(x)均
证明：
设(x)是定态方程的确 解定 ，的 如宇 无称，
定理 3，则 (x)也是方程的一个(x不 )但同 同于
属于能E。 量 因此可构造
f ( x ) ( x ) ( x ), g ( x ) ( x ) ( x )
按照解的叠加f性 (x),质 g(x， )都是定态方程的 同属E于 ，且 f (x)具有偶宇g称 (x)具 ，有奇宇称，
为复函数，它(们 x),可 (x表 )的为 线性叠加
即
(x)1(i)
2
*(x)1(i)
实解线性叠加
2
定理3： 设V(x)具有空间反射不变性 V(-x)= V(x)
如ψ(x)是定态方程的属于能量为E的解，则 ψ(-x)也是方程的相应于能量为E的解。 证明： 对方 x 程 x ， 进 按 V ( 行 x ) 假 V (x )， 定
ExX (x)
[
2
2
d2 dy 2
V2 ( y )]Y ( y )
E yY ( y)
[
2
2
d2 dz 2
V3 ( z )]Z ( z )
EzZ(z)
其中
EExEyEz
i t(x,t) 2 m 2 x22V(x) (x,t)
对于定态问题，能量E确定，波函数中时空 变量可分离，形如
(x,t) (x)ei Et
2 d 2
2 d 2
Y 2 Z d 2 X x V 1 ( x ) X 2 d Z 2 Y y V 2 ( y ) X 2 d Y 2 Z z V 3 ( z ) E ( x , y , z )
两边除于 （ x ,y ,z ) X ( x ) Y ( y ) Z ( z )
个束缚则态 按。 照定6理 ，有
12'21'
在 1(x)和 2(x)不0处 为（1 不 (x)和 包 2(x)节 含点 区域 1 2 ） 除用 上式，则有
1' 2'， 1 2
即ln 12' 0
或[l 2 n ln 1 ] 0 '
对x积分l， n 12常数（ x无与关，常l数 nc） 取 所以2 c1
故2与 1代表同一量子 级态 不， 简其 并
对于不规则势，在 由奇 于点 存，此结论。 不成立
• 束缚态（bound state）指粒子局限在有限 空间中。
证明：
按照假设
1''2 m 2[E V (x) ]10
2 '' 2 m 2[E V (x )]2 0
2(1)1(2)，得
(1 )
(2 )
21''1 2''0
或
ddx[21'12']0
积分,得 1 2'21'常数 x无 （关 与）
源自文库
常数由渐近条件来决定 。
对于束x缚 时 态 ， 1、 ， 2 有 0，
第三章 一维定态问题
在继续阐述量子力学基本原理之前，先用 Schrodinger 方程来处理一类简单的问题： 一维定态问题。目的有四： （1）有助于具体理解已学过的基本原理； （2）有助于进一步阐明其他基本原理； （3）处理一维问题，数学简单，从而能对 结果进行细致讨论，量子体系的许多特征 都可以在这些一维问题中展现出来； （4）一维问题还是处理各种复杂问题的基 础。
1 2d 2 1 2d 2 1 2d 2
X 2 d 2 X x V 1 ( x ) Y 2 d 2 Y y V 2 ( y ) Z 2 d 2 Z z V 3 ( z ) E
[
2
2
d2 dx 2
V1 ( x )] X ( x )
定理 1：
设(x)是方程的一个的 解能 ，量 对本 应征 E,
则*(x)也是方程的一个 应解 的， 能对 量E也 。是
即能量 E 可能是二重简并的。
证明：对原方程复两共边轭取 E（ ,V为实数）
2 m 2 ddx22V(x)*(x)E*(x)
说明* 也是方程的解，征 能值 量还 本E是
据此，设对应量 于本 某征 个 E,方 值 能程的 解无简并，则函 可数 取解 为， 实因为
(x)与*(x)同样对应 E,因 于无简并，则只能相
一常数因子，即
*(x)c(x) （c为常数）
取复共轭，有
c**|c|2 | c |1
故
cei (为实)数
取 为 0 时 * (x ) (x )
故(x)可取为实函数
简并的概念
对应于同一个本征值有多个线性无关本证 函数与之对应，则称本征值是简并的，其 简并度是对应本证函数的个数。如对应于 能量E有三个线性无关的波函数与之对应， 则能级的简并度为3，或称为3重简并。
或者说函数曲 是线 平在 滑 ,故 此 的 (x处 )也是
连续. 的
关于波函数及其导数的问题,还有定理6:
定理 6：
对于一维粒 1(x)和 子 2， (x)均 设为定态方
的属于同 E的 一解 能， 量则
1 2'21'常数x无 （关 与）
[分析 ]见到导数，要S想 ch到 ro用 dirn方 ge程。
2 m 2d d x 2 2( x ) V (x )( x ) E ( x )
可见，(x)也是属E于 的解，即可能有简并
由此得推论： 若V(x)V(x)，且解无简并，
必有确定的 ,即宇 波称 函数具有奇偶性。
此时， (x)与(x)表示同一个态一 （个 可相
任意常数）
宇称算符一P般 来用 表 示，其作用是 P (r) f f( r)
常数0。
故对两束缚态波函数有，下列关系：
12'21'
关于此定理的应用,有定理7:
定理 7：设粒子在规运 则动 势 V（ (x场 )无中奇点） 如存在束缚态是 ，不 则简 必并 定的。
证明： [分析]证明是否简并，只 E有要两设个态， 看此两态相等即可。
设1(x)和2(x)是定态方程的能 属量 E于 的本 两征
而 (x)、 (x)都可以 f(x表 ),g(x成 )的线性叠
即
(x ) 1 [f(x ) g (x )， ]( x ) 1 [f(x ) g (x )]
2
2
则完备得证
该定理告诉我们：在存在着简并时，可以通过 一定组合构造出对应于能量本征值E的确定宇 称解。
定理5：对于阶梯形方位势（在a处跃变）
教学要求
• 掌握一维无限深势阱的求解方法及其物理 讨论。
• 掌握一维谐振子的能谱及其定态波函数的 一般特点。
• 掌握一维有限深方势阱问题的处理方法。 • 掌握一维散射问题方法
§3.1 一维定态的一般性质 §3.2 方位势 §3.3 一维散射问题 §3.4 δ势 §3.5 一维谐振子
2 d 2
按照前面的讨论,有
P (x ) ( x ) c (x )
P2(x)c2(x)
但已经知道
P 2(x )(x )
c2 1 c1
取 c1, P(x)(x)(x) 称为偶宇
取 c1, P(x)(x)(x) 称为奇宇
当能级有简并时，有如下定理
定理4：设V(-x)= V(x)，则对应于任何一个 能量本征值E,总可能找到定态方程的一组完 备解,它们之中的每一个解都有确定的宇称.